三角函数式的化简与三角恒等式的证明PPT
《诱导公式五、六》三角函数精美版课件
第2课时 诱导公式五、六
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课标阐释
1.理解并熟记诱导公式五和六.
2.能够利用诱导公式解决三角函数的求
值、化简与证明问题.
思维脉络
课前篇
自主预习
一
二
一、诱导公式五、六
1.观察单位圆,回答下列问题:
π
π
(1)角 α 与角2-α,角 α 与2+α 的终边有什么关系?
π
(2)角 α 与角 -α 的终边与单位圆的交点 P,P1 的坐标有什么关系?
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
利用诱导公式证明三角恒等式
例2求证:
3
2
2sin - π cos +
3π
1-2cos2 +
2
π -1
tan(9π + ) + 1
2
=
tan(π + )-1
.
分析:本题左、右两边的式子均较复杂,可考虑左、右两边分别
化简为同一式子进行证明.
课堂篇
2
π
角 α 与角 +α 的终边与单位圆的交点 P,P2 的坐标有什么关系?
2
π
提示:(1)角 α 与角 -α 的终边关于直线 y=x 对称,角 α 的终边关于
2
π
直线 y=x 的对称直线与角 +α 的终边关于 y 轴对称.
2
π
(2)角 α 与角2-α 的终边与单位圆的交点 P,P1 关于直线 y=x 对称;
时原函数值的符号,简称为“奇变偶不变,符号看象限”.
观察单位圆,回答下列问题:
观察单位圆,回答下列问题:
第五章 5.5.2 简单的三角恒等变换
5．5.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式推导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用．知识点一 半角公式 sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点二 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝b a1．cos α2＝1＋cos α2.( × ) 2．对任意α∈R ，sin α2＝12cos α都不成立．( × )3．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2＝63.( √ )4．对任意α∈R 都有sin α＋3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3.( √ )一、半角公式的应用例1 已知θ∈⎝⎛⎭⎫5π2，3π且sin θ＝45，求sin θ2，cos θ2，tan θ2的值． 解 ∵θ∈⎝⎛⎭⎫5π2，3π，且sin θ＝45. ∴cos θ＝－35，θ2∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2，∴sin θ2＝－1＋352＝－255， cos θ2＝－1－352＝－55，∴tan θ2＝sin θ2cosθ2＝2. (学生留)反思感悟 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． 跟踪训练1 已知sin α＝55，cos α＝255，则tan α2等于( ) A ．2－ 5 B ．2＋ 5 C.5－2 D ．±(5－2)答案 C解析 方法一 ∵sin α＝55，cos α＝255， ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝5－2.方法二 因为sin α＝55>0，cos α＝255>0，所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一或第三象限， 所以tan α2>0，故tan α2＝1－cos α1＋cos α＝1－2551＋255＝5－2. 二、三角恒等式的证明例2 求证：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ.证明 方法一 左边＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cosθ22sin 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝sin θ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sin θ2＝2sin θ＝右边．所以原式成立．方法二 左边＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ＝右边． 所以原式成立．反思感悟 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简． (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 跟踪训练2 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x 4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x 2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cos x 2＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立．三、三角恒等变换的综合问题例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋2cos x ，则f (x )的最大值为________． 答案5解析 f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x ＋255cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝2，∴f (x )max ＝ 5.(2)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. ①求ω的值；②讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 ①f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.②由①知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 反思感悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y ＝a sin x ＋b cos x 转化为y ＝A sin(x ＋φ)或y ＝A cos(x ＋φ)的形式，以便研究函数的性质．跟踪训练3 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上单调递增， 且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.三角函数的实际应用典例 如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m.(1)如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？(2)沿着AB ，BC ，CD 修一条步行小路从A 到D ，如何选择A ，D 位置，使步行小路的距离最远？解 (1)连接OB ，如图所示，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2. (2)由(1)知AB ＝20sin θ， AD ＝40cos θ，∴AB ＋BC ＋CD ＝40sin θ＋40cos θ＝402sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，34π， 当θ＋π4＝π2，即θ＝π4时，(AB ＋BC ＋CD )max ＝402，此时AO ＝DO ＝102，即当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，步行小路的距离最远．[素养提升] 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题．1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105B ．－105C.265D.255答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin α2＝1－cos α2＝105. 2．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α答案 D解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.3．函数y ＝－3sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤－π6，π6上的值域是________． 答案 [0，3]解析 y ＝－3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－x . 又∵－π6≤x ≤π6，∴0≤π6－x ≤π3.∴0≤y ≤ 3.4．已知sin α2－cos α2＝－15，π2<α<π，则tan α2＝________.答案 2解析 ∵⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15，∴1－sin α＝15，∴sin α＝45.又∵π2<α<π，∴cos α＝－35.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.5．化简：4sin θcos 2θ22sin θ＋sin 2θ＝________.答案 1解析 原式＝4sin θ·1＋cos θ22sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(1＋cos θ)2sin θ(1＋cos θ)＝1.1．知识清单： (1)半角公式． (2)辅助角公式．(3)三角恒等变换的综合问题． (4)三角函数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域．1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a2B.1－a2C ．－ 1＋a2D ．－1－a2答案 D解析 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 答案 C解析 由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°时，y ＝sin x 单调递增，∴a <c <b ，故选C. 3.cos 40°cos 25°1－sin 40°的值为( )A ．1 B. 3 C. 2 D ．2 答案 C解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2.4．(多选)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最大值为2 B ．f (x )的最小正周期为π C ．f (x )关于x ＝－π8对称D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 答案 BCD解析 ∵f (x )＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12. ∴f (x )max ＝22＋12＝2＋12，最小正周期T ＝2π2＝π.当x ＝－π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－1，∴x ＝－π8为对称轴． 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，综上有BCD 正确，A 不正确．5．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3 答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4.∴a ＝－4. 6．已知180°<α<270°且sin(α＋270°)＝45，则sin α2＝________，tan α2＝________.答案31010－3 解析 ∵sin(α＋270°)＝－cos α＝45，∴cos α＝－45，又90°<α2<135°，∴sin α2＝1－cos α2＝1＋452＝31010， tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1＋451－45＝－3. 7．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 答案 －π6解析 因为3sin x －3cos x＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6. 8．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝________. 答案 tan x 2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x＝tan x 2. 9．求证：12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan x 2－tan x 2＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 证明 左边＝12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2sin x 2－sin x 2cos x 2＋32cos 2x ＝12sin 2x ·cos 2x 2－sin 2x 2sin x 2cos x 2＋32cos 2x ＝sin 2x ·cos x sin x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝右边，原等式得证． 10．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k π＋5π12，k ∈Z .11．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( )A ．2＋sin αB ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4答案 C解析 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2. 12．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x ，当x ＝π4时，f (x )取得最大值，则a 的值为() A ．－ 3 B ．－1 C ．1 D. 3答案 C解析 ∵f (x )＝sin x ＋a cos x ＝1＋a 2sin(x ＋φ)，∴f (x )max ＝1＋a 2，依题意f ⎝⎛⎭⎫π4＝22＋22a ＝1＋a 2，解得a ＝1.13．已知cos θ＝－725，θ∈(π，2π)，则sin θ2＋cos θ2的值为________．答案 15解析 因为θ∈(π，2π)，所以θ2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin θ2＝1－cos θ2＝45，cos θ2＝－1＋cos θ2＝－35，所以sin θ2＋cos θ2＝15. 14．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________.答案 －1解析 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1.15.北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝________.答案 725解析 由题意5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. 所以cos θ－sin θ＝15. 又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.所以cos θ＋sin θ＝75. 所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 16.如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解如图所示，设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点，在Rt△ONC中，CN＝sin α，ON＝cos α，OM＝DMtanπ6＝3DM＝3CN ＝3sin α，所以MN＝ON－OM＝cos α－3sin α，即AB＝cos α－3sin α，而BC＝2CN＝2sin α，故S矩形ABCD＝AB·BC＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－ 3＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3＝2sin⎝⎛⎭⎫2α＋π3－ 3.因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3.故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S矩形ABCD取得最大值，此时S矩形ABCD＝2－ 3.。
第二节简单的三角恒等变换(第二课时)示范教
的三角函数表达式化简为基本的三角函数形式。
学生自我评价报告
1 2
知识掌握程度
大部分学生表示能够理解和掌握本节课所学的三 角恒等变换公式，并能够运用它们解决一些实际 问题。
学习方法
学生认为通过推导公式、举例验证以及大量练习 的方式，有助于加深对知识点的理解和记忆。
3
学习态度
学生表示在学习过程中保持积极的学习态度，认 真听讲、思考并积极参与课堂讨论。
02
实例2
证明$tanalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$。该恒等式可通过三角函
数的定义和商数关系式进行证明，也可通过几何意义进行解释。
03
实例3
证明$sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta$。
该恒等式是三角函数和差化积公式的基础，可通过向量的数量积或复数
方法三
利用三角恒等式。通过已知的三角恒等式，如正弦、余弦定理等，推导出三角形内角和定 理。
三角形外角定理证明
方法一
利用平行线的性质。通过延长三角形的一条边，并在延长线上取一点，连接该点与三角形的另外两个顶点，形成新的 三角形。根据平行线的性质，可以证明原三角形的外角等于新三角形的两个内角之和。
方法二
分析法
从已知条件出发，逐步推导出结论 ，证明过程中需注意逻辑严密性。
综合法
将归纳法和分析法相结合，既考虑 特殊情况，又考虑一般情况，从而 证明恒等式的正确性。
实例分析与讨论
01
实例1
证明$sin^2alpha + cos^2alpha = 1$。该恒等式是三角函数的基本
恒等式之一，可通过勾股定理或三角函数定义进行证明。
三角恒等变换
2， π 2cos4＝－1， 2，最小值为－
3π f 4 ＝
3π π 2sin 2 －4＝－
所以函数 1.
π 3π f(x)在区间8， 4 上的最大值为
【考情分析】
两角和与差的三角函数公式及倍角公式一直是高考数学的 热点内容之一，可对其直接考查，主要是作为工具在有关三角 函数的解答题中进行考查，各种题型均可能出现，难度不大， 分值4～6分．
π α α 2 cos2 . α，再升幂或化为sin2± 1± cos2±
(4)asin α ＋ bcos α→ 辅 助 角 公 式 asin α ＋ bcos α ＝ b a ＋b · sin(α ＋ φ) ， 其 中 tan φ ＝ a 或 asin α ＋ b cos α ＝
2
升幂：1＋cos 2α＝2cos2 α， 1－cos 2α＝2sin2 α.
(4) 角的变换．角的变换沟通了已知角与未知角之间的联 系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的变换有： α＝(α＋β)－β， 1 α＝β－(β－α)，α＝2[(α＋β)＋(α－β)] ， 1 α＝2[(α＋β)－(β－α)] ， α＋β＝(2α＋β)－α 等． (5)公式的逆用和变用．
sin 47° －sin 17° cos 30° 6．(2013· 重庆高考) ＝( cos 17° 3 A．－ 2 1 C.2 1 B．－2 3 D. 2
)
sin 47° －sin 17° cos 30° 解析： cos 17° sin17° ＋30° －sin 17° cos 30° ＝ cos 17° sin 17° cos 30° ＋cos 17°sin 30° －sin 17°cos 30° ＝ cos 17° 1 ＝sin 30° ＝2，选 C. 答案：C
诱导公式ppt课件
课堂巩固
D 1.已知 cos
3 5
，0
2
，则 cos
2
的值为(
)
A. 4
B. 3
3 C.
4 D.
5
5
5
5
解析：因为 cos 3 ， 0 ，所以sin 4 ，
5
2
5
则 cos
2
sin
4 5
.故选：D.
2.若 为第二象限角,且 tan π 1 ,则
2
1 cos 1 sin( π
x2, tan(π )
y2 x2
.
从而得到公式二
sin(π ) sin
cos(π ) cos
tan(π ) tan
Hale Waihona Puke (2)如果作P关于x轴(或y轴)的对称点P3(或P4)，那么又可以得到什么
结论?
如图，作 P1 关于 x 轴的对称点 P3 ，则以OP3 为终边 的角为 ，并且有
公式三
)
解：
tan( 180) tan[(180 )] tan(180 ) tan ，
cos(180 ) cos[(180 )] cos(180 ) cos ，
所以原式
cos sin ( tan )(cos )
cos
.
作 P1 关于直线
y=x
的对称点
P5，以
OP5 为终边的角
与角 π 2
根据三角形的定义，得
x5 y1 ， y5 x1
从而得
sin
π 2
y5
，
cos
π 2
x5
公式五
sin
π 2
cos
cos
π 2
高中数学三角函数诱导公式ppt课件
单调性
正弦函数和余弦函数在 $[0, pi]$和$[0, 2pi]$上单 调性不同；正切函数在$(frac{pi}{2}, frac{pi}{2})$ 上单调递增。
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
诱导公式
通过加减周期的整数倍，将任意角度 的三角函数转化为基本角度的三角函 数，实现角度的标准化。
典型例题解析
例题1
求sin(150°)的值。
01
解析
02 利用诱导公式，将150°转化为
30°，即 sin(150°)=sin(30°)=1/2。
例题2
求cos(-420°)的值。
03
解析
利用周期性质，将-420°转化 为60°，即cos(420°)=cos(60°)=1/2。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
例题2
化简表达式(sinα
+
cosα)/(sinα - cosα)。
例题3
证明恒等式(1 + sinα + cosα)/(1 + sinα - cosα) = (1 + cosα)/sinα。
三角函数的诱导公式(一) 省一等奖课件
(4) 设点P(x，y)，则点P'怎样表示？ [P' (－x,－y) ]
(5) sin210 与sin30 的值关系如何？
o o
讲授新课
对于任意角 ，sin与sin(180＋ ) 的关系如何呢？
讲授新课
思考下列问题二： (1) 角与(180 +)的终边关系如何？
o o
(2) 设与(180 +)的终边分别交单位圆于P， P'，则点P与P'具有什么关系？
公式吗？其公式结构特征如何？
讲授新课
诱导公式(三)
讲授新课
诱导公式(三)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
讲授新课
诱导公式(三)的结构特征
讲授新课
诱导公式(三)的结构特征
① 函数名不变，符号看象限 (把看作 锐角时); ② 把求(－)的三角函数值转化为求 的三角函数值.
o o
tan与tan(180 +)关系如何？
o
(5) 经过探索, 你能把上述结论归纳成公式
吗？其公式特征如何？
讲授新课
诱导公式(二)
讲授新课
诱导公式(二)
sin( 180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan
o
(2) 210 角的终边与30 的终边关系如何？ [互为反向延长线或关于原点对称]
o
பைடு நூலகம்
o
讲授新课
思考下列问题一： (3) 设210 、30 角的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P'的位置关系如何？
o o
(4) 设点P(x，y)，则点P'怎样表示？
简单的三角恒等变换课件
【例 3】
求证：sins2inα＋α β－2cos
(α＋β)＝ssiinn
β α.
[思路探索] 式中涉及角 α、β、α＋β，2α＋β，因此可以把 2α＋
β 化为(α＋β)＋α，再进行证明．
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
题型四 三角函数的实际应用 【例 4】 点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形 ABTP 面积最 大？ 审题指导 先画图 ――用―α―→ 表示出四边形 ABTP 的面积 ―三―利角―用公――式→ 求最值 ――得―出――→ α值
α2＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs α，
cos 2 cos 2ห้องสมุดไป่ตู้2sin 2
αα
α
sin α＝2sin
α 2cos
α2＝s2isni2nα2＋2ccooss22α2＝12＋tatnan22α2.
cos α＝cos2α2－sin2α2，
＝ccooss22αα22－ ＋ssiinn22αα22＝11－ ＋ttaann22αα22.
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以
sin
α，得sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α
规律方法 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征， 通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方 法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为 整式来证．
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系
互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确 定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异， 有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α
数学课件：3-2-1 三角恒等变换
1 6 1－3＝－ 3 .
6 －3 － 6 2－ 6 α sinα ∴tan2＝ ＝ ＝ ＝ 2 . 1＋cosα 3 3＋ 3 1＋ 3
规律总结：比较上述三种解法，可知在求半角的正切 α α tan 时，用tan ＝± 2 2 1－cosα 来处理，要由α所在的象限确定 1＋cosα
α 2 所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符 α 1－cosα α sinα 号；而用tan2 ＝ sinα 或tan 2 ＝ 来处理，可以避免这 1＋cosα 1－cosα α 些问题，尤其是tan 2 ＝ sinα ，分母是单项式，容易计 α 1－cosα 算．因此常用tan2＝ sinα 求半角的正切值．
[解析]
α 解法一：(用tan2＝±
1－cosα 来处理) 1＋cosα
∵α为第四象限角； α α ∴2是第二或第四象限角．∴tan2<0. α ∴tan2＝－ 1－cosα ＝－ 1＋cosα 3 1－ 3 ＝－ 2－ 3 3 1＋ 3
2－ 6 1 1 2 ＝－2 8－4 3＝－2 6－ 2 ＝ 2 .
2C
)
[答案] B
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在三角函数中也有这样的演员——三角恒等变换，它们 摇身一变又会呈现出怎样的新面孔呢？
自主预习 阅读教材P139－140回答下列问题． 1．半角公式(不要求记忆) α sin2＝±
± 1－cosα 1＋cosα
1－cosα α ± 2 ，cos2＝
1＋cosα 2