高中数学第二章平面解析几何2.2.1直线方程的概念与直线的斜率课件新人教B版必修2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求直线的倾斜角的方法及注意点. (1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角. (2)两点注意: ①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时, 倾斜角为90°; ②注意直线倾斜角的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
直线的斜率和倾斜角的关系 【例2】 已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1). (1)当m为何值时,直线l的斜率是1? (2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°? 思路分析:(1)根据斜率公式列出关于m的方程即可;(2)当直线倾 斜角为90°时,利用直线上横坐标相等这一特征列、直线的倾斜角与斜率 【问题思考】 1.填写下表:
名称 定义
斜
关系
倾斜角 x 轴正向与直线向上的方 直线 y=kx+b 中的系数 k 叫 向所成的角叫做这条直 做这条直线的斜率 线的倾斜角 当 k=0 时,倾斜角为零度角,此时直线与 x 轴平行或重合 当 k>0 时,倾斜角为锐角 当 k<0 时,倾斜角为钝角 特别地,当倾斜角为直角时,斜率 k 不存在 倾斜角 α 的范围:0°≤α<180°
2 1
2.填空:经过点 A(x1,y1),点
������2 -������1 (x1≠x2). ������2 -������1
������1 -������2 B(x2,y2)的直线的斜率:k=������ -������ 1 2
=
一
二
三
3.直线AB的斜率公式与A,B两点坐标的顺序是否有关?当直线与 坐标轴垂直时其倾斜角和斜率分别是什么? 提示:直线AB的斜率与A,B两点坐标的顺序无关.已知直线上两点 (x1,y1),(x2,y2),如果y2=y1,x2≠x1,那么直线与y轴垂直,此时倾斜角等于 0 0°,k= ������2 -������= 0;如果y2≠y1,x2=x1,那么直线与x轴垂直,此时倾斜角等于 1 90°,k不存在. 4.做一做:已知点A(m,-m-3),B(2,m-1),C(-1,4),直线AC的斜率是直 线BC的斜率的三倍,求实数m的值. 解:因为kAC=3kBC,
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
课 标 阐 释 思 1.理解直线的斜率和倾斜角的 概念,了解用代数的方法来探 索直线斜率的过程. 2.掌握过两点的直线斜率的计 算公式,并能利用该公式解决 相关的实际问题. 3.能利用数形结合与分类讨论 思想求直线的斜率和倾斜角.
维 脉 络
一
二
三
一、直线的方程与方程的直线的概念 【问题思考】 1.(1)对y=3x+7而言,从函数的角度认识y=3x+7是属于什么函数? 从方程的角度认识y=3x+7属于什么方程? 提示:①从函数的角度:y=3x+7是一次函数,图象是一条直线;②从 方程的角度:y=3x+7是二元一次方程,它有无数组解(x,y). (2)一次函数都是二元一次方程吗?反之二元一次方程都能化成 一次函数吗? 提示:一次函数y=kx+b(k≠0)都是二元一次方程;不是所有的二元 一次方程都能化成一次函数,如方程3x+0y=27,属于二元一次方程 但它不是一次函数.
一
二
三
2.填空:如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条 直线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的 方程,这条直线叫做这个方程的直线. 3.直线方程与二元一次方程的关系如何? 提示:直线方程与二元一次方程的关系: (1)方程f(x,y)=0称为直线l的方程应具备两个条件:①l上的点的坐 标都是方程的解;②以方程的解为坐标的点都在直线l上.二者缺一 不可. (2)平面上的直线与二元一次方程存在一一对应关系.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
直线的倾斜角 【例1】 (1)直线x=-1的倾斜角为( ) A.135° B.90° C.45° D.0° (2)下列说法正确的是( ) A.一条直线和x轴的正方向所成的角,叫做这条直线的倾斜角 B.直线的倾斜角α在第一或第二象限 C.和x轴平行的直线,它的倾斜角为0° D.不是每一条直线都有倾斜角 解析:(1)因为直线与x轴垂直,所以倾斜角为90°. (2)倾斜角的定义是直线向上的方向和x轴正方向所成的角,故A 错误;倾斜角的范围是0°≤α<180°,故B错误;和x轴平行的直线的倾 斜角是0°,故C正确;每条直线都有倾斜角,故D错误. 答案:(1)B (2)C
4-(-������-3) 4-(������-1) 所以 =3· , -1-������ -1-2
整理,得m2-3m+2=0, 解得m=1或m=2.
一
二
三
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)直线的倾斜角α的取值范围是[0°,180°]. ( ) (2)直线的倾斜角越大,其斜率也越大. ( ) (3)直线的斜率越大,其倾斜角也越大. ( ) (4)若直线的斜率k=tan θ,则θ一定为该直线的倾斜角. ( ) (5)只要一条直线的倾斜角确定,那么该直线就确定了. ( ) (6)两条直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
率
一
二
三
2.直线的斜率越大,倾斜角越大,对吗? 提示:不对,它们之间的变化规律如下: (1)当0°≤α<90°时,随α的增大,斜率k在[0,+∞)范围内增大. (2)当90°<α<180°时,随α的增大,斜率k在(-∞,0)范围内增大. 3.做一做:如图所示,若图中直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,则 ( ) A.k1<k2<k3 B.k2<k1<k3 C.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2 解析:由图可知l3的倾斜角为钝角,所以k3<0.直线l1与l2的倾斜角 为锐角,且直线l2的倾斜角较大,所以k2>k1>0>k3. 答案:C
一
二
三
三、斜率的坐标计算公式 【问题思考】 1.对于直线y=kx+b中的斜率k,你能用该直线上相异两点坐标 A(x1,y1),B(x2,y2)来表示k吗?(其中x1≠x2) 提示:能.思路是先将两点坐标分别代入方程,得出y1=kx1+b和 y2=kx2+b两个等式,再将两式左右分别相减得k(x2-x1)=y2-y1,因为x2������2 -������1 x1≠0,所以最后得k= ������ -������ .
【精品】高中数学2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率教案新人教B版必修2
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率示范教案 整体设计教学分析本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的方程、斜率、倾斜角的概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法．引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要．直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础．事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究．对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确含义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧． 三维目标1．了解直线方程的概念，认识事物之间的相互联系．2．理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻画直线相对于x 轴倾斜程度的这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想．3．掌握经过两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，培养学生树立辩证统一的观点，并形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 重点难点教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式． 教学难点：斜率公式的推导． 课时安排 1课时教学过程导入新课设计1.如下图所示，在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率．设计2.我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线．那么，经过一点P 的直线l 的位置能确定吗？这些直线有什么联系和区别呢？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率． 推进新课 新知探究 提出问题(1)一次函数的图象是什么形状？以y ＝2x ＋1为例说明． (2)方程y ＝kx ＋b 的解与其图象上的点有什么对应关系？(3)直线y ＝kx ＋b 被其上的任意两个不同的点所唯一确定(如下图)，如果点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2)是这条直线上任意两点，其中x 1≠x 2，怎样由这两点的坐标计算出k 的值呢？(4)怎样用角来表示直线的倾斜程度？ (5)写出求一条直线斜率的计算步骤． 讨论结果：(1)所有一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是一条直线．例如函数y ＝2x ＋1的图象是通过点(0,1)和点(1,3)的一条直线l(如下图)，直线l 是函数y ＝2x ＋1的图象，所表达的意义是：如果点P 在l 上，则它的坐标(x ，y)满足关系y ＝2x ＋1，①反之，如果点P 的坐标(x ，y)满足①式，则点P 一定在l 上．于是，函数式y ＝2x ＋1，可作为描述直线l 的特征性质，因此l ＝{(x ，y)|y ＝2x ＋1}． 我们再来看k ＝0的特殊情况．例如方程y ＝2，无论x 取何值，y 始终等于2，虽然它已不是一次函数，但方程y ＝2(常值函数)的图象是一条通过点(0,2)且平行于x 轴的直线．(2)由于函数y ＝kx ＋b(k≠0)或y ＝b 都是二元一次方程，因此，我们也可以说，方程y ＝kx ＋b 的解与其图象上的点存在一一对应关系．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线． 由于方程y ＝kx ＋b 的图象是一条直线，因此我们今后常说直线y ＝kx ＋b.(3)由于x 1，y 1和x 2，y 2是直线方程的两组解，方程y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b ，两式相减，得y 2－y 1＝kx 2－kx 1＝k(x 2－x 1)．因此k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．所以由直线上两点的坐标，可以求出k 的值，且它与这两点在直线上的顺序无关，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)．如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量．于是k ＝ΔyΔx(Δx≠0)．通常，我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在．方程y ＝kx ＋b(k≠0)的图象是通过点(0，b)且斜率为k 的直线． 对一次函数所确定的直线，它的斜率等于相应函数值的改变量与自变量改变量的比值．直观上可使我们感知到斜率k 的值决定了这条直线相对于x 轴的倾斜程度．(4)x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．由斜率k 的定义可知：k ＝0时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；k>0时，直线的倾斜角为锐角，此时，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； k<0时，直线的倾斜角为钝角，此时，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； 垂直于x 轴的直线的倾斜角等于90°. (5)步骤：(1)给直线上两点的坐标赋值：x 1＝？，x 2＝？，y 1＝？，y 2＝？； (2)计算Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1；(3)如果Δx ＝0，则判定“斜率k 不存在”； (4)如果Δx≠0，计算k ＝ΔyΔx ；(5)输出斜率k. 应用示例思路1例1求经过A(－2,0)，B(－5,3)两点的直线的斜率k.解：x 1＝－2，x 2＝－5，y 1＝0，y 2＝3；Δx ＝－5－(－2)＝－3，Δy ＝3－0＝3；k ＝ΔyΔx ＝－33＝－1. 变式训练1．已知过点A(a,3)，B(6,5)的直线的斜率k ＝12，则a ＝______.答案：22.经过A(4，－7)，B(4,9)的直线斜率k 等于( ) A ．0 B ．16 C ．－16 D ．不存在 答案：D例2画出方程3x ＋6y －8＝0的图象． 解：由已知方程解出y ，得y ＝－12x ＋43.这是一次函数的表达式，它的图象是一条直线，当x ＝0时，y ＝43；当x ＝2时，x ＝13.在坐标平面内作点A(0，43)，B(2，13)，作直线AB ，即为所求方程的图象．(如下图)点评：方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的图象是直线，以此方程的任意两解为坐标的点的连线(直线)就是该方程的图象． 变式训练已知方程4x ＋By ＋4＝0的图象过点(1,1)，则B ＝______. 解析：把点的坐标值代入方程，得4＋B ＋4＝0，解得B ＝－8. 答案：－8思路2例3 求经过点A(－2,10)，B(5,3)的直线的斜率和倾斜角． 解：k ＝3－105－－＝－1，即tan α＝－1，又∵0°≤α<180°，∴α＝135°.∴该直线的斜率是－1，倾斜角是135°.点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角． 变式训练1．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为… ( ) A ．y ＝－13x ＋13 B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再右移1个单位，得到直线y ＝－13x ＋13.答案：A2．求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α.(1)P 1(－2,3)，P 2(－2,8)；(2)P 1(5，－2)，P 2(－2，－2)．解：(1)∵过P 1，P 2的直线与x 轴垂直，∴直线斜率不存在，倾斜角α＝90°. (2)k ＝tan α＝－2－－－2－5＝0，∴直线斜率为0，倾斜角α＝0°.例4 已知三点A 、B 、C ，且直线AB 、AC 的斜率相同，求证：这三点在同一条直线上． 证明：由直线的斜率相同，可知直线AB 的倾斜角与AC 的倾斜角相等，而这两直线过公共点A ，所以直线AB 与AC 重合，因此A 、B 、C 三点共线． 点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有公共点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线． 变式训练1．若三点A(2,3)，B(3,2)，C(12，m)共线，求实数m 的值．解：由题意知k AB ＝2－33－2＝－1，k AC ＝m －312－2，∵A、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC .∴m －312－2＝－1.∴m＝92.2．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a ＋1b 的值＝__________.答案：12例5 已知三角形的顶点A(0,5)，B(1，－2)，C(－6，m)，BC 的中点为D ，当AD 斜率为1时，求m 的值及|AD|的长．分析：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间的距离公式． 解：D 点的坐标为(－52，m －22)，∴k AD ＝m －22－5－52－0＝1.∴m＝7.∴D 点坐标为(－52，52)．∴|AD|＝522＋－522＝522. 变式训练1．过点P(－1，－1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角．答案：l的斜率为－1，倾斜角为135°. 2．如下图中菱形ABCD 的∠BAD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角与斜率．解：由题意知直线AD 和BC 的倾斜角为60°，直线AB 和DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°；直线AD 和BC 的斜率为k ＝tan60°＝3，直线AB 和DC 的斜率为k ＝tan0°＝0，直线AC 的斜率为k ＝tan30°＝33，直线BD 的斜率为k ＝tan120°＝－ 3. 知能训练1．关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法正确的是( ) A ．任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B ．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C ．平行于x 轴的直线的倾斜角是0°或180°D ．直线斜率的范围是(－∞，＋∞) 答案：D2．已知直线的斜斜角，求直线的斜率．(1)α＝0°；(2)α＝60°；(3)α＝90°；(4)α＝135°. 分析：指导学生根据定义直接求解．解：(1)∵tan0°＝0，∴倾斜角为0°的直线斜率为0. (2)∵tan60°＝3，∴倾斜角为60°的直线斜率为 3. (3)∵tan90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在． (4)∵tan135°＝－1，∴倾斜角为135°的直线斜率为－1. 3．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共线，则a ＝______. 解析：由题意得k AB ＝k AC ，则22－a ＝2－42，解得a ＝4. 答案：44．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a 2)，C(3，a 3)共线，则a ＝______. 解析：A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ， 即a 2－－2－1＝a 3－a 23－2，a 2＋a ＝a 3－a 2，a 2－2a －1＝0. ∵a>0，∴a＝1＋ 2. 答案：1＋ 2 拓展提升如下图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1、l 2的斜率．解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33， ∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°， ∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝－ 3.点评：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率． 课堂小结 本节课学习了：1．直线方程的概念；2．直线的斜率、倾斜角和斜率公式；3．利用斜率判定三点共线．作业本节练习A 1,2题．设计感想在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口．同时本节教学设计注重引导学生通过观察来获得新知，在实际教学中教师要及时引导，加强师生交流，学生通过自主观察、分析还是能得到正确结论的，要留给学生充分的思考时间，透彻理解直线的倾斜角和斜率的概念，能根据条件正确地求出直线的倾斜角和斜率是知识教学的目的；在形成概念的过程中，培养分析、抽象、归纳的思维能力，强化“形”“数”结合相互转化的思想方法，完善学生的数学知识结构．新课程解析几何教材在学生没有三角函数、向量基础的情况下展开，使得教学设计有了无米之炊的感觉．从知识接受上讲似乎并无大碍，但是从知识的联系性、思维的丰富性上来说，讲多了给人一种感觉——记住结论会用就行！这或许就是新课程的理念吧．但本课还是力求在学生思维发展层面上保持较高要求．备课资料已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况．解：①0°≤α<90°.作出y＝tanα在[0°，90°)区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈[0°，90°)时，y＝tanα＞0，并且随着α的增大，y不断增大，|y|也不断增大．所以，当α∈[0°，90°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大．②90°<α<180°.作出y＝tanα在(90°，180°)区间内的函数图象，由图象观察可知：当α∈(90°，180°)时，y＝tanα＜0，并且随着α的增大，y＝tanα不断增大，|y|不断减小．所以当α∈(90°，180°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小．点评：针对以上结论，虽然有当α∈[0°，90°)时，随着α增大直线斜率不断增大；当α∈(90°，180°)时，随着α增大直线斜率不断增大．但是当α∈[0°，90°)∪(90°，180°)时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论．。
2020学年高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1直线方程的概念与直线的斜率应用案巩固提升课件人教B版必修2
A．(－1，0]
B．[0，1]
C．[1，2]
D．[0，2]
第二章 平面解析几何初步
解析：选 D．由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区 域内时，满足题意，所以直线 l 的斜率满足 0≤k≤2．故选 D．
第二章 平面解析几何初步
12．已知函数 f(x)＝log3(x＋2)，若 a>b>c>0，则f(aa)，f(bb)，f(cc)
第二章 平面解析几何初步
7．已知 O(O 为坐标原点)是等腰直角三角形 OAB 的直角顶点，
点 A 在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边 AB 的斜率为
_____________． 解析：如图，设直线 AB 与 x 轴的交点为 C，
则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC
＝180°－45°－105°＝30°．
第二章 平面解析几何初步
10．已知 A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)． (1)求直线 AB 和 AC 的斜率； (2)若点 D 在线段 BC 上(包括端点)移动时，求直线 AD 的斜 率的变化范围．
第二章 平面解析几何初步
解：(1)由斜率公式可得： 直线 AB 的斜率 kAB＝－2－4－33＝17， 直线 AC 的斜率 kAC＝－0－2－33＝53．
第二章 平面解析几何初步
[A 基础达标] 1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是( ) A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大 B．平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0°或 180° C．若一条直线的倾斜角为 α，则它的斜率 k＝tan α D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞) 答案：D
第二章 平面解析几何初步
2．直线 l 过(m，n)，(n，m)两点，其中 m≠n，mn≠0，则( ) A．l 与 x 轴垂直 B．l 与 y 轴垂直 C．l 的倾斜角为 45° D．l 的倾斜角为 135° 解析：选 D．由斜率公式可得 k＝mn－－mn＝－1，即 tan α＝－1， 所以 α＝135°．故选 D．
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率》_11
导学案：§2.2.1直线方程的概念与直线的斜率【使用说明及学法指导】1.先精读一遍教材P74-P76，用红色笔进行勾画；再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答，时间不超过20分钟。
2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.对有关概念要在理解的基础上熟记【学习目标】1.掌握方程的直线和直线的方程的概念，直线的斜率和倾斜角，并能求直线斜率，提高理解和应用能力。
2.小组成员积极讨论，踊跃展示，大胆质疑，探究并总结两点的斜率公式的推导方法。
3.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐。
一．问题导学：1．直线的方程、方程的直线是如何定义的？思考：（1）一次函数与二元一次方程之间有什么关系？（2）y=|x|是的直线方程吗？（3）判断：①任意一条直线一定是某个一次函数的图像( )②函数y=kx+b(x≥0)的图像是一条直线( )③以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上,则这个方程叫做这条直线的方程（）④若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解,则这条直线叫做这个方程的直线（）2．斜率是如何定义的？过两点的斜率公式如何推导？公式适用范围是什么？思考：（1）直线的斜率k如何决定直线与x轴的倾斜程度？（2）垂直于x轴的直线的斜率_________________,为什么？（3）斜率为2的直线经过点(3,5),(a,7),(-1,b)三点，则a=________,b=_________3．倾斜角是如何定义的？倾斜角的范围是什么？思考：（1）任何一条直线是否都存在倾斜角？（2）直线的斜率和倾斜角之间有何关系？①当k=0时，倾斜角为，②当k>0时，倾斜角为，此时，k值增大，直线的倾斜角_______ ③当k<0时，倾斜角为，此时，k值增大，直线的倾斜角________④当k不存在时，倾斜角为 .二．合作探究：例1：求通过下列两点的直线斜率（如果存在的话），并判断其倾斜角是锐角还是钝角还是零度角还是直角？（1）A(2,2),B(-1,-3)（2）C(-1,1),D(-3,5)（3）M(3,5),N(7,5)（4）P(2,2),Q(2,6)反思归纳：用斜率公式求k时，注意当_________时，k不存在。
人教B版数学必修二2.2.1
角为 导学号 92434549 ( D )
A．30°
B．60°
C．30°或 150°
D．60°或 120°
数 学
[解析] 如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°
必
修 ②
或120°.
人 教
B
版
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·
第二章 平面解析几何初步
『规律方法』 解答这类问题要抓住：①倾斜角的定义；②倾斜角的取值 范围为0°≤α<180°；③充分结合图形进行分析.
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·
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第二章 平面解析几何初步
6．已知方程 2x＋3y＋6＝0. 导学号 92434548 (1)把这个方程改写成一次函数形式； (2)画出这个方程所对应的直线 l； (3)点32，1是否在直线 l 上？ (4)方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)是不是直线 l 的方程？
数 学 必 修 ② 人 教 B 版
数 学
当 m>7 时，m－1 7>0，即 k>0，α∈(0°，90°)；
必
修 ② 人 教
当 m<7 时，m－1 7<0，即 k<0，α∈(90°，180°).
B
版
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·
第二章 平面解析几何初步
『规律方法』 由于B点横坐标m的变化会导致斜率k及倾斜角α的变化，再 结合分母不能为零，故解答这类问题应分类讨论.
④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了
一一映射关系.
正确命题的个数是 导学号 92434544 ( A )
数
学 必
A．1 个
修
②
C．3 个
人
教
B
新教材高中数学第2章平面解析几何两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新人教B版选择性必修
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.( × ) (2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与 x 轴垂直．( √ ) (3)两条直线的斜率分别为 k1，k2，若 k1·k2≠－1，则两条直线一定不垂 直．( √ )
2．做一做
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系 第2课时 两条直线的垂直
(教师独具内容) 课程标准：1.能根据斜率判定两条直线垂直.2.理解并掌握两条直线垂直 的条件.3.能利用两条直线垂直进行实际应用． 学法指导：从法向量和倾斜角两个角度结合图形探求两直线垂直的条 件． 教学重点：两条直线垂直的条件． 教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题.
1．对两直线垂直与斜率的关系要注意的几点 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1 成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；② k1≠0 且 k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于 零，则这两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1k2＝－1 或一条直线的斜率 不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
所以直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
高中数学第二章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.3第2课时两条直线垂直的条件课件新人教B版必修2
,-
3 2
).
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点,且在y轴的截距是在x轴的截距的3倍,求 l3的方程.
解:(2)当 l3 过原点时,则 l3 的方程为 y=3x. 当 l3 不过原点时,设 l3 的方程为 x + y =1,
a 3a
1 3 又直线 l3 经过 l1 与 l2 的交点,所以 2 + 2 =1,得 a=-1,
自我检测
1.在平面直角坐标系中,直线l1:x-ay+1=0和直线l2:ax+y+10=0的位置关系是 ( C) (A)平行 (B)重合 (C)垂直 (D)无法判断
解析:易知两条直线满足条件:1×a+(-a)×1=0,故两直线l1与l2垂直.
2.已知直线 l 与过点 M(- 3 , 2 ),N( 2 ,- 3 )的直线垂直,则直线 l 的倾斜 角是( C )
法二 设直线 l 关于点 A(1,1)的对称直线为 l′,则直线 l 上任一点 P2(x1,y1) 关于点 A 的对称点 P2′(x,y)一定在直线 l′上,反之也成立.
由
x y
2 2
x1 y1
1 1
,得
x1 y1
2 2
x y
.
将(x1,y1)代入直线 l 的方程得:x+2y-4=0,所以直线 l′的方程为 x+2y-4=0.
y x
y0 x0
A B
1,
可得Q点的坐标.
A
x
x0 2
B
y
y0 2
高中数学第二章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率bb高一数学
2021/12/12
第十八页，共二十三页。
变式训练3-1:求经过两点M(-1,2),N(m,3)(m∈R)的直线(zhíxiàn)的斜率并讨论m为 何值时,倾斜角为锐角、钝角和直角.
解:(1)m≠-1 时,kMN= 3 2 = 1 . m1 m1
②k>0时,直线的倾斜角为 ,此时,k值增大,直线的倾斜角也随着
锐角
③k<0时,直线的倾斜角为 ,此时,k值增大,直线的倾斜角也随着
④垂直于x轴的直线的倾斜角钝等角于 ,此时直线的斜率
.
90°
0°
;
增大 .
(z增ēn大ɡ 不存在 d(àz)ēnɡ
dà)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2021/12/12
第五页，共二十三页。
【拓展延伸】 直线的斜率(xiélǜ)与倾斜角之间的关系
C
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:①②③正确,④错误,因为(yīn wèi)当直线的倾斜角为90°时,直线的斜率不存在,
故选C.
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第八页，共二十三页。
2.直线 l 过点 M(- 3 , 2 ),N(- 2 , 3 ),则 l 的斜率为( B )
(A) 6 2
(B)1
(C) 6 3
.这条直直线线的叫方做程这个
.
方程的直线
2.直线的斜率
设直线 l:y=kx+b 上任两点 A(x1,y1),B(x2,y2),其中 x1≠x2,则直线 l 的斜率
k= y2 y1 x2 x1
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方程222直线方程的几种形式第1课时直线的点斜式方程和两点
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
16
程222直线方程的几种形式第1课时直线的点斜
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们 休息一下眼睛，
2．若经过原点的直线 l 与直线 y＝ 33x＋1 的夹角为 30°，
则直线 l 的倾斜角是( )
A．0°
B．60°
C．0°或 60°
D．60°或 90°
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程222直线方程的几种形式第1课时直线的点斜
解析：直线 y＝ 33x＋1 的斜率为 33， ∴tanα＝ 33，α＝30°， 倾斜角为 30°， ∴直线 l 的倾斜角为 60°或 0°.故选 C． 答案：C
答案： 3x－y＝0
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程222直线方程的几种形式第1课时直线的点斜
类型 2 直线的两点式、截距式方程
已知△ABC 的顶点 A(1，－1)，线段 BC 的中点为 D3，32.
(1)求 BC 边上的中线所在直线的方程； (2)若边 BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是 9，求 BC 所 在直线的方程．
2021/4/17
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
4
程222直线方程的几种形式第1课时直线的点斜
|目 标 索 引| 1．了解点斜式方程的推导过程． 2．会求点斜式、斜截式与两点式方程． 3．了解斜截式与一次函数的关系.
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率》_23
第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1.1倾斜角和斜率一、教学目标:1.知识与技能1）理解直线的倾斜角和斜率的概念．2）掌握斜率公式的推导过程，过两点的直线的斜率公式．能对斜率和倾斜角的关系进行讨论，经历斜率公式的严格推导过程.3.情感、态度与价值观1）让学生初步感受用代数的方法表示几何概念，感受代数表达的抽象与简练．2）培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．二、教学重点与难点重点: 理解直线的倾斜角、斜率的概念和掌握直线的倾斜率公式.难点：理解直线斜率公式的推导过程.三、教学方法启发、引导、讨论.四、教学用具三角板、多媒体投影仪五、教学过程（一）创设情景，导入新课我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?思考：(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? （二）师生互动，探究新知1.直线的倾斜角的概念当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.直线a ∥b ∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P 和一个倾斜角α.2.直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是k = tan α⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.例如, α=45°时, k = tan45°= 1;α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.3. 直线的斜率公式:给定两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),x 1≠x 2,如何用两点的坐标来表示直线P 1P 2的斜率?在多媒体投影的辅助指导下，并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.公式推导（略）斜率公式: 1212x x y y k --= 对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1) 当x 1=x 2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x 轴垂直；(2) k 与P 1、P 2的顺序无关, 即y 1,y 2和x 1,x 2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;(3) 斜率k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4) 当 y 1=y 2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x 轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．(三)概念辨析，巩固提高例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)分析: 已知两点坐标, 而且21x x ≠, 由斜率公式代入即可求得k 的值;而当k = tan α<0时, 倾斜角α是钝角;而当k = tan α>0时, 倾斜角α是锐角;而当k = tan α=0时, 倾斜角α是0°.略解: 直线AB 的斜率k 1=71>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC 的斜率k 2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;直线CA 的斜率3k =1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a 上的另外一点M. 而M 的坐标可以根据直线a 的斜率确定; 或者k=tan α=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.(四)小结(1)直线的倾斜角和斜率的概念．(2) 直线的斜率公式.(五)课后作业P86练习：1,2，3，4.P89习题3.1A 组：1,2,3,4,53.1.2 两条直线的平行与垂直的判定一、教学目标1.知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2.过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用代数方法来研究几何问题.3.情感、态度和价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣,欣赏解析几何的代数抽象美．二、教学重点、难点重点： 熟练掌握两条直线平行和垂直的条件难点： 研究两条直线的平行或垂直问题的判断．三、教学方法引导、启发、讨论，练习四、教学过程（一）创设情景，导入课题复习已经学习的直线的倾斜角和斜率的概念, 可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x 轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．（二）师生互动，探究新知1. 先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．2. 两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助多媒体, 让学生通过观察度量, 感知α1, α2的关系)因为tgα1=tgα2 即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α2＜180°，所以α1=α2．又因为两条直线不重合，两条直线平行l1∥l2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2 k1=k2.注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有l1∥l2; 反之则不一定.3. 两条直线的斜率都存在时, 两直线的垂直下面我们研究两条直线垂直的情形．结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121-=⋅⇔⊥k k l l注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有21l l ⊥; 反之则不一定.（三）概念辨析，巩固提高例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.分析: 借助媒体动画展示, 通过观察猜想:BA ∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略) 解: 直线BA 的斜率k 1=21)4(203=---, 直线PQ 的斜率k 2=21)3(112=----, 因为 k 1=k 2=21, 所以 直线BA ∥PQ.例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD 的形状,并给出证明.解同上.例3.已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB 与PQ 的位置关系. 解: 直线AB 的斜率32)6(3061=---=k , 直线PQ 的斜率23)02361-=---=k , 因为 k 1·k 2 = -1 所以 AB ⊥PQ.例4. 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC 的形状.分析: 通过观察猜想: 三角形ABC 是直角三角形, 其中AB ⊥BC, 再通过计算加以验证.（四）小结1.知识小结(1) 两条直线平行或垂直的判定方法(2) 注意特殊情况特殊处理，如有斜率为零或斜率不存在的情况.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.2. 思想方法：倾斜角、平行是几何概念，坐标、斜率是代数概念，解析几何的本质是用代数方法来研究几何问题.（五）作业P89练习：1，2.P90习题3.1 A组：8. B组：3，4.。
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率》_10
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率教学设计学习目标：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点)2.掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点)3.掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)1．倾斜角的相关概念(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切．(2)记法：k ＝tan_α.(3)斜率与倾斜角的对应关系．90°＜α＜(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝x2－x1.思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？[提示]不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.[基础自测]1．思考辨析(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．()(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.()(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.()(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．()[提示](1)×倾斜角为90°时，斜率不存在．(2)×斜率应为－1.(3)×斜率有可能不存在．(4)√2．如图311，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()图311A．k1＜k2＜k 3B．k 3＜k 1＜k 2C．k 3＜k 2＜k 1D．k 1＜k 3＜k 2D[由图可知，k1＜0，k2＞k3＞0.故选D.]3．一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于________．45°[∵k＝tan α＝1.∴α＝45°.][合作探究·攻重难]直线的倾斜角A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则tan α＞0D．任意直线都有倾斜角，但它不一定有斜率(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图312，则直线l2的倾斜角为________．图312(1)D(2)135°[(1)当α＝90°时，直线的斜率不存在，故A错；直线斜率为tan α，但只有α∈[0°，180°)时α才是直线的倾斜角，故B错；α＝0°时，tan α＝0，故C错；D对；故选D.(2)如图，由题意知，∠3＝120°，∴∠2＝120°.∴∠1＝180°－120°－α1＝45°，∴α2＝180°－45°＝135°.][规律方法]求直线倾斜角的方法及关注点(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角．(2)关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．提醒：理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：①x 轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．[跟踪训练]1．已知直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0°≤α＜90°B ．90°≤α＜180°C ．90°＜α＜180°D ．0°＜α＜180°C [直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.]直线的斜率AB ，则点B 的坐标为( )A ．(2,0)或(0，－4)B ．(2,0)或(0，－8)C ．(2,0)D ．(0，－8)(2)已知直线l 经过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) 【导学号：07742193】A ．(－1,0]B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[0,2](1)B (2)D [(1)设B (x,0)或(0，y )，∵k AB ＝3－x 4或k AB ＝34－y ，∴3－x 4＝4或34－y ＝4，∴x ＝2，y ＝－8，∴点B 的坐标为(2,0)或(0，－8)．(2)由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.][规律方法] 解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决．(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝x2－x1y2－y1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．[跟踪训练]2．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．[解] 如图所示，由题意可知k P A ＝－3－14－0＝－1，k PB ＝3－12－0＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.直线斜率的应用[1．斜率公式k ＝x2－x1y2－y1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与y 2，x 1与x 2的顺序呢？[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝x1－x2y1－y2.2．你能证明A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)三点在同一条直线上吗？[提示] 能．因为A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)，所以k AB ＝1－(－33－(－5＝2，k BC ＝5－111－3＝2，所以k AB ＝k BC ，且直线AB ，BC 有公共点B ，所以A ，B ，C 这三点在同一条直线上．(1)若点A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)三点共线，则a 的值为________．(2)已知直线l 过P (－2，－1)，且与以A (－4,2)，B (1,3)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．思路探究：(1)三点共线，则k AB ＝k AC ；(2)画出图形，数形结合找出斜率的临界值．(1)4 [由斜率公式得k AB ＝3－15－1＝2，因为A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，所以2＝a －17－1，解得a ＝4.] (2)根据题中的条件可画出图形，如图所示，可得直线P A 的斜率k P A ＝－23，直线PB 的斜率k PB ＝34.结合图形可知当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为，＋∞4. 当直线l 由与y 轴平行的位置变化到P A 位置时，它的倾斜角由90°增大到P A 的倾斜角，故斜率的变化范围是23.综上可知，直线l 的斜率的取值范围是23∪，＋∞4.直线l 要与线段AB 有交点，则直线l 应界于直线P A 、PB 之间，故k ≤k (1)证明三点共线：只需证此三点中任意两点确定的斜率相等(斜率存在).(2)求代数式x －a y －b 的最值或范围：由斜率公式k ＝x2－x1y2－y1的形式，可知x －a y －b 的几何意义是过P (x ，y )与P ′(a ，b )两点的直线的斜率.故可以利用数形结合来求解.[当 堂 达 标·固 双 基]1．斜率不存在的直线一定是( )A ．过原点的直线B ．垂直于x 轴的直线C ．垂直于y 轴的直线D ．垂直于过原点的直线B [斜率不存在的直线其倾斜角为90°，故垂直于x 轴，选B.]2．若－2π＜α＜0，则经过P 1(0，cos α)，P 2(sin α，0)两点的直线的倾斜角为( )A ．αB ．－αC ．2π＋αD ．π＋α C [设直线的倾斜角为β，则tan β＝θ－sin αcos α－θ＝－sin αcos α＝＋απ＝tan ＋απ因为－2π＜α＜0，∴0＜2π＋α＜2π，又β∈[0，π)，∴β＝2π＋α.选C.]3．已知经过两点(5，m )和(m,8)的直线的斜率等于1，则m 的值是( )A ．5B ．8C ．213D ．7C [依题意m －58－m ＝1，∴m ＝213， 选C.]4．已知直线AB 与直线AC 有相同的斜率，且A (1,0)，B (2，a )，C (a,1)，则实数a 的值是________．25 [依题意：k AB ＝k AC ，即2－1a －0＝a －11－0，解得a ＝25.]5．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．[解] 如图所示．∵k AP ＝2－11－0＝1，k BP ＝0－13－0＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.。