2011届高考数学专题五《点的轨迹》
2011年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析(5)—解析几何
2011年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析(5)—解析几何2011年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析命题热点五 解析几何高考对解析几何的考查主要包括以下内容：直线与圆的方程、圆锥曲线等，在高考试卷中一般有1~2个客观题和1个解答题，其中客观题主要考查直线斜率、直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、标准方程的求解、离心率的计算等，解答题则主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题，经常与平面向量、函数与不等式交汇等，考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等，解析几何试题的特点是思维量大、运算量大，所以应加强对解析几何重点题型的训练.预测 1. 如果圆22(3)(1)1x y ++-=关于直线:l 410mx y +-=对称，则直线l 的斜率等于————————————.解析：依题意直线410mx y +-=经过点(3,1)-，所以3410m -+-=，1m =，于是直线斜率为14k =-. 动向解读：本题考查直线方程与斜率、圆的方程、对称等基本问题，这是解析几何的基础内容，是高考的重点内容，一般以选择题、填空题的形式考查，有时也间接考查，与圆锥曲线的内解析：设0000(,),(,),(,)P x y M x y N x y --，则001200,y y y y k k x x x x -+==-+，依题意有220001222000y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-.又因为,M N 在椭圆上，所以22220022221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得222200220x x y y a b --+=，即22202220y y b x x a-=--，所以2214b a =，即22214a c a -=，解得2e =.故选C.动向解读：本题考查椭圆的离心率问题，这是高考的热点内容，这类问题的特点是：很少直接给出圆锥曲线的方程等数量关系，而是提供一些几何性质与几何位置关系，来求离心率的值或取值范围.解决这类问题时，首先应考虑运用圆锥曲线的定义获得必要的数量关系或参数间的等量关系，其次是根据题目提供的几何位置关系，确定参数,,a b c 满足的等式或不等式，然后根据,,a b c 的关系消去参数b ，从而可得到离心率的值或取值范围.预测4.已知椭圆22)(y c x +-10)(22=+++y c x 的短轴长为b 2，那么直线03=++cy bx 截圆122=+y x所得的弦长等于____________.解析：由椭圆定义知210a =，所以5a =，于是22225b c a +==，圆122=+y x的圆心到直线03=++cy bx 的距离等于35d ==，故弦长等于85=.动向解读：本题考查椭圆定义、椭圆标准方程、直线与圆的位置关系等问题，是一道多知识点的综合性小题，这正体现了高考数学命题所追求的“在知识交汇点处命题”的原则.值得注意的是：本题中椭圆方程没有直接给出，而是要借助椭圆的定义进行分析求解，才能得到有关的参数值.预测5. （理科）已知椭圆2221(08x y b b+=<<的左、右焦点分别为F 1和F 2 ，以F 1 、F 2为直径的圆经过点M （0，b ）.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且MA MB ⋅=.求证：直线l 在y 轴上的截距为定值.解析：（1）由题设知b c =，又a =所以2b c ==，故椭圆方程为22184x y +=；（2）因为(0,2)M ，所以直线l 与x 轴不垂直.设直线l的方程为y kx m=+，1122(,),(,)A x yB x y .由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(21)4280k x kmx m +++-=，所以2121222428,2121km m x x x x k k -+=-=++，又0MA MB ⋅=，所以1122(,2)(,2)0x y x y -⋅-=，即1212122()40x xy y y y +-++=，121212()()2()40x x kx m kx m kx m kx m +++-++++=， 整理得221212(1)(2)()(2)0k x x k m x x m ++-++-=， 即22222284(1)(2)()(2)02121m kmk k m m k k -++--+-=++，因为2m ≠，所以2222(1)(2)4(21)(2)0km k m k m ++-++-=，展开整理得320m +=，即23m =-.直线l 在y 轴上的截距为定值23-. 预测 6. 已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e .（Ⅰ）若e =，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点. 若坐标原点O 在以MN为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围.解：（Ⅰ）由题意得3c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，得a = (2)分结合222a b c =+，解得212a =，23b =. ………………3分 所以，椭圆的方程为131222=+y x . ………………4分 （Ⅱ）由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0ba k x ab +-=.设1122(,),(,)A x y B x y .所以2212122220,a b x x x x b a k -+==+，………………6分依题意，OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥，………………7分因为211(3,)F A x y =-，222(3,)F B xy =-，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=. ………………8分即222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-，………………9分将其整理为42224242188********a a k a a a a -+==---+-. ………………10分因为2322≤<e ，所以a ≤<，21218a ≤<. ………………11分所以218k≥，即2(,(,]44k ∈-∞-+∞.预测7. 已知椭圆2222:1(0)xy C a b ab+=>>的离心率为e =与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；（Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若OP OM λ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为222x y b +=，∵直线20x y -+=与圆相切，∴d b ==，即b =，又c e a ==a =，222ab c =+，解得a =1c =， 所以椭圆方程为22132x y +=．（Ⅱ）设0(,)(0)P x y y≠，(A，B ，则2200132x y +=，即22223y x =-，则1k =，2k=即22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----，∴12k k 为定值23-． （Ⅲ）设(,)M x y，其中[x ∈．由已知222OPOMλ=及点P 在椭圆C上可得2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++，整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[x ∈．①当λ=26y =，所以点M的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；②当3λ≠时，方程变形为2222166313x y λλ+=-，其中[x ∈，当0λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤1λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆．预测8.已知椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于 不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ． (1) 求椭圆E 的方程；(2) 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ∆的面积的最大值. （1）解：∵椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =,∴12=. …… 2分解得2a =. ∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分（2）解法1：依题意，圆心为．由22,1,43x tx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩得221234ty-=. ∴圆C的半径为r=．…… 6分∵圆C与y轴相交于不同的两点,A B，且圆心C到y轴的距离d t=，∴0t<<，即0t<<∴弦长||AB===…… 8分∴ABC∆的面积12S=⋅…… 9分)2127t=-)221272t+-≤=. (12)分当且仅当=，即t=时，等号成立.∴ABC∆的面积的最大值为．…… 13分解法2：依题意，圆心为．由22,1,43x tx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩得221234ty-=.∴圆C的半径为r=．…… 6分∴圆C的方程为222123()4tx t y--+=．∵圆C与y轴相交于不同的两点,A B，且圆心C到y轴的距离d t=，∴0t<<，即0t<<在圆C的方程222123()4tx t y--+=中，令0x=，得2y=±，∴弦长||AB=．∴ABC∆的面积12S=⋅)2127t=-)221272t+-≤7=.=，即7t=时，等号成立.∴ABC∆．预测9. 已知抛物线)0(2:2>=ppyxC，其焦点F到准线的距离为21。
2011年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第五次适应
2011年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第五次适应性训练数学（理科）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．3 B ．1 C ．-3 D ．1或-3 2．已知{}n a 为等差数列,若1598a a a π++=,则28cos()a a +的值为 A ．21-B ．23-C ．21D ．233．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12222=-bx a y 的渐近线方程为A ．12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±4．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图像，则只需将()f x 的图像A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移12π个长度单位5．设p ∶210||2x x -<-，q ∶260x x +->，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．新学期开始，某校接受6名师大毕业生到校学习 。
学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为A ．18B ．15C ．12D ．97．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||||OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为A ．2BC ．2或2-D8.2a <<，则函数()2f x x =-的零点个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．49.P 为双曲线16922y x -=1的右支上一点,,M N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则PM PN -的最大值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．910．已知函数()f x 对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2011)f =A ．2B ．3C ．4D ．6第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上.11. 右图中的三个直角三角形是一个体积 为320cm 的几何体的三视图，则h= cm12．已知2348· （,a t 均为正实数），类比以上等式，可推测,a t 的值，则a t +＝ 13.在过去的184天里，我们走过了一段成功、精彩、难忘的世博之旅，190个国家、56个国际组织以及中外企业踊跃参展，200多万志愿者无私奉献，7308万参观者流连忘返，网上世博永不落幕，这一切共同铸就了上海世博会的辉煌.这段美好的时光将永远在我们心中珍藏！以下是国庆七天长假里入园人数部分统计表(入园人数单位：万人)若这七天入园人数的平均值比总体平均值少4.37万，则这七天入园人数的中位数为 （精确到0.01万人）参考数据：25.40+44.75+43.13+43.21+29.84+21.92=208.25 14．在二项式)n x +的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则n 的值为 .15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分.)A.（不等式选做题）不等式3642x x x --->的解集为 ．B.(几何证明选做题)如图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ， 弦CD ⊥AB 于点E ， 4PC =，8PB =， 则CE = .C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆4cos ρθ=的圆心到直线sin()4πρθ+=的距离为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本题满分12分)已知函数2()2sin()cos()()222f x x x x ααα=++++为偶函数，且[]πα,0∈（1）求α的值；（2）若x 为三角形ABC 的一个内角，求满足()1f x =的x 的值. 17．（本小题满分12分）甲、乙两个盒子里各放有标号为1，2，3，4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码x 后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y ，设随机变量y x X -= （1）求2y =的概率；（2）求随机变量X 的分布列及数学期望.18．（本题满分12分）如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，CPAD PA 2==，CD =E 、F 分别是AB 、PD 的中点. （1）求证：AF //平面PCE ；（2）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （3）求四面体PEFC 的体积19．（本小题满分12分）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设21n nb a =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:1n n T n >+.20．（本小题共13分）已知ABC ∆的边AB 所在直线的方程 为360x y --=,(20)M ，满足MC BM =, 点(11)T -，在AC 所在直线上且0=⋅AB AT ．（1）求ABC ∆外接圆的方程； （2）一动圆过点(20)N -，，且与ABC ∆的 外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹方程Γ；（3）过点A 斜率为k 的直线与曲线Γ交于相异的,P Q 两点，满足6OP OQ ⋅>，求k 的取值范围． 21．（本小题满分14分）设函数2()2x k f x e x x =--. （1） 若0k =，求()f x 的最小值；（2） 若当0x ≥时()1f x ≥，求实数k 的取值范围.2011年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第五次适应性训练数学（理科）参考答案11．4 12. 71 13. 39.18 14. 515.A. 1|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B. 512 C.2三、解答题：16．解：（1）2()2sin()cos()()222f x x x x ααα=++++-sin(2))2sin(2)3x x x πααα=+++=++由()f x 为偶函数得,32k k Z ππαπ+=+∈,6k k Z παπ∴=+∈ 又 [0,]6παπα∈∴=（2）由()1f x = 得 1cos 22x =又 x 为三角形内角，(0,)x π∈566x x ππ∴==或 17．解：（1）(2)(2,2)(2,2)P y P x y P x y ====+≠=1231145454=⨯+⨯= （2）随机变量X 可取的值为0，1，2，3当X =0时，(,)(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)x y =121212122(0)454545455P X ∴==⨯+⨯+⨯+⨯= 当X =1时，(,)(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)x y =1111111111113(1)45454545454510P X ∴==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=同理可得11(2);(3)510P X P X ====231101231510510EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= 18. 解（1）设G 为PC 的中点，连结,FG EG ， F 为PD 的中点，E 为AB 的中点，FG ∴==// 1,2CD AE ==//12CDFG ∴==//,//AE AF GE ∴GE PEC ∴⊆平面，//AF PCE ∴平面；（2）2,PA AD AF PD ==∴⊥PA ABCD CD ABCD ∴⊥⊆平面，平面,PA CDAD CD PA AD A CD PAD AF PAD AF CD PD CD D AF PCD GE PCD GE PEC PCE PCD ∴⊥⊥=∴⊥⊆∴⊥=∴⊥∴⊥⊆∴⊥，平面，平面，，平面，平面，平面，平面平面；（3）由（2）知GE PCD EG PEFC ⊥平面，所以为四面体的高，//12122133PCF PCF GF CD GF PDEG AF GF CD S PD GF PEFC V S EG ∆∆⊥=====⋅==⋅=又，所以得四面体的体积 19.解：（1）由已知：对于*N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立∴21112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）② ①-②得21122----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2） ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列 又n=1时，21112S a a =+， 解得1a=1,∴n a n =.(*N n ∈) (2) 解：由（1）可知 21n b n=21111(1)1n n n n n >=-++ 11111(1)()()22311n nT n n n ∴>-+-++-=++20．解：（1） 0=⋅AB AT AT AB ∴⊥,从而直线AC 的斜率为3-． 所以AC 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=． 由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，得点A 的坐标为(02)-，， (2,0)BM MC M Rt ABC =∴∆为外接圆的圆心又r AM ===所以ABC ∆外接圆的方程为: 22(2)8x y -+=． （2）设动圆圆心为P ，因为动圆过点N ，且与ABC∆外接圆M 外切，所以PM PN =+PM PN -=． 故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为半焦距2c =的双曲线的左支．从而动圆圆心的轨迹方程Γ为221(0)22x y x -=<． (3)PQ 直线方程为：2y kx =-,设1122(,),(,)P x y Q x y由222(0)2x y x y kx ⎧-=<⎨=-⎩得22(1)460(0)k x kx x -+-=< 222122122212122101624(1)04016012261k k k k x x k x x k k OP OQ x x y y k ⎧⎪⎪-≠⎪∆=+->⎪⎪⎪∴+=<⎨-⎪⎪=>⎪-⎪+⎪⋅=+=>⎪-⎩解得：1k <<-故k 的取值范围为(1)-21．解：（1）0k =时，()x f x e x =-，'()1x f x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞上单调减小，在(0,)+∞上单调增加 故()f x 的最小值为(0)1f =（2）'()1x f x e kx =--，()x f x e k ''=-当1k ≤时，()0 (0)f x x ''≥≥，所以()f x '在[)0,+∞上递增， 而(0)0f '=，所以'()0 (0)f x x ≥≥，所以()f x 在[)0,+∞上递增， 而(0)1f =，于是当0x ≥时，()1f x ≥ . 当1k >时，由()0f x ''=得ln x k =当(0,ln )x k ∈时，()0f x ''<，所以()f x '在(0,ln )k 上递减，而(0)0f '=，于是当(0,ln )x k ∈时，'()0f x <，所以()f x 在(0,ln )k 上递减， 而(0)1f =，所以当(0,ln )x k ∈时，()1f x <. 综上得k 的取值范围为(,1]-∞.。
十年(2011-2020)数学高考真题分项详解专题34 极坐标系与参数方程(逐题详解)
专题34 极坐标系与参数方程参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用文理23 参数方程的求法，参数方程的应用文理23极坐标系与参数方程极坐标系与参数方程直线与圆的位置关系，圆的参数方程，点的轨迹方程求法参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的考点116 平面直角坐标系中的伸缩变换 考点117 极坐标和直角坐标的互化1．（2020全国Ⅱ文理21）已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．2．（2020全国Ⅲ文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数且1t ≠），C 与坐标轴交于,A B 两点．（1）求AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．3．（2020江苏22）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．4．（2019全国II 文理22）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．5．(2019全国III 文理22）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．考点118 参数方程与普通方程的互化6．（2020上海14）已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是（ ）A ． 1314x ty t =+⎧⎨=-+⎩ B ．1413x ty t =-⎧⎨=--⎩ C ． 1314x ty t =-⎧⎨=-+⎩ D ． 1413x ty t =+⎧⎨=--⎩7．（2018全国Ⅲ）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．考点119 极坐标方程与参数方程的综合应用8．（2018北京文理）在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =___．9．（2017北京文理）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0)），则||AP 的最小值为___________．10．（2017天津文理）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____．11．（2016北京文理）在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则||AB = ．12．（2015广东文理）已知直线l 的极坐标方程为2sin()4πρθ-=Α的极坐标为7)4πA (，则点Α到直线l 的距离为 ． 13．（2015安徽文理）在极坐标系中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 ． 14．（2020全国Ⅰ文理21）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．15．（2019全国1文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．16．(2018全国Ⅰ文理) 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．2cos sin 110ρθθ+=17．（2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．18．（2018江苏）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．19．（2017全国Ⅰ文理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l ，求a ．20．（2017全国Ⅱ文理）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．21．（2017全国Ⅲ文理）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．22．（2017江苏）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．23．（2016全国I 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=． （I ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（II ）直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．24．（2016全国II 文理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，10AB =，求l 的斜率．25．（2016全国III 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．26．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．27．（2015全国Ⅰ文理）在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN ∆的面积．28．（2015全国Ⅱ文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠0）其中0απ<≤，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C：ρθ=． （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．29．（2015江苏）已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径．30．（2015陕西文理）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=．（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．31．（2014全国Ⅰ文理）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．32．（2014全国Ⅱ文理）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．33．（2013全国Ⅰ文理）已知曲线1C 的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为．（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0ρ≥，02θπ≤≤）．34．（2013全国Ⅱ文理）已知动点，都在曲线： 上，对应参数分别为与（02απ<<）为的中点．（Ⅰ）求的轨迹的参数方程（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．35．（2012全国文理）已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ．正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π． （Ⅰ）求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围．45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩t x 2sin ρθ=P Q C ()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数βα=2βα=M PQ M M d αM36．（2011全国文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为（为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足，P 点的轨迹为曲线2C (Ⅰ)求2C 的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求． 2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩α2OP OM =3πθ=AB。
山西省各地市2011年高考数学直线与圆最新联考分类汇编(9)
y x 0M F 1F 2PN山西省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第9部分:直线与圆一、选择题：二、解答题：20．(山西大学附属中学2011年高三模拟考试文科)（本小题满分12分）已知椭圆方程为222116x y b +=(40)b >>，P 为椭圆上的动点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，当点P 不在x 轴上时，过F 1作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线F 1M ，垂足为M ，当点P 在x 轴上时，定义M 与P 重合．（Ⅰ）求M 点的轨迹T 的方程；（Ⅱ）已知(0,0)O 、(2,1)E ，试探究是否存在这样的点Q ：Q 是轨迹T 内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ 的面积2OEQ S ∆=？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）当点P 不在x 轴上时，延长F 1M 与F 2P 的延长线相交于点N,连结OM ， ∵1NPM MPF ∠=∠,1NMP PMF ∠=∠ ∴PNM ∆≌1PF M ∆ ∴M 是线段1NF 的中点，1||||PN PF =|， ∴ OM =21N F 2 =()PN P F +221=()1221PF P F + ∵点P 在椭圆上∴21PF PF +＝8 ∴OM ＝4，当点P 在x 轴上时，M 与P 重合∴M 点的轨迹T 的方程为：2224x y +=．（Ⅱ）连结OE ，易知轨迹T 上有两个点A (4,0)-，B (4,0)满足2OEA OEB S S ∆∆==,分别过A 、B 作直线OE 的两条平行线1l 、2l .∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线1l 、2l 上. ∵12OE k =∴直线1l 、2l 的方程分别为： 1(4)2y x =+、1(4)2y x =- 设点(,)Q x y （,x y Z ∈ ）∵Q 在轨迹T 内，∴2216x y +< 分别解22161(4)2x y y x ⎧+<⎪⎨=+⎪⎩与22161(4)2x y y x ⎧+<⎪⎨=-⎪⎩，得2425x -<< 与2245x -<< ∵,x y Z ∈∴x 为偶数，在2(4,2)5-上2,,0,2x =-对应的1,2,3y = 在2(2,4)5-上2,0,2x =-，对应的3,2,1y =--- ∴满足条件的点Q 存在，共有6个，它们的坐标分别为： (2,1),(0,2),(2,3),-(2,3),(0,2),(2,1)----．。
高三数学专题复习：第一部分专题五
解答题的命制应该是关于直线与圆、直线与圆
锥曲线的方程的综合性问题．
第一部分•专题突破方略
真题再现
1．(2011年高考安徽卷)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2 ＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( A．－1 C．3 B．1 D．－3 )
第一部分•专题突破方略
专题五 解析几何
第一部分•专题突破方略
命题透视
随着新课程改革的推进，高考对解析几何的考查
要求也有了很大的变化，其中对直线方程、圆的
方程的考查要求加强了．近几年高考对圆锥曲线
的考查仍然势头不减，在选择题、填空题中有1～
2道，
第一部分•专题突破方略
另外还有一道涉及直线、圆、椭圆、双曲线、
2
第一部分•专题突破方略
3－ 41 3＋ 41 ∴x1＝ ，x2＝ . 2 2 ∴线段 AB 的长度为|AB|＝ x1－x2 ＋y1－y2 ＝
2 2
1＋16 x1－x22＝ 25
41 41 ×41＝ . 25 5
第一部分•专题突破方略
本部分内容讲解结束
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∵P 在圆上， 5 2 x 2 y2 2 ∴x ＋ 4y ＝25，即轨迹 C 的方程为 ＋ ＝ 25 16 1.
第一部分•专题突破方略
4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y＝ (x－ 5 5 3)， 设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 4 将直线方程 y＝ (x－3)代入 C 的方程，得 5 x2 x－3 ＋ ＝1，即 x2－3x－8＝0. 25 25
动点轨迹问题
动点轨迹问题专题讲解北京市日坛中学数学组 张留杰一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：（1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可．（5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠） （C ）22116925x y +=（0y ≠） （D ）221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；5．已知圆C ：22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y +=6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >）变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．212y x =8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．4kx =（28k y >）9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时， 弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-． 当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF y k k x ==-， 所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||E F AE =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC = ， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x yG ．∵ GM AB λ= ，点M 在x 轴上，∴ (,0)3x M ．∵ ||||MA MC = ，(0,1)A -，∴= 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法） （2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ．由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=． ∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k +=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k-+=++=+=++， ∴ 223(,)1313kb b N k k -++．∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥，∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k ++=--+，∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠． ∴ 20134k <+<且2132k +≠，解得11k -<<且k ≠． 故k 的取值范围是11k -<<且k ≠．5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ= ．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+ ，(0,4)MN = ，(,2)PN x y =--, 48MP MN y ⋅=+．PN MN ⋅=，……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅ ，∴48y+=整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0M N A F =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解：∵0MN AF ⋅= ，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +=== ，||||MA MF = ， ∴ ||||2||ME MF m EF +=> ，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+- ， 且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=；（2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾．故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k=-+， OP OA OB =+，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=．1122(,),(,)OA x y OB x y ==， ∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+= ．即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k k k k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得k =． 故存在直线l：3y x =+，使得四边形OAPB 是矩形．8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF=2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ = ，点P 满足：//PQ EF ，0PM FQ ⋅=．（I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围．解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．∵ FM MQ = ，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2x M ．∵0PM FQ ⋅= ，∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =． （2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y 由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得1242121-==+∴x x k x x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x y x y x841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484cos 2222++-=+--==∴k k k k θ…………10分 由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅= ，||||PM PN =．（1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-，且||AB ≤求直线l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =-- ，(1,)2y PF =- ，又0PM PF ⋅= ，∴204y x -+=，即动点N24y x =．（2）10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP += ．（1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围． 解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =- 、(, 1)MF a =-、 (, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b x a b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =， 故动点P 的轨迹方程为214y x =． （2）11．如图()A m和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=- ，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程．解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-，∴ 14mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB =+ 得(,)(3)3)x y m n =+(())m m n =+-，∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=， 又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>． 它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为 又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==--∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧 212121212(2)(2)2()4x x t y t y t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---，∴ 2310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN = 得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-，由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得2222363(31)31t t t =---考虑几何求法！！ 解之得：2115t = ，满足2103t <<．故所求直线l0y --=0y +-=．12．设A ，B分别是直线5y x =和5y x =-上的两个动点，并且||AB = 点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．（I ） 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线y x =和y x =上的点，故可设11(,)5A x x，22(,)5B x x -． ∵OP OA OB =+ ，∴1212,)x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又AB = ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=．（II ） 设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)． 故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ 消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=． 又 4t ≤， ∴421517≤-λλ． 解得 3553≤≤λ（1≠λ）． 故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）．13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2． （1）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；（3y x =±） （2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y +=）提示：||1010AB =⇒=，又113y x=-，223y x =，则1221)y y x x +=-，2112)y y x x -=+． 又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在）14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l 的距离为d ，已知||2PF d =，且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）若13PF OF ⋅= ，求向量OP 与OF 的夹角；（3）如图所示，若点G 满足2GF FC =，点M 满足3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P ，求△PGF 的面积．15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）．（1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅ ．（1）求双曲线C 的方程；（2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围． 解：（I ）依题意有：2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分显然23k 10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ① 设线段MN 中点D （00x ,y ）则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ②把②带入①中得 222k b +b k0>， 解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k -．即k 3>或1k 2<，且k≠0．∴k的取值范围是11(,(,0)(0,)()3223-∞--+∞ ．…………………14分17．已知向量OA=(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数.（Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅= ，1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+ ．（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角； （3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-．∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=，解得01F ky y k -=，∴ 202(1)F ky x k-=，∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)． 所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-． 所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠== 当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=- 由2002y y x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->． 点评：这是一道重要的数学问题,几乎是高考数学每年的必考内容之一,此类问题一定要“大胆假设,细心求解”,根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根据题目把所有的条件都变成等式,一定可以求出来,当然求的过程中,采取适当的小技巧,例如化简或适当分类讨论,可以大为简化过程,而且会尽量多多得分,同时这一类题目也需要很强的计算能力.20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M满足关系式EM EB EB '=+ ．（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF = ，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。
高考数学一轮复习第五章专题五平面向量中的范围与最值问题课件
答案：D
【题后反思】对于求向量数量积取值范围的题目，可考虑通 过建立平面直角坐标系来求解.若题目的设问与已知直线上的动点 相关，则可求出已知直线的方程后，利用直线方程表示已知直线 上动点的坐标；若题目的设问与已知圆上的动点相关，则可利用 圆的参数方程表示圆上动点的坐标.例如，若点 P 为⊙M：(x－a)2 ＋(y－b)2＝r2 上的动点，则点 P 的坐标可表示为(a＋r cos θ，b＋ r sin θ).
4 t
cosθ＋
4－t2sin θ＝16－8sin (θ＋φ)，其中 cos φ＝
42－t2，
sin φ＝2t ，
又 θ∈0，2π，t∈[0，2]，∴cos φ，sin φ∈[0，1]， ∴φ∈0，2π，∴φ＋θ∈[0，π]， ∴sin (φ＋θ)∈[0，1]， ∴－sin (φ＋θ)∈[－1，0]， ∴P→E·P→F∈[8，16]，∴P→E·P→F的最小值为 8.故选 B.
A.3
B.3 2
C.1
D.3
解析：由题意知，A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋B→3C＝A→B＋A→C－3 A→B＝ 2A→3B＋A→3C，又A→M＝xA→B，A→N＝yA→C(x>0，y>0)，∴A→P＝2A3→xM＋A→3Ny ， 由 M，P，N 三点共线，得32x＋31y＝1，∴2x＋y＝(2x＋y)32x＋31y＝ 53＋23xy＋23yx≥53＋2 23xy·23yx＝3，当且仅当 x＝y 时等号成立.故 2x＋y 的最小值为 3.故选 A.
图 D27
设 E(t，0)(t∈[0，2])，又|EF|＝2，
所以|OF|＝
4－t2，可得
F 0，
4－t2，
∴P→E＝(t－4cos θ，－4sin θ)，P→F＝(－4cos θ， 4－t2－4sin θ).
2011年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解广东文
2011年广东文一、选择题（共9小题；共45分）1. 设复数z满足i z=1，其中i为虚数单位，则z= A. −iB. iC. −1D. 12. 已知集合A=x,y x,y为实数,且x2+y2=1，B=x,y x,y为实数,且x+y=1，则A∩B的元素个数为 A. 4B. 3C. 2D. 13. 已知向量a=1,2，b=1,0，c=3,4．若λ为实数， a+λb∥c，则λ= A. 14B. 12C. 1D. 24. 函数f x=11−x+lg1+x的定义域是 A. −∞,−1B. 1,+∞C. −1,1∪1,+∞D. −∞,+∞5. 不等式2x2−x−1>0的解集是 A. −12,1 B. 1,+∞C. −∞,1∪2,+∞D. −∞,−12∪1,+∞6. 已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2,y≤2,x≤2y给定．若M x,y为D上的动点，点A的坐标为2,1，则z=OM⋅OA的最大值为 A. 3B. 4C. 3D. 47. 正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 A. 20B. 15C. 12D. 108. 设圆C与圆x2+y−32=1外切，且与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为 A. 抛物线B. 双曲线C. 椭圆D. 圆9. 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A. 43B. 4C. 23D. 2二、填空题（共5小题；共25分）10. 已知a n是递增的等比数列，a2=2，a4−a3=4，则此数列的公比q=．11. 设函数f x=x3cos x+1．若f a=11，则f−a=．12. 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：时间 x12345命中率 y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为．13. 已知两曲线参数方程分别为x=5cosθ,y=sinθ0≤θ<π和x=54t2,y=tt∈R，它们的交点坐标为．14. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2，E、F分别为AD、BC上的点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=2sin13x−π6，x∈R．（1）求f0的值；（2）设α，β∈0,π2，f3α+π2=1013，f3β+2π=65，求sinα+β的值．16. 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n n=1,2,⋯,6的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号 n12345成绩 x n7076727072（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间68,75中的概率．17. 图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A,Aʹ,B,Bʹ分别为CD,CʹDʹ,DE,DʹEʹ的中点，O1,O1ʹ,O2,O2ʹ分别为CD,CʹDʹ,DE,DʹEʹ的中点．（1）证明：O1ʹ,Aʹ,O2,B四点共面；（2）设G为AAʹ中点，延长AʹO1ʹ到Hʹ，使得O1ʹHʹ=AʹO1ʹ．证明：BO2ʹ⊥平面HʹBʹG．18. 设a>0，讨论函数f x=ln x+a1−a x2−21−a x的单调性．n≥2．19. 设b>0，数列a n满足a1=b，a n=nb a n−1a n−1+n−1（1）求数列a n的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．20. 在平面直角坐标系xOy中，直线l:x=−2交x轴于点A．设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP．（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T1,−1，设H是E上动点，求 HO + HT 的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T1,−1且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k 的取值范围．答案第一部分1. A 【解析】z=1i =−ii×−i=−i．2. C 【解析】A∩B的元素个数等价于圆x2+y2=1与直线x+y=1的交点个数，显然有2个交点．3. B 【解析】a+λb=1+λ,2，由 a+λb∥c，得6−41+λ=0，解得λ=12．4. C 【解析】1−x≠01+x>0⇒x>−1且x≠1，则f x的定义域是−1,1∪1,+∞．5. D【解析】2x2−x−1>0即x−12x+1>0，所以x<−12或x>1．则不等式的解集为 −∞,−12∪1,+∞．6. B 【解析】z=x+y即y=−x+z，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y=−2x+z经过点M 2,2时，z取得最大值．7. D 【解析】正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有5×2=10条．8. A 【解析】依题意得，动圆圆心C到点0,3的距离与它到直线y=−1的距离相等，则C的圆心轨迹为抛物线．9. C 【解析】该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积S=12×2×23=23，四棱锥的高为3，则该几何体的体积V=13S =13×23×3=2 3.第二部分10. 211. −9【解析】由题可得，f a=a3cos a+1=11，则f−a=−a3cos a+1=−9．12. 0.5，0.53【解析】小李这5天的平均投篮命中率y=150.4+0.5+0.6+0.6+0.4=0.5，时间的平均数是x=3．所以b=x−x y−y5i=1x−x25i=1=0.2+0+0+0.1+−0.2−22+−12+0+12+22=0.01,从而a=y−b x=0.47．所以，线性回归方程为y=0.01x+0.47，则当x=6时，y=0.53．13. 1,255【解析】x=5cosθy=sinθ表示椭圆x25+y2=1（−5<x≤5,且0≤y≤1）；x=54t2y=t 表示抛物线y2=45x．椭圆方程与抛物线方程联立解方程组即得．14. 75【解析】如图，分别延长AD、BC，且AD∩BC=P．因为CDEF =23,所以S△PCDS△PEF=49；因为CDAB=24,所以S△PCD S△PAB =416，所以S梯形ABEFS梯形EFCD=75．第三部分15. （1）f0=2sin −π=−1.（2）因为f3α+π=2sin13α+π−π=2sinα=1013,所以sinα=5 13 .因为f3β+2π=2sin 133β+2π−π6=2sin β+π2=2cosβ=6 5 ,所以cosβ=3 .因为α,β∈0,π2，所以cosα=1−sinα=12 13,sinβ=1−cos2β=4 ,所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=513×35+1213×45=63 65.16. （1）1670+76+72+70+72+x6=75，解得x6=90．标准差s=1x1−x2+x2−x2+⋯+x6−x2=1652+12+32+52+32+152=7.（2）前5位同学中随机选出的2位同学记为a,b，a,b∈1,2,3,4,5且a≠b，则基本事件有1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5共10种．这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间68,75中．设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间68,75中”．则A中的基本事件有1,2、2,3、2,4、2,5共4种，则P A=410=25．17. （1）连接BO2,O2O2ʹ，依题意得O1,O1ʹ,O2,O2ʹ是圆柱底面圆的圆心，即CD,CʹDʹ,DE,DʹEʹ是圆柱底面圆的直径．∵Aʹ,B,Bʹ分别为CʹDʹ,DE,DʹEʹ的中点，∴∠AʹO1ʹDʹ=∠BʹO2ʹDʹ=90∘．∴AʹO1ʹ∥BʹO2ʹ．∵BBʹ平行且等于O2O2ʹ，四边形O2O2ʹBʹB是平行四边形，∴BO2∥BʹO2ʹ,∴AʹO1ʹ∥BO2，∴O1ʹ,Aʹ,O2,B四点共面．（2）延长AO1到H，使得O1H=AO1，连接HHʹ,HO1ʹ,HB，∵O1ʹHʹ=AʹO1ʹ，∴O1ʹHʹ平行且等于O2ʹBʹ,∴四边形O1ʹO2ʹBʹHʹ是平行四边形，∴O1ʹO2ʹ∥HʹB．∵O1ʹO2ʹ⊥O2O2ʹ,O1ʹO2ʹ⊥BʹO2ʹ,O2O2ʹ∩BʹO2ʹ=O2ʹ，∴O1ʹO2ʹ⊥平面O2O2ʹBʹB，∴HʹBʹ⊥平面O2O2ʹBʹB，∵BO2ʹ⊂平面O2O2ʹBʹB，∴BO2ʹ⊥HʹBʹ，易知四边形AAʹHʹH是正方形，且边长AAʹ=2因为tan∠HO1ʹHʹ=HHʹ1=2,tan∠AʹHʹG=AʹGAʹHʹ=12,所以tan∠HO1ʹHʹ⋅tan∠AʹHʹG=1,∴∠HO1ʹHʹ+∠AʹHʹG=90∘，∴HO1ʹ⊥HʹG，易知O1ʹO2ʹ∥HB,四边形O1ʹO2ʹBH是平行四边形∴BO2ʹ∥HO1ʹ∴BO2ʹ⊥HʹG，而HʹG∩HʹBʹ=Hʹ，∴BO2ʹ⊥平面HʹBʹG．18. 函数f x的定义域为0,+∞，fʹx=1x+2a1−a x−21−a=2a1−a x2−21−a x+1.令g x=2a1−a x2−21−a x+1，则Δ=41−a2−8a1−a=12a2−16a+4=43a−1a−1.①当0<a<13时，Δ>0,令fʹx=0，解得x=1−a±3a−1a−1.则当0<x<1−a−2a1−a 或x>1−a+2a1−a时，fʹx>0．当1−a− 3a−1a−12a1−a <x<1−a+3a−1a−12a1−a时，fʹx<0．则f x在0,1−a− 3a−1a−12a1−a ,1−a+3a−1a−12a1−a,+∞ 上单调递增，在1−a− 3a−1a−12a1−a ,1−a+3a−1a−12a1−a上单调递减；②当13≤a≤1时，Δ≤0,fʹx≥0,则f x在0,+∞上单调递增；③当a>1时，Δ>0，令fʹx=0，解得x=1−a±2a1−a.因为x>0，所以x=1−a−2a1−a则当0<x<1−a− 3a−1a−12a1−a 时，fʹx>0，当x>1−a− 3a−1a−12a1−a时，fʹx<0．则f x在0,1−a−2a1−a 上单调递增，在1−a−2a1−a,+∞ 上单调递减．19. （1）因为a n=nb a n−1a n−1+n−1，所以a n n =ba n−1a n−1+n−1,所以n n =1⋅n−1n−1+1.①当b=1时，n n −n−1n−1=1,则na n是以1为首项，1为公差的等差数列，所以na n=1+n−1×1=n,即a n=1;②当b>0且b≠1时，n a n +11−b=1bn−1a n−1+11−b,当n=1时，1 a1+11−b=1b1−b,所以na n +11−b是以1b1−b为首项，1b为公比的等比数列，所以n n +1=1⋅1n,所以n a n =11−b b n−11−b=1−b n1−b b n,所以a n=n1−b b n 1−b n.综上所述，a n=n1−b b n1−b n,b>0 且 b≠1, 1,b=1.（2）①当b=1时，2a n=b n+1+1=2;②当b>0且b≠1时，1−b n=1−b1+b+⋯+b n−2+b n−1.要证2a n≤b n+1+1，只需证2n1−b b n1−b≤b n+1+1，即证2n1−b≤b+1 ,即证2nn−2n−1≤b+1n,即证b+1n1+b+⋯+b n−2+b n−1≥2n,即证b+b2+⋯+b n−1+b n+1n+1n−1+⋯+12+1≥2n.因为 b+b2+⋯+b n−1+b n+1b n+1b n−1+⋯+1b2+1b= b+1b+ b2+1b2+⋯+ b n−1+1b n−1+ b n+1b n≥2b⋅1b+2b2⋅1b2+⋯+2b n−1⋅1b n−1+2b n⋅1b n=2n,所以原不等式成立，所以对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1.20. （1）如图所示，连接OM，则 PM = OM ．因为∠MPO=∠AOP,所以动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上，设M x,y．①当MP⊥l时， MP = x+2， OM = x2+y2，根据题意有x+2= x2+y2,化简得y2=4x+4x≥−1;②当M在x的负半轴上时，y=0x<−1.综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=4x+4x≥−1 或 y=0x<−1.（2）由（1）知M的轨迹是顶点为−1,0，焦点为原点的抛物线和x轴的负半轴上满足y= 0x<−1的点集．①若H是抛物线上的动点，过H作HN⊥l于N，由于l是抛物线的准线，根据抛物线的定义有 HO = HN ，则HO + HT = HN + HT .当N,H,T三点共线时， HN + HT 有最小值TN =3,,−1．求得此时H的坐标为 −34②若H是x的负半轴y=0x<−1上的动点显然有HO + HT >3.,−1．综上所述， HO + HT 的最小值为3，此时点H的坐标为 −34（3）如图，普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版设抛物线顶点A −1,0 ，则直线AT 的斜率是k AT =−12. 因为点T 1,−1 在抛物线内部，所以过点T 且不平行于x 、y 轴的直线l 1必与抛物线有两个交点． 直线l 1与轨迹E 的交点个数应当分以下四种情况讨论： ①当k ≤−12时，直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同的交点； ②当−12<k <0时，直线l 1与轨迹E 有且只有三个不同的交点； ③当k =0时，直线l 1与轨迹E 有且只有一个交点； ④当k >0时，直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同的交点． 综上所述，直线l 的斜率k 的取值范围是 −∞,−12 ∪ 0,+∞ ．。
2011届高考数学知识点分类指导复习6
高考数学知识点分类指导7、焦半径（1）已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答：353）；（2）已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（答：7,(2,4)±）；（4）点P 在椭圆192522=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______（答：2512）；（5）抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______（答：2）；（6）椭圆13422=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为_______（答：)1,362(-）； 8、焦点三角形（1）短轴长为5，离心率32=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为________（答：6）；（2）设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=⋅F F PF ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 （答：224x y -=）；（3）椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当PF 2→ ·PF 1→ <0时，点P 的横坐标的取值范围是 （答：()）；（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝26，F 1、F 2是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝__________（答：；（5）已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ，31221=∆F PF S ．求该双曲线的标准方程（答：221412x y -=）； 9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：10、弦长公式：（1）过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（2）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABC 重心的横坐标为_______（答：3）；11、圆锥曲线的中点弦问题：（1）如果椭圆221369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：280x y +-=）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：2）；（3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13422=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称（答：1313⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭）； 特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！12．你了解下列结论吗？ 与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,3(-的双曲线方程为_______（答：224194x y -=） 13．动点轨迹方程：已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．（答：212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<）；线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：22y x =）； (1)由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为 （答：224x y +=）；（2）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______ （答：216y x =）；(3) 一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；动点P 是抛物线122+=x y 上任一点，定点为)1,0(-A ,点M 分−→−PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为__________（答：3162-=x y ）； （1）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹。
2011年高考数学汇编：解析几何
（安徽）双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)（福建）设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于 A.1322或 B.23或 2C.12或2 D.2332或（湖北）将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A. n=0 B. n=1 C. n=2 D. n ≥3（湖南）设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
（江西）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33(⋃-C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞⋃--∞ 答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33,00,3310.（江西）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )答案：A解析：根据小圆 与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M 点的轨迹是个大圆，而N 点的轨迹是四条线，刚好是M 产生的大圆的半径。
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2011届安徽高考数学一轮复习专题精练——“冰凌孤雪”制作 1 2011届高考数学第一轮课时精练测试题 专题五 点的轨迹 一、选择题 (每小题6分，共36分)
1．方程|y|－1＝1－(x－1)2表示的曲线是( ) A．抛物线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆
【解析】 原方程等价于 |y|－1≥0，(|y|－1)2＋(x－1)2＝1.
即 y≥1，(x－1)2＋(y－1)2＝1；或 y≤－1，(x－1)2＋(y＋1)2＝1. 【答案】 D 2．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与
点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP→＝2PA→，且OQ→·AB→＝1，则P点的轨迹方程是( ) A．3x2＋32y2＝1(x＞0，y＞0)
B．3x2－32y2＝1(x＞0，y＞0) C.32x2－3y2＝1(x＞0，y＞0) D.32x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) 【解析】 如图所示，若P(x，y)，则A32x，0，B(0,3y)， AB→＝－32x，3y，OQ＝→(－x，y)， ∵OQ→·AB→＝1，∴32x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)， 即为点P轨迹方程． 【答案】 D 3．若直线y＝kx＋1与曲线x2＋y2＋kx－y＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于( ) A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 由 y＝kx＋1x2＋y2＋kx－y＝0消去y得 (1＋k2)x2＋2kx＝0， ∴x1＝0，x2＝－2k1＋k2. 2011届安徽高考数学一轮复习专题精练——“冰凌孤雪”制作 2 ∵两个交点关于y轴对称， ∴x1＝－x2，∴k＝0. 【答案】 A
4．已知两点M1，54、N－4，－54，给出下列曲线方程： ①4x＋2y－1＝0；②x2＋y2＝3；③x22＋y2＝1；④x22－y2＝1. 曲线上存在点P满足|MP|＝|NP|的所有曲线方程是( ) A．①②③ B．②④ C．①③ D．②③④ 【解析】 由题意知P点必在线段MN的垂直平分线上，
∵MN的中点为－32，0，斜率为12，∴MN的垂直平分线方程是y＝－2x－3，它显然与
①中直线平行，∴排除A、C；注意到选项B、D的区别，考虑方程组 y＝－2x－3，x22＋y2＝1，解得
x＝－
4
3
y＝－13
，∴③中曲线上存在符合题设条件下的P点，选D.
【答案】 D 5．方程y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所确定的曲线有两个交点，则a的取值范围是( ) A．a＞1 B．0＜a＜1 C．∅ D．0＜a＜1或a＞1
【解析】 当x≥0时，解 y＝ax，y＝x＋a，得x＝aa－1，只有a＞1时才有解；
当x＜0时，解 y＝－ax，y＝x＋a，得x＝－aa＋1＜0. 故当a＞1时，两曲线才有两个交点． 【答案】 A
6．已知曲线C1：F1(x，y)＝0，C2：F2(x，y)＝0，那么“点M的坐标是方程组
F1(x，y)＝0
F2(x，y)＝0
的解”是“点M是曲线C1和C2的交点”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2011届安徽高考数学一轮复习专题精练——“冰凌孤雪”制作 3 【解析】 点M的坐标是方程组 F1(x，y)＝0F2(x，y)＝0的解， ∴点M在曲线C1上同时又在曲线C2上， ∴点M是曲线C1和C2的交点，
∴“点M的坐标是方程组 F1(x，y)＝0F2(x，y)＝0的解”是“点M是曲线C1和C2的交点”的充分条件． 反之，若点M是曲线C1和C2的交点， ∴点M(x0，y0)的坐标满足F1(x0，y0)＝0和F2(x0，y0)＝0，
故是方程组 F1(x，y)＝0F2(x，y)＝0的解，
∴“M点的坐标是方程组 F1(x，y)＝0F2(x，y)＝0的解”是“点M是曲线C1和C2的交点”的必要条件． 故“点M的坐标是方程组 F1(x，y)＝0F2(x，y)＝0的解”是“点M是曲线C1和C2的交点”的充要条件． 【答案】 C 二、填空题 (每小题6分，共18分) 7．曲线C1的方程为f(x，y)＝0，曲线C2的方程为φ(x，y)＝0，点M的坐标为(a，b)，
命题p：M∉C1∩C2；命题q： f(a，b)≠0φ(a，b)≠0，则p是q的________条件． 【解析】 由q：M∉C1且M∉C2，∴M∉C1∩C2，p成立． 由p：可能有M∈C1但M∉C2或M∈C2但M∉C1，q不一定成立． ∴p是q的必要非充分条件． 【答案】 必要非充分
8．已知A(2，－1)，B(－1,1)，O为坐标原点，动点M满足OM→＝mOA→＋nOB→，其中m，n∈R且2m2－n2＝2，则M的轨迹方程为________． 【解析】 设M(x，y)，则(x，y)＝m(2，－1)＋n(－1,1)
∴ x＝2m－ny＝n－m⇒ m＝x＋yn＝x＋2y，代入2m2－n2＝2， 得x2－2y2＝2. 【答案】 x2－2y2＝2 9．已知⊙O′的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向2011届安徽高考数学一轮复习专题精练——“冰凌孤雪”制作 4 ⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________． 【解析】 由已知得⊙O′的圆心为(0,0)，半径为2，⊙O的圆心为(4,0)，半径为6， 由切线长相等得|PO|2－2＝|PO′|2－6，即|PO′|2－|PO|2＝4，设P(x，y)．
则(x－4)2＋y2－(x2＋y2)＝4，化简为x＝32.
【答案】 x＝32 三、解答题 (10,11每题15分，12题16分，共46分) 10．设F(m,0)(m>0)为定点，P，M，N为动点，且P，M分别在y轴和x轴上，若PM→·PF→
＝0，PN→＋PM→＝0，求点N的轨迹C的方程． 【解析】 设N(x，y)，M(x0,0)，P(0，y0)，
则PM→＝(x0，－y0)，PF→＝(m，－y0)，PN→＝(x，y－y0)， 由PM→·PF→＝0，得mx0＋y20＝0， 由PN→＋PM→＝0，得(x0＋x，y－2y0)＝0，
∴将 x0＝－xy0＝y2代入mx0＋y20＝0，得y2＝4mx即为所求． 11．等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？ 【解析】 设另一端点C的坐标为(x，y)，依题意得|AC|＝|AB|，由两点间的距离公式得 (x－4)2＋(y－2)2＝(4－3)2＋(2－5)2， 两边平方得(x－4)2＋(y－2)2＝10， 这是以点A(4,2)为圆心，以10为半径的圆． 又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，即点B，C不能重合，且B，C不能为⊙A的一直径的两端点． 因为B，C不能重合，所以C点的横坐标x≠3. 又因为点B，C不能为一直径的两端点，
所以x＋32≠4，点C的横坐标x≠5， 故另一端点C的轨迹方程是 (x－4)2＋(y－2)2＝10，但需去掉点(3,5)，(5，－1)． 故C的轨迹是以点A(4,2)为圆心，以10为半径的圆除去(3,5)和(5，－1)两点．
12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足OF→＝(1,0)，OT→＝(－1，2011届安徽高考数学一轮复习专题精练——“冰凌孤雪”制作 5 t)，FM→＝MT→，PM→⊥FT→，PT→∥OF→. (1)当t变化时，求点P的轨迹C的方程； (2)若过点F的直线交曲线C于A、B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列． 【解析】 (1)设点P的坐标为(x，y)，
由FM→＝MT→，得点M是线段FT的中点，则M0，t2，PM→＝－x，t2－y. 又FT→＝OT→－OF→＝(－2，t)，PT→＝(－1－x，t－y)， 由PM→⊥FT→，得2x＋tt2－y＝0. ① 由PT→∥OF→，得(－1－x)×0＋(t－y)×1＝0， ∴t＝y. ② 由①②消去t，得y2＝4x即为所求点P的轨迹C的方程． (2)证明：设直线TA、TF、TB的斜率依次为k1，k，k2，并记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k
＝－t2. 设直线AB的方程为x＝my＋1，
由 y2＝4x，x＝my＋1，得y2－4my－4＝0.
∴ y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. ∴y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋8. k1＋k2＝y1－tx1＋1＋y2－tx2＋1
＝(y1－t)y224＋1＋(y2－t)y214＋1y214＋1y224＋1 ＝4y1y2(y1＋y2)－4t(y21＋y22)＋16(y1＋y2)－32ty21y22＋4(y21＋y22)＋16 ＝－t＝2k. ∴k1，k，k2成等差数列．