一元二次方程增长率问题的实际应用(1)
一元二次方程的应用(增长率问题)
一.复习填空:
1、某工厂一月份生产零件1000个，二月份
生产零件1200个，那么二月份比一月份增
产 200 个？增长率是多少
。
20%
增长量=原产量×增长率
2.康佳生产彩电,第一个月生产了5000台,第二 个月增产了50%,则:第二个月比第一个月增加
5了000×__5_0%______台,第二个月生产5了00_0_(_1_+_5_0_%__)_ 台;
用 直接开平方法
练习 李立购买了1500元的债券,定期1年,到期兑换后他用去 了435元,然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年(利率不
变),再到期后他兑换得到1308元.求这种债券的年利率.
分析：设年利率为x.则第1年后的利息为 1500x元 1年后本息和为 1500(1+x) 元
第2次债券的钱数为 1500(1+x)-43元5 第2次期满后本息和为 [1500(1+x)-435]元(1+x)
解:设 2010～2012年该养殖场产值的年平均增 长率为x，依题意得
500(1+x)2 =605 解得， x1=0.1 x2=-2.1 经检验，x2=-2.1 不合题意,应舍去，故 x=0.1 答:2010～2012年该养殖场产值的年平均增长率 为10%.
例2、原来每盒27元的一种药品，经两次降价后 每盒售价为9元，求该药品每次降价的平均降价 率是多少？（精确到1％）
3.某试验田去年亩产1000斤，今年比去年增产
10%，则今年亩产为___________斤,计划明年
再增产10%，则明年的产量为
斤。
4.某厂一月份产钢50吨，二、三月份的增长率都
北师大版九年级数学上册课件 2-6-2 应用一元二次方程求解增长率与市场营销问题
想平均每天赢利 180 元，每张贺年卡应降价多少元？
方法指导：找出等量关系式，每张贺年卡赢利的钱×张数＝赢
利总钱数．
解：设每张贺年卡应降价x元，则现在的利润是(0.3－x)元，多
售出200x÷0.05＝4 000x(张).
根据题意，得(0.3－x)(500＋4 000x)＝180，
整理，得400x2－70x＋3＝0.
进价
单个利润
(3)总利润＝____________×销量.
典例讲解
例1 某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺
年卡平均每天可售出 500 张，每张赢利 0.3 元. 为了尽快减少库
存，摊主决定采取适当的降价措施.调查发现，如果这种贺年卡
的售价每降价 0.05 元，那么平均每天可多售出 200 张. 摊主要
赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
方法指导：设商品单价为(50+x)元,则每个商品的利润为
[(50+x)－40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个
涨价x元，其销售量会减少10x，故销售量为(500－10x)个，
根据每件商品的利润×件数=8000，则(500－10x)·[(50+x)－
出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
解：设这个增长率是x.根据题意，得
2 000×(1＋x)2＝2 880.
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).
答：这个增长率是20%.
例3 百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖
500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了
20%
率相同，那么这个增长率是______．
一元二次方程应用(增长率问题)
1.某种服装原价为每件80元,经两次 降价,现售价为每件51.2元,求平均 每次降价的百分率.
2.某企业成立3年来,累计向国家上缴
利税280万元,其中第一年上缴40万 元,求上缴利税的年平均增长百分率 是多少?
例题精讲 2003年2月27日《广州日报》报道：2002年 底广州市自然保护区覆盖率（即自然保护区面积 占全市面积的百分比）为4.65％，尚未达到国家A 级标准．因此，市政府决定加快绿化建设，力争 到2004年底自然保护然保护区面积的年 平均增长率应是多少？(只列方程)
增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则一 次增长后的值为 a(1+x) ，二次增长后的值为
a(1＋x)2
降低率问题：若基数为a，降低率为x，则一次降 低后的值为 a(1－x) ，二次降低后的值为 a(1－x)2 ．
最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降 低次数 的基本关系： M=a(1±x)n n为增长或降低次数 M为最后产量，a为基数，x为平均增长率 或降低率
2 200 （ 1 a % ） 148 C.
2 200 （ 1 a %） 148 D.
小结与反思
1.平均增长（降低）率公式
a(1 x) b
2
2.我们学了几种类型题？
3.注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般 用 直接开平方法
例1 某木器厂今年1月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10％， 从3月份起加强了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求该工厂3月 份和4月份的平均增长率。
300
300(1+x) 300(1+x) 2=363
300(1+x)2
实际问题与一元二次方程1传染与增长率
实际问题与一元二次方程（1）-----传染病与增长率问题教学目标：1、会列出一元二次方程解决增长率问题;2、进一步掌握解应用题的步骤和关键;3、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．重点：列方程解应用题.难点：会用含未知数的代数式表示题目里的中间量（简称关系式）；会根据所设的不 同意义的未知数，列出相应的方程。
自主学习：（一）复习巩固1、解方程：3(1)33x x x +=+ 2（2x －1）－x （1－2x ）=02、列方程解应用题的一般步骤: 审题、找等量关系、设未知数、列方程、解方程、答（二）自主预习（阅读教材P19 — 20 , 完成预习）问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感； 2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_____ _人，第二轮后共有__ _ ____人患了流感。
则：列方程 ，解得答：平均一个人传染了 个人。
再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？四轮后？n 轮后呢？练习：1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？2.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x 名同学，那么根据题意列出的方程是（ ）A ．x （x+1）=182B ．x （x-1）=182C ．2x （x+1）=182D ．x （1-x ）=182×2 问题21、小明的零花钱一月份是50元，（1）二月份家长多给了10%，二月份零花钱是 元； （2）三月份又多给了10%，那么三月份的零花钱是 元；（3）三个月共 零花钱。
2、 小明的零花钱一月份是50元，（1）二月份家长多给了x ，二月份零花钱是是 元；（2）三月份又多给了x ，那么三月份的零花钱 元；（3）三个月共 零花钱。
九年级一元二次方程应用题专题训练之增长率问题(正负增长率,在校生人数变化,绿化中的负增长率)
应用题专题训练之增长率问题【例】1．如果人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金a元和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式。
【例】2．2009年中考题目22．数量关系：（上月的价格一本月的价格）÷上月的价格＝本月下降的百分数（本月的价格一上月的价格）÷上月的价格＝本月增长的百分数上月的价格一上月的价格×本月价格下降的百分数＝本月的价格22.【实际背景】设0000W 月的５克肉价格月的５克玉米价格 当猪当．如果当月W<6，则下个月．．．要采取措施防止“猪贱伤农”．今年2月～5月玉米、猪肉价格统计表【问题解决】(1)若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等，求3月的猪肉价格m；(2)若今年6月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪肉价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降，请你预测7月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”；(3)若今年6月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2倍，而每月的猪肉价格增长率都为a，则到7月时只用5.5元就可以买到500克猪肉和500克玉米．请你预测8月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”．（10分）【例】3．“00后”，是指2000年1月1日00时至2009年12月31日24时出生的最新一代中国公民，有时泛指2000年以后出生的所有可爱的中国公民点军一中2012年度初开始招收第一批“00后”学生报名七年级，同时八年级报名人数650人，占全校报名人数的32.5%人,八年级报名人数比九年级报名人数少100人。
（１）求2012年第一批“00后”新生报名人数。
（２）如果2012年、2013年、2014年每年度初的新生报名人数不变，在2013年初八年级学生（“00后”的学生）、九年级学生（“90后”学生）的报名人数比他们在2012年初的所在年级的报名人数增长了一个相同的百分数x；预计在201４年初八年级学生（第二批“00后”的学生）、九年级学生（第一批“00后”学生）的报名人数比他们在2013年初的所在年级的报名人数都增长了一个相同的百分数2x，从而使全校报名总人数比2012年度初相比较同比增长5.6%（同比增长率，一般是指和2012年同期相比较的增长率）。
(完整版)一元二次方程应用题经典题型汇总含答案
z 一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例 1 恒利商厦九月份的销售额为200 万元，十月份的销售额下降了20% ，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6 万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是X.,则根据题意，得200(1 —20%)(1+ x)2= 193.6 ,即(1+x)2= 1.21，解这个方程，得x i = 0.1 , X2=— 2.1 (舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2= n求解，其中m v n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1 —x)2= n即可求解，其中m >n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21 元的价格购进一批商品, 该商品可以自行定价, 若每件商品售价a元，则可卖出(350 —10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400 元,需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a—21)(350 —10a) = 400，整理，得a2—56a+775 = 0 ,解这个方程，得a1 = 25 , a2 = 31.因为21 p+20%) = 25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350 —10 a= 350 —10 X25 = 100 (件).答需要进货100 件,每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率•(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为X.则根据题意，得[1000(1+ x)- 500](1+0.9 x) = 530.整理，得90X2+145 x —3 = 0.解这个方程，得X i~0.0204 = 2.04% , X21.63.由于存款利率不能为负数，所以将X2~—1.63 舍去.答第一次存款的年利率约是 2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得2(x+0.1+ x+1.4+0.1) x= 1.8，整理，得x2+0.8 x—1.8 = 0.解这个方程，得X1 = — 1.8 (舍去)，X2= 1.所以x+1.4+0.1 = 1 + 1.4+0.1 = 2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解例5 读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为X,则十位数字为x - 3.则根据题意，得x2= 10(x —3)+ x，即X2-11X+30 = 0，解这个方程，得x= 5或x= 6.当x = 5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x = 6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979 , 1980 , 1984 , 1985.经核实，有一位同学统计无误•试计算这次比赛共有多少个选手参加•解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n —1)个选手比赛一局，共计n(n —1)1局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为2 n(n —1)局由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n —1)分•显然(n—1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0, 2 , 6，故总分不可能是1979 , 1984 , 1985，因此总分只能是1980，于是由n(n —1) = 1980，得n2—n —1980 = 0 ,解得n1 = 45 , n2=—44 (舍去).答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题, 法求解• 七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元•请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游 •因为1000 >25 = 25000 V 27000，所以员工人数一定超过 25人.则根据题意，得[1000 — 20(x — 25)] x = 27000.整理，得 x 2 — 75X +1350 = 0,解这个方程，得 x i = 45 , X 2= 30.当 x = 45 时，1000 — 20( x — 25) = 600 V 700，故舍去 x i ；当 X 2= 30 时，1000 — 20(x — 25) = 900 >700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论都可以仿照些如果人数不超过25人 如果人数超过25人，每増加1 人人均放游费用降低20元 旦人均册费用不得低于700人均旅游费用海1000元.八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为 原来荒地面积的三分之二•（精确到0.1m ）（1 ）设计方案1 （如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路（2）设计方案2 （如图3）花园中每个角的扇形都相同 .以上两种方案是否都能符合条件？若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由 解 都能.(1)设小路宽为 X ,则 18x +16x — x 2=^ X18 X15,即 x 2— 34X +180 = 0 ,解这个方程，得x = 2 ，即x ~ 6.6.(2)设扇形半径为 r ，则 3.14 r 2 =X18 X15 ,即卩 r 2疋 57.32，所以 r ~7.6.明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变; 积也变，但重量不变，等等九、动态几何问题例9 如图 4所示，在△ ABC 中，/ C = 90?/SPAN> , AC = 6cm , BC = 8cm ，点 P 从 点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△ PCQ 的面积为8平方厘米?X ,或形变(2)点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△ PCQ 的面积等于△ ABC 的面积的一半•若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由(1 )设 x s 后，可使△ PCQ 的面积为 8cm 2,所以 AP = x cm , PC = (6 — x )cm , CQ =2x cm.则根据题意，得(6 — x ) 2x = 8.整理，得X 2— 6x +8 = 0,解这个方程，得 x i = 2, X 2=4. 所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△ PCQ 的面积为8cm 2.(2)设点P 出发x 秒后，△ PCQ 的面积等于△ ABC 面积的一半•1 1 1则根据题意，得 2(6 — x ) 2x =2 x2 x6 X8.整理，得 x 2— 6x +12 = 0.由于此方程没有实数根，所以不存在使厶 PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻•说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程=速度x 时间.十、梯子问题例10 一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.(1) 若梯子的顶端下滑1m ，求梯子的底端水平滑动多少米？ (2) 若梯子的底端水平向外滑动 1m ，梯子的顶端滑动多少米？(3 )如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角 =8 (m ).(1 )若梯子顶端下滑1m ，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.因为/ C = 90?/SPAN>，所以AB ="汙\取匸=用卜『=10(cm )(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ ABC的则根据勾股定理，列方程72+(6+ x)2= 102，整理，得x2+12 x—15 = 0 ,解这个方程，得X i~ 1.14 , X213.14 (舍去)，所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8 —X)2+(6+1)2= 100.整理，得X2—16X+13 = 0.解这个方程，得X1~ 0.86 , X2 ~ 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动x m时，底端向外也滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8 —X)2+(6+X)2= 102，整理，得2x2—4x = 0,解这个方程，得X1 = 0 (舍去)，X2= 2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200 海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航•一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.(1)小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(精确到0.1海里)解(1) F位于D的正南方向，贝U DF丄BC•因为AB丄BC, D为AC的中点，所以DF =2 AB = 100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.(2 )设相遇时补给船航行了x海里，那么DE = x海里，AB+BE= 2x海里，EF= AB+BC -(AB+ BE)—CF= (300 - 2x)海里.在Rt△ DEF中，根据勾股定理可得方程x2= 100 2+(300 - 2x)2，整理，得3x2-1200 x+100000 = 0.lOtK/6 10(K/6解这个方程，得X1 = 200 —孑 ~ 118.4 , X2 = 200+3 (不合题意，舍去)•所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12 X12个小正方形格，将边长为n (n 为整数，且2w n< 11 )的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n Xi的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n刈个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n - 1) X n —1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：(1)由于正方形纸片边长n的取值不同，冼成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n23456使用的纸片张数（2 ）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S i，未被盖住的面积为S2.①当n = 2时，求S i : S2的值;解（1 ）依题意可依次填表为: 11、10、9、8、7.②是否存在使得S i = S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由(2) S1 = n2+(12 - n)[n2—(n - 1)2] = - n2+25 n - 12.①当n = 2 时，S1 = - 22+25 X2 - 12 = 34 , S2= 12 X12 - 34 = 110.所以S1 : S2 = 34 : 110 = 17 : 55.1②若S1 = S2，则有—n2+25 n —12 =? X122，即n2—25 n +84 = 0 ,解这个方程，得n1 = 4 , n2= 21 (舍去).所以当n = 4时，S1= S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度； 若不能, 请说明理由解(1)设剪成两段后其中一段为 x cm ，则另一段为(20 — x ) cm.当 x = 16 时，20 — x = 4，当 x = 4时，20 — x = 16 , 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm.(2)不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为 y cm ，则另一段为(20 — y ) cm.则由题意得I 4丿+1 4丿=12，整理，得 y 2— 20 y +104 = 0,移项并配方，得(y — 10) 2 =—4v 0,所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm 2.说明 本题的第(2 )小问也可以运用求根公式中的 b 2 — 4ac 来判定 若b 2 — 4ac >0,方程有两个实数根，若 b 2— 4ac v 0，方程没有实数根，本题中的b 2 — 4ac =— 16 v 0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形 ABCD 中，AB = DC = 5 , AD = 4 , BC = 10.点E?^下底边BC 上，点F 在腰AB 上.(1 )若EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，设BE 长为X ,试用含x 的代数式表示 △ BEF 的面积； (2) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；(3) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1 : 2的两部分？若存在，求此时BE 的长；若不存在，请说明理由则根据题意，得 =17,解得 X i = 16X 2 = 4 ,Be K解(1 )由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG丄BC于G,过点A作AK丄BC于K.12 - K则可得，FG= 总,込24所以S A BEF=BEFG=—§ x2+ x (7 < x < 10).2 24(2)存在.由 (1 )得—5 x2+ 5 x = 14，解这个方程，得x i = 7, X2 = 5 (不合题意，舍去),所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE= 7.(3)不存在•假设存在，显然有S A BEF : S多边形AFECD = 1 : 2,2 16 28即(BE+BF)：(AF+AD + DC) = 1 : 2.则有一5 x2+ 5 x =3 ,整理，得3x2—24x+70 = 0,此时的求根公式中的b2—4ac = 576 —840 V 0,所以不存在这样的实数X.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 : 2的两部分.说明求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得X2 = 5时，并不属于7 < X W 10,应及时地舍去；三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中，每个正方形有边长为1的小正方形组成:（1 ）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 13黑色小正方形个数 正方形边长 24黑色小正方形个数（2 ）在边长为n （n > 1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为个数为P 2,问是否存在偶数.n ,使P 2= 5P i ?若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明 理由.解（1）观察分析图案可知正方形的边长为 1、3、5、7、…、n 时，黑色正方形的个 数为1、5、9、13、2n — 1 （奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时，黑色正方形 的个数为4、& 12、16、2n （偶数）•（2 ）由（1 ）可知n 为偶数时P 1 = 2 n ,所以P 2= n 2— 2n .根据题意，得n 2 — 2 n = 5 x 2n ,即n 2 —12 n = 0,解得n 1= 12 , n 2 = 0 （不合题意，舍去）.所以存在偶数n = 12，使得P 2 =5P 1.n （奇数）n （偶数）P i ，白色小正方形的说明本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.。
一元二次方程的应用(增长率问题)
1.完成课本43页 3、4 45页 7、8 46页 15
2、同步顶尖
第二十二章 一元二次方程
22.3 实践与探索 第2课时 增长率问题
我们总共学了几种方程？
一元一次方程 二元一次方程组
分式方程
一元二次方程
概念
解法
应用
回忆列方程解应用题的一般步骤？
第一步：审（弄清题意和题目中的已知数、未知数及等量关系） 第二步：设（设合理的未知数） 第三步：列（根据等量关系列出方程） 第四步：解（解这个方程，求出未知数的值） 第五步：验（检验根是否符合方程、符合题意） 第六步：答（按题目问题要求写出答案）
解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意得：400×(1－x)2＝324， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去) (2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二 次降价后售出该种商品(100－m)件，第一次降 价 后 的 单 件 利 润 为 ： 400 × (1 － 10%) － 300 ＝ 60(元/件)；第二次降价后的单件利润为：324－ 300＝24(元/件)．依题意得：60m＋24×(100－ m)＝36m＋2400≥3210，解得m≥22.5，为使两次 降价销售的总利润不少于
x 解：设平均年增长率应为 ，依题意，得
(1 x)2 2
1 x 2
x1 2 1 ，x2 2 1
x1 0.414 41.4% , x1 3.414
因为增长率不能为负数
所以增长率应为 41.4%
答：这两年中财政净1、如果调整计划，两年后的产值为原产值的 1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长 率分别应调整为多少？
一元二次方程应用题 增长率问题
一元二次方程应用题增长率问题：1.某商场3月份的销售额为16万元，5月份的销售额为25万元，该商场这两个月的销售额的平均增长率是________2. 某公司八月份出售电脑200台,十月份售出242台，这两个月平均增长的百分率是多少？3.我国土地沙漠化日益严重，西部某市2003年有沙化土地100平方公里，到2005年已增至144平方公里。
请问：2003至2005年沙化土地的平均增长率为多少？4 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50t下降到40.5t，则平均每年下降的百分率是_____5. 某种药品两次降价后，每盒售价从原来6.4 元降到4.9元，平均每次降价的百分率是多少？6. 哈尔滨市政府为了申办2010年冬奥会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年绿地平均每年增长百分率是多少？7. 某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额约为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。
8．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率．数字问题：1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2．两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少？3．一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数4.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之和的3倍刚好等于这个两位数。
求这个两位数。
5、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。
6.有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字的和是8。
一元二次方程的应用(增长率问题经典版).ppt
6. 某试验田去年亩产 1000 斤，今年比去年增产 10% ，则今年亩产 为 ___________ 斤 , 计 划 明 年 再 增 产 10% ， 则 明 年 的 产 量 为
斤。
月分产钢____一月份产钢 50吨，二、三月份的增长率都是 50(1+x)2
小结 类似地 这种增长率的问题在实际
生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长 (或降低)前的是a,增长(或降低)n次后 的量是A,则它们的数量关系可表示为
a ( 1 x ) A
n
其中增长取+,降低取－
练习:
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产
量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( B A.500(1+2x)=720 C.500(1+x2)=720 B.500(1+x)2=720 D.720(1+x)2=500 )
3.某产品，原来每件的成本价是500元，若 每件售价625元，则每件利润是 每件利润 125.元 率是 . 25% 利润=成本价×利润率
4.康佳生产彩电,第一个月生产了5000台,第 二个月增产了50%,则:第二个月比第一个月 增加了 _______ 台,第二个月生产了 ______ 5000(1+50% 5000 ×50% 5. 康佳生产彩电,第一个月生产了5000台,第 二个月增产到150%,则:第二个月生产了 ________ 台;第二个月比第一个月增加了 5000×150% 50% ___________ 台, 增长率是________; 5000 (150% - 1)
3、某商场二月份的销售额为 100万元，三月份
有一人患了流感 , 经过两轮传染后 通过对这个问题的 共有121人患了流感 ,每轮传染中平均一 探究 ,你对类似的传播 个人传染了几个人 ? 问题中的数量关系有
一元二次方程的应用(增长率问题经典版)
你能快速写出吗?
(1 x)n
探究
有一人患了流感,经过两轮 传染后共有121人患了流感,每轮传
染中平均一个人传染了几个人?
思考:如果按照这样的传染速度,三轮传染后有 多少人患流感?n轮后呢?
(1 x)n
你能快速 写出吗?
2003年我国政府工作报告指出:为解 决农民负担过重问题,在近两年的税 费政策改革中,我国政府采取了一系 列政策措施,2001年中央财政用于支 持这项改革试点的资金约为180亿元, 预计到2003年将到达304.2亿元,求 2001年到2003年中央财政每年投入 支持这项改革资金的平均增长率?
价10﹪,降价后每台售价为1000
元,问该厂的电视机每台原价应为
()
B A 0.92×1000元
B 1000元
0.92
C 1000元 1.12
D 1.12×1000元
2.某种药剂原售价为4元, 经过两次降价, 现 在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分 之几? 3.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每 年需降低百分之几?
D (1+x)+2(1+x)2=4
小结
平均增长（降低）率公式
a(1x)2 b
二． 注意： 1. 1与x的位置不要调换 2. 解这类问题列出的方程一般 ① 用 直接开平方法
演讲完毕，感谢观看
A LITTLE BREEZE
再见
乙种药品成本的年平均下降额较大.但是, 年平均下降额(元)不等同于年平均下降
率(百分数)
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后
甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成 为 5000(1-x)2 元,依题意得
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实际问题与一元二次方程（1）导学案
学习目标：1.掌握增长率问题中的数量关系。
2.会列出一元二次方程解决增长率问。
学习重点：利用增长率问题中的数量关系，列出方程解决问题 。
学习难点：理清增长率问题中的数量关系。
一、课前预习：
1、某厂今年1月份的总产量为100吨，平均每月增长20%，则:
二月份总产量为 吨；三月份总产量为
吨。（填具体数字）
2、某厂今年1月份的总产量为500吨，设平均每月增长率是x ，
则：
二月份总产量为 吨；三月份总产量为
吨。（填含有X的式子）
3、某种商品原价是100元，平均每次降价10%，则：第一次降
价后的价格是________元；第二次降价后的价格是_______元。（填
具体数字）
4、某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，则：
第一次降价后的价格是________元；第二次降价后的价格是_______
元。（填含有X的式子）
二、与同学合作探究、小显身手
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5、(2010台州中考) 某种商品原价是100元，经过两次提价后
的价格是120元，求平均每次提价的百分率。设平均每次提价的百
分率为x，下列所列方程中正确的是（ ）
A、100（1+x）2=120 B、100（1-x）2=120 C、120（1+x）2=100 D、
120（1-x）2=100
6、（2010兰州中考）上海世博会的某种纪念品原价是168元，
连续两次降价x后售价为128元。下列所列方程中正确的是（ ）
A 、168（1+x）2=128 B、168（1-x）2=128 C、128（1+x）2=168 D、
128（1-x）2=168
三、与同学交流，归纳：平均增长率（或平均减少率）问题：
原数（1 ＋ 平均增长率）n= 。（n为相距时
间）
原数（1 － 平均减少率）n= 。
四、自主学习，理解教材
探究1：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种
药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品
的成本是3200元,生产1吨乙种药品的成本是3840元,哪种药品成
本的年平均下降率较大?
在该题中，若设甲种药品成本的平均下降率为x ，请填下表
甲种药品 两年前1吨 甲种药品成一年后甲种 两年后甲种 根据题意列出一元二
次方程
3
本 药品成本 药品成本
①
问题1：请解出①，得x1= ；x2= 。
问题2：根据下表请求出乙种药品的年平均下降率，比较两种药品
哪个的年平均下降率大。
乙种药
品
两年前1吨 乙种药品成本 一年后乙种 药品成本 两年后乙
种
药品成本
根据题意列出一元二
次方程
②
请解出②，得x1= ；x2= 。
自主学习，理解教材
探究2：有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流
感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染后有
人患了流感，第二轮传染后有 人患了流感.
于是可列方程：
思考：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？
应用：1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样
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数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少
小分支?
四、当堂训练：
1.某旅游景点用于2007年绿化投资20万元，2009年用于绿化投资
25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的
年平均增长率为x ，根据题意所列方程为（ ）
2520.2xA
25)1(20.2xB
25)1(20.xC
25)1(20)1(20.2xxD
2.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.
设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是
（ ）
182)1(50.2xA
182)1(50)1(5050.2xxB
182)21(50.xC
182)21(50)1(5050.xxD
3.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染
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后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平
均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，
被感染的电脑会不会超过700台？