(完整版)格点与割补

学科：奥数

教学内容：格点与面积

生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。先来介绍什么是“格点”。见下图：

这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。图中带阴影的小方格就是一个面积单位。

借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。

例1 计算下图中各图形的面积：

分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。

解答：

（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。

（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。

（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。

（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。

（5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠

倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。长方形的面积为（2＋4）×3=18，而梯形的面积为长方形的面积的一半。所以梯形的面积为：（2＋4）×3÷2=9。

（6）将图中梯形用虚线分成3块，它包含有5个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有6个面积单位，所以它的面积为6。

例2 计算下面这个格点多边形的面积。

分析：这是一个不规则的多边形，不能直接求出它的面积。可用长方形的面积减去4个直角三角形的面积，如图1所示；另外还可将该四边形分割成几块，如图2。

解答：

方法一：

3×4－（2×1÷2＋2×1÷2＋2×2÷2＋3×1÷2）=6.5（面积单位）

方法二：

1×2÷2＋1×3÷2＋1×1÷2＋3×1÷2＋1×2=6.5（面积单位）

例3 相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。

分别连接各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列的规律？

算出各图形的面积。找出图形外面一周的点子数、中间的点子数与面积三者之间的关系。

分析：仔细观察图形：

横看，从左往右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数不变；

竖看，从上往下图形一周的格点数不变，中间的格点数逐渐增多。

图形一周的格点数、中间的格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没有个点、中间有一个格点和中间有两个格点进行分组列表分析。

图形编号①②③④

一周格点数 4 6 8 1

4 中间格点数0 0 0 0 面积（平方厘

米）

1 2 3 6

图形编号⑤⑥⑦⑧

一周格点数 4 6 8 1

4

中间格点数 1 1 1 1

面积（平方厘

米）

2 3 4 7

1－1）图形编号⑨⑩

一周格点数 4 6 8 1

4

中间格点数 2 2 2 2

面积（平方厘

米）

3 4 5 8

2－1）

11 12

解答：（1）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加；当一周的格点数相同时，图形的面积同样随着中间的格点数增加而增加。

（2）各图形的面积见表格。

各图形面积的大小与一周的格点数、中间的格点数都有关系，格点图形的面积计算公式是：

图形面积=图形一周的格点数÷2＋（中间格点数－1）

说明：格点图形的面积求法很灵活，不要死记公式，要具体题目具体研究。

例4 下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积：

分析：这是一个组合图形，面积可分成几个部分来求。本图可分为两个三角形和一个长方形三部分。每一部分面积的求法，因图而异。如两个三角形需要扩展成长方形再求面积，而长方形只要直接数单位面积即可。

解答：左边三角形面积=4×4－1×2÷2－4×3÷2－4×2÷2=5；

右边三角形面积=4×4－1×3÷2×2－4×4÷2－1×1=4；

长方形的面积为6×2=12；

所以礼盒面积为：5＋4＋12=21

说明：此题还可以直接用公式，请你自己试一试。

例5 在下图中有21个点，每相邻三点构成一个单位面积的等边三角形，计算三角形ABC的面积。

分析：此题是一个三角形格点图。每三个相邻的格点构成一个正三角形，为一个面积单位。三角形格点图形面积的计算类似于正方形格点图形面积的计算，可以直接数图形所包含的面积单位，也可将之转化为几个易求的三角形，在通过加减运算得到。此题中三角形ABC的面积不能通过直接数格点面积来求，可以把它扩展成三一个大三角形，再减；也可以把它分成几个小的三角形，然后再加。

解答：

方法一：给三角形ABC添加Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ部分小的三角形，则得到由25个单位三角形构成的大三角形，现在只要分别求出Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ三个小三角形的面积即可。

三角形Ⅰ是一个平行四边形的面积的一半，如图4中的虚线平行四边形。这个平行四边形包含6个面积单位，所以他的面积为6，三角形Ⅰ的面积为：6÷2=3

同理，三角形Ⅱ及Ⅲ的面积分别为4和8，所以三角形ABC的面积为：

25－3－4－8=10（面积单位）

方法二：将三角形分成几个易求面积的三角形（如图3）。Ⅰ的面积为1×3=3，Ⅱ的面积可直接数为1，Ⅲ的面积为1×2=2，Ⅳ的面积为2×2=4，于是三角形ABC的面积为：3＋1＋2＋4=10。

想一想：以三角形Ⅰ为例，为什么这里三角形的面积可以用1×3计算？可联系方法一中三角形Ⅰ面积的求法。

说明：关于三角形格点多边形的面积也有类似于正方形格点多边形的面积计算公式。可以按照例3的方法归纳总结，就可以得到三角形格点多边形面积的计算公式：

三角形格点多边形的面积=多边形内包含的格点数×2＋多边形周界上的格点数－2。

例6 在下图中有45个正方形格点，过图中三点连一个三角形，并且至少有一条边水平或垂直。问共有多少个这样的格点三角形？

分析：如果要在图中找一个面积为8的格点三角形很容易，但是要求出有多少个这样的格点三角形就有些困难，不过功夫不负有心人，一定能找到方法。注意到待计数的格点三角形的底与高的乘积为16，所以可以分类计数。

解答：因为16=4×4=2×8=8×2，所以可以分为以下几类来计数：

（1）每个4×4的正方形中有4个直角三角形符合要求，总数为4×5=20（个）；

（2）每个2×8的长方形中也有4个直角三角形符合要求，总数为4×3=12（个）；

（3）符合要求的不是直角三角形的三角形有：

4×4，状的有：5×7=35（个）；

状的有：35个；

状的有：5×3=15（个）；

状的有：15个；

8×2，状的有：3×7=21（个）；

状的有：21个；

2×8，状的有：3×3=9（个）；

状的有：9个；

共有：（35＋15＋21＋9）×2=160（个）

所以符合要求的三角形一共有：20＋12＋160=192（个）

阅读材料

有形状的数

最早把自然数和几何图形联系在一起的是古希腊数学家毕达哥拉斯。毕达哥拉斯把数描绘成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的形状，寻找自然数与正三角形、正方形、正五边形……之间的关系。

毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做三角形数；当小石子的数目是1、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫做正方形数；当小石子的数目是1、5、12、22等数时，小石子都能摆成正五边形，他把这些数叫做

正五边形数……

毕达哥拉斯还摆出了其它多边形数。有趣的事，他还进一步发现了各种“形数之间的内在联系”。比如，每个大于1的正方形数都可以表示成两个相邻三角形数的和。

4=1+3，9=3+6，16=6+10，……

反过来，任意两个相邻的三角形数相加，必然是一个正方形数，也就是平方数。

这从下面的图形中可以得到证实。

毕达哥拉斯借助生动的几何直观发现，第n个三角形数等于1+2+3+…+n，第n个正方形数等于2n，……根据这些规律，人们就可以写出很多很多的形数了。

练习题

1．计算下图中各多边形的面积（点与点之间的距离都是1厘米）

分析与解答：

（1）直接计数，图1中包含5个面积单位，所以它的面积为5；

（2）直接计数，图2中包含6个面积单位，所以它的面积为6；

（3）将图3分为上下两部分，上面的长方形包含有6个面积单位，下面的平行四边形可以转化为一个1×2的长方形，所以面积为2。图3的面积为6＋2=8（面积单位）；

（4）图中包含2个面积单位和4个单位面积的一半，所以图4的面积为4；

（5）将图5按下图分割为上下两部分，上面的包含3.5个面积单位，下面的面积为3×1÷2=1.5（面积单位），所以图5的面积为5；

（6）直接计数，图6中包含7个面积单位，所以它的面积为7。

2．下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？

分析与解答：

（1）喇叭图中包含2个面积单位和2个面积单位的一半，所以它的面积为3；

（2）将小猫图分为左右两部分，头与身子部分的面积为（可直接计数）10，尾巴部分是一个平行四边形，它的面积与一个单位面积相同，所以小猫图的面积为11。

（3）小狗图面积的求法与小猫图形面积的求法相同，它的面积为6。

说明：此题还有其他的分割方法，请你自己想一想。

想一想：请你用格点图形面积的计算公式试求每一个图形的面积，你发现了什么？是不是每个图都可以用公式计算，哪个可以，哪个不可以，为什么？

3．求下图中梯形的面积。

分析与解答：这个梯形图的一周共有6个格点，中间共有16个格点，运用正方形格点图形的面积公式的：6÷2＋16－1=18（面积单位）

想一想：还有其他方法吗？请你试做。

4．下图中三角形的面积

分析与解答：

方法一：这个三角形图的一周共有6个格点，中间共有13个格点，运用正方形格点图形的面积公式的：6÷2＋13－1=15（面积单位）。

方法二：将三角形扩展成一个6×6的正方形时，增加了三个直角三角形，因为直角三角形的面积简单易求，所以我们将求三角形ABC的面积转化为求正方形的面积和直角三角形的面积，然后求差即可。

正方形的面积为36，左上角的直角三角形的面积为2×6÷2=6（面积单位），右下角的直角三角形的面积为3×6÷2=9（面积单位），右上角的直角三角形的面积为4×3÷2=6（面积单位），由此可得三角形ABC的面积：

36－6－9－6=15（面积单位）

5．下面图中有21个点，其中相邻的三点所形成的等边三角形的面积为1，试计算四边形的面积。

分析与解答：

方法一：这个四边形图的一周共有4个格点，中间共有5个格点，运用三角形格点图形的面积公式的：5×2＋4－2=12（面积单位）。

方法二：加一条辅助线，将四边形分成下图中的2个三角形，左上的三角形面积为4×1=4，右下的三角形面积为4×2=8，所以四边形的面积为4＋8=12。

6．计算下面三角形格点多边形的面积

分析与解答：

这个六边形图的一周共有7个格点，中间共有8个格点，运用三角形格点图形的面积公式：8×2＋7－2=21（面积单位）。

7．计算下面三角形格点中多边形的面积。

分析与解答：

方法一：这个多边形图的一周共有10个格点，中间共有9个格点，运用三角形格点图形的面积公式的：9×2＋10－2=26（面积单位）。

方法二：加辅助线将这个多边形分成如下图所示的三个三角形和一个平行四边形。左下角的三角形为一个面积为10的平行四边形面积的一半是5，右上角的三角形的面积为3（请你自己找出它所在的平行四边形），中间的等边三角形的面积为4×4=16，小平行四边形的面积为2，因此多边形的面积为：5＋3＋16＋2=26（面积单位）

8．下图中有16个格点，以图中三点为顶点连一个三角形，并且至少有一条边水平或垂直。问共有多少个这样的格点三角形，面积分别是多少？

分析与解答：以这16个格点中任意三点为顶点连成的三角形面积最多为整个图形面积的一半，即任一三角形的面积至多为3×3÷2=4.5（面积单位）。

面积为4.5的直角三角形有4个；

面积为4.5的非直角三角形有2×4=8（个）；

面积为3×2÷2=3的直角三角形有4×4=16（个）；

面积为3×2÷2=3的非直角三角形有6×4=24（个）；

面积为2×2÷2=2的直角三角形有4×4=16（个）；

面积为2×2÷2=2的非直角三角形有8×4=32（个）；

面积为3×1÷2=1。5的直角三角形有4×6=24（个）；

面积为3×1÷2=1。5的非直角三角形有4×6=24（个）；

面积为2×1÷2=1的直角三角形有4×12=48（个）；

面积为2×1÷2=1的非直角三角形有（4＋8＋8＋4）×2=48（个）；

面积为1×1÷2=0。5的直角三角形有4×9=36（个）；

面积为1×1÷2=0。5的非直角三角形有（6＋12＋12＋6）×2=72（个）；

所以图中共有

4＋8＋16＋24＋16＋32＋24＋24＋48＋48＋36＋72=352（个）格点三角形。

9．在下图中含有多少个格点正方形？

分析与解答：这个问题可分类讨论：

面积为1个单位面积的格点正方形共有3×3=9个；

面积为2个单位面积的格点正方形共有2×2=4个；

面积为4个单位面积的格点正方形共有2×2=4个；

面积为5个单位面积的格点正方形共有2个；

面积为9个单位面积的格点正方形只有1个。

所以图中共有格点正方形9＋4＋4＋2＋1=20（个）。

10．你知道下图中共有多少个三角形吗？每个三角形的面积各是多少？

分析与解答：图中共有8个三角形，每个三角形的面积分别为：三角形ADE、BED的面积为4×3÷2=6；

三角形ADC、BCD的面积为4×4÷2=8；

三角形ACE、BCE的面积为6＋8=14；

三角形ADB的面积为6×2=12；

三角形ABC的面积为14×2=28。