高中数学人教B版选修2-2课件：本章整合1
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-2)教师用书：第1章 导数及其应用 1.2.1、1.2.2
1.2 导数的运算1．2.1 常数函数与幂函数的导数 1．2.2 导数公式表及数学软件的应用1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数．(难点) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1 几个常用函数的导数 阅读教材P 14～P 15，完成下列问题．【答案】 0 1 2x －1x2判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝x 3＋2，则y ′＝3x 2＋2.( ) (2)若y ＝1x ，则y ′＝1x2.( ) (3)若y ＝e ，则y ′＝0.( )【解析】(1)由y＝x3＋2，∴y′＝3x2.(2)由y＝1x，∴y′＝－1x2.(3)由y＝e，∴y′＝0.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2基本初等函数的导数公式阅读教材P17，完成下列问题．【答案】0 nx n－1μxμ－1a x ln a e x1xln a1xcos x－sin x1．给出下列命题：①y＝ln 2，则y′＝1 2；②y＝1x2，则y′＝－2x3；③y＝2x，则y′＝2x ln 2；④y＝log2x，则y′＝1 xln 2.其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.【答案】 C2．若函数f (x )＝10x ，则f ′(1)等于( ) A.110 B ．10 C ．10ln 10D.110ln 10【解析】 ∵f ′(x )＝10x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10. 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x3；(4)y ＝3x ；(5)y ＝log 5x .【精彩点拨】 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．【自主解答】 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x3)′＝(x 35)′＝35x －25. (4)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (5)y ′＝(log 5x )′＝1xln 5.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x 与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．[再练一题]1．若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x, 则f ′(x )－g ′(x )＝__________.【导学号：05410008】【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝1xln 3， ∴f ′(x )－g ′(x )＝3x 2－1xln 3. 【答案】 3x 2－1xln 3(1)求质点在t ＝π3时的速度； (2)求质点运动的加速度．【精彩点拨】 (1)先求s ′(t )，再求s ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.(2)加速度是速度v (t )对t 的导数，故先求v (t )，再求导． 【自主解答】 (1)v (t )＝s ′(t )＝cos t ，∴v ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.即质点在t ＝π3时的速度为12. (2)∵v (t )＝cos t ，∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t .1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．[再练一题]2．(1)求函数f (x )＝13x在(1,1)处的导数；(2)求函数f (x )＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的导数．【解】 (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ′＝(x －13)′＝－13x －43＝－133x4， ∴f ′(1)＝－1331＝－13.(2)∵f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－sin π4＝－22.[探究共研型]探究1 f (x )＝x ，f (x ) 【提示】 ∵(x )′＝1·x 1－1，(x 2)′＝2·x 2－1，(x)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12′＝12x 12－1，∴(x α)′＝α·x α－1.探究2 点P 是曲线y ＝e x 上的任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【提示】 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近，则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， ∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22.求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．【精彩点拨】 错误!→错误!→所求直线斜率k ＝－1f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3→利用点斜式写出直线方程【自主解答】 因为f (x )＝cos x ，所以f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12的切线斜率为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－sin π3＝－32， 所以所求直线的斜率为23 3， 所求直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3， 即y ＝23 3x －239π＋12.求曲线方程或切线方程时应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点.[再练一题]3．若将上例中点P 的坐标改为(π，－1)，求相应的直线方程． 【解】 ∵f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P (π，－1)处的切线斜率为f ′(π)＝－sin π＝0， 所以所求直线的斜率不存在， 所以所求直线方程为x ＝π.[构建·体系]1．已知f (x )＝x α(α∈Q ＋)，若f ′(1)＝14，则α等于( ) 【导学号：05410009】 A.13 B.12 C.18D.14【解析】∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝1 4.【答案】 D 2．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．0【解析】对于①，y′＝错误!＝错误!＝错误!，正确；对于②，y′＝13x13－1＝13x－23，不正确；对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．【答案】 B3．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.【答案】 14．已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝__________.【解析】设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴k＝1x0，∴y＝1x0·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln x上，∴y0＝ln x0，∴ln x0＝x0x0，∴x0＝e，∴k＝1e.【答案】1 e5．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________. 【解析】设切点为(x0，y0)．因为y′＝3x ln 3，①所以k＝3x0ln 3，所以y＝3x0ln 3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln 3·x0＝3x0，②所以x0＝1 ln 3＝log3 e.所以k＝eln 3.【答案】eln 3我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-3-2抛物线的几何性质
(选修1-1)
[例3]
点P在抛物线2y2＝x上，点Q在圆(x－2)2＋y2＝1
人 教 B 版 数 学
上，求|PQ|的最小值． [解析] 圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为M(2,0)， 设 P(2y2，y1)，则 1 2 4 |PM|2＝(2y1－2)2＋y2＝4y1－7y2＋4 1 1 7 2 15 15 2 ＝4(y1－ ) ＋ ≥ . 8 16 16 15 ∴|PM|≥ ， 4 15 ∴|PQ|min＝|PM|min－1＝ －1. 4 7 14 7 14 此时 P 点的坐标为( ， )或( ，－ )． 4 4 4 4
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
如下图所示，线段AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB| ＝a(a为常数，且a≥1)，求弦的中点M到x轴的最近距离．
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[解析] 如右图所示，设点 A，M，B 的纵坐标为 y1， y2，y3，点 A，M，B 在抛物线 y＝x2 的准线上的射影分别 为 A′，M′，B′， 由抛物线的定义，得 1 |AF|＝|AA′|＝y1＋ ， 4 1 |BF|＝|BB′|＝y3＋4， 1 1 ∴y1＝|AF|－ ，y3＝|BF|－ . 4 4 又 M 是线段 AB 的中点， 1 ∴y2＝2(y1＋y3)
(选修1-1)
已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于 A、 5 B 两点，且|AB|＝2p，求 AB 所在的直线方程． [解析] 如图所示，抛物线 y2＝2px(p>0)的准线为 x＝－
p ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，设 A、B 到准线的距离分别为 dA， 2 dB，
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高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、1-2-2“非”(否定)
2 2 所以¬ 3≤x≤2.即¬ p p { 3≤x≤2}． x| 1 由 q 2 >0，得 qx>2 或 x<－1， x －x－2 所以¬ q－1≤x≤2，即¬ q { x|－1≤x≤2}．
第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第一章 常用逻辑用语
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(2)¬p3≥2.命题p是假命题，¬p是真命题；
(3)¬p空集不是集合A的子集．命题p是真命题，¬p是 假命题.
第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
[例2] 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p∀x∈R，x2＋2x＋1≥0； (2)q每一个四边形的四个顶点共圆． [解析] (1)¬p∂x∈R，x2＋2x＋1<0.这是假命题，因
第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
[规律方法] 存在性命题的否定是全称命题，即
“∂x∈A，p(x)”的否定为“∀x∈A，¬p(x)”．由以上结论， 可知写一个命题的否定时，首先判断该命题是“全称命题” 还是“存在性命题”，要确定相应的量词，给出命题否定 后，要判断与原命题是否相对应(全称命题存在性命题)，
)
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D．¬p∀x∈R，x2－3x＋3>0，且¬p为假
[答案] C [解析] p为假命题，所以¬p为真．
第பைடு நூலகம்章 常用逻辑用语
(选修1-1)
二、填空题 4．(2010·安徽文，11)命题“存在x∈R，使得x2 ＋2x ＋5＝0”的否定是____________． [答案] 对∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.
第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
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高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-1-2椭圆的几何性质
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[解析]
x2 y2 将椭圆方程变形为 ＋ ＝1. 1 1 4 9
1 1 ∴a＝2，b＝3， ∴c＝ 1 1 5 4－9＝ 6 .
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∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝1， 5 c 5 5 2c＝ 3 ，离心率 e＝a＝ 3 ，焦点坐标为 F1(－ 6 ，0)， 5 1 1 1 F2( 6 ，0)，顶点坐标为 A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－3)， 1 B2(0，3).
[说明] 已知直线的斜率，常设直线的斜截式方程， 已知弦的长度，考虑弦长公式列方程，求参数．
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[例 7] 的值．
x2 y2 1 已知椭圆 2 ＋m＝1(m>0)的离心率为2，求 m
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[误解]
∵a2＝2，b2＝m，∴c2＝2－m，
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
4b2 ∴|PF1|· 2|＝ ， |PF 3
|PF1|＋|PF2| 2 又∵|PF1|· 2|≤ |PF ＝a2， 2
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c 1 1 ∴3a ≥4(a －c )，∴a≥2，∴e≥2.
2 2 2
又∵椭圆中 0<e<1，∴所求椭圆的离心率的取值范围 1 是2≤e<1.
(选修1-1)
x2 y2 方法二：设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)， 2 则 M(c，3b) c2 4b2 代入椭圆方程，得a2＋9b2＝1， c2 5 所以 2＝ ， a 9 c 5 5 所以 ＝ ，即 e＝ . a 3 3
测控指导高中数学人教B版选修1-1课件：本章整合2
6 = , 且 c= 2, 所以a= 3 ������2 C 的方程为 + ������ 2=1. 3
3,b=
������2 -������ 2 = 1.
所以圆 P 的半径为 3(1-������ 2 ). 当圆 P 与 x 轴相切时 ,|t|= 解得 t=± 3(1-������ 2 ). 0, ±
-4-
知识建构 专题1 专题2 专题3
综合应用
真题放送
-5-
知识建构 专题1 专题2 专题3
综合应用
真题放送
解:由椭圆的定义 ,有 |PF1|+|PF2|=2a, ∴|PF1|2+|PF2| 2+2|PF1|· |PF2|= 4a2. 在 △F1PF2 中 ,∠F1PF2=α,由余弦定理 ,有 |PF1| 2+|PF2| 2-2|PF1|· |PF2| cos α=4c 2. ①-②,得 2|PF1|· |PF2|(1+cos α)=4(a2-c2)=4b2,
-15-
知识建构
综合应用
真题放送 真题放送
1
2
3
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6
3(山东高考)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点, 以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范 围是( ) A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 解析:根据抛物线的定义可知|FM|=y0+2,又由圆与准线相交可得 y0+2>4,即y0>2,故选C. 答案:C
真题放送
专题二 圆锥曲线的标准方程与性质 圆锥曲线的方程与性质是高考重点考查的内容,因此对于其方程 与性质一定要熟悉.由标准方程确定其性质和由性质确定其方程都 要熟练掌握. 给出方程研究性质(给出性质求其方程)时,首先确定焦点在哪一 个坐标轴上,即确定是哪种形式的方程,然后才能准确研究其性质 (准确求其方程).当不能确定方程的形式时,要分情况讨论. 应用1 已知抛物线ax2+2y=0,则其焦点坐标为 ,准线方程 为 .
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.4知识点总结含同步练习题及答案
1 1 1 25 ． + +⋯+ < n+1 n+2 2n 36
即
2n 1 1 1 1 n + +⋯+ <∫ dx = ln x| 2 n = ln 2n − ln n = ln 2， n+1 n+2 2n x n
因为ln 2 ≈ 0.6931 ， 25 ≈ 0.6944 ，所以ln 2 < 25 ．所以
3 1
π 2 dx；（3）∫ 0 2 (sin x − cos x)dx． x
∫
(1 + x + x2 ) = ∫
3 1
1 2 3 1 x | 1 + x3 | 3 1 2 3 1 1 = (3 − 1) + (3 2 − 1 2 ) + (3 3 − 1 3 ) 2 3 44 = . 3 = x| 3 1 +
∑ f (ξi )Δx = ∑
i =1 i =1 n n
b−a f (ξi )， n
当 n → ∞ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分（definite integral），记作 ∫ ab f (x)dx，即
∫
b a
f (x)dx = lim ∑
∫
b a
f (x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a).
例题： 利用定积分定义计算： （1）∫ 1 (1 + x)dx；（2）∫ 0 xdx． 解：（1）因为 f (x) = 1 + x 在区间 [1, 2] 上连续，将区间 [1, 2] 分成 n 等份，则每个区间的
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2章末
纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A．x＝1 C．x＝2 [答案] B B．x＝－1 D．x＝－2
(
)
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[解析]
本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆
x1＋x2 锥曲线部分题型，可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点( ， 2
y2＝2px 1 y1＋y2 y1＋y2 1 2 ∴ 2 ＝2， 2 )， y2＝2px2
1 |PF2|－|PF1|＝2.当点 P 的纵坐标是2时， P 到坐标原点的 点 距离是 6 A. 2 C. 3 3 B.2 D．2 ( )
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[解析]
由题意知，P 点的轨迹是双曲线的左支，c＝
2 2
1 2，a＝1，b＝1，∴双曲线的方程为 x －y ＝1，把 y＝ 代 2 1 5 2 入双曲线方程，得 x ＝1＋4＝4. 5 1 6 6 ∴|OP| ＝x ＋y ＝ ＋ ＝ ，∴|OP|＝ . 4 4 4 2
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[分析] 此题用基本坐标法求解，运算相当繁琐，而 且一时难以理出思路．本题易借助几何图形的几何性质加 以解决．
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[解析]
PQ 是∠F1PF2 的外角平分线，F1Q⊥PQ 与 F2P
的延长线交于点 A.如图所示．则△APF1 是等腰三角形， ∴|PF1|＝|AP|， 从而|AF2|＝|AP|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2|＝2a. 1 ∵O 是 F1F2 的中点，Q 是 AF1 的中点，∴|OQ|＝2|AF2| ＝a.∴Q 点的轨迹是以原点 O 为圆心，半径为 a 的圆．故选 A.
【优化设计】高中数学人教选修2-2精品课件：2章末整合提升
2 =1(a>b>0)上异于直径两
个端点的任意一点与一条直径的两个端点的连线 ,则两条连线所在直
������ 线的斜率之积为定值-������2 .
2
知识网络构建
专题一 专题二
专题归纳整合
������2 定理在双曲线中的推广为:过双曲线������2
−
������2 ������
2 =1(a>0,b>0)上异于直
知识网络构建
专题一 专题二
专题归纳整合
例 1(1)下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个 数列的前 4 项,则这个数列的一个通项公式为 .
(2)在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶ 2,则它们的面积比为 1∶ 4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为 1∶ 2,则它们的体积比 为 .
知识网络构建
专题一 专题二
专题归纳整合
(2)设当
1 1 1 ������ n=k(k≥2)时命题成立 ,即 ������2������ =1+2 + 3+…+ ������ >1+2. 2 1 1 1 1 1 ������
当 n=k+1 时,������2������ +1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=1+2 + 3+…+ ������ +
知识网络构建
专题一 专题二
专题归纳整合
迁移训练 1 某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆 “正三棱锥”形的展品, 其中第 1 堆只有一层,就一个球;第 2,3,4…堆分别按下图所示方式固定 摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层 就放一个乒乓球,以 f(n)表示第 n 堆的乒乓球总数,则 f(3)= ;f(n)= .(答案用 n 表示)
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-2-1双曲线及其标准方程
2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若
2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是 两条射线 ； 若 2a>|F1F2| ，
则动点的轨迹是 不存在 ． 3．双曲线定义中应注意关键词“ 绝对值 ”，若去掉 定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是 双曲线一支 ．
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
(选修1-1)
本节重点：双曲线的定义及其标准方程． 本节难点：双曲线标准方程的推导．
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
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第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要 满足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的
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，
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
1 1 a2＝－16 解得 12＝－1 9 b
(不合题意，舍去)．
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y x 当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为a2－b2 ＝1(a>0，b>0)． 3 ( 5)2 4 2 a2 －b2＝1 ∵P1、P2 在双曲线上，∴ 2 (4 7)2 3 4 a2－ b2 ＝1
2
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
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当 k>0 时，k＝6.
[辨析] 因为不能确定k的正负，需讨论．
第二章 圆锥曲线与方程
(选修1-1)
[正解]
x2 y2 当 k>0 时，方程化为标准形式： k － k ＝1 2
人 教 B 版 数 学
k 3k ∵c ＝2＋k＝ 2 ，
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