数列的求和与通项专题训练
1. 数列的求和学案
一、分组法求和：若：n n n c b a +=，且数列{}n b 、{}n c 的前n 项和可以求出，则分组求和． 例1：已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求.242n a a a +++
例2：求数列1，3＋13，32＋132，…，3n ＋1
3
n 的各项的和．
例3：求和：()(
)()
12
2
22
212
21211-+++++++++++n ； 221--+n n
二、错位相减法求和：（公差不为0的等差数列与公比不为1的等比数列的积的形式）
若：()[]1111-?-+=n n
q c d n b a ，则：()n n n n qa c c c d a qS S -++++=- 321，可以求和．
（注意：用前式第k 项减后式的第1-k
项——错位相减！
） 例4：1．n n n S 333323132?++?+?+?= ；
例5：设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，… 的前n 项和
例6：已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈?=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
三、裂项法求和：若：1+-=n n n b b a （裂项），则：11+-=n n b b S （相消）． 提示：
1
11)1(1+-
=+n n n n ；)211(21)2(1+-=+n n n n ；)1
1(1)(1d n n d d n n +-=+． 例7：求：n
n ?-+?+?)1(1
321211
．
例8：求：)(,32114321132112111*N n n
∈+++++++++++++++ ．
例9：已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：∑=+n
i i i a a 11
1
．
2. 数列的求和练习
1．)2
1
(813412211
n n +++++ = ； 2．数列{}n a 中，3,6011+=-=+n n a a a ，求这个数列前30项的绝对值之和；
3．已知数列{}n a 的前n 项和),,2,1]()2
1
)(1(2[])
2
1(2[11
=+---=--n n b a S n n n 其中a 、b
是非零常数，则存在数列{}n x 、{}n y 使得（ ） A ．n n n y x a +=，其中{}n x 为等差数列，{}n y 为等比数列 B ．n n n y x a +=，其中{}n x 和{}n y 都为等差数列
C ．n n n y x a ?=，其中{}n x 为等差数列，{}n y 都为等比数列
D ．n n n y x a ?=，其中{}n x 和{}n y 都为等比数列 4．n n n S 2
23222132++++= ．
5．设正项等比数列{}n a 的首项2
11=
a ，前n 项和为n S ，且0)12(2102010
3010=++-S S S ． ⑴求{}n a 的通项；⑵求{}n nS 的前n 项和n T ． 6、求：
)12)(12(1531311+-++?+?n n = ． 7、求：
)
2(1
531421311+++?+?+?n n = ．
13、求数列的通项公式学案
一、)(1n f a a n n +=+型．
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法（逐差相加法）求解． 例1：数列{}n a 中，11a =，121,(2)n n a a n n -=+-≥，其通项公式n a =
．
二、n n a n f a )(1=+型． 解法：把原递推公式转化为
)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法（逐商相乘法）求解． 例3：已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1
1+=+，求n a ．
三、q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）型． 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解． 例4：=
=+11,1n a a 12
1
+n a )(*N n ∈．
四、递推公式为n S 与n a 的关系式．(或()n n S f a =)． 解
法
：
这
种
类
型
一
般
利
用
??
?≥???????-=????????????????=-)
2()1(11n S S n S a n n n 与
)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去
n a 进行求解．
例5：数列{}n a 的前n 项和为23n n S a =+，则{}n a 是（ ）
A ．等比数列
B ．等差数列
C ．从第2项起是等比数列
D ．从第2项起是等差数列
五、)
()()(1n h a n g a n f a n n
n +=
+型．
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1． 例6：数列{}n a 中，11a =，12,()2
n
n n a a n N a ++=
∈+，则5a =（ ） A ．
25 B ． 13 C ． 23 D ． 12
14、求数列的通项公式练习
1．数列{}n a 中，21=a ，n a a n n 21+=-，()1>n ，求其通项公式n a ．
2．（08年理江西卷5）在数列{}n a 中，21=a ，??
?
??
+
+=+n a a n n 11ln 1，则=n a A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 3．设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且)(0)1(12
2
1N n a a na a n n n n n ∈=+-+++，则它的
通项公式是=n a ．
4．已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a ．
5． 已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足65102
++=n n n a a S 且1a ，3a ，15a 成等比
数列，求数列{}n a 的通项n a
6．已知数列{}n a 满足：1,1
3111
=+?=--a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式．
7．数列{}n a 的前n 项和1+=n n a S ，()+∈N n ，21=a ，求n a 和n S ．