高二数学选修测试题含答案经典
高二数学选修2-3测试题
考试时间120分钟 试卷满分150分
一、选择题（本题共12小题，每天5分）
１.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下，则q 等于( )
X －1 0 1
P
0.5
1－2q
q 2
A ．1
B ．1±
2 C ．1－2
D ．1＋
22
２.已知(12)n x -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇次项的系数和为（ ）
A.10132- B ．12
132
- C ．102 D ．92
３.设两个正态分布N （μ1，σ12）（σ1＞0）和N （μ2，σ22）（σ2＞0）曲线如图所示，则有（ ）
． μ1>μ2，σ1<σ2 B ． μ1＜μ2，σ1＜σ2
C ． μ1＞μ2，σ1＞σ2
D ． μ1<μ2，σ1>σ2
４.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A ．1 B.
2111 C. 2110 D. 21
5
５.2
5
()x x y ++的展开式中，5
2
x y 的系数为( )
（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60
６.一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率为（假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能的）（ ） A.
1
2
B.
14
C.
13
D.
23
７.有5位旅客随机的去甲、乙、丙三个旅馆住宿，每位旅客选择去哪个旅馆是相互独立的，设其中选择去甲旅馆的旅客人数为X ，则X 的期望值是（ ）
A.
43
B.
53
C.2
D. 3
８. 以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是 （ ） A ．3
4C B ．3
71
8C C C ．3
71
8C C -6
D ． 124
8-C
９．已知某批零件的长度误差X （单位：毫米）服从正态分布()
2,N μσ，且已知当X=0
时，其密度函数有最大值
32π
，现从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内
的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2
,N μσ
，则
()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=。）
（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74% 10．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的
概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) （A ）0.648
（B ）0.432
（C ）0.36
（D ）0.312
11. 已知某类型的高射炮在它们控制的区域内击中具有某种速度敌机的概率为
1
5
，要使敌机一旦进入这个区域内有90%以上的概率被击中，至少需要布置高射炮的门数是（ ）（参考数据lg 20.301=，lg30.4771=）
（A ）8个 （B ）9个 （C ）10个 （D ）11个
12.某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（ ） （A ） （B ）
12 （C ）58 （D ）18
二、填空题（本题共4小题，每题5分） 13.若（a x 2x
）5的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 14.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，
()20D X =，则p = .
15.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的,4位数，其中偶数 的个数为 .
16.有一小球从如图管道的入口V 处落下，在管道的每一个节点等可能地选择路径，则小球最后落到C 点处的概率是 ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.（本小题10分）已知()(1)(1)()m n f x x x m n *=+++∈N ，的展开式中x 系数为19，求()
f x 的展开式中2x 的系数的最小值．
18. （本小题12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次
抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.
19.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，
则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为2
3，乙获胜的概率为
1
3，各局比
赛结果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．
20.某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的
本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
21.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机
器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I ）求X 的分布列； （II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；
（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？
22.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年．入流量．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 年入流量X 40
可运行台数
1 2 3
损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
高二数学选修2-3测试题答案
考试时间120分钟 试卷满分150分
１.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下，则q 等于( C )
X －1 0 1
P
0.5
1－2q
q 2
A ．1
B ．1±
2 C ．1－2
D ．1＋
22
２.已知(12)n x -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇次项的系数和为（ A ）
A.10132- B ．12
132
- C ．102 D ．92
３.设两个正态分布N （μ1，σ12）（σ1＞0）和N （μ2，σ22）（σ2＞0）曲线如图所示，则有（ D ）
A μ1>μ2，σ1<σ2
B ． μ1＜μ2，σ1＜σ2
C ． μ1＞μ2，σ1＞σ2
D ． μ1<μ2，σ1>σ2
４.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ B ） A ．1 B.
2111 C. 2110 D. 21
5
５.2
5
()x x y ++的展开式中，5
2
x y 的系数为( Ｃ )
（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60
６.一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率为（假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能的）（ D ） A.
1
2
B.
14
C.
13
D.
23
７.有5位旅客去甲、乙、丙三个旅馆住宿，每位旅客选择去哪个旅馆是相互独立的，设其中选择去甲旅馆的旅客人数为X ，则X 的期望值是（ B ）
A.
43
B.
53
C.2
D. 3
８.以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是 （ D ） A ．3
4C
B ．3
71
8C C
C ．3
718C C -6
D ． 124
8-C
９．已知某批零件的长度误差X （单位：毫米）服从正态分布()
2,N μσ，且已知当X=0
时，其密度函数有最大值
32π
，现在从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）
内的概率为（B ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2
,N μσ ，则
()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=。）
（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74% 10．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A )
（A ）0.648
（B ）0.432
（C ）0.36
（D ）0.312
11. 已知某类型的高射炮在它们控制的区域内击中具有某种速度敌机的概率为
1
5
，要使敌机一旦进入这个区域内有90%以上的概率被击中，至少需要布置高射炮的门数是（D ）（参考数据lg 20.301=，lg30.4771=）
（A ）8个 （B ）9个 （C ）10个 （D ）11个
12.某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（A ） （A ） （B ）
1
2
（C ）
58 （D ）18
13.若（a x 2x
5的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______.－２ 14.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，
()20D X =，则p = . 1
3
15.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的,4位数， 其中偶数的个数为 .156
16.有一小球从如图管道的入口V 处落下，在管道的每一个节 点等可能地选择路径，则小球最后落到C 点处的概率是 ．38
17.已知()(1)(1)()m n f x x x m n *=+++∈N ，的展开式中x 的系数为19，求()f x 的展开式中2
x V
A C
D
B （第16题）
的系数的最小值．
x 的系数为191
1=+=+n m C C n m
2x 的系数为2
)
1(2)1(22
++
+=
+n n m m C C
n m 4361
171)219171192)
-18)(19()1(22-
+-=+-=-++=
m m m m m m m （
因为n m ,为正的自然数，所以当81)9,10(10,92的系数为时，或x n m n m ====
18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.
试题解析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝
1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝
，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，
2B =12A A +12A A ，12C B B =+，
∵142()105P A =
=，251()102P A ==，∴11212211
()()()()525
P B P A A P A P A ===?=， 2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-
21211
(1)(1)52522
=?-+-?=，故所求概率为
1212117
()()()()5210
P C P B B P B P B =+=+=+=；
（2）顾
19.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为1
3，各局比赛结
果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．
．解： 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝1
3
，k ＝1，2，3，4，5.
(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋
P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝????232＋13×????232＋23×13×????232＝5681
.
(2)X 的可能取值为2，3，4，5.
P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝5
9，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋
P (A 1B 2B 3)＝
P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝2
9
，
P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081
， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝8
81.
故X 的分布列为
EX ＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝224
81.
20.某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55
P A P A =-=-+=．
⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，()0.100.053
()()0.5511
P AB P B A P A +=
==． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ．
平均保费
0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =?++?+?+?+?
0.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=， ∴平均保费与基本保费比值为1.23．
21.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机
器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足
再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；
（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；
（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？
解：⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11
记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =
由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B == 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22
()()()11160.20.20.04P X P A P B ===?=
()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=?+?=
()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=?+?+?=()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2
P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=?+?+?0.20.40.24+?=
()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=?+?+?=()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=?+?=
()()()44220.20.20.04P x P A P B ===?=
X 16
17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
⑵ 要令()0.5P x n ≤≥，0.040.160.240.5++ 则n 的最小值为19 ⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用 当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040?+?+?+?= 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080?+?+?= 所以应选用19n = 22.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入．．流量．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． (1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ ．解：(1)依题意，p 1＝P (40 50 ＝0.2， p 2＝P (80≤X ≤120)＝35 50＝0.7， p 3＝P (X >120)＝5 50 ＝0.1. 由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4×0.93 ×0.1＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形． 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000×1＝5000. ②安装2台发电机的情形． 依题意，当40 所以，E (Y )＝4200×0.2＋③安装3台发电机的情形． 依题意，当40 所以，E(Y)＝3400× 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．