导数与函数的单调性、极值、最值
§3.2导数与函数的单调性、极值、最值1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(×)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)(6)函数f (x )＝x sin x 有无数个极值点．( √ )1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－1,1)答案 A解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)．∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2．(2013·浙江)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案 C解析 当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)， 显然f ′(1)＝0，且x 在1附近的左边f ′(x )<0， x 在1附近的右边f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C.3．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞) 答案 B解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)， ∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0， ∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0， ∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}， 即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．4．设1<x <2，则ln x x ，(ln x x )2，ln x 2x 2的大小关系是__________________．(用“<”连接)答案 (ln x x )2<ln x x <ln x 2x 2解析 令f (x )＝x －ln x (1<x <2)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，∴函数y ＝f (x )(1<x <2)为增函数， ∴f (x )>f (1)＝1>0，∴x >ln x >0⇒0<ln xx <1，∴(ln x x )2<ln x x.又ln x 2x 2－ln x x ＝2ln x －x ln x x 2＝(2－x )ln x x 2>0，∴(ln x x )2<ln x x <ln x 2x2.题型一 利用导数研究函数的单调性 例1 已知函数f (x )＝e x －ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．思维点拨 函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论． 解 f ′(x )＝e x －a ，(1)若a ≤0，则f ′(x )＝e x －a ≥0， 即f (x )在R 上单调递增，若a >0，令e x －a ≥0，则e x ≥a ，x ≥ln a . 因此当a ≤0时，f (x )的单调增区间为R ，当a >0时，f (x )的单调增区间为[ln a ，＋∞)． (2)∵f ′(x )＝e x －a ≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a ≥e x 在x ∈(－2,3)上恒成立． ∴e －2<e x <e 3，只需a ≥e 3.当a ＝e 3时，f ′(x )＝e x －e 3<0在x ∈(－2,3)上恒成立， 即f (x )在(－2,3)上为减函数，∴a ≥e 3.故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2,3)上为减函数． 思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为_____________________．(2)已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________． 答案 (1)(2,2a ) (2)(0,3]解析 (1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )， 由a >1知，当x <2时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数； 当2<x <2a 时，f ′(x )<0， 故f (x )在区间(2,2a )上是减函数； 当x >2a 时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数． 综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数， 在区间(2,2a )上是减函数．(2)∵f ′(x )＝3x 2－a ，f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数，∴f ′(x )≥0，∴a ≤3x 2，∴a ≤3. 又a >0，可知0<a ≤3.题型二 利用导数求函数的极值例2 (2014·福建)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x .(1)解 由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值， 且极小值f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明 令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)>0.故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 因此，当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .思维升华 (1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．题型三 利用导数求函数的最值例3 (2014·四川改编)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a<e2时，令g′(x)＝0得x＝ln(2a)∈(0,1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a)，1]上单调递增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2a ln(2a)－b.综上所述，当a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当12<a<e2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2a ln(2a)－b；当a≥e2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.思维升华(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在(a，b)内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：x (－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－e k－1所以，f(x)(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1； 当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为 f (1)＝(1－k )e.综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为 f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.利用导数求函数的最值问题典例：(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．[2分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ， 单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞.[4分] (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[5分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[6分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .[10分] 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .[12分] 答题模板用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用 以下几步答题第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．温馨提醒 (1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[1,2]上的最值，属常规题型． (2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况． (3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题．方法与技巧1．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想．2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．失误与防范1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点.A组专项基础训练(时间：45分钟)1．函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)答案 D解析y′＝－2x e x＋(3－x2)e x＝e x(－x2－2x＋3)，由y′>0⇒x2＋2x－3<0⇒－3<x<1，故函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是(－3,1)．2.若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为()答案 C解析 根据f ′(x )的符号，f (x )图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A ，D ；从适合f ′(x )＝0的点可以排除B.3．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1eD ．a <－1e答案 A解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解，∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x <－1.4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤3 答案 A解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0)， 当x －9x≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数， ∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( )A ．－13B ．－15C ．10D ．15 答案 A解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________． 答案 (0,1]解析 y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x(x >0)． 令y ′≤0，得0<x ≤1.∴函数的单调递减区间为(0,1]．7．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________． 答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0，x ∈[0,2]，得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173， f (2)＝－103，可知最小值为－173. 8．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 当a ＝0时，则f ′(x )＝0，函数f (x )不存在极值．当a ≠0时，令f ′(x )＝0，则x 1＝－1，x 2＝a .若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0，函数f (x )不存在极值；若a >0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意；若－1<a <0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )>0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极大值；若a <－1，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，－1)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意．所以a ∈(－1,0)．9．已知函数f (x )＝1x＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间． 解 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1时，f (x )f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．10．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )．若x <0，则1－e x >0，∴f ′(x )<0；若x >0，则1－e x <0，∴f ′(x )<0；若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)．(2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减，∴[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立．B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．|x |x <－1或x >1|D ．{x |x <－1或0<x <1}答案 A解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x －1，求导得到g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0，所以g (x )为R 上的增函数；又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0，所以e x ·f (x )>e x ＋1，即g (x )>0的解集为{x |x >0}．12．已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (1)<e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)答案 D解析 令g (x )＝f (x )e x ， 则g ′(x )＝(f (x )e x )′＝f ′(x )e x －f (x )e x e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x<0， 所以函数g (x )＝f (x )e x 是单调减函数， 所以g (1)<g (0)，g (2 016)<g (0)，即f (1)e 1<f (0)1，f (2 016)e 2 016<f (0)1， 故f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)．13．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0.。
导数的单调性与极值
龙文教育一对一个性化辅导教案学生李卓杰学校禺山年级高二理次数第8次科目数学教师麦家丰日期4-24时段10-12课题导数的单调性与极值教学重点1函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．教学难点函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值．教学目标1掌握单调性与导数的关系、取极值的条件，学会求函数的极最值。
教学步骤及教学内容一、课前热身：1、课前交流，了解学生在校学习动态；2复习回顾二、内容讲解：1、知识梳理函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2、考点突破利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、课堂小结：四、作业布置：管理人员签字：日期：年月日作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差备注：2、本次课后作业：教案最后一页课堂小结1、学生作业的完成情况：○好○较好○一般○差2、学生对上节课知识的复习情况：○好○较好○一般○差3、学生本节课的学习状态：○好○较好○一般○差4、学生对本节课知识在校学习情况：○好○较好○一般○差5、学生对本节课知识的掌握情况：○好○较好○一般○差6、学生本堂课的学习习惯和方法：○好○较好○一般○差备注：家长签字：日期：年月日导数的单调性与极值复习回顾3已知函数()4cos sin() 1.6f x x x π=+-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。
4在ABC △中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边,且274sincos 222B C A +-= ()1求角A 的度数；()2若3, 3.a b c =+=求,b c 的值5已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．6若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )．A.π6B.π4C.3π4D.5π67已知数列{}n a 的前n 项和公式是244n S n n =-+，求它的通项公式n a8设数列{a n }的前项的和S n =31（a n -1） (n ∈N +),求{a n }.9已知数列{}n a 的前n 项和公式是51n n S =-，求它的通项公式n a .7、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a =g ，则313233310log log log log a a a a ++++L 等于（ ） A.8 B.10 C.12 D.32log 5+8、若实数,,a b c 成等比数列，则函数2()f x ax bx c =++的图像与x 轴的交点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.不确定9已知数列{}n a 是等差数列,34n n b a =+，证明数列{}n b 是等差数列10 已知数列{}n a 中，12a =-且1n n a S +=，(1)求证{}n a 是等比数列；(2)求通项公式.11数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T导数的单调性与极值【重点知识梳理】1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【高频考点突破】考点一利用导数研究函数的单调性【例题】已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．【拓展提高】(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．【变式探究】(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为_____________________．(2)已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________．考点二 利用导数求函数的极值【例题】 (2014·福建)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x .【拓展提升】(1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．【变式探究】 设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．。
【2021新高考数学】利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【举一反三】
1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________． x
1，＋∞ 【答案】 2
【解析】
由
y＝4x2＋1，得 x
y′＝8x－x12(x≠0)，令
y′>0，即
8x－x12>0，解得
x>1， 2
∴函数
y＝4x2＋1的单调增区间为
2
.
2
2
当 x (, 2 ) 时，函数为增函数；当 x ( 2 , ) 时，函数也为增函数.
2
2
令 f (x) 6x2 3 0 ，解得 2 x 2 .当 x ( 2 , 2 ) 时，函数为减函数.
2
2
22
故函数 f (x) 2x3 3x 的单调递增区间为 (, 2 ) 和 ( 2 , ) ，单调递减区间为 ( 2 , 2 ) .
当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接
【举一反三】 1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________．
x 2．函数 f(x)＝x·ex－ex＋1 的单调增区间是________． 3．已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)的单调减区间是________． 4．已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调增区间是_______．
2x 2 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
第十四讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【套路秘籍】
一．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x) 在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时：
高中数学知识点-导数与函数的单调性、极值、最值
第 1 页 共 7 页 专题对点练6 导数与函数的单调性、极值、最值专题对点练第6页1.(2017辽宁大连检测,理20)已知函数f (x )=ln(x-1)+(a ∈R ).(1)若函数f (x )在区间(1,4)内单调递增,求a 的取值范围;(2)若函数y=f (x )的图象与直线4x-3y-2=0相切,求a 的值.解 (1)f'(x )=,∵函数f (x )在区间(1,4)内单调递增,∴f'(x )≥0在(1,4)内恒成立,∴(x+1)2+a (x-1)≥0,即a ≥=-x-3+=--4在(1,4)内恒成立,∵x ∈(1,4),∴x-1∈(0,3),∴x-1+≥4,取等号条件为当且仅当x=3,∴--4≤-8,∴a ≥-8.(2)设切点为(x 0,y 0),则f'(x 0)=,4x 0-3y 0-2=0,y 0=ln(x 0-1)+,∴,① 且=ln(x 0-1)+.②由①得a=(x 0+1)2,代入②得=ln(x 0-1)+·(x 0+1)x 0,即ln(x0-1)+=0,令F(x)=ln(x-1)+,则F'(x)=,∵8x2-19x+17=0的Δ=-183<0,∴8x2-19x+17>0恒成立.∴F'(x)在(1,+∞)内恒为正值,∴F(x)在(1,+∞)内单调递增.∵F(2)=0,∴x0=2代入①式得a=3.2.(2017辽宁鞍山一模,理21改编)已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2,其中a∈R.(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线x+y-1=0垂直,求a的值;(2)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.解 (1)因为f'(x)=+2ax,由f(x)在x=1处的切线与直线x+y-1=0垂直,可知f'(1)=+2a=1,所以a=.(2)由题意知,函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=+2ax=,令g(x)=2ax2+2ax+1,x∈(-1,+∞).(ⅰ)当a=0时,g(x)=1,此时f'(x)>0,函数f(x)在(-1,+∞)单调递增,无极值点;第2 页共7 页第 3 页 共 7 页 (ⅱ)当a>0时,方程g (x )=2ax 2+2ax+1的判别式Δ=4a 2-8a=4a (a-2).①当0<a ≤2时,Δ≤0,g (x )≥0,f'(x )≥0,函数f (x )在(-1,+∞)单调递增,无极值点;②当a>2时,Δ>0,设方程2ax 2+2ax+1=0的两根为x 1,x 2(x 1<x 2),因为x 1+x 2=-1,g (x )=2ax 2+2ax+1的图象的对称轴方程为x=-,所以x 1<-,x 2>-.由g (-1)=g (0)=1>0,可得-1<x 1<-<x 2<0.所以当x ∈(-1,x 1)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增;当x ∈(x 1,x 2)时,g (x )<0,f'(x )<0,函数f (x )单调递减;当x ∈(x 2,+∞)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增.因此函数f (x )有两个极值点.(ⅲ)当a<0时,Δ>0,由g (-1)=g (0)=1>0,可得x 1<-1,x 2>0,当x ∈(-1,x 2)时,g (x )>0,f'(x )>0,函数f (x )单调递增;当x ∈(x 2,+∞)时,g (x )<0,f'(x )<0,函数f (x )单调递减,所以函数有一个极值点.综上所述,当a<0时,函数f (x )有一个极值点;当0≤a ≤2时,函数f (x )无极值点;当a>2时,函数f (x )有两个极值点.3.(2017河北衡水中学三调,理21)设函数f (x )=-ax ,e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )的图象在点(e 2,f (e 2))处的切线方程为3x+4y-e 2=0,求实数a ,b 的值;(2)当b=1时,若存在x 1,x 2∈[e,e 2],使f (x 1)≤f'(x 2)+a 成立,求实数a 的最小值.解 (1)f'(x )=-a (x>0,且x ≠1),由题意得f'(e 2)=-a=-,f (e 2)=-a e 2=-e 2,联立解得a=b=1.(2)当b=1时,f(x)=-ax,f'(x)=-a,∵x∈[e,e2],∴ln x∈[1,2],.∴f'(x)+a==-,∴[f'(x)+a]max=,x∈[e,e2].存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f'(x2)+a成立⇔x∈[e,e2],f(x)min≤[f'(x)+a]max=.①当a≥时,f'(x)≤0,f(x)在x∈[e,e2]上为减函数,则f(x)min=f(e2)=-a e2≤,解得a≥.②当a<时,由f'(x)=--a在[e,e2]上的值域为.(ⅰ)当-a≥0即a≤0时,f'(x)≥0在x∈[e,e2]上恒成立,因此f(x)在x∈[e,e2]上为增函数, ∴f(x)min=f(e)=e-a e,不符合题意,舍去.∴f(x)min=f(x0)=-ax0≤,x0∈(e,e2).∴a≥,与0<a<矛盾.第4 页共7 页综上可得a的最小值为.4.(2017山东,理20)已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=e x(cos x-sin x+2x-2),其中e≈2.718 28…是自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解 (1)由题意f(π)=π2-2,又f'(x)=2x-2sin x,所以f'(π)=2π,因此曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为y-(π2-2)=2π(x-π),即y=2πx-π2-2.(2)由题意得h(x)=e x(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x),因为h'(x)=e x(cos x-sin x+2x-2)+e x(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x)=2e x(x-sin x)-2a(x-sin x)=2(e x-a)(x-sin x),令m(x)=x-sin x,则m'(x)=1-cos x≥0,所以m(x)在R上单调递增.因为m(0)=0,所以当x>0时,m(x)>0;当x<0时,m(x)<0.①当a≤0时,e x-a>0,当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;②当a>0时,h'(x)=2(e x-e ln a)(x-sin x),由h'(x)=0得x1=ln a,x2=0.第5 页共7 页(ⅰ)当0<a<1时,ln a<0,当x∈(-∞,ln a)时,e x-e ln a<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(ln a,0)时,e x-e ln a>0,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,e x-e ln a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以当x=ln a时h(x)取到极大值.极大值为h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;(ⅱ)当a=1时,ln a=0,所以当x∈(-∞,+∞)时,h'(x)≥0,函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;(ⅲ)当a>1时,ln a>0,所以当x∈(-∞,0)时,e x-e ln a<0,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(0,ln a)时,e x-e ln a<0,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(ln a,+∞)时,e x-e ln a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;当x=ln a时h(x)取到极小值,极小值是h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].综上所述:当a≤0时,h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当0<a<1时,函数h(x)在(-∞,ln a)和(0,+∞)上单调递增,在(ln a,0)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2],极小值是h(0)=-2a-1;当a=1时,函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;第6 页共7 页当a>1时,函数h(x)在(-∞,0)和(ln a,+∞)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(ln a)=-a[ln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2].第7 页共7 页。
高中数学导数与函数的极值与单调性
高中数学导数与函数的极值与单调性在高中数学中，导数与函数的极值与单调性是一个重要且基础的概念。
理解导数与函数的极值与单调性对于解决一些函数的问题非常关键。
本文将通过讨论导数的概念、求导法则以及函数的极值和单调性来详细介绍这个主题。
一、导数的概念与求导法则1. 导数的概念函数的导数表示函数在某一点的变化率，可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。
导数通常用符号"f'(x)"或"dy/dx"表示。
对于函数y=f(x)，其导数可以通过求导得到。
2. 求导法则求导法则是一类用于求函数导数的规则，常见的包括常数法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则和商法则等。
这些法则可以帮助我们计算各种函数的导数，从而研究其极值和单调性。
二、函数的极值1. 极值的定义极值是函数在一定区间内取得的最大值或最小值。
极大值表示函数取得的最大值，而极小值表示函数取得的最小值。
2. 寻找极值的方法要寻找函数的极值，我们需要分析函数的导数和二阶导数。
首先，通过求导得到函数的导数，然后找到导数为零或不存在的点。
接下来，求取这些点的二阶导数，通过二阶导数的正负性来判断极值的情况。
三、函数的单调性1. 单调性的定义函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
如果函数在某个区间上的导数始终大于零，那么该函数在该区间上是递增的；如果导数始终小于零，函数在该区间上是递减的。
2. 单调性的判断方法为了判断函数的单调性，我们可以先求取函数的导数，并对导数进行分析。
通过导数的正负性可以判断函数在某个区间上是否递增或递减。
如果导数恒大于零，则函数在该区间上递增；如果导数恒小于零，则函数在该区间上递减。
四、综合应用举例下面通过一个例子来综合运用导数与函数的极值与单调性。
例：函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，在[-2, 4]区间上的极值与单调性。
解：首先，求取函数的导数：f'(x) = 3x^2 - 6x - 9然后，令导数等于零，解方程：3x^2 - 6x - 9 = 0化简得：x^2 - 2x - 3 = 0解得：x = -1 或 x = 3接下来，求取导数的二阶导数：f''(x) = 6x - 6将x = -1 和 x = 3代入二阶导数得到：f''(-1) = -12f''(3) = 12根据二阶导数的正负性，当x = -1时，f(x)取得极大值；当x = 3时，f(x)取得极小值。
导数与函数的单调性与极值
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由函数单调性确定参数范围的方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b) 上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单 调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则 f′(x)≤0”来求解．
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变式训练2.已知函数f(x)＝ x3＋mx2－3m2x＋1，m∈R. (1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)若f(x)在区间(－2,3)上是减函数，求m的取值范围．
x2－ln x的单调递减区间为
D．(0，＋∞)
(
) A．(－1,1]
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
解析：
1 (1)函数y＝ 2 x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
1 (x - 1)(x + 1) y′＝x－ x ＝ ，令y′≤0，则可得0＜x≤1. x
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当a≠b时，讨论函数f(x)的单调性．
y
a
b
c o
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d
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e x
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考点 • 大整合
1．明确导数与函数单调性的关系
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都 不恒等于0. f′(x)≥0=>f(x)在(a，b)上为增函数； f′(x)≤0=>f(x)在(a，b)上为减函数．
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2．把握两个概念
(1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值 都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0， 则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数 值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜ 0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
5.2 导数与函数单调性及极值最值
导数的简单应用（讲案）【教学目标】一、利用导数研究函数单调性【知识点】1. 定义： 在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0. '()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数． '()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数．注：(1) '()0f x > (0<)是()f x 在区间(,)a b 内单调递增(减)的充分不必要条件．(2) '()0f x ≥ (0≤)是()f x 在区间(,)a b 内单调递增(减)的必要不充分条件．(3) 由()f x 在区间(,)a b 内单调递增(减)可得'()0f x ≥ (0≤)在该区间内恒成立，而不是'()0f x > (0<)恒成立，“=”不能少，必要时还需对“=”进行检验. （4）若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．【例题讲解】★☆☆例题1. 设()'f x 是函数()f x 的导函数，()'y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C解析：由图可知：当0<x 时，()0'>f x ,函数()f x 单调递增, 当02<<x 时，()0'<f x ，函数()f x 单调递减， 当2>x 时，()0'>f x ,函数()f x 单调递增， 符合以上条件的只有C.★☆☆练习1．如果函数()=y f x 的图像如图，那么导函数()'=y f x 的图像可能是（ ）A B C D答案：A解析：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A.★☆☆练习2．已知()'=y f x 是函数()=y f x 的导数，将()=y f x 和()'=y f x 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）A B C D 答案：D解析：不可能正确的是D因为把上面的作为函数；在最右边单调递增，其导数应为大于0，但是其导函数的值小于0，故不正确; 同样把下面的作为函数，在最右边单调递减，其导数应为小于0，但是其导函数的值大于0，故D 不正确.★☆☆例题2. 定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x y e '=的图象如图所示，则()=y f x 的增区间是（ ）A ．(),1-∞B ．(),2-∞ C. ()0,1 D ．()1,2 答案：B解析：由题意如图()0'>f x 的区间是(),2-∞ 故函数()=y f x 的增区间(),2-∞, 故选B.★☆☆练习1．（2018乌鲁木齐二模）函数()f x 与它的导函数()'f x 的图象如图所示，则函数()()=xf xg x e 的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．(),1-∞，443，⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．40,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,1，()4，+∞ 答案：D解析：综合图象：()0,1∈x 和()4,∈+∞x 时，()()0'-<f x f x ，故()g x 在()0,1，()4+，∞递减 故选D.★☆☆练习2．函数()()22=-x f x x x e 的图像大致是（ ）答案：A解析：函数的定义域为R ，()()22'=-xf x x e令()()20,20'=-=x f x x e ，()220-=xx e ，又结合函数解析式可知函数的图象经过原点，因此满足题意的图象是选项A 的图象. 【题型知识点总结】1. 利用导函数图像研究原函数性质：只要关注导函数的正负和零点即可；同时注意()00f x '=，但0x 两侧()f x ' 正负恒定，则在0x 附近，原函数是单调唯一的. 牢记导函数的正负对应的是原函数的增减.★☆☆例题3. 已知函数()f x xlnx =，则()f x ( )A ．在(0,)+∞上单调递增B ．在(0,)+∞上单调递减C ．在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 答案：D解析：因为函数()f x xlnx =的定义域为(0,)+∞， 所以)(0()1f x lnx x '=+>，★☆☆练习1．若幂函数()f x 的图象过点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()xg x e f x =的单调递减区间为________． 答案：(2,0)-所以()2f x x =，故()2x g x e x =，则()22) 2(2x xxg x e x e x e x x '==++，令()0g x '<，得20x -<<，故函数()g x 的单调递减区间为(2,0)-．★☆☆练习2．(2018·开封调研)已知定义在区间(,)ππ-上的函数()f x xsinx cosx =+，则()f x 的单调递增区间是_______．解析：()f x sinx xcosx sinx xcosx '=+-=. 令))(()(0f x xcosx x ππ'=>∈-，，★☆☆例题4. (2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数1()ln f x x a x x=-+，讨论()f x 的单调性． 答案：略解析：()f x 的定义域为(0,)∞＋，①当2a ≤时，则()0f x '≤， 当且仅当2,1a x ==时，()0f x '=， 所以()f x 在(0,)∞＋上单调递减． ②当2a >时，令()0f x '=，综合①②可知，当2a ≤时，()f x 在(0,)∞＋上单调递减；当2a >时，()f x 在★☆☆练习1．（2018凌源市模拟）已知函数()x f x xe =．讨论函数()()xg x af x e =+的单调性；答案：略 解析：()x x g x axe e =+，()()'1x g x ax a e ∴=++，当0a =时，()'xg x e =，()'0g x >在R 上恒成立，故()g x 单调递增；★☆☆练习2．（2018河南一模）已知：()()()22(1)xf x x e a x a R =-+-∈，讨论函数()f x 的单调区间.答案：略解析：()()()()()12112'=-+-=--x xf x x e a x x a e当0≤a 时，函数在(),1-∞上递增，在()1，+∞上递减综上所述，当0≤a 时，函数在(),1-∞上递增，在()1，+∞上递减★★☆例题5. 已知函数()ln =x p x x ，()()21122=-+q x x a x ．讨论函数()()()=2+⋅f x q x ax p x 的单调性.答案：略()f x 的定义域为()0+，∞，所以函数()f x 在()0+，∞上单调递减；所以函数()f x 在()0+，∞上单调递增；上单调递增.★★☆练习1．已知函数()1ln 1af x x ax x -=-+-()∈a R . 当12≤a 时，讨论()f x 的单调性. 答案：略令()()2+1,0,h x ax x a x =--∈+∞（1）当0a =时，()()1,0,h x x x =-+∈+∞所以当()0,1x ∈时，()0h x ＞，此时()0f x '＜，函数()f x 单调递减 当()1,x ∈+∞时，()h x ＜0，此时()0f x '＞，函数()f x 单调递增 （2）当0a ≠时，由()0f x '=，()0,1x ∈时，()0h x ＞，此时()0f x '＜，函数()f x 单调递减()0,1x ∈时，()0h x ＞，此时()0f x '＜，函数()f x 单调递减 ()1,x ∈+∞时，()h x ＜0，此时()0f x '＞，函数()f x 单调递增 综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞时，函数()f x 单调递增；函数单调递减. 【题型知识点总结】1. 因为导函数不等式解集对应函数的单调区间，故求解单调性的问题实际就转化为了导函数不等式解集的问题；而不等式的解集只要明确了相应式子的单调性、零点和定义域，就可以得到解集，具体操作为 （1）导函数单调唯一：明确增减；求根；确定导函数零点与定义域的关系；画图解不等式（2）导函数单调不唯一：明确增减性；确定根的的个数；讨论两根大小；与定义域比大小；画图解不等式★☆☆例题6. 已知函数()()20,af x x x a R x=+≠∈常数．若函数()f x 在[)2,x ∈+∞上是单调递增的，求a 的取值范围.答案：16a ≤因为3216,x ≥ 故16a ≤.★☆☆练习1．若函数1()sin 2sin 3f x x xa x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是________．★☆☆练习2． 若函数()2=2ln 5+-+f x x x x c 在区间(),1+m m 上为递减函数，则m 的取值范围是________．解析：函数★☆☆例题7. （1）若函数21()ln 2(0)2h x x ax x a =--≠在[1,4]上单调递减，则a 的取值范围为________．(0,)⎫+∞⎪⎭(0,)⎫+∞⎪⎭．（2） (变条件)若本例(1)条件变为“函数()h x 在[1,4]上存在单调递减区间”，则a 的取值范围为________． 答案：()()1,00,-+∞解析：因为()h x 在[1,4]上存在单调递减区间， 所以()0h x '<在[1,4]上有解，所以1a >-，又因为0a ≠， 所以a 的取值范围是()()1,00,-+∞．（3）(变条件)若本例(1)条件变为“函数()h x 在[1,4]上不单调”，则a 的取值范围为________． 解析：因为()h x 在[1,4]上不单调，★☆☆练习1．已知函数23()2ln (0)xf x x x a a=-+>，若函数()f x 在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________． [1,)⎤+∞⎥⎦若函数()f x 在[1,2]上为单调函数，则()h x 在[1,2]上单调递增，★☆☆练习2．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内不是单调函数，则实数m 的取值范围 ．设()2221h x mx x =-+()0f x '∴<恒成立，()f x 在定义域内时是单调函数，故不符合题意()0f x '<，()f x 在定义域内不是单调函数，符合题意【题型知识点总结】解决函数单调性的问题可以转化为导函数不等式的相关问题： 当函数单调性确定时增减时，可以转化为导函数不等式的恒成立；当函数单调时，除了可以转化为0> 或0< 恒成立的问题，还可以转化为定义域内无零点的问题； 当函数不单调时，可以转化为导函数不等式存在有解的问题，或者导函数定义域内存在零点（不包括边界）；具体的步骤为： ①求导；②将原函数单调性问题转化为导函数不等式的恒成立或者存在问题； ③通过求解导函数的最值或者参变分离求最值，解决恒成立.二、利用导数研究函数极值、最值【知识点】 1. 定义：（1）极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()f x 的极大值0()f x =，0x 是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()f x 的极小值0()f x =，0x 是极小值点；（3）判别0()f x 是极大、极小值的方法: 1) 若0x 满足0()0f x '=，且在0x 的两侧()f x 的导数异号，则0x 是()f x 的极值点，0()f x 是极值；2) 如果'()f x 在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是()f x 的极大值点，0()f x 是极大值；3) 如果'()f x 在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是()f x 的极小值点，0()f x 是极小值.注： a)0'()0f x =是0x 为()f x 的极值点的必要不充分条件．例如，3(),'(0)0f x x f ==，但0x =不是极值点．b) 极值点不是点，若函数()f x 在1x 处取得极大值，则1x 为极大值点，极大值为1()f x ；在2x 处取得极小值，则2x 为极小值点，极小值为2()f x ．极大值与极小值之间无确定的大小关系． c) 极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数. 2. 最值的定义: （1）在闭区间[],a b 上连续的函数()f x 在[],a b 上必有最大值与最小值;（2）在开区间(),a b 内连续的函数()f x 不一定有最大值与最小;（3）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的; （4）函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，是()f x 在闭区间[],a b 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件;（5）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个. 注：a) 若函数()f x 在开区间(,)a b 内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．b) 极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．3. 零点的判断方法 （1）首先确定相应函数()f x 定义域：（2）单调函数零点判断：定义域(),a b 上对端点函数值正负进行判断，若()()0f a f b •>，则无零点；若()()0f a f b •<，则必有一个零点.（3）不单调函数定义与端点为0的二次型函数，实际就是零点与0比大小，用韦达定理：若1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，则两根均为正； 若1212000x x x x ∆>⎧⎪+<⎨⎪>⎩，则两根均为负； 若1200x x ∆>⎧⎨<⎩，则两根一正一负（4）不单调函数定义域端点不为零的二次型函数，采用二次零点分布的通法，即讨论开口方向、∆ 、对称轴、定义域端点函数值的正负.【例题讲解】★☆☆例题1. 下列结论中正确的是（ ） A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在0x 附近的左侧()0f x '＞，右侧()0f x '＜，那么()0f x 是极大值C ．如果在0x 附近的左侧()0f x '＞，右侧()0f x '＜，那么()0f x 是极小值D ．如果在0x 附近的左侧()0f x '＜，右侧()0f x '＞，那么()0f x 是极大值 答案：B解析：导数为零的点且左右两边的符号不同才是极值点故A 错如果在0x 附近的左侧()0f x '＞，右侧()0f x '＜，则函数先增后减，则()0f x 是极大值 如果在0x 附近的左侧()0f x '＜，右侧()0f x '＞，则函数先减后增，则()0f x 是极小值★☆☆练习1．若函数()32x f ax bx cx d =+++有极值，则导函数()f x '的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D解析：若函数()32f x ax bx cx d =+++有极值，即()f x 有极值点，则须()f x '有零点，且()f x '在零点左右两侧异号．由图象可知选项D 中，()0f x '=，但当0x x <，0x x >时都有()0f x '>.★☆☆练习2．（2018沈阳一模）设函数()1xf x xe =+，则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点 D. 1x =-为()f x 的极小值点 答案：D解析：由于()1x f x xe =+，可得()()1xf x x e '=+，令()()10xf x x e '=+=可得1x =-，令()()10xf x e π'=+>可得1x >-，即函数在()1,-+∞上是增函数; 令()()10xf x x e '=+<可得1x <-，即函数在(),1-∞-上是减函数;所以1x =-为()f x 的极小值点. ★☆☆例题2. 已知函数()1xaf x x e =-+ (,a R e ∈为自然对数的底数)，求函数()f x 的极值． 答案：略①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为(,)-∞+∞上的增函数，所以函数()f x 无极值． ②当0a >时，令()0f x '=， 得xe a =，即x lna =，当),(x lna -∈∞时，()0f x '<； 当),(x lna ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,)lna -∞上单调递减，在(),lna +∞上单调递增，故函数()f x 在x lna =处取得极小值且极小值为(ln )ln f a a =，无极大值． 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，函数f (x )在x lna =处取得极小值ln a ，无极大值．★☆☆练习1．已知函数()232x 32f a x ax =-+，()33,,g x ax x R =-+∈其中0.a >求函数()f x 在区间()1,1-上的极值. 答案：略解析：()()2236320f x a x ax ax ax '===﹣﹣，列表讨论()()f x f x '与 的变化情况：x ()10﹣， 0()01，()f x ' +0 -+()f x↑极大值↓极小值↑所以当0x =时，()f x 取得极大值()02f =，x ()10﹣, 0 ()01,()f x '+-()f x↑极大值↓所以当0x =时，()f x 取得极大值()02f =，无极小值．【题型知识点总结】求函数()y f x =的极值的方法： 第一步：确定函数定义域 第二步：求导数()f x ' 第三步：求方程()0f x '=的根第四步：检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值★★☆例题3. 设函数2)()1()(f x ln x a x x +-=+，其中a R ∈. 讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由． 答案：略令2()2+1(1,,)g x ax ax a x ∈-=+-∞+．①当0a =时， ()1()0g x f x ='>，，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，无极值点． ②当0a >时，2()()8198a a a a a ∆--=-＝．函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，无极值点．设方程2210ax ax a -+=+的两根为1212,()x x x x <，所以当1)1,(x x -∈时，()0,()0g x f x >'>，函数()f x 单调递增； 当12(,)x x x ∈时，()0,()0g x f x <'<，函数()f x 单调递减； 当2(,+)x x ∈∞时，()0,()0g x f x >'>, 函数()f x 单调递增． 因此函数()f x 有两个极值点．③当0a <时， 0∆>，由0()11g -=>，可得121x x <-＜. 当2)1,(x x -∈时，()0,()0g x f x >'>，函数()f x 单调递增； 当2(,+)x x ∈∞时，()0,()0g x f x <'<，函数()f x 单调递减． 所以函数()f x 有一个极值点．★★☆练习1．已知函数21()ln 2f x ax x x=-+，讨论函数()f x 的极值点的个数. 答案：略(0,1),'()0,(1,),'()0x f x x f x ∈<∈+∞>，所以当1x =，()f x 取极小值，()f x 有一个极小值. （ii ）0a <时，180a ∆=->，令'()0f x =，得11(0,),'()0,(,),'()0x x f x x x f x ∴∈<∈+∞>，()f x ∴在1x x =取极小值，()f x 有一个极小值.()f x 在(0,)+∞是减函数，()f x 无极值点.当12(0,)(,)x x x x ∈∈+∞和时，'()0f x <，当12(,)x x x ∈时，'()0f x >，()f x ∴在1x x =取极小值，在2x x =取极大值，所以()f x 有两个极值点.有两个极值点.★☆☆例题4. (2018·北京高考)设函数2()414[)3(]xf x ax a x a e +++-＝. (1)若曲线()y f x =在点) 1,((1)f 处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．（1）因为2()41+4+[3()]xf x ax a x a e -=+， 所以2[(()2]21)xf x ax a x e '=++-， 所以()(1)1f a e '＝－，由题设知(1)0f '=，即(10)a e -=，解得1a =. 此时(1)30f e =≠. 所以a 的值为1.（2）由（1）得2()2122[()]()1()xxf x ax a x e ax x e '=++-=--，当,()2x ∈+∞时， ()0f x '>， 所以()f x 在2x =处取得极小值．所以()0f x '>. 所以2不是()f x 的极小值点．★☆☆练习1．函数()322f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则点(,)a b 为（ ） A ．()3,3- B ．()4,11- C ．()3,3-或()4,11- D ．不存在答案：B解析：对函数()f x 求导得()232f x x ax b '=--，又1x =时有极值10,∴()21110f a b a =---=，()1320f a b '=--=，解得411a b =-=，或33a b ==-， 验证知，当33a b ==-，时，在1x =无极值.★☆☆练习2. 设∈a R ，若函数ln =+y x a x 在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭有极值点，则a 取值范围为（ ）A ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,⎛⎫-- ⎪⎝⎭e eC ．()1,,e e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,,e e ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭答案：B★☆☆练习3. 已知函数()()ln xe f x a x x x=-- ．若()f x 在()0,1内有极值，试求a 的取值范围.解析：若()f x 在(0,1)内有极值，则()0f x '= 在(0,1)x ∈内有解，当(0,1)x ∈时，()0g x '< 恒成立，()g x 单调递减，又()1g e = ，又当0→x 时，()g x →∞ ，即()g x 在(0,1)上的值域为()e +∞，， 所以当a e > 时，()0f x '= ，设()xH x e ax =﹣ ，则()()01xH x e a x '=∈﹣，，， 所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减， 由()()01010H H e a =>=-<，，所以()00H = ，在(0,1)x ∈，有唯一解0x ，x()00,x0x()01,x()H x+ 0 - () f x ' ﹣ 0 + ()f x↓极小值↑所以当a e > 时，()f x 在(0,1)内有极值且唯一，当≤a e 时，若(0,1)x ∈，则()0f x '≥ 恒成立，()f x 单调递增，不成立，综上，a 的取值范围为()e +∞，. ★☆☆例题5. 已知函数()ln mg x x mx x=-+存在两个极值点12,x x ，求m 的取值范围．令2()h x mx x m =-+，要使()g x 存在两个极值点12,x x ，则方程20mx x m -+=有两个不相等的正数根12,x x .★★☆练习1．（2019⋅ 青岛一模）已知函数2()1,1, 2.718 (2)xa f x x e x a e =-++≤=为自然对数的底数. （1）当0a ≤时，证明：函数()f x 只有一个零点；（2）若函数()f x 存在两个不同的极值点12,x x ，求实数a 的取值范围. 答案：（1）略 （2）(0,1)a ∈解析：（1）由题意：'()1xf x e ax =-+，令()1xg x e ax =-+，'()xg x a e =-，当0,'()0a g x ≤<，所以'()f x 在(,)-∞+∞上单调递减；又因为'(0)=0f ，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， 所以()(0)0f x f ≤=，故函数()f x 只有一个零点. （2）由（1）可知：当0a ≤不合题意，当01a <<时，因为(,ln ),'()0;(ln ,),'()0x a g x x a g x ∈-∞>∈+∞<； 又因为'(0)=0f ，所以'(ln )0f a >；所以11(,),'()0;(,0),'()0;(0,),'()0x x f x x x f x x f x ∈-∞<∈>∈+∞<， 此时，()f x 存在两个极值点1,0x ，符合题意.当1a =时，因为(,0),'()0;(0,),'()0x g x x g x ∈-∞>∈+∞<；所以()(0)0g x g ≤=，即'()0f x ≤，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，无极值点，不符合题意； 综上可得：01a <<. ★☆☆例题6. 已知函数ln ()1xf x x=-. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)设0m >，求函数()f x 在区间[,2]m m 上的最大值． 答案：略由'()00f x x >⎧⎨>⎩，得 0x e <<；由'()0f x x <⎧⎨>⎩得x e >.所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．③当m e ≥时，函数()f x 在区间[,2]m m 上单调递减，★☆☆练习1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数()22f x sinx sin x =+，则()f x 的最小值是________．解析：2()2221(22)2f x cosx cos x cosx cos x '=+=+-2)22121()()(21cos x cosx cosx cosx =+--+=．10cosx +≥，又)()2 221(f x sinx sin x sinx cosx =+=+，★★★练习2. 已知函数2()f x lnx ax bx =++ (其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处取得极值． (1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在(0,]e 上的最大值为1，求a 的值．因为函数2()f x lnx ax bx =++在1x =处取得极值， 所以(1)120f a b '=++=，当x 变化时，'()f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间(0,]e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-.所以最大值可能在11x =或x e =处取得，而 (1)1210()f ln a a =-+<+，得，而 (1)1210()f ln a a =-+<+，矛盾．★★★例题7. (2019·贵阳模拟)已知函数21 ()ln ()2f x x x ax a a R =+-+∈． (1)若函数()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 在1x x =和2x x =处取得极值，且21 x = (e 为自然对数的底数)，求21()()f x f x -的最大值．(1)1'()=f x x又()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴恒有()0f x '≥， 0a ≥恒成立，即函数()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数时，a 的取值范围是(,2]-∞．(2)()f x 在1x x =和2x x =处取得极值，12,x x ∴是方程2+1=0x ax -的两个实根，由根与系数的关系得1212,1x x a x x +==，★★☆练习1. 已知函数2()(0)xax bx cf x a e++=>的导函数'()f x 的两个零点为3-和0. (1)求()f x 的单调区间；(2)若()f x的极小值为3e -，求()f x 在区间[5,)-+∞上的最大值．答案：略令2(())2+g x ax a b x b c =--+-，因为0xe >，所以'()f x 的零点就是2(())2+g x ax a b x b c =--+-的零点，且()f x '与()g x 符号相同．又因为0a >，所以当30x -<<时，()0g x >，即()0f x '>， 当3x <-或0x >时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间是(3,0)-，单调递减区间是(,3),(0,)-∞-+∞．由(1)可知当0x =时()f x 取得极大值(0)=5f ，故()f x 在区间[5,)-+∞上的最大值取(5)f -和(0)f 中的最大者． 所以函数()f x 在区间[5,)-+∞上的最大值是55e .【课后练习】【巩固练习】★☆☆1. 函数()=y f x 的导函数()'=y f x 的图像如图所示，则()=y f x 的图像可能是（ ）答案: D解析：将()'f x 的图像与x 轴的交点处的数记为,,a b c ，则0,0,0<>>a b c 由导函数的图像可知，当<x a 时，()0'<f x ，即函数()f x 为减函数； 当<<a x b 时，()0'>f x ，即函数()f x 为增函数； 当<<b x c 时，()0'<f x ，即函数()f x 为减函数.★☆☆2. 已知函数()y xf x ='的图象如图所示(其中()f x '是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中，()y f x =的图象大致是( )答案：C解析：当01x <<时，()0xf x '<，()0f x ∴'<，故()y f x =在(0,1)上为减函数；当1x >时，()0xf x '>，()0f x ∴'>，故()y f x =在(1,)+∞上为增函数，因此排除A 、B 、D ，故选C.A.O xy yxOB.O xy C.O xy O xy★☆☆3. 设函数()()2ln f x x x ax x R =+-∈.已知函数在定义域内为增函数，求a 的取值范围.解析：函数()2ln =+-f x x x ax ，函数在定义域内为增函数，∴()0'≥f x 在()0+，∞上恒成立，★☆☆4. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，且函数()()1'=-y x f x 的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）A ．1=x 为()f x 的极大值点B ．1=x 为()f x 的极小值点C ．1=-x 为()f x 的极大值点D ．1=-x 为()f x 的极小值点 答案：D解析：根据题意，由函数()()1'=-y x f x 的图象，分析可得：当1<-x 时，()()10'=-<y x f x ,而10->x ，则()0'<f x ，函数()f x 在(),1-∞-上是减函数， 当11-<<x 时, ()()10'=->y x f x ,而()10->x ，则()0'>f x ，函数()f x 在()1,1-上是增函数，当1>x 时()()10'=-<y x f x ,而10-<x ，则()0'>f x ，函数()f x 在()1+，∞上是增函数，则有函数()f x 在(),1-∞-上是减函数，在()1+，-∞上是增函数 则函数()f x 在1=-x 时，取得极小值, 故选D.★★☆5.（2018春上饶期末）已知三次函数()=y f x 的图象如图所示，若()'f x 是函数()f x 的导函数，则关于x 的不等式()()7'>xf x f 的解集为（ ）A ． {}014x x x <<< B. {}7<x x C ．{}14<<x x D. {}401x x x ><<答案：B解析：由图象知，()7=0f ,()()7'∴>xf x f 即为()0'>xf x ,当(),1∈-∞x 时，()f x 单调递减，当()1,4∈x 时，()f x 单调递增，当()4,∈+∞x 时，()f x 单调递减，∴当(),1∈-∞x 时, ()0'<f x , 当()1,4∈x 时，()0'>f x , 当()4,∈+∞x 时，()0'<f x ,()0'∴>xf x 的解集为(,0)(1,4)-∞,综上，故答案选B.★★☆6. 已知函数31()2xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1())20f a f a +-≤，则实数a 的取值范围是________．所以()f x 是R 上的奇函数．所以()f x 在其定义域内单调递增． 因为2(1())20f a f a +-≤，所以222()1)(2()f a f a f a ≤=---，★★☆7. (2019·渭南质检)已知函数()32f x ax bx =+的图象经过点()1,4M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线90x y +=垂直．若函数()f x 在区间[],1m m +上单调递增，则m 的取值范围是________． 答案：][(),30,∞∞－－＋解析：()32f x ax bx =+的图象经过点()1,4M4a b ∴+=，①又()232+f x ax bx ='，则()132=+f a b '.联立①②两式解得1,3a b ==，()()322336+f x x x f x x x ∴='=+，.令()2360f x x x =+'≥，得0x ≥或2x ≤-.∵函数()f x 在区间[],1m m +上单调递增， ∴][[](),1,20,m m +⊆∞∞--＋，∴0m ≥或12m +≤-，即0m ≥或3m ≤-.★☆☆8. 设()21xe f x ax =+，其中a 为正实数；若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.答案：01<≤a解析：()1=f x ()f x 为R 上的单调函数，()0'∴≥f x 或()0'≤f x 在R 上恒成立，又a 为正实数，∴()0'≥f x 在R 上恒成立， 2210∴-+≥ax ax 在R 上恒成立，()244410∴∆=-=-≤a a a a ，解得01≤≤a ，0>a ，01∴<≤a ， ∴a 的取值范围为01<≤a .★☆☆9. 已知函数()()()2ln 10=+->f x a x x a ，求()f x 的单调区间和极值. 答案：略令()0121'>⇒-<<-f x x a ，令()021'<⇒>-f x x a ，故()f x 的单调递增区间为()1,21--a ，()f x 的单调递减区间为()21,-+∞a , ()f x 的极大值为2ln 221-+a a a .★☆☆10.（2018东莞市模拟）若1x =是函数()ln f x ax x =+的极值点，则（ ） A ．()f x 有极大值1-B ．()f x 有极小值1-C ．()f x 有极大值0D ．()f x 有极小值0 答案：A解析：因为()ln f x ax x =+，0x >，1x =是函数()ln f x ax x =+的极值点，∴()110f a '=+=，解得1a =-， ∴()111x f x x x-'=-+=， ∴()f x 在(),1-∞递增，在()1,+∞递减， ∴()()11f x f ==-极大值，无极小值.★★☆11.（2018海淀区二模）如图，已知直线()=f x kx 与曲线()=y f x 相切于两点，函数()=+g x kx m ，则函数()()()=-F x g x f x （ ） A ．有极小值，没有极大值 B ．有极大值，没有极小值C ．至少有两个极小值和一个极大值D ．至少有一个极小值和两个极大值 答案：C解析：设=y kx 与()f x 的切点横坐标分别为()1212,<x x x x ，设()f x 的另一条斜率为k 的切线与()f x 图象的切点横坐标为3x ，如图所示而()()=+-F x kx m f x 表示直线()g x 的点()(),x g x 与()f x 上的点的()(),x f x 的纵坐标的差，显然，()F x 在()10,x 上单调递减，在()13,x x 上单调递增，在()32,x x 上单调递减，在()2,+∞x 上单调递增，12,x x ∴ 为()F x 的极小值点，3x 为()F x 的极大值点．()()12,∴F x F x 为()F x 的极小值，()3F x 为()F x 的极大值.★☆☆12. (2019·合肥模拟)已知函数()32f x x bx cx =++的大致图象如图所示，则2212x x +=( )A.23 B. 43 C. 83 D. 163答案：C解析：由图象可知()f x 的图象过点(1,0),(2,0)，12,x x 是函数()f x 的极值点，因此10,8420b c b c ++=++=，解得3,2b c =-=，所以()3232f x x x x =-+，所以()2362f x x x =-'+，则12,x x 是方程()23620f x x x ='+=-的两个不同的实数根，因此12122+=2,3x x x x =，所以22212121248+()2433x x x x x x =+-=-=. ★★★13. （2018泸州模拟）设()cos xf x ae x =-，其中a R ∈. （1）求证：曲线′在点()()0,0f 处的切线过定点； （2）若函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围答案：（1）切线恒过()1,1--点；（2）所以实数a 的取值范围：42,02e π⎡⎫⎪⎢-⎪⎢⎣⎭.解析：（1）设()cos xf x ae x =-,其中a R ∈．可得()sin xae f x x '=+，()0f a '=，()01f a =-，曲线′在点()()0,0f 处的切线方程为：()1y a ax --=，即()()110a x y ++=-， 切线恒过()1,1--点． （2）由（1）可知：()sin 0x ae f x x '=+=，函数()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，说明方程有解，可得sin xxa e -=， 令()sin xxh x e -=，()sin cos x x x h x e -='，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，★★★14. 已知函数()()()()3212,f x x a x a a x b a b R =+++++∈，．（1）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （2）若函数()f x 在区间()1,1-上不单调，求a 的取值范围．解析：（1）由题意得()()23212f x x a x a a '=+-+（）﹣ 又()()()00023f b f a a ⎧==⎪⎨'=-+=-⎪⎩解得03b a ==，﹣或1a =；（2）函数()f x 在区间()1,1-不单调，等价于导函数()f x '[是二次函数]，在()1,1-有实数根但无重根．()()()()()2321232f x x a x a x x a x a '=+--+=-⎡++⎤⎣⎦，112⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎭⎝⎭，. ★★★15. 已知函数()()2+10f x ax a =>,()3g x x bx =+，当24a b =时,求函数()()f x g x +在区间(],1-∞上的最大值.解析：24a b =，2，20a >，2a∴-<-【拔高练习】★★☆1.（2018江西二模）若函数()()()2121x xf x a e e a x =+-+-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⋃⎪⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭答案：B解析：因为函数()()()2121x xf x a e e a x =+-+-，所以()()22121x xf x a e e a '=+-+-，令x e t =，0t >，所以()()22121f t a t t a '=+-+-，因为函数()()()2121x xf x a e e a x =+-+-有两个极值点，所以()0f x '=有两个不同的实数根， 所以()0f t '=有两个不同的正根，★★☆2. 函数()31f x ax x =++有极值的一个充分而不必要条件是（ ） A ．0a < B ．0a > C ．1a <- D ．1a <答案：C解析：函数()31f x ax x =++的导数为()231f x ax '=+，若函数()31f x ax x =++有极值，则()0f x '=有解，即231=0ax +有解． 所以0a ＜而当0a ＜时，()0f x =’有解，函数()31f x ax x =++有极值，所以0a ＜是函数()31f x ax x =++有极值的充要条件，函数()31f x ax x =++有极值的充分不必要条件应该是()0+∞，的一个子集，从选项判断，C 选项符合条件. ★★★3. 设()2ln q f x px x x =--，且 ()()2pf e qe e e=--为自然对数的底数 （1）求p 与q 的关系；（2）若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围.答案：（1）p q =；（2）1p ≥或 0p ≤令 ()22h x px x p =-+，要使 ()f x 在其定义域 ()0,+∞内为单调函数，只需()h x 在 ()0+∞，内满足：()0h x ≥ 或 ()0h x ≤恒成立.，0x >，∴()f x ∴在 ()0+∞，内为单调递减，故0p =适合题意. 22x p -+，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为()f x ∴在 ()0,+∞ 内为单调递增，故1p ≥适合题意.只需 ()00h ≤，即0p ≤时 ()0h x ≤在()0+∞，恒成立.故0p <适合题意. 综上可得，1p ≥或 0p ≤.要使 ()f x 在其定义域()0+∞，内为单调函数，只需 ()f x 在 ()0+∞，内满足：()0f x '≥或 ()0f x '≤恒成立.(2/1/x +综上可得，1p ≥或 0p ≤.★★★4.（2018江苏模拟）已知()()()=220'+xf x x f e ，()()()2112=+-g x f x a x ．求()g x 单调区间.答案：略 解析：()()()=2202''++x f x x f e ，()()0202''∴=+f f ，得()02f '=-,()()24=-x f x x e()()()()()22112'∴=-+-=-+x x g x x e a x x e a ， 当0≥a 时，令()0'>g x ，得1>x 令()0'<g x ，得1<x()'∴g x 在()1+，∞上单调递增，在(),1-∞上单调递减当2=-a e 时，()0'>g x 在R 上恒成立。
利用导数求解函数的单调性与最值问题
利用导数求解函数的单调性与最值问题在微积分学中，导数是一个重要的概念，它被应用于许多实际问题的解决中。
本文将重点讨论如何利用导数来求解函数的单调性及最值问题。
1. 导数的定义导数描述了函数f(x)在某一点x处的变化率。
它的定义为：f'(x) = lim Δx→0 [f(x+Δx) - f(x)]/Δx其中Δx表示x的增量，f(x+Δx)-f(x)表示y的增量，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 求解单调性问题当函数f(x)单调递增时，其导数f'(x)>0；当函数f(x)单调递减时，其导数f'(x)<0。
因此，我们可以利用导数的正负性来判断函数的单调性。
例如，对于函数f(x)=x^2，在x>0时它单调递增，而在x<0时它单调递减。
我们可以通过求导得到它的导数：f'(x) = 2x当x>0时，f'(x)>0；当x<0时，f'(x)<0。
因此，函数f(x)=x^2在x>0时单调递增，在x<0时单调递减。
3. 求解最值问题函数f(x)在x处取得最大值或最小值，等价于在点x处的导数为0，或者在点x处的导数不存在。
因此，求解函数f(x)的最值问题，我们需要先求出它的导数f'(x)，然后令f'(x)=0求出x的值，即可得到函数f(x)的极值点。
最后，再对这些极值点进行比较，就可以确定函数f(x)的最大值和最小值。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x+5，我们可以先求出它的导数：f'(x) = 3x^2-3令f'(x)=0，解得x=±1。
这两个点即为函数f(x)的极值点。
我们还需要判断它们是否是函数的最值点。
当x=1时，f''(x)=6>0，说明f(x)在x=1处取得极小值；当x=-1时，f''(x)=-6<0，说明f(x)在x=-1处取得极大值。
《导数与函数的极值、最值》 知识清单
《导数与函数的极值、最值》知识清单一、导数的概念导数是函数的变化率，它反映了函数在某一点处的瞬时变化速度。
对于函数 y ＝ f(x)，其在 x ＝ x₀处的导数定义为：f'（x₀) ＝ lim₍Δx→0₎ f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率。
二、函数的极值1、极值的定义若函数 f(x) 在点 x₀附近有定义，且在 x₀处的函数值 f(x₀) 比它在x₀附近其他点的函数值都大（或都小），则称 f(x₀) 是函数 f(x) 的一个极大值（或极小值）。
极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。
2、极值的判定设函数 f(x) 在 x₀处可导，且 x₀为极值点，则 f'（x₀) ＝ 0。
但需注意，f'（x₀) ＝ 0 时，x₀不一定是极值点。
例如，函数 f(x) ＝ x³，在 x ＝ 0 处导数为 0，但 x ＝ 0 不是极值点。
判断一个点是否为极值点，还需要考虑该点两侧导数的符号。
若在 x₀的左侧 f'（x) ＞ 0 ，右侧 f'（x) ＜ 0 ，则 x₀为极大值点；若在 x₀的左侧 f'（x) ＜ 0 ，右侧 f'（x) ＞ 0 ，则 x₀为极小值点。
三、函数的最值1、最值的定义函数的最大值是指函数在定义域内取得的最大函数值；最小值是指函数在定义域内取得的最小函数值。
2、求最值的方法（1）若函数在闭区间 a, b 上连续，则函数在 a, b 上一定有最大值和最小值。
（2）求函数在闭区间 a, b 上的最值，需要先求出函数在（a, b) 内的极值，再将极值与端点处的函数值 f(a) 、 f(b) 进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值。
四、利用导数求函数极值与最值的步骤1、求函数的定义域。
2、求导数 f'（x) 。
3、令 f'（x) ＝ 0 ，求出函数的驻点（导数为 0 的点）和不可导点。
用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤
用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤导数是微积分中非常重要的概念，它可以通过求取函数的斜率来提供关于函数的很多信息。
通过导数，我们能够判断函数的单调性、极值和最值。
下面，我将详细介绍使用导数进行函数分析的方法步骤。
一、函数的单调性分析：函数的单调性指的是函数在定义域上的递增或递减特性。
使用导数可以判断函数在不同区间上的单调性。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
若函数在其中一点存在导数，则说明函数在该点是可导的。
2.导数的符号变化：对求得的导数进行符号变化的分析，即导数求值时，符号的正负变化。
假设导数的结果是f’(x)。
通过求解f’(x)=0的解集，得到导数的零点集合。
3.导数零点的意义：对于导数零点集合中的每一个点进行分析。
如果导数在其中一点处的零点是一个正的极值点，则说明函数在该点是递增的；如果导数在其中一点处的零点是一个负的极值点，则说明函数在该点是递减的。
4.极值点的判定：在求得导数零点的基础上，通过导数的符号变化来判定函数在区间上的单调性。
当导数从正数变为负数时，说明函数在该区间上是递减的；当导数从负数变为正数时，说明函数在该区间上是递增的。
二、函数的极值分析：函数的极值是指函数在其中一点处取得的最大值或最小值。
通过导数可以判断函数的极值点。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
2.导数零点的极值分析：计算导数的零点，并求出零点对应的函数值，在零点处求得导数的值，在零点前后进行符号判定。
3.极值点的判定：若导数从负数增加到正数，则说明函数在该点处取得极小值；若导数从正数减小到负数，则说明函数在该点处取得极大值。
三、函数的最值分析：函数的最值是函数在定义域上取得的最大值或最小值。
通过导数可以判断函数的最值点。
1.求出函数的导数：根据函数的定义，求出函数的导数。
2.导数的变化性：通过计算导数的值和导数的符号变化来判断函数的最值。
3.导数的非零点分析：计算函数的定义域上的导数，找出导数等于零的点的集合。
新高考方案二轮-数学(新高考版)大题专攻(一) 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
而 f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)＜0，所以 f(e)＝ln e＋ae2－(2a＋1)e＝1， 解得 a＝e－1 2，与 1＜21a＜e 矛盾． ④当21a≥e 时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以最大值 1 在 x＝1 处取得， 而 f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)＜0，不符合题意． 综上所述，a＝e－1 2或 a＝－2.
所以 f(x)的单调递增区间为0，12，(1，＋∞)，单调递减区间为12，1. (2)f′(x)＝2ax2－2ax＋1x＋1＝2ax－1xx－1， 令 f′(x)＝0，得 x′1＝1，x′2＝21a， 因为 f(x)在 x＝1 处取得极值，所以 x′2＝21a≠x′1＝1， ①当21a＜0 时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以 f(x)在(0，e]上的最大值为 f(1)，令 f(1)＝1，解得 a＝－2.
①当 a≤0 时，g′(x)＝ex－a>0 在 R 上恒成立，
∴g(x)＝f′(x)在(－∞，＋∞)上递增； ②当 a>0 时，令 g′(x)>0 得 x>ln a，令 g′(x)<0 得 x<ln a， ∴g(x)＝f′(x)在(－∞，ln a)上递减，在(ln a，＋∞)上递增．
综上所述：当 a≤0 时，y＝f′(x)是(－∞，＋∞)上的增函数； 当 a>0 时，y＝f′(x)在(－∞，ln a)上是减函数，在(ln a，＋∞)上是增函数． (2)由(1)知，①当 a≤0 时，f′(x)＝ex－ax－1 在(－1，＋∞)上递增，又 f′(0) ＝0，∴－1<x<0 时，f′(x)<0；x>0 时，f′(x)>0， 则 f(x)在(－1,0)上递减，在(0，＋∞)上递增，∴f(x)min＝f(0)＝1； ②当 0<a≤1e时，ln a≤－1，由(1)知 f′(x)在(－1，＋∞)上递增，又 f′(0)＝0， 则 f(x)在(－1,0)上递减，在(0，＋∞)上递增，∴f(x)min＝f(0)＝1；