dibenedetto公式
dynkin公式的推广以及某类二阶偏微分方程的概率解
dynkin公式的推广以及某类二阶偏微分方程的概率解Dynkin公式是随机微积分中重要的结果，用于描述马尔可夫过程在其中一时刻的条件期望值与在另一时刻的条件期望值之间的关系。
在这篇文章中，我们将介绍Dynkin公式的推广，以及如何将其应用于其中一类特定的二阶偏微分方程的概率解。
首先，让我们回顾一下经典的Dynkin公式。
设X(t)是一个连续时间、连续状态空间的马尔可夫过程，其生成元为A。
对于任意可测函数f(x)，Dynkin公式可以写成以下形式：E[f(X(t+\tau)) ， X(t)=x] = f(x) +E\[\int_{t}^{t+\tau}{Af(X(s)，X(t)=x)}ds\]其中，E[...]表示取期望值的操作，Af(x，X(t)=x)表示A作用于函数f(x)之后的结果。
Dynkin公式的一个重要应用是用于计算马尔可夫过程在给定初始状态下的条件期望值。
现在，让我们来讨论Dynkin公式的推广。
在一些情况下，我们可能需要考虑更一般的情形，例如马尔可夫过程在空间和时间上都具有离散性。
对于这种情形，我们可以利用随机递归方程的理论来推广Dynkin公式。
具体来说，我们可以将时间离散为n个时刻，状态空间离散为m个状态。
令X(n)表示马尔可夫链在第n个时刻的状态，通过定义递归方程来计算条件期望值。
进一步推广，我们还可以将Dynkin公式应用于其中一类特定的二阶偏微分方程的概率解。
例如，考虑求解如下形式的二阶偏微分方程：A\[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\] +B\[\frac{\partial^2u}{\partial x \partial y}\] +C\[\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\] + D\[\frac{\partialu}{\partial x}\] + E\[\frac{\partial u}{\partial y}\] + Fu = 0其中A、B、C、D、E、F是常数。
高等数学牛顿—莱布尼茨公式
b
a
f ( x)dx F ( x) a F (b) F (a).
“Newton—Leibniz公式”
b
例3
计算下列定积分.
1 (1) d x; 2 0 1 x
1
(2) sin x dx.
3 0
解
1 1 (1) dx arctan x 0 2 0 1 x
1
arctan 1 arctan 0 ; 4
例 见书
2. 牛顿——莱布尼茨公式公 式 定理 如果函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，
F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数， 那么
b
a
f ( x )dx F (b) F (a ).
为了今后使用该公式方便起见，把 上 式右端的
F (b) F (a ) 记作 F ( x ) a , 这样 上面公式就写成如下形式：
a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a)
积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式
b
2. 变限积分求导公式
a
x
a
f ( t )dt
是上限变量 x 的函数. 记作 ( x) 即
O
a
x
b
x
则( x) f (t ) d t
a
x
变上限的积分
( x) f (t ) d t 有下列重要性质: a
若函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续 ，
x
积分上限函数求导定理
定理 1
则变上限定积分
6.3
1
d_Alembert公式的推导
第 21 卷第 3 期 2007 年 5 月甘肃联合大学学报 (自然科学版)J o u r n al of G a n su L i an he U n iver s it y ( N at u ral S cience s )Vo l . 21 No . 3 May 2007文章编号 : 16722691 X (2007) 0320032204d ′Ale m be r t 公式的推导陈秀武(甘肃联合大学 理工学院 ,甘肃 兰州 730000)摘 要 :纠正了文献 [ 1 ]推导 d ′Alem ber t 公式的不足 ,采用两种方法推导出 d ′Alem ber t 公式 ,并把 d ′Alem ber t 公式推广到三维空间 .关键词 : d ′Alember t 公式 ;通解法 ;积分变换法 ;三维空间 中图分类号 :O411 . 1文献标识码 : A由于 △= a 22 - 型方程.1 a 11 a 22 = a 2> 0 , 故 (1) 为双曲 文献 [ 1 ]在运用通解法推导 d ′A le m ber t 公式 时 ,先作了尝试性变量代换 ,然后将无界弦振动的2 5u 根据特征方程的标准形式泛定方程化为标准形式 = 0 . 笔者认为对自5ξ5η2d x d x 2 a 12 + a 22 = 0a11- 变量变换的修改缺乏依据 . 因为有多种变量代换 都能把方程化为标准形式 ,随意修改难以让人理 解 . 下面给出与一般文献不同的 证明 方 法 , 对 d ′A le m ber t 公式进行比较规范的证明 . d ′A le m be r t公式是一维空间无界弦振动方程的解 ,三维无界 空间振动方程的解还未见文献涉及 ,本文力图用 比较 简 便 的 方 法 作 尝 试 性 推 导 , 从 而 把 d ′A le 2mber t 公式推广到三维空间 .d td t得2 d x a 2- = 0 , d t dx = ±a. d t故其特征线族∫d x = ∫a d t ,通解法无界弦振动的定解问题u tt - a 2u x x = 0 ( - ∞ < x 1 d x = - ∫a d t , x - at = C 1 ,x + at = C 2 .根据所求的特征线 , 故可作变换ξ = x - a t , η = x + at . 双曲型方程的标准形式为即< ∞) ,( 1) ( 2)( 3)= φ( x ) , u | t = 0 u t | t = 0 = ψ( x ) .自变量为 t 和 x 的二阶线形偏微分方程的一般形 式为[ 1 ]( 6)a 11 u tt + 2 a 12 u tx + a 22 u x x +b 1 u t + b 2 u x + cu + f 式 ( 1) 与式 ( 4) 比较系数可得a 11 = 1 ,a 12 = 0 , a 22 = - a 2 ,b 1 = 0 , b 2 = 0 ,c = 0 ,f = 0 .= 0 .( 4)1( 7)u ξη = - [ B 1 uξ + B 2 u η + Cu + F ] .2 A 12 将式 ( 5) 代入下列公式求出标准方程的系数[ 1 ]+ a 22ξx ηx = - 2 a 2 A 12 = a 11ξηt t + a 12 (ξηt x +ξx ηt ) B 1 = a ξ 11 tt + 2 a ξ 12 tx + a ξ 22x x + b ξ + b ξ 1 t 2 x = 0 , ( 5)a 11ηtt + 2 a 12ηtx + a 22ηx x + b 1ηt + b 2ηx = 0 , B 2 = C = c = 0 ,F = f = 0 .( 8)收稿日期 :2006211230 .基金项目 :甘肃联合大学 2004 年科研基金项目 .作者简介 :陈秀武 (19662) ,男 ,甘肃文县人 ,甘肃联合大学副教授 ,从事理论物理及数学物理方法的教学与研究 .式 ( 8) 代入式 ( 7) 得- 4 a 2 φ( x - at ) - Ψ( x + a t ) - C+22 5 u = 0 ,5ξ5η φ( x + at ) + Ψ( x + at ) + C=2即1 [φ( x - 52 uat ) + φ( x + at ) ] + 5ξ5η= 0 .( 9)2 x + at 1 2 a ∫x - at在式 ( 9) 两边对其中一个自变量η求积分Ψ (ξ) d ξ. ( 17)5 u 5ξ =f (ξ) . 2Fou ri e r 积分变换法对定解问 题 式 ( 1 ) 、式 ( 2 ) 、式 ( 3 ) 关 于 x 作再对自变量ξ求积分u = ∫f (ξ) d ξ+ f 2 (η)故 ( 1) 的通解为= f 1 (ξ) + f 2 (η) . Fo u rier 变换[ 2 ]d 2U ( k , t ) 2 2+ k a U ( k , t ) = 0 , 2d tf 1 ( x - at ) + f 2 ( x + at ) .( 10)u = ( 18)U ( k , 0) = Φ( k ) ,将初始条件式 ( 2) 、式 ( 3) 代入式 ( 10) 得f 1 ( x ) + f 2 ( x ) = φ( x ) ,U ( k , 0) = Ψ( k ) .U ( k , t ) Φ( k ) Ψ( k ) = F[ u ( x , t ) ] , = F[φ( x ) ] , = F[Ψ( x ) ] .( 19) ( 20)( 21)( x ) .( 11)式 ( 18) 的第 ( 1) 式的通解为U ( k , t ) = C 1 co s k at + C 2 si n k at .将式 ( 18) 的第 ( 2) 、( 3) 式初始条件代入得 ( 22)( 12)5 f 5 f 5ξ= Φ( k ) ,C 1 =5ξ 5 t .( 13)5 t = 1 Ψ ( k ) .C 2 式 ( 12) 和式 ( 13) 比较得5 f ka5 f 式 ( 18) 的解为U ( k , t ) = Φ( k ) co s k at + 1Ψ ( k ) si n k at .5 t 5 x( 14)= 5ξ .5ξ ka5 t 5 x( 23)对式 ( 23) 的两边求关于 k 的 Fo u rier 的逆变换式 ( 14) 代入式 ( 11) 的第 ( 2) 式得df 2 ( x ) d f 1 ( x ) = ψ( x ) . - F - 1[ U ( k , t ) ] = u ( x , t ) ,( 24) d x d x a∞ 1 F - 1 [Φ( k ) co s k a t ] = 2π∫- ∞[Φ( k ) co s k at ]e - ik xd k积分得x ψ( x ) - f 1 ( x ) =∫0f 2 ( x ) d x + C.= 1 [φ( x + at ) + φ( x - at ) ] ,a( 25) 2令1 Ψ ( k ) si n k at - 1 F - 1 Ψ( k )F = xψ( x )kaΨ( x ) =∫d x ,ax + at1= 2 a∫x - atψ(ξ) d ξ.( 26)则f 2 ( x ) f 1 ( x ) = Ψ( x ) + C.( 15)- 故式 ( 15) 与式 ( 11) 的第 ( 1) 式联立方程组求解得= 1[φ( x + at ) + φ( x -u ( x , t ) at ) ] +2= φ( x )- Ψ( x ) - C ,f 1 ( x ) 2+ Ψ( x ) x + at 1 2 a ∫x - atψ(ξ) d ξ. ( 27)( 16)=φ( x )+ C . f 2 ( x ) 23 三维空间的 d A l e m be rt 公式三维无界空间振动的定解问题[ 3 ]将式 ( 16) 代入通解式 ( 10) 得u ( x , t) = f 1 ( x - at ) + f 2 ( x + at ) =si n k at k a34甘肃联合大学学报 (自然科学版) 第 21 卷- a 2△u = 0 ,( 28) ( 29)( 30)则u tt u | t = 0 = φ( r ,θ,φ) , = ( r + at)φ( r + at ) + Ψ( r + at ) + C 2 ( ) f r + at .2= ψ( r ,θ,φ) . u t | t = 0 ( 46)为了简化推导 , 假设是球对称性振动问题 , 定 解问题的解与角坐标θ,φ无关 , 在球坐标系下 , 定 解问题可以简化为当 r -f 1 ( r - at ≥0 时有= ( r - at )φ( r - at ) + Ψ( x + a t ) +C . at )21 52 5u a2u tt - r =( 47)r 25 r 5 r 当 r - at < 0 时利用 f 1 ( - r) = - f 2 ( r ) 得f 1 ( r - at ) = - f 2 ( at - r ) =52 u 2 a 2 ( 31) u tt - += 0 , 5 r 2 r u | t = 0 = φ( r ) ,( 32)( at - r)φ( at - r ) - Ψ( at - r ) + C . -( 48) = ψ( r ) .u t | t = 0 作函数变换v,u =r5 u 5 v 1 1 = - v + r 25 r , 5 r r 52 ( 49)1 52 vφ( r + at ) + ( r - at )φ( r - at) ( 37)= 5 t 2 .5 t 2 r 式 ( 35) 、式 ( 36) 、式 ( 37) 代入式 ( 31) 得v tt - a 2 v r r = 0 , ( r > 0 , t > 0) .2 r( 38)ξψ(ξ) d ξ, ( r - a t ≥0) ;通过函数变换 , 转变为关于 v 的定解问题 , 定解条件转变为v φ( r + at ) -( at - r )φ( at - r ) 2 rv | r = 0 = 0 , t ≥0 , v | t = 0 = r φ( r ) , v t | t = 0 = r ψ( r) .式 ( 38) 的通解为v = f 1 ( r - at ) + f 2 ( r + at ) .将定解条件 ( 39) 、( 40) 、( 41) 代入 ( 42) f 1 ( - at ) + f 2 ( at ) = 0 ,( 39) ( 40) ( 41)ξψ(ξ) d ξ, ( r - a t < 0) .( 50)参考文献 :( 42)[ 1 ] 梁昆淼 . 数学物理方法 (第 3 版) [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 ,2002 :1702177 .[ 2 ] 王载舆 . 数学物理方程及特殊函数 [ M ] . 北京 :清华大学出版社 ,1991 :2682282 .[ 3 ] 陆振球 . 经典和现代数学物理方程 [ M ] . 上海 :上海科学技术出版社 ,1991 :38243 .f 1 ( r ) + f 2 ( r ) = rφ( r ) , ( 43)( r ) - ( r ) ] = rψ( r ) . a[ f 2 f 1 由式 ( 43) 的第三式解得r1 a∫f 2 ( r) - f 1 ( r) = r ψ( r )d r = ψ( r ) . ( 44) 解得f 1 ( - r ) f 2 ( r ) ,= - rφ( r ) - Ψ( r ) - C , f 1 ( r ) = 2( 45)rφ( r ) + Ψ( r ) + C .f 2 ( r) =25 u 5 rThe Derivat i on of d ′A l embert FormulaC H E N X i u 2w u( S choo l of S cience a n d En gineeri n g , G an su L i a n he U n iver s it y ,L a nzh o u 730000 ,China )Abstract : T hro u gh t w o wa y s of de r ivatio n , t h i s e s sa y i n t e n d s to co r r ect t h e i n eff icie n cy of t h e de riva 2 tio n of t h e fo r mula i n Ref e r e n ce 1 i n my bi b lio g rap h y , a n d e xt e n ds t h e fo r mula r y de r ivatio n to t h ree 2 di me n s io n al sp a ce .K ey w ords :fo r mula ; met h o d of t h o r o u gh u n de r s t a n di n g ; met h o d of i n t e gral alt e r n atio n ; t h ree 2di me n 2 sio n al sp a ce(上接第 17 页)2 2我们可得 , 重数大于 3 矛盾 .故假设不正确 , F 正规. 对 n ≥N有参考文献 :0 .[ 1 ] 杨乐 . 值 分 布 理 论 及 其 新 研 究 [ M ] . 北 京 : 科 学 出 版社 ,1982 .[ 2 ] FA N G Min g 2lia ng , YU A N Wen 2j un. O n t he mo r mali 2t y fo r f a m ilies of mero mo rp hic f unctio n s [ J ] . Ind ian J o u r n al of Mat h ematic s ,2001 (3) :3412351 .[ 3 ] B ER G W EIL ER W , ER E M EN KO A . O n t h e singula r i 2ties of t he inver se to a mero mo rp hic f unct io n of finite o r der [ J ] . Revi st a Mat hematica . Ibero a merica na , 1995(11) :3552373 .[ 4 ] ZAL CMAN L . A heuri s tic p r incip le in co m p lex f unc 2tio n t h eo r y [J ] . The A m erican Mat h ematical Mo n t h ly , 1975 ,82 :8132817 .1 ( g (ξ) )2 ≠0 ,g 4 n (ξ)或1 ( g (ξ) )2 ≡0 g 4 n (ξ)对任何ξ∈C 成立 .于是要么 g (ξ) ≠0 , 要么 g (ξ) ≡0 . 如果 g (ξ) ≠0 根据引理 3 可得g (ξ) ≡co n s t 如果 g (ξ) ≡0 , 则 g (ξ) = a ξ+ b. 这与 g (ξ) 的零点 The Improve ment N orm al TheoremF E NG B i n(Dep a r t m ent of Mat h met ics , Ya n gtze No r m al U n iver s it y , F uling 408003 ,China )Abstract : T hi s t h e s i s st u die s t h e no r mal f a mil y of me ro m o r p h ic f u nctio n s . Wit h t h e t h eo r y of Neva n li n 2 na ’s val u e di s t r i b utio n ,t h e a u t h o r a n al y ze s a n d st u die s t h e no r m al f a mil y p ro b le m s a n d a no r m al t h eo 2 re m i s p r o v e d ,w h ic h ge n e r alize s a n d i mp ro v e s t h e re s ult s of Fa n g Mi n g 2L ia n g. K ey w ords :mero mo rp h ic f u nctio n s ; n o r mal f a mil y ; v al u e di s t ri b utio n ; H u r w itz t h eo r e m。
罗巴切夫斯基积分公式证明
罗巴切夫斯基积分公式证明让我们来介绍一下罗巴切夫斯基积分公式。
罗巴切夫斯基积分公式是由俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在19世纪末提出的，它是复变函数论中的一个基本定理。
该公式表明，如果一个函数在某个闭曲线内解析，那么该函数在这个闭曲线内的积分等于它在这个闭曲线上的值与它在闭曲线外某个点的函数值之差的2πi倍。
具体而言，设f(z)是一个在闭曲线C内解析的函数，z0是C内的任意一点，则有以下公式成立：∮C f(z)dz = 2πif(z0)接下来，我们将对罗巴切夫斯基积分公式进行证明。
首先，我们先来证明当C是一个简单闭曲线时，罗巴切夫斯基积分公式成立。
设C是一个简单闭曲线，z0是C内的任意一点，f(z)是一个在C内解析的函数。
我们可以将C分成无数个小段，每个小段我们用δz 来表示，然后将这些小段进行求和。
根据罗巴切夫斯基积分公式的定义，我们知道∮C f(z)dz的值等于这些小段求和的极限值。
现在，我们来计算这些小段的求和。
假设δz = r·eiθ，其中r是小段的长度，θ是小段的角度。
由于C是一个简单闭曲线，我们可以将C看作是一个圆形，圆心在z0处。
那么根据欧拉公式，我们有eiθ = cosθ + isinθ。
现在，我们将f(z)进行泰勒展开，得到f(z) = f(z0) + f'(z0)(z - z0) + ...，其中f'(z0)表示f(z)在z0处的导数。
将这个展开式代入到∮C f(z)dz的表达式中，我们可以得到：∮C f(z)dz = ∮C [f(z0) + f'(z0)(z - z0) + ...]dz接下来，我们将对每一项进行求和。
首先，我们来计算∮C f(z0)dz。
根据积分的定义，我们有∮C f(z0)dz =f(z0)∮C dz。
由于C是一个简单闭曲线，∮C dz等于C的周长，记为L。
所以∮C f(z0)dz = f(z0)L。
然后，我们来计算∮C f'(z0)(z - z0)dz。
数学物理方法-7.4达朗贝尔公式-PPT课件
x
1 1 1 f ( x at ) ( x at ) ( ) d [ f ( x ) f ( x )] 1 1 0 2 0 2 2 a 2 x 0
x
1 1 1 f ( x at ) ( x at ) ( ) d [ f ( x ) f ( x )] 2 1 0 2 0 2 a 2 x 0
x at
x at
x at
（二）端点的反射 一个端点固定
2 2 2 ( 2 a 2) u ( x ,t ) 0 t x
( 0x )
设初始条件为 边界条件
u t0 (x)
和
ux t0 (x)
u x0 0
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。自变量限制为 x 0 。
衔接条件
f ( t ) g ( t ) h ( t ), 1I 1 II IY [ f ' ( t ) g ' ( t )] II Y h ' ( t ) a a
f ( t ) g ( t ) h ( t ), III I II a Y [ f ( t ) g ( t )] a Y h ' ( t )
( x)
x1 x
x1 x2 x x2 2 x x1, or, x x2
x1 x2 2
(x) 0
u(x, t)
1 (x) 2
u0
x1
x2
x x x
u0
x
x1
x1 x 2 2
x2
1 u ( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] 2
微积分基本公式牛顿—莱布尼茨公式
七、设
f
( x)
1 2
sin
x
, 当0
x
时，
0 ，当x 0或x 时，
求（x)
x
f (t )dt 在( , )内的表达式 .
0
八、设 f ( x)在 a , b 上连续且 f ( x) 0 ,
x
x dt
F ( x) f (t)dt
,证明：
a
b f (t)
（1）、F ' ( x) 2 ;
证 已知F ( x)是 f ( x) 的一个原函数，
又
( x)
x
a
f
(t )dt 也是
f
( x)的一个原函数,
F( x) ( x) C x [a,b]
令 x a F(a) (a) C,
(a)
aaLeabharlann f(t )dt0
F(a) C,
F ( x)
x
a
f
(t )dt
C,
x
a f (t)dt F ( x) F (a),
上的定积分等于它的任意一个原函数在区间sincoscossindxxdx原式xdxdx四小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a, b]上
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
;
x x e 2t 2 dt 0
1
x2 (1 cos t 2 )dt
2、 lim 0
.
x0
5
x2
五、设 f ( x) 为连续函数，证明:
x
f (t )( x t )dt
数学分布生存分析贝叶斯概率公式全概率公式
数学分布生存分析贝叶斯概率公式全概率公式数学分布，也称为概率分布函数，是用来描述随机变量的取值和概率之间的关系的数学函数。
常见的数学分布包括泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布和指数分布。
其中，泊松分布用于描述单位时间内事件发生的次数，二项分布用于描述二项试验中成功的次数，正态分布用于描述连续随机变量的分布，均匀分布用于描述随机变量在一个区间内取值的均匀分布情况，指数分布用于描述连续随机变量的分布。
生存分析是一种统计方法，用于研究个体在给定时间段内生存的概率。
生存分析主要应用于生物学、医学、工程等领域，用于研究个体在不同条件下生存时间的差异和影响因素。
生存分析中常用的方法包括生存曲线、生存函数、风险比等。
贝叶斯概率公式是概率论中的一个重要公式，用于计算在给定先验概率的情况下，后验概率的条件概率。
在贝叶斯概率中，先验概率是基于以往的经验或知识得出的概率，后验概率是在观察到一些证据之后更新的概率。
贝叶斯概率公式为：P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在B发生的条件下，A发生的概率，P(B，A)表示在A发生的条件下，B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示A和B的边缘概率。
全概率公式是概率论中的另一个重要公式，用于计算一个事件的概率，通过将该事件分解成多个互斥事件的并集来计算。
P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(A，Bi)表示在条件Bi下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
以上是对数学分布、生存分析、贝叶斯概率公式和全概率公式的简要介绍。
每种概念都非常庞大，各自包含了更多的理论和具体应用，可以进一步深入学习和探索。
高阶导数的运算法则莱布尼兹公式-北京师范大学数学科学学院
解
设u e2 x , v x 2 , 则由莱布尼兹公式知
y ( 20 ) (e 2 x )( 20 ) x 2 20(e 2 x )(19 ) ( x 2 )
20( 20 1) 2!
(e 2 x )(18 ) ( x 2 ) 0
2 20 e 2 x x 2 20 219 e 2 x 2 x
3 2 3 1 cos 4 x 1 sin 2 x 1 4 4 2 5 3 cos 4 x 8 8
y
( n)
3 n π 4 cos(4 x n ), ( n 1). 8 2
2.1 导数(127) 17
2.1.5
小结与思考题
参数方程求导: 实质上是用复合函数求导法则;
2.1 导数(127) 2
f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x
存在，则称 ( f ( x )) 为函数 f ( x ) 在点 x 的二 阶导数，记作
f ( x ),
y,
d2 y d2 f ( x ) 或 . 2 2 dx dx
g( x ) 不一定存在
故用定义求 f (a )
( x ) f (a ) f f (a ) lim f ( a ) 0 x a xa f ( x ) lim ( x )] 2 g(a ) lim [ 2 g ( x ) ( x a ) g x a x a x a
2 d 2 y d dy sec t ( tan t ) ( ) 2 2 3 dx dx dx 3 a cos t sin t (a cos t )
1 sec t 4 3 a si n t cos t 3a sin t
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dibenedetto公式
Dibenedetto公式，也称为Dibenedetto不等式，是非线性椭圆型偏微分方程的一个基本结果。
该公式由意大利数学家Emmanuele Dibenedetto于1978年提出。
Dibenedetto公式主要用于研究具有非线性扩散项的椭圆型方程的解的性质。
该公式给出了解的Holder连续性的一个估计，从而揭示了解的光滑性与方程中各项系数的关系。
具体来说，对于二阶椭圆型方程：
\[Lu = -\text{div}(a(x,u,\nabla u)) + b(x,u,\nabla u) \]
其中，\( a(x,u,\nabla u) \)和\( b(x,u,\nabla u) \)是非线性项，Dibenedetto公式给出了解的Holder连续性的估计：
\[ \|u\|_{C^{0,\alpha}} \leq C(\|f\|_{L^2}+\|g\|_{L^p}+\|h\|_{L^q}) \]
其中，\( C \)是一个常数，\( f \)，\( g \)，\( h \)是已知函数，\( p \)和\( q \)是满足一些条件的参数。
Dibenedetto公式的应用范围很广，对于非线性椭圆型方程的研究和解的存在性、唯一性以及正则性等方面都有重要的意义。
它在非线性椭圆型偏微分方程的理论和应用中扮演着重要的角色。