2020版高考新创新一轮复习数学理科通用版课时跟踪检测三十八基本不等式含答案
高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第七章 不等式 推理与证明 课时跟踪训练38 Word版含解析
课时跟踪训练(三十八)【基础巩固]一、选择题1、观察下面关于循环小数化分数的等式：0.3·＝39＝13,0.1· 8·＝1899＝211,0.3· 5· 2·＝352999,0.0005· 9·＝11000×5999＝5999000,据此推测循环小数0.23·可化成分数( )A.2390B.9923C.815D.730【解析] 0.23·＝0.2＋0.1×0.3·＝15＋110×39＝730.选D.【答案] D2、已知数列{a n }为11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,…,依它的前10项的规律,则a 99＋a 100的值为( )A.3724B.76C.1115D.715【解析] 由给出的数列{a n }的前10项得出规律,此数列中,分子与分母的和等于2的有1项,等于3的有2项,等于4的有3项,…,等于n 的有n －1项,且分母由1逐渐增大到n －1,分子由n －1逐渐减小到1(n ≥2),当n ＝14时即分子与分母的和为14时,数列到91项,当n ＝15即分子与分母的和为15时,数列到104项,所以a 99与a 100是分子与分母和为15中的第8项与第9项,分别为78,69,∴a 99＋a 100＝78＋69＝3724,选A.【答案] A3、观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,…,则52018的末四位数字为( )A 、3125B 、5625C 、0625D 、8125【解析] ∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125,…,∴最后四位应为每四个循环,2018＝4×504＋2,∴52018最后四位应为5625.【答案] B4、(2017·安徽合肥一中模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术、得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟、”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223,338＝338,4415＝4415,5524＝5524,…,则按照以上规律,若99n ＝99n 具有“穿墙术”,则n ＝( )A 、25B 、48C 、63D 、80【解析] 由223＝223,338＝338,4415＝4415,5524＝5524,…,可得若99n ＝99n 具有“穿墙术”,则n ＝92－1＝80,故选D. 【答案] D5、(2017·湖北宜昌一中、龙泉中学联考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情况,四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”、结果,四名学生中有两人说对了,则四名学生中说对了的两人是( )A 、甲 丙B 、乙 丁C 、丙 丁D 、乙 丙【解析] 如果甲对,则丙、丁都对,与题意不符,故甲错,乙对；如果丙错,则丁错,因此只能是丙对,丁错,故选D.【答案] D6、如图所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4),此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4),若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ,则1×h 1＋2×h 2＋3×h 3＋4×h 4＝2S k .类比以上性质,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4),若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ,则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4值为( )A.4V kB.3V kC.2V kD.V k【解析] ∵V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4)∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k .【答案] B二、填空题7、半径为x (x >0)的圆的面积函数f (x )的导数等于该圆的周长的函数、对于半径为R (R >0)的球,类似的结论为________、【解析] 因为半径为x (x >0)的圆的面积函数f (x )＝πx 2,所以f ′(x ) ＝2πx .类似地,半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )＝43πR 3,所以V ′(R )＝4πR 2.故对于半径为R (R >0)的球,类似的结论为半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )的导数等于该球的表面积的函数、【答案] 半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )的导数等于该球的表面积的函数8、(2017·河北卓越联盟月考)在平面内,三角形的面积为S ,周长为C ,则它的内切圆的半径r ＝2S C .在空间中,三棱锥的体积为V ,表面积为S ,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R ＝________.【解析] 若三棱锥表面积为S ,体积为V ,则其内切球半径R ＝3V S .理由如下：设三棱锥的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径,所以V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝13SR ,所以内切球的半径R ＝3V S .【答案] 3V S9、某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120°；二级分形图是在一级分段形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,…,依此规律得到n 级分形图、n 级分形图中共有________条线段、【解析] 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有3＝(3×2－3)条线段,二级分形图有9＝(3×22－3)条线段,三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段,按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3.【答案] 3×2n －3三、解答题10、(2017·山西运城4月模拟改编)宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’(同垛)之,问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束,下一层3束,再下一层6束,……,)成三角锥的堆垛,故也称三角垛,如图,表示从上往下第二层开始的每层茭草束数,求本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为多少？【解析] 由题意得,从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2,∴1＋3＋6＋…＋n (n ＋1)2＝680,即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680, ∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17,∴n ＝15.故倒数第二层为第14层,该层茭草总束数为14×152＝105.【答案] 105【能力提升]11、(2017·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一、并五关所税,适重一下、问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关,第1关收税金12,第2关收税金为剩余的13,第3关收税金为剩余的14,第4关收税金为剩余的15,第5关收税金为剩余的16,5关所收税金之和,恰好重1斤,问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和,恰好重1斤,问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ,按此规律通过第8关”,则第8关所收税金为________x .【解析] 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝x 6＝x 2×3； 第3关收税金：14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝x 12＝x 3×4； ……第8关收税金：x 8×9＝x 72. 【答案] 17212、(2017·安徽合肥模拟)“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2),解关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a >0.”给出如下的一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2),得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1,即关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 类比上述解法：若关于x 的不等式b x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1,则关于x 的不等式b x －a －x －b x －c>0的解集为______________________、【解析] 根据题意,由b x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1, 得b －x ＋a ＋－x ＋b －x ＋c<0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1, 即b x －a －x －b x －c>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 【答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 13、(2017·河北唐山三模)数列{a n }的前n 项和为S n .若S n ＋a n ＝4－12n －2(n ∈N *),则a n ＝________. 【解析] 解法一：已知S n ＋a n ＝4－12n －2 ①,当n ＝1时,S 1＋a 1＝4－121－2＝2,解得a 1＝1.当n ≥2时,用n －1代换n ,得S n －1＋a n －1＝4－12n －3 ②.①－②,得S n －S n －1＋a n －a n －1＝12n －3－12n －2,整理得2a n －a n －1＝12n －2.两边同时乘2n －1,得2n a n －2n －1a n －1＝2. 令b n ＝2n a n ,则b n －b n －1＝2.所以数列{b n }是公差为2的等差数列,首项b 1＝21a 1＝2.所以b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ,即2n a n ＝2n .所以a n ＝2n 2n ＝n 2n －1. 解法二：(归纳法)：已知S n ＋a n ＝4－12n －2 ①,当n ＝1时,S 1＋a 1＝4－121－2＝2,解得a 1＝1；当n ＝2时,S 2＋a 2＝4－120,即2a 2＋a 1＝3,解得a 2＝1；当n ＝3时,S 3＋a 3＝4－12,即2a 3＋S 2＝72,解得a 3＝34；当n ＝4时,S 4＋a 4＝4－14,即2a 4＋S 3＝154,解得a 4＝12；当n ＝5时,S 5＋a 5＝4－18,即2a 5＋S 4＝318,解得a 5＝516；…,a 1和a 2可以写成分数的形式,显然该数列中每一项的分母都是2的整数幂,分子对应项的序号,即a 1＝120,a 2＝221,a 3＝322,a 4＝423,a 5＝524,…,所以a n ＝n2n －1.【答案] n2n －114、已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ,b ∈R ,a ≠b ,都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a ),试证明：f (x )为R 上的单调递增函数、【证明] 设任意x 1,x 2∈R ,取x 1<x 2,由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1),∴x 1【f (x 1)－f (x 2)]＋x 2【f (x 2)－f (x 1)]>0,【f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0, ∵x 1<x 2,∴f (x 2)－f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1)、∴y ＝f (x )为R 上的单调递增函数、15、△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .(1)若a ,b ,c 成等差数列,证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值、【解] (1)证明：∵a ,b ,c 成等差数列,∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin 【π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ),∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )、(2)∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12, 当且仅当a ＝c 时等号成立、∴cos B 的最小值为12.【延伸拓展]中国古代十进位制的算筹记数法,在世界数学史上是一个伟大的创造、如图所示,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算、算筹的摆放形式有纵、横两种,据《孙子算经》记载,算筹记数法则是：凡算之法,先识其位,一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当、即表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空、例如2017用算筹表示就是,则8227可表示为________、【解析]千位数字8为模式,百位数字2为纵式,十位数字2为横式,个位数字7为纵式,所以8227可表示为.【答案]。
【2020年江苏省高考数学考点探究】专题38 基本不等式(解析版)
专题38 基本不等式 专题知识梳理1．基本不等式如果a 、b 是正数，那么ab ≤ a ＋b 2(当且仅当a ＝b 时取“＝”)， 即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．2．常用的几个重要不等式(1) a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )； (2) a ＋b 2≥ab ； (3) b a ＋a b ≥2(a 与b 同号)； (4) ab ≤_(a ＋b 2)2(a 、b ∈R )； (5) 21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a 、b ∈(0，＋∞)(两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的大小关系)．3．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1) 如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P (简记：积定，和有最小值)．(2) 如果和x ＋y 的定值为S ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值14S 2(简记：和定，积有最大值)．考点探究考向1 利用基本不等式求最值【例】（2018·江苏卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC=120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则4a+c 的最小值为________．【解析】由角平分线和三角形面积公式得，ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+，∴111sin1201sin601sin60222ac a c =⨯⨯+⨯⨯,化简得ac=a+c. (方法1) 1=-a c a ，4a+c=4a+1-a a =4a+111-+-a a =4a+11-a +1=4（a —1）+11-a +5≥5=4+5=9．(方法2) 由ac=a+c 得，111+=a c ，∴4a+c=(4a+c )11()a c +=5+4c a a c+当且仅当c =2a=3时取等号，则4a+c 的最小值为9.题组训练1.设x>0，y>0，若111x y +=，则2211x y+的最小值是 【解析】∵111x y+=，∴x y xy +=， ∴2211x y+=2222222()2x y x y xy x y x y ++-=222()221xy xy x y xy -==-， ∵x>0，y>0，∴xy x y =+≥2,4xy ≥，当且仅当x y =时，取等号， ∴2211142xy -≥-=，故2211x y +的最小值是122.设x,y 为正实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 ．【解析】∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22≤1， 解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105. 等号当且仅当2x ＝y >0，即x ＝1010，y ＝105时成立． 3.若不等式220ax x b ++>的解集为1{|}x x a≠-，则式子222()++>-a b a b a b 最小值为 ． 【解析】由题意知，判别式△=0,即440ab -=，∴ab=1，且a b >，∴2222()444a b a b a b a b a b a b ++-+==-+≥---． 当且仅当4-=-a b a b 即2-=a b时取“=”号，解得2(112a b ⎧=+⎪⎨-+=⎪⎩∴ 所求式子的最小值为4.4. 已知a >0，b >0，a+b =2，求14a b+的最小值．【解析】∵14a b +=（14a b +）2a b +⋅=14(14)2a b b a+++≥=519222+⨯． 故14a b +的最小值是92． 5.若,a b ∈R ，0ab >，则4441++a b ab的最小值为___________.【解析】4422414114 4 +++≥=+≥=a b a b ab ab ab ab ，前一个等号成立的条件是222,a b =后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b ==的最小值为4. 6.若实数,x y 满足133(0)2+=<<xy x x ，则313+-x y 的最小值为 ． 【解析】由33+=xy x 得，33=+x y ，故313+-x y =3+y +13-y =3-+y 13-y +66≥=2+6=8，当且仅当31y -±=，4y =或2y =． 当4y =时，31(0,)72x =∈，适合题意；当2y =时，3152x =>（舍去）． 故313+-x y 的最小值为8． 7.已知正数y x ,满足x +y =1，则4121+++x y 的最小值为 ． 【解析】∵x +y =1，∴ (x +2)+(y +1)=4， ∴4141141()1()212121421x y x y x y x y +=+⨯++++++++++=（）1412119[41][5(54)421444y x x y ++≥+=+=++=+++（）． 当且仅当41221++++（）y x x y =，22(1)+=+x y （负值舍去）,解得2133=，=x y ，上式取等号，故所求的最小值为94． 8.设a>b >0，则的最小值是 . 【解析】＝＝ ≥2＋2＝4，当且仅当ab ＝1,a (a －b )＝1时等号成立．如取a,b ＝满足条件.考向2 利用基本不等式求参数的值或取值范围【例】（1）若函数y ＝1x －1＋ax (a ＞0，x ＞1)的最小值为3，则a ＝ ． （2）已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为 ． 【解析】（1）∵y ＝1x －1＋ax ＋a －a ＝1x －1＋a (x －1)＋a ≥21x －1×a （x －1）＋a ＝2a ＋a ＝3，当且仅当1x －1＝a (x －1)时等号成立．∵a >0，∴a ＝1.（2）由3a ＋1b ≥m a ＋3b 得，m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋a b ＋6，又9b a ＋a b＋6≥29＋6＝12， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.题组训练1.若存在正实数x ，使得22131≥-++x a x x 成立，则a 的取值范围是 . 【解析】22131x a x x ≥-++即22131x a x x -≤++，存在x>0，使得22131x a x x ≥-++成立，它等价于max 221()31x a x x -≤++,由x>0，得12+≥x x （当且仅当1x =时取等号）， ∴211313x x x x x=++++11=2+35≤，即231x x x ++的最大值为15，∴2115a -≤，解得35a ≤，∴a 的取值范围是3(,]5-∞.2. 已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 【解析】 ∵2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22(x －a )·2x －a ＋2a ＝4＋2a ， ()211a ab a a b ++-()211a ab a a b ++-211()a ab ab ab a a b -+++-11()()ab a a b ab a a b ++-+-2由题意知4＋2a ≥7，得a ≥32，∴实数a 的最小值为32. 3.已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立，则实数λ的最小值为 ．【解析】∵x 2＋y 2>0，∴3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)等价于λ≥3x 2＋4xy x 2＋y 2，则λ≥（3x 2＋4xy x 2＋y 2）max , 令T=3x 2＋4xy x 2＋y 2，则T=223)4())1x x y y x y++（（，令0x t y =>，2(3)40T t t T --+=，164(3)0T T ∆=--≥当解得14T -≤≤，当T =4时，t =2，此时x ＝2y 时取等号，∴3x 2＋4xy x 2＋y 2的最大值是4，∴λ≥4，即λ的最小值是4.。
浙江专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十八空间点线面之间的位置关系含解析20190614365
课时跟踪检测（三十八）空间点、线、面之间的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·台州一诊)设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( )A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．α∥β，a⊂α，则a∥β解析：选D 由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面知，在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C 错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．故选D.2．(2018·平阳期末)已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( ) A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线解析：选C 由平行直线公理可知，若c∥b，则a∥b，与a，b是异面直线矛盾．所以c与b不可能是平行直线．3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( )A．6 2 B．12C．12 2 D．24 2解析：选A 如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin 45°＝62，故选A.4.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条；与AB异面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．答案：5 45.如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．解析：如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK . ∵M 为AD 的中点， ∴MK ∥AN ，∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点， 由勾股定理易求得AN ＝DN ＝CM ＝22， ∴MK ＝ 2.在Rt△CKN 中，CK ＝22＋12＝ 3.在△CKM 中，由余弦定理，得 cos ∠KMC ＝22＋22－322×2×22＝78. 答案：78二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α，但若m ⊄α，n ⊂α，且m ∥α，则m 与n 有可能异面，∴“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．2．(2018·宁波模拟)如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与A 1B 1平行解析：选D 如图，连接C1D ，在△C 1DB 中，MN ∥BD ，故C 正确；因为CC 1⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，所以MN 与CC 1垂直，故A 正确； 因为AC ⊥BD ，MN ∥BD ， 所以MN 与AC 垂直，故B 正确； 因为A 1B 1与BD 异面，MN ∥BD ， 所以MN 与A 1B 1不可能平行，故D 错误．3．(2018·义乌二模)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥βC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥n，n⊥α，则m⊥α解析：选D 由m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面知，在A中，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故A错误；在B中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；在D中，若m∥n，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故D正确．故选D.4．(2019·湖州模拟)如图，在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )解析：选D 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知多边形EFMN Q G是一个平面图形，且直线BD1与平面EFMN Q G垂直，结合各选项知，选项A、B、C中的平面与这个平面重合，只有选项D中的平面既不与平面EFMN Q G重合，又不与之平行．故选D.5．(2018·宁波九中一模)正三棱柱ABCA1B1C1中，若AC＝2AA1，则AB1与CA1所成角的大小为( )A．60°B．105°C．75°D．90°解析：选D 取A1C1的中点D，连接AD，B1D(图略)，易证B1D⊥A1C，因为tan∠CA1C1·tan∠ADA1＝22×2＝1，所以A1C⊥AD，又B1D∩AD＝D，所以A1C⊥平面AB1D，又AB1⊂平面AB1D，所以A1C⊥AB1，故AB1与CA1所成角的大小为90°.6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：37．(2018·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2， 所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2. 答案： 29．(2018·舟山模拟)在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角． 解：如图，分别取AD ，CD ，AB ，BD 的中点E ，F ，G ，H ，连接EF ，FH ，HG ，GE ，GF .由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，且EF ＝34， GE ∥BD ，且GE ＝134，GE 和EF 所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角． 同理，GH ∥AD ，HF ∥BC ，GH ＝12，HF ＝32.又AD ⊥BC ， 所以∠GHF ＝90°， 所以GF 2＝GH 2＋HF 2＝1. 在△EFG 中，GE 2＋EF 2＝1＝GF 2， 所以∠GEF ＝90°，即AC 和BD 所成的角为90°.10.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． 解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，故三棱锥P ABC 的体积为V ＝13·S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图所示，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则DE ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角． 在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，则cos ∠ADE ＝DE 2＋AD 2－AE 22DE ·AD ＝22＋22－22×2×2＝34.即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·绍兴质检)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°.(1)求四棱锥A 1ABCD 的体积；(2)求异面直线A 1B 与B 1D 1所成角的余弦值． 解：(1)∵在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2， 连接AC ，∴AC ＝22＋22＝22， 又易知AA 1⊥平面ABCD ，∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角， 即∠A 1CA ＝60°，∴AA 1＝AC ·tan 60°＝22×3＝26， ∵S 正方形ABCD ＝AB ·BC ＝2×2＝4，∴V 1A ABCD ＝13·AA 1·S 正方形ABCD ＝13×26×4＝863.(2)连接BD ，易知BD ∥B 1D 1，∴∠A1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成的角(或所成角的补角)． ∵BD ＝22＋22＝22，A 1D ＝A 1B ＝22＋62＝27，∴cos ∠A 1BD ＝A 1B 2＋BD 2－A 1D 22·A 1B ·BD ＝28＋8－282×27×22＝1414，即异面直线A 1B 与B 1D 1所成角的余弦值是1414. 2．(2018·台州一模)如图所示的圆锥的体积为33π，圆O 的直径AB ＝2，点C 是AB 的中点，点D 是母线PA 的中点．(1)求该圆锥的侧面积；(2)求异面直线PB 与CD 所成角的大小． 解：(1)∵圆锥的体积为33π，圆O 的直径AB ＝2，圆锥的高为PO ， ∴13π×12×PO ＝33π，解得PO ＝3， ∴PA ＝32＋12＝2，∴该圆锥的侧面积S ＝πrl ＝π×1×2＝2π.(2)法一：如图，连接DO ，OC . 由(1)知，PA ＝2，OC ＝r ＝1.∵点D 是PA 的中点，点O 是AB 的中点， ∴DO ∥PB ，且DO ＝12PB ＝12PA ＝1，∴∠CDO 是异面直线PB 与CD 所成的角或其补角． ∵PO ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥OC ， 又点C 是 AB 的中点，∴OC ⊥AB .∵PO ∩AB ＝O ，PO ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴OC ⊥平面PAB ，又DO ⊂平面PAB ，∴OC ⊥DO ，即∠DOC ＝90°. 在Rt △DOC 中，∵OC ＝DO ＝1，∴∠CDO ＝45°. 故异面直线PB 与CD 所成角为45°.法二：连接OC ，易知OC ⊥AB ，又∵PO ⊥平面ABC ，∴PO ，OC ，OB 两两垂直，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．其中A (0，－1,0)，P (0,0，3)，D ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32，B (0,1,0)，C (1,0,0)，∴PB ＝(0,1，－3)，CD ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12，32， 设异面直线PB 与CD 所成的角为θ， 则cos θ＝|PB ·CD ||PB |·|CD |＝222＝22，∴θ＝45°，∴异面直线PB 与CD 所成角为45°.3．如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解：(1)法一：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM⊥AC 于点M .因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ， 所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC . 又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB ∥EC 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF . 因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ， 故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点． 法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接P Q ，PB ，B Q. 因为EC ＝2FB ＝2， 所以PE 綊BF ，所以P Q ∥AE ，PB ∥EF ，所以P Q ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ， 因为PB ∩P Q ＝P ，PB ，P Q ⊂平面PB Q ， 所以平面PB Q ∥平面AEF . 又因为B Q ⊂平面PB Q ， 所以B Q ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角． 易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ， 所以cos ∠OFE ＝OFEF＝35＝155， 所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.。
课时跟踪检测(三十八) 归纳推理与类比推理
课时跟踪检测(三十八) 归纳推理与类比推理第Ⅰ组：全员必做题1．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 1252．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝a b”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18 B.19 C.164 D.1274．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πab D ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N ＋，(n ＋1)2＞2n5．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．8936．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．7．若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．8.(2013·湖北高考)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…… 请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．10．(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．第Ⅱ组：重点选做题1．观察下列算式：13＝1，23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，……若某数m 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝________.2．(2014·东北三校联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝(－1)n ·2a n －2(n ≥3，n ∈N ＋)，其前n 项和为S n .(1)a 2n ＋1关于n 的表达式为________；(2)观察S 1，S 2，S 3，S 4，…S n ，在数列{S n }的前100项中相等的项有________对．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选D ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58＝390 625，59＝1 953 125,510＝9 765 625，…∴5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 011)＝f (501×4＋7)＝f (7)．∴52 011与57的末四位数字相同，均为8 125.2．选B ①②正确，③④⑤⑥错误．3．选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. 4．选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确． 5．选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.6．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 247．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝(b 1q p －1)m －n ·(b 1q m －1)n －p ·(b 1q n －1)p －m ＝b 01·q 0＝1. 答案：b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝18．解析：(1)由定义知，四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，S 四边形DEFG ＝3.(2)由待定系数法可得，⎩⎪⎨⎪⎧ 12＝a ·0＋b ·3＋c ，1＝a ·0＋b ·4＋c ，3＝a ·1＋b ·6＋c ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝12，c ＝－1，当N ＝71，L ＝18时，S ＝1×71＋12×18－1＝79. 答案：(1)3,1,6 (2)799．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V ＝13×底面积×高； (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14. 10．解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋ 34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. 第Ⅱ组：重点选做题1．解析：某数m 3按上述规律展开后，等式右边为m 个连续奇数的和，观察可知每行的最后一个数为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2，19＝42＋3，…，所以第m 行的最后一个数为m 2＋(m －1)．因为当m ＝44时，m 2＋(m －1)＝1 979，当m ＝45时，m 2＋(m －1)＝2 069，所以要使等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝45.答案：452．解析：(1)a 3a 1＝a 5a 3＝…＝a 2n ＋1a 2n －1＝－2， 又a 1＝1，从而a 2n ＋1＝(－2)n .(2)由(1)及条件知，数列{a n }为1,2，－2,22，(－2)2,23，(－2)3,24，…，从而可知S 1＝S 3，S 5＝S 7，S 9＝S 11，…，故在{S n }的前100项中相等的项有25对．答案：(1)a 2n ＋1＝(－2)n (2)25。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三不等关系与一元二次不等式含解析
课时跟踪检测(三) 不等关系与一元二次不等式一、题点全面练1．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N .2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( )A ．－n ＜m ＜n ＜－mB ．－n ＜m ＜－m ＜nC ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．3．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 因为1a <1b<0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.4．已知函数f ()＝－2＋a ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数都有f (1－)＝f (1＋)成立，若当∈[－1,1]时，f ()>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C 由f (1－)＝f (1＋)知f ()的图象关于直线＝1对称，即a 2＝1，解得a ＝2.又因为f ()的图象开口向下，所以当∈[－1,1]时，f ()为增函数，所以f ()min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f ()>0恒成立，即b 2－b －2>0恒成立，解得b <－1或b >2.5．已知a ∈，关于的一元二次不等式2－6＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( )A ．13B ．18C ．21D ．26解析：选C 设f ()＝2－6＋a ，其图象为开口向上，对称轴是＝3的抛物线，如图所示．若关于的一元二次不等式2－6＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎨⎧ f 20，f 10，即⎩⎨⎧22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a ＞0， 解得5＜a ≤8，又a ∈，故a ＝6,7,8.则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.6．若不等式22＋－38<0对一切实数都成立，则的取值范围为________． 解析：当＝0时，显然成立；当≠0时，即一元二次不等式22＋－38<0对一切实数都成立，则⎩⎨⎧ k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<<0.综上，满足不等式22＋－38<0对一切实数都成立的的取值范围是(－3,0]．答案：(－3,0]7．若不等式2＋a －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________． 解析：由Δ＝a 2＋8>0，知方程2＋a －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程2＋a －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 8．对于实数，当且仅当n ≤＜n ＋1(n ∈N *)时，＝n ，则关于的不等式42－36＋45<0的解集为________．解析：由42－36＋45<0，得32<<152，又当且仅当n ≤＜n ＋1(n ∈N *)时，＝n ，所以＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)．答案：[2,8)9．若不等式a 2＋5－2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式a 2－5＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程a 2＋5－2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2. (2)由(1)知不等式为－22－5＋3>0，即22＋5－3<0，解得－3<<12， 即不等式a 2－5＋a 2－1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12. 10．已知函数f ()＝2－2a －1＋a ，a ∈R.(1)若a ＝2，试求函数y ＝f x x(>0)的最小值； (2)对于任意的∈[0,2]，不等式f ()≤a 成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝＋1x－4. 因为>0，所以＋1x ≥2，当且仅当＝1x时，即＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当＝1时，y ＝f x x的最小值为－2. (2)因为f ()－a ＝2－2a －1，所以要使“∀∈[0,2]，不等式f ()≤a 成立”，只要“2－2a －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g ()＝2－2a －1，则只要g ()≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎨⎧ g 00，g 20，即⎩⎨⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34. 则实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 二、专项培优练易错专练——不丢怨枉分1．不等式x2x －1>1的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析：选A 原不等式等价于x 2x －1－1>0， 即x 2x －12x －1>0，整理得x －12x －1<0， 不等式等价于(2－1)(－1)<0，解得12<<1. 2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D 由题可知b <a <0，所以A 、B 、C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误．3．已知>y >，且＋y ＋＝0，下列不等式中成立的是( )A ．y >yB ．>yC ．y >D ．|y |>|y |解析：选C 因为>y >，所以3>＋y ＋＝0,3<＋y ＋＝0，所以>0，<0，由⎩⎨⎧ x >0，y >z得y >.故选C. 4．若α，β满足⎩⎨⎧ －1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________． 解析：设α＋3β＝(α＋β)＋y (α＋2β)＝(＋y )α＋(＋2y )β. 则⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝2. 因为－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β ≤7.所以α＋3β的取值范围为[1,7]．答案：[1,7]5．求使不等式2＋(a －6)＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的的取值范围． 解：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(－3)a ＋2－6＋9>0. 令f (a )＝(－3)a ＋2－6＋9，则－1≤a ≤1.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以①若＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． ②若≠3，由一次函数的单调性，可得⎩⎨⎧ f 1>0，f 1>0，即⎩⎨⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得<2或>4. 则实数的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三不等关系与一元二次不等式含解析
课时跟踪检测(三) 不等关系与一元二次不等式一、题点全面练1．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N .2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( )A ．－n ＜m ＜n ＜－mB ．－n ＜m ＜－m ＜nC ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．3．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 因为1a <1b<0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.4．已知函数f ()＝－2＋a ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数都有f (1－)＝f (1＋)成立，若当∈[－1,1]时，f ()>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C 由f (1－)＝f (1＋)知f ()的图象关于直线＝1对称，即a 2＝1，解得a ＝2.又因为f ()的图象开口向下，所以当∈[－1,1]时，f ()为增函数，所以f ()min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f ()>0恒成立，即b 2－b －2>0恒成立，解得b <－1或b >2.5．已知a ∈，关于的一元二次不等式2－6＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( )A ．13B ．18C ．21D ．26解析：选C 设f ()＝2－6＋a ，其图象为开口向上，对称轴是＝3的抛物线，如图所示．若关于的一元二次不等式2－6＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎨⎧ f 20，f 10，即⎩⎨⎧22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a ＞0， 解得5＜a ≤8，又a ∈，故a ＝6,7,8.则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.6．若不等式22＋－38<0对一切实数都成立，则的取值范围为________． 解析：当＝0时，显然成立；当≠0时，即一元二次不等式22＋－38<0对一切实数都成立，则⎩⎨⎧ k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<<0.综上，满足不等式22＋－38<0对一切实数都成立的的取值范围是(－3,0]．答案：(－3,0]7．若不等式2＋a －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________． 解析：由Δ＝a 2＋8>0，知方程2＋a －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程2＋a －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 8．对于实数，当且仅当n ≤＜n ＋1(n ∈N *)时，＝n ，则关于的不等式42－36＋45<0的解集为________．解析：由42－36＋45<0，得32<<152，又当且仅当n ≤＜n ＋1(n ∈N *)时，＝n ，所以＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)．答案：[2,8)9．若不等式a 2＋5－2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式a 2－5＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程a 2＋5－2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2. (2)由(1)知不等式为－22－5＋3>0，即22＋5－3<0，解得－3<<12， 即不等式a 2－5＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12. 10．已知函数f ()＝2－2a －1＋a ，a ∈R.(1)若a ＝2，试求函数y ＝f x x(>0)的最小值； (2)对于任意的∈[0,2]，不等式f ()≤a 成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝＋1x－4. 因为>0，所以＋1x ≥2，当且仅当＝1x时，即＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当＝1时，y ＝f x x的最小值为－2. (2)因为f ()－a ＝2－2a －1，所以要使“∀∈[0,2]，不等式f ()≤a 成立”，只要“2－2a －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g ()＝2－2a －1，则只要g ()≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎨⎧ g 00，g 20，即⎩⎨⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34. 则实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 二、专项培优练易错专练——不丢怨枉分1．不等式x2x －1>1的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析：选A 原不等式等价于x 2x －1－1>0， 即x 2x －12x －1>0，整理得x －12x －1<0， 不等式等价于(2－1)(－1)<0，解得12<<1. 2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D 由题可知b <a <0，所以A 、B 、C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误．3．已知>y >，且＋y ＋＝0，下列不等式中成立的是( )A ．y >yB ．>yC ．y >D ．|y |>|y |解析：选C 因为>y >，所以3>＋y ＋＝0,3<＋y ＋＝0，所以>0，<0，由⎩⎨⎧x >0，y >z 得y >.故选C.4．若α，β满足⎩⎨⎧ －1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________． 解析：设α＋3β＝(α＋β)＋y (α＋2β)＝(＋y )α＋(＋2y )β. 则⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝2.因为－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β ≤7.所以α＋3β的取值范围为[1,7]．答案：[1,7]5．求使不等式2＋(a －6)＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的的取值范围． 解：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(－3)a ＋2－6＋9>0. 令f (a )＝(－3)a ＋2－6＋9，则－1≤a ≤1.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以①若＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． ②若≠3，由一次函数的单调性，可得⎩⎨⎧ f 1>0，f 1>0，即⎩⎨⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得<2或>4. 则实数的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．。
2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试38 直接证明与间接证明
考点测试38直接证明与间接证明高考概览高考在本考点的常考题型为解答题，分值12分，中、高等难度考纲研读1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2．了解反证法的思考过程和特点一、基础小题1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)·(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法★答案★B解析因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．2．用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于60°”，应假设() A．三个内角至多有一个大于60°B．三个内角都不大于60°C．三个内角都大于60°D．三个内角至多有两个大于60°★答案★C解析“三角形内角至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”，其否定为“三角形内角都大于60°”．故选C．3．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca．证明过程如下：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac．又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立．∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca．此证法是()A．分析法B．综合法C．分析法与综合法并用D．反证法★答案★B解析由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac<3a”索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0★答案★C解析b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0．5．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，则P，Q的大小关系是() A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定★答案★C解析令a＝0，则P＝7≈2．6，Q＝3＋4≈3．7，∴P<Q．据此猜想a≥0时P<Q．证明如下：要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证2a＋7＋2a(a＋7)<2a＋7＋2(a＋3)(a＋4)，只要证a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．故选C．6．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()A．48，49★答案★D解析由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析★答案★中的4组座位号知，只有D符合条件．7．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析 若1，2号得第一名，则乙丙丁都对，若3号得第一名，则只有丁对，若4，5号得第一名，则甲乙都对，若6号得第一名，则乙丙都对，因此只有丁猜对．故选D ．8．记S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则S 与1的大小关系是________． ★答案★ S <1 解析 ∵1210＋1<1210，1210＋2<1210，…， 1211－1＝1210＋210－1<1210， ∴S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1． 二、高考小题9．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 ★答案★ A解析 “方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的否定是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．三、模拟小题10．(2019·山东济南模拟)用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数解析 “至少有一个”的否定为“都不是”，故选B ．11．(2018·宁夏银川调研)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b ，a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中正确判断的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ★答案★ C解析 ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．12．(2018·长春模拟)设a ，b ，c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( ) A ．都大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 ★答案★ D解析 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都小于2，则有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6． 因为a ，b ，c 都是正数， 所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2a ·1a ＋2b ·1b ＋2c ·1c ＝6，这与a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6矛盾，故假设不成立，所以a ＋1a ，b ＋1b ，c ＋1a 至少有一个不小于2．故选D ． 13．(2018·山东烟台模拟)设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________．★答案★ n >m解析解法一(取特殊值法)：取a＝2，b＝1，则m<n．解法二(分析法)：a－b<a－b⇐b＋a－b>a⇐a<b＋2b·a－b＋a－b⇐2b·a－b>0，显然成立．一、高考大题1．(2018·北京高考)设n为正整数，集合A＝{α|α＝(t1，t2，…，t n)，t k∈{0，1}，k＝1，2，…，n}．对于集合A中的任意元素α＝(x1，x2，…，x n)和β＝(y1，y2，…，y n)，记M(α，β)＝12[(x1＋y1－|x1－y1|)＋(x2＋y2－|x2－y2|)＋…＋(x n＋y n－|x n－y n|)]．(1)当n＝3时，若α＝(1，1，0)，β＝(0，1，1)，求M(α，α)和M(α，β)的值；(2)当n＝4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M(α，β)是奇数；当α，β不同时，M(α，β)是偶数．求集合B中元素个数的最大值；(3)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M(α，β)＝0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．解(1)因为α＝(1，1，0)，β＝(0，1，1)，所以M(α，α)＝12[(1＋1－|1－1|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＋0－|0－0|)]＝2，M(α，β)＝12[(1＋0－|1－0|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＋1－|0－1|)]＝1．(2)设α＝(x1，x2，x3，x4)∈B，则M(α，α)＝x1＋x2＋x3＋x4．由题意知x1，x2，x3，x4∈{0，1}，且M(α，α)为奇数，所以x1，x2，x3，x4中1的个数为1或3．所以B⊆{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．将上述集合中的元素分成如下四组：(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．经验证，对于每组中两个元素α，β均有M (α，β)＝1． 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素． 所以集合B 中元素的个数不超过4．又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件， 所以集合B 中元素个数的最大值为4．(3)设S k ＝{(x 1，x 2，…，x n )|(x 1，x 2，…，x n )∈A ， x k ＝1，x 1＝x 2＝…＝x k －1＝0}(k ＝1，2，…，n )， S n ＋1＝{(x 1，x 2，…，x n )|x 1＝x 2＝…＝x n ＝0}， 所以A ＝S 1∪S 2∪…∪S n ＋1．对于S k (k ＝1，2，…，n －1)中的不同元素α，β，经验证，M (α，β)≥1． 所以S k (k ＝1，2，…，n －1)中的两个元素不可能同时是集合B 的元素． 所以B 中元素的个数不超过n ＋1．取e k ＝(x 1，x 2，…，x n )∈S k 且x k ＋1＝…＝x n ＝0(k ＝1，2，…，n －1)． 令B ＝{e 1，e 2，…，e n －1}∪S n ∪S n ＋1，则集合B 的元素个数为n ＋1，且满足条件．故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．2．(2018·江苏高考)记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数，若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”．(1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”； (2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值； (3)已知函数f (x )＝－x 2＋a ，g (x )＝b e xx ，对任意a >0，判断是否存在b >0，使函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)内存在“S 点”，并说明理由．解 (1)证明：函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2， 则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2， 由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )， 得⎩⎨⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解． 因此，f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”．(2)函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ， 则f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝1x ，设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”，由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎨⎧ax 2－1＝ln x 0，2ax 20＝1，(*) 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12(e －12)2＝e 2． 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)，即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”，因此，a 的值为e2． (3)f ′(x )＝－2x ，g ′(x )＝b e x (x －1)x 2，x ≠0，f ′(x 0)＝g ′(x 0)⇒b e x 0＝－2x 30x 0－1>0⇒x 0∈(0，1)，f (x 0)＝g (x 0)⇒－x 20＋a ＝b e x 0x 0＝－2x 2x 0－1⇒ a ＝x 20－2x 20x 0－1， 令h (x )＝x 2－2x 2x －1－a ＝－x 3＋3x 2＋ax －a 1－x ，x ∈(0，1)，a >0，设m (x )＝－x 3＋3x 2＋ax －a ，x ∈(0，1)，a >0， 则m (0)＝－a <0，m (1)＝2>0⇒m (0)·m (1)<0， 又m (x )的图象在(0，1)上连续不断，∴m (x )在(0，1)上有零点，则h (x )在(0，1)上有零点．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)内存在“S 点”．二、模拟大题3．(2018·贵州安顺调研)已知函数f (x )＝3x －2x ，求证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f (x 1)＋f (x 2)2≥f x 1＋x 22．证明 要证明f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22， 即证明(3x 1－2x 1)＋(3x 2－2x 2)2≥3x 1＋x 22－2·x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 22－(x 1＋x 2)，即证明3x 1＋3x 22≥3x 1＋x 22，因此只要证明3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2， 由于x 1，x 2∈R 时，3x 1>0，3x 2>0， 由基本不等式知3x 1＋3x 22≥3x 1·3x 2(当且仅当x 1＝x 2时等号成立)显然成立， 故原结论成立．4．(2018·山东临沂三校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． 解 (1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1． 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1． (2)证明(反证法)：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)， 则2·12q ＝12p ＋12r ， 所以2·2r －q ＝2r －p ＋1．①又因为p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *，所以r －q ，r －p ∈N *． 所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十八直线平面平行的判定及其性质理含解析苏教版
①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面 EFGH 所在四边形的面积为定值；
③棱 A1D1 始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE·BF 是定值．
交 AB 于点 N，过点 F 作 FM∥PB 交 BC 于点 M，连接 MN，则四边形 EFMN 是平行四
2
1
边形(平面 EFMN 为所求截面)，且 EF＝MN＝ AC＝2，FM＝EN＝ PB＝2，所以截面
3
3
的周长为 2×4＝8.
答案：8
6．设 α，β，γ 是三个平面，a，b 是两条不同直线，有下列三个条件：
答案：①② 4．如图，α∥β，△PAB 所在的平面与 α，β 分别交于 CD，AB，若 PC＝2，CA＝3，CD＝1， 则 AB＝________.
解析：因为 α∥β，所以 CD∥AB，
PC CD
PA × CD 5 × 1 5
则 ＝ ，所以 AB＝
＝
＝.
PA AB
PC
22
5 答案：
2
5．如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，
则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 平行的是________．(填序号)
解析：因为点 M，N，Q 分别为所在棱的中点，所以在①中 AB 与平面 MNQ 相交，在②③ 中均有 AB∥MQ，在④中，有 AB∥NQ，所以在②③④中均有 AB 与平面 MNQ 平行．
答案：②③④ 二保高考，全练题型做到高考达标 1．(2018·滨海期末)已知 m，n 是不重合的直线，α，β，γ 是不重合的平面，已知 α∩β ＝m，n⊂γ，若增加一个条件就能得出 m∥n，则下列条件中能成为增加条件的序号是 ________． ①m∥γ，n∥β；②α∥γ，n⊂β；③n∥β，m⊂γ. 解析：对于①，若 β∥γ，由 m⊂β，满足 m∥γ，由 n⊂γ，满足 n∥β，但 m，n 可 为异面直线，则不成立； 对于②，由 α∥γ，且 α∩β＝m，β∩γ＝n，由面面平行的性质定理可得 m∥n，则 成立； 对于③，n∥β，m⊂γ，则 γ∩β＝m，由线面平行的性质定理可得 n∥m，则成立． 答案：②或③ 2．(2019·连云港调研)一条直线与两个平行平面中的一个成 30°角，且被两平面所截 得的线段长为 2，那么这两个平行平面间的距离是________． 解析：由题意知，两个平行平面间的距离 d＝2sin 30°＝1. 答案：1 3．(2018·前黄高级中学检测)已知正方体 ABCDA1B1C1D1，下列结论中，正确的是 ________(填序号)． ①AD1∥BC1；②平面 AB1D1∥平面 BDC1； ③AD1∥DC1；④AD1∥平面 BDC1.
新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十八空间几何体及表面积与体积含解析2019051
课时跟踪检测（三十八） 空间几何体及表面积与体积[A 级 保分题——准做快做达标]1.关于空间几何体的结构特征，下列说法中不正确的是( ) A ．棱柱的侧棱长都相等 B ．棱锥的侧棱长都相等C ．三棱台的上、下底面是相似三角形D ．有的棱台的侧棱长都相等解析：选B 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等． 2．一个球的表面积为16π，那么这个球的体积为( ) A.163π B.323π C ．16π D ．24π解析：选B 设球的半径为R ，则由4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以这个球的体积为43πR3＝323π. 3．如图所示，等腰△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，那么△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选B 由题图知A ′C ′∥y ′轴，A ′B ′∥x ′轴，由斜二测画法知，在△ABC 中，AC ∥y 轴，AB ∥x 轴，∴AC ⊥AB .又因为A ′C ′＝A ′B ′，∴AC ＝2AB ≠AB ，∴△ABC 是直角三角形．4．下列说法中正确的是( ) A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线解析：选D 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A 错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故B 错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C 错误．选D.5．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3解析：选C 如图，连接AC 1，BC 1，AC .∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4.在Rt △ACC 1中，CC 1＝AC 21－AC 2＝42－2＋22＝22，∴V 长方体＝AB ×BC ×CC 1＝2×2×22＝8 2.6．下列几何体是棱台的是________(填序号)．解析：①③都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意．②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意．④符合棱台的定义，故填④.答案：④[B 级 难度题——适情自主选做]1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )解析：选A 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y 轴上的对角线长为2 2.2．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46πD ．63π解析：选B 设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝22＋12＝3，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π.3．若圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比为( )A ．3∶2B ．2∶1C ．4∶3D ．5∶3解析：选C 底面半径r ＝23π2πl ＝13l ，故圆锥的S 侧＝13πl 2，S 表＝13πl 2＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫13l 2＝49πl 2，所以表面积与侧面积的比为4∶3.4．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π解析：选B 设圆柱的轴截面的边长为x ，则x 2＝8，得x ＝22，∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.5．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9πD.27π4解析：选A 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，所以该球的表面积为4πr 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝81π4.6．(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3解析：选B 由等边△ABC 的面积为93，可得34AB 2＝93，所以AB＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.7．(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析：由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥＝2×13×(2)2×1＝43.答案：438.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)解析：该球形容器最小时，两个正四棱柱组成的四棱柱与球内接，此时球的直径2R 等于四棱柱的体对角线，即2R ＝52＋22＋12＝30，故球形容器的表面积为4πR 2＝30π.答案：30π9．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图，∵SA 与底面成45°角，∴△SAO 为等腰直角三角形． 设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r . 在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，∴sin ∠ASB ＝158， ∴S △SAB ＝12SA ·SB ·sin∠ASB ＝12×(2r )2×158＝515，解得r ＝210，∴SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45， ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×210×45＝402π. 答案：402π[C 级 难度题——适情自主选做]1.如图，一个圆锥的底面半径为2，高为4，在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)如图，设内接圆柱底面半径为r .S圆柱侧＝2πr ·x .①∵r 2＝4－x 4，∴r ＝12(4－x )．② ②代入①，S 圆柱侧＝2πx ·12(4－x )＝π(－x 2＋4x )(0<x <4)．(2)S 圆柱侧＝π(－x 2＋4x )＝π[－(x －2)2＋4]， ∴x ＝2时，S 圆柱侧最大＝4π.2．有一矩形ABCD 硬纸板材料(厚度忽略不计)，边AB 的长为6分米，其邻边足够长．现从中截取矩形EFHG (如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，剩下的部分恰好能折成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中OEMF 是以O 为圆心、∠EOF ＝120°为圆心角的扇形，且弧EF ，GH 分别与边BC ，AD 相切于点M ，N .(1)当BE 的长为1分米时，求折成的包装盒的容积； (2)当BE 的长是多少分米时，折成的包装盒的容积最大？解：(1)在题图甲中，连接MO 交EF 于点T .设OE ＝OF ＝OM ＝R 分米， 在Rt △OET 中，因为∠EOT ＝12∠EOF ＝60°，所以OT ＝R 2，则MT ＝OM －OT ＝R2.从而BE ＝MT ＝R2，即R ＝2BE ＝2.故所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF＝13πR 2－12R 2sin 120°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－3平方分米． 又柱体的高EG ＝4分米， 所以V ＝S ·EG ＝⎝⎛⎭⎪⎫16π3－43立方分米．故当BE 长为1分米时，折成的包装盒的容积为⎝ ⎛⎭⎪⎫16π3－43立方分米．(2)设BE ＝x 分米，则R ＝2x 分米， 所以所得柱体的底面积S ＝S 扇形OEF －S △OEF ＝13πR 2－12R 2sin 120°＝⎝⎛⎭⎪⎫4π3－3x 2平方分米．又柱体的高EG ＝(6－2x )分米， 所以V ＝S ·EG ＝⎝⎛⎭⎪⎫8π3－23(－x 3＋3x 2)，其中0＜x ＜3.令f (x )＝－x 3＋3x 2，x ∈(0,3)，则由f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)＝0，解得x ＝2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：所以当x ＝2时，f (x )取得极大值，也是最大值． 故当BE 的长为2分米时，折成的包装盒的容积最大．。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三不等关系与一元二次不等式含解析
课时跟踪检测(三) 不等关系与一元二次不等式一、题点全面练1．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N .2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( )A ．－n ＜m ＜n ＜－mB ．－n ＜m ＜－m ＜nC ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m 解析：选D m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．3．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 因为1a <1b<0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.4．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a 2＝1，解得a ＝2. 又因为f (x )的图象开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， f (x )>0恒成立，即b 2－b －2>0恒成立，解得b <－1或b >2.5．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( )A ．13B ．18C ．21D ．26解析：选C 设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示． 若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ，f ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a ＞0，解得5＜a ≤8，又a ∈Z ，故a ＝6,7,8.则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.6．若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________． 解析：当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]． 答案：(－3,0]7．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________． 解析：由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 8．对于实数x ，当且仅当n ≤x ＜n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x ＜n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)．答案：[2,8)9．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12， 即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12. 10．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R.(1)若a ＝2，试求函数y ＝f x x(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求实数a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4. 因为x >0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f x x的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34. 则实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 二、专项培优练易错专练——不丢怨枉分1．不等式x2x －1>1的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析：选A 原不等式等价于x 2x －1－1>0， 即x －x －2x －1>0，整理得x －12x －1<0， 不等式等价于(2x －1)(x －1)<0，解得12<x <1.2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 解析：选D 由题可知b <a <0，所以A 、B 、C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误．3．已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C 因为x >y >z ，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，y >z 得xy >xz .故选C.4．若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．解析：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2.因为－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β ≤7.所以α＋3β的取值范围为[1,7]．答案：[1,7]5．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．解：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，则－1≤a ≤1.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．②若x ≠3，由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f －，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.则实数x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．。
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课时跟踪检测（三十八） 基本不等式 [A级 基础题——基稳才能楼高] 1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为( ) A.25 B．12 C.22 D．1 解析：选B 显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；当x>0时，x＋1≥2x，∴f(x)≤12，当且仅当x＝1时取等号，f(x)max＝12. 2，若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是( ) A.|a＋b|2≥|ab| B．ba＋ab≥2 C.a2＋b22≥a＋b22 D．(a＋b)1a＋1b≥4 解析：选C 由于a，b∈R，所以A、B、D项不能直接运用基本不等式考察，先考虑C项． ∵a2＋b22－a＋b22＝2a2＋b2－a2＋2ab＋b24＝a2－2ab＋b24＝a－b24≥0，∴a2＋b22≥a＋b22. 3．(2018·东北三省四市一模)已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为( ) A．8 B．9 C．12 D．16
解析：选B 由题意可得4y＋1x＝1，则x＋y＝(x＋y)·4y＋1x＝5＋4xy＋yx≥5＋24xy×yx＝9，当且仅当4xy＝yx，即x＝3，y＝6时等号成立，故x＋y的最小值为9. 4．已知x，y都为正实数，且x＋y＋1x＋1y＝5，则x＋y的最大值是( ) A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
解析：选C 因为x＋y＋1x＋1y＝x＋y＋x＋yxy≥x＋y＋x＋yx＋y22＝x＋y＋4x＋y，所以x＋y＋4x＋y≤5.
令x＋y＝t.则t2－5t＋4≤0，解得1≤t≤4. 5．(2019·西藏林芝期中)若x，y均为正数，则3xy＋12yx＋13的最小值是( ) A．24 B．28 C．25 D．26 解析：选C 因为x，y均为正数，所以由基本不等式得3xy＋12yx＋13≥23xy·12yx＋13＝25，当且仅当x＝2y时等号成立，故3xy＋12yx＋13的最小值是25，故选C. [B级 保分题——准做快做达标]
1．(2019·郑州外国语学校月考)若a>b>1，P＝lg a·lg b，Q＝12(lg a＋lg b)，R＝lg a＋b2，则( ) A．RC．P
解析：选C ∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，12(lg a＋lg b)>lg a·lg b，即Q>P.∵a＋b2>ab，∴lg a＋b2>lg ab＝12(lg a＋lg b)，即R>Q，∴P2．(2019·湖北稳派教育联考)若x>0，y>0，则“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件是( ) A．x＝y B．x＝2y C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1 解析：选C ∵x>0，y>0，∴x＋2y≥22xy，当且仅当x＝2y时取等号．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝22xy”的充分不必要条件，故选C.
3．(2019·豫西南联考)已知正项等比数列{an}的公比为2，若aman＝4a22，则2m＋12n的最小值为( )
A．1 B．12 C.34 D．32 解析：选C 由题意知aman＝a212m＋n－2＝4a2122＝a2124，∴m＋n＝6，则2m＋12n＝162m＋12n(m＋n)＝16( 52＋2nm＋m2n )≥16×52＋2＝34，当且仅当m＝2n时取等号，∴2m＋12n的最小值为34，故选C. 4．(2019·岳阳一中模拟)已知a>b>0，则2a＋4a＋b＋1a－b的最小值为( ) A．6 B．4 C．23 D．32
解析：选A 因为4a＋b＋1a－b＝12a( 4a＋b＋1a－b )·[]a＋b＋a－b＝12a[ 5＋a＋ba－b＋4a－ba＋b ]
≥12a(5＋4)＝92a(当且仅当a＝3b时取等号)，所以2a＋4a＋b＋1a－b≥2a＋92a≥6(当且仅当a＝32时后一个不等式取等号)，故选A. 5．(2019·甘肃诊断)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则3x＋2y的最小值是( ) A.53 B．83 C．8 D．24 解析：选C 因为a∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以3x＋2y＝13(2x＋3y)3x＋2y＝13
( 12＋9yx＋4xy )≥1312＋2 9yx·4xy＝8，当且仅当x＝34，y＝12时等号成立，所以3x＋2y的最小值为8，
故选C. 6．若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝8，则a＋b＋c的最大值为( ) A．9 B．23 C．32 D．26 解析：选D (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝8＋2ab＋2ac＋2bc. ∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc， ∴8＋2ab＋2ac＋2bc≤2(a2＋b2＋c2)＋8＝24，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴a＋b＋c≤26. 7．(2019·林州一中模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11
＋a12的最小值为( )
A．10 B．15 C．20 D．25 解析：选C 由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5可得S8－S4＝S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，综上可得：a9＋a10
＋a11＋a12＝S12－S8＝S4＋52S4＝S4＋25S4＋10≥2S4×25S4＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立．故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20. 8．(2019·赣州月考)半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P
为半径OC上的动点，则(PA―→＋PB―→)·PC―→的最小值是( ) A．2 B．0 C．－1 D．－2
解析：选D ∵O为AB的中点，∴PA―→＋PB―→＝2PO―→，从而(PA―→＋PB―→)·PC―→＝2PO―→·PC―→＝－2|PO―→ |·|PC―→|.又|PO―→|＋|PC―→|＝|OC―→|＝12AB＝2≥2|PO―→|·|PC―→|，∴|PO―→|·|PC―→|≤1，∴－2|PO―→|·|PC―→|≥－2，∴当且仅当|PO―→|＝|PC―→|＝1，即P为OC的中点时，(PA―→＋PB―→)·PC―→取得最小值－2，故选D. 9．(2019·玉溪月考)在△ABC中，若a2＋b2＝2c2，则内角C的最大值为( )
A.π6 B．π4
C.π3 D．2π3 解析：选C ∵a2＋b2＝2c2，∴由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab≥a2＋b2－c2a2＋b2＝2c2－c22c2＝12，当且仅当a＝b时取等号．∵C是三角形的内角，∴角C的最大值为π3，故选C. 10．(2019·淮安学情调研)已知正数x，y满足x＋2y＝3，则yx＋1y的最小值为________．
解析：∵x>0，y>0，x＋2y＝3，∴yx＋1y＝yx＋x＋2y3y＝yx＋x3y＋23≥2yx·x3y＋23＝23＋23，当且仅当yx＝x3y即x＝63－9，y＝6－33时等号成立，∴yx＋1y的最小值为23＋23. 答案：23＋23 11．(2019·嘉兴基础测试)若正实数m，n满足2m＋n＋6＝mn，则mn的最小值是________． 解析：由2m＋n＋6＝mn，m>0，n>0，得22mn＋6≤2m＋n＋6＝mn，令2mn＝t(t>0)，则2t
＋6≤t22，即t2－4t－12≥0，解得t≤－2(舍)或t≥6，即2mn≥6，mn≥18，则mn的最小值是18. 答案：18 12．(2019·张掖月考)设a>0，b>1，若a＋b＝2，则3a＋1b－1的最小值为________． 解析：∵a>0，b>1，a＋b＝2， ∴3a＋1b－1＝3a＋1b－1(a＋b－1)
＝3＋3b－1a＋ab－1＋1 ＝4＋3b－1a＋ab－1≥4＋23， 当3b－1a＝ab－1， 即a＝3－32，b＝3＋12时取等号， 故最小值为4＋23. 答案：4＋23 13．(2019·石家庄高三一检)已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2,3)，则a＋b的最小值为________．
解析：因为直线l经过点(2,3)，所以2a＋3b－ab＝0，所以b＝2aa－3>0，所以a－3>0，所以a＋b
＝a＋2aa－3＝a－3＋6a－3＋5≥5＋2a－3·6a－3＝5＋26，当且仅当a－3＝6a－3，即a＝3＋6，b＝2＋6时等号成立． 答案：5＋26 14．(2018·唐山二模)已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1. (1)求证：a＋b≤2； (2)判断等式ac＋bd＝c＋d能否成立，并说明理由．
解：(1)证明：由题意得(a＋b)2＝3ab＋1≤3a＋b22＋1，当且仅当a＝b时取等号． 解得(a＋b)2≤4，又a，b>0， 所以a＋b≤2. (2)不能成立．
理由：由均值不等式得ac＋bd≤a＋c2＋b＋d2，当且仅当a＝c且b＝d时等号成立． 因为a＋b≤2， 所以ac＋bd≤1＋c＋d2. 因为c>0，d>0，cd>1， 所以c＋d＝c＋d2＋c＋d2≥c＋d2＋cd>c＋d2＋1≥ac＋bd，故ac＋bd＝c＋d不能成立． 15．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度
x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝ 175x2－130x＋4 900，x∈[50，80，12－x60，x∈[80，120]. (1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？ (2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
解：(1)当x∈[50,80)时，y＝175(x2－130x＋4 900)＝175[(x－65)2＋675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为175×675＝9. 当x∈[80,120]时，函数y＝12－x60单调递减， 故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－12060＝10. 因为9<10，所以当x＝65， 即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少．
(2)设总耗油量为l L，由题意可知l＝y·120x，
①当x∈[50,80)时，l＝y·120x＝85x＋4 900x－130≥852 x×4 900x－130＝16，