北师大版九年级数学下册第一章测试题含答案
北师大版九年级数学下册第一单元测试题含答案 第一章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分) 1．cos 30°的值为( )
A.12 B.32 C.22 D.33 2．如图，已知Rt△BAC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝12，则BC的长是( ) A．2 B．8 C．25 D．45
(第2题) (第3题) 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，已知AC＝5，BC＝2，那么sin ∠ACD等于( )
A.53 B.23 C.253 D.52 4．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( ) A．20° B．30° C．40° D．50° 5．已知cos θ＝0.253 4，则锐角θ约等于( ) A．14.7° B．14°7′ C．75.3° D．75°3′ 6．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE＝33°，AB＝a，BD＝b，则下列求旗杆CD长的式子中正确的是( ) A．CD＝bsin 33°＋a B．CD＝bcos 33°＋a C．CD＝btan 33°＋a D．CD＝btan 33°＋a
(第6题) (第7题) 7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )
A．2 B.255 C.55 D.12 8．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝2(1＋3)，则BC等于( ) A．2 B.6 C．22 D．1＋3 9．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为( ) A．82 m B．163 m C．52 m D．30 m
(第9题) (第10题) 10．如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长32 m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为33 m，则鱼竿转过的角度是( ) A．60° B．45° C．15° D．90° 二、填空题(每题3分，共30分) 11．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则tan α＝________．
12．若反比例函数y＝kx的图象经过点(tan 30°，cos 60°)，则k＝________． 13．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝23，则AB＝________. 14．某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6 m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上__________高的墙． 15．某游客在山脚处看见一个标注海拔40 m的牌子，当他沿山坡前进50 m时，他又看见一个标注海拔70 m的牌子，于是他走过的山坡的坡度是__________． 16．如图，△ABC的顶点A，C的坐标分别是(0，23)，(2，0)，且∠ACB＝90°，∠B＝30°，则顶点B的坐标是__________．
(第16题) (第17题) (第18题) (第19题) (第20题) 17．如图，一棵树的枝叶部分AB在太阳光下的投影CD的长是5.5 m，此时太阳光线与地面的夹角是52°，则AB的长约为__________ (结果精确到0.1 m．参考数据：sin 52°≈0.79，tan 52°≈1.28)． 18．如图，秋千链子的长度OA＝3 m，静止时秋千踏板处于A位置，此时踏板距离地面0.3 m，秋千向两边摆动，当踏板处于A′位置时，摆角最大，此时∠AOA′＝50°，则在A′位置，踏板与地面的距离约为________m(sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.642 8，结果精确到0.01 m)． 19．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20 n mile的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1 h后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离约是________n mile(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)． 20．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tan E＝________. 三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)
21．计算：(1)2－1－3sin 60°＋(π－2 019)0＋－12；
(2)12－3＋4cos 60°·sin 45°－（tan 60°－2）2. 22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，2a＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．
23．如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，BCCD＝32，点E是AB的中点，tan D＝2，CE＝1，求sin∠ECB的值和AD的长．
(第23题)
24．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在C处测得点A在西北方向上，如图，量得BC长为200 m，求该河段的宽度(结果保留根号)． (第24题)
25．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为30 n mile/h，在此航行过程中，该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)
(第25题) 26．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15 m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°.假设汽车在高架道路上行驶时，周围39 m以内会受到噪音的影响． (1)过点A作MN的垂线，垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？ (2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39 m，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(结果精确到1 m，参考数据：3≈1.7)
(第26题) 答案 一、1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C 7.D 8.A 9.A
10．C 点拨：∵sin ∠CAB＝BCAC＝326＝22，∴∠CAB＝45°. ∵sin ∠C′AB′＝B′C′AC′＝336＝32，∴∠C′AB′＝60°. ∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°. 二、11.1 12.36 13.9 14.33 m 15．3∶4 16.(8，23) 17．7.0 m 点拨：过点B作BE∥CD，交AD于点E. ∵太阳光线与地面的夹角是52°，且太阳光线是平行的，
∴tan 52°＝ABBE，BE＝CD＝5.5 m. ∴AB＝5.5×tan 52°≈5.5×1.28＝7.04≈7.0(m)． 18．1.37 点拨：如图，作A′D⊥OA于点D，A′C垂直地面于点C，延长OA交地面于点B.
(第18题) 易得四边形BCA′D为矩形， ∴A′C＝DB. ∵∠AOA′＝50°，且OA＝OA′＝3 m， ∴在Rt△OA′D中，OD＝OA′·cos ∠AOA′≈3×0.642 8≈1.93(m)． 又AB＝0.3 m， ∴OB＝OA＋AB＝3.3 m. ∴A′C＝DB＝OB－OD≈1.37 m. 19．24
20．23 点拨：延长CA到F使AF＝AE，连接BF，过B点作BG⊥AC，垂足为G.根据题干条件证明△BAF≌△BAE，得出∠E＝∠F，然后在Rt△BGF中，求出tan F的值，进而求出tan E的值．
三、21.解：(1)原式＝12－3×32＋1＋12＝12－32＋1＋12＝12； (2)原式＝－(2＋3)＋4×12×22－(3－2)＝－2－3＋2－3＋2＝－23＋2. 22．解：由2a＝3b，可得ab＝32. 设a＝3k(k＞0)，则b＝2k，由勾股定理，得c＝a2＋b2＝9k2＋4k2＝13k.
∴sin B＝bc＝2k13k＝21313， cos B＝ac＝3k13k＝31313， tan B＝ba＝2k3k＝23. 23．解：∵AC⊥BD， ∴∠ACB＝∠ACD＝90°. ∵点E是AB的中点，CE＝1， ∴BE＝CE＝1，AB＝2CE＝2. ∴∠B＝∠ECB. ∵BCCD＝32， ∴设BC＝3x，则CD＝2x. 在Rt△ACD中，tan D＝2，
∴ACCD＝2. ∴AC＝4x. 在Rt△ACB中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝5x，
∴sin∠ECB＝sin B＝ACAB＝45. 由AB＝2，得x＝25， ∴AD＝AC2＋CD2＝（4x）2＋（2x）2＝25x＝25×25＝455. 24．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
(第24题) 根据题意知∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°， ∴∠CAD＝45°. ∴∠ACD＝∠CAD. ∴AD＝CD. ∴BD＝BC－CD＝200－AD.
在Rt△ABD中，tan ∠ABD＝ADBD，
九年级下册数学第一章测试题(北师大版)
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因此，精品编辑老师为大家整理了九年级下册数学第一章测试题，供大家参考。
填空题(每小题3分，共24分)11.(2021山东东营中考)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_________米.12.(2021陕西中考)如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则A的度数约为________.(用科学计算器计算，结果精确到0.1)13.如图，小兰想测量南塔的高度.她在处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50 m至处，测得仰角为60，那么塔高约为 _________ m.(小兰身高忽略不计， )14.等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________ .15.如图，已知Rt△ 中，斜边上的高，，则 ________.16.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则 _ .17. (2021江西中考)如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC=BD=15 cm，CBD=40，则点B到CD的距离为___________cm(参考数据：sin 200.342，cos 200.940，sin 400.643，cos 400.766，结果精确到0.1 cm，可用科学计算器).第17题图18.如图，在四边形中，，，，，则 __________.解答题(共66分)19.(8分)计算下列各题：(1) ;(2) .20.(7分)在数学活动课上，九年级(1)班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点看大树顶端C 的仰角为35(2)在点A和大树之间选择一点B(A，B，D在同一直线上)，测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45(3)量出A，B两点间的距离为4.5 .请你根据以上数据求出大树CD的高度.(精确到0.1 m) 21.(7分)每年的5月15日是世界助残日.某商场门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过，已知此商场门前的人行道距商场门的水平距离为8米(斜坡不能修在人行道上)，问此商场能否把台阶换成斜坡? (参考数据： )22.(8分)如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45.已知测角仪的高度是1.5 m，请你计算出该建筑物的高度.(取 1.732，结果精确到1 m)23.(8分)已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45，沿着坡度为30的斜坡前进400米到D处(即，米)，测得A的仰角为，求山的高度AB.24.(8分)一段路基的横断面是直角梯形，如左下图所示，已知原来坡面的坡角的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部充分利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图所示的技术要求.试求出改造后坡面的坡度是多少?25.(10分)如图，已知在Rt△ABC中，ACB=90，CD是斜边AB 上的中线，过点A作AECD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH=2CH.(1)求sin B的值;(2)如果CD= ，求BE的值.26.(10分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号.已知A，B两船相距100( +1)海里，船C在船A的北偏东60方向上，船C在船B 的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75方向上.(1)分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号).(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险?(参考数据： 1.41， 1.73)参考答案填空题11.10 解析：如图，过点A作ACBC,则AC= 8米,BC=12-6=6(米).在Rt△ACB中,根据勾股定理，得AB= = = =10(米).12. 27.8 解析：根据正切的定义可知 ,然后使用计算器求出的度数约为27.8.13.43.3 解析：因为，所以所以所以 ).14.15或75 解析：如图， .在图①中，，所以 ;在图②中，，所以 .15. 解析：在Rt△ 中，∵ ， sin B= ， .在Rt△ 中，∵ ，sin B= ， .在Rt△ 中，∵ ， .16. 解析：设每个小方格的边长为1，利用网格,从点向所在直线作垂线,利用勾股定理得 ,所以sin A = .17. 14.1 解析：如图，过点B作BECD于点E，∵ BC=BD，根据等腰三角形的三线合一性质，得CBE= CBD=20.在Rt△BCE中，cosCBE= ， BE=BCcosCBE150.940=14.1(cm). 第17题答图18. 解析：如图，延长、交于点，三、解答题19.解：(1)(2)20.解：∵ 90 45，则 m，∵ 35，tan tan 35 .整理，得 10.5.故大树的高约为10.521.解：因为所以斜坡的坡角小于，故此商场能把台阶换成斜坡.22.解：设，则由题意可知， m.在Rt△AEC中，tanCAE= ，即tan 30= ，，即3x (x+100)，解得x 50+50 .经检验， 50+50 是原方程的解.故该建筑物的高度约为23.解:如图，过点D分别作于点，于点，在Rt△ 中，，米，所以 (米)，(米).在Rt△ADE中，ADE=60，设米，则 (米).在矩形DEBF中，BE=DF=200 米，在Rt△ACB中，，，即，，米.24.解：由原题左图可知：BEDC， m， .在Rt△BEC中， (m).由勾股定理得， m.在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形的面积=梯形的面积.解得 =80(m).改造后坡面的坡度 .25.分析：(1)根据已知条件得出DCB=CAE，可以在Rt△ACH 中求出sin B的值.(2)通过解Rt△ABC求出AC与BC的长，解Rt△ACH求出CE 的长，利用BE=BC-CE得到答案.解：(1)∵ CD是斜边AB上的中线，CD=BD, DCB.∵ ACB=90，AECD，DCB=CAE, DCB=CAE.∵ AH=2CH，sin B=sinCAE= = = .(2)∵ CD= ， AB=2 .BC=2 cos B=4，AC=2 sin B=2,CE=ACtanCAE=1,BE=BC-CE=3.点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形. 26.分析：(1)过点C作CEAB于点E，构造直角三角形.设AE=a 海里，通过解直角三角形，用含a的代数式表示出CE，AC.在Rt△BCE中，根据BE=CE，列出方程，求出a，进而求出AC.(2)判断巡逻船A在沿直线AC去营救船C的途中有无触礁危险，只要求出观测点D到AC的距离，然后与100海里比较即可.因此，过点D作DFAC，构造出Rt△ADF，求出DF，将DF与100海里进行比较.解：(1)如图，过点C作CEAB于点E，设AE=a海里，则BE=AB-AE=100( +1)-a(海里).在Rt△ACE中，AEC=90EAC=60，AC= = =2a(海里)，CE=AEtan 60= a(海里).在Rt△BCE中，BE=CE，100( +1)-a= a， a=100(海里).AC=2a=200(海里).在△ACD和△ABC中，ACB=180-45-60=75ADC,CAD=BAC，△ACD∽△ABC， = ,即 = .AD=200( -1)(海里).答：A与C间的距离为200海里，A与D间的距离为200( -1)海里.(2)如图，过点D作DFAC于点F.在Rt△ADF中，DAF=60，DF=ADsin 60=200( -1) =100(3- )127100.船A沿直线AC航行，前往船C处途中无触礁危险.点拨：(1)解斜三角形的问题时，一般通过作高构造直角三角形求解;(2)已知两个直角三角形边长的和或边长的差，常通过列方程的方法解直角三角形.希望为大家提供的九年级下册数学第一章测试题的内容，能够对大家有用，更多相关内容，请及时关注!。
北师大版九年级数学下册 1.5 三角函数的应用 同步测试题(有答案)
故答案为．
14.
【答案】
【解答】
解：∵，，米，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴米∴学校要购买米的草皮才能正好铺满空地．
故答案为：．
15.
【答案】
【解答】
解：由于山路的坡角为度，则坡角的正弦值，
∴他在竖直方向上上升的高度（米）．
16.
【答案】
【解答】
解：在中，（米）．
17.
【答案】
【解答】
解：由已知得，
则斜坡的坡度．
故选.
10.
【答案】
A
【解答】
故选：．
二、
11.
【答案】
【解答】
解：在中
，
∴．
故答案为：．
12.
【答案】
海里/分
【解答】
解：作，
∵，，
∴海里，则海里，
在中，，
则，
解得，
在中，海里，
海里/分．
故答案为：海里/分．
13.
【答案】
【解答】
解：如图，在直角中，，，，
∴，．
在直角中，，，，
∴，
∴，
（参考数据：，，，．）
26.某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，．请求出点到的距离．
参考数据：，，
参考答案
一、
1.
【答案】
B
【解答】
解：如图，
由已知得：，，米．
∵，
∴ (米)．
故选．
2.
【答案】
D
【解答】
解：根据题意得：，
25.某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区，小明和小亮想测量“东州湖”东西两端、间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点的一点，并测得＝米，点位于点的北偏西方向，点位于点的北偏东方向．
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题（含答案,教师版）
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题（含答案,教师版）北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题1.如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(a，b)，则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是(D)A．(a－b，a) B．(b，a) C．(a－b，0) D．(b，0)2.如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，AD上且BE＝AF，则EF的最小值为(A)．A．B．．D3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C4.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C＋B′C5.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA ＝5，OC ＝3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为(－95，125)．7.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝4，BC ＝1，在运动过程中，点D 到点O8.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一动点．将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 落在点A ′处．在EF 上任取一点G ，连接GC ，GA ′，CA ′，则△CGA ′周长的最小值为9.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG ＝BD ，连接BG ，DF.(1)求证：四边形BDFG 为菱形；(2)若AG ＝13，CF ＝6，则四边形BDFG 的周长为20．证明：∵∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，∴BD ＝12AC.∵AG ∥BD ，BD ＝FG ，∴四边形BDFG 是平行四边形．∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG.又∵点D 是AC 中点，∴DF ＝12AC.∴BD ＝DF.∴四边形BDFG 是菱形．10.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，EF ＝EC ，且EF ⊥EC. (1)求证：AE ＝DC ； (2)若DC ＝2，则BE ＝2．证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EFA ＋∠AEF ＝90°. ∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°. ∴∠AEF ＋∠CED ＝90°. ∴∠EFA ＝∠CED. 在△AEF 和△DCE 中，∠A ＝∠D ，∠EFA ＝∠CED ，EF ＝CE ，∴△AEF ≌△DCE(AAS)．∴AE ＝DC.11.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F. (1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC. ∴∠ABE ＝∠CDF. ∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF. (2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD .12.如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC⊥CD ，连接BE ，CE ，CF.(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 周长的最小值．解：(1)四边形ABCE 是菱形，理由如下：∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD.∵BC ＝12AD ，∴AE ＝BC.∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 是平行四边形．∵AC ⊥CD ，点E 是AD 的中点，∴CE ＝AE ＝DE. ∴四边形ABCE 是菱形．(2)∵四边形ABCE 是菱形．∴AE ＝EC ＝AB ＝4，点A ，C 关于BE 对称．2AE＝2.∴当PA＋PF最小时，△PAF的周长最小，即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小．此时△PAF的周长为PA＋PF＋AF＝CF＋AF.∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°－30°＝60°.∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4.∵AF＝EF，∴CF⊥AE.∴CF＝AC2－AF2＝2 3.△PAF周长的最小值为CF＋AF＝23＋2.13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于点E，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D为AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.又∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形．14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP，交CE于点H.(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状，并说明理由；(2)求证：四边形AECF为平行四边形．解：(1)△PBC是等边三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，∴∠PBC＝60°.由折叠的性质，得PC＝BC.∴△PBC是等边三角形．(2)证明：由折叠的性质，得△EBC≌△EPC.∴BE＝PE.∴∠EBP＝∠EPB.∵E为AB的中点，∴BE＝AE.∴AE＝PE.∴∠EPA＝∠EAP.∵∠EBP ＋∠EPB ＋∠EPA ＋∠EAP ＝180°，∴∠EPB ＋∠EPA ＝90°. ∴∠BPA ＝90°，即BP ⊥AF.由折叠的性质，得BP ⊥CE ，∴AF ∥CE. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CF. ∴四边形AECF 为平行四边形．15.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MNDN的值．解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ENM ＝∠DNM ，又∵∠ANE ＝∠CND ，∴∠ANM ＝∠CNM. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC. ∴∠ANM ＝∠CMN. ∴∠CMN ＝∠CNM. ∴CM ＝CN.(2)过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形，∴HC ＝DN ，NH ＝DC. ∵S △CMN S △CDN ＝12MC ·NH12ND ·NH ＝MC ND＝3，∴MC ＝3ND ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x. ∴CM ＝CN ＝3x.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x. 在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x. ∴MN DN ＝23x x＝2 3. 16.在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，DE ＝EF ，过点D 作DG ⊥EF 于点H ，交AB 边于点G.(1)如图1，求证：DE ＝DG ；(2)如图2，将EF 绕点E 逆时针旋转90°得到EK ，点F 对应点K ，连接KG ，EG.若H 为DG 的中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG 长度相等的线段(不包括EG)．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，AD ∥BC ，∠DAG ＝∠DCE ＝90°. ∴∠DEC ＝∠EDF.∵DE ＝EF ，∴∠EFD ＝∠EDF. ∴∠EFD ＝∠DEC.∵DG ⊥EF ，∴∠GHF ＝90°. ∴∠DGA ＋∠AFH ＝180°. ∵∠AFH ＋∠EFD ＝180°，∴∠DGA ＝∠EFD ＝∠DEC. 在△DAG 和△DCE 中，∠DGA ＝∠DEC ，∠DAG ＝∠DCE ，DA ＝DC ，∴△DAG ≌△DCE(AAS)．∴DG ＝DE.(2)与线段EG 相等的线段有：DE ，DG ，GK ，KE ，EF.17.如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，线段BC 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP.(1)如图1所示，求证：AP ＝2OA ；(2)如图2所示，PQ 在BC 的延长线上，如图3所示，PQ 在BC 的反向延长线上，猜想线段AP ，OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°. ∵QO ⊥BD ，∴∠BOQ ＝90°. ∴∠BQO ＝∠CBD ＝45°.∴OB ＝OQ. ∵PQ ＝BC ，∴AB ＝PQ.在△ABO 和△PQO 中，OB ＝OQ ，∠ABO ＝∠PQO ，AB ＝PQ ，∴△ABO ≌△PQO(SAS)．∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ. ∵∠BOP ＋∠POQ ＝90°，∴∠BOP ＋∠AOB ＝90，即∠AOP ＝90°. ∴△AOP 是等腰直角三角形．∴AP ＝2OA.(2)当PQ 在BC 的延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA ；当PQ 在BC 的反向延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA.。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合题训练
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合压轴题专项训练试题1、如图,MN是表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心,500 米为半径的圆形区域为居民区,取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°,已知MB=400米,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?2、如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D 是BC的中点，且AD⊥BC.(1)求sin B的值；(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F.求支架DE的长．3、如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．4、小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图∶)，图∶是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O ，B ，D 两点立于地面，经测量：AB ＝CD ＝136 cm ，OA ＝OC ＝51 cm ，OE ＝OF ＝34 cm ，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段，且EF ＝32 cm (参考数据：sin 61.9°≈0.882，cos 61.9°≈0.471，tan 28.1°≈0.534)．(1)求证：AC ∶BD .(2)求扣链EF 与立杆AB 的夹角∶OEF 的度数(结果精确到0.1°)．(3)小红的连衣裙穿在晒衣架上的总长度达到122 cm ，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．5、如图，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的点B 处安置测角仪，在点A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°.已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长(结果保留根号)．6、如图，两条笔直的公路AB CD 、相交于点O ，AOC ∠为36°，指挥中心M 设在OA 路段上，与O 地的距离为18千米．一次行动中，王警官带队从O 地出发，沿OC 方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．【参考数据：sin360.59cos360.81tan360.73===°，°，°．】7、在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度和占地面积，如图1—136(1)所示，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为锐角θ，一般情况下，锐角θ愈小，楼梯的安全程度愈高，但占地面积较多，如图l—136(2)所示，为提高安全程度，把倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4 m，θ1＝40°，θ2＝36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少．(精确到0.01 m，参考数据：sin36°≈0.5878，cos36°≈0.8090，tan 36°≈0.7265，sin 40°≈0.6428，cos 40°≈0.7660，tan 40°≈0.8391)8、在旧城改造中，要拆除一烟囱AB，如图1—137所示，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现在从与B地水平距离相距(BD＝21米)21米远的建筑物CD的顶端C点测得A点的仰角为45°，B点的俯角为30°，现在离B点25米远的地方有一受保护的文物，则该文物是否在危险区内?试说明理由．，精确到0.01米)9、通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1，在∶ABC中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA ＝底边腰＝BC AB .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad 60°＝____________；(2)对于0°＜∶A ＜180°，∶A 的正对值sadA 的取值范围是____________；(3)如图2，已知sinA ＝35，其中∶A 为锐角，试求sadA 的值． 10、根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M 距离羲皇大道l (直线)的距离MN 为30米(如图8所示)．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从点A 行驶到点B 所用时间为6秒，∠AMN ＝60°，∠BMN ＝45°.(1)计算AB 的长；(2)通过计算判断此车是否超速．11、如图所示，港口B 位于港口O 正西方向120 km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60°的方向．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向(北偏西30°)以v km /h 的速度驶离港口O ，同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60 km /h 的速度驶向小岛C ，在小岛C 用1 h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？(2)若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ，求v 的值及相遇处与港口O 的距离．12、如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C 在AB 的延长线上，设想过C 点作直线AB 的垂线l ，过点B 作一直线(在山的旁边经过)，与l 相交于D 点，经测量∶ABD ＝135°，BD ＝800米，求直线l 上距离D 点多远的C 处开挖？(2≈1.414，结果精确到1米)13、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为 45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D 处（即 ∠，CD =400米），测得A 的仰角为，求山的高度AB ．14、如图，在南北方向的海岸线MN 上，有A ，B 两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A ，B 两船相距1003+1）海里，船C 在船A 的北偏东60°方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东75°方向上．（1）分别求出A 与C ，A 与D 间的距离AC 和AD （如果运算结果有根号，请保留根号）.（2）已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ，在23≈1.73）6015、如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i＝1∶，且AB＝30 m，李亮同学在大堤上A点处用高1.5 m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°，已知地面BC宽30 m，求高压电线杆CD的高度．(结果保留三位有效数字，≈1.732)16、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i＝1∶的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值)．17、如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BP Q的度数；(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m)．(参考数据：≈1.7，≈1.4)18、乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)．建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)．无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处的俯角为80°36′.(1)求主桥AB的长度；(2)若两观察点P，D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长度．(长度均精确到1 m，参考数据：3≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)。
九年级数学北师大版下册习题课件第一章1.6 利用三角函数测高
1．(5分)在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°(tan 27°≈0.
2为．_(_5_分_解_)_如__图：__，__过小_ 明m点．在楼A顶作上的A点EA处⊥测C得D楼前交一棵C树DC的D的延顶端长C的线俯角于为6点0°，E又，知水则平距A离EB＝D＝B10Cm，＝楼高78AB＝m24，m，则树高CD 8C．D∴之(15间分C的)E(距聊＝离城A中AC考为E)3如·5 图tma，，n后小站莹∠在在CM数点A学处E综测合＝得实7居践8民活t楼动anC中D，的5利8顶用°端所D≈的学7仰的8角数×为学14知5.°识6，对0＝居某民小1楼区2A居4B民.的8楼(顶mA端B)B的，的高仰度D角进E为行＝5测5°量A，，E已先·知测t居a得民n居楼民C楼DA的B高与
51解1．)：，(5过此分点时)在A旗“解作杆测A：在E量⊥水∵旗C平杆D在地交的面C高DR上度的t的”△ 延影的长子C数线的E学于长D课点度题E中为，学2则，习4Am中∠E，，＝则C某B旗CE学＝杆习D7的8小＝m高组，度5测∴8约得°C为太E(＝，阳A光tEa线·)tna与n ∠水∠C平AC面EE＝的D7夹8t角＝an为5CD82°7DE°≈7(t8，a×n 21∴7. °D≈0E. ＝tanC5D8°
解：过点 A 作 AH⊥CD 于点 H，设 CH＝x m，在 Rt△ACH 中，∵∠CAH＝
30°，∴BD＝AH＝tanC3H0° ＝ 3 x (m)，∴在 Rt△ECD 中，tan ∠CED＝ECDD
＝
x＋10 3x－6
＝
3
，解得 x＝5＋3
3 ，∴CD＝(15＋3
3 )(m)，∴CF＝CD－DF
解答题(共60分) 7．(14分)如图，AB是某景区内高10 m的观景台，CD是与AB底部相平的 一座雕像(含底座)，在观景台顶A处测得雕像顶C点的仰角为30°，从观景台 底部B处向雕像方向水平前进6 m到达点E，在E处测得雕像顶C点的仰角为 60°，已知雕像底座DF高8 m，求雕像CF的高．(结果保留根号)
北师大版九年级数学下册 1.6 三角函数的应用-测高问题(含答案)
北师大版九年级数学下册 1.6 三角函数的应用-测高问题一、单选题1．如图，小明在300米高的楼顶上点A处测得一塔的塔顶D与塔基C的俯角分别为30°和60°，则塔高CD 为（）A.100米B.1003米C.180米D.200米2．休闲广场的边缘是一个坡度为i＝1：2.5的缓坡CD，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB＝0.5m，B到缓坡底端C的距离BC＝0.7m．若秋千的长OA＝2m，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E约为（）（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）A．0.4m B．0.5m C．0.6m D．0.7m3．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米4．（2017重庆A卷第11题）如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．A.5.1米B.6.3米C.7.1米D.9.2米二、填空题5．学校两幢教学楼的高度AB=CD=20m, 两楼间的距离AC=15m，已知太阳光与水平线的夹角30°，则甲楼投在乙楼上的影子的高度为_____m高.（保留根号）6．如图所示，在两建筑物之间有一高为15米的旗杆，从高建筑物的顶端A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的底端墙角C点，且俯角a为60°，又从A点测得矮建筑物左上角顶端D点的俯角β为30°，若旗杆底部点G为BC的中点（点B为点A向地面所作垂线的垂足）则矮建筑物的高CD为_____．三、解答题7．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC＝1.3米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC．EF⊥EH于点E，已知AH＝22米，HF＝2米，HE＝1米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE的度数．（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）8．如图，王明站在地面B处用测角仪器测得楼顶点E的仰角为45°，楼顶上旗杆顶点F的仰角为55°，已知测角仪器高AB=1.5米，楼高CE=14.5米，求旗杆EF的高度（精确到1米）．（供参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4．）9．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：c ， c ， c ， c ．（结果精确到0.1）（1）如图2，，．①填空：_________°；②求投影探头的端点到桌面的距离．（2）如图3，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为c 时，求的大小．（参考数据：sin，cos，sin，cos）10．如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．求楼间距AB的长度为多少米？（参考数据：sin32.3°＝0.53，cos32.3°＝0.85，tan32.3°＝0.63，sin55.7°＝0.83，cos55.7°＝0.56，tan55.7°＝1.47）11．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4）12．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3＝1.73）13．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m ．（1）求∠CAE 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度？ （结果精确到个位，参考数据：2 1.4≈，3 1.7≈，6 2.4≈）．14．随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为 开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测 量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30°，测得瀑布底端 B 点的俯角是 10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 CG=27m ，GF=17.6m （注：C 、G 、F 三点在同一直线上，CF ⊥AB 于点 F ）．斜坡 CD=20m ， 坡角∠ECD=40°．求瀑布 AB 的高度．（参考数据：3≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）15．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC 垂直于地面AB ，P 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为PDE ∆，F 为PD 中点， 2.8AC m =，2PD m =，1CF m =，20DPE ∠=.当点P 位于初始位置0P 时，点D 与C 重合（图2）.根据生活经验，当太阳光线与PE 垂直时，遮阳效果最佳.（1）上午10:00时，太阳光线与地面的夹角为65（图3），为使遮阳效果最佳，点P 需从0P 上调多少距离？（结果精确到0.1m ）（2）中午12:00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P 在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 700.94≈，cos 700.34≈，tan 70 2.75≈，2 1.41≈，3 1.73≈）16．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC 的高为11米，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A =120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18米，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=34，求灯杆AB 的长度．17．如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24米，小明在点E （B ，E ，D 在一条直线上）处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8米到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB 的高度AB 长．（精确到0.1米）参考值：2≈1.41，3≈1.73．18．如图，在某街道路边有相距10m 、高度相同的两盏路灯（灯杆垂直地面），小明为了测量路灯的高度，在地面A 处测得路灯PQ 的顶端仰角为14°，向前行走25m 到达B 处，在地面测得路灯MN 的顶端仰角为24.3°，已知点A ，B ，Q ，N 在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin24.3°≈0.41，cos24.3°≈0.91，tan24.3°≈0.45）19．如图，在大楼AB 的正前方有一斜坡CD ，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的点D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A 、C 、E 在同一直线上．（1）求斜坡CD 的高度DE ；（2）求大楼AB 的高度（结果保留根号）20．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m 的标语牌，即3CD m =．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D 到地面的距离．测角仪支架高 1.2AE BF m ==，小明在E 处测得标语牌底部点D 的仰角为31︒，小红在F 处测得标语牌顶部点C 的仰角为45︒，5=AB m ，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D 到地面的距离DH 的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，H 在同一平面内）（参考数据：tan 310.60︒≈，sin 310.52︒≈，cos310.86)︒≈21．如图，为了测量建筑物AB 的高度，在D 处树立标杆CD ，标杆的高是2m .在DB 上选取观测点E 、F ，从E 测得标杆和建筑物的顶部C 、A 的仰角分别为58、45，从F 测得C 、A 的仰角分别为22、70.求建筑物AB 的高度（精确到0.1m ） .（参考数据：tan 220.40≈，tan 58 1.60≈，tan 70 2.75≈.）22．小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量．如图，他在山坡坡脚P 处测得古塔顶端M 的仰角为60︒，沿山坡向上走25m 到达D 处，测得古塔顶端M 的仰角为30︒．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助小明计算古塔的高度ME ．（结果精确到0.1m ，参考数据：3 1.732≈）23．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30º，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）24．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰i=角为60，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30(A、B、D、E在同一直线上)．然后，小明沿坡度1:1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号)；(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，2 1.41≈，≈)．3 1.7325．某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°．（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m）（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m）（cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）i 的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，26．如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度1:2CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45，然后沿坡面CF上行了205米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30，求楼AB的高度．27．（2017四川省达州市）如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为25米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）28．如图，小明在教学楼的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高．现测得树顶C处的俯角为45°，树底D 处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为10米．请你帮助小明计算树的高度（精确到0.1米）．29．（2017湖北省鄂州市）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．30．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：3=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）参考答案1．D【解析】【分析】构造AD为斜边的直角三角形，利用直角三角形的性质以及相应的三角函数求出CE、DE的长，进而求解即可【详解】解：延长CD交过A的水平线于点E．∵在300m高的峭壁上测得一塔的塔基的俯角为60°．∴BC＝3003．易得AE＝3003，CE＝AB＝300．∵在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶的俯角分别为30°，且BC＝3003．∴DE＝100 ∴CD＝200．故选：D．本题考查了解直角三角形的应用以及仰角俯角问题，熟练掌握相关概念是解题关键 2．D 【解析】 【分析】延长OA 与BC 交于点B ，延长A 'E ，与BC 的延长线交于点F ，过点A '作A 'H ⊥OB 于点H ． 根据三角函数得到AH ，HB ，进而得到CF ，由1=2.5EF CF ，进行计算即可得到答案. 【详解】解：如图，延长OA 与BC 交于点B ，延长A 'E ，与BC 的延长线交于点F ，过点A '作A 'H ⊥OB 于点H ．在Rt △OHA '中，=cos370.8OHOA ︒=、，=sin370.6A HOA ︒=、、， ∴OH ＝0.8OA '＝0.8×2＝1.6（m ），A 'H ＝0.6OA '＝0.6×2＝1.2（m ），∴AH ＝OA ﹣OH ＝2﹣1.6＝0.4（m ），HB ＝HA +AB ＝0.4+0.5＝0.9（m ），A 'F ＝HB ＝0.9（m ），BF ＝HA '＝1.2m ， ∴CF ＝BF ﹣BC ＝1.2﹣0.7＝0.5（m ）， 在Rt △EFC 中， 1=2.5EF CF ， EF ＝25CF ＝25×0.5＝0.2（m ），∴A 'E ＝A 'F ﹣EF ＝0.9﹣0.2＝0.7（m ）【点睛】本题考查三角函数，解题的关键是掌握三角函数的计算及实际应用.3．A【解析】【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°= AMEM，构建方程即可解决问题.【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵140.753CNDN==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=AM EM，∴0.45=866AB +，∴AB=21.7（米），故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4．A【解析】如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE=PQ=2，CQ=PE，∵i=140.753 CQBQ==，∴设CQ=4x、BQ=3x，由BQ² +CQ²=BC²可得(4x)²+(3x)²=102，解得：x=2或x=−2(舍)，则CQ=PE=8，BQ=6，∴DP=DE+PE=11，在Rt△ADP中,∵AP=11tan tan40DPA=∠︒≈13.1，∴AB=AP−BQ−PQ=13.1−6−2=5.1，故选：A.点睛：此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．5．2053-【解析】【分析】延长MB与CD交于E点，过E作EF垂直于AB与点F，由题意得∠E=∠MBN=30°，在Rt△BEF中，可求出BF，则EC=AF=AB-BF.【详解】如图所示，延长MB与CD交于E点，过E作EF垂直于AB与点F，由题意得∠E=∠MBN=30°，EF=AC=15m，在Rt△BEF中3BF=EF tan E=15=533∠⨯，∴EC=AF=AB-BF=20-53.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.6．20米【解析】【分析】根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC和在Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD的长度．【详解】解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是BC中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB＝2EG＝30米，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝ABtan∠BAC＝30×＝10米．在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝10米，∴FD＝AF•tanβ＝10×＝10米，∴CD＝AB﹣FD＝30﹣10＝20米．故答案为：20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度.7．（1）45°；（2）2.75米【解析】【分析】（1）由cos∠FHE＝HEHF＝22可得答案；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，据此知GM＝AB，HN＝EG，Rt△ABC中，求得AB＝BC tan60°＝1.33；Rt△ANH中，求得HN＝AH sin45°＝12；根据EM＝EG+GM可得答案．【详解】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝HEHF＝12＝22，∴∠FHE＝45°．答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，∴GM＝AB，HN＝EG，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝AB AC，∴AB＝BC tan60°＝1.3×3＝1.33（米），∴GM＝AB＝1.33（米），在Rt△ANH中，∠F AN＝∠FHE＝45°，∴HN＝AH sin45°＝22×22＝12（米），∴EM＝EG+GM＝12+1.33≈2.75（米）．答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75米．故答案为：（1）45°；（2）2.75米．【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．8．5米.【解析】【详解】易知四边形ABCD为矩形，CD＝AB＝1.5米，∴DE＝CE－AB＝13．在Rt△ADE中，∵∠EAD＝45°，AD＝DE＝13米，在Rt△ADF中，∠FAD＝55°，DF＝AD·tan55°＝13×1.4＝18.2，∴EF＝DF－DE＝18.2－13＝5.2≈5（米）．答：旗杆EF的高约为5米．【点睛】本题考查三角函数，解答本题要求考生掌握三角函数的定义，利用三角函数的定义来做题，要会做有关三角函数的题.9．（1）①160°，② c ;(2) 当投影探头的端点到桌面的距离为c 时，为33.2°．【解析】【分析】（1）①过点作，根据平行线的性质解答便可；②过点作于点，解直角三角形求出，进而计算使得结果；（2）过点于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，求出，再解直角三角形求得便可．【详解】解：（1）①过点作，如图1，则，，，，，故答案为：160；②过点作于点，如图2，则sin sin，投影探头的端点到桌面的距离为：；（2）过点于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，如图3，则，，，，，，sin，，．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．10．50m．【解析】【分析】如图，作CM⊥PB于M，DN⊥PB于N．则AB=CM=DN，设EM＝xm，AB＝DN＝CM＝ym．根据题中所给角度的正切构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，作CM⊥BE于M，DN⊥BE于N．则四边形CDNM是矩形，设EM＝xm，AB＝DN＝CM＝ym．在Rt △CEM 中，∵tan ∠ECM ＝EMCM＝0.63， ∴xy＝0.63 ①， 在Rt △DEN 中，∵tan ∠EDN ＝ENDN＝1.47， ∴42x y+＝1.47 ②， 由①②可得y ＝50，答：楼间距AB 的长度为50m ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型. 11．云梯需要继续上升的高度BC 约为9米. 【解析】 【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD ∆中，求得AD 的长；在Rt ACD ∆中，求得CD 的长，根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长. 【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，∵CN EF ⊥ ， ∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒， ∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米. ∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=（米）， 由题意可知，45BAD ∠=︒，65CAD ∠=︒， ∵AD BC ⊥， ∴90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan BDBAD AD∠=， ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒（米）.在Rt ACD ∆中，tan CDCAD AD∠=， ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=（米）. ∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈（米）. 答：云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．12．旗杆AB的高度约等于8.2m【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，设BM=x，根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】过点C作CE AB⊥于点E，2 CD=，1 tan3CMD∠=，6MD∴=，设BM x=，6BD x∴=+，60AMB∠=︒，30BAM∴∠=︒，3AB x∴=，已知四边形CDBE是矩形，2BE CD∴==，6CE BD x==+，32AE x∴=-，在Rt ACE∆中，tan30AECE︒=，∴13263x x -=+， 解得：33x =+， 33338.2AB x m ∴==+≈【点睛】此题考查解直角三角形的应用，矩形的性质，锐角三角函数的定义，解题关键在于作辅助线和列出方程组. 13．（1）75°；（2）这棵大树折断前高约10米． 【解析】 【分析】（1）延长BA 交EF 于点G ，根据直角三角形的性质求出∠GAE 的度数，再由补角的定义即可得出结论； （2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为H ，在△ADH 中，利用锐角三角函数的定义求出DH 的长，同理可得出AC 的长，由AB ＝AC ＋CD 即可得出结论． 【详解】（1）延长BA 交EF 于点G ，在Rt AGE 中，E 23∠=︒， ∴GAE 67∠=︒． 又∵BAC 38∠=︒，∴CAE 180673875∠=︒-︒-︒=︒； （2）过点A 作AH CD ⊥，垂足为H ，在ADH 中，ADC 60AD 4∠=︒=，，DHcos ADC AD∠=， ∴DH 2=．AHsin ADC AD∠=， ∴AH 23=，在Rt ACH 中，C 180756045∠=︒-︒-︒=︒， ∴AC 26=，CH AH 23==．∴AB AC CD 2623210=+=++≈（米）． 答：这棵大树折断前高约10米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．14．瀑布AB 的高度约为45.4 米．【解析】【分析】过点D 作DM⊥CE，交CE 于点M，作DN⊥AB，交AB 于点N，在Rt△ CMD 中，通过解直角三角形可求出CM 的长度，进而可得出MF、DN 的长度，再在Rt△BDN、Rt△ADN 中，利用解直角三角形求出BN、AN 的长度，结合AB=AN+BN 即可求出瀑布AB 的高度．【详解】如图，过点D 作DM⊥CE，交CE 于点M，作DN⊥AB，交AB 于点N，在Rt△CMD 中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°，∴CM=CD•cos40°≈15.4 ，DM=CD•sin40°≈12.8 ，∴DN=MF=CM+CG+GF=60m，在Rt△BDN 中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m，∴BN=DN•tan10°≈10.8 ，在Rt△ADN 中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m，∴AN=DN•tan30°≈34.6 ，∴AB=AN+BN=45.4m，答：瀑布 AB 的高度约为 45.4 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题、坡度坡角问题，添加辅助线构造直角三角形，求出 AN 、BN 的长度是解题的关键．15．（1）点P 需从0P 上调0.6m ；（2）点P 在（1）的基础上还需上调0.7m . 【解析】【分析】（1）如图2，当点P 位于初始位置0P 时，02CP m =. 10:00时，太阳光线与地面的夹角为65，点P上调至1P 处，165CPE ∠=.11145.1,45CPF CF PF m C CPF ∠===∠=∠=,1 CPF ∆为等腰直角三角形，12CP m =，即可求出点P 需从0P 上调的距离. （2）中午12:00时，太阳光线与PE ，地面都垂直，点P 上调至2P 处，过点F 作2FG CP ⊥于点G ，22cos7010.340.34GP P F m =⋅=⨯=，2220.68CP GP m ==，根据1212PP CP CP =-即可求解.【解答】（1）如图2，当点P 位于初始位置0P 时，02CP m =. 如图3，10:00时，太阳光线与地面的夹角为65，点P 上调至1P 处，190∠=，90CAB ∠=，∴1115APE ∠=， ∴165CPE ∠=. ∵120DPE ∠=，∴145CPF ∠=. ∵11CF PF m ==，∴145C CPF ∠=∠=， ∴1CPF ∆为等腰直角三角形，∴12CP m =，∴0101220.6P P CP CP m =-=-≈，即点P 需从0P 上调0.6m .（2）如图4，中午12:00时，太阳光线与PE ，地面都垂直，点P 上调至2P 处， ∴2//P E AB .∵90CAB ∠=，∴290CP E ∠=.∵220DP E ∠=，∴22270CP F CP E DP E ∠=∠-∠=.∵21CF P F m ==，得2CP F ∆为等腰三角形，∴270C CP F ∠=∠=. 过点F 作2FG CP ⊥于点G ，∴22cos7010.340.34GP P F m =⋅=⨯=， ∴2220.68CP GP m ==，∴121220.680.7PP CP CP m =-=-≈，即点P 在（1）的基础上还需上调0.7m .【点评】考查等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练运用三角函数是解题的关键.可以数形结合.16．灯杆AB的长度为2米．【解析】分析：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．设BF=3x知EF=4x、DF=BFtan BDF∠，由DE=18求得x=4，据此知BG=BF-GF=1，再求得∠BAG=∠BAC-∠CAG=30°可得AB=2BG=2．详解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．由题意得∠BDE=α，tan∠β=34．设BF=3x，则EF=4x在Rt△BDF中，∵tan∠BDF=BF DF，∴DF=31=62BF xx tan BDF=∠，∵DE=18，∴12x+4x=18． ∴x=4． ∴BF=12，∴BG=BF-GF=12-11=1， ∵∠BAC=120°，∴∠BAG=∠BAC-∠CAG=120°-90°=30°． ∴AB=2BG=2，答：灯杆AB 的长度为2米．点睛：本题主要考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．17．教学楼AB 的高度AB 长13.3m ． 【解析】 【分析】如图，延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M ，由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m ，HF=GE=8m ，MF=BE ，HN=GD ，MN=BD=24m ，设AM=xm ，则CN=xm ，在Rt △AFM 中，可得MF=x ，在Rt △CNH 中，可得HN=3x ，根据HF=MF+HN ﹣MN 可得关于x 的方程，解方程求得x 的值，继而可求得AB 的值. 【详解】延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M ，如图所示，由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m ，HF=GE=8m ，MF=BE ，HN=GD ，MN=BD=24m ， 设AM=xm ，则CN=xm ， 在Rt △AFM 中，MF=tan 451AM x=︒=x ，在Rt △CNH 中，HN=3tan 3033CN xx==︒， ∴HF=MF+HN ﹣MN=x+3x ﹣24，即8=x+3x ﹣24， 解得，x≈11.7， ∴AB=11.7+1.6=13.3m ，答：教学楼AB 的高度AB 长13.3m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键. 18．路灯的高度约为8.4m ． 【解析】 【分析】设PQ ＝MN ＝xm ，根据正切的定义分别用x 表示出AQ 、BN ，根据题意列式计算即可． 【详解】解：设PQ ＝MN ＝xm ，在Rt △APQ 中，tanA ＝PQAQ， 则AQ ＝tan x A ≈0.25x＝4x ，在Rt△MBN中，tan∠MBN＝MN BN，则BN＝tan MNMBN≈0.45x＝209x，∵AQ+QN＝AB+BN，∴4x+10＝25+209x，解得，x≈8.4，答：路灯的高度约为8.4m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．19．（1）2米；（2）（6+4）米.【解析】【分析】（1）在在Rt△DCE中，利用30°所对直角边等于斜边的一半，可求出DE=2米；（2）过点D作DF⊥AB于点F，则AF=2，根据三角函数可用BF表示BC、BD，然后可判断△BCD是Rt△，进而利用勾股定理可求得BF 的长，AB的高度也可求.【详解】（1）在Rt△DCE中，∠DEC=90°，∠DCE=30°，∴DE=DC=2米；（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，则AF=DE=2米.∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，∴BF=DF.设BF=DF=x米，则AB=（x+2）米，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，∴sin∠BCA=，∴BC=AB÷sin∠BCA=（x+2）÷=米，在Rt△BDF中，∠BFD=90°，米，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠DCB=90°.∴，解得： 或 (舍) ，则AB=米．考点：1特殊直角三角形；2三角函数；3勾股定理. 20．能，点D 到地面的距离DH 的长约为13.2m ． 【解析】 【分析】延长EF 交CH 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到CN NF =，根据正切的定义求出DN ，结合图形计算即可． 【详解】 能，理由如下：延长EF 交CH 于N ， 则90CNF ∠=︒，45CFN ∠=︒， CN NF ∴=，设DN xm =，则(3)NF CN x m ==+， 5(3)8EN x x ∴=++=+，在Rt DEN ∆中，tan DNDEN EN∠=，则tan DN EN DEN =∠，0.6(8)x x ∴≈+，解得，12x =，则12 1.213.2()DH DN NH m =+=+=， 答：点D 到地面的距离DH 的长约为13.2m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．建筑物AB 的高度约为5.9m . 【解析】分析：在Rt CED 中,用三角函数表示DE 的长度, 在Rt CFD 中，用三角函数表示出DF 的长度,从而得到22tan22tan58EF =-,同理得tan45tan70AB ABEF =-,建立等量关系,求出即可. 详解：在Rt CED 中，58CED ∠=，∵tan58CDDE=. ∴2tan58tan58CD DE ==.在Rt CFD 中，22CFD ∠=，∵tan22CDDF=∴2tan22tan22CD DF ==. ∴22tan22tan58EF DF DE =-=-. 同理tan45tan70AB ABEF BE BF =-=-. ∴22tan45tan70tan22tan58AB AB -=-. 解得()5.9m AB ≈.因此，建筑物AB 的高度约为5.9m .点睛：此题主要考查了仰角与俯角问题，根构造两个直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力. 22．古塔的高度ME 约为39.8m ． 【解析】 【分析】作DC EP ⊥交EP 的延长线于点C ，作DF ME ⊥于点F ，作PH DF ⊥于点H ，先在Rt △DCP 中利用已知条件利用勾股定理求出DC 和PC 的长，从而可得DH 和EF 的长，设MF y =，分别在Rt △MPE 和Rt △MFD 中根据60°和30°的三角函数用y 的代数式表示出PE 和DF ，再根据PE 、DF 和DH 的关系列出方程，解方程后即可求出结果. 【详解】解：作DC EP ⊥交EP 的延长线于点C ，作DF ME ⊥于点F ，作PH DF ⊥于点H ，则DC PH FE ==，DH CP =，HF PE =，设3DC x =，∵3tan 4θ=，∴4CP x =， 由勾股定理得，222PD DC CP =+，即22225(3)(4)x x =+，解得，5x =，则315DC x ==，420CP x ==， ∴20DH CP ==，15FE DC ==， 设MF y =，则15ME y =+，在Rt MDF V 中，tan MF MDF DF∠=，则3tan 30MFDF y ==o ， 在Rt MPE V 中，tan ME MPE PE ∠=，则3(15)tan 603ME PE y ==+o ， ∵DH DF HF =-，∴33(15)203y y -+=，解得，7.5103y =+， ∴7.51031539.8ME MF FE =+=++≈. 答：古塔的高度ME 约为39.8m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和仰角、坡度等概念，熟练掌握锐角三角函数的定义、灵活运用数形结合和方程的思想是解题的关键. 23．13米. 【解析】试题分析：根据矩形性质得出DG=CH ，CG=DH ，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可． 试题解析：如图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DH ⊥CE 于H ，则四边形DHCG 为矩形． 故DG=CH ，CG=DH ， 在直角三角形AHD 中， ∵∠DAH=30°，AD=6，∴DH=3，AH=33， ∴CG=3， 设BC 为x ，在直角三角形ABC 中，AC=tan BAC BC ∠=x1.11，∴DG=33+x1.11，BG=x ﹣3， 在直角三角形BDG 中，∵BG=DG•tan30°，∴x ﹣3=（33+x 1.11）33⋅解得：x≈13，∴大树的高度为：13米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．24．(1)点F 到地面的距离为23米；(2)宣传牌的高度约为4.3米．【解析】 【分析】(1)过点F 作FG EC ⊥于G ，依题意知FG DE ，DF GE P ，90FGE ∠=o ；得到四边形DEFG 是矩形；根据矩形的性质得到FG DE =；解直角三角形即可得到结论； (2)解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：(1)过点F 作FG EC ⊥于G ，依题意知FG DE ，DF GE P ，90FGE ∠=o ； ∴四边形DEFG 是矩形； ∴FG DE =； 在Rt CDE ∆中，tan DE CE DCE =⋅∠； 6tan 3023=⨯=o (米)；∴点F 到地面的距离为23米； (2)∵斜坡CF ：1:1.5i =．∴Rt CFG ∆中， 1.523 1.533CG FG ==⨯=，∴336FD EG ==+． 在Rt BCE ∆中，tan 6tan 6063BE CE BCE =⋅∠=⨯=o ．∴AB AD DE BE =+-．336236363 4.3=++-=-≈(米)．答：宣传牌的高度约为4.3米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．25．（1）甲楼的高度为18.60m ，彩旗的长度为36.05m ；（2）乙楼的高度为31.25m ，甲乙两楼之间的距离为37.20m ． 【解析】试题分析：（1）在直角三角形ABE 中，利用锐角三角函数定义求出AE 与BE 的长即可；（2）过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于M ，在直角三角形GMF 中，利用锐角三角函数定义表示出GM 与GD ，设甲乙两楼之间的距离为xm ，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 试题解析：解：（1）在Rt △ABE 中，BE =AB •tan31°=31tan31°≈18.60，AE =cos31AB =31cos31≈36.05，则甲楼的高度为18.60m ，彩旗的长度为36.05m ；（2）过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于M ，在Rt △GMF 中，GM =FM •tan19°，在Rt △GDC 中，DG =CD •tan40°，设甲乙两楼之间的距离为xm ，FM =CD =x ，根据题意得：x tan40°﹣x tan19°=18.60，解得：x =37.20，则乙楼的高度为31.25m ，甲乙两楼之间的距离为37.20m ．点睛：此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键． 26．楼AB 的高度为()50303+米．。
北师大版九年级数学上册第一单元测试题含答案
北师大版九年级数学上册第一单元测试题含答案北师大版九年级数学上册第一章测试题及答案一、选择题(每题3分，共30分)1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是()A．四条边相等，四个角相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分2.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于()A．20B．15C．10D．53.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的() A．1/5B．1/4C．1/3D．1/104.如图，菱形ABCD的周长为24 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于()A．3 cmB．4 cmC．2.5 cmD．2 cm5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为()A．3B．2√2C．6D．3√26.顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是()A．菱形B．对角线互相垂直的四边形C．矩形D．对角线相等的四边形7.如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°8.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF等于() A．75°B．45°C．60°D．30°9.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是() A．AF=AEB．△ABE≌△AGFC．EF=25D．AF=EF10.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，△AEF是等边三角形，连接XXX于点G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S△CEF=2S△ABE。
北师大版2020-2021九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元基础过关测试题(附答案详解)
∵AC=6 ，∠C=45°
∴AD=AC⋅sin45°=6 × =6，
∵tan∠ABC=3，
∴ =3，
∴BD= =2，
故选A．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，三角函数的知识，熟记知识点是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出第三边，再根据正切函数的定义求出较小锐角的正切值．
【详解】
（2）用公式法解方程：3x2+2x-1=0.
26．在△ABC中，∠C=90°，BC= AC，求∠B的度数（精确到1″）．
27．如图，我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为1000米，山高为565米，如果这辆坦克能够爬30°的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？
【解析】
试题分析：2 ≈2×9.3274=18.6548，
tan87°≈19.0811，
∵18.6548＜19.0811，
∴2 ＜tan87°．
故答案为＜．
点睛：本题考查了计算器的使用，要注意一般保留小数点后4位．
12．42
【解析】
试题解析：过点 作 于点D,
∴由勾股定理可知：
的面积为：
故答案为
13．30°
12．如图，在 中， ， ， ，则 的面积为________．
13．某水库大坝，其坡面AB的坡度i=1∶ ，则斜坡AB的坡角的度数为____°.
14．坡角为α=60°，则坡度i=_____．
15．小明沿着坡度为1： 的坡面向下走了20米的路，那么他竖直方向下降的高度为_____．
16．如图，在高 米，坡角为 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要________米．（精确到 米）