北师大八年级数学下册第四章 因式分解
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信达
初中数学试卷
第四章 因式分解
知识点一：分解因式概念:
例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ ）。
A. 11(1))(()21(4414)3(4322222xxxyxyxyxxxxyyyy B.11(1))(()21(4414)3(4322222xxxyxyxyxxxxyyyy
C.11(1))(()21(4414)3(4322222xxxyxyxyxxxxyyyy D.)11(1))(()21(4414)3(4322222xxxyxyxyxxxxyyyy
知识点二：利用提公因式法分解因式
例2.把下列各式分解因式
⑴ ⑵
知识点三：利用公式法分解因式
例3.把下列各式分解因式
⑴ ⑵ ⑶
练一练：把下列各式分解因式
（1）（a2+4）2–16a2 （2）
知识点四：综合运用多种方法分解因式
mnmnnm1892722
23
)1(2)1(4bbb
22
)()(nmnm
4
9
32xx
25)(10)(2yxyx
4422
2yxyx
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信达
例4.把下列各式分解因式
⑴xx43 ⑵)1(4)(2baba
⑶)1()1(2)1(2222yyxyx ⑷xzzyx449222
知识点五：运用分解因式进行计算和求值
例5.利用分解因式计算：
⑴ ⑵ ⑶（–2）101+（–2）
100
例6．已知 ，求 的值。 例7.已知x+y=1，求222121yxyx的
值．
例8.计算下列各式：
你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：
22
2
)119899(100
0232xx
xxx46223
.__________)411)(311)(211)(3(_________;)311)(211)(2(________;211)1(222222
).11)...(1011)(911)...(411)(311)(211(222222n
2002199819992
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信达
达标检测
1.3223129yxyx中各项的公因式是_______.
2、mbmam；1x；acba.
3、多项式92x与962xx的公因式是 .
4、利用因式分解计算：22199201 .
5、若2310xxxaxb，则a=________，b=________。
6.若26xxk是x的完全平方式，则k=__________.
7.若错误！未找到引用源。互为相反数，则错误！未找到引用源。__________．
8、如果错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，那么代数式错误！未找到引用源。的值是_______
北师大版初二数学下册第4章《因式分解》单元测试卷 (含答案)
北师大版八年级数学下册第4章《因式分解》单元测试题一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A．x（1﹣x2）B．x（x2﹣1）C．x（1+x）（1﹣x）D．x（x+1）（x﹣1）2．多项式a2﹣25与a2﹣5a的公因式是（）A．a+5B．a﹣5C．a+25D．a﹣253．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（）A．﹣a2﹣4b2B．﹣1+25a2C．﹣9a2D．1﹣a44．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的个数是（）（1）x2﹣4；（2）x2+6x+9；（3）4x4﹣2x2+；（4）x2+4xy+2y2A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x6．将对x2+mx+n分解成（x﹣7）（x+2），则m，n的值为（）A．5，﹣14B．﹣5，14C．5，14D．﹣5，﹣14 7．如果（x+4）（x﹣3）是x2﹣mx﹣12的因式，那么m是（）A．7B．﹣7C．1D．﹣18．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（）A．2B．﹣2C．﹣299D．299二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）9．把多项式m3﹣81m分解因式的结果是．10．在实数范围内分解因式：m4﹣2m2＝．11．分解因式：a2﹣9b2+2a﹣6b＝．12．已知x2+4mx+16能用完全平方公式因式分解，则m的值为．13．已知a、b满足a+b＝5，ab2+a2b＝10，则ab的值是．14．若x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2﹣7的值是．15．232﹣1可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数是．三．解答题（共7小题，满分48分）16．把下列多项式分解因式：（1）x3﹣9x；（2）2a2+4ab+2b217．分解因式（1）3a2（x+y）3﹣27a4（x+y）（2）（x2﹣9）2﹣14（x2﹣9）+4918．已知a+b＝，ab＝﹣，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．19．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x ﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．20．待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：x3﹣1．因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多顶式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1可以求出a＝1，b＝1．所以x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．（1）若x取任意值，等式x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a＝；（2）已知多项式x3+2x+3有因式x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．21．阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题【阅读材料】对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入多项式，发现x＝2能使多项式的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后代入，就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．【解决问题】（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．22．拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）则图③可以解释为等式：．（2）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为3a2+7ab+2b2，并通过拼图对多项式3a2+7ab+2b2因式分解：3a2+7ab+2b2＝．（拼图图形画在方框内）（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个长方形的两边长（x＞y），结合图案，指出以下关系式：①xy＝；②x+y＝m；③x2﹣y2＝m•n；④x2+y2＝其中正确的关系式为．（4）试着用剪拼图形的方法由几何图形的面积来证明：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．参考答案一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．解：x﹣x3＝x（1﹣x2）＝x（1﹣x）（1+x）．故选：C．2．解：多项式a2﹣25＝（a+5）（a﹣5）与a2﹣5a＝a（a﹣5）的公因式是：a﹣5．故选：B．3．解：不能用平方差公式分解的是﹣a2﹣4b2．故选：A．4．解：（1）x2﹣1是两项，不能用完全平方公式，故此选项不符合题意；（2）x2+6x+9，符合完全平方公式；故此选项符合题意．（3）4x4﹣2x2+符合完全平方公式；故此选项符合题意；（4）x2+4xy+2y2不符合完全平方公式；故此选项不符合题意．故选：B．5．解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，是整式的乘法运算，故此选项错误；B、x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2，不符合因式分解的定义，故此选项错误；C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），是因式分解，符合题意．D、x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x，不符合因式分解的定义，故此选项错误；故选：C．6．解：∵将对x2+mx+n分解成（x﹣7）（x+2），∴m＝﹣7+2＝﹣5，n＝﹣7×2＝﹣14，故选：D．7．解：∵（x+4）（x﹣3）是x2﹣mx﹣12的因式，∴（x+4）（x﹣3）＝x2﹣mx﹣12＝x2+x﹣12，故﹣m＝1，解得：m＝﹣1．故选：D．8．解：原式＝（﹣2）99[（﹣2）+1]＝﹣（﹣2）99＝299，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）9．解：m3﹣81m＝m（m2﹣81）＝m（m+9）（m﹣9）．故答案为：m（m+9）（m﹣9）．10．解：m4﹣2m2＝m2（m2﹣2）＝m2（m+）（m﹣）．故答案为：m2（m+）（m﹣）．11．解：a2﹣9b2+2a﹣6b，＝（a2﹣9b2）+（2a﹣6b），＝（a+3b）（a﹣3b）+2（a﹣3b），＝（a﹣3b）（a+3b+2）．12．解：∵关于x的多项式x2﹣4mx+16能用完全平方公式进行因式分解，∴m＝±2，故答案为：±2．13．解：∵ab2+a2b＝10，∴ab（b+a）＝10，∵a+b＝5，∴ab＝2，故答案为：2．14．解：∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1∴x3+2x2﹣7＝x（x2+x）+x2﹣7＝x+x2﹣7＝1﹣7＝﹣6故答案为：﹣6．15．解：原式＝（216+1）（216﹣1）＝（216+1）（28+1）（24+1）（24﹣1）＝（216+1）（28+1）×17×15．则这两个数是15和17．故答案是：15和17．三．解答题（共7小题）16．解：（1）x3﹣9x＝x（x2﹣9）＝x（x+3）（x﹣3）；（2）2a2+4ab+2b2＝2（a2+2ab+b2）＝2（a+b）2．17．解：（1）3a2（x+y）3﹣27a4（x+y）＝3a2（x+y）[（x+y）2﹣9a2]＝3a2（x+y）（x+y﹣3a）（x+y+3a）；（2）（x2﹣9）2﹣14（x2﹣9）+49＝（x2﹣9﹣7）2＝（x2﹣16）2＝（x+4）2（x﹣4）2．18．解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，∵a+b＝，ab＝﹣，∴原式＝ab（a+b）2＝﹣×（）2＝﹣3，即代数式a3b+2a2b2+ab3的值是﹣3．19．解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．20．解：（1）∵x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+3，∴3﹣a＝2，a＝1；故答案为：1；（2）设x3+2x+3＝（x+1）（x2+ax+3）＝x3+（a+1）x2+（a+3）x+3，a+1＝0，解得a＝﹣1，多项式的另一因式是x2﹣x+3．21．解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令x＝0，x＝1，即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5；（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，用上述方法可求得：a＝4，b＝4，所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4）＝（x+1）（x+2）2．22．解：（1）图③可以解释为等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+ab+4ab+2b2＝2a2+5ab+2b2故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．（2）拼图如图⑤所示：3a2+7ab+2b2＝（3a+b）（a+2b）；故答案为：（3a+b）（a+2b）；（3）∵m2﹣n2＝4xy∴①正确；∵x+y＝m∴②正确；∵x+y＝m，x﹣y＝n∴（x+y）（x﹣y）＝mn，即x2﹣y2＝mn，∴③正确；∵m2+n2＝（x+y）2+（x﹣y）2＝2x2+2y2＝2（x2+y2）；∴④正确．故答案为：①②③④．（4）剪拼图形如图⑥、⑦；把图⑥中的阴影沿虚线三次剪下来，拼成如图⑦所示的梯形，∴这个梯形的上底长为2b，下底长为2a，高为（a﹣b），∴S阴影（梯形）＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），∵图⑥中的S阴影＝a2﹣b2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．。
八年级数学下册 第四章 因式分解知识归纳(新版)北师大版
学习资料
八年级数学下册第四章因式
分解知识归纳（新版）北师大
版
班级：科目：
第四章 分解因式
一、公式：
1、ma+mb+mc=m （a+b+c ）
2、()()22a -b =a+b a-b
3、
()2
22a 2ab+b a b ±=±
二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.
1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
2、把一个多项式化成几个整式的积的形式,是因式分解.
3、ma+mb+mc=m （a+b+c ）
4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
三、把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.
提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.
找公因式的一般步骤：(1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.
(4）所有这些因式的乘积即为公因式。
四、分解因式的一般步骤为：
（1）若有“-"先提取“-”,若多项式各项有公因式,则再提取公因式.
（2)若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式.
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止。
五、形如22a +2ab+b 或22a -2ab+b 的式子称为完全平方式.
六、分解因式的方法：1、提公因式法. 2、运用公式法.。
北师大版八年级下册 第四章 因式分解(包含答案)
第四章因式分解一、选择题1.下列从左到右的变形中,是分解因式的有()①(x+1)(x-2)=x2-x-2;②-x2+9=(3+x)(3-x);③ab-a+b-1=(a+1)(b-1);④a2-4+a=(a+2)(a-2)+a;).⑤(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1);⑥a2+1=a(a+1aA.1个B.2个C.3个D.4个答案B②③是分解因式.2.下面分解因式正确的是()A.x3-x=x(x-1)B.3xy+6y=y(3x+6)C.a2-2a-1=(a-1)2D.1-b2=(1+b)(1-b)答案D A的结果错误,B没分解彻底,C的左右两边不相等,只有D选项正确.3.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A.a2+(-b)2B.5m2-20mnC.-x2-y2D.-x2+9答案D A,C的两个平方项同号,B中两项提公因式5m后不是两式平方差的形式,只有D选项能用平方差公式.4.下列各组多项式中没有公因式的是()A.3x-2与6x2-4xB.3(a-b)2与11(b-a)3C.mx-my与ny-nxD.ab-ac与ab-bc答案 D ab-ac=a(b-c),ab-bc=b(a-c),两个多项式没有公因式.5.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m 的值等于( ) A.-5 B.3 C.7 D.7或-1答案 D 因为x 2+2(m-3)x+16是完全平方式,所以m-3=±4,所以m=7或-1.6.若a 2+b 2+4a-2b+5=0,则a+b a -b 的值为( ) A.3 B.13 C.-3 D.-13答案 B 由a 2+b 2+4a-2b+5=0得(a+2)2+(b-1)2=0,所以a=-2,b=1.所以a+b a -b =-2+1-2-1=13. 7.212-1可以被5~10之间的某些整数整除,它们是( ) A.7 B.9 C.6和7 D.7和9答案 D 212-1=(26+1)(26-1)=(26+1)(23+1)(23-1)=(26+1)×9×7,故有两个整数符合题意,即7和9.8.多项式x 2-4x+m 分解因式的结果是(x+3)(x-n),则m n 等于 ( ) A.3 B.-3 C.-13 D.13答案 B 由题意得x 2-4x+m=(x+3)(x-n), 即x 2-4x+m=x 2+(3-n)x-3n, 所以{3-n =-4,-3n =m,解得{n =7,m =-21,所以m n =-217=-3. 9.若xy=1,则(x+y)2-(x-y)2等于( ) A.-4 B.4 C.2 D.-2答案 B 当xy=1时,(x+y)2-(x-y)2=4xy=4,故选B. 10.已知1-x n =(1+x 2)(1-x)(1+x),则n 的值是( )A.2B.4C.6D.8答案 B (1+x 2)(1-x)(1+x)=(1+x 2)(1-x 2)=1-x 4=1-x n ,所以n=4.二、填空题11.因式分解:x 2-36= .答案 (x+6)(x-6)解析 根据平方差公式,得x 2-36=x 2-62=(x+6)(x-6). 12.分解因式:m 3n-4mn= .答案 mn(m+2)(m-2)解析 m 3n-4mn=mn(m 2-4)=mn(m+2)(m-2).13.分解因式:-2x 2y+12xy-18y= .答案 -2y(x-3)2解析 先提取公因式,再用完全平方公式分解因式.-2x 2y+12xy-18y=-2y(x 2-6x+9)=-2y(x-3)2.14.分解因式:(a-b)2-4b 2= .答案 (a+b)(a-3b)解析 (a-b)2-4b 2=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b).15.已知长方形的面积为9a 2-16,若一边长为3a+4,则与它相邻的边长为 . 答案 3a-4解析 S 长方形=9a 2-16=(3a+4)(3a-4),∴所求边长为3a-4. 16.因式分解:m(x-y)+n(x-y)= .答案 (x-y)(m+n)解析 m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n).17.计算:100992+198+1= .答案 1100解析 100992+198+1=100992+2×99+1=100(99+1)2=1001002=1100. 18.如图所示,在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a>b),把剩下的部分剪拼成一个梯形,通过计算这两个图形阴影部分的面积,可以验证公式 .答案 a 2-b 2=(a+b)(a-b)解析 在题图中,左图:S 阴影=a 2-b 2;右图:S 阴影=(2b+2a)(a -b)2=(a+b)(a-b), ∴ a 2-b 2=(a+b)(a-b).三、解答题19.把下列各式分解因式.(1)8a3b2-12ab3c+6a3b2c;(2)5x(x-y)2+10(y-x)3;(3)(a+b)2-9(a-b)2;(4)-4ax2+8axy-4ay2;(5)(x2+2)2-22(x2+2)+121.答案(1)原式=2ab2(4a2-6bc+3a2c).(2)原式=5x(y-x)2+10(y-x)3=5(y-x)2[x+2(y-x)]=5(y-x)2(2y-x).(3)原式=[a+b+3(a-b)][a+b-3(a-b)]=(4a-2b)(-2a+4b)=4(2a-b)(2b-a).(4)原式=-4a(x2-2xy+y2)=-4a(x-y)2.(5)原式=(x2+2-11)2=(x2-9)2=(x+3)2(x-3)2.20.下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程: 解:设x2-4x=y,则原式=(y+2)(y+6)+4=y2+8y+16=(y+4)2=(x 2-4x+4)2.回答下列问题: (1)该同学分解因式的结果是否彻底: (填“彻底”或“不彻底”),若不彻底,请直接写出分解因式的最后结果: ;(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2-2x)(x 2-2x+2)+1进行因式分解. 答案(1)不彻底;(x-2)4. (2)设x 2-2x=y,则(x 2-2x)(x 2-2x+2)+1=y(y+2)+1=y 2+2y+1=(y+1)2=(x 2-2x+1)2=(x-1)4. 21.(1)一个等腰三角形的两边长a,b 满足条件:9a 2-b 2=-13,3a+b=13,求这个等腰三角形的周长; (2)已知a,b,c 分别是△ABC 的三边长.①判断(a-c)2-b 2的正负; ②若a,b,c 满足a 2+c 2+2b(b-a-c)=0,判断△ABC 的形状. 答案 (1)因为9a 2-b 2=-13, 所以(3a+b)(3a-b)=-13,因为3a+b=13,所以3a-b=-1,由{3a +b =13,3a -b =-1,得{a =2,b =7.当a 为腰长时,2+2<7,不能构成三角形;当b 为腰长时,三角形的周长为7+7+2=16.综上,这个等腰三角形的周长为16.(2)①(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b).因为a,b,c分别是△ABC的三边长,所以a+b>c,b+c>a,所以a-c+b>0,a-c-b<0,所以(a-c+b)(a-c-b)<0,即(a-c)2-b2<0.②由a2+c2+2b(b-a-c)=0,得a2+c2+2b2-2ab-2bc=0,即(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)=0,即(a-b)2+(b-c)2=0,所以a=b,b=c,所以a=b=c,所以△ABC为等边三角形.22.如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4、12、20这三个数都是神秘数.(1)28和2 012这两个数是神秘数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2k和2k+2(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?答案(1)是.理由:28=2×14=(8-6)×(8+6)=82-62,2 012=2×1006=(504-502)×(504+502)=5042-5022,所以这两个数都是神秘数.(2)是.理由:(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1),因此由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数.(3)不是.理由:由(2)知神秘数可表示为4的倍数,但一定不是8的倍数.设两个连续奇数为2k+1和2k-1(k取正整数),因为(2k+1)2-(2k-1)2=8k,8k是8的倍数,所以两个连续奇数的平方差一定不是神秘数.。
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.1《因式分解》课件
1 知识小结
1.因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形 叫做因式分解，也可称为分解因式．
2. 因式分解与整式乘法是一个互逆过程，
即：几个整式相乘 噲垐因整垐式式垐分乘解法垎垐 一个多项式
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
导引：把各选项进行整式乘法的运算，将所得的积与 x2－3xy2对照，能够与x2－3xy2相等的选项必是 正确答案．
总结
知2－讲
四个选项都是乘积的形式，可以利用因式分解 和整式乘法的互逆关系检验所得结果的正确性．
知2－讲
例3 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
因此是因式分解，D正确．
知1－练
1 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为 什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ； (2) m2－4＝(m＋2)(m－2)； (3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r).
解：(2)(4)是因式分解．理由：只有(2)(4)是把一个多项 式化成几个整式的积
知1－导
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)， am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都 是因式分解. 因式分解也可称为分解因式.
（来自《教材》）
知1－讲
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) A．a2＋1＝a(a＋ 1 ) a B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
A．9a2＋y2
北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
北师大版八年级下册数学：第四章 因式分解
（1）了解因式分解的概念 ； （2）掌握因式分解的方法； （3）运用因式分解解决一些数学问题。
梳理知识，初成体系（指定回答）
整式乘法
互 为 逆 运 算
分解因式
方法
把一个多项式化成几个整式 的积的形式，这种变形叫做 把这个多项式分解因式。
把一件平凡的事情做好就是不平凡 把一件简单的事情做好就是不简单
4 a2 4b2 a 4b a 4b
5 p4 1 p2 1 p2 1
6 4xy2 4x2 y y3 y 4xy 4x2 y2
7 a2 2a 8 a a 2 8
8x2 5x6x2x3
典型例题，提升能力（自由抢答）
1 5a2 20b2
22a2 aba3b 3a4 8a2b2 16b4
拓展创新，直击中考（小组合作）
20122 20112 20102 20092 20082 22 12
再次整理，完善体系（小组合作）
完善整理本 （温馨提示：因式分解 的基本顺序；注意事项； 蕴含整体代换思想）
分层作业
1-6号： 复习题 1、2、3、5
1-4号：
1、2、3、5、8
师生共勉
提公因式法 运用公式法
平方差公式：
a2 b2 a ba b
完全平方公式
a b2 a2 2ab b2
纠错练习，完善体系（指定回答）
1 2 x 3 4 x 2 2 x 2 x ( x 2 2 x ) 2 a 2 ab ac a(a b c) 3mn(m n) mn m2 mnm n mm n2 mm nn m n m2 m n
46x22x2 x
52n 12 n 22
北师大版八年级数学下册第四章《4.1 因式分解(2)》优课件
4.1 因式分解
第2课时
用简便方法计算：
（1） 7 × 13 – 7
9
9
7 × 6+ × 2 =
9
（2）-2.67× 132+25×2.67+7×2.67=
（3）992 –1= 9800 ．
7 -267
993 –99能被哪些数整除？你是怎么得出来的？ 答:能被100，99，98，300，200，33，49，3，20，50，5等数整除。 从以上问题的解决中，你知道解决这些问题的关键是什么？ 关键是：把这个式子分解成几个数的积的形式。
结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a
（2）4x2 y–8xy2+1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a2–ab
（4）a
2
–2ab+b
2
2
=(a–b)
答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
注意： （1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系； （2）分解因式的结果要以积的形式表示； （3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
+2)(
a
-2)
（3）a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1
（4）2mR+2mr=2m（R+r）
（不是） （是）
（不是） （是）
从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？
1、因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式， 分解因式的结果要以积的形式表示
第四章 因式分解 综合素质评价(含答案)北师大版数学八年级下册
第四章因式分解综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为()A．ab＋ac＋d＝a(b＋c)＋dB．(x＋2)(x－2)＝x2－4C．6ab＝2a·3bD．x2－8x＋16＝(x－4)22．课堂上老师在黑板上布置了下框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，错误的题目是()用平方差公式解下列各式：(1)a2－b2；(2)49x2－y2z2；(3)－x2－y2；(4)16m2n2－25p2.A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)3．【2022·金华二模】下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是() A．a2－4 B．a2＋6a＋9 C．a2＋16 D．9a2－6a＋14．下列各组代数式中，没有公因式的是()A．ax＋y和x＋yB．2x和4yC．a－b和b－aD．－x2＋xy和y－x5．下列因式分解正确的是()A．a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a＋b)B．a2－9b2＝(a－3b)2C．a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2D．a2－ab＋a＝a(a－b)6．【教材P105复习题T6变式】已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值是() A．2 B．3 C．4 D．67．【2022·石家庄二模】计算：1252－50×125＋252＝()A．100 B．150 C．10 000 D．22 5008．【教材P94习题T4变式】从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图①)，然后拼成一个平行四边形(如图②)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为()A．a2－b2＝(a－b)2B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a－b)2＝a2－2ab＋b29．不论x，y为什么实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值()A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数D．可能为负数10．已知a＝2b－2，则代数式a2－4ab＋5b2的最小值为()A．0 B．2 C．4 D．无法确定二、填空题(每题3分，共24分)11．18x3y2与12x6y的公因式为________．12．【2022·长春】分解因式：m2＋3m＝________.13．若整式x2＋ky2(k为不等于零的常数)能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是________．(写出一个即可)14．【2022·重庆渝北期末】利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b 的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式：____________．15．【教材P105复习题T13改编】如果x2＋kx＋64是一个完全平方式，那么k的值是________．16．关于x的二次三项式2x2＋bx＋c分解因式后为2(x－3)(x＋1)，则b＝________，c＝________.17．已知x ，y 是二元一次方程组⎩⎨⎧x －2y ＝3，2x ＋4y ＝5的解，则代数式x 2－4y 2的值为________．18．一个两邻边长分别为a ，b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则a 2b ＋ab 2的值为________．三、解答题(19题12分，20题6分， 21题8分，其余每题10分，共66分)19．把下列各式因式分解：(1)－5x 2y 2＋10xy 3－15x 2y ； (2)2x 2－4x ＋2；(3)(x 2＋1)2－4x 2; (4)a 4－8a 2b 2＋16b 4.20．【教材P 97习题T 2(3)变式】已知a ＋b ＝72，ab ＝2，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．21.【教材P105复习题T14改编】232－1可以被10和20之间某两个整数整除，求这两个数．22．【教材P105复习题T12改编】已知a，b，c分别是△ABC的三边长．(1)分别将多项式ac－bc，－a2＋2ab－b2进行因式分解；(2)若ac－bc＝－a2＋2ab－b2，试判断△ABC的形状，并说明理由．23．【教材P100随堂练习T3变式】如图，在一个边长为a m的正方形广场的四个角上分别留出一个边长为b m的正方形花坛(a＞2b)，其余的地方种草坪．(1)求种草坪的面积是多少平方米；(2)当a＝84，b＝8，且种每平方米草坪的成本为5元时，种这块草坪共需投资多少元？24．【教材P105复习题T10拓展】上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b)2＝a2±2ab ＋b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2＋4x＋5的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2)2＋1.∵(x＋2)2≥0，∴(x＋2)2＋1≥1.∴x2＋4x＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1)知识再现：当x＝________时，代数式x2－6x＋12有最小值是________；(2)知识运用：若y＝－x2＋2x－3，当x＝________时，y有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________．写出求解过程．25．【探究题】在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题：在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体(如图①)，然后利用切割的方法把剩余的立体图形(如图②)分成三部分(如图③)，这三个长方体的体积依次为b2(a－b)，ab(a－b)，a2(a－b)．(1)分解因式：a2(a－b)＋ab(a－b)＋b2(a－b)＝______________．(2)请用两种不同的方法求图①中的立体图形的体积(用含有a，b的代数式表示)：①____________；②______________________．思考：类比平方差公式，你能得到的等式为______________________________．(3)应用：利用在(2)中所得到的等式进行因式分解：x3－125＝______________.(4)拓展：已知a－2b＝6，ab＝－2，求代数式a4b－8ab4的值．答案一、1．D 2．C 3．C 4．A 5．C 6．C7．C 8．C 9．A 10．C二、11.6x 3y 12.m (m ＋3) 13．－1(答案不唯一)14．a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2 15．±1616．－4；－6 17．152 18．70三、19．解：(1)原式＝－5xy (xy －2y 2＋3x )；(2)原式＝2(x 2－2x ＋1)＝2(x －1)2；(3)原式＝[(x 2＋1)＋2x ][(x 2＋1)－2x ]＝(x 2＋2x ＋1)(x 2－2x ＋1)＝(x ＋1)2(x －1)2；(4)原式＝(a 2－4b 2)2＝(a －2b )2(a ＋2b )2.20．解：12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab (a ＋b )2.∵a ＋b ＝72，ab ＝2，∴原式＝12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝494. 21．解：232－1＝(216)2－1＝(216＋1)(216－1)＝(216＋1)(28＋1)(28－1)＝(216＋1)·(28＋1)(24＋1)(24－1)．∵24＝16，∴24＋1＝17，24－1＝15.∴232－1能被15和17整除．∴所求的两个数为15和17.22．解：(1)ac －bc ＝c (a －b )；－a 2＋2ab －b 2＝－(a 2－2ab ＋b 2)＝－(a －b )2.(2)△ABC 是等腰三角形．理由：∵ac －bc ＝－a 2＋2ab －b 2，∴c (a －b )＝－(a －b )2，c (a －b )＋(a －b )2＝0，(a－b)(c＋a－b)＝0.∵a，b，c分别是△ABC的三边长，∴c＋a－b＞0.∴a－b＝0，即a＝b.∴△ABC是等腰三角形．23．解：(1)种草坪的面积是(a2－4b2) m2.(2)当a＝84，b＝8时，种草坪的面积是a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(84＋2×8)×(84－2×8)＝100×68＝6 800(m2)．所以种这块草坪共需投资5×6 800＝34 000(元)．24．解：(1)3；3(2)1；大；－2y＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2.∵－(x－1)2≤0，∴－(x－1)2－2≤－2.∴当x＝1时，y有最大值，最大值是－2.25．解：(1)(a－b)(a2＋ab＋b2)(2)①a3－b3②b2(a－b)＋ab(a－b)＋a2(a－b)思考：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)(3)(x－5)(x2＋5x＋25)(4)a4b－8ab4＝ab(a3－8b3)＝ab(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)＝ab(a－2b)[(a－2b)2＋6ab]．当a－2b＝6，ab＝－2时，原式＝－2×6×(36－12)＝－288.。
北师大版八年级数学下册第四章《因式分解 1》优课件
想一想 ô 回顾 & 思考☞
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 (3)多项式乘以多项式 2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式 (2)完全平方公式
ô 回顾 & 思考☞
3.计算:
(1)3a(a-2b+c) (2)(a+3)(a-3) (3)(a+2b)2 (4)(a-3b)2
(2) m(a+b+c) = __, (2)ma+mb+mc=___
ma+mb+mc
m(a+b+c)
(3) (m+4)(m-4)= m2_-_1,6
(4) (x-3)2= x2-6x+9 , (3) m2-16=_(_m__+_4_)(_m_-_4_) (5) a(a+1)(a-1)= a3-_a_, (4) x2-6x+9=_(_x_-3_)_2___
=2004 ×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除
a2
1、若 x 2 —x—m=（x+2)(x-3) 则m=_______ 2、若x 2 —ax+b=能分解成（x-1)（x-4），
则a=___,b=___
异想天开
假如用一根比地球赤道长10 米的铁丝将地球赤道围起来,那 么铁丝与赤道之间均匀的间隙 能有多大(赤道看成圆形)?
1、连一连
x2-y2 9-25x2 x2+2x+1 xy-y2
P40 y（x-y）
（3-5x）·（3+5x）
（x-y）·（x+y）
（x+1）2
2、在课本上。
北师大版八年级下册4.1因式分解(教案)
举例：重点讲解提公因式法的步骤，如找出多项式各项的公因数，提取公因数，并对余下的部分进行因式分解。
2.教学难点
-理解因式分解与整式乘法的区别与联系：学生容易混淆这两个概念，需要通过对比讲解，使学生明确它们ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ间的区别和联系。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《因式分解》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在数学学习中是否遇到过多项式难以简化的问题？”例如，当我们面对一个复杂的多项式时，如何将其简化为我们已知的简单形式。这个问题与我们将要学习的因式分解密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索因式分解的奥秘。
3.习题练习：设计不同难度的习题，巩固学生对因式分解的理解和应用能力，提高解题技巧。
4.实践应用：结合生活实际，设计一些实际问题，让学生用因式分解的方法解决，培养学生的实际应用能力。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理和数学抽象能力：通过因式分解的学习，使学生能够理解和掌握数学概念之间的逻辑关系，提高数学抽象思维水平。
最后，我意识到教学反思是非常重要的环节，它可以帮助我及时发现问题，调整教学策略。我会在每节课后都进行深入的反思，以期在下一节课中做得更好，让每个学生都能在数学学习的道路上取得进步。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调提公因式法和平方差公式这两个重点。对于难点部分，如完全平方公式的应用，我会通过具体例题和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与因式分解相关的实际问题，如分解具体的多项式。