专题五平面向量-5.1平面向量的概念及线性运算-高三数学一轮复习讲义
1 专题5-1平面向量基本概念及线性运算
平面向量基本概念概念
内容
背景、概念、向量相等、几何表示
知识点
向量 有大小、有方向的量
表示方法 有向线段a
两点(向量起止点)表示AB
模 向量的大小或长度
AB或a
零向量
AB = a = 0，方向任意
单位向量 AB = a = 1
平行向量 方向相同或相反、非零向量，共线向量，0与任何向量都共线
相等向量 长度相同，方向相同
相反向量 长度相同，方向相反(0的相反向量为0)
例1 对任意向量a、b，下列关系式中不恒成立的有( )
Aab≤ab Bab≤ab C2()ab=2ab D()()abab=22ab
【答案】B
【分析】结合几何图形判断
2 【详解】
A：-正确- cosababab
B：-错误- △ACB中，abab
C：-正确- 向量的平方等于向量模的平方
D：-正确- 平方差公式及向量的平方等于向量模的平方
故选：B
例2
已知a为单位向量，下列说法正确的是( )
A
a的长度为一个单位 B a与0不平行
C a的方向为x轴正方向 D a的方向为y轴正方向
【答案】A
【分析】单位向量是指模为1的向量
【详解】
由单位向量定义，a长度为1，方向可以为x轴正方向，也可以是y轴正方向，0与任意向量平行，故选：A
3
例3 下列命题正确的是( )
Aa=b⇔ab Ba>b⇔ab Ca= 0 ⇔a=0 Dab⇔//ab
【答案】C
【分析】零向量的定义：模长为0，方向任意
【详解】
A：-错误- 非零向量相等：模长相等且方向相同
B：-错误- 非零向量除了相等的情况，没有大小之分
C：-正确- 模长为0的向量是0，反之也成立
D：-错误- 相等的向量一定平行，但平行向量不一定相等
故选：C
例4 下列命题
(1) ab的充要条件是a=b且//ab
(2) 若向量a与b同向，且a>b，则ab
(3) 由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行
(4) 若向量a与b平行，则向量a与b的方向相同或相反
(5) 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量
(6) 任一向量与它的相反向量不相等
其中真命题的序号是_______
【答案】(4)、(5)
【分析】考查向量基本概念及性质
【详解】
4 (1) -错误- 向量相等的充要条件为模长相等且方向相同
(2) -错误- 非零向量只有相等的情况
(3) -错误- 零向量方向不定，即可与任何向量平行
(4) -正确- 方向相同或相反的向量平行
(5) -正确- 方向相同且模相等，向量相等
(6) -错误- 零向量与它的相反向量零向量相等
例5 对于非零向量a、b，“2a+ 3b=0”是“//ab”成立的( )
A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】非零向量平行的定义：向量同向或反向，充分、必要条件
【详解】
230ab⇒ab，即a、b共线或者说平行
//ab⇒a、b同向或反向
例6 设1e、2e是两个不共线的向量，AB= 31e+22e，CB= k1e+2e，CD= 31e- 2k2e。若A、B、D三点共线，则k的值为( )
A - 94 B - 49 C - 38 D - 83
【答案】A
【分析】非零向量向量共线的条件求值
【详解】
∵ 12(3)(21)BDCDCBkeke，而1232ABee
5 又A、B、D共线，即21233kk
∴ 94k
故选：A
例7 已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB=λPA+PB，其中λ⇔R，则点P一定在( )
A.△ABC的内部 B.AC边所在直线上 C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上
【答案】B
【分析】CBPAPB即PACBPB有PACP，而//PACP，//PAPA
【详解】
∵ CBPAPB，即PACBPB有//PAPA
而在平行四边形中：//PACP
∴ C、P、A共线
例8 有下列四个命题：⇔若a=0，则a=0；⇔a=b，则a=b或a=-b；⇔若//ab，则a与
6 b同向或反向；⇔若a=0，则 -a=0。其中真命题的序号为______
【答案】④
【分析】
【详解】
⇔若a=0，则a=0；故错误
⇔两向量模相等没有向量共线的结论
⇔需要强调非零向量
例9 若//mn，//nk，则向量m与k( )
A 共线 B 不共线 C 共线且同向 D 不一定共线
【答案】D
【分析】注意特殊向量：零向量
【详解】
任何非零向量都与零向量平行，故不一定共线
总结
1、向量共线问题
(1) 判断向量共线：对于向量a、b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线
(2) 证明三点共线：若存在实数λ，使AB=λAC，则A、B、C三点共线
(3) 已知OA=λOB+μOC(λ，μ为实数)，若A、B、C三点共线，则λ+μ=1
(4) 利用向量共线求参数值：共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数值
7
平面向量的线性运算
内容
1、加法、减法的运算，理解几何意义
2、向量数乘的运算及几何意义，两向量共线的含义
3、向量线性运算的性质及几何意义
知识点
1．向量的加法、减法运算及几何意义
运算
定义 几何意义 运算律
加法 两向量和
abba
()()abcabc
8 减法 两向量差 ()abab
(1) a+0=a，a-0=a
(2) 若a、b共线，作图时画在同一直线上
(3) ababab
(4) 22222()ababab
2．数乘及几何意义
定义 实数λ与向量a的积是一个向量，记λa
长度(模) aa
方向 λ>0，λa与a方向相同
λ<0，λa与a方向相反
λ=0，λa=0
运算律(λ，μ为实数) aa
9 aaa
abab
3．共线定理
a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa
易错点
向量共线 ⇔ a≠0，否则λ不存在或有无穷个
例7 设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“mn< 0”的 ( )
A 充分不必要 B 必要而不充分 C 充分必要 D 既不充分也不必要
【答案】A
【分析】内积的正负与共线向量的关系
【详解】
内积小于0，说明两向量夹角是钝角，向量不一定共线；但mn，当0必有0mn
例8 设D、E、F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EBFC= ( )
A AD B 12AD C 12BC D BC
【答案】A
【分析】平行四边形法则
【详解】
10
方法一：将FC起点平移至B点，则EBFCdAD
方法二：
EBABAEFCACAF，()EBFCABACAEAFAD
故选：A
例9 设向量a、b不平行，向量 λa+b与a+ 2b平行，则实数 λ= _____
【答案】12
【分析】(2)abmab
【详解】
12mm得：12
11 例10 如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则AD+1()2BCBD等于 _____
A
AD B
FA C
AF D
EF
【答案】C
【分析】应用向量线性运算与三角形或平行四边形的关系，结合几何图形进行向量运算
【详解】
(1) BCBDDC
(2) 11()22ADBCBDADDCADDFAF
故选：C
例11 在△ABC中，CM=2MB，0ANCN，则( )
A 2136MNABAC B 2736MNABAC
C 1263MNACAB D 7263MNACAB
12 【答案】C
【分析】关键将向量MN用向量AB、AC表示
【详解】由2CMMB，0ANCN有：N为中点，M为C→B方向上2:1分点
过N作ND平行AB，且ND = 12 AB；MD = CM - DM = 16 BC
∴ 11116262MNMDDNBCBABCAB，BCACAB
有1263MNACAB
故选：C
例12 如图，在直角梯形ABCD中，AB = 2AD = 2DC，E为BC边上一点，3BCEC，F为AE的中点，则BF= ( )
A 1233ABAD B 2133ABAD
2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题5-1 平面向量的概念及其线性运算
专题5.1 平面向量的概念及其线性运算
【考情分析】
1.了解向量的实际背景；
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；
3.理解向量的几何表示；
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
【重点知识梳理】
知识点一 向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
知识点二 向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则 (1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
知识点三 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.,向量概念的4点注意
(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．
(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题5.1 平面向量的概念及线性运算(解析版)
5.1 平面向量的概念及线性运算
一．向量的有关概念
名称 定义 表示方法 注意事项
向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量AB或a；
模||AB或||a 平面向量是自由向量
零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作0 零向量方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 常用e表示 非零向量a的单位向量是||aa
平行向量 方向相同或相反的非零向量 a与b共线可记为ab 0与任一向量平行或共线
共线向量 平行向量又叫共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 ab 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 ab 0的相反向量为0
二．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【套路秘籍】---千里之行始于足下
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；
(加法平行四边形)起点相同连对角；
(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．
三．向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
四．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
考向一 概念辨析
【例1】判断下列各命题正确的是 ：
(1)单位向量都相等；
高考数学一轮复习 专题5.1 平面向量的概念及线性运算(讲)
1 专题5.1 平面向量的概念及线性运算
【考纲解读】
内 容 要
求 备注
A B C
平面向量 平面向量的概念
√
1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
2．理解向量的几何表示．
3．掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义．
4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
平面向量的加法、减法及数乘运算
√
【直击考点】
题组一 常识题
1． 化简(()()ABBMBOCBOMuuuruuuuruuuruuuruuuur的结果是________．
【解析】原式＝()()ABMBBOBCOMABBOOMMBBCACuuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuuruuuruuuruuur
2． 若2x－13a－12(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则x＝______________．
【解析】由2x－13a－12(b＋c－3x)＋b＝0，得2＋32x－23a－12b－12c＋b＝0，即72x＝23a－12b＋12c，
所以x＝421a－17b＋17c.
3． a表示向东走1 km，b表示向南走1 km，则a＋b表示向________方向走________km.
【解析】易知a＋b表示向东南方向走2 km.
4．已知M是△ABC的边BC上的中点，ABuuur ＝a，ACuuur ＝b，则＝________．
【解析11,()()22ABBMAMACCMAMAMABBMACCMABACQ 2 12 (a＋b)．
题组二 常错题
5．若四边形ABCD满足12ADBCuuuruuur，则四边形ABCD的形状是________．
【解析】//,||||ADBCADBCuuuruuuruuuruuur，所以四边形ABCD是梯形．
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题5.1 平面向量的概念及线性运算(解析版) 2
5.1 平面向量的概念及线性运算
一．向量的有关概念
名称 定义 表示方法 注意事项
向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量AB或a；
模||AB或||a 平面向量是自由向量
零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作0 零向量方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 常用e表示 非零向量a的单位向量是||aa
平行向量 方向相同或相反的非零向量 a与b共线可记为ab 0与任一向量平行或共线
共线向量 平行向量又叫共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 ab 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 ab 0的相反向量为0
二．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【套路秘籍】---千里之行始于足下 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；
(加法平行四边形)起点相同连对角；
(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．
三．向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
四．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
考向一 概念辨析
【例1】判断下列各命题正确的是：
(1)单位向量都相等；
(2)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关；
高三理数一轮讲义：5.1-平面向量的概念及线性运算
第1节 平面向量的概念及线性运算
最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
知 识 梳 理
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[微点提醒]
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝A1An→，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.
2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→).
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量
5.1 平面向量的概念及线性运算 文
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 方向相同或相反的非零向量
共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 0与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
(1)交换律：a＋b＝b＋a
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
减法 求两个向量差的运算
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (3)λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(a≠0)，a与b共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × )
(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( √ )
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )
(4)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × )
(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( √ )
(6)△ABC中，D是BC中点，则AD→＝12(AC→＋AB→)．( √ )
2020年高考数学(文)一轮复习专题5.1 平面向量的概念及线性运算(讲)(解析版)
专题5.1 平面向量的概念及线性运算
1.了解向量的实际背景；
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；
3.理解向量的几何表示；
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。
知识点一 向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
知识点二 向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则 (1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 运算 0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
知识点三 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.,向量概念的4点注意
(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．
(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．
比如：命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”是假命题，因为当b为零向量时，a，c可为任意向量，两者不一定平行．
高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概 2
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量
5.1 平面向量的概念及线性运算 理
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
减法 求两个向量差的运算
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋
时，λa＝0 μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(a≠0)，a与b共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × )
(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( √ )
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )
(4)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × )
(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( √ )
(6)△ABC中，D是BC中点，则AD→＝12(AC→＋AB→)．( √ )
2020届高考数学(文)一轮复习讲义 第5章 5.1 平面向量的概念及线性运算
§5.1 平面向量的概念及线性运算
最新考纲 考情考向分析
1.了解向量的实际背景．
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
3.理解向量的几何表示．
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向不确定 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量
(共线向量) 共线向量的方向相同或相反 0与任一向量平行或共线 相等向量
同向且等长的有向线段 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
向量的加法 求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
向量的减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b)
数乘向量 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(2)λ(μa)＝(λμ)a；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
3.平行向量基本定理
如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.
概念方法微思考
高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算教案(含解析)
第五章 平面向量、复数
考试内容 等级要求
平面向量的概念
B
平面向量的加法、减法及数乘运算
B
平面向量的坐标表示
B
平面向量的数量积
C
平面向量的平行与垂直 B
平面向量的应用 A
复数的概念 B
复数的四则运算 B
复数的几何意义 A
§5.1 平面向量的概念及线性运算
考情考向分析 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；
(加法平行四边形)起点相同连对角；
(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．
3．向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
概念方法微思考
1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？
提示 不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.