人教版高中数学必修第二册6.3不等式证明二(比较法、综合法)教案
高中数学 6.3不等式的证明(第三课时) 大纲人教版必修
6.3.3 不等式的证明(三）●教学目标(一)教学知识点综合法证明不等式.(二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.(三)德育渗透目标掌握综合法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A(已知)⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:(1)a2≥0或(a±b)2≥0.(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab 即a 2+b 2≥2|ab |.(3)ab ba ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=”号. (4)当a ,b 同号时有abb a +≥2,当且仅当a =b 时取“=”号.●教学难点“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点.●教学方法引导、探索、综合、归纳四步教学法. ●教具准备 幻灯片三张第一张：记作§6.3.3 A第二张：记作§6.3.3 B第三张：记作§6.3.3 C●教学过程 Ⅰ.课题导入［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出幻灯片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读幻灯片§6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系: (1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |; (3)ab ba ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号;(4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R );ab ≤(2ab )2,(a >0,b >0),当且仅当a =b 时取“=”号;(5)ab ba +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=”号；今天，我们在上一节课学习“公式法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.Ⅱ.讲授新课（简述“综合法”证明不等式的基本思想）［师］有时我们可以利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立.这种证明不等式的方法，我们通常叫做综合法.（关于“综合法”证明不等式，在后面“备课资料”中有较详细的说明）下面，我们探索研究用“综合法”证明不等式.［例1］已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.［师］观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生，完成证明）［生］∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性质定理4，得a(b2+c2)≥2abc. ①同理b(c2+a2)≥2abc, ②c(a2+b2)≥2abc. ③因为a,b,c为不全相等的正数，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号.由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.由不等式的性质定理3的推论，得a (b 2+c 2)+b (c 2+a 2)+c (a 2+b 2)>6abc .［师生共析］1.“综合法”证明不等式就是从已知（或已经成立）的不等式或定理出发，结合不等式性质，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立.2.在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧.（打出幻灯片§6.3.3 B ，教师把握好课堂教学时间，合理安排，选讲例2中的部分题目，其余留给学生完成）.［例2］（1）设a >0,b >0,c >0且a +b +c =1,求证： 8abc ≤(1-a )(1-b )(1-c ).(2)设a ,b ,c 为一个不等边三角形的三边，求证：abc >(b +c -a )(a +b -c )(c +a -b ).(3)已知a >0,b >0,a +b =1,求证： （1+21a ）(1+21b )≥25.(4)设x >0,y >0,求证：（x 2+y 2）21>(x 3+y 3)31［师］仿照例1，我们用综合法证明不等式.［生］（1）∵a >0,b >0,c >0且a +b +c =1 ∴1-a =b +c >0 同理，1-b =a +c >0,1-c =a +b >0∴(1-a )(1-b )(1-c )=(a +b )(b +c )(a +c ) ∵a +b ≥2ab >0,b +c ≥2bc >0,a +c ≥2ac >0∴由不等式的性质定理4的推论1，得 (a +b )(b +c )(a +c )≥2ab ·2bc ·2ac =8abc (2)∵a ,b ,c 为一个不等边三角形的三边 ∴a >0,b >0,c >0且a +b -c >0,a +c -b >0,b +c -a >0.由于三角形是不等边三角形，上述三式不能同时取“=”号 ∴由不等式的性质定理4的推论1，得abc >(a +b -c )(b +c -a )(c +a -b )(3)设y =(1+21a )(1+21b ) ∵a >0,b >0,a +b =1 ∴a 2+2ab +b 2=1 ∴a 2+b 2=1-2ab ∴y =1+abb a b a ab 221222222-+=- 令t =ab1, 则y =2t 2-2t +1. 即0<ab ≤41∴ab1≥4,即t ∈［4,+∞)由二次函数的性质可知：（对称轴t =21)y =2t 2-2t +1,在t ∈［4,+∞)上是增函数.∴当t =4时，y 取最小值25. 故（1+21a )(1+21b )≥25.(4)∵x >0,y >0 ∴(x 2+y 2)3=x 6+y 6+3x 2y 2(x 2+y 2)≥x 6+y 6+6x 3y 3>x 6+y 6+2x 3y 3=(x 3+y 3)2由不等式的性质，两边同时开6次方，得 （x 2+y 2)21>(x 3+y 3)31.［师生共析］1.具有对称轮换性质的不等式证明，可就其一项或一个因式先处理，其他可同理得到，如（1）、（2）.2.若给出形如a >0,b >0且a +b =1类型的题目，一般都经过恒等变形，把其他式子都化归成与ab 有关系的式子，然后根据函数的有关性质去证明或探究，这种方法特别在这种条件下的最值很有效.3.用“算术平均数与几何平均数定理（称均值不等式）”证明题时，要注意为达目标可先宏观，而后微观.4.均值不等式在运用时，常需先凑形后运用，变形后的不等式：ab ≤(2b a +)2,(a >0,b >0）经常用到.Ⅲ.课堂练习1.已知xy >0,求证xy +xy1+yx x y +≥4.分析：根据不等式的结构特点，我们可直接运用重要不等式：abb a +≥2,(a ,b 同号，即ab >0).证明：∵xy >0 ∴x y ,yx 都大于零 ∴xy +xy1≥2xyxy 1⋅=2,当且仅当xy =1时取“=”号.xy y x +≥2xy y x ⋅=2,当且仅当xy =1时取“=”号.由不等式的性质定理的推论，得xy +yx x y xy ++1≥4注意：利用a ≥b ,c ≥d 推出a +c ≥b +d 时，必须强调当且仅当a =b 且c =d 时取“=”号.如果找不到a =b 与c =d 同时成立的条件，说明a +c =b +d 的条件不具备，即得a +c >b +d .例如：由x >0时，得x +x 1≥2,此时，x +0.5>0,5.01+x >0,可得x +0.5+5.01+x ≥2,但x +x1+(x +0.5)+ 5.01+x ≥2+2,其中“=”号不成立，即x +x1+(x +0.5)+5.01+x >4.同样，由a ≥b >0,c ≥d >0⇒ac ≥bd 时，也要注意当且仅当a =b 且c =d 时取“=”号，无此条件，只能得ac >bd .2.已知a >b >0,0<c <d ,求证db c a >.分析：本题根据其结构特点，可创设运用不等式的基本性质，最后得证.证法一：∵a >b >0,c >0 ∴db ca > ① 又0<c <d ,b >0,∴b c <b d ,且bc >0,d bc b >② 由①和②可知：dbc a >.证法二：∵a >b >0,d >c >0 ∴ad >bc 又∵cd >0 ∴db c a cd bc cd ad >>即,. 注意：本题的结论可作为不等式的性质直接应用.即不等式各字母均为正数，异向不等式相除，得与被除式同向的不等式.3.已知a,b是不相等的两个正数，求证(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2.分析：不等式左端（a+b)(a3+b3)=a4+b4+ab3+a3b,右端=a4+b4+2a2b2,从而所证不等式即ab3+a3b>2a2b2,又a>0,b>0且a≠b,也就是证a2+b2>2ab.这显然是成立的，证法可任选比较、综合、分析（后面即将要学）之一.证明：（用综合法证明）∵a>0,b>0且a≠b∴a2+b2>2ab,∴ab(a2+b2)>2a2b2∴a4+ab(a2+b2)+b4>a4+b4+2a2b2即(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2Ⅳ.课时小结本节课，我们学习了“综合法”证明不等式，其核心是引导我们运用已有知识（已知或已知成立的不等式或定理），进行符合逻辑的思考和推理，启发大家从不同角度去思考问题，去主动获取新的知识，鼓励我们敢于创造独特、新颖的思想方法和见解.同时也注意培养了我们坚持实事求是的良好思维品质.Ⅴ.课后作业（一）（打出幻灯片§6.3.3 C，让学生记录下题目，做为课后练习，完成证明或解答）1.证明下列不等式：(1)a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.(2)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc(a>0,b>0,c>0)证明：（1）∵a 4+b 4≥2a 2b 2,b 4+c 4≥2b 2c 2,c 4+a 4≥2c 2a 2∴将上面三个不等式相加，得 2（a 4+b 4+c 4)≥2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2) 故a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2. (2)∵a >0,b >0,c >0,∴a +b ≥2ab >0,b +c =2bc >0,c +a ≥2ac >0 将上面三个同向不等式相乘，得(a +b )(b +c )(c +a )≥8·ab ·bc ·ac =8abc 故（a +b )(b +c )(c +a )≥8abc .2.制造一个容积为V （定值）的圆柱形容器，试分别就容器有盖及无盖两种情况，求：怎样选取底半径与高的比，使用料最省？分析：根据1题中不等式左右的结构特征，考虑运用“基本不等式”来证明.对于2题，抓住容积为定值，建立面积目标函数，求解最值，是本题的思路.解：设容器底半径为r ,高为h ,则V =πr 2h ,h =2rVπ. (1)当容器有盖时，所需用料的面积：S =2πr 2+2πrh =2πr 2+rV2=2πr 2+r V +rV ≥33232232V rVr V r ππ=⋅⋅ 当且仅当2πr 2=r V ,即r =32πV ,h =2r V π=2r ,取“=”号.故21=hr 时用料最省.（2）当容器无盖时，所需用料面积： S =πr 2+2πrh =πr 2+r V 2=πr 2+r V +r V ≥332V π 当且仅当πr 2=r V ,r =3πV ,h =2r V π=r .即r =h 时用料最省. （二）1.预习内容：课本P 15~16“分析法”证明不等式.2.预习提纲：（1）什么是分析法？它的基本思想是什么？（2）分析法适合证明哪类不等式？ ●板书设计。
人教版高中数学《不等式的证明)PPT说课稿
性质性质，具有一定的分析问题和解决问题的能
力，逻辑思维能力也已逐步形成，能积极主动参 与学习与探究，但对于严格的代数证明与推理， 缺乏系统的训练，在解题中不能灵活应用代数变 形，知识的综合应用能力较薄弱。
四、教学过程分析
复习回顾， 提出问题 实验感受， 发现问题 知识应用， 独立思考 探究问题， 解决问题 归纳提炼， 推理证明 合作学习， 交流思想 提炼方法， 引入课题 加深理解， 形成技能
的角度去观察事物和思考问题。
一、教材分析
3、教学目标
（1）知识与技能：理解并掌握证明不等式的方法一—— 比较法，掌握比较法证明不等式的步骤，并会用比较法证 明简单的不等式． (2)过程与方法：通过对比较法的学习，向学生渗透从特 殊到一般，化归与转化的数学思想，培养学生观察、比较、 抽象、概括等逻辑思维能力和应用数学的意识，提高数学 素养．
教法：采用尝试探究法，发现法引导学生
用已有的知识解决问题，并能在解决问题 的过程中积极探索和发现数学问题，自行 获得知识和运用知识，形成有利于学生主 体精神、创新能力健康发展的宽松教学环 境。 学法：通过创设情境，让学生经历观察实 验、自主探究、合作交流 的学习过程，提 高学生的创新意识。
三、学情分析
5.知识应用，独立思考
例4.甲乙两人同时同地沿同一路线走到 同一地点,甲有一半时间以速度m行走， 另一半时间以速度n行走；已有一半路 程乙以速度m行走，另一半路程以速度n 行走。 如果m n， 问:甲乙两人谁先到达指定地点
合作学习，交流思想
（1）利用学生熟悉的实际问题，独立思考、 分析、提炼出题目中的数量关系； （2）合作交流得到这道题的数学本质：比 较甲乙二人所用时间的长短关系. （3）请同学们用比较法得到结论.
人教版高中数学必修第二册6.3不等式证明六(构造法及其它方法)教案
第十一教时教材：不等式证明六（构造法及其它方法）目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。
过程：一、构造法：1．构造函数法例一、已知x > 0，求证： 25111≥+++x x x x 证：构造函数)0(1)(>+=x x x x f 则21≥+x x ， 设2≤α<β 由αβ-αββ-α=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛β-α+β-α=β+β-α+α=β-α)1)((11)()1(1)()(f f 显然 ∵2≤α<β ∴α - β > 0, αβ - 1 > 0, αβ > 0 ∴上式 > 0∴f (x )在),2[+∞上单调递增，∴左边25)2(=≥f 例二、求证： 31091022≥++=x x y 证：设)3(92≥+=t x t 则t t y t f 1)(2+== 用定义法可证：f (t )在),3[+∞上单调递增令：3≤t 1<t 2 则0)1)((11)()(21212122212121>--=+-+=-t t t t t t t t t t t f t f ∴310313)3(910322=+=≥++=f x x y 2．构造方程法：例三、已知实数a , b , c ，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a , b , c 中至少有一个不小于2。
证：由题设：显然a , b , c 中必有一个正数，不妨设a > 0， 则 ⎝⎛=-=+a bc a c b 2 即b , c 是二次方程022=++a ax x 的两个实根。
∴082≥-=∆aa 即：a ≥2 例四、求证：),2(3tan sec tan sec 3122Z k k ∈π+π≠θ≤θ+θθ-θ≤证：设θ+θθ-θ=tan sec tan sec 22y 则：(y - 1)tan 2θ + (y + 1)tan θ + (y - 1) = 0 当 y = 1时，命题显然成立当 y ≠ 1时，△= (y + 1)2 - 4(y - 1)2 = (3y - 1)(y - 3)≥0 ∴331≤≤y 综上所述，原式成立。
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 二 综合法与分析法学案(含解析)4-5
二综合法与分析法1．综合法(1)定义从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．（2）证明的框图表示用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为P⇒Q1→错误!→错误!→…→错误!2．分析法(1）定义证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．(2)证明过程的框图表示用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为Q⇐P1→错误!→错误!→…→错误!用综合法证明不等式已知x〉0,y可将所证不等式左边展开,运用已知和基本不等式可得证，也可以用x＋y取代“1”，化简左边,然后再用基本不等式．法一：∵x〉0，y>0，∴1＝x＋y≥2错误!.∴xy≤错误!.∴错误!错误!＝1＋错误!＋错误!＋错误!＝1＋错误!＋错误!＝1＋错误!≥1＋8＝9.当且仅当x＝y＝错误!时，等号成立．法二：∵x＋y＝1，x>0，y〉0，∴错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝5＋2错误!≥5＋2×2＝9.当且仅当x ＝y ＝12时， 等号成立．综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式,这是证明的关键．1．已知a ，b ，c ∈R ＋，证明不明式：a ＋b ＋c ≥错误!＋错误!＋错误!，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．证明：因为a 〉0，b 〉0,c >0，故有a ＋b ≥2ab ,当且仅当a ＝b 时，等号成立；b ＋c ≥2bc ，当且仅当b ＝c 时,等号成立；c ＋a ≥2错误!,当且仅当c ＝a 时,等号成立．三式相加，得a ＋b ＋c ≥错误!＋错误!＋错误!.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．已知a ,b ，c 都是实数,求证：a 2＋b 2＋c 2≥13（a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca 。
【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：6.3不等式的证明(第五课时)
●课题§6.3.5 不等式的证明(五）●教学目标(一)教学知识点证明不等式常用的其他数学方法:(1)分析综合法;(2)反证法;(3)判别式法;(4)换元法;(5)放缩法;(6)数学归纳法等.(二)能力训练要求1.掌握比较法,综合法、分析法的综合运用.2.理解掌握分析综合法、反证法、判别式法、换元法、放缩法、数学归纳法等证明不等式的基本原理和思路.(三)德育渗透目标1.激发学生学习兴趣、求知欲望,养成良好的数学思维品质.2.培养学生联系变化的观点和应用数学的意识.3.培养学生严谨周密的逻辑推理能力.4.培养学生的创新意识和不断探求新问题的能力.●教学重点分析综合法的基本思想是从命题的两头向中间“挤”来论证数学命题;反证法的基本思想是通过否定结论,导出矛盾,从而肯定结论;判别式法:对于含有两个或两个以上字母的不等式,若能够整理成一边为零,另一边为关于某个字母的二次三项式,若该二次三项式的判别式小于零,则该二次三项式在二次项系数大于零时,恒大于零;若二次项系数小于零时,二次三项式恒小于零;换元法:若原不等式的代数式,经过适当的三角换元,或代数换元,使证明过程简化时,则可通过换元法去证明之;放缩法:借助不等式的传递性,要证明A≥B,只须证得A≥C,C≥B方可,或借助其他途径放缩,如利用函数的单调性证明;数学归纳法:是证明与自然数有关命题的一种重要的数学方法.●教学难点分析综合法关键在于如何缩短“条件”与“结论”之间的距离;反证法证题的核心在于依据假设找矛盾;判别式法要注意根的范围和题目本身的条件限制;换元法,要注意换元的等价性,如a+b=1,a,b∈R,则不可换为a=cos2θ,b=sin2θ,必须在a≥0,b≥0时,才可以这样换;放缩法,有时需舍去一些正项或负项,要舍得恰到好处;数学归纳法要注意它的步骤格式.●教学方法讲练结合法,即通过典型例题的分析讲解,结合课堂练习,使学生掌握不等式的其他证明方法,以致于提高灵活应变的解题能力.●教具准备幻灯片三张第二张：课堂练习(记作§6.3.5 B)●教学过程Ⅰ.课题导入［师］前一段时间,我们共同探讨学习了证明不等式的几种基本方法:比较法、公式法、综合法、分析法.今天,我们继续探讨学习证明不等式的其他常用的数学方法,如分析综合法、反证法、判别式法、换元法、放缩法、数学归纳法等等.这节课,我们要通过对下面典型例题进行讨论和认真剖析,使大家在理解的基础上,掌握上述其他常用证明方法的基本思想和证题步骤.Ⅱ.讲授新课(打出幻灯片§6.3.5 A,学生阅读题目,教师根据自己学生的特点和针对教学情况,选定4至5个例题,和学生共同分析剖解,以达到本节教学目的)［师］下面,我们共同来探索研究不等式的证明.［例1］已知0<a <1,且x 2+y =0,求证:l o g a (a x+a y)≤l o g a 2+81. ［师生同议］由于0<a <1,故可由对数函数的单调性,将原不等式转化为证明不等式812a a a yx ≥+,此时形式又提示我们可以运用均值不等式,于是思路豁然开朗. (师生同议下,教师板书简要证明过程)证明:∵a x >0,a y>0∴22y x y x y x aa a a a +=≥+ ①由已知y =-x 2代入①式右边得:a x +a y ≥2a22x x +-∵0<a <1,由对数函数的性质可知: l o g a (a x+a y)≤l o g a (2a22x x +-)=l o g a 2+22xx +-=l o g a 2-21(x -21)2+81≤l o g a 2+81②∵①②两式中等号成立的条件是:2121==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==y x x a a yx 这与已知x 2+y =0矛盾. ∴①②两式中等号不同时成立. 故l o g a (a x+a y)≤l o g a 2+81成立. ［师生共析］本题中,如果缺乏了前面的分析转化,我们定会感到不知从何下手,从这里我们也体会到,分析法与综合法联用,对处理综合性较强的问题是非常有效的.［例2］已知a ,b ,c ∈(0,1),求证:(1-a )b ,(1-b )c ,(1-c )a 不能都大于41. ［师生同议］此题如果直接用综合法从正面去证明结论成立,即三个代数式的值不都大于41,则需考虑7种情况.但其反面只有一种,因而就比较容易证明.因此,本题易于用反证法.证明:假设三式均大于41,即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-41)1(41)1(41)1(a c c b b a∵0<a <1,∴1-a >0 ∴2141)1(21=>-≥+-b a b a 即1-a +b >1∴b -a >0 ①同理可证:c -b >0 ② a -c >0 ③由①+②+③得:0>0,矛盾.所以假设不成立,故原命题成立.［师生共析］反证法是证明不等式的常用方法之一,反证法常用于证明: (1)难于直接使用已知条件导出结论的命题. (2)惟一性命题.(3)“至多”或“至少”性命题. (4)否定性或肯定性命题.［例3］已知x 2-2xy +y 2+x +y +1=0,求证:331≤≤xy. ［师生同议］本题题设是关于x ,y 的二元二次方程,若令t =xy,并代入已知式，则可得到关于x 的二次方程，故可考虑运用判别式法.证明:令t =xy,则y =tx ,将其代入已知式得: x 2-2x ·tx +t 2x 2+x +tx +1=0即(t -1)2x 2+(t +1)x +1=0(1)当t =1时,31<1<3 ∴不等式成立. (2)当t ≠1时,∵x ∈R ,∴其判别式Δ≥0即(t +1)2-4(t -1)2≥0 ∴(t -3)(3t -1)≤0解之得:31≤t ≤3 ∴不等式331≤≤xy成立.［师生共析］此题使用判别式法,首先应构造出一个一元二次方程,这时若二次项系数含有参数时,要注意讨论.［例4］已知-1≤x ≤1,n ≥2且n ∈N ,求证:(1-x )n +(1+x )n ≤2n［师生同议］因为-1≤x ≤1,这与正弦、余弦的值域一致,考虑到目标不等式左边有1+x 与1-x ,故可运用二倍角余弦公式进行化简,从而采用三角换元法证明.证明:∵-1≤x ≤1,故可设x =cos2α,(0≤α≤2π) 则1-x =1-cos2α=2sin 2α,1+x =1+cos2α=2cos 2α ∵n ≥2,且n ∈N∴sin 2n -2α≤1,cos 2n -2α≤1∴sin 2n α≤sin 2α,cos 2n α≤cos 2α∴(1-x )n +(1+x )n=2n sin 2n α+2n cos 2nα ≤2n sin 2α+2n cos 2α=2n故原不等式(1-x )n +(1+x )n ≤2n成立. ［师生共析］有些不等式证明问题中,含有一些特殊的条件及特殊的运算关系,这些条件或运算关系,恰好满足三角关系,则可采用三角代换法证明.以下是几种常见的三角代换法.(1)若题目中含有|a |≤1,则可设a =sin α,(-2π≤α≤2π或设a =cos α,0≤α≤π). (2)若题目中含有a 2+b 2=1,则可设a =cos α,b =sin α,其中0≤π<2π. (3)若题目中含有21x -,则可设x =cos x ,其中0≤α≤π. (4)若题目中含有21x +,则可设x =tan x ,其中22παπ<<-.(5)若题目中含有x +y =r (其中x >0,y >0),则可设x =r cos 2α,y =r sin 2α,其中α∈(0,2π). (6)若题目中含有a 2+b 2=m 2(m >0),则可设a =m cos α,b =m sin α,其中0≤α<2π. ［例5］用数学归纳法证明下列不等式:若a >0,b >0且n ∈N *,证明nn n b a b a )2(2+≥+. ［师生同议］用数学归纳法证明不等式,要注意步骤格式,在假设n =k +1(k ∈N *)时,如何确定增加的项.证明:(1)当n =1时,左边=2b a +,右边=2ba + ∴不等式成立.(2)假设当n =k 时,不等式成立,即kk k b a b a )2(2+≥+.则当n =k +1时,)(41222)2(2)(111k k k k k k k k ab b a b a ba b a b a b a b a +++=+⋅+≤+⋅+=++++ ∵(a k +1+b k +1)-(a kb +ab k)=(a -b )(a k-b k) 又a >0,b >0∴(a -b )(a k -b k)≥0 ∴a k b +ab k ≤a k +1+b k +1∴2)(412)(11111++++++≤+++≤+k k kk k k k b a ab b a b a b a . ∴n =k +1时,不等式也成立.由(1)(2)得,对于n ∈N *有nn n b a b a )2(2+≥+. ［师生共析］用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是:(1)证明当n 取第一个值n 0(例如n 0=1或2)时结论正确;(2)假设当n =k (k ∈N *且k ≥n 0)时结论正确,证明当n =k +1时结论也正确.在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确. ［例6］用放缩法证明下列不等式:(1)若n ∈N ,n >2,则l o g n (n -1)l o g n (n +1)<1；(2)若tan θ=n tan φ(tan θ≠0,n >0),则tan 2(θ-φ)≤nn 4)1(2-；(3)已知a >0,b >0,c >0,d >0,求证: 1<ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++<2［师生同议］证明不等式常常需要根据不等式的性质对原不等式的一端进行“同向”变形,即进行放大或缩小.这种利用放缩原理证明不等式的方法叫做放缩法.在放缩代换中常用下列变形:①A >B ,B >C ,则A >C ; ②A =B ,B >C ,则A >C ; ③A >B ,B =C ,则A >C . 证明:(1)∵n ∈N ,且n >2∴l o g n (n -1)>0,l o g n (n +1)>0,且l o g n (n -1)≠l o g n (n +1) ∴l o g n (n -1)l o g n (n +1)<［2)1(log )1(log ++-n n n n ］2=41［l o g n (n 2-1)］2<41［l o g n n 2］2=1 故原不等式成立.(2)∵tan θ=n tan φ,且tan φ≠0∴tan 2(θ-φ)=(ϕθϕθtan tan 1tan tan ⋅+-)2=［ϕϕ2tan 1tan )1(n n +-］2≤nn n n 4)1(tan 2tan )1(2222-=-ϕϕ.故原不等式成立.(3)∵a >0,b >0,c >0,d >0,则,,,,d c d c a d d d c b a dd c c b d c c dc b a cba b d c b b dc b a bba ad b a a dc b a a+<++<++++<++<++++<++<++++<++<+++将以上各式相加得:dc dc b a b a c ad d b d c c d c b b d b a a d c b a d c b a +++++<+++++++++++<++++++即:1<ca d db dc cd c b b d b a a +++++++++++<2成立.［师生共析］用放缩法证明不等式时,经常用到如下放缩技巧:(1)适当增加或舍弃一些正项或负项,或非正项或非负项.如A +a 2≥A ,B -|a |≤b .(2)若分式的分子、分母均为正数,则可把分式的分子或分母适当放大或缩小,以达到对分式放缩的目的,如本例中第(3)题的证明.(3)利用已知不等式进行放缩,如本例中第(1)、(2)题的证明,使用了均值不等式进行放缩.(4)利用函数的单调性进行放缩,如本例中第(1)题的证明,用到了对数函数的单调性. (5)利用基本函数的值域进行放缩.如:|sin x |≤1,|cos x |≤1等等. Ⅲ.课堂练习(打出幻灯片§6.3.5 B,在教师指导下,学生有步骤地进行练习,以达到巩固用换元法、放缩法、反证法、判别式法证明不等式的目的,提高学生分析问题和解决问题的能力)1.已知x 2+y 2=1,求证:|x 2+2xy -y 2|≤2.分析:常见的换元形式有:①x 2+y 2=a 2,可令x =a cos θ,y =a sin θ;②x 2+y 2<1,可令x =t cos θ,y =t sin θ(|t |<1);③|x |<1,可令x =cos θ;④x ∈R ,可令x =tan θ等.本题中,由x 2+y 2=1可联想到三角公式sin 2θ+cos 2θ=1,故考虑三角换元法,即设x =cos θ,y =sin θ.证明:令x =cos θ,y =sin θ,则 |x 2+2xy -y 2|=|cos 2θ+2cos θsin θ-sin 2θ|=|cos2θ+sin2θ| =2|sin(2θ+4π)|≤2. 故命题得证.2.已知△ABC 的三边长分别是a ,b ,c ,且m >0,求证:mc cm b b m a a +>+++. 分析:考虑到△ABC 的三边a ,b ,c 均为正数,且m >0,由目标不等式形式可联想采用放缩法.在目标不等式左侧的两个分式的分母上分别加上正数b 、a ,使分式的值得以缩小,以达到证题目的.证明:∵a ,b ,c 分别是△ABC 的三边长, ∴a +b +c >0.令a +b =c +k (k >0),且m >0mc c m k c k c m b a b a mb a bb m a a m b b m a a +>+++=+++=+++++>+++∴即命题得证.3.已知a ,b ,c ,d ∈R ,a +b =c +d =1,且ac +bd >1,求证:a ,b ,c ,d 中至少一个是负数.分析:题目中a ,b ,c ,d 中至少一个是负数的情况较多,而其反面却只有一种情况,故考虑用反证法证明.注意反证法也是证明不等式的重要方法.证明:假设a ,b ,c ,d 全部是非负数, ∵a +b =c +d =1 ∴(a +b )(c +d )=1即(ac +bd )+(ad +bc )=1. 又∵ad +bc ≥0,ac +bd ≤1这与已知条件ac +bd >1矛盾,假设错误. 故a ,b ,c ,d 中至少一个是负数.4.设x 、y 、z ∈R ,求证:x 2-xz +z 2+3y (x +y -z )≥0.分析:本题的一个显著特点是变元多,关系杂,为此就需要以一个变元为主元,其他变元为辅元,运用函数的观点来考虑,结合判别式证得结果.证明:令f (x )=x 2+(3y -z )x +z 2+3y 2-3yz考虑判别式Δ=(3y -z )2-4(z 2+3y 2-3yz )=-3y 2-3z 2+6yz=-3(y -z )2≤0 ∴f (x )≥0 故命题得证.注意:在不等式中,当字母为实数时,如果能设法构造一个函数或方程,就可以把不等式的证明转化为函数或方程的研究,这是一种重要的观点性方法.Ⅳ.课时小结本节课,我们在前面学习证明不等式的基本方法(如比较法、公式法、综合法、分析法)的基础上又学习了证明不等式的其他常用数学方法,如:分析综合法、反证法、判别式法、换元法、放缩法、数学归纳法等等.这就启示我们:具体问题具体分析是证明不等式的精髓,灵活地选用证明方法是证明不等式的技巧、联系和联想是证明不等式的重要观点,提高思维推理能力是证明不等式的落脚点.Ⅴ.课后作业(打出幻灯片§6.3.5 C,学生记录下题目,课后对不等式证明的其他常用数学方法做进一步巩固复习,以提高学生创新意识和不断探索新问题的能力)1.如果a ,b ,c ,x ,y ,z ∈R ,且满足关系式:ac -b 2>0,az +2by +cx =0,xyz ≠0,求证:xz -y 2<0.证明:假设xz -y 2≥0,则xz ≥y 2>0∵ac -b 2>0 ∴ac >b 2>0又xyz ≠0 ∴acxz >b 2y 2∵az +2by +cx =0 ∴az +cx =-2by 两边同时平方得(az +cx )2=4b 2y 2<4acxz∴(az +cx )2-4acxz <0即(az -cx )2<0,这与(az -cx )2≥0矛盾∴xz -y 2≥0不成立,即xz -y 2<0成立.2.已知a >0,b >0,c >0,且a +b >c ,求证:ccb b a a +>+++111. 证明:∵a +b >c ,∴a +b -c >0 由真分数的性质,有:.11111111)(1)(1c c b b a a bb a a b a b b a a b a b ac b a c c b a c c c +>++++++<+++++=+++=-+++-++<+故3.若0<a <k1,k ≥2(k ∈N ),且a 2<a -b ,求证:b <11+k .证明:由已知b <a -a 2=-(a -21)2+41设f (a )=-(a -21)2+41则f (a )在［0, 21］内为增函数.又0<a <k 1≤21,∴f (a )<f (k 1)即b <-(a -21)2+41<-(k 1-21)2+41111111111222+<+=--<-=+-=k b k k k k k k k 故4.证明x 2+m +2>3mx -25m 2.证明:(x 2+m +2)-(3mx -25m 2)=x 2-3mx +25m 2+m +2 ∴判别式Δ=9m 2-4(25m 2+m +2)=-［(m +2)2+4］<0 ∴x 2-3mx +25m 2+m +2>0恒成立. 即x 2+m +2>3mx -25m 2.5.设a >b >c ,且a ,b ,c 满足等式a +b +c =1,a 2+b 2+c 2=1. 求证:(1)1<a +b <34 (2)98<a 2+b 2<1 证明:（1）令a -c =A ,b -c =B ,由a >b >c ,得A >B >0.A +B =(a -c )+(b -c )=(a +b +c )-3c =1-3c .又(a +b +c )2-(a 2+b 2+c 2)=2(ab +bc +ca )=0∴ab =-c (a +b )=-c (1-c )=c 2-c .∴AB =(a -c )(b -c )=ab -c (a +b )+c 2=3c 2-2c .从而,A ,B 是方程t 2-(1-3c )t +(3c 2-2c )=0的两个不相等的正根,则其充要条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<<<-⎪⎩⎪⎨⎧>->->---=∆320311310230310)23(4)31(222c c c c c c c c c c 或即于是,有-31<c <0,从而1<1-c <34,即1<a +b <34. （2）再由0<c 2<91,得0<1-(a 2+b 2)<91,从而98<a 2+b 2<1.故有:(1)1<a +b <34 (2) 98<a 2+b 2<1.注意:这是一个证明不等式的综合性问题,其中涉及换元、消去参数等数学方法,并用到了判别式.●板书设计。
高二数学下册6.3不等式的证明3教案人教版
答案 :B
+
(3) 若 x, y∈ R , 且 x≠ y, 则下列四个数中最小的一个是（
）
A 1(1
1 )B
1
C
2x y
xy
答案 :D
1
D
xy
1 2( x 2 y2 )
(4) 若 x>0, y>0, 且 x y ≤ a x y 成立 , 则 a 的最小值是（
）
A2 2
答案 :B
B2
C2
D2 2
用心 爱心
2．用分析法证明不等式的逻辑关系是： B B1 B2
Bn A
3．分析法的思维特点是： 4．分析法的书写格式 ：
要证明命题 B 为真，
执果索因
只需要证明命题 B1为真，从而有……
这只需要证明命题 B2 为真，从而又有……
…… 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真，故命题 B 必为真 三、讲解范例：
那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大
说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常
用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是
结合在一起使用的
四、课堂练习 ：
已知 a, b, c, d∈ R, 求证 : ac+bd≤ (a2 b2)( c2 d 2 )
∴ (a 2 b2 )( c2 d 2 ) ≥ | ac+bd| ≥ ac+bd
故命题得证
分析三 : 用比较法
证法三 : ∵( a2+b2)(
c2+d2)-(
ac+bd)
2
=(
bc-
ad)
2
≥
高中数学第二册(上)6.3 不等式证明(1)
高中数学第二册(上)6.3 不等式证明（1）二．教学目标：1.能熟练运用比较法来证明不等式；2.利用不等式解决实际问题时，能分析题意，设出未知数，找出数量关系，求出结果.三．教学重点、难点：对不等式左右两边的差进行变形.四．教学过程：（一）复习：1．实数大小关系：2．比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论.（二）新课讲解：例1．求证：233x x +>．证：∵2(3)3x x +-=043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ， ∴233x x +>．例2．已知,,a b m 都是正数，并且a b <，求证：ba mb m a >++． 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵,,a b m 都是正数，并且a b <，∴0b m +>, 0b a ->，∴0)()(>+-m b b a b m 即：ba mb m a >++． 【变式】若a b >，结果会怎样？若没有“a b <”这个条件，应如何判断？【练习】b 克糖水中有a 克糖(0)b a >>，若再添上m 克糖，则糖水就变甜了，试根据这个 事实提炼一个不等式： ．例3．已知,a b 都是正数，并且a b ≠，求证：552332a b a b a b +>+证：552332()()a b a b a b +-+=532523()()a a b b a b -+- 322322()()a a b b b a =-+-2233()()a b a b =--222()()()a b a b a ab b =+-++∵,a b 都是正数，∴220,0a b a ab b +>++>又∵a b ≠，∴2()0a b +>，∴222()()()0a b a b a ab b +-++>，即：552332a b a b a b +>+．例4．甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m n ≠，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是1t ，2t ，则：21122,22t n S m S S n t m t =+=+ 可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= 0a b a b >⇔->； 0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<．∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵,,S m n 都是正数，且m n ≠，∴120t t -<， 即：1t <2t ，所以，甲先到达指定地点.【变式】若m n =，结果会怎样？五．小结：1．比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；2．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常 数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负.六．作业：补充：1．已知2a ≠，求证2414a a <+． 2．已知c a b >>，求证a b c a c b<--． 3．已知,,,a b c d 都是正数，且bc ad >，求证a a c c b b d d+<<+． 4．已知0,1a a >≠，求证1log (1)log (1)a a a a+<+． 5．已知,a b R ∈，求证222(2)5a b a b +≥--．6．已知a b c >>，求证222222a b b c c a ab bc ca ++>++． 7．求证：33a b >的充要条件是a b >．。
高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法
2。
2.2 分析法课堂导学三点剖析一，利用分析法证明不等式【例1】 (1)设a>b 〉0，求证：333b a b a ->-。
（2)已知0〈α〈π,证明2sin2α≤cot 2α，并指出等号成立的条件。
证明：（1）要证333b a b a ->-,∵a>b〉0，有3b a ->0， ∴需证（3b a -）3>(33b a -）3,展开得a —b 〉a —323b a +b ab -323， 即证明)(3333b a ab -〉0, 也就是证33b a ->0,在题设条件下这一不等式显然成立，∴原不等式成立.（2)要证2sin2α≤cot 2α,由0<α<π知sinα〉0，只需证2sinα·sin2α≤1+cosα,即证明4sin 2αcosα-（1+cosα）≤0,也就是证（1+cosα)[4（1—cosα）cosα-1］≤0，而1+cosα>0，于是只要证-4cos 2α+4cosα—1≤0,即—（2cosα—1）2≤0,就是(2cosα-1)2≥0,这是显然的。
∴2sin2α≤cot 2α,等号在2cosα=1,α=3π时取得。
各个击破类题演练1若a ，b,c 三数均大于1，且ab=10，求证:log a c+log b c≥4lgc.证明:由于a>1，b 〉1，要证log a c+log b c≥4lgc,需证b ca clg lg lg lg +≥4lgc,而lgc>0, 因此只要证b a lg 1lg 1+≥4,即证b a b a lg lg lg lg +≥4。
∵ab=10,有lga+lgb=1，于是只需证lga·lgb≤41, 而lga·lgb≤(2lg lg b a +)2=41。
∴不等式log a c+log b c≥4lgc 成立.变式提升1已知a>0,b 1—a 1>1，求证：ba ->+111。
第二节证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式
(2)某个命题与正整数n有关，如果当n=k时该命题成立.那么可
推导出当n=k+1时也成立.现已知n=12时，该命题不成立.那么 可推得n=______时，该命题不成立. 【解析】∵n=12时，命题不成立.∴n=11时命题不成立.同理 n=10、9、8、…、2、1时命题均不成立. 答案：1、2、3、…、11
往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见,分析法与综
合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，
可以拓宽解题思路，开阔知识视野.
2.分析法的应用
当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不 等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用 分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一 步必须可逆.
4 4 4 1 64 . 1 4 ,
三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞ 又 1 a a
1 c c
( ( 1 a a 2 )
2
) 1 4 .
2
1 4
, 1 b b (
1 b b 2
)
2
1 c c 2
∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤
1 2
) 2+
1 2
]≥0，
∴1+2x4≥2x3+x2.
方法二：(1+2x4)-(2x3+x2) =x4-2x3+x2+x4-2x2+1 =(x-1)2·x2+(x2-1)2≥0 ∴1+2x4≥2x3+x2.
(2)
a b
a
b
ab
ba
ab
ab 2
a
高中数学第二册(上)不等式的证明
不等式的证明（1）教学目的：不等式的常用证明方法之一—比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
教学重点：比较法的应用 教学难点：常见解题技巧 教学过程： 一、复习引入：1.判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a 、b ，在a ＞b ，a= b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了．2. 若a>0,b>0, 则.1;1<⇔<>⇔>ba b a b ab a 二、讲解新课：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 三、讲解范例：例1 求证：x 2+ 3 > 3x例2已知a , b 都是正数，并且a b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3+a 3b 2例3 a ,bR +，求证：a b b a bab a ab b a ≥≥+2)(例 4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。
甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走。
如果m n ，问：甲、乙两人谁先到达指定地点？思考：若m = n ，结果会怎样？例5 证明函数1()[1,)f x x x x=+∈+∞在上是增函数. 四、作业：习题6.3 1， 2， 3.补充：1. 已知非零且不相等的实数 a 、b ，求证（a 4+b 4）(a 2+b 2)>(a 3+b 3)2.2.已知a ≥1,求证11--<-+a a a a3.已知a>b>c>0,求证：.222b a a c c b c b a c b a c b a +++>不等式的证明（2）教学目的：1.掌握综合法证明不等式；2.熟练掌握已学的重要不等式；3.增强学生的逻辑推理能力. 教学重点：综合法教学难点：不等式性质的综合运用教学过程： 一、复习引入： 重要不等式：（1）如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a （2）如果a ,b 都是正数，那么 当且当a =b 时等号成立.（3）如果ab >0，那么2ba a b+≥. 当且当a =b 时等号成立. （4）如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当a=b=c 时取“=”）（5）如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当a=b=c 时取“=”）二、讲解新课：1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
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第七教时
教材：不等式证明二（比较法、综合法）
目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。
过程：
一、比较法：
1．复习：比较法，依据、步骤
比商法，依据、步骤、适用题型
2．例一、证明：3422xxy在),2[是增函数。
证：设2≤x1
又∵y1 > 0， ∴y1 > y2 ∴3422xxy在),2[是增函数
二、综合法：
定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这
个证明方法叫综合法。
例二、 已知a, b, c是不全相等的正数，
求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc
证：∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc
同理：b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc
∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc
当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数
∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc
例三、 设a, b, c R，
1求证：)(2222baba
2求证：)(2222222cbaaccbba
3若a + b = 1, 求证：22121ba
证：1∵0)2(2222baba ∴2|2|222bababa
∴)(2222baba
2同理：)(2222cbcb， )(2222acac
三式相加：)(2222222cbaaccbba
3由幂平均不等式：
1222)1(2)21()21()2121(21bababa
∴22121ba
例四、 a , b, cR, 求证：19)111)((cbacba
229)111)((accbbacba
323bacacbcba
证：1法一：33abccba, 313111abccba, 两式相乘即得。
法二：左边)()()(3cbbccaacbaabccbabcbaacba
≥
3 + 2 + 2 + 2 = 9
2∵3))()((23222accbbaaccbba
3
))()((13111accbbaaccbba
两式相乘即得
3由上题：29)111)((accbbacba
∴29111acbcbabac
即：23bacacbcba
三、小结：综合法
四、作业： P15—16 练习 1，2
P18 习题6.3 1，2，3
补充：
1．已知a, bR+且a b，求证：2121212212)()(baabba（取差）
2． 设R，x, yR，求证：yxyx22cossin（取商）
3． 已知a, bR+，求证：2)2(333baba
证：∵a, bR+ ∴0)(2ba ∴abbaba22
∴)())((2233baabbabababa
∴)(3)(333baabba
∴33333)()(3)(4babbaababa
∴
2)2
(333baba
4． 设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：225)1()1(22bbaa
证：∵212baab ∴41ab ∴41ab
∴2222211122112)1()1(babbaabbaa
225241221122
12222
abab
ba