初中数学竞赛专项训练之函数附答案
1 初中数学竞赛专项训练之函数 一、选择题： 1、如果一条直线L经过不同的三点A（a，b），B（b，a），C（a-b，b-a），那么直线L经过 （ ） A. 二、四象限 B. 一、二、三象限 C. 二、三、四象限 C. 一、三、四象限
2、当4||x时，函数|3||2||1|xxxy的最大值与最小值之差是（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 20 3、对220baab，，二次函数))((bxaxy的最小值为 （ ）
A. 2)2(ba B. 2)2(ba C. 2)2(ba D. 2)2(ba 4、若直线)0(abbaxy不经过第三象限，那么抛物线bxaxy2的顶点在 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5、二次函数cbxaxy2的图象一部分如图6-1，则a的取值范围是 （ ） A. 01a B. a＞-1 C. -1＜a＜0 D. a≤-1
6、若函数|)196100|196100(2122xxxxy， 则当自变量x取1，2，3，……，100这100个自然数时，函数值的和是 （ ） A. 540 B. 390 C. 194 D. 197
7、已知函数|28|)(2xxxf和kkxy（k为常数），则不论k为何常数，这两个函数图象只有（ ）个交点 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8、二次函数762xxy，当x取值为2txt时，2)3(2ty最大值，则t的取值范围是 （ ） A. t=0 B. 0≤t≤3 C. t≥3 D. 以上都不对
9、两抛物线222baxxy和222bcxxy与x轴交于同一点（非原点），且a、b、c为正数，a≠c，则以a、b、c为边的三角形一定是 （ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形
10、当n=1，2，3，……，2003，2004时，二次函数1)12()(22xnxnny的图象与x轴所截得的线段长度之和为 （ ） A. 20032002 B. 20042003 C. 20052004 D. 20062005 二、填空 1、已知二次函数cbxaxy2图象如图6-2所示，则下列式子：
图6-2 y
x 0 1 ·
图6-1 1 1
y
x 0 2
ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子共有＿＿个。 2、已知函数213212xy在bxa0时，有bya22，则（a，b）＝＿＿＿ 3、若第一象限内的整点（a，b）位于抛物线xxy98192上， 则m+n的最小值为＿＿＿＿＿ 4、如果当m取不等于0和1的任意实数时，抛物线mmxmxmmy3212在平面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为＿＿＿＿＿＿＿ 5、已知抛物线1)1(2xkxy与x轴两个交点A、B不全在原点的左侧，抛物线顶点为C，要使△ABC恰为等边三角形，那么k的值为＿＿＿＿＿＿＿ 6、已知)21)(12()1()(2mmxmxxf在x轴上的两截距都大于2，则函数值)241(mmf的符号为＿＿＿＿＿＿＿ 7、设x为实数，则函数12156322xxxxy的最小值是＿＿＿＿＿＿
8、已知函数323232121121)(xxxxxxf，则)999(...)12(...)3()1(fkfff的值为＿＿＿＿＿＿＿＿ 9、函数6)(sin4)(cos2xxy对任意实数x都有0y，且θ是三角形的内角，则θ的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题 1、已知x，y，z为三个非负有理数，且满足2523zyxzyx，，若zyxs2，求s的最大值与最小值的和。
2、设a、b、c是三角形的三边长，二次函数)(2)(2bacxxbay在21x时，取得最小值2a，求这个三角形三个内角的度数。 3
3、二次函数)0(2acbxaxy的图象如图6-3所示： ①判断a、b、c及acb42的符号 ②若||||OBOA，求证01bac 图6-3
A B O C x
y 4
4、设二次函数qpxxy2 的图象经过点（2，-1）， 且与x轴交于不同的两点 A（x1，0） B（x2，0），M为二次函数图象的顶点，求使△AMB面积最小时的二次函数的解析式。
5、已知二次函数22)1(6)83(4kxkxy的图象与x轴交于A、B两点（A在B左边），且点A、B到原点距离之比为3∶2。 ①求k值。 ②若点P在y轴上，∠PAB＝α，∠PBA＝β。求证：α＜β5
参考答案 一、选择题 1、A。设L的方程为tkxy，则有：
③ ② ①tbakabtkbatkab)( ①－②得)()(bakab
，经过二、四象限方程为，代入③得 xyLtkba01
2、C。因为44x，所以)43(63)32()21(4)14(36xxxxxxxxy 所以当4x时，y取最大值18，当2x时，y取最小值2。 3、D。
2min
22222)2(2)2()2()2()2()(baybaxbabaxbaabbaxabxbaxy时，当
4、A。∵直线)0(abbaxy不经过第三象限，∴。，00ba ∴抛物线bxaxy2的顶点)442(2abacab，在第一象限。 5、C。显然0a，因为二次函数图象过点（1，0）和（0，1），且当1x时，0y，所以可设110)0)()(1(akkkxxay）坐标代入，得，，将（，所以1)1(2xaaxy，将1x代入，可知01)1(aa，解得1a，故-1
＜a＜0。 6、B。)98)(2(1961002xxxx
)196100(|196100|98222xxxxx时，当，当自变量x取2，2，…，
98时函数值为0，而当x取1，99，100时， 196100|196100|22xxxx，所6
以，所求和为（1-2）（1-98）+（99-2）（99-98）+（100-2）（100-98）＝97+97+196＝390。 7、B。由于)1(xky图点恒过点（-1，0），所以不论k为何常数，这两个函数图象有两个交点。 8、C。2)3(7622xxxy，当23tt时，即31t时，
2)3(fy最大值，与2)3(2ty最大值矛盾。当23t时，即1t时，
2)3(2)1()2(22tyttfy最大值最大值，与矛盾。当33tt，即
时， 2)3()(2ttfy最大值与题设相等，故t的取值范围t≥3。 9、B。设两抛物线交于x轴（0x，0）（0x≠0），则有：
② ①020220202020bcxxbaxx
，①＋②得0)(22020xcax，∵00x， ∴
)(0cax。①－②得02)(220bxca，
∴acbx20 ∴2222)(cabcaacb，，即222cba，所以为直角三角形。 10、C。解方程01)12()(22xnxnn，得nxnx11121，，
∴111||21nnxxdn ∴20052004200511)2005120041(...)3121()211(...200421ddd
二、填空题 1、2个。显然120000abcbabca，，，，， 所以0202000babacbaacab，，，，
2、（1，3）。若0b，则有21321221321222abba，解得31ba，若0b与题设矛盾。 3、102。由nnm)9819(知，存在整数k，使9819nk，取，，76n可知当n取最小值6时，k取最小正整数16，故102176nnknm。 7
4、54。取21m，得抛物线 ①542xxy； 取41m，得抛物线 ②11832xxy， 联立①②，得0322xx，求出3121xx，，相应地，得8021yy，，即两个定点的坐标分别为），（），83N01(M，从而两定点NM1之间的距离为54)08()13(22MN。
5、－5。由题意A、B在原点的右侧，且4)1(4)(||22122121kxxxxxx
∴|)21(1|4)1(2322kk，解得5k。 6、0)241(mmf。设0)12()1(2mxmx，两根为1x，2x，则1x＞2，2x＞2， ∵1212121mxxmxx，，
∴221)11(212241212121xxxxxxmm ∴0)241(mmf 7、4。设12156322xxxxy，去分母，整理得0102)122()6(2yxyxy，当
06y时，由x为实数，得0)102)(6(4)122(2yyy，即
024102yy，解得)6(64yy，而1x时，4y，故分式的最小值
为4。
8、5。∵)11(21)1()1(11)(3333xxxxxxxf
51021)]9981000(...)24()02[(21)999(...)3()1(33333fff
9、600。由题意得0cos24sin160cos2
初中的数学精选二次函数的难的题目
29．如图1，抛物线C1：y=﹣x2+4x﹣2与x轴交于A、B，直线l：y=﹣ x+b分别交x轴、y轴于S点和C点，抛物线C1的顶点E在直线l上．
（1）求直线l的解析式；
（2）如图2，将抛物线C1沿射线ES的方向平移得到抛物线C2，抛物线C2的顶点F在直线l上，并交x轴于M、N两点，且tan∠EAB= •tan∠FNM，求抛物线C1平移的距离；
（3）过（2）中的点E的直线y= x+b与（1）中的抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M′、N′，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交（1）中所求抛物线于点Q．是否存在t值，使S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12？若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）当点P在线段BC上运动时，求线段PE长的最大值；
（3）当PE为最大值时，把抛物线c1向右平移得到抛物线c2，抛物线c2与线段BE交于点M，若直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，则抛物线c1应向右平移几个单位长度可得到抛物线c2？
考点：
二次函数综合题。
专题：
压轴题。
分析：
（1）已知了抛物线的解析式即可求出A、B、C三点的坐标．
（2）由于直线l与y轴平行，那么F、P、E三点的横坐标就应该相等，那么PE的长可看做是直线BC的函数值和抛物线的函数值的差．由此可得出关于PE的长和三点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可得出PE的最大值．
（3）先用平移的单位设出c2的解析式．由于直线CM把△BCE的面积分为1：2两部分，根据等高三角形的面积比等于底边比，可得出BE：ME=2：1或ME：BE=2：1．因此本题要分两种情况进行讨论，可过M作x轴的垂线，先根据相似三角形求出M点的横坐标，然后根据直线BE的解析式，求出M点的坐标．由于抛物线c2经过M点，据此可求出抛物线需要平移的单位．
人教版初中数学一次函数专项训练及答案
人教版初中数学一次函数专项训练及答案一、选择题1．已知直线y1=kx+1（k＜0）与直线y2=mx（m＞0）的交点坐标为（12，12m），则不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为（）A．x>12B．12<x<32C．x<32D．0<x<32【答案】B 【解析】【分析】·由mx﹣2＜（m﹣2）x+1，即可得到x＜32；由（m﹣2）x+1＜mx，即可得到x＞12，进而得出不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为12＜x＜32．【详解】把（12，12m）代入y1=kx+1，可得1 2m=12k+1，解得k=m﹣2，∴y1=（m﹣2）x+1，令y3=mx﹣2，则当y3＜y1时，mx﹣2＜（m﹣2）x+1，~解得x＜32；当kx+1＜mx时，（m﹣2）x+1＜mx，解得x＞12，∴不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为12＜x＜32，故选B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．@2．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上一动点（不与点A 、B 重合），过点C 分别作CD 、CE 垂直于x 轴、y 轴于点D 、E ，当点C 从点A 出发向点B 运动时，矩形CDOE 的周长（ ）A ．逐渐变大B ．不变C ．逐渐变小D ．先变小后变大【答案】B【解析】【分析】 根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点C 的坐标为(m ，-m+4)(0<m<4)，根据矩形的周长公式即可得出C 矩形CDOE =8，此题得解．-【详解】解：设点C 的坐标为(m ，-m+4)(0＜m ＜4)，则CE=m ，CD=-m+4，∴C 矩形CDOE =2(CE+CD)=8．故选B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点C 的坐标是解题的关键．/3．下列关于一次函数()0,0y kx b k b =+<>的说法，错误的是( )A ．图象经过第一、二、四象限B ．y 随x 的增大而减小C ．图象与y 轴交于点()0,bD ．当b x k>-时，0y > 【答案】D【解析】【分析】\ 由k 0<，0b >可知图象经过第一、二、四象限；由k 0<，可得y 随x 的增大而减小；图象与y 轴的交点为()0,b ；当b x k>-时，0y <； 【详解】∵()0,0y kx b k b =+<>，∴图象经过第一、二、四象限，A 正确；∵k 0<，∴y 随x 的增大而减小，B 正确；，令0x =时，y b =，∴图象与y 轴的交点为()0,b ，∴C 正确；令0y =时，b x k =-， 当b x k>-时，0y <； D 不正确；故选：D ．【点睛】'本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y kx b =+中，k 与b 对函数图象的影响是解题的关键．4．如图，直线y=kx+b （k≠0）经过点A （﹣2，4），则不等式kx+b ＞4的解集为（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ＞4D ．x ＜4【答案】A【解析】 【分析】求不等式kx+b ＞4的解集就是求函数值大于4时，自变量的取值范围，观察图象即可得.(【详解】由图象可以看出，直线y=4上方函数图象所对应自变量的取值为x>-2，∴不等式kx+b ＞4的解集是x>-2，故选A ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式；观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想．5．一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示，下列叙述正确的是（）A．甲乙两地相距1200千米\B．快车的速度是80千米∕小时C．慢车的速度是60千米∕小时D．快车到达甲地时，慢车距离乙地100千米【答案】C【解析】【分析】（1）由图象容易得出甲乙两地相距600千米；（2）由题意得出慢车速度为60010=60（千米/小时）；设快车速度为x千米/小时，由图象得出方程60×4+4x=600，解方程即可；（3）求出快车到达的时间和慢车行驶的路程，即可得出答案.【详解】)解:（1）由图象得：甲乙两地相距600千米,故选项A错;（2）由题意得：慢车总用时10小时，∴慢车速度为：60010=60（千米/小时）；设快车速度为x千米/小时，由图象得：60×4+4x=600，解得：x=90，∴快车速度为90千米/小时，慢车速度为60千米/小时；选项B错误，选项C正确；（3）快车到达甲地所用时间：60020903小时，慢车所走路程：60×203=400千米，此时慢车距离乙地距离：600-400=200千米，故选项D错误.故选C（【点睛】本题考核知识点：函数图象. 解题关键点：从图象获取信息，由行程问题基本关系列出算式.6．如图1所示，A，B两地相距60km，甲、乙分别从A，B两地出发，相向而行，图2中的1l，2l分别表示甲、乙离B地的距离y（km）与甲出发后所用的时间x（h）的函数关系．以下结论正确的是( )A ．甲的速度为20km/hB ．甲和乙同时出发C ．甲出发时与乙相遇、D ．乙出发时到达A 地【答案】C【解析】【分析】根据题意结合图象即可得出甲的速度；根据图象即可得出甲比乙早出发小时；根据两条线段的交点即可得出相遇的时间；根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地．【详解】解：A ．甲的速度为：60÷2=30，故A 错误；B ．根据图象即可得出甲比乙早出发小时，故B 错误；/C ．设1l 对应的函数解析式为111y k x b =+，所以：1116020b k b =⎧⎨+=⎩， 解得113060k b =-⎧⎨=⎩ 即1l 对应的函数解析式为13060y x =-+；设2l 对应的函数解析式为222y k x b =+，所以：22220.503.560k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得 222010k b =⎧⎨=-⎩ 即2l 对应的函数解析式为22010y x =-，所以：30602010y x y x =-+⎧⎨=-⎩， 解得 1.418x y =⎧⎨=⎩ ∴点A 的实际意义是在甲出发小时时，甲乙两车相遇， 故本选项符合题意；#D ．根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．7．已知直线y=2x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）A ．12＜k ＜1 B ．13＜k ＜1 C ．k ＞12 D ．k ＞13【答案】A（ 【解析】【分析】 由直线y=2x-1与y=x-k 可列方程组求交点坐标，再通过交点在第四象限可求k 的取值范围．【详解】解：设交点坐标为（x ，y ）根据题意可得 21y x y x k =-⎧⎨=-⎩解得 112x k y k =-⎧⎨=-⎩∴交点坐标()112k,k --'∵交点在第四象限，∴10120k k -⎧⎨-⎩＞＜ ∴112k ＜＜故选：D ．【点睛】本题考查了两条直线相交坐标问题，掌握平面直角坐标系内点的坐标特点是解题的关键．8．一次函数y=（m ﹣2）x n ﹣1+3是关于x 的一次函数，则m ，n 的值为（ ） A ．m≠2，n=2B ．m=2，n=2C ．m≠2，n=1D ．m=2，n=1 {【答案】A【解析】【分析】直接利用一次函数的定义分析得出答案．【详解】解：∵一次函数y=（m-2）x n-1+3是关于x 的一次函数，∴n-1=1，m-2≠0，解得：n=2，m≠2．}【点睛】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握系数和次数是解题关键．9．某一次函数的图象经过点()1,2，且y 随x 的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（ ）A ．24y x =+B ．24y x =-+C ．31y xD ．31y x -=- 【答案】B【解析】,【分析】设一次函数关系式为y kx b =+，把（1，2）代入可得k+b=2，根据y 随x 的增大而减小可得k ＜0，对各选项逐一判断即可得答案．【详解】设一次函数关系式为y kx b =+，∵图象经过点()1,2，2k b ∴+=；∵y 随x 增大而减小，∴k 0<，;＞0，故该选项不符合题意，＜0，-2+4=2，故该选项符合题意，＞0，故该选项不符合题意，D.∵31y x -=-，∴y=-3x+1，-3+1=-2，故该选项不符合题意，故选：B ．【点睛】.本题考查一次函数的性质及一次函数图象上的点的坐标特征，对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当k ＞0时，图象经过一、三、象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，图象经过二、四、象限，y 随x 的增大而减小；熟练掌握一次函数的性质是解题关键．10．若正比例函数y ＝kx 的图象经过第二、四象限，且过点A (2m ，1)和B (2，m )，则k 的值为( )A ．﹣12B ．﹣2C ．﹣1D ．1【答案】A【解析】根据函数图象经过第二、四象限，可得k ＜0，再根据待定系数法求出k 的值即可．^【详解】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，∴k＜0．∵正比例函数y＝kx的图象过点A(2m，1)和B(2，m)，∴2km12k m=⎧⎨=⎩，解得：m11k2=-⎧⎪⎨=-⎪⎩或m11k2=⎧⎪⎨=⎪⎩(舍去)．故选：A．【点睛】#本题考查了正比例函数的系数问题，掌握正比例函数的性质、待定系数法是解题的关键．11．在平面直角坐标系中，函数2(0)y kx k=≠的图象如图所示，则函数232y kx k=-+的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】|【分析】根据函数图象易知k 0<，可得32k 0-+<，所以函数图象沿y 轴向下平移可得．【详解】解：根据函数图象易知k 0<，∴32k 0-+<，故选：C ．【点睛】此题主要考查一次函数的性质与图象，正确理解一次函数的性质与图象是解题关键． ;12．如图，过点1(1,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点1B ；点2A 与点O 关于直线11A B 对称；过点2(2,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点2B ；点3A 与点O 关于直线22A B 对称；过点3A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点3B ；按3B 此规律作下去，则点n B 的坐标为( )A ．(2n ，2n-1)B ．(12n -，2n )C ．(2n+1，2n )D ．（2n ，12n +）【答案】B【解析】【分析】 先根据题意求出点A 2的坐标，再根据点A 2的坐标求出B 2的坐标，以此类推总结规律便可求出点n B 的坐标．!【详解】∵1(1,0)A∴11OA =∵过点1(1,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点1B∴()11,2B∵2(2,0)A∴22OA =∵过点2(2,0)A 作x 轴的垂线，交直线2y x =于点2B~∴()12,4B∵点3A 与点O 关于直线22A B 对称∴()()334,0,4,8A B以此类推便可求得点A n 的坐标为()12,0n -，点B n 的坐标为()12,2n n - 故答案为：B ．【点睛】本题考查了坐标点的规律题，掌握坐标点的规律、轴对称的性质是解题的关键．>13．若A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数y=ax+x-2图像上的不同的两点，记()()1212m x x y y =--，则当m ＜0时，a 的取值范围是（ ）A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜-1D ．a ＞-1 【答案】C【解析】【分析】【详解】∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数2(1)2y ax x a x =+-=+-图象上的不同的两点，()()12120m x x y y =--<，∴该函数图象是y 随x 的增大而减小，∴a+1<0，解得a<-1，故选C./【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征,要根据函数的增减性进行推理,是一道基础题.14．若一次函数y=(k-3)x-1的图像不经过第一象限，则A ．k<3B ．k>3C ．k>0D ．k<0 【答案】A【解析】【分析】·根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．【详解】解：∵一次函数y=（k-3）x-1的图象不经过第一象限，且b=-1，∴一次函数y=（k-3）x-1的图象经过第二、三、四象限，∴k-3＜0，解得k ＜3．故选A ．【点睛】）本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限．k ＜0时，直线必经过二、四象限．b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．15．函数12y x =-与23y ax =+的图像相交于点(),2A m ，则( )A ．1a =B ．2a =C ．1a =-D ．2a =- 【答案】A【解析】【分析】将点(),2A m 代入12y x =-，求出m ，得到A 点坐标，再把A 点坐标代入23y ax =+，即可求出a 的值．《【详解】 解：函数12y x =-过点(),2A m ， 22m ∴-=，解得：1m =-，()1,2A ∴-，函数23y ax =+的图象过点A ，32a ∴-+=，解得：1a =．》故选：A ．【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．16．在平面直角坐标系中，直线:1m y x =+与y 轴交于点A ，如图所示，依次正方形1M ,正方形2M ，……，正方形n M ，且正方形的一条边在直线m 上，一个顶点x 轴上，则正方形n M 的面积是（ ）A ．222n -B ．212n -C ．22nD ．212n + 【答案】B [【解析】【分析】由一次函数1y x =+，得出点A 的坐标为（0，1），求出正方形M 1的边长，即可求出正方形M 1的面积，同理求出正方形M 2的面积，即可推出正方形n M 的面积.【详解】一次函数1y x =+，令x=0，则y=1，∴点A 的坐标为（0，1），∴OA=1，∴正方形M 1的边长为22112+=， ~∴正方形M 1的面积=222⨯=，∴正方形M 1的对角线为()()22222⨯=，∴正方形M 2的边长为222222+=，∴正方形M 2的面积=3222282⨯==，同理可得正方形M 3的面积=5322=，则正方形n M 的面积是212n -， 故选B.【点睛】~本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，解答本题的关键是明确题意，发现题目中面积之间的关系，运用数形结合思想解答．17．已知一次函数y ＝kx+k ，其在直角坐标系中的图象大体是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】》函数的解析式可化为y =k （x +1），易得其图象与x 轴的交点为（﹣1，0），观察图形即可得出答案．【详解】函数的解析式可化为y =k （x +1），即函数图象与x 轴的交点为（﹣1，0）， 观察四个选项可得：A 符合．故选A ．【点睛】本题考查了一次函数的图象，要求学生掌握通过解析判断其图象与坐标轴的交点位置、坐标．？18．如图，平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线12y x b =+与ABC ∆有交点时，b 的取值范围是( )A ．11b -≤≤B ．112b -≤≤ C ．1122b -≤≤ D ．112b -≤≤ 【答案】B 【解析】【分析】#将A （1，1），B （3，1），C （2，2）的坐标分别代入直线y ＝12x+b 中求得b 的值，再根据一次函数的增减性即可得到b 的取值范围．【详解】解：直线y=12x+b 经过点B 时，将B （3，1）代入直线y ＝12x+b 中，可得32+b=1，解得b=-12； 直线y=12x+b 经过点A 时：将A （1，1）代入直线y ＝12x+b 中，可得12+b=1，解得b=12； 直线y=12x+b 经过点C 时：将C （2，2）代入直线y ＝12x+b 中，可得1+b=2，解得b=1． 故b 的取值范围是-12≤b≤1． 故选B ．【点睛】] 考查了一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．19．下列命题中哪一个是假命题（ ）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x =的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．20．如图，已知一次函数2y kx =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，与正比例函数13y x =交于点C ，已知点C 的横坐标为2，下列结论：①关于x 的方程20kx +=的解为3x =；②对于直线2y kx =+，当3x <时，0y >；③直线2y kx =+中，2k =-；④方程组302y x y kx -=⎧⎨-=⎩的解为223x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．其中正确的有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 把正比例函数与一次函数的交点坐标求出，根据正比例函数与一次函数的交点先把一次函数的解析式求解出来，再分别验证即可得到答案.【详解】解：∵一次函数2y kx =+与正比例函数13y x =交于点C ，且C 的横坐标为2， ∴纵坐标：1122333y x ==⨯=， ∴把C 点左边代入一次函数得到：2223k =⨯+， ∴23k =-，22,3C ⎛⎫ ⎪⎝⎭①∵23k =-， ∴22023kx x +==-+， ∴3x =，故正确； ②∵23k =-， ∴直线223y x =-+， 当3x <时，0y >，故正确； ③直线2y kx =+中，23k =-，故错误； ④30223y x y x -=⎧⎪⎨⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得223x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，故正确；故有①②④三个正确；故答案为C.【点睛】本题主要考查了一次函数与正比例函数的综合应用，能正确用待定系数法求解未知量是解题的关键，再解题的过程中，要利用好已知信息，比如函数图像，很多时候都可以方便解题；。
(完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)
二次函数总复习经典练习题1．抛物线y=－3x2＋2x－1 的图象与坐标轴的交点情况是( )(A) 没有交点．(B) 只有一个交点．(C) 有且只有两个交点．(D) 有且只有三个交点．2．已知直线y=x 与二次函数y=ax2－2x－ 1 图象的一个交点的横坐标为1，则 a 的值为( )(A)2 ．(B)1 ．(C)3 ．(D)4 ．3．二次函数y=x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ ABC的面积为( ) (A)6 ．(B)4 ．(C)3 ．(D)1 ．24．函数y=ax 2＋bx＋ c 中，若a> 0，b< 0，c<0，则这个函数图象与x 轴的交点情况是( )(A) 没有交点．(B) 有两个交点，都在x 轴的正半轴．(C) 有两个交点，都在x 轴的负半轴．(D) 一个在x 轴的正半轴，另一个在x 轴的负半轴．5．已知(2 ，5) 、(4 ，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c 上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是( ) a(A) x= ．(B) x=2．(C) x=4．(D) x=3．b6．已知函数y=ax2＋bx＋ c 的图象如图 1 所示，那么能正确反映函数y=ax＋ b 图象的只可能是( )7．二次函数y=2x2－4x＋5 的最小值是_____ ．28．某二次函数的图象与x轴交于点( －1，0) ，(4 ，0) ，且它的形状与y=－x2形状相同．则这个二次函数的解析式为_____ ．9．若函数y=－x2＋4 的函数值y> 0，则自变量x 的取值范围是______ ．10．某品牌电饭锅成本价为70 元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：801001101008060为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为元．11．函数y=ax 2－（a－3）x＋ 1 的图象与x 轴只有一个交点，那么 a 的值和交点坐标分别为12．某涵洞是一抛物线形, 它的截面如图3 所示, 现测得水面宽AB 1.6m, 涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m, 在图中的直角坐标系内, 涵洞所在抛物线的解析式为13．（本题8 分）已知抛物线y=x2－2x－2 的顶点为A，与y 轴的交点为B，求过A、B 两点的直线的解析式．14．（本题8分）抛物线y=ax2＋2ax＋a2＋2的一部分如图3所示，求该抛物线在y 轴左侧与x 轴的交点坐标．15．（本题8 分）如图4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a> 0）的顶点是C（0，1），直线l ：y＝－ax＋3 与这条抛物线交于P、Q两点，且点P 到x 轴的距离为2．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）求点Q的坐标．16．（本题8 分）工艺商场以每件155 元购进一批工艺品．若按每件200 元销售，工艺商场每天可售出该工艺品100 件；若每件工艺品降价 1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？17．（本题10 分））杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第 1个月到第x 个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y=ax2＋bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元) ，g也是关于x 的二次函数．(1) 若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元．求y 关于x 的解析式；(2) 求纯收益g 关于x 的解析式；(3) 问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？18(本题10分)如图所示，图4- ①是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A3B3=50m，5 根支柱A1B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5 之间的距离均为15m，B1B5∥ A1A5，将抛物线放在图4- ②所示的直角坐标系中．(1) 直接写出图4- ②中点B1、B3、B5的坐标；(2) 求图4- ②中抛物线的函数表达式；(3) 求图4- ①中支柱A2B2、A4B4 的长度．B319、如图5，已知A(2，2)，B(3，0)．动点P( m，0)在线段OB上移动，过点P作直线l 与x 轴垂直．(1) 设△ OAB中位于直线l 左侧部分的面积为S，写出S与m之间的函数关系式；(2) 试问是否存在点P，使直线l 平分△ OAB的面积？若有，求出点P 的坐标；若无，请说明理由．更多学习方法和中高考复习资料，免费下载，扫一扫关注微信：答案：一、1．B 2 ．D 3 ．C 4 ．D 5 ．D 6．B二、 7．3 8 ．y =－ x ＋3x ＋4 9 ．－ 2< x <2 10 ．1301 115 211． a =0， （ ，0）；a =1，（－1，0）；a =9，（ ，0） 12 ． y x 23 3 413．抛物线的顶点为 （1，－ 3），点 B 的坐标为 （0，－ 2）．直线 AB 的解析式为 y =－x －2 14．依题意可知抛物线经过点 （1，0） ．于是 a ＋ 2a ＋ a 2＋ 2=0，解得 a 1=－1，a 2=－2．当 a = －1 或 a =－2 时，求得抛物线与 x 轴的另一交点坐标均为 （ －3，0）2 15． （1） 依题意可知 b =0，c =1，且当 y =2 时，ax 2＋1=2①，－ ax ＋3=2②．由①、②解得 a =1， x =1．故抛物线与直线的解析式分别为： y =x 2＋ 1，y =－ x ＋3；（2） Q （ －2，5）216．设降价 x 元时，获得的利润为 y 元．则依意可得 y =（45－x ）（100 ＋4x ）= －4x 2＋80x ＋4500， 即 y =－4（x －10）2＋4900．故当 x =10时， y 最大=4900（元）2217． （1） 将（1，2）和（2，6） 代入 y =ax 2＋bx ，求得 a =b =1．故 y =x 2＋x ；（2） g =33x －150－y ， 22即 g =－x 2＋32x －150；（3） 因 y =－（x －16） 2＋106，所以设施开放后第 16 个月，纯收益最大．令 g =0，得－ x 2＋ 32 x － 150=0．解得 x =16± 106 ，x ≈16－ 10.3=5.7（ 舍去 26.3） ．当 x =5 时， g <0， 当 x =6 时， g >0，故 6 个月后，能收回投资18．（1） B 1（ 30，0）， B 3 （0，30） ， B 5 （30，0） ；（2）设抛物线的表达式为 y a （x 30）（x 30） ，把 B 3 (0，30) 代入得 y a(0 30)(0 30) 30．1∴ a ．30∵所求抛物线的表达式为： y3）∵ B 4 点的横坐标为 15， 1 45∴B 4 的纵坐标 y 4 (15 30)(15 30) ．4 30 2∵ A 3B 3 50 ，拱高为 30，1 (x 30)(x 30) ． 30∴立柱A4B445 8520 (m) ．22由对称性知：85A2B2 A4B4 (m) ．2四、1 2 1 119．（1）当0≤m≤2时，S= m2；当2<m≤3时，S= ×3×2－（3 －m）（－2m＋6）= －m22 2 2＋6m－6．（2）若有这样的P点，使直线l 平分△ OAB的面积，很显然0<m<2．由于△ OAB3 1 3的面积等于3，故当l 平分△ OAB面积时，S= ．∴ m2．解得m= 3 ．故存在这样2 2 2的P点，使l 平分△ OAB的面积．且点P的坐标为（3 ，0）．。
初中数学函数复习题及答案
初中数学函数复习题及答案初中数学函数复习题及答案函数作为数学中的重要概念，是学习数学的基础之一。
在初中数学中，函数的学习也是一个重要的内容。
通过复习函数的相关题目，可以帮助学生巩固对函数的理解和运用。
本文将为大家提供一些初中数学函数复习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、选择题1. 函数y = 2x + 3的图象是一条（）。
A. 直线B. 抛物线C. 正弦曲线D. 余弦曲线答案：A解析：函数y = 2x + 3是一元一次函数，其图象是一条直线。
2. 函数y = x²的图象是一条（）。
A. 直线B. 抛物线C. 正弦曲线D. 余弦曲线答案：B解析：函数y = x²是一元二次函数，其图象是一条抛物线。
3. 函数y = sin(x)的图象是一条（）。
A. 直线B. 抛物线C. 正弦曲线D. 余弦曲线答案：C解析：函数y = sin(x)是正弦函数，其图象是一条正弦曲线。
二、填空题1. 函数y = 3x - 2的定义域是（）。
答案：全体实数解析：一元一次函数的定义域为全体实数。
2. 函数y = x² - 4x + 3的值域是（）。
答案：y ≤ 2解析：一元二次函数的值域可以通过求解函数的最值来确定，或者通过绘制函数的图象来观察。
三、解答题1. 已知函数y = 2x + 1和函数y = -x + 3，求两个函数的交点坐标。
解答：将两个函数相等，得到2x + 1 = -x + 3，整理得到3x = 2，解得x = 2/3。
将x的值代入任意一个函数中，求得y的值。
所以交点坐标为(2/3, 5/3)。
2. 已知函数y = x² - 4x + 3，求函数的顶点坐标。
解答：一元二次函数的顶点坐标可以通过求解函数的最值来确定。
首先求导函数，得到y' = 2x - 4。
令y' = 0，解得x = 2。
将x的值代入原函数中，求得y的值。
所以顶点坐标为(2, -1)。
人教版初中数学二次函数专项训练及解析答案
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出 a，b，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比 例函数的性质得出答案． 【详解】 ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向下， ∴a＜0，
∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴在 y 轴左侧， ∴a，b 同号， ∴b＜0， ∴一次函数 y=ax+c，图象经过第二、四象限，
A．①④
B．②④
C．②③
D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
①抛物线与 x 轴由两个交点，则 b2 4ac 0 ，即 b2 4ac ，所以①正确；②由二次函
数图象可知， a 0 ， b 0 ， c 0 ，所以 abc 0 ，故②错误；
③对称轴：直线 x b 1， b 2a ，所以 2a b c 4a c ， 2a
有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．2 个 【答案】B 【解析】
B．3 个
C．4 个
D．5 个
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线 x=1，∴ b 2a
=1，∴b=﹣2a＞0，∵与 y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c≤4， ∴abc＜0，故①错误； 3a+b=3a+（﹣2a）=a＜0，故②正确； ∵与 x 轴交于点 A（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，∴a﹣（﹣2a）+c=0，∴c=﹣3a，∴3≤﹣
∴函数 y＝ 的图象在第二、第四象限，
故选 B． 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求 m 的取值范围是本题的关键．
山东初三初中数学竞赛测试带答案解析
山东初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知二次函数y=x 2﹣6x+m 的最小值是﹣3，那么m 的值等于（ ）A ．10B ．4C ．5D ．62.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）A ．众数B ．中位数C ．平均数D ．方差3.已知命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx+1=0，当b ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）A ．b=﹣1B ．b="2"C ．b=﹣2D ．b=04.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，∠C=60°，如果⊙O 的半径为2，则结论错误的是（ ）A ．AD="DB"B ．C ．OD="1"D ．AB=5.如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ）A ．20B ．12C ．14D ．136.如图，▱ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E=36°，则∠ADC 的度数是（ ）A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°7.已知点P （a ，a+3）在抛物线y=x 2﹣7x+19图象上，则点P 关于原点O 的对称点P′的坐标是（ ）A ．（4，7）B ．（﹣4，﹣7）C ．（4，﹣7）D ．（﹣4，7）8.若A （﹣，y 1），B （，y 2），C （，y 3）为二次函数y=x 2+4x ﹣5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 29.下列图形中阴影部分面积相等的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④10.如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．11.如图，抛物线y=﹣2x 2﹣8x ﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向左平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=﹣x+m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A ．﹣3＜m ＜﹣B ．C ．﹣2＜m ＜D ．﹣3＜m ＜﹣2二、填空题1.如图，点A 是反比例函数y=的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，点C 为y 轴上的一点，连接AC 、BC ，若△ABC 的面积为3，则k 的值是 ．2.如图，⊙O 的半径为4，OA=8，AB 切⊙O 于B ，弦BC ∥OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为 ．3.对于实数a ，b ，定义运算“⊗”：，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=6．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣6x+8=0的两个根，则x 1⊗x 2= ．4.如图，在△ABC 中，AB=CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点C 作CF ∥AB ，在CF 上取一点E ，使DE=CD ，连接AE ，对于下列结论：①AD=DC ；②△CBA ∽△CDE ；③=；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论选项是 ． 三、解答题 1.如图，直线y=x+m 与反比例函数相交于点A （6，2），与x 轴交于B 点，点C 在直线AB 上且．过B 、C 分别作y 轴的平行线交双曲线于D 、E 两点．（1）求m 、k 的值；（2）求点D 、E 坐标．2.阅读下面的材料：解方程x 4﹣7x 2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2=y ，则x 4=y 2，∴原方程可化为：y 2﹣7y+12=0，解得y 1=3，y 2=4，当y=3时，x 2=3，x=±，当y=4时，x 2=4，x=±2．∴原方程有四个根是：x 1=，x 2=﹣，x 3=2，x 4=﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．（1）解方程：（x 2+x ）2﹣5（x 2+x ）+4=0；（2）已知实数a ，b 满足（a 2+b 2）2﹣3（a 2+b 2）﹣10=0，试求a 2+b 2的值．3.如图，⊙O 的直径为10，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA=4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）求证：AC•CD=PC•BC ；（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长．4.如图，在一块正方形ABCD 木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG 部分贴A 型墙纸，△ABE 部分贴B 型墙纸，其余部分贴C 型墙纸．A 型、B 型、C 型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元．探究1：如果木板边长为1米，FC=米，则一块木板用墙纸的费用需 元；探究2：如果木板边长为2米，正方形EFCG 的边长为x 米，一块木板需用墙纸的费用为y 元，（1）用含x 的代数式表示y （写过程）．（2）如果一块木板需用墙纸的费用为225元，求正方形EFCG 的边长为多少米？5.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A 上，斜边从AB 边开始绕点A 逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC 于点D ，直角边所在的直线交直线BC 于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；请你从中任选一种方法进行证明．（3）小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量BD2+CE2=DE2是否仍然成立？请作出判断，不需要证明．6.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（2，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3），连接AB．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．山东初三初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10B．4C．5D．6【答案】D【解析】解：原式可化为：y=（x﹣3）2﹣9+m，∵函数的最小值是﹣3，∴﹣9+m=﹣3，m=6．故选：D．【点评】考查了二次函数的最值，会用配方法将原式化为顶点式是解题的关键．2.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．众数B．中位数C．平均数D．方差【答案】B【解析】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：B．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．3.已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）A．b=﹣1B．b="2"C．b=﹣2D．b=0【答案】A【解析】解：△=b2﹣4，由于当b=﹣1时，满足b＜0，而△＜0，方程没有实数解，所以当b=﹣1时，可说明这个命题是假命题．故选：A．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式．4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（）A．AD="DB"B．C．OD="1"D．AB=【答案】D【解析】解：连接OA，OB．∵OD⊥AB，∴由垂径定理和圆周角定理知，OD是AB的中垂线，有AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．∴AD=AOsin60°=，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1．∴AB=2．∴A，B，C均正确，D错误．故选D．【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．5.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20B．12C．14D．13【答案】C【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD ⊥BC ，CD=BD=BC=4，∵点E 为AC 的中点，∴DE=CE=AC=5，∴△CDE 的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选：C ．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6.如图，▱ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E=36°，则∠ADC 的度数是（ ）A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°【答案】B【解析】解：∵BE 是直径，∴∠BAE=90°， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∠E=36°， ∴∠BEA=∠DAE=36°， ∴∠BAD=126°， ∴∠ADC=54°，故选：B ．【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解题的关键是认真审题，发现图形中的圆周角．7.已知点P （a ，a+3）在抛物线y=x 2﹣7x+19图象上，则点P 关于原点O 的对称点P′的坐标是（ ）A ．（4，7）B ．（﹣4，﹣7）C ．（4，﹣7）D ．（﹣4，7）【答案】B【解析】解：把点P （a ，a+3）代入函数y=x 2﹣7x+19得：a+3=a 2﹣7a+19，解得：a=4，∴点P 的坐标是（4，7）， ∴点A 关于原点的对称点A′的坐标为（﹣4，﹣7）．故选B ．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，以及关于原点对称的点坐标之间的关系．8.若A （﹣，y 1），B （，y 2），C （，y 3）为二次函数y=x 2+4x ﹣5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2【答案】B【解析】解：∵y=x 2+4x ﹣5=（x+2）2﹣9，∴对称轴是x=﹣2，开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，比较可知，B （，y 2）离对称轴最近，C （，y 3）离对称轴最远，即y 2＜y 1＜y 3．故选：B ．【点评】主要考查了二次函数的图象性质及单调性的规律．9.下列图形中阴影部分面积相等的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【答案】D【解析】解：①中直线y=x+2与坐标轴的交点为（0，2）、（2，0）．∴三角形的底边长和高都为2则三角形的面积为×2×2=2；②中三角形的底边长为1，当x=1时，y=3 ∴三角形的高为3则面积为×1×3=；③中三角形的高为1，底边长正好为抛物线与x 轴两交点之间的距离∴底边长=|x 1﹣x 2|==2 则面积为×2×1=1；④设A 的坐标是（x ，y ），代入解析式得：xy=2，则面积为×2=1∴阴影部分面积相等的是③④．故选D ．【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质，是一道难度中等的题目．10.如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：连接AF ，EF ，AE ，过点F 作FN ⊥AE 于点N ，∵点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点， ∴AF=EF=1，∠AFE=120°， ∴∠FAE=30°，∴AN=，∴AE=，同理可得：AC=， 故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况， 则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为：．故选：B ．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE 的长是解题关键．11.如图，抛物线y=﹣2x 2﹣8x ﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向左平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=﹣x+m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A ．﹣3＜m ＜﹣B ．C ．﹣2＜m ＜D ．﹣3＜m ＜﹣2【答案】A【解析】解：令y=﹣2x 2﹣8x ﹣6=0，即x 2+4x+3=0，解得x=﹣1或﹣3，则点A （﹣1，0），B （﹣3，0），由于将C 1向左平移2个长度单位得C 2，则C 2解析式为y=﹣2（x+4）2+2（﹣5≤x≤﹣3），当y=﹣x+m 1与C 2相切时，令y=﹣x+m 1=y=﹣2（x+4）2+2，即2x 2+15x+30+m 1=0，△=﹣8m 1﹣15=0，解得m 1=﹣，当y=﹣x+m 2过点B 时，即0=3+m 2，m 2=﹣3，当﹣3＜m ＜﹣时直线y=﹣x+m 与C 1、C 2共有3个不同的交点，故选：A ．【点评】本题主要考查抛物线与x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．二、填空题1.如图，点A 是反比例函数y=的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，点C 为y 轴上的一点，连接AC 、BC ，若△ABC 的面积为3，则k 的值是 ．【答案】﹣6【解析】解：连结OA ，如图，∵AB ⊥x 轴， ∴OC ∥AB ， ∴S △OAB =S △CAB =3，而S △OAB =|k|，∴|k|=3，∵k＜0，∴k=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．2.如图，⊙O的半径为4，OA=8，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为．【答案】π【解析】解：连接OB、OCOB是半径，AB是切线，∵OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴sinA==，∴∠A=30°，∵OC=OB，BC∥OA，∴∠OBC=∠BOA=60°，∴△OBC是等边三角形，因此S阴影=S扇形CBO==π．故答案为π．【点评】本题利用了平行线的性质，同底等高的三角形面积相等，切线的概念，正弦的概念，扇形的面积公式求解．3.对于实数a，b，定义运算“⊗”：，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=6．若x1，x 2是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根，则x1⊗x2= ．【答案】±4【解析】解：x2﹣6x+8=0，解得：x=4或2，当x1=2，x2=4时，x1⊗x2=22﹣2×4=﹣4；当x1=4，x2=2时，x1⊗x2=4×2﹣22=4；故答案为：±4．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．4.如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE，对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论选项是．【答案】①②④【解析】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，而AB=CB，∴AD=DC，所以①正确；∵AB=CB，∴∠1=∠2，而CD=ED，∴∠3=∠4，∵CF∥AB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴△CBA∽△CDE，所以②正确；∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠1不能确定等于45°，∴和不能确定相等，所以③错误；∵DA=DC=DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，所以④正确．故答案为①②④．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．三、解答题1.如图，直线y=x+m与反比例函数相交于点A（6，2），与x轴交于B点，点C在直线AB上且．过B、C分别作y轴的平行线交双曲线于D、E两点．（1）求m、k的值；（2）求点D 、E 坐标．【答案】（1）m=﹣4，k=12（2）D （4，3） E （1，12）【解析】解：（1）把A （6，2）代入y=x+m 与y=，得m=﹣4，k=12；（2）过A 作AM ⊥x 轴于M ，由（1）可得，直线解析式为y=x ﹣4，y=，当y=0时，x ﹣4=0，x=4，∴B （4，0）， ∴BM=2，当x=4时，y==3， ∴D （4，3）．又=，∴BN=3， ∴点C 的横坐标是1，又直线AB 的解析式是y=x ﹣4，∴点C 的纵坐标是﹣3，又CE ∥y 轴，∴点E 的横坐标是1，再根据反比例函数的解析式求得点E 的纵坐标是12， 则E （1，12）．【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式的方法，能够借助平行求点的坐标．2.阅读下面的材料：解方程x 4﹣7x 2+12=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2=y ，则x 4=y 2，∴原方程可化为：y 2﹣7y+12=0，解得y 1=3，y 2=4，当y=3时，x 2=3，x=±，当y=4时，x 2=4，x=±2．∴原方程有四个根是：x 1=，x 2=﹣，x 3=2，x 4=﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．（1）解方程：（x 2+x ）2﹣5（x 2+x ）+4=0；（2）已知实数a ，b 满足（a 2+b 2）2﹣3（a 2+b 2）﹣10=0，试求a 2+b 2的值．【答案】见解析【解析】解：（1）设y=x 2+x ，则y 2﹣5y+4=0，整理，得（y ﹣1）（y ﹣4）=0，解得y 1=1，y 2=4，当x 2+x=1即x 2+x ﹣1=0时，解得：x=； 当当x 2+x=4即x 2+x ﹣4=0时，解得：x=； 综上所述，原方程的解为x 1，2=，x 3，4=；（2）设x=a 2+b 2，则x 2﹣3x ﹣10=0，整理，得（x ﹣5）（x+2）=0，解得y 1=5，y 2=﹣2（舍去），故a 2+b 2=5．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．3.如图，⊙O 的直径为10，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA=4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）求证：AC•CD=PC•BC ；（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°， ∵CD ⊥CP ， ∴∠PCD=90°， ∴∠ACB=∠PCD ， ∵∠A 与∠P 是对的圆周角，∴∠A=∠P ， ∴△ABC ∽△PDC ，∴，∴AC•CD=PC•BC ；（2）解：当点P 运动到的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于E ，∵BC ：CA=4：3，AB=10， ∴BC=8，AC=6， ∵点P 是的中点，∴∠PCB=∠ACB=45°，∴BE=CE=BC•sin45°=8×=4，在Rt △EPB 中，tan ∠P=tan ∠A===， ∴PE=BE=3， ∴PC=PE+CE=7，∴CD=PC•tan ∠P=×7=．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与转化思想的应用．4.如图，在一块正方形ABCD 木板上要贴三种不同的墙纸，正方形EFCG 部分贴A 型墙纸，△ABE 部分贴B 型墙纸，其余部分贴C 型墙纸．A 型、B 型、C 型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元．探究1：如果木板边长为1米，FC=米，则一块木板用墙纸的费用需 元； 探究2：如果木板边长为2米，正方形EFCG 的边长为x 米，一块木板需用墙纸的费用为y 元， （1）用含x 的代数式表示y （写过程）．（2）如果一块木板需用墙纸的费用为225元，求正方形EFCG 的边长为多少米？【答案】（1）55 y=20x 2﹣40x+240（2）正方形EFCG 的边长为或米【解析】解：探究1：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA=1， ∴S 正方形ABCD =1，∵四边形EFCG 是正方形，∴EF=CF=，∴S 正方形EFCG =，BF=，∴S △ABE ==∴空白部分的面积为：1﹣﹣=，∴这块木板用墙纸的费用为：+80+40×=55元．故答案为：55．探究2：（1）∵木板边长为2米，∴木板的面积为：4平方米． ∵正方形EFCG 的边长为x 米， ∴S 正方形EFCG =x 2，S △ABE =2﹣x ，∴空白的面积为：4﹣x 2﹣（2﹣x ）=2﹣x 2+x ，y=60x 2+80（2﹣x ）+40（2﹣x 2+x ），y=20x 2﹣40x+240．（2）当y=225时，225=20x 2﹣40x+240，解得：x 1=，x 2=∴正方形EFCG 的边长为或米．【点评】本题考查了正方形的性质，平面几何图形的面积公式的计算，抛物线的解析式的求法．5.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A 上，斜边从AB 边开始绕点A 逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC 于点D ，直角边所在的直线交直线BC 于点E ．（1）小敏在线段BC 上取一点M ，连接AM ，旋转中发现：若AD 平分∠BAM ，则AE 也平分∠MAC ．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD 、CE 、DE 之间存在如下等量关系：BD 2+CE 2=DE 2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将△ABD 沿AD 所在的直线对折得到△ADF ，连接EF （如图2）；小亮的想法：将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACG ，连接EG （如图3）；请你从中任选一种方法进行证明．（3）小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量BD 2+CE 2=DE 2是否仍然成立？请作出判断，不需要证明．【答案】见解析【解析】 （1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°． ∵∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠EAC=45°． ∵∠BAD=∠DAM ， ∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°， ∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC ， ∴∠MAE=∠EAC ，即AE 平分∠MAC ；（2）选择小颖的方法．证明：如图2，连接EF ．由折叠可知，∠BAD=∠FAD ，AB=AF ，BD=DF ，∵∠BAD=∠FAD ， ∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE ．在△AEF 和△AEC 中，，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．选择小亮的方法，证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，∴△ADB≌△AGC，∴∠B=∠ACG=45°，AD=AG，BD=CG，∵∠BAC=∠DAG=90°，∠DAE=45°，∴∠EAG=45°，在△DAE和△GAE中，，∴△DAE≌△GAE（SAS），∴DE=EG，∵∠ACB=90°，∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=45°+45°=90°μ，∴△ECG是直角三角形，∴CG2+CE2=EG2，即BD2+CE2=DE2；（3）当135°＜α＜180°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立．证明如下：如图4，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G．∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=135°，∠BAD=∠FAD．又∵AC=AB，∴AF=AC．又∵∠CAE=90°﹣∠BAE=90°﹣（45°﹣∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．∴∠CAE=∠FAE．在△AEF和△AEC中，∵，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD﹣∠AFE=∠135°﹣∠C=135°﹣45°=90°．∴∠DFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2【点评】本题考查了几何变换综合性题目，用到的知识点有角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质等，题目的综合性较强，难度较大，正确做出图形的辅助线是解题的关键．6.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（2，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3），连接AB．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，△PAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐标和△PAC 的最大面积．【答案】（1）y=x 2﹣4x+3（2）抛物线的对称轴与⊙C 相离（3）p （，﹣），则S △PAC 的最大值=【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a （x ﹣2）2﹣1把A （0，3）代入得：3=4a ﹣1解得：a=1，故 y=（x ﹣2）2﹣1=x 2﹣4x+3；（2）抛物线的对称轴与⊙C 相离理由如下：如图1，过点C 作CE ⊥BD 于E令y=0，则x 2﹣4x+3=0解得：x 1=1，x 2=3则B （1，0），C （3，0），A （0，3），故AB=，∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°， ∴∠2=∠3， ∴△AOB ～△BEC∴=， ∴=， ∴CE=，∴BF=CE=1＞， ∴抛物线的对称轴与⊙C 相离；（3）设P （m ，m 2﹣4m+3），如图2，过点P 作作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ，设AC 的解析式为：y=kx+b ，故， 解得：，故AC 的解析式为：y=﹣x+3，则Q （m ，﹣m+3），则PQ=﹣m+3﹣（m 2﹣4m+3）=﹣m 2+3m ，S △PAC =S △AQP +S △CQP=×3（﹣m 2+3m ），=﹣m 2+m ，则m=﹣=÷3=，把m=代入得：﹣×+×=， 故p （，﹣），则S △PAC 的最大值=．【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识，正确表示出S △PAC =S △AQP +S △CQP 是解题关键．。
初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-锐角三角函数
初中数学竞赛辅导讲义---锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1．单调性；2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1．【例题求解】【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=135=AC CD ，tanB=2=BDCD，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==； （2）R CcB b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3D ．23-思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=1312，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=ACAD=1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件；(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．学历训练1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>21，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ．2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB135，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．4．化简(1)263tan 27tan 22-+οο= ．(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低D ．丙的最低6．已知 sin αcos α=81，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( )A ．23 B ．23- C ．43 D ．43-7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( )A ．3B ．32C ．23 D ．43 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=51，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ． 1D ．229．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值．10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=43，求AE 的长． 11．若0°<α<45°，且sin αcon α=1673，则sin α= ．12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( ) A ．61 B ．51 C ．92 D ．103 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( ) A ．2 B ．23C ．1D ．2116．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=23，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．29 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a +与n c 的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14)(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα·tanβ)，求出∠CACˊ+∠CAAˊ的度数．参考答案。