第二十四章 圆 24.1.4 圆周角——圆周角定理及其推论(导学案)
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角的概念和圆周角的定理(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角相关的实际问题，如如何计算某个特定圆周角的度数。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用量角器和圆规来测量和验证圆周角定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《圆周角的概念和圆周角的定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算圆上角度的情况？”比如，在制作圆形桌面或设计轮子时。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆周角的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆周角的概念：确保学生理解圆周角的定义，即顶点在圆上，两边分别与圆相交的角。
-圆周角定理：强调圆周角等于其所对圆心角的一半，这是本节课的核心知识点。
-定理的应用：培养学生将圆周角定理应用于解决具体问题，如计算圆周角或圆心角的度数。
举例：通过图形展示，让学生观察并总结出圆周角的定义，进而引导他们理解圆周角定理。在实际例题中，如给出一个圆和其上的圆周角，要求学生计算圆周角或圆心角的度数，强化定理的应用。
首先，关于导入新课的部分，我通过提出与生活相关的问题来激发学生的兴趣，这是一个很好的开始。我发现学生们对这个问题产生了浓厚的兴趣，积极思考圆周角在日常生活中的应用。但在今后的教学中，我还可以尝试更多元化的导入方式，比如利用多媒体展示一些实际案例，让学生更直观地感受到圆周角的应用。
其次，在新课讲授环节，我注意到有些学生对圆周角定理的证明过程理解得不够透彻。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生逐步推导和证明圆周角定理，让他们在这个过程中锻炼逻辑思维能力。此外，对于重点难点的讲解，我要更加耐心和细致，尽可能用简单的语言让学生明白。
人教版数学九年级上册24.1.4：圆周角的概念和圆周角的定理(教案)
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
3.培养学生的数学抽象能力：让学生从具体的圆周角实例中抽象出一般性规律，理解圆周角与圆心角、弧和弦之间的关系，提升数学抽象思维。
4.培养学生的数学建模能力：通过解决与圆周角相关的问题，使学生能够建立数学模型，运用所学知识解决实际问题，提高数学应用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆周角的概念：强调圆周角定义中“顶点在圆上，两边分别与圆相交”的特点，以及与圆心角的关系。
a.圆周角定理：圆周角等于其所对的圆心角的一半。
b.圆周角推论：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力：通过观察圆周角与圆心角的关系，使学生能够直观理解圆周角的概念及定理，提高空间想象力和几何直观感知。
2.发展学生的逻辑推理能力：在学习圆周角定理及其推论的过程中，引导学生运用严密的逻辑推理，掌握证明方法，增强解决问题的能力。
-掌握圆周角定理的证明：学生需要掌握如何运用严密的逻辑推理证明圆周角定理，并能够灵活运用。
-圆周角推论的应用：学生需学会将圆周角推论应用于解决实际问题，如求弧长、弦长等。
举例1：针对圆周角定义的难点，教师可通过以下步骤帮助学生理解：
a.展示不同类型的角，让学生辨别哪些是圆周角，哪些是圆心角。
b.通过动态演示，让学生观察圆周角与圆心角的变化关系，加深理解。
24.1.4++第1课时 圆周角定理及其推论 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册
.∴ CD ＝ BD .
∴
∵在Rt△ BDC 中， BC ＝10， CD 2 ＋ BD 2 ＝ BC 2 ，
∴ BD ＝ CD ＝5 2 .
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8. 已知☉ O 的直径为10，点 A ， B ， C 在☉ O 上，∠ CAB 的
平分线交☉ O 于点 D .
，
易知点 C 是线段 AD 的中点，∴ C
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.
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13. 如图，☉ O 是△ ABC 的外接圆， AB 是☉ O 的直径，半径
OD ⊥ AC ，垂足为点 E ，连接 BD .
(1)求证： BD 平分∠ ABC ；
(1)证明：∵半径 OD ⊥ AC ，
.
＝
∴ AD 为☉ C 的直径.∴点 C 在 AD 上.
∵∠ D ＝∠ OBA ＝30°，∴ AD ＝2 OA .
∵点 D 的坐标为 ， ，
∴ OD ＝ .在Rt△ AOD 中，(2 OA )2－ OA2＝ OD2，即
(2 OA )2－ OA2＝3，解得 OA ＝1(负值已舍去).
∴ A (1，0).
∠ ACD ＝46°，则∠ DAB 的度数为(
A. 43°
B. 46°
C. 45°
D. 44°
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圆周角定理的推论
《24.1.4圆周角（二）》导学案【学习目标】理解圆周角定理的推论并能熟练应用【导学过程】一、复习回顾1、如图,在⊙O中，∠C、∠D、∠E都是所对的圆周角,∠C=500,求∠D和∠E的度数2、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，你能确定∠ACB的度数吗?二、归纳总结圆周角定理的推论1：，所对的圆周角相等；圆周角定理的推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是；900的圆周角所对的弦是__________三、巩固提高1、如图,正方形ABCD的顶点都在☉O上,P是弧DC上的一点,则∠BPC= .2、如图，若AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为________3、如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC、AD、BD的长.4、AB是⊙O的直径，CD⊥AB，=，求证：AF=CF(两种方法)四、链接中考1、（2011.宜宾）已知：在△ABC 中，以AC 边为直径的⊙O 交BC 于点D ，在劣弧上取一点E 使∠EBC = ∠DEC ，延长BE 依次交AC 于G ，交⊙O于H .求证：AC ⊥BH2、(2015·台州中考)如图，四边形ABCD 内接于☉O ，点E 在对角线AC 上，EC=BC=DC.(1)若∠CBD=39°，求∠BAD 的度数.(2)求证：∠1=∠2.五、自我检测1、已知：△ABC 为⊙O 内接三角形，AE 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，求证：∠BAE=∠DAC(两种方法)2、AD 是⊙O 直径，∠A=240，∠CBD=250，求∠E （两种方法）。
圆周角定理导学案
一、复习巩固
1、叫圆心角。
2、在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的度数。
二、自主探究
1、圆周角的概念
如图，P、Q是⊙O上两点，连接OP、OQ，∠POQ叫什么角？点A在⊙O外，点B1、B2、B3在⊙O上，点C在⊙O内，观察∠B1、∠B2、∠B３有什么共同的特征？
归纳得出结论，顶点在_______，并且两边____________的角叫做圆周角。
(2)∠BOC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
2.如图，点A、B、C在⊙O上，
(1)若∠BAC=60°，求∠BOC=______°;(2)若∠AOB=90°,求∠ACB=______°.
3.如图，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．
4.半径为2的⊙O中，弦AB的长为2 ，则弦AB所对的圆周角的度数是________．
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的相等，都等于这条弧所对的．
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定．
例题1、如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=75°，求∠ABD的度数.
三、巩固练习
教材课后练习
四、应用拓展
例题2、如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）．
A．140°B．110°C．120°D．130°
变式：弦AB与⊙O的半径相等，则弦AB所对的圆周角度数是；
五、课堂小结
本节主要掌握圆周角定理的题设和结论，并会应用它证明..
六、布置作业
教材第面第题
当堂检测
1.如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35°
人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT
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我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
24.1.4 圆周角 人教版数学九年级上册教案
24.1.4 圆周角一、【教材分析】知识技能1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2、掌握圆周角定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明.过程方法1、培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；2、渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”，体验分类讨论的数学思想方法.教学目标情感态度敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题.教学重点圆周角定理及定理的三个推论的应用．教学难点圆周角定理的证明，三个推论的灵活应用.二、【教学流程】教学环节问题设计师生活动二次备课情景创设观察与思考：（教师边演示自制教具边介绍，其中底面圆片上标注好有关的字母、线条）假设这是一个圆柱形的房子，同学们可以站在房中通过圆弧形玻璃窗AB向外观看外面的风景，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正创设问题情境，开展学习活动，引起学生学习的兴趣图图c图画出来.3、利用第2题的图形，分别证明图a、图b、图c中的∠B OC=2∠B AC.4、用自己的语言说出圆周角定理的内容是什么？（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；动，归纳出：⑴在圆周角的一条边上(如图a)；⑵在圆周角的内部(如图b)；⑶在圆周角的外部（如图c）.学生自己独立完成图a的证明.对于图b、图c两种情况的证明，我们可以先尝试让学生小组交流，寻找证题方法，教师可以参与小组讨论，及时给予引导、点拨，然后板书展示证明过程，最后全班进行点评，引导学生体会“转换化归”在解决从特殊到一般问题时的应用思路和方法.以小组为单位讨论、探索，教师参与其中，指导帮助学生完成问题的解答.最后归纳通过制作演示折纸，培养学生动手操作的能力，促进学生参与教学的意识的形成.学会分类讨论、转换化归是教学突破的关键通过观察、交流、归纳，锻炼学生的逻辑思维能力，体验分类讨论的数学思想方法C三、【板书设计】四、【教后反思】本节课首先设计了一个问题情境，展示了圆心角与圆周角的位置关系，引出圆周角的概念.然后通过测量、猜想，得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半的结论.接着通过让学生折纸，观察与思考，利用分类讨论的思想方法，分三种情况给出系统的证明及思维过程.至此我们利用迁移、转化的思想方法化未知为已知，将圆周角的问题转化为圆心角来求解.其后为进一步探索圆周角的其他性质，我们又以设置的问题为导线，将学生带入到教学活动中，同时再次通过交流、讨论、合作、归纳出圆周角定理的三个推论，并运用它们进行解题，实现从认识到应用的转化.。
人教版数学九年级上册：24.1.4 圆周角 教案(附答案)
24．1.4 圆周角第1课时圆周角定理及其推论教学目标1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．掌握圆周角定理及其两个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处理相关问题．预习反馈阅读教材P85～87，完成下列问题．1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．如图所示，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上．若∠AOB＝90°，则∠ACB的度数为45°．4．圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．5．如图所示，点A，B，C在圆周上，∠A＝65°，则∠D的度数为65°．第5题图第6题图6．如图，A，B，C均在⊙O上，且AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠C＝90°，∠A＝45°．例题讲解知识点1 圆周角定理例1 (教材补充例题)如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，连接OA ，OB ，若∠ABO ＝25°，求∠C 的度数．【解答】 ∵OA ＝OB ，∠ABO ＝25°， ∴∠BAO ＝∠ABO ＝25°. ∴∠AOB ＝130°. ∴∠C ＝12∠AOB ＝65°.【跟踪训练1】 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠ABC ＋∠AOC ＝90°，则∠AOC 大小为60°．知识点2 圆周角定理的推论例2 (教材P87例4)如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．【解答】 连接OD. ∵AB 是直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，BC＝AB2－AC2＝102－62＝8(cm)．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴∠AOD＝∠BOD.∴AD＝BD.又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∴AD＝BD＝22AB＝22×10＝52(cm)．例3(教材补充例题)如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD＝2，∠B＝∠DAC，则AC＝1．【归纳总结】 1.圆周角定理及其推论中的转化思想：(1)弧是圆周角、圆心角的中介，通过弧可实现圆周角、圆心角之间的转化；(2)在同圆或等圆中，90°的圆周角和直径之间可以相互转化．2．圆周角定理及其推论中常用的辅助线：当题目中出现直径时，通常作出直径所对的圆周角，可得直角，然后结合直角三角形解决问题，即“见直径作直角”．3．利用圆周角定理及其推论进行证明时常用的思路：(1)在同圆或等圆中，若要证弧相等，则考虑证明这两条弧所对的圆周角相等；(2)在同圆或等圆中，若要证圆周角相等，则考虑证明这两个圆周角所对的弧相等；(3)当有直径时，常利用直径所对的圆周角为直角解决问题．【跟踪训练2】如图所示，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝30°．第2题图第3题图【点拨】 连接OC ，构造圆心角的同时构造等腰三角形．【跟踪训练3】 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠B ＝58°．巩固训练1．如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，则圆周角∠BAC 的度数为50°．第1题图 第2题图2．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，若OD ＝5 cm ，则BE ＝10__cm ．【点拨】 利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线． 3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，C 为优弧AB ︵的中点，则∠CAB 的度数为65°．第3题图 第4题图4．如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC.求证：∠ACB ＝2∠BAC. 证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角，∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角， ∴∠AOB ＝2∠ACB.同理∠BOC ＝2∠BAC.∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝2∠BAC.【点拨】看圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角．课堂小结圆周角的定义、定理及推论．第2课时圆内接四边形教学目标1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆各个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处理相关问题．预习反馈阅读教材P87～88，完成下列问题．1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．第1，2题图第3题图2．圆内接四边形的对角互补．如图，∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠A＝50°，∠BCD ＝130°．例题讲解例 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝32°，D 是AC ︵的中点，那么∠DAC 的度数是多少？【解答】 连接BC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 又∵∠BAC ＝32°， ∴∠B ＝90°－32°＝58°.∴∠D ＝180°－∠B ＝122°(圆内接四边形的对角互补)． 又∵D 是AC ︵的中点，∴∠DAC ＝∠DCA ＝12(180°－∠D)＝29°.【跟踪训练1】 已知圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶3∶5，则∠D 的度数为90°．【跟踪训练2】 如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，点E 在DC 的延长线上．若∠A ＝50°，则∠BCE ＝50°．巩固训练1．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A ＝120°，则∠BOD 等于120°.第1题图第2题图2．如图所示，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝56°，∠E＝32°，则∠F＝36°．课堂小结圆内接四边形的对角互补．。
24.1.4圆周角定理
作课类别课题24.1.4圆周角定理课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.了解圆周角的概念，理解圆周角的定理及其推论．2.熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用．3.体会分类思想.过程方法设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题．情感态度激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.教学重点圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题．教学难点运用数学分类思想证明圆周角的定理．教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、导语上节课我们学习了圆心角、弧、弦之间的关系定理，如果角的顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探究新知（一）、圆周角定义问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设EF是球门，•设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．观察∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的共同特点是什么？教师联系上节课所学知识，提出问题，引起学生思考，为探究本节课定理作铺垫学生以射门游戏为情境，通过寻找共同特点，总结一类角的特点，引出圆周角的定义学生比较圆周角与圆心角，进一步理解圆周角定义从具体生活情境出发，通过学生观察，发现圆周角的特点深化理解定义得到圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 分析定义：○1圆周角需要满足两个条件；○2圆周角与圆心角的区别（二）、圆周角定理及其推论1.结合圆周角的概念通过度量思考问题：○1一条弧所对的圆周角有多少个？②同弧所对的圆周角的度数有何关系？③同弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系吗？2.分情况进行几何证明①当圆心O在圆周角∠ABC的一边BC上时，如图⑴所示，那么∠ABC=12∠AOC吗？②当圆心O在圆周角∠ABC的内部时，如图⑵，那么∠ABC=12∠AOC吗？③当圆心O在圆周角∠ABC的外部时，如图⑶，∠ABC=12∠AOC吗？可得到：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．根据得到的上述结论，证明同弧所对的圆周角相等.得到:同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．问题：将上述“同弧”改为“等弧”结论会发生变化吗？总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．教师提出问题，引导学生思考，大胆猜想.得到：1一条弧上所对的圆周角有无数个．2通过度量，同弧所对的圆周角是没有变化的，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．教师组织学生先自主探究，再小组合作交流，总结出按照圆周角在圆中的位置特点分情况进行探究的方案.学生尝试叙述，达到共识学生尝试证明学生根据同弧与等弧的概念思考教师提出的问题，师生归纳出定理让学生明白该定理的前提条件的不可缺性，师生分析，进一步理解定理.教师试让学生将上节课定理与归纳的定理进行综合，思考，便于综合运用圆的性质定理..教师提出问题，学生领会半圆作为特殊的弧，直径作为特殊的弦，进行思考，得到推论学生按照教师布置阅读课激发学生求知欲，为探究圆周角定理做铺垫.培养学生全面分析问题的能力，尝试运用分类讨论思想方法，培养学生发散思维能力.为继续探究其推论奠定基础.感受类比思想，类比中全面透彻地理解和掌握定理，让学生感受相关知识的内在联系，形成知识系统.使学生运用定理解决特殊性问题，从而得到推论培养学生的阅读能力，自学能力.学生初步运用圆周角定理进行证明，同时发现圆内接四边形性质培养学生解决问题的意识和能力运用所学知识进行应用，巩固知识，形成做题技巧让学生通过练习于是，在同圆或等圆中，两个圆心角，两个圆周角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则其它各组量都分别相等.半圆作为特殊的弧，直径作为特殊的弦，运用上述定理有什么新的结论？推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（三）圆内接多边形与多边形的内接圆1.圆内接多边形与多边形的内接圆的定义如何区别两个定义？（前者是特殊的多边形后者是特殊的圆）2.圆内接四边形性质这条性质的题设和结论分别是什么？怎样证明？（四）定理应用1.课本例22. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？请证明.三、课堂训练完成课本86页练习四、小结归纳1．圆周角的概念及定理和推论2. 圆内接多边形与多边形的内接圆概念和圆内接四边形性质3. 应用本节定理解决相关问题．五、作业设计本85—86页，理解圆内接多边形与多边形的内接圆学生运用圆周角定理尝试证明学生审题，理清题中的数量关系，由本节课知识思考解决方法.教师组织学生进行练习，教师巡回检查，集体交流评价，教师指导学生写出解答过程，体会方法，总结规律.让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总进一步理解，培养学生的应用意识和能力归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯巩固深化提高作业：复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做.板书设计课题圆周角定理推论圆内接四边形性质例题归纳教学反思。
24.1.4 第1课时 圆周角定理 初中数学人教版数学九年级上册课件
圆心在角 圆心在角 的一边上 的内部
圆心在角的外部
通过测量,可得∠BAC=
1∠BOC
2
2.如图,当圆心O在∠BAC内部时,请说明∠A=12∠BOC.
解:如图,连接AO并延长交☉O于点D. ∵OA=OB,OA=OC, ∴∠B=∠3,∠C=∠4.
2
归纳总结 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的 一半 .
合作探究
圆周角定理的推论
1.(1) 如 图 , 在 ☉O 中 , AB = MN , 则
∠MDN与∠ACB的大小关系是
.
(2)直径所对的圆周角是多少度?请说径吗?
请说明理由.
解:(1)∠MDN=∠ACB. (2)因为直径所对的圆心角是180°,所以直径所对的圆周 角是90°.(3)90°圆周角所对的弧是半圆,所以90°圆周 角所对的弦是直径.
(2)当点P在使PC=AB的位置时,有AF=EF. 证明:∵PC=AB,∴∠EBD=∠C. ∵∠FAE=90°-∠C,∠AEF=∠BED=90°-∠EBD,
∴∠FAE=∠AEF,AF=EF.
圆周角定理、推论的应用 认真阅读课本“例4”,体会圆周角定理、推论的应用,解决下 面的问题. 2.如图,在☉O中,弦AB=3 cm,点C在☉O上,∠ACB=30°.求 ☉O的直径.
(1)当AP=AB时,求证:AE=BE. (2)当点P在什么位置时,AF=EF,证 明你的结论.
解:(1)证明:如图,连接AB,AP. ∵AP=AB,∴∠ABP=∠P. ∵BC为☉O直径, ∴∠BAC=90°. 又AD⊥BC,可证∠BAE=∠C. ∵∠C=∠P,∴∠BAE=∠P, ∴∠ABE=∠BAE,∴AE=BE.
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24.1.4 圆周角 ——圆周角定理及其推论 一、新课导入 1.导入课题： 情景：如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB. 问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？ 问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下个定义吗？ 由此导入课题.（板书课题） 2.学习目标： (1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它. (2)探究并掌握圆周角定理及其推论. (3)体会“由特殊到一般”“分类” “化归”等数学思想. 3.学习重、难点： 重点：圆周角定理及其推论. 难点：圆周角定理的证明与运用. 二、分层学习
1.自学指导： （1）自学内容：教材第85页到第86页倒数第6行之前的内容. （2）自学时间：10分钟. （3）自学方法：完成探究提纲. （4）探究提纲： 1）圆周角的概念 ①顶点在 圆上 ，并且两边 都与圆相交 的角叫做圆周角. ②判别下列各图中的角是不是圆周角，并说明理由. ② 猜一猜：一条弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系？ ②量一量：用量角器量一量圆心角∠AOB和圆周角∠ACB.
a.如图，∠ACB=12∠AOB. b.你可以画多少个AB所对的圆周角？这些圆周角与∠AOB之间有什么数量关系？ 可以画无数个.这些圆周角都等于∠AOB的一半. ③想一想：在⊙O中任画一个圆周角∠BAC，圆心O与∠BAC可能会有几种位置关系？ 有3种位置关系. ③ 证一证：
a.当圆心O在∠BAC的一条边上时(如图1）: b.当圆心O在∠BAC的内部时(如图2）：作直径AD，同a，得. c.当圆心O在∠BAC的外部时(如图3）.作直径AD,同a,得
⑤归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 . 2.自学：学生可根据自学指导自主学习，相互交流. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：关注学生能否探究、归纳和证明圆周角定理. ②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. （2）生助生：小组内交流、研讨. 4.强化： （1）圆周角定理的内容. （2）证明圆周角定理所体现的数学思想. （3）练习：如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.
证明：∵∠ACB=12∠AOB,∠BAC=12∠BOC,∠AOB=2∠BOC， ∴∠ACB=2∠BAC.
1.自学指导： （1）自学内容：教材第86页最后5行至第87页例4. （2）自学时间：10分钟. （3）自学方法：完成探究提纲. （4）探究提纲： ①探究图中∠ACB，∠ADB和∠AEB的数量关系.
a.如图1，∵∠ACB=12∠AOB,∠ADB=12∠AOB,∠AEB=12∠AOB， ∴∠ACB = ∠ADB = ∠AEB. 即同弧所对的圆周角 相等 . b.如图2，AB=AE,∵AB=AE,∴∠AOB = ∠AOE.
∵∠ACB=12∠AOB, ∠ADE=12∠AOE, ∴∠ACB = ∠ADE. 即等弧所对的圆周角 相等 . c.由此可得，同弧或等弧所对的圆周角 相等 . d.练习：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把四个内角分成8个角， 这些角中哪些是相等的角？ ∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8 ②半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦是 直径 .为什么？ 因为半圆（或直径）所对的圆心角是180°，所以它所对的圆周角是90°，即直角. 90°的圆周角所对的圆心角是180°，所以它所对的弦是直径. ④ 如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？
第二个工件是合格的.因为半圆所对的圆周角为直角. ④如图, ⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm, ∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC，BD的长. ∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∴在ACBRt中，（）BCABACcm22221068. 同理∠ADB=90°，又CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCA=∠DCB=12∠ACB=45°, ∴∠DBA=∠DAB=45°,∴AD=BD. 在ADBRt中，AD2+BD2=AB2,∴BDABcm21522. ⑤ 如图，你能设法确定一个圆形片的圆心吗？你有多少种方法？ 能，方法很多，例如：利用三角尺的直角可以找出两条直径（90°的圆周角所对的弦是直径）， 两直径交点就是圆心. 2.自学：学生可在自学指导的指引下自主学习，相互交流. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：关注学生是否会完成任务. ②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. （2）生助生：小组内交流、研讨. 4.强化： （1）常规辅助线：遇直径，想直角. （2）点一名学生口答探究提纲中的问题②，点两名学生板演问题④，并点评.
1.自学指导： （1）自学内容：教材第87页“思考”到第88页“练习”之前的内容. （2）自学时间：7分钟. （3）自学方法：阅读课文，完成自学参考提纲. （4）自学参考提纲： ①什么叫圆内接多边形和多边形的外接圆？ 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
②在图中标出BAD和BCD所对的圆心角，这两个圆心角有什么关系？ ∠BAD+∠BCD＝ 180 度，同理可得：∠ABC+∠ADC＝ 180 度. ③圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角 互补 . ④练习： a.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BAD＝ 50° ， ∠BCD＝ 130° . b.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数. ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠ADC=180°， 又∠ADC+∠ADE=180°， ∴∠ADE=∠B=110°. c.求证：圆内接平行四边形是矩形. ∵圆内接四边形对角互补，而平行四边形对角相等， ∴圆内接平行四边形四个角都是直角. ∴圆内接平行四边形是矩形. d.已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2都经过A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，F．若CD∥EF，求证：四边形EFDC是平行四边形. 连接AB.∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形， ∴∠C+∠ABE=180°. 又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形. ∴∠D+∠ABF=180°. 又∵∠ABE+∠ABF=180°. ∴∠C+∠D=180°. ∴CE∥DF. 又∵CD∥EF， ∴四边形EFDC是平行四边形. 2.自学：学生可结合自学指导自主学习. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：明了学生自学提纲的答题情况. ②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. （2）生助生：生生互动，交流研讨. 4.强化： （1）圆内接四边形的性质. （2）让学生完成自学参考提纲中的第④题，并点评. （3）练习：圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是2∶3∶6，求四边形ABCD各内角的度数. 解：∵∠A∶∠C＝2∶6,∠A+∠C＝180°, ∴∠A＝45°，∠C＝135°. 又∠A∶∠B＝2∶3, ∴∠B＝67.5°，∠D＝180°-∠B＝112.5°. 三、评价 1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？在哪些方面还感到比较困难？ 2.教师对学生的评价： （1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、小组探究协作情况以及存在的问题等. （2）纸笔评价：课堂评价检测. 3.教师的自我评价（教学反思）： （1）这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探究圆周角与圆心角关系过程中，要求学生学会使用分类讨论以及转化的数学思想解决问题，同时也培养了学生勇于探究的精神.其次，本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质，通过例题和习题训练，可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识，从中获取成功的经验，建立学习的自信心. （2）圆周角定理的证明分了三种情况探讨，这里蕴含着重要的数学思想——分类思想，教材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等，故教学过程中要整理相互交融的知识结构，加强分类思想的渗透.
(时间：12分钟满分：100分) 一、基础巩固（80分） 1.(10分)下列四个图中，∠x是圆周角的是（C）
2.(10分)如图,⊙O中，弦AB、CD相交于E点，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=（D） A.15° B.40° C.5° D.35°
3.(10分)如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 80° . 4.(10分)如图，点B、A、C都在⊙O上，∠BOA＝110°，则∠BCA＝ 125° . 5.(10分)如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，∠AOC=78°，求∠DAB的度数． 解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠B.
又∵∠B=12∠AOC=39°. ∴∠DAB=39°. 6.(10分)如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点，且∠ACB=45°，求弦AB的长. 解：连接OA、OB. ∵∠BCA=45°,∴∠BOA=2∠BCA=90°. 又OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形.
∴ABOAOBOAOA222222. 7.(10分)如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论. 解：△ABC是等边三角形.证明如下： ∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°， ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形. 8.(10分)如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形． 证明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°. ∴∠A=∠BCE. ∵BC=BE, ∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E, ∴AD=DE, ∴△ADE是等腰三角形. 二、综合应用（10分） 9.(10分)如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O