逆映射存在定理证明隐函数存在定理
隐函数定理的一个证明
隐函数定理的一个证明 一、啥是隐函数定理呀？ 先给你举个例子哈。比如说有个方程x^2 + y^2 = 1，这个方程就确定了y和x之间的一种关系。但是呢，它不像y = 2x + 1那样直接把y用x的表达式写出来，这种不能直接写成y = f(x)形式的函数关系，就叫做隐函数。
隐函数定理呢，简单说就是在一定条件下，能判断一个隐函数是不是存在，还有它是不是可导的。就好比你要知道在某些情况下，这个藏在方程里的函数到底存不存在，能不能好好地求导。
二、证明的基本思路。 咱就拿刚才那个x^2 + y^2 = 1的例子接着说哈。 假设我们想在某个点(x_0,y_0)附近看看能不能确定一个隐函数y = f(x)。 第一步呢，咱得看看这个方程在这个点附近是不是能满足一些条件。比如说，对这个方程关于y求偏导数，F(x,y)=x^2 + y^2 - 1，那(∂ F)/(∂ y)=2y 。如果在点(x_0,y_0)处，(∂ F)/(∂ y)≠0，这就是一个很重要的条件哦。比如说在点(0,1)处，(∂ F)/(∂ y)= 2×1 = 2≠0，那就说明在这个点附近有可能存在隐函数。
为啥呢？你可以这么想哈，如果(∂ F)/(∂ y)=0了，那就说明y的变化对这个方程没啥影响，那也就很难确定y和x之间有那种一对一或者多对一的函数关系啦。
第二步，要是满足了刚才那个条件，咱就可以试着去构造一个函数，然后用一些数学方法，比如中值定理啥的，去证明在这个点附近真的存在一个隐函数y = f(x)，而且还能证明这个隐函数是可导的哦。
比如说，咱们设y = f(x)是满足F(x,y)=0的隐函数，然后把y = f(x)代入F(x,y)里，就得到F(x,f(x)) = 0。对这个式子两边关于x求导，根据复合函数求导法则，就有(∂ F)/(∂ x)+(∂ F)/(∂ y)(dy)/(dx)=0。那(dy)/(dx)=-(frac{∂ F)/(∂ x)}{(∂ F)/(∂ y)} 。像在x^2 + y^2 = 1这个例子里，(∂ F)/(∂ x)=2x，所以(dy)/(dx)=-(x)/(y)。你看，这样就求出隐函数的导数啦。
§3反函数定理和隐函数定理
§3 反函数定理和隐函数定理1. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-+-+023220232u z y x u z y x u z y x证明：除了不能把z y x ,,用u 唯一表示出来，其他任何三个变量都能用第四个变量唯一表出. 证 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+++-+-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=u z y x u z y x u z y x F F F u z y x F 232223),,,(2321.232212112113),,,(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=u u z y x F 显见，满足以下条件：（Ⅰ），），，，（00000=F 存在40000R T=∈），，，（； （Ⅱ）F 在4R 上可微，且F '连续； （Ⅲ）令T T z y x )0,0,0(,),,(011==ϖϖ，0322211113),0(det 011=-='ϖϖF ；令T T u z x )0,0,0(,),,(022==ϖϖ则021232121013),0(det 0202≠=--='ϖϖF ；令T T u y x )0,0,0(,),,(033==ϖϖ则012222111013),0(det 0303≠-=-='ϖϖF ；令T T u z y )0,0,0(,),,(044==ϖϖ则.03232121011),0(d e t404≠=---='ϖϖF依定理23.17，在原点邻域，除了不能把z y x ,,用u 唯一表示出来，其他任何三个变量都能用第四个变量唯一表出. 2. 应用隐函数求导公式（18），求方程组v z v u y v u x ===,sin ,cos所确定的隐函数（其中之一）),(y x z z =的所有二阶偏导数.解 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=v z v u y vu x F F F E s i n c o s 321，.),,(,),(21T T v u z y x ==ϖϖ依隐函数求导公式（18）得：[]),(),()(21121112ϖϖϖϖϖϖϖF F f ''-='-，即 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂='y v xv y u x uy z x zf )(1ϖ =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------001001101cos sin 0sin cos 01v u v v u v =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----0010010cos sin 0sin cos cos sin 1v v v u v u u v vu=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----v v v u v u v v u cos sin sin cos cos sin 1（其中u 1 的.),,(),,(321v u z F F F u ∂∂=）从而有.cos ,sin ,sin ,cos ,cos ,sin uv y v u v x v v y u v x u u v y z u v x z =∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂-=∂∂ 又 .s i n ,c o s ,222222yx y v yx v v y x u +=+=+=因此有.)(2cos sin 2cos sin ;)(cos sin sin cos ;)(2sin cos 2sin cos 222222222222222222222222y x xy u v v u vyu y v v u y z y x x y u v v u v yu v u v u y x z y x xy u v v u vx ux v vu x z +-=-=∂∂-∂∂-=∂∂+-=-=∂∂-∂∂-=∂∂∂+==∂∂-∂∂-=∂∂ 3.设方程组⎩⎨⎧=---=.0),,(),,(z y x g uv z uv y uv x f u试问：（1）在什么条件下，能确定以v y x ,,为变量，z u ,为因变量的隐函数组？ （2）能否确定以z y x ,,为自变量，v u ,为因变量的隐函数组；（2） 计算vuy u x u ∂∂∂∂∂∂,,. 解 设2521:,),,(),,(R R F z y x g uv z uv y uv x f u F F F →⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 若E 满足下列条件：（Ⅰ）存在5000000),,,,(R v u z y x p ∈，使0)(0=p F（Ⅱ）在邻域50)(R p U ⊂内，F 可微且F '连续，即就是g f ,可微且g f '',连续，（Ⅲ）由行列式求导法知⎥⎦⎤⎢⎣⎡''''+'+''+'+'+'-'-'-='00)()(1321321321z g y g x g f f f u f f f v f f f F （1）令TT T T z u v y x z u v y x ),(,),,(,),(,),,(00020000121====ϖϖϖϖ，满足0)(1(),(det 32102012≠'+'+'+'='f f f v z g F ϖϖϖ时，在邻域)()(001p U U ⊂ϖ内，由方程0=F ，能唯一确定隐函数;),,(),,()(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=v y x z v y x u z u f ϖ （2）令T T z u v y x ),(,),,(43==ϖϖ，因而得0),(det 434≡ϖϖϖF因此不能判断确定z y x ,,为自变量，v u ,为因变量的隐函数组.（3）用公式（18）求导数，令),(,),,(21z u v y x T ==ϖϖ[]).,(),()(2121112ϖϖϖϖϖϖϖF F f ''-='即 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂='v z yz xz v u y uxu f )(1ϖ ))(1((0)())(1())(1(10)()(1010)(0)(13213213321321323132132133213321f f f v g f f f g u f f f v g f f f v g g f g f g f g f g g f f f u z f x f f f f v f g g g f f f u z f x f g f f f f v z y x yz x z y xzy x z '+'+'+'=∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'+'+'''+'+'+''+'+'+'''+''-''+''-∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+'+''∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''+'+''-'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-'+'+'+-4.设[].sin ,cos ),(Tx x y e y e y x f =（1） 证明：当2),(R y x ∈时，.0),(det ≠'y x f 但在2R 上f 不是一一映射；（2）证明：f 在{}π20),(<<=y y x D 上是一一映射，并求).,0()(1e f '-证 （1）当2),(R y x ∈时，0cos sin sin cos ),(det 2≠=-='x xxx x e ye y e ye y e y xf ， 令T y x v ),(，取TT v v )2,0(,)0,0(21π==，显见21v v ≠，而[],0,1)()(21Tv f v f ==因此f在2R 上不是一一映射；（2）当{}π20),(),(<<=∈y y x D y x 时，令Ty x x ),(=，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡==y e y e x f y x x sin cos )(由于y cos 和y sin 是以π2为周期的函数，因此在D 内任意两点,),(,),(222211T T y x x y x x ==当21x x ≠时，不可能有)()(21x f x f =，所以f 在D 上是一一映射，又显见f 在D 上可微，f '连续，从而存在可导的函数，D v f →-:1，其中).(D f v =由公式（3）有[].cos sin sin cos 1cos sin sin cos )()(,)(211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='='--y e y e y e y e e y e y e y e y e x f y f xx xx xxx x x又,sin ,cos ,2122212y y e y y e y y e x x x ==+=所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+='-1221222111)()(y y y y y y y f ， 从而.0110),0()(1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='-ee ef 5.利用反函数的导数公式，计算下列函数反函数的偏导数：.,,vy u y v x u x ∂∂∂∂∂∂∂∂， （1）;)sin ,cos(),(T Txy x x y x v u = （2）.)cos ,sin (),(T x x T y x e y x e v u -+=解 令),(,),(,),(x f y y x x v u y T T ===用公式（3）有[]11)()()(--'='x f y f ，即（1）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂-u u v vdr v u v udr v u v u x y x y x y x y x y xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y v y uy v x u xcot cot 1sin cos sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos 221（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂-x xx x x xe y ey y x y x y e y e x y x y e y x y e v y u y v x u x sin cos cos sin )1cos sin (1sin cos cos sin 1. 6.设n R D n ⊂>,2为开集，2::,R D f R D →→，ψϕ且 [].,)(),()(D x x x x f T∈=ϕϕ证明：在满足0)(0=x f 的点0x 的邻域内确定隐函数2:R E g →，2-⊂n R E . 证 由,0)(0=x f 得,0)(0=x ϕ,0)()(00=x x ψϕ依定理23.9求导公式（7）有⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''''=)()()()()()(`)()()()(00000000002121x x x x x x x x x x f n n x x x x x x ϕψϕψϕψϕϕϕ 设f 在的导数矩阵两行线性相关，因此2)(0<'x f ran .但由方程0)(=x f 仍可能在点0x 的邻域内确定隐函数2:R E g →，2-⊂n R E .例如,),,,(,),,,(42231432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x --=-++=ψϕ则[],))((,),,,()(42231432143214321Tx x x x x x x x x x x x x x x x x f ---++-++==ϕ取)0,0,0,0(0=x 满足,0)(0=x f 能由方程0)(=x f 确定函数.1,1),(22332232232231Tx x x x x x x x x x x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-++= 7.设n n R D f R D →⊂:,，而且适合 （ⅰ）f 在D 上可微，且'f 连续；（ⅱ）当D x ∈时， 0)(det '≠x f ，则)(D f 是开集。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(隐函数存在定理和隐函数求导法)【圣才出品】
19.2 名校考研真题详解
1．设 f 为可微函数， 试对以下两种情况，分别求 在点
和方程 处的值．
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（①）
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（1）由方程①确定了隐函数 z＝z（x，y）；
（2）由方程①确定了隐函数 y＝y（x，z）．[华中师范大学研]
的一个邻域内
对各个变元有连续的偏导数；
（2）
（3）F，G 关于 x，y，u，v 的 Jacobi 矩阵
在点 的秩为 2，不失一般性，设
则存在点 的一个邻域，在此邻域内由方程组 F（x，y，u，v）＝0，G（x，y，u，v）＝0
可以确定惟一的函数 u＝u（x，y），v＝v（x，y），
满足 F（x，y，u（x，y）），v（x，y））＝0，G（x，y，u（x，y），v（x，y））＝0，
解：应用 Lagrange 乘数法，令
，
对 L 求一阶偏导数，并令它们都等于 0，则有
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当 x、y、z 都不为 0 时，求得该方程组的解为
所以最大值为
11．求 庆大学研]
解：令
． ，（n 为正整数）在条件 x≥0、y≥0，常数 a＞0 下的极值．[重
可以解出
这里要求分母 即
．称
是函数 F，G 关于 u，v 的 Jacobi 行列式，记为
同样，再记
那么
可写为
二、隐函数存在定理 1．一个方程的情形 （1）二元函数隐函数存在定理 设二元函数 F（x，y）满足下列条件： ①在矩形区域 数； ②
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第十六章 隐函数存在定理
第十六章 隐函数存在定理、函数相关第一节 隐函数存在定理1.（难）若在隐函数存在定理中条件改为:(1) 在区域()0000:1,D x a x x y b y y b -≤≤+-≤≤+上连续; (2) ()00 ,0F x y =;(3)当x 固定时，函数(),F x y 是y 的单调函数；则可得到什么样的结论，试证明之. 解析：结论及证明: .(1)在点()00,x y 的某一邻域内，由方程(),0F x y =能唯一确定()y f x =是x 的单调函数且()00y f x =.由条件(3)知，当x 固定时，(),F x y 是y 的严格单调函数.不妨设它是y 的严格单增函数 固定0x ，函数()0,F x y 是y 的严格增函数，且()00 ,0F x y =,因此有()00 ,0F x y b +>,()00 ,0F x y b -<由条件(1)知，(),F x y 在区域D 上连续，因而存在0η>,使当0 x x η-<时，亦有()00 ,0F x y b +>,()00 ,0F x y b -<那么对0(,)x O x η∀∈，由函数,()F x y 在[]00,y b y b -+的连续性及()0 ,0F x y b +>,()0 ,0F x y b -<据零点存在定理，必存在()00,y b y b y -∈+，使(),0F x y =由于,()F x y 在[]00,y b y b -+严格单调，从而当y y >时，(),0F x y >; 当y y <时，(),0F x y <故上述y 是唯一的这表明对0(,)x O x η∀∈，通过上述方法，有唯一的y 与x 对应，且满足(),0F x y =，于是确定了定义在0(,)O x η上的单值函数() y f x =满足()(),0F x f x =，特别有()00 ,0F x y =即()00y f x =.（2）()f x 是连续函数.10(,)x O x a ∀∈，下证() y f x =在1x 点连续.对()0b εε∀><，设()11y f x =，于是()11,0F x y = 又由条件(3)，(), F x y 是y 的严格单增函数 因此()()1111,0, ,0F x y F x y εε+>-<则由F 的连续性，知存在邻域()()10,,O x O x a δ⊂，使得当()1,x O x δ∈时，恒有()()11,0, ,0F x y F x y εε+>-<于是据零点存在定理，得必有()1,y O y ε∈，使(),0F x y =即() y f x = 即只要1x x δ-<，就有()()11f x f x y y ε-=-<即() y f x =在1x 点连续 由()10,x O x a ∈的任意性，得()f x 为连续函数.2. （中上）函数()()222,10F x y y x x ≡--=在哪些点近旁可唯一地决定单值连续，且有连续导数的函数()y y x =. 解析：二元函数()()222,1F x y y x x =--在整个二维空间连续，它的偏导数342x F x x =-，2y F y =也连续由()22210y x x --=，若0y =,则()2210x x -=，解得0,1x x ==±又220,0y x ≥≥，故210x -≥即11x -≤≤当0y ≠时，0y F ≠由隐函数存在定理1，在任何满足()(){}222, 1,0,10|x y x x yx x <≠--=近旁可唯一地决定单值连续且有连续导数的函数()y y x =.3.（中） 证明有唯一可导的函数()y y x =满足方程sin sinh y y x +=，并求出导数()'y x . 证明:二元函数(),sin sinh F x y y y x =+-在整个二维空间连续，1x F =-,cos cosh y F y y =+也连续又cosh 12y ye e y -+=且等号只在0y =时成立,而此时cos 1y =,在一般情况下cos 1y ≤ 则对一切点(),x y ，恒有cos cosh 0y F y y =+>，于是0y F ≠由隐函数存在定理1，在任何满足上述方程的点(),x y ，有唯一可导的函数满足方程sin sinh y y x +=其导函数为1'cos cosh x y F y F y y=-=+4.（中上） 设D 是点()000000:,,,,P x y z u v 的邻域，若 (1) ()()0000000000,,,,0,,,,,0F x y z u v G x y z u v ==； (2) ,F G 关于一切变量的偏导数在D 中连续； (3) u v uvF F JG G =在0P 点不为零；则在()000, , x y z 的邻域R 内存在唯一的一对函数()() ,,; ,,u f x y z v g x y z ==满足：（1）()()00000000,,,,,u f x y z v g x y z ==； （2）(,,,,)0,(,,,,)0F x y z f g G x y z f g ≡≡；（3）()() ,,; ,,u f x y z v g x y z ==在点()000, , x y z 的邻域R 内有对一切变量的偏导数，且1(,)1(,)1(,),,(,)(,)(,)1(,)1(,)1(,),,(,)(,)(,)f D F G f D F G f D F G x J D x v y J D y v z J D z vg D F G g D F G g D F G x JD u x y J D u y z J D u z ∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂∂∂=-=-=-∂∂∂解析：由条件(3)知，, u v F F 中至少有一个在0P 点不等于0不妨设()00F P ≠,则由隐函数存在定理2，知在0P点的某个邻域内可以把u 从 (),,,,0F x y z u v =中解出来.设(),,,v x y z u ϕ=且()00000,,,v x y z u ϕ=在()0000,,,x y z u 的某个邻域内是唯一的， 具有关于, , , x y z u 的连续偏导数把(),,,v x y z u ϕ=代入(), , , , G x y z u v 中得()()(), , , ,,,,,,,G x y z u x y z u x y z u ϕψ= 故uu u v u u v v v F JG G v G G F F ψ⎛⎫=+⋅=+-=- ⎪⎝⎭由假设()00F P ≠且在0P点0J ≠,故()00000,,,u x y z u ψ≠ 则由定理2,得在()0000,,,x y z u 的某邻域内可从方程()(),,,,,,,0G G x y z u p x y z u ψ=≡=中解出u 来.设(),,u f x y z =,它在()000,,x y z 的某邻域内有连续偏导数，且()0000,,u f x y z = 把(),,u f x y z =代入(),,,x y z u ϕ中得()()(),,,,,,,v p x y z f x y z g x y z == 则有()()00000000,,,,, g x y z x y z u v ϕ== 故()(),,,,,u f x y z v g x y z ==即为所求对方程组(,,,,)0(,,,,)0F x y z u v G x y z u v =⎧⎨=⎩两端关于x 求导，得00F F f F gx u x v xG G f G g x u x v x∂∂∂∂∂⎧+⋅+⋅=⎪⎪∂∂∂∂∂⎨∂∂∂∂∂⎪+⋅+⋅=⎪∂∂∂∂∂⎩解之，得1(,)1(,),(,)(,)f D F Gg D F G x J D x v x J D x u ∂∂=-=-∂∂ 同理可得1(,)1(,)1(,)1(,),,,(,)(,)(,)(,)f D F G f D F Gg D F G g D F G y J D y v z J D z v y J D u y z J D u z ∂∂∂∂=-=-=-=-∂∂∂∂5.（中）设()() 1,2,... ,i x i n ϕ=是x 的连续可导函数，且()()()()111,,,,i n i n n G x x F x x ϕϕ= 证明()()()()()()121112,,,,,,,,nn n n i i i n G G G x x x x x x ϕϕϕ'=∂=∆∂∏其中()()()121212,,,,,,,,,n n n D F F F x x x D x x x ∆=()()()()11221niin n i x x x x ϕϕϕϕ''''==∏.解析：()() 1,2,... ,i x i n ϕ=是x 的连续可导函数，且()()()()111,,,,i n i n n G x x F x x ϕϕ=则()(,1,2,,)j i i i i j j j j jG F F x i j n x x ϕϕϕϕ'∂∂∂∂=⋅==∂∂∂∂于是()()()()()()()()()()()()()()()11111111221122122222221122121122121211211,,,,,,n n n n nn n n n n n n n n n nnF F FG G G x x x x x x x x x F F F G G G x x x G G G x x x x x x x x x G G G F x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ''''''∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂()()()()()12222n n n n n n F F x x x x x ϕϕϕϕ'''=∂∂∂∂()()()()()()()()()()()()()()()()()()11111222221211221122111221122,,,,,,n n nn n n nn i i i n n n n n n n F F F x x x F F F D F F F x x x x x x x D x x x F F F x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ''''=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∏()()()()11,,.nn n i i i x x x ϕϕϕ'=∆∏6.（中）设(), ,F x y z 有二阶连续偏导数，并由(), , 0F x y z =可确定() , z f x y =.讨论() , z f x y =的极值的必要和充分条件.再求由222224100x y z x y z ++-+--=所确定的() , z f x y =的极值. 解析：因函数() , z f x y =取得极值的必要条件为(,)0(,)0x x yy z f x y z f x y ==⎧⎨==⎩又,y xx y z z F F z z F F =-=-，则(), ,F x y z 取得极值的必要条件为00x yF F =⎧⎨=⎩ 又隐函数取极值的充分条件与显函数类同，只是求二阶偏导数时要用隐函数的高阶偏导数求法令220220x yF x F y =-=⎧⎨=+=⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩对应的z 值为122,6z z =-=又22222222323311(1)(2)(1)(2)(1)(1),,,,22(2)(2)(2)z x z y z x z z y z z x y x z y z x z y z x y z ∂-∂+∂-+-∂++-∂-+=====∂-∂-∂-∂-∂∂- 于是在点(1,1,2)--，2222211,,044z z z x y x y ∂∂∂===∂∂∂∂，由111004416⋅-=>及104>，则12z =-为极小值；在点(1,1,6)-，2222211,,044z z z x y x y ∂∂∂=-=-=∂∂∂∂，由111004416⎛⎫⎛⎫---=> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭及104-<，则26z =为极大值.第二节 函数行列式的性质、函数相关1.（中下）证明cos cos cos sin sin x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩函数独立解析：因2cos cos sin cos cos sin (,,)cos sin sin sin cos cos cos (,,)sin cos 0r r D x y z r r r D r r θϕθϕθϕθϕθϕθϕθθϕθθ--=-=-则在0r ≠.且2k πθπ≠+的区域D 内(,,)0(,,)D x y z D r θϕ≠于是据定理5，得原函数组在区域D 内函数独立.2.（中）证明112222212312131n n n n y x x x y x x x y x x x x x x-=+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩函数相关，并写出其函数关系式.解析：因存在函数()()212121,2t t t t ϕ=-，使得()()2312121,2y y y y y ϕ==-在整个n 维空间()12,,,n x x x 内成为恒等式则函数组在整个n 维空间中函数相关，其函数关系式为()231212y y y =-.3.（中上）下列函数是否相关? （1）,,x y y z z xx z y x z y------ （2）,,111x y zx y z x y z x y z---------解析：(1) 因1231f f f ⋅⋅=-, 则函数相关. (2) 令123(,,),(,,),(,,)111x y zf x y z f x y z f x y z x y z x y z x y z===---------则Jocobi 矩阵为1112222222223332221(1)(1)(1)1(1)(1)(1)1(1)(1)(1)f f f y z xxx y z x y z x y z x y z f f f yx z zx y z x y z x y z x y z f f f z zx y x y z x y z x y z xyz ⎛⎫⎛⎫∂∂∂-- ⎪⎪∂∂∂--------- ⎪ ⎪⎪ ⎪∂∂∂--= ⎪⎪∂∂∂--------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂-- ⎪⎪---------∂∂∂⎝⎭⎝⎭又此矩阵的秩为3，则据定理6，得函数组函数独立.。
隐函数存在定理3
隐函数存在定理隐函数存在定理是微分学中的一个重要定理，用于判断一个方程是否存在隐函数。
隐函数存在定理有好几个版本，其中隐函数存在定理3是对多元函数的一个扩展。
该定理在数学分析、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
函数的定义在介绍隐函数存在定理3之前，我们首先来了解一下函数的基本概念。
在数学中，函数可以简单地理解为对于给定的输入，给出一个唯一的输出。
函数可以用公式、图表或者描述性的文字来表示。
以y = f(x)为例，y表示函数的输出，x表示函数的输入，f表示函数的定义域和值域之间的对应关系。
函数的定义域是指所有可能的输入值的集合，值域是指所有可能的输出值的集合。
隐函数则是一种特殊的函数，其定义形式为F(x, y) = 0。
与显式函数不同，隐函数无法通过直接解出y来表示。
例如，对于方程x2+y2-1=0来说，我们无法直接解出y作为x的函数。
因此，我们需要通过隐函数存在定理来判断方程是否存在隐函数，并进一步求解该隐函数。
隐函数存在定理3隐函数存在定理3是对多元函数隐函数存在定理的一个扩展。
它给出了判断一个方程组是否存在隐函数的条件，以及如何求解这个隐函数。
具体而言，隐函数存在定理3可以表述为以下几点：1.假设有一个方程组G(x, y) = 0，其中G是从定义域D到值域R上的函数。
我们需要找到一对点(x0, y0)使得G(x0, y0) = 0，并且在该点的某个领域内，函数G满足一定的可微分条件（偏导数连续）。
这样的点(x0, y0)称为方程组的一个解。
2.假设方程组G(x, y) = 0满足某个可微分条件，函数G的偏导数连续，并且在(x0, y0)附近的一个矩形区域内满足Gx(x, y)≠ 0。
这意味着在该区域内，方程组可以被表示为y = f(x)，其中f是一个函数。
3.如果上述条件满足，并且方程组G(x, y) = 0的任意两条曲线都不相交，那么在(x0, y0)附近存在一个函数f(x)，满足方程组G(x, f(x)) = 0。
关于隐函数存在定理证明教学的新探讨
关于隐函数存在定理证明教学的新探讨1.问题的提出数学分析教学中“隐函数存在定理”的证明，是一个较为复杂，不易被学生很快理解和掌握的定理。
现把该定理复述如下：定理：设F（x，y）在（x，y）的领域内连续，并有连续的偏导数F′（x，y），如果F（x，y）=0?摇?摇?摇F′（x，y）≠0则在（x，y）的某领域内，方程F（x，y）=0有唯一的连续解y=f（x），也就是说，这时存在某η0，使得在［x-η，x+η］上存在着一函数y=y（x），使得：1）y=y（x）；2）y（x）在［x-η，x+η］上连续；3）在［x-η，x+η］上恒等式F（x，y（x））=0成立；4）满足条件1）—3）的函数y（x）是唯一的。
在定理所给条件下，找到满足结论条件的隐函数y=f（x），从几何直观来看就是：若在（x，y）附近z=F（x，y）为光滑曲面，则它在点（x，y）附近与z=0的交线为光滑曲线，并能表示为y为x的函数（当F′（x，y）≠0），如图1所示。
对于这个定理，一般的分析教科书上多采用的传统证法是基于它的几何意义，而从下面几方面去进行推断。
（一）定理的结论，实质是找曲面z=F（x，y）和平面z=0的交线y=f（x），使得这曲线过（x，y）且在x附近连续，唯一。
（二）要这曲线过（x，y）必须曲面过（x，y），即F（x，y）=0。
（三）要这曲线在x附近连续，只需曲面z=F（x，y）在（x，y）附近连续。
（四）要曲线唯一，也就需证，对x附近任一x，有唯一确定的y。
在定理题设中有，F′（x，y）≠0，不妨假定它大于0，由于F′（x，y）连续，因此存在（x，y）的某个领域，其中每一点F′都大于0。
在该领域内，固定x=x，令φ（y）=F（x，y），由于φ′（y）0，因此φ（y）是单调上升的，只要证明存在y及y，使得φ（y）0，φ（y）0，则由一元连续函数的中值定理，就存在一点M（x，y）使F（x，y）=0，这是定理证明的核心。
其几何意义是：曲面z=F（x，y）垂直于x轴的平面x=x的交线z=F（x，y），剖面图形如图2所示。
隐函数存在定理
隐函数存在定理注: ∧P 读作P roof .定理1 设),(y x F 满足下列条件：i) x F ,y F 在D :a x x ≤-∧||,b y y ≤-∧||上连续; ii) 0),(=∧∧y x F (通常称为初始条件); iii) 0),(≠∧∧y x F y . 则有以下三个结论:(1)0>∃α, 使得在点),(∧∧∧y x P 的某一个邻域内, 方程0),(=y x F 唯一地确定了一个定义在区间),(αα+-∧∧x x 内的隐函数)(x f y =, 满足)(∧∧=x f y .换句话说, 存在定义在),(αα+-∧∧x x 内的函数)(x f y =, 满足0)](,[≡x f x F , 且)(∧∧=x f y ;(2))(x f y =在),(αα+-∧∧x x 上连续;(3))(x f y =在),(αα+-∧∧x x 上有连续的导数, 且),(),()(y x F y x F x f y x -='.定理2 设函数),,,,(21y x x x F n 满足下列条件:i) 偏导数),,2,1(n i F ix =和y F 在D :),,2,1(||n i a x x i i i =≤-∧,b y y ≤-∧||上连续, 其中0>b ,),,2,1(0n i a i =>;ii) 0),,,,(21=∧∧∧∧y x x x F n ; iii) 0),,,,(21≠∧∧∧∧y x x x F n y . 则有以下结论成立:(1)存在),,,(21∧∧∧∧n x x x Q 的一个邻域)(∧Q O , 使得在点),,,,(21∧∧∧∧∧y x x x P n 的某个邻域内, 方程0),,,,(21=y x x x F n 唯一地确定了一个定义在)(∧Q O 的n 元隐函数),,,(21n x x x f y =, 满足),,,(21∧∧∧∧=n x x x f y .换句话说, 存在函数),,,(21n x x x f y =,∈),,,(21n x x x )(∧Q O , 使得当∈),,,(21n x x x )(∧Q O 时,,,,,[21n x x x F ),,,(21n x x x f 0]≡,且),,,(21∧∧∧∧=n x x x f y ;(2)),,,(21n x x x f y =在)(∧Q O 内连续;(3)),,,(21n x x x f y =在)(∧Q O 内有连续的偏导数, 且n i y x x x F y x x x F f n x n x x i i i ,,2,1,),,,,(),,,,(2121 =-=.定理3 设函数),,,(v u y x F 和),,,(v u y x G 满足:i) 在点),,,(∧∧∧∧∧v u y x P 的某个邻域U 内,F ,G 对各变元均有一阶连续偏导数;ii) 0)(=∧P F ,0)(=∧P G (称为初始条件); iii) 0),(),(≠∂∂=∧∧PP v u G F J.则有以下结论成立:(1)在点∧P 的某个邻域U ⊂∆内, 方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 唯一地确定一组函数),(y x u u =,),(y x v v =,它们定义在),(∧∧y x 的某个邻域D 内, 当D y x ∈),(时, ∆∈),,,(v u y x ,满足),(∧∧∧=y x u u ,),(∧∧∧=y x v v ,且D y x y x v y x u y x G y x v y x u y x F ∈⎩⎨⎧≡≡),(,0)],(),,(,,[,0)],(),,(,,[;(2)),(y x u u =及),(y x v v =在D 内连续;(3)),(y x u u =及),(y x v v =在D 内有关于x ,y 的偏导数, 且),(),(1v x G F J x u ∂∂-=∂∂,),(),(1v y G F J y u ∂∂-=∂∂,),(),(1x u G F J xv ∂∂-=∂∂, ),(),(1y u G F J yv ∂∂-=∂∂.定理4 设函数组),(y x u u=,),(y x v v =满足i) 在),(∧∧∧y x P 的某邻域D 内对x ,y 有连续偏导数; ii) ),(∧∧∧=y x u u ,),(∧∧∧=y x v v ; iii) 0),(),(≠∂∂=∧∧PP v u G F J.则在),(∧∧∧y x Q 的某邻域D '内存在唯一一组反函数),(v u x x =,),(v u y y =使得(1)),(∧∧∧=v u x x ,),(∧∧∧=v u y y ,且当D v u '∈),(时D y x ∈),(,有)],(),,([v u y v u x u u ≡, )],(),,([v u y v u x v v ≡;(2)),(v u x x =,),(v u y y =在D '内存在连续的一阶偏导数, 且yv J ux ∂∂=∂∂1,yu J vx ∂∂-=∂∂1, xv J uy ∂∂-=∂∂1,xu J vy ∂∂=∂∂1.推论1 在定理4的条件下有1),(),(),(),(=∂∂⋅∂∂y x v u v u y x .推论2 设函数组),(y x u u=,),(y x v v =在开集D 内有连续偏导数, 且在D 内),(),(y x v u ∂∂恒不为零, 则由函数组定义的映射)(:D T D T →的像集)(D T 是uv 平面上的开集.推论3 在推论2的条件下, 设DE ⊂是任一有界闭集, 则它的像集))()((D T E T ⊂也是有界闭集, 且E 的内点映射为)(E T 的内点, E的边界点映射为)(E T 的边界点映射.定理5 设有n 个m n +元函数),,,,,,,(2121n m i y y y x x x F ),,2,1(n i =,满足i) 在点),,,,,,,(2121∧∧∧∧∧∧∧n m y y y x x x P 的某邻域U 内有对各变元的连续偏导数; ii) n i P F i ,,2,1,0)( ==∧; iii) .0),,,(),,,(2121≠∂∂=∧Pn n y y y F F F J则有以下结论成立:(1) 在∧P 的某邻域内, 方程组0),,,,,,(121=n m i y y x x x F ,n i ,,2,1 =,唯一地确定函数组),,,(21m i i x x x f y =,n i ,,2,1 =,它们定义在),,,(21∧∧∧m x x x 的某邻域D 内, 使得),,,(21∧∧∧∧=m i i x x x f y ,n i ,,2,1 =,且当D x x x m ∈),,,(21 时有恒等式)],,,(,),,,,(,,,,[2121121≡m n m m i x x x f x x x f x x x F ;(2) 这组函数),,2,1(n i f i =在D 内连续;(3) 这组函数),,2,1(n i f i =在D 内对个变元有连续的偏导数, 且对j x ),,2,1(n j =的偏导数可由下面方程组解出:02211=∂∂∂∂++∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂jn n i ji ji ji x f y F x f y F x f y F x F ),,2,1(n j =.。
数学分析第十七章课件隐函数存在性定理
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定理17.2
设函数 F (x1, x2, , xn, y) 满足下列条件：
（i）偏导数 Fxi (i 1, 2,
,
n)和Fy在D：| xi
x (0) i
|
ai
(i
1,
2,
, n)，
y 连续且
F
(
x,
y0
b)
0
F (x, y0 b) 0
y ( y0 b, y0 b) , 使F( x, y )= 0 唯一
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则：（1）存在 0 使得在 p0 点的某一邻域内，方程 F(x, y) 0 唯一地确定一个定义在区间(x0 , x0 ) 内的隐函数 y f (x) ，定义在 (x0 , x0 )内满足 F(x, f (x)) 0 且 y0 f (x0 )
唯一确定隐
函数 y f (x)
曲面 z F(x, y) 必须与 z 0 相交
y f (x)（1）连续 （2）可微
（1）连续曲线存在 交线
p0
(
x0
,
y0
),使
（2）存在切线
F (x0 , y0 ) 0
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2
曲面 z F(x, y) 在 p0点有切平面且切平面的法线不平行于 z
轴（即切平面不是 xoy 平面）
p0 切平面的法向量为 n Fx, Fy , 1 P0 与 k 0,0,1 不共线
Fx , Fy P0 0, 0（即 Fx , Fy 不能同时为零）
交线 L存在切线 ，T意味着一元函数的可微性，也要求
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逆映射存在定理证明隐函数存在定理
隐函数存在定理是微分方程和微分学中一个非常重要的定理。
它基本上是微分学中的一个基本工具，用来证明某些函数的存在性。
而逆映射存在定理又是微分学中的另一个重要定理，从某种程度上说，它们之间有一定的联系。
在本文中，我将与您一起探讨逆映射存在定理证明隐函数存在定理，并以此为主题撰写一篇关于逆映射存在定理和隐函数存在定理的文章。
1. 逆映射存在定理
在进行逆映射存在定理的探讨之前，我们需要先了解什么是逆映射。
在数学中，如果一个函数 f(x) 是一一对应的，即对于每一个 x 都有唯一的 f(x) 与之对应，那么我们称这个函数是一一映射。
而逆映射就是对于一一映射中的每一个 y，都存在唯一的 x 与之对应。
在数学上，逆映射通常用 f^-1(y) 来表示。
现在我们来谈谈逆映射存在定理。
逆映射存在定理是微分学中的一个重要定理，它指出了在一定条件下，存在一个函数的逆映射。
具体来说，如果一个函数 f(x) 在某个区间上是连续的、可微的，并且其导数不为零，那么在这个区间上，函数 f(x) 是一一映射的。
根据逆映射存在定理，我们可以得出结论：在这个区间上，函数 f(x) 存在逆映射f^-1(y)。
2. 隐函数存在定理
接下来，我们来讨论隐函数存在定理。
隐函数存在定理是微分学中的
另一个重要定理，它用来证明一个方程定义了一个隐函数。
具体来说，如果一个方程 F(x, y) = 0 在某个点 (a, b) 附近有连续的偏导数，并且
满足一定的条件，那么在这个点附近，存在一个函数 y = f(x)，满足方程 F(x, f(x)) = 0，并且在这个点附近是可微的。
这个函数就是我们所
说的隐函数。
综合论述
通过以上的讨论，我们可以发现逆映射存在定理和隐函数存在定理有
着一定的联系。
在证明隐函数存在时，我们可以利用逆映射存在定理
来简化证明过程，从而更好地理解和应用这两个定理。
逆映射存在定
理为我们提供了一种判断函数是否存在逆映射的方法，而隐函数存在
定理则为我们提供了一种求解隐函数的方法。
个人观点
在我看来，逆映射存在定理和隐函数存在定理都是微分学中非常有用
的定理。
它们不仅为我们提供了一种判断函数是否存在逆映射和求解
隐函数的方法，还为我们提供了一种简化证明的途径。
通过逆映射存
在定理和隐函数存在定理，我们可以更深入地理解函数和方程的性质，为后续的微分学学习打下坚实的基础。
总结回顾
通过本文的探讨，我们了解了逆映射存在定理和隐函数存在定理的基
本概念和应用。
在证明隐函数存在时，我们可以利用逆映射存在定理
来简化证明过程，从而更好地理解和应用这两个定理。
逆映射存在定
理为我们提供了一种判断函数是否存在逆映射的方法，而隐函数存在
定理则为我们提供了一种求解隐函数的方法。
在微分学中，逆映射存
在定理和隐函数存在定理是非常有用的工具，对于我们理解和应用微
分学中的概念和定理具有重要的意义。
逆映射存在定理证明隐函数存在定理是微分学中的两个重要定理，它
们为我们提供了一种简化证明的途径，帮助我们更深入地理解和应用
微分学中的概念和定理。
相信通过对这两个定理的深入学习和掌握，
我们将能够更加灵活地运用它们解决问题，为我们的学习和研究带来
更多的帮助和启发。
逆映射存在定理证明隐函数存在定理，在微分学
中起着非常重要的作用。
在学习微分学的过程中，我们经常会遇到各
种函数和方程，而逆映射存在定理和隐函数存在定理为我们提供了一
种判断函数是否存在逆映射和求解隐函数的方法，这些定理对我们理
解和应用微分学中的概念和定理具有重要的意义。
让我们重温一下逆映射存在定理。
逆映射存在定理告诉我们，如果一
个函数在某个区间上是连续的、可微的，并且其导数不为零，那么在
这个区间上，函数是一一映射的。
根据这个定理，我们可以得出结论：在这个区间上，函数存在逆映射。
这为我们提供了一种判断函数是否
存在逆映射的方法，为我们在求解问题时提供了便利。
让我们回顾一下隐函数存在定理。
隐函数存在定理告诉我们，如果一
个方程在某个点附近有连续的偏导数，并且满足一定的条件，那么在
这个点附近，存在一个隐函数满足这个方程，并且在这个点附近是可
微的。
这为我们提供了一种求解隐函数的方法，帮助我们解决一些复
杂的方程和函数求解问题。
在实际问题中，我们经常会遇到需要判断函数是否存在逆映射或者求
解隐函数的情况。
通过逆映射存在定理和隐函数存在定理，我们可以
更好地理解和应用微分学中的概念和定理，解决这些问题。
在证明隐函数存在时，我们可以利用逆映射存在定理来简化证明过程。
通过逆映射存在定理，我们可以判断原方程是否存在逆映射，从而得
出隐函数存在的结论，为我们的证明提供了一条捷径。
从个人角度来看，我认为逆映射存在定理和隐函数存在定理都是微分
学中非常有用的定理。
它们不仅为我们提供了一种判断函数是否存在
逆映射和求解隐函数的方法，还为我们提供了简化证明的途径。
通过
深入学习和掌握这两个定理，我相信我们将能够更加灵活地运用它们解决问题，为我们的学习和研究带来更多的帮助和启发。
逆映射存在定理证明隐函数存在定理是微分学中的两个重要定理，它们为我们提供了一种简化证明的途径，帮助我们更深入地理解和应用微分学中的概念和定理。
通过对这两个定理的深入学习和掌握，我们将能够更加灵活地运用它们解决问题，为我们的学习和研究带来更多的帮助和启发。
希望通过这篇文章，读者能够更好地理解和应用逆映射存在定理和隐函数存在定理，在微分学的学习中取得更好的成绩。