§5.5 《向心加速度》学案
5.5向心加速度
0505《向心加速度》导学案班级：姓名：第组【学习目标】1．掌握向心加速度的特点，并能熟练运用公式解题。
2．自主学习、合作探究，学会用向心加速度的公式分析与计算。
3．积极投入，全力以赴，获得成功的喜悦，提高学习物理的兴趣和信心。
预习案【知识梳理】一、圆周运动的实例分析1．实例分析：（1）地球绕太阳做近似的匀速圆周运动，地球受到太阳的，方向由地球球心指向太阳中心。
（2）光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动，小球受到的力有、桌面的、细线的，其中和在竖直方向上平衡，总指向圆心。
2．结论猜想：一切做匀速圆周运动的物体所受的合力及其加速度均指向。
二、向心加速度1．定义：任何做匀速圆周运动物体都有指向的加速度，这个加速度叫做向心加速度。
2．大小：（1）；（2）。
3．方向：沿半径方向指向，与线速度方向。
探究案【质疑探究】——质疑解疑、合作探究探究点一向心加速度表达式的推导问题1：速度变化量Δv的求法：从同一点O作出物体在一段时间的始末两个速度矢量v1和v2，从从初速度v1的至末速度v2的作一个矢量，就是Δv问题2：如图所示，一质点做匀速圆周运动，设某一时刻质点运动到A点，速度为v A，经过Δt时间后运动到B点速度为v B。
试推导向心加速度的表达式。
探究点二对向心加速度方向的理解问题3：物体做匀速圆周运动时，其速度方向沿圆周的切线方向。
如果没有力的作用，物体将因惯性而沿着切线方向运动，而实际物体是沿圆周运动，这表明物体受到了力的作用，产生了加速度。
想一想：假如物体在圆周上某一点的加速度方向跟速度的方向不垂直，物体沿圆周运动还能保持“匀速”吗？问题4：加速度是描述速度变化快慢的物理量，那么，向心加速度是描述角速度变化的快慢还是描述线速度变化的快慢？是描述线速度大小变化的快慢，还是描述线速度方向变化的快慢？问题5：向心加速度是恒量还是变量？匀速圆周运动是匀变速曲线运动，还是变加速曲线运动？针对训练1：下列说法中正确的是 ( )A．向心加速度是描述角速度变化快慢的物理量 B．向心加速度是描述线速度变化快慢的物理量C．向心加速度总是与速度方向垂直 D．向心加速度只改变速度的方向规律总结：探究点三对向心加速度表达式的理解问题6：从公式2nvar=看，向心加速度na与圆周运动的半径r成反比；从公式2na rω=看，na与圆周运动的半径r成正比。
人教版高一物理必修二：5.5 向心加速度导学案设计(无答案)
姓名班级组别组内评价教师评价编写人：岳志兵审核：高一物理组编号：日期：§5.5 _向心加速度【学习目标】1.理解匀速圆周运动的加速度指向圆心，所以又叫做向心加速度。
2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式【学习重、难点】重点：向心加速度和线速度、角速度的关系式。
难点：：能够运用向心加速度公式求解有关问题。
【自主学习】一、匀速圆周运动的特点：1、线速度：；2、角速度 :3、3、线速度与角速度的关系是。
二、向心加速度1、定义；2、公式3、单位4、方向。
5、物理意义三、匀速圆周运动是匀变速曲线运动吗？【合作探究】探究一：：探究向心加速度大小的表达式。
探究二：从公式rv a n 2=看，向心加速度与半径成反比； 从公式 2rw a n =看，向心加速度与半径成正比；这两个结论是否矛盾？【当堂检测】1.匀速圆周运动属于（ ）A.匀速运动B.匀加速运动C.加速度不变的运动D.变加速度的曲线运动2.下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是（ ）A.向心加速度越大，物体速率变化越快B.向心加速度越大，物体速度变化越大C.向心加速度越大，物体速度方向变化越快D.在匀速圆周运动中向心加速度是恒量3.关于质点做匀速圆周运动的下列说法中正确的是（ ）A.由rv a 2=知，a 与r 成反比 B.由2ωr a =知，a 与r 成反比C.由rv =ω知，ω与r 成反比 D.由n πω2=知，ω与n 成正比4、某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图3所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为ω，则丙轮边缘上某点的向心加速度为（ ）A ．3221r r ω B ．21223r r ω C ．22233r r ω D ．3221r r r ω 图3【课后反思】 。
5.5向心加速度导学案
5．5向心加速度导学案知识与技能：1、知道匀速圆周运动是变速运动，具有指向圆心的加速度——向心加速度2、会用矢量图表示速度变化量与速度之间的关系，了解加速度与速度、速度变化量的区别3、会应用所学知识推导向心加速度的表达式，能根据具体问题情景选择合适的向心加速度表达式进行分析和计算。
初步体会圆周运动中运动与力的关系。
过程与方法：1、运用牛顿第二定律，“从力推知加速度”的思路，掌握向心加速度的大小和方向；2、利用在矢量状态下速度变化量与加速度之间的联系，从“速度的变化量”入手，结合“极限思想”（时间极短）推导出“向心加速度的大小的表达式”。
情感态度与价值观：学习正确的分析问题思路，体会极限思想。
学习重点：1、向心加速度表达式的推导和理解2、向心加速度的大小和方向的分析计算学习难点:1、向心加速度表达式的推导和理解2、向心加速度的大小和方向的分析计算知识链接：运动与力的关系（牛顿第二定律、加速度的定义式及其矢量性），极限思想教具：多媒体软件学习过程一、独立自学请同学们在阅读教材的基础上解决以下问题（一）知识准备：1、在高处某点O以v0水平抛出一石子，不计空气阻力，g=10m/s2,试求抛出后经过△t=1s，石子速度变化量△v的大小与方向？（提示：依a=△v/△t可知：△v与a方向相同，大小△v= a△t）（二）感知与思考事例一：月球绕地球做(近似)匀速圆周运动，月球受到什么力作用？此力可能沿什么方向？事例二：光滑桌面上一小球用细线拴住后绕桌面上固定的图钉做匀速圆周运动，小球受到几个力的作用？这几个力的合力是谁？沿什么方向？我的感悟：做匀速圆周运动的物体所受合力总指向__________ ,加速度指向___________ （时刻变化），此加速度叫_________________二、合作交流，释疑解难做一做：某物体在半径为r 的圆周上以线速度v （角速度ω）做匀速圆周运动，请根据加速度定义式a =△v /△t ，结合相关的知识（矢量差法、三角形相似规律、极限思想等）尝试推导出向心加速度a n 的表达式：结论：（说一说）：从公式a n =v 2/r 看，向心加速度a n 与圆周半径r 成反比，而从看a n =ω2r ，a n 与圆周半径成正比，这两个结论是否矛盾？如何理解？[思考题]：1、如图为质点P 、Q 做匀速圆周运动时向心加速度a n 随半径变化的图象，表示质点P 的图象是双曲线，表示Q 的图象是一条过原点直线，由图象可知： A ．质点P 的线速度大小不变B ．质点P 的角速度大小不变C ．质点Q 的角速度随半径变化D ．质点Q 的线速度大小不变三、反馈检测，拓展提高1、甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，以下各种情况下哪个物体的向心加速度比较大？A ．它们的线速度大小相等，乙的半径小B ．它们的周期相等，甲的半径大C ．它们的角速度相等，乙的线速度小D ．它们的线速度大小相等，在相同时间内甲与圆心的连线扫过的角度比乙的大2、关于物体做匀速圆周运动，其向心加速度的说法正确的是（ ）A ．与线速度方向始终相同B ．与线速度方向始终相反C ．始终指向圆心 Ｄ．始终保持不变a O3、A、B两个快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4：3，运动方向改变的角度之比是3：2，它们的向心加速度之比是多少？4、一轿车以30m/s的速率沿半径为60m的圆弧公路行驶，当轿车从A处运动到B处时，轿车和圆心的连线转过的角度为90°，求：（1）此过程中轿车的位移大小；（2）此过程中轿车通过的路程；（3）轿车运动的向心加速度的大小。
高中物理 5.5向心加速度导学案 新人教版必修2
第五章曲线运动第五节向心加速度【学习目标】1、知道匀速圆周运动是变速运动，存在加速度。
2、理解匀速圆周运动的加速度指向圆心，所以又叫做向心加速度。
3、知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。
4、能够运用向心加速度公式求解有关问题。
【重点、难点】学习重点：理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心加速度的确定方法和计算公式学习难点：向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的应用预习案自学设计 --课前预习学生阅读教材，思考并回答。
1、匀速圆周运动的特点：线速度：；角速度。
(“存在”或“不存在”)加速度。
2、向心加速度，公式，，单位，方向。
物理意义。
3、匀速圆周运动是匀变速曲线运动吗？【学始于疑】探究案A B C【合作探究一】学生阅读教材 “思考与讨论”部分，投影图5..5－1和图5.5－2以及对应的例题，思考并回答。
例一结论：例二结论：你还能举出几个类似的匀速圆周运动的例子吗？合作探究二1、速度变化量回忆有关速度问题，引导学生在练习本上画出在一条直线上物体加速运动和减速运动时速度变化量Δv 的图示，思考并回答问题：（1）速度的变化量Δv 是矢量还是标量？(2).如果初速度v 1和末速度v 2不在同一直线上，如何表示速度的变化量Δv ？画出物体加速运动和减速运动时速度变化量的图示。
点拨：对比同一直线上两个力的合成力的合成以及互成角度的两个力的合成法则中的三角形定则2、向心加速度 学生阅读教材 “向心加速度”部分及投影图5.5－3，思考讨论一下问题：（1）在A 、B 两点画速度矢量v A 和v B 时，要注意什么？（2）将v A 的起点移到B 点时要注意什么？（3）如何画出质点由A 点运动到B 点时速度的变化量Δv ？（4）Δv ／Δt 表示的意义是什么？（5）推导向心加速度的表达式。
点拨：相似三角形对应边成比例合作探究三 从公式Rv a 2=看，向心加速度与圆周运动的半径成反比？从公式R a 2ω=看，向心加速度与半径成正比，这两个结论是否矛盾？请从以下两个角度来讨论这个问题。
高中物理 5.5 向心力向心加速度学案新人教版必修
高中物理 5.5 向心力向心加速度学案新人教版必修5、5向心力与向心加速度学习目标:1、进一步掌握向心力、向心加速度的有关知识，理解向心力、向心加速度的概念。
2、熟练应用向心力、向心加速度的有关公式分析和计算有关问题教学重点：理解向心力、向心加速度的概念并会运用它们解决实际问题教学难点：应用向心力、向心加速度的有关公式分析和计算有关问题梳理案1、向心力①做匀速圆周运动的物体所受的合外力总是指向，所以叫、②向心力公式: ③向心力总是指向圆心，而线速度沿圆周的切线方向，故向心力始终与线速度垂直，所以向心力的作用效果只是改变物体线速度的而不改变线速度的、④向心力是指向圆心的合力,是按照命名的,并不是物体另外受到的力,向心力可以是重力、、等各种力的合力，也可以是其中某一种力或一种力的分力。
2、向心加速度①向心力产生的加速度也总是指向，叫、②公式:ａ＝＝＝3、离心运动①定义：②本质：③特别注意：离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动,离心运动并不是受到什么离心力作用的结果，根本就没什么离心力。
探究案竖直平面的圆周运动：是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体经过最高点和最低点的运动情况，并且经常出现临界状态，下面分两种情况对临界问题进行分析。
1、如图所示的小球在竖直平面内做圆周运动经过最高点的情况：①临界条件：小球到最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供做圆周运动的向心力。
②能通过最高点的条件：_________________2、如图所示的小球在竖直平面内做圆周运动经过最高点的情况：① 临界条件：由于轻杆或管壁的支撑，小球能到达最高点的条件是小球在最高点时速度可以为零。
② 当0＜v＜时，杆对球的作用力表现为________，大小为__________，力随速度增大而____________。
③ 当v＞时，杆对球的作用力表现为______，大小为___________，力随速度增大而________。
高中物理精品学案 5.5向心加速度
§5、5向心加速度【学习目标】1.知道匀速圆周运动是变速运动，具有指向圆心的加速度—向心加速度。
2．知道向心加速度表达式，能根据问题情境选择合适的向心加速度的表达式并会用来进行简单的计算。
3．会用矢量图表示速度变化量与速度之间的关系，理解加速度与速度.速度变化量的区别。
【重难点】重点：理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心加速度的确定方法和计算公式．难点：向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用．预习案【自主学习】------大胆试仔细默读课本P20-21，思考以下几个问题：1、地球绕太阳作近似匀速圆周运动，地球受太阳的合力是_________，方向________。
2、光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.小球受到的力有________，桌面的________，细线的________.其中________和________在竖直方向上平衡，________总是指向圆心。
3、猜想：一切做匀速圆周运动的物体的合外力和加速度方向均指向________。
4、向心加速度定义：做匀速圆周运动的物体指向________的加速度。
物理意义：________________。
大小：a n=____ =____ =____ =____ =____ =____（n的单位为r/s），方向：。
第五章新授课听得懂 会做题 想明白 讲清楚 能命题 - 2 -8 一题多解 一题多变 多题一解课堂探究案【合作探究】------我参与 探究点一 、速度的变化量问题一：如何用矢量图表示速度变化量？作法：从同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量1v 和2v ，从 的末端作一个矢量v ∆至 的末端，所作的矢量v ∆就等于速度的变化量。
（1）请在图中标出速度变化量△v（2）曲线运动的速度变化量：例1、如图，物体沿顺时针方向做匀速圆周运动，角速度ω=πrad/s ，半径R=1m 。
5.5 向心加速度 优秀教案优秀教学设计 高中物理必修2新课 第五章：曲线运动 (1)
5 向心加速度（一）指导思想与理论依据概念是构成物理知识的基础，正确地理解、掌握物理概念是学好物理的保证。
在教学中如果能根据物理概念的特点以及学生的认知规律，运用认知心理学理论设计概念教学过程，必将有利于学生对概念的习得。
根据现代认知理论，知识的习得可分为三个阶段：知识的领会、知识的巩固、知识的应用。
结合物理概念的特点，其教学的过程也可分为三个阶段：概念的领会、概念的理解和概念的应用。
本课时的教学将遵从现代认知理论设计教学过程。
（二）学习内容分析1．本节在教材中的地位向心加速度是加速度概念的延续，同时是圆周运动与向心力之间的纽带。
理解向心加速度将为理解向心力与圆周运动的关系奠定良好的基础。
利用向心加速度分析圆周运动速度变化的问题继承了运动学分析问题的一般方法。
这部分内容既可以复习直线运动的知识，更为今后圆周运动的解决提供方法。
2．本节在课程标准中的内容知道向心加速度的概念，及其应用（三）学生情况分析学生通过必修1的学习，已经了解了直线运动的解决方法。
通过牛顿运动定律的学习已经体会了力与运动的关系。
对曲线运动条件的学习，让学生已经认识到曲线运动都是变速运动，一定会产生加速度。
对于圆周运动中加速度的问题，学生应该不会觉得陌生。
（四）创新之处1．创设情景的全程性本节整体设计的提出是基于学生对向心加速度的认识和理解。
首先通过花样滑冰、链球比赛这两个视频观察做圆周运动的物体需要怎样的力。
而后通过学生实验：朔料杯中的小球做圆周运动和细线拉着的小球在水平桌面上做圆周运动，让学生亲自体会做圆周运动的物体受到的力是如何提供的。
得出做圆周运动的物体受到指向圆心的力，由这个力产生的加速度称为向心加速度。
在推导向心加速度大小时，利用做好的泡沫板大圆和毛衣针、磁帖、磁条动态的演示△t 趋于零时△v的极限过程。
同时要求学生做图，体会△v的方向和大小，进而推导出向心加速度的表达式。
在应用向心加速度的表达式时，展示拆卸好的自行车轮盘和制做好的皮带轮，让学生感受从实际应用到构建模型，体会物理的研究方法。
人教版必修二5.5《向心加速度》WORD教案16
(3)单位：rad／s
(4)物理意义：
3．转速和周期
二、线速度，角速度、周期间的关系
v=rω=2πr／Tω=2π／T
教学后记
一、线速度
师：我们曾经用速度这个概念来描述物体做直线运动时的快慢，那么我们能否继续用这个概念来描述圆周运动的快慢呢?如果能，该怎样定义?下面就请同学们自主学习课本第45页上有关线速度的内容：
给出阅读提纲，学生先归纳，然后师生互动加深学习．
(出示课件)阅读提纲
(1)线速度的物理意义，
(2)线速度的定义(和直线运动中速度定义的比较)；
(3)线速度的定义式；
(4)线速度的瞬时性；
(5)线逮度的方向；
(6)匀逮圆周运动的‘匀速”同’匀速直线运动’的‘匀遵”一样吗?
学生在老师的指导下，自主阅读，积极思考，然后每四人一组进行讨论、交流，形成共识．
生：线速度的物理意义反映了质点在单位时间内通过的弧长的多少．
生：线速度是利用物体通过的弧长与所用时间的比值来定义的．
点评，教师明确告诉学生角速度是矢量．但高中阶段不研究其方向，让学生体会学习是无止境的．
师：教材中还提到了描述圆周运动快慢的两种方法，它们是什么?单位如何?
下面请同学们阅读教材第46页的有关内容，掌握转速和周期的概念．
四、线速度与角速度的关系
师：线速度和角速度都能描述圆周运动的快慢，它们之间有何关系呢?下面请同学们依据刚学过的线速度和角速度的概念和定义，推导出线速度和角速度的关系v=rω．
学生活动
作业
[布置作业]
完成教材第47页“问题与练习”中的l～5题．
板书设计
5.5圆周运动
一、描述匀速圆周运动的有关物理量
5.5向心加速度导学案.
向心加速度【主备人：徐宏伟审查人：曹新平】一【自主学习】（一）学习目标1. 知道匀速圆周运动是变速运动，具有指向圆心的加速度—向心加速度。
2．知道向心加速度表达式，能根据问题情境选择合适的向心加速度的表达式并会用来进行简单的计算。
3．会用矢量图表示速度变化量与速度之间的关系，理解加速度与速度. 速度变化量的区别。
4．体会匀速圆周运动向心加速度方向的分析方法。
5. 知道变速圆周运动的向心加速度的方向和加速度的公式。
教学重点:理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心加速度的确定方法和计算公式．教学难点: 向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用．自主学习仔细默读课本P20-21，思考以下几个问题！1. 地球绕太阳作近似匀速圆周运动，地球受太阳的合力是________，方向________________。
2. 光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕做面上的图钉做匀速圆周运动. 小球受到的力有________，桌面的________，细线的________.其中________和________在竖直方向上平衡，________总是指向圆心。
3. 猜想：一切做匀速圆周运动的物体的合外力和加速度方向均指向________。
4、从同一点做出物体在一段时间的始末两个速度矢量v 1和v 2，从初速度矢量v 1的________至末速度矢量v 2的________做一个矢量△v ，矢量△v 就等于________。
在直线运动中，△v 与v 的方向可以________，也可以________；在曲线运动中，v 1.v 2和△v 不在________上，但△v 同样能用上述方法求得。
5. 向心加速度定义：做匀速圆周运动的物体指向________的加速度。
公式：a n =____ =____ =____ =____ =____ =____ 。
（n 的单位为r/s）二【合作探究】以小组为单位讨论下述问题，展示自己的看法。
高中物理 5.5向心加速度学案 新人教版必修2
第五章曲线运动第5节向心加速度班级学号姓名成绩【课程学习目标】（1）理解速度变化量和向心加速度的概念。
（2）知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。
（3）能够运用向心加速度公式求解有关问题。
重点：理解匀速圆周运动的加速度特点，掌握向心加速度的计算公式。
难点：向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用。
【课堂导学】1、复习引入：问题1：什么是匀速圆周运动？有什么特点？问题2：匀速圆运动是匀速运动还是变速运动？有没有加速度？*2、推导匀速圆周运动的加速度公式：（1）速度变化量下图中，v1表示初速度，v2表示末速度，请在图中标出速度变化量△v（2）设一质点作匀速圆周运动，轨迹半径为r，线速度为v，角速度为ω，周期为T，试推导它的加速度的表达式和方向。
（结合教材p21页“做一做”栏目，进行推导）3、结论：（1）任何做匀速圆周运动的物体的加速度方向都指向，这个加速度叫做。
（2）向心加速度的表达式：A B C a = = = = = 。
【典例分析】1、向心加速度的物理意义：例1：关于向心加速度，下列说法正确的是 （ ）A.向心加速度是描述角速度变化的快慢的B.向心加速度是描述线速度大小变化的快慢的C.向心加速度是描述线速度方向变化的快慢的D.向心加速度的方向是恒定的针对训练1-1：下列关于匀速圆周运动的说法正确的是： （ ）A.匀速圆周运动是匀速运动B.匀速圆周运动是匀变速运动C.匀速圆周运动是变加速运动D.匀速圆周运动的加速度是恒定的2、向心加速度的公式的理解和应用例2：从公式R v a 2看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式a =ω2R 看，向心加速度与半径成正比，这两个结论是否矛盾？请从以下两个角度来讨论这个问题。
①在y =kx 这个关系式中，说y 与x 成正比，前提是什么？ ②自行车的大齿轮，小齿轮，后轮三个轮子的半径不一样，它们的边缘上有三个点A 、B 、C ，其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？针对训练2-1如图所示为质点P 、Q 做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图线，表示质点P 的图线是双曲线，表示质点Q 的图线是过原点的一条直线．由图线可知（ ）A ．质点P 的线速度大小不变B ．质点P 的角速度大小不变C ．质点Q 的角速度不变D ．质点Q 的线速度大小不变*3、向心加速度的推导*例3：如下图，物体沿顺时针方向做匀速圆周运动，角速度ω=πrad/s ，半径R =1m 。
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1
§5.5 向心加速度
教学目标：
1．理解向心加速度的产生及向心加速度的概念。
2．掌握向心加速度公式，并能进行有关的计算。
重难点分析
重点：向心加速度与线速度、角速度、周期和转速的关系。
难点：向心加速度的方向和大小的理论推导。
教学过程
★复习
1．加速度是表示物体 的物理量，公式a ，方向与速度
变化量的方向 。
2．速度的变化量等于物体的 减去 ，公式v ， 量，
它的运算遵循 （或 ）定则。
（1）在同一直线上的速度的变化
（2）不在同一直线上的速度的变化
3．匀速圆周运动的特点：线速度大小 ，方向 ，角速度 ,周期 ，
转速 。四者之间的关系是：v = = ， = = 。
★导入新课
思考与讨论：
1．地球绕太阳做（近似的）匀速圆周运动。地
球受到什么力的作用？这个力可能沿什么方向？请
在图上画出地球受力的示意图。
0
v
v
v
0
v
v
v
0
v
v v 甲 乙 v 丙 0v v
v
v
0
v
正
m/s20v 5m/sv v m/s 方向与0v的方向 。 m/s50v m/s2v v m/s 方向与0v方向 。 m/s20v
m/s3v
v
m/s
方向与0v方向 。
2
2．光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面
上的图钉做匀速圆周运动。小球受到几个力的作用？这
几个力的合力沿什么方向？请在图上画出小球受力的示
意图。
3．物体做圆周运动，速度的方向 ，是 运动，加速度一定 零，
合力也一定 零，加速度的方向与合力的方向 。
实例结论： 。
一．向心加速度
1．定义：做匀速圆周运动的物体 的加速度叫做向心加速度。
2．方向： （ ）。
3．大小：na 。
推论：na = = = = 。
★做一做（不讲）
向心加速度的方向、大小的理论推导：
如图所示，物体沿半径为r的圆周运动，经
过时间t从A点转到B点，通过的弧长为⌒AB，
弦长为s（即位移的大小为s）。由加速度定义
可得tva，该加速度是物体从A点转到B点
的平均加速度，其方向就是v的方向，由图可
知它并不与半径平行，即并不指向圆心。Av、
B
v
、v组成等腰三角形，当t很小很小时，A、B两点非常接近，矢量三角形的顶角
趋向于0°，v也就与Av（或Bv）垂直，指向圆心了，而a方向与v方向相同，所以此
时加速度（瞬时加速度）方向沿半径指向圆心。上面A点是任意选取的，圆周上其它各点
也是如此，所以做匀速圆周运动的物体在圆上的任何位置加速度方向都是沿半径指向圆心
的。
Av、B
v
、v组成的三角形与△AOB相似，则
rvsv，即srvv，则rvtstv
。
当t很小很小时，tv就是瞬时加速度a，弦长s等于弧长⌒AB，则s△t =⌒AB△t，故ts就
是做匀速圆周运动的物体的瞬时线速度v，因此rvtva2。
O
A
B
A
v
A
v
B
v
v
r
s
3
4．理解
（1）向心加速度是 量，方向 ，始终与 ，所以向心加速度
只改变 ，而不改 。向心加速度的大小表
示 ，向心加速度越大，速度方向变化得 。
（2）rvan2和ran2适用于所有的圆周运动。物体做匀速圆周运动时，na就是合a；
物体做非匀速圆周运动时，合a必有一个沿切向的分量ta和一个沿半径指向圆心（法向）的
分量na，其中沿半径指向圆心的分量就是 。如图所示：
（3）rvan2和ran2
当r一定时，2van、2na；
当v一定时，ran1；
当一定时，ran。
例1．关于向心加速度，下列说法中正确的是（ ）
A．向心加速度是描述线速度变化的物理量
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变
D．向心加速度方向总跟速度方向垂直
例2．如图所示，1O为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为1r，2O为从动轮的轴心，
轮半径为2r，3r为固定在从动轮上的小轮半径。已知122rr，135.1rr。A、B、C分
别是三个轮边缘上的点，则A、B、C三点的向心加速度之比是（皮带不打滑）（ C ）
A．1:2:3 B．2:4:3 C．8:4:3 D．
3:6:2
①匀速圆周运动 na只改变v的 ②非匀速圆周运动
na只改变v的 ，t
a
只改变v的 。
加速圆周运动
减速圆周运动
v naa合 O v
合
a
na ta O v 合a n
a
t
a
O
4
解析：
A、B
两点皮带传动，则BAvv，
由rrvan12知：1212rraaBA。
B
、C两点共轴传动，则CB，由rran2知：3432rraaCB，则
3:4:8::CBAaaa
。
练1．如图所示，O、1O为两个皮带轮，O轮的半径为r，1O轮的半径为R，且R＞
r
。M点为O轮边缘上的一点，Q点为1O轮边缘上的一点、N点为1O轮上的任意一点，
当皮带轮匀速转动时(转动过程中不打滑)，则（ ）
A．Ma一定大于Qa
B．Ma可能等于Na
C．Qa一定大于Na
D．Qa可能等于Na
练2．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之
比是4:3，运动方向改变的角度之比是3:2，它们的向心加速度之比是多少？
1
O
2
O
A
1
r 3r 2r
B
C
M
Q
O
1
O
N