江苏省徐州市高一数学下学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．过两点M（﹣1，2），N（3，4）的直线的斜率为．
2．在等差数列{a n}中，a1=1，a4=7，则{a n}的前4项和S4= ．
3．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．
4．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，若样本中A种型号产品有12件，那么样本的容量
n= ．
5．同时掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和大于10的概率为．
6．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．
7．某校举行元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是．
8．若数列{a n}满足a n+1﹣2a n=0（n∈N*），a1=2，则{a n}的前6项和等于．
9．已知变量x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值是．
10．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔人，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落人孔中的概率是．
11．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状为．
12．已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a的取值是．13．已知等差数列{a n}中，首项为a1（a1≠0），公差为d，前n项和为S n，且满足a1S5+15=0，则实数d的取值范围是．
14．已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为．
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．设直线4x﹣3y+12=0的倾斜角为A
（1）求tan2A的值；
（2）求cos（﹣A）的值．
16．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=4，S5=30
（1）求数列{a n}的通项公式a n
（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．
18．已知函数f（x）=x2﹣kx+（2k﹣3）．
（1）若k=时，解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于，求实数k的取值范围．
19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米，记矩形AMPN的面积为S平方米．
（1）按下列要求建立函数关系；
（i）设AN=x米，将S表示为x的函数；
（ii）设∠BMC=θ（rad），将S表示为θ的函数．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求出S的最小值，并求出S取得最小值时AN的长度．
20．已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3，n∈N*
（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；
（2）当a1=﹣3时，求数列{a n}的前n项和S n；
（3）若对任意的n∈N*，都有≥5成立，求a1的取值范围．
2015-2016学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．过两点M（﹣1，2），N（3，4）的直线的斜率为\frac{1}{2} ．
【考点】直线的斜率．
【分析】直接利用直线的斜率公式可得．
【解答】解：∵过M（﹣1，2），N（3，4）两点，
∴直线的斜率为： =，
故答案为：．
2．在等差数列{a n}中，a1=1，a4=7，则{a n}的前4项和S4= 16 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：由已知可得：S4===16．
故答案为：16．
3．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．
【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；
所以函数的最小正周期为：T=，
故答案为：π．
4．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，若样本中A种型号产品有12件，那么样本的容量n= 60 ．【考点】分层抽样方法．
【分析】根据分层抽样原理，利用样本容量与频率、频数的关系，即可求出样本容量n．【解答】解：根据分层抽样原理，得；
样本中A种型号产品有12件，对应的频率为：
=，
所以样本容量为：
n==60．
故答案为：60．
5．同时掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和大于10的概率为\frac{1}{12} ．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其点数之和大于10的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵两次抛掷骰子总共有36种情况，而和大于10的只有：（5，6），（6，5），（6，6）三种情况，
∴点数之和大于10的概率为： =．
故答案为：．
6．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为56 ．
【考点】伪代码．
【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，一直求出不满足循环条件时S的值．
【解答】解：模拟执行程序，可得
S=0，I=0，
满足条件I＜6，执行循环，I=2，S=4
满足条件I＜6，执行循环，I=4，S=20
满足条件I＜6，执行循环，I=6，S=56
不满足条件I＜6，退出循环，输出S的值为56．
故答案为：56．
7．某校举行元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是\frac{8}{5} ．
【考点】茎叶图．
【分析】由已知中的茎叶图，我们可以得到七位评委为某班的小品打出的分数，及去掉一个最高分和一个最低分后的数据，代入平均数公式及方差公式，即可得到所剩数据的平均数和方差．
【解答】解：由已知的茎叶图七位评委为某班的小品打出的分数为：
79，84，84，84，86，87，93
去掉一个最高分93和一个最低分79后，
所剩数据的平均数==85
方差S2= [（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=，
故选：．
8．若数列{a n}满足a n+1﹣2a n=0（n∈N*），a1=2，则{a n}的前6项和等于126 ．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由题意可知，数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，然后直接利用等比数列的前n项和公式得答案．
【解答】解：由a n+1﹣2a n=0（n∈N*），得，
又a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
则．
故答案为：126．
9．已知变量x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值是13 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（5，3），
代入目标函数z=2x+y得z=2×5+3=13．
即目标函数z=2x+y的最大值为13．
故答案为：13．
10．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔人，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落人孔中的概率是\frac{4}{9π}．
【考点】几何概型．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．
【解答】解：如图所示：
∵S正=1，S圆=π（）2=，
∴P==．
则油（油滴的大小忽略不计）正好落人孔中的概率是
故答案为：．
11．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC的形状为等腰三角形．
【考点】三角形的形状判断．
【分析】利用正弦定理，将等式两端的“边”转化为“边所对角的正弦”，再利用两角和与差的正弦即可．
【解答】解：在△ABC中，∵acosB=bcosA，
∴由正弦定理得：sinAcosB=sinBcosA，
∴sin（A﹣B）=0，
∴A﹣B=0，
∴A=B．
∴△ABC的形状为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
12．已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a的取值是﹣1 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】两直线的斜率都存在，由平行条件列出方程，求出a即可．
【解答】解：由题意知，两直线的斜率都存在，由l1与l2平行得﹣=
∴a=﹣1 a=2，
当a=2时，两直线重合．
∴a=﹣1
故答案为：﹣1
13．已知等差数列{a n}中，首项为a1（a1≠0），公差为d，前n项和为S n，且满足a1S5+15=0，则实数d的取值范围是（﹣∞，﹣\sqrt{3}]∪[\sqrt{3}，+∞）．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由已知条件利用等差数列前n项和公式得+10a1d+15=0，从而d=﹣﹣a1，
由此利用均值定理能求出实数d的取值范围．
【解答】解：∵等差数列{a n}中，首项为a1（a1≠0），公差为d，
前n项和为S n，且满足a1S5+15=0，
∴+15=0，
∴+10a1d+15=0，
∴d=﹣﹣a1，
当a1＞0时，d=﹣﹣a1≤﹣2=﹣，
当a1＜0时，d=﹣﹣a1≥2=，
∴实数d的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．
14．已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为[1，\frac{8}{3}] ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】设xy=m可得x=，代入已知可得关于易得一元二次方程（2+3m）y2﹣10my+m2+4m=0，由△≥0可得m的不等式，解不等式可得．
【解答】解：设xy=m，则x=，
∵，
∴++3y+=10，
整理得（2+3m）y2﹣10my+m2+4m=0，
∵x，y是正实数，∴△≥0，
即100m2﹣4（2+3m）（m2+4m）≥0，
整理得m（3m﹣8）（m﹣1）≤0，
解得1≤m≤，或m≤0（舍去）
∴xy的取值范围是[1，]
故答案为：[1，]
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．设直线4x﹣3y+12=0的倾斜角为A
（1）求tan2A的值；
（2）求cos（﹣A）的值．
【考点】直线的倾斜角；两角和与差的余弦函数．
【分析】（1）求出tanA，根据二倍角公式，求出tan2A的值即可；（2）根据同角的三角函数的关系分别求出sinA和cosA，代入两角差的余弦公式计算即可．
【解答】解：（1）由4x﹣3y+12=0，
得：k=，则tanA=，
∴tan2A==﹣；
（2）由，以及0＜A＜π，
得：sinA=，cosA=，
cos（﹣A）=cos cosA+sin sinA=×+×=．
16．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，
∵sinB≠0，∴sinA=，
又A为锐角，
则A=；
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc?cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，
∴bc=，又sinA=，
则S△ABC=bcsinA=．
17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=4，S5=30
（1）求数列{a n}的通项公式a n
（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：≤T n＜．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=4，S5=30，可得，联立
解出即可得出．
（2）==，利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．
【解答】（1）解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=4，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．
（2）证明： ==，
∴数列{}的前n项和为
T n=+…+=，
∴T1≤T n，
∴≤T n＜．
18．已知函数f（x）=x2﹣kx+（2k﹣3）．
（1）若k=时，解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于，求实数k的取值范围．
【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．
【分析】（1）由k的值，得到f（x）解析式，由此得到大于0的解集．
（2）由f（x）＞0恒成立，得到判别式小于0恒成立．
（3）由两个不同的零点，得到判别式△＞0，由两点均大于，得到对称轴大于，和f（）＞0．
【解答】解：（1）若k=时，f（x）=x2﹣x．
由f（x）＞0，得x2﹣x＞0，即x（x﹣）＞0
∴不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜0或x＞}
（2）∵f（x）＞0对任意x∈R恒成立，
则△=（﹣k）2﹣4（2k﹣3）＜0，
即k2﹣8k+12＜0，解得k的取值范围是2＜k＜6．
（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于，
则有，
解得，
∴实数k的取值范围是（6，）．
19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米，记矩形AMPN的面积为S平方米．
（1）按下列要求建立函数关系；
（i）设AN=x米，将S表示为x的函数；
（ii）设∠BMC=θ（rad），将S表示为θ的函数．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求出S的最小值，并求出S取得最小值时AN的长度．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）求出AN，AM，即可建立函数关系；
（i）设AN=x米，先求出AM的长，即可表示出矩形AMPN的面积；
（ii）由∠BMC=θ（rad），可以依次表示出AM与AN的长度，即可表示出S关于θ的函数表达式；
（2）选择（ii）中的函数关系式，化简，由基本不等式即可求出最值．
【解答】解：（1）（i）∵Rt△CDN～Rt△MBC，∴=，
∴，∴BM=，
由于，则AM=
∴S=AN?AM=，（x＞2）
（ii）在Rt△MBC中，tanθ=，∴MB=，∴AM=3+，
在Rt△CDN中，tanθ=，∴DN=3tanθ，∴AN=2+3tanθ，
∴S=AM?AN=（3+）?（2+3tanθ），其中0＜θ＜；
（2）选择（ii）中关系式
∵S=AM?AN=（3+）?（2+3tanθ），（0＜θ＜）；
∴S=12+9tanθ+≥12+2=24，
当且仅当9tanθ=，即tanθ=时，取等号，此时AN=4
答：当AN的长度为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24m2．
20．已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3，n∈N*
（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；
（2）当a1=﹣3时，求数列{a n}的前n项和S n；
（3）若对任意的n∈N*，都有≥5成立，求a1的取值范围．
【考点】数列的求和；等差关系的确定．
【分析】（1）由a n+1+a n=4n﹣3，n∈N*，可得a2+a1=1，a3+a2=5，相减可得a3﹣a1=5﹣1=4，设等差数列{a n}的公差为d，可得2d=4，解得d．
（2）由a n+1+a n=4n﹣3，a n+2+a n+1=4n+1，可得a n+2﹣a n=4，a2=4．可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为4．对n分类讨论利用等差数列的求和公式即可得出．
（3）由（2）可知：a n=．当n为奇数时，a n=2n﹣2+a1，a n+1=2n﹣1﹣a1，由≥5成立，a n+1+a n=4n﹣3，可得：﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10，令f（n）=
﹣4n2+16n﹣10，求出其最大值即可得出．当n为偶数时，同理可得．
【解答】解：（1）∵a n+1+a n=4n﹣3，n∈N*，∴a2+a1=1，a3+a2=5，
∴a3﹣a1=5﹣1=4，设等差数列{a n}的公差为d，则2d=4，解得d=2．
∴2a1+2=1，解得a1=﹣．
（2）∵a n+1+a n=4n﹣3，a n+2+a n+1=4n+1，∴a n+2﹣a n=4，a2=4．
∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为4．
∴a2k﹣1=﹣3+4（k﹣1）=4k﹣7；a2k=4+4（k﹣1）=4k．
∴a n=，
∴当n为偶数时，S n=（a1+a2）+…+（a n﹣1+a n）=﹣3+9+…+（4n﹣3）==．当n为奇数时，S n=S n+1﹣a n+1=﹣2（n+1）=．
∴S n=．
（3）由（2）可知：a n=．
当n为奇数时，a n=2n﹣2+a1，a n+1=2n﹣1﹣a1，
由≥5成立，a n+1+a n=4n﹣3，可得：﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10，
令f（n）=﹣4n2+16n﹣10=﹣4（n﹣2）2+6，当n=1或3时，[f（n）]max=2，∴﹣a1≥2，
解得a1≥2或a1≤﹣1．
当n为偶数时，a n=2n﹣3﹣a1，a n+1=2n+a1，
由≥5成立，a n+1+a n=4n﹣3，可得： +3a1≥﹣4n2+16n﹣12，
令g（n）=﹣4n2+16n﹣12=﹣4（n﹣2）2+4，当n=2时，[f（n）]max=4，∴+3a1≥4，解得
a1≥1或a1≤﹣4．
综上所述可得：a1的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．