2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期入学考试数学试题
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长郡中学2020～2021 学年度高二第一学期入学考试
数 学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共8页。时量120分钟。满
分100分。
第I卷
一、单项选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合214Axx，集合21Byyx则AB=
A. 11[,]22 B.[-1,1] C. [0,1] D. 1[0,]2
2.若等差数列na各项都是正数，11233,21aaaa,则345aaa
A.21 B.45 C.63 D.84
3.如图是幂函数nyx的部分图象,已知n取12，2，- 2，12这四个
值,则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为
A.2，12，1,22 B.—2，11,,222
C. 11,2,2,22 D. 112,2,22，
★4.已知一-组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是13，那么另一组数据
3x1-2，3x2- 2，3x3- 2，3x4-2，3x5- 2的平均数和方差分别为
A.2，13 B.2，1 C.4，23 D.4，3
5.阿波罗尼斯(约公元前262年至公元前190年)是古埃及希腊化时期的著名数学
家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一:“若动点P与两定点M,N的距离之
比为0,1)（且,则点P的轨迹就是圆”,事实上，互换该定理中的部分题设和
结论,得到的命题依然成立.已知点M(2,0)，点P为圆O:x2+y2=16上的点,若存在x
轴上的定点N(t,0)(t>4)和常数λ,对满足已知条件的点P均有PMPN,则λ= .
A.1 B. 12 C. 13 D. 14
★6.若仅存在一个实数(0,)2t.使得曲线C: sin()(0)6yx关于直线x=t
对称,则的取值范围是
A. 17[,)33 B. 410[,)33 C. 17(,]33 D. 410(,]33
7.已知一个正三棱锥的高为3,如下图是其底面用斜二测画
法所画出的水平放置的直观图,其中O'为B'C'的中
2
点,OA'=32 ,则此正三棱锥的体
积为
A. 3 B. 33 C. 34 D. 334
★8.已知向量abpab,其中,ab均为非零向量,则b的取值范围是
A. [0, 2] B. [0,1] C. (0,2] D. [0,2]
9.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心O的距离等于球半径的一半,且AB=
BC=CA=2,则球O的体积为
A. 25681 B. 6427 C. 169 D. 43
10.如图，直角△ABC的斜边BC长为2,∠ACB=30° ,且点B、
C分别在x轴、y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方.
设(,)OAxOByOCxyR,记,MOAOCNxy,分别考
察M、N的所有运算结果,则
A.M有最小值,N有最大值 B.M有最大值,N有最小
值
C.M有最大值,N有最大值 D.M有最小值,N有最小值
二、多项选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的选项中,有多
项符合题目要求.全部选对的得3分,有选错的得0分,部分选对得1分)
11.下列关于函数1()1xfxx的说法中正确的是
A. f(x)为奇函数 B. f(x)在(0,+∞).上单调递减
C.不等式f(x)<0的解集为(,1)(1,) D.不等式f(x)<0的解集为
(1,0)(0,1)
12.如图,在正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中,AB=2AA1，E、F分别为
AB、
BC的中点,异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m,则
A. 33m B.直线A1E与直线C1F共面
C. m=23 D.直线A1E与直线C1F异面
3
13.已知定义在R上的函数f(x)满足()()0,(6)()fxfxfxfx,且对任意的
x1，2[3,0]x，当x1≠x2时，都有11221221()()()()xfxxfxxfxxfx，则以下判
断正确的是
A.函数f(x)是偶函数 B.函数f(x)在[-9,-6]单调递增
C. x=3是函数f(x)的对称轴 D.函数f(x)的最小正周期是12
14.将函数()sin(0)fxx的图象向右平移12个单位长度得到函数y=g(x)的
图象.若函数g(x)在区间[0,]2上是单调增函数,则实数可能的取值为
A. 23 B.1 C. 65 D.2
15.定义在(,0)(0,)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列na,数列
()nfa
仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数".现有定义在
(,0)(0,)
上的四个函数中,是“保等比数列函数”的为
A. f(x)=x2 B. f(x)=2x C. ()fxx D. ()lnfxx
第II卷
三/填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)
16.某中学高二年级甲班的学生共有25名女生和35名男生,现以简单随机抽样的
方法从甲班全班同学中推选5名学生代表甲班参加全校演讲比赛,则甲班中某女
生被抽到的概率是____。
★17.已知函数831(0xyaa,且a≠1)的图象恒过定点A(m，n),则
log____mn
18.若过原点O的动直线l将圆E:(x-1)2+(y-2)2= 10分成的两部分面积之差最大时,
直线l与圆E的交点记为A、B；l将圆E分成的两部分面积相等时,直线l与圆E
的交点记为C、D;则四边形ABCD的面积为________________。
19.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”
中提出了已知三角形三边a、b、c,求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等
价,其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之,自乘于上，以小斜冥乘大斜冥
减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写出公式，即若
a>b>c，则2222221[()]42cabca,现有周长为10+27的△ABC满足
sin:sin:sin2:3:7ABC
,则用以上给出的公式求得△ABC的面积为
___________。
20.已知a，b为正实数,且a+b+ab=3,则2a+b的最小值为_________
四、解答题(本题共5小题,每小题8分,共40分.解答应写出文字说明,证明过程或
4
演算步骤. )
21. (8分)
在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边,若b=3,c=4,C=2B,且ab.
(1)求cos B及a的值;
(2)求cos(2)3B的值.
★22. (8分)
某学校进行体验,现得到所有男生的身高数据,从中随机抽取50人进.行统计(已知
这50人身高介于155cm到195cm之间),现将抽取结果按如下方式分成八组:第一
组[155,160),第二组[160,165),.,第八组[190,195],并按此分组绘制如图所示的频率
分布直方图,其中第六组[180,185)和第七组[185,190)还没有绘制完成,已知第一组
与第八组人数相同,第六组和第七组人数的比为5 : 2.
(1)补全频率分布直方图;
(2)根据频率分布直方图估计这50个男生身高的中位数;
(3)用分层抽样的方法在身高为[170,180)内抽取一个容量为5的样.本,从样本中任
意抽取2个男生,求这两个男生身高都在[175,180]内的概率.
23.(8分)
已知数列na的前n项和为Sn，且1(2)3nnaSn对任意nN都成立.
(1)求a1 ，a2的值;
(2)证明数列2na是等比数列.并求出数列na的通项公式;
(3)设nnbna，求数列nb的前n项和Tn.
24. (8分)
已知两个定点A(0,4),B(0,1),动点P满足2PAPB,设动点P的轨迹为曲线E,直
线l:y=kx-4.
(1)求曲线E的轨迹方程;
(2)若l与曲线E交于不同的C、D两点,且∠COD= 120°(O为坐标原点),求直线l
5
的斜率;
(3)若k=1,Q是直线l上的动点,过Q作曲线E的两条切线QM、QN,切点为M、
N,探究:直线MN是否过定点,若存在定点请写出坐标,若不存在则说明理由.
25.(8分).
设二次函数2()(0)fxaxbxca,集合()Axfxx
(1)若=1,2()0Afx，，且方程f(x)=0的两根都小于1,求实数a的取值范围;
(2)若2A ,求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值M(结果用a表示).
湖南省长郡中学2024届高三上学期月考(五)数学试题含答案解析
英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}2|60Ax xx =−−<，集合{}2|lo 1g Bx x =<，则A B ∪=A. ()2,3−B. (),3−∞C. ()2,2−D. ()0,2（2022.广州二模）2. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A. 12xy =B. 2yx x =−C. 1y x =−D. 1y x x=−3. 已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln xx xπ≈，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lg e 0.4343)≈（ ） A. 1086C. 980D. 10604. 2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为()0e 0ktP P t −=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ） A. 5%B. 3%C. 2%D. 1%（2022.苏北七市三模） 5. 函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能是（ ） 的AB.C. D.6. 现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段(2)n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（ ） A. 8B. 9C. 10D. 117. 已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+−>，x R ∈.若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A. 10,8B. 150,,148∪C. 50,8D. 1150,,848∪8. 已知函数22()42af x x x x =−−−在区间(),2−∞−，)+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0a <≤B. 04a <≤C. 0a <≤D. 0a <≤二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为()x x f x ae be −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数()f x ，以下结论正确的是（ ）A. 如果a=b ，那么()f x 奇函数B. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数C. 如果0ab >，那么()f x 没有零点D. 如果1ab =，那么()f x 的最小值为2.为10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着1BB 和1DD 分别作上底面的垂面，垂面经过棱,,,EP PH HQ QE 的中点,,,F G M N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若2EN AB EA ===，则（）A. 1BB =B. //FG ACC. BD ⊥平面1BFB GD. 几何体2的表面积为811. 已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A. 120x x +> B. 120x x < C. 12ln 0xe x +=D. 12121x x x x −+<12. 已知0ab ≠，函数()2e axf x x bx =++，则（ ） A. 对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点B. 对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条C. 当2a b +=−时，()f x 存在零点D. 当0a b +>时，()fx 最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin 3cos 0αα−=，则cos 2tan αα+=________． 14. 函数()1293xxf x −=+的最小值是___________.15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =___________.①()f x 是定义域为R 的奇函数；②()()11f x f x +=−；③()12f =.16. 函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为__________．的四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()222(sin sin sin )1cos2.a A c C b B a C +−=− （1）求B.（2）是否存在()0,A π∈，使得2a c b +=，若存在，求;A 若不存在，说明理由.18. 已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大？ 19. 函数22()ln ,()(2) 2.71828...x f x a x x g x x e x m x e =−=−−+=+（其中）. （1）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =−时，(0,1]x ∈时，()()f x g x >恒成立，求正整数m 最大值.20. 已知函数()()ln f x a x a x =+−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()2e af x a <．21. 已知函数()ln 1f x x x x =−−． （1）证明：()0;f x ≤ （2）若e 1x ax ≥+，求a ．22. 设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+−−+.（1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在R 上单调递增，求a.的英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}2|60Ax xx =−−<，集合{}2|lo 1g Bx x =<，则A B ∪=A. ()2,3−B. (),3−∞C. ()2,2−D. ()0,2【答案】A 【解析】【分析】先由二次不等式的解法得{}|23Ax x =−<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x −−<,解得23x −<<,则{}|23A x x =−<<,解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<,即A B ∪=()2,3− 故选:A.. （2022.广州二模）2. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A. 12xy =B. 2yx x =−C. 1y x =−D. 1y x x=−【答案】C 【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.【详解】对A ：容易知12xy =是偶函数，且在()0,+∞单调递减，故错误；对B ：容易知2yx x =−是偶函数，当0x >时，2y x x =−，,其在10,2单调递增，在1,2+∞单调递减，故错误； 对C ：容易知1y x =−是偶函数，当0x >时，1y x =−是单调增函数，故正确；对D ：容易知1y x x=−是奇函数，故错误； 故选：C.3. 已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln xx xπ≈，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lg e 0.4343)≈（ ） A. 1086 B. 1229C. 980D. 1060【答案】A 【解析】【分析】由题中的定义，可知是计算ln1100000000，再根据对数的运算法则及性质求解即可.【详解】由题意，可知100002500(10000)2500lg e 25000.43431086ln100004ln10l 00100n 10π≈===≈×≈. 故选:A4. 2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为()0e 0ktP P t −=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ） A. 5% B. 3%C. 2%D. 1%【答案】B 【解析】【分析】根据前4小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，求出1ln104k =，再计算经过6小时，空气中剩余污染物的残留量，可得答案.【详解】由题可得，前4小时，废气中的污染物恰好被过滤掉90%，故由0e ktPP −=⋅得()400190%e kP P −−=，所以40.1e k −=，即1ln104k =， 由再过滤2小时，即共6小时，空气中剩余污染物为321336ln10ln106ln10422000000e e e e 10kP P P P P P − −−− −======， ()3,3.5，故污染物所剩比率约为03%P ,故选：B（2022.苏北七市三模） 5. 函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】取0,0,0a c b >>=，此时()2axf x x c=+，可排除A 、C 、D. 【详解】因为,,R a b c ∈，所以取0,0,0a c b >>=，此时()2axf x x c=+，0x >时，()0f x >，0x <时，()0f x <，故只有B 符合题意. 故选：B.6. 现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段(2)n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（ ） A. 8 B. 9C. 10D. 11【答案】B 【解析】【分析】不构成三角形的条件就是任选三条线段较小两条之和不超过最长线段，因n 段之和为定值，欲n 尽可能的大，按从小到大排序后，必须每段的长度尽可能小，即：保证前两段最短的情况下，使得第三项等于前两项之和便不能构成三角形.【详解】截成的铁丝最小为1，因此第一段为1，因n 段之和为定值，欲n 尽可能的大，则必须每段的长度尽可能小， 所以第二段为1，又因为任意三条线段都不能构成三角形， 所以三条线段中较小两条之和不超过最长线段， 又因为每段的长度尽可能小， 所以第三段为2，为了使得n 最大，因此要使剩下的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻两段之和， 依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34，以上各数之和为88，与89相差1，因此可以取最后一段为35， 这时n 达到最大为9. 故选：B.7. 已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+−>，x R ∈.若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A. 10,8B. 150,,148∪C. 50,8D. 1150,,848∪【答案】D 【解析】【分析】先把()f x化成()4f x x πω=−，求出()f x 的零点的一般形式为+4,k x k Z ππω∈，根据()f x 在区间(,2)ππ内没有零点可得关于k 的不等式组，结合k 为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围.【详解】由题设有1cos 11()sin 2224f x x x x πωωω−=+−=−， 令()0f x =，则有,4x k k Z πωπ−=∈即+4,k xk Z ππω∈.因为()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，故存在整数k ，使得5++442k k ππππππωω≤<<，即14528k k ωω ≥+ ≤+，因为0ω>，所以1k ≥−且15428k k +≤+，故1k =−或0k =，所以108ω<≤或1548ω≤≤， 故选：D.【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题.8. 已知函数22()42af x x x x =−−−在区间(),2−∞−，)+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0a <≤B. 04a <≤C. 0a <≤D. 0a <≤【答案】D 【解析】【分析】设2()42ag x x x =−−的零点为1x ，2x 且12x x <，讨论区间范围写出()f x 的分段函数形式，讨论参数a 结合()f x 各区间的函数性质判断单调性，根据已知区间的单调性求参数范围即可.【详解】设2()42a g x x x =−−，其判别式21604a ∆=+>，∴函数()g x 一定有两个零点，设()g x 的两个零点为1x ，2x 且12x x <，由2402a x x −−=，得1x =2x =， ∴121224,2()24,24,2ax x x a f xx x x x x ax x x +<=−−≤≤ +>， ①当0a ≤时，()f x 在()1,x −∞上单调递减或为常函数，从而()f x 在(),2−∞−不可能单调递增，故0a >；②当0a >时，()20g a −=>，故12x >−，则120x −<<， ∵()f x 在()1,x −∞上单调递增，∴()f x 在(),2−∞−上也单调递增，10g =−<2x <，由()f x 在2,8ax和()2,x +∞上都单调递增，且函数的图象是连续的，∴()f x 在,8a +∞上单调递增，欲使()f x 在)+∞上单调递增，只需8a≤a ≤，综上：实数a 的范围是0a <≤. 故选：D.【点睛】关键点点睛：先研究绝对值部分的零点，进而写出()f x 的分段函数表达式，再讨论参数a ，根据函数性质及已知区间单调性求参数的范围.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为()x x f x ae be −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数()f x ，以下结论正确的是（ ）A. 如果a=b ，那么()f x 为奇函数B. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数C. 如果0ab >，那么()f x 没有零点D. 如果1ab =，那么()f x 的最小值为2【答案】BC 【解析】【分析】利用函数的奇偶性，单调性，零点和基本不等式等性质逐一分析即可得到选项. 【详解】解：对于A ：当a b =时，函数()xx f x ae ae −=+，此时()()x x f x ae ae f x −−=+=为偶函数，故A 错误.对于B ：当0ab <时，令0,0a b ><，函数x y ae =在其定义域上单调递增函数，函数x by e=在其定为义域上也为单调递增函数，故函数()xxb f x ae e =+在其定义域上为单调递增函数； 当0,0a b <>，函数x y ae =在其定义域上为单调递减函数，函数x b y e=在其定义域上也为单调递减函数，故函数()x x b f x ae e =+在其定义域上为单调递减函数； 综上，如果0ab <，那么()f x 为单调函数；故B 正确.对于C ：当0,0a b >>时，函数()0x x f x ae be −=+≥=>，当0,0a b <<时，函数()()0x x f x ae be −=−−−≤−=−<；综上，如果0ab >，那么函数()f x 没有零点；故C 正确.对于D ：由1ab =，则1b a=， 当0,0a b <<时，函数()12x x f x ae e a −=−−−≤−=− ； 当0,0a b >>时，函数()12x x f x ae e a −=+≥=； 故1ab =时，函数()f x 没有最小值，故D 错误故选：BC.10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着1BB 和1DD 分别作上底面的垂面，垂面经过棱,,,EP PH HQ QE 的中点,,,F G M N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若2EN AB EA ===，则（）A. 1BB =B. //FG ACC. BD ⊥平面1BFB GD. 几何体2的表面积为8【答案】ABC .【解析】【分析】对于A ，先证得四形边1B FBG 是边长为2菱形，再利用中位线定理求得FG ，从而得解；对于B ，利用面面平行的性质定理证得//AC EH ，从而得证；对于C ，利用勾股定理证得PQ BK ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；对于D ，将几何体2拆分成4个正方形与8个菱形即可得得解.【详解】将几何体1与几何体2合并在一起，连接1,,,,,BB FG PQ EH AC BD ，记FG PQ K = ，易得1K BB ∈，对于A ，因为在正四棱台ABCD EPHQ −中，//AB EP ， F 是EP 的中点，所以//AB EF ，又N 是EQ 的中点，2EN =，所以4EQ =，则4EP =，2EF =，又2AB =，所以AB EF =，所以四边形ABFE 2BF AE ==，同理：112B F B GBG ===， 所以四形边1B FBG 是边长为2菱形，在边长为4的正方形EPHQ 中，HE =因为,F G 是,EP PH 的中点，所以//FG EH ，12FG EH ==所以1BB ，故A 正确； 对于B ，因为在正四棱台ABCD EPHQ −中，面//ABCD 面EPHQ ，又面AEHC 面ABCD AC =，面AEHC 面EPHQ EH =，所以//AC EH ，又//FG EH ，所以//FG AC ，故B 正确；对于C ，在四边形EPHQ 中，由比例易得14PK PQ ==，由对称性可知112BK B B ==2PB =，所以222PK BK PB +=，则PK BK ⊥，即PQ BK ⊥，而由选项B 同理可证//BD PQ ，所以BD BK ⊥，因为在正方形ABCD 中，BD AC ⊥，而//FG AC ，所以BD FG ⊥，因为,,BK FG K BK FG =⊂ 面1BFB G ，所以BD ⊥面1BFB G ， 对于D ，由选项A 易知四边形1BGB F 是边长为2的正方形，上下底面也是边长为2的正方形，四边形ABFE 是边长为2 所以几何体2是由4个边长为2正方形和8个上述菱形组合而成，所以其表面积为2428216×+×+，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得四形边1B FBG 是边长为2菱形，从而解决选项A ，再利用面面平行的性质定理推得//AC EH ，//BD PQ ，从而解决选项BC ，将几何体2各个面分解成基本图形即可解决D.11. 已知函数e x y x =+的零点为1ln y x x =+的零点为2x ，则（ ）A. 120x x +>B. 120x x <C. 12ln 0x e x +=D. 12121x x x x −+< 【答案】BCD【解析】【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.【详解】12,x x 分别为直线y x =−与e x y =和ln y x =的交点的横坐标，因为函数e x y =与函数ln y x =互为反函数，所们这两个函数的图象关于直线y x =，而直线y x =−、y x =的交点是坐标原点，故120x x +=，120x x <，()11,0x ∈−，()20,1x ∈， 1212ln 0e x x x x +=−−=，()()1212121110x x x x x x −+−=+−<，故12121x x x x −+<故选：BCD. 【点睛】关键点睛：利用反函数的性质是解题的关键.12. 已知0ab ≠，函数()2e axf x x bx =++，则（ ） A. 对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点B. 对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条C. 当2a b +=−时，()f x 存在零点D. 当0a b +>时，()fx 的最小值为1 【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，求出函数导数，数形结合，判断导数正负，从而判断函数单调性，确定函数极值点；对于B ，设切点为2e (,),am m n n bm m =++，利用导数的几何意义可得方程，结合方程的根的个数，判断切线的条数；对于C ，利用导数判断函数单调性，求函数最值，根据最值情况判断函数的零点情况；对于D ，由于()f x 为偶函数，故先判断0x >时函数的单调性，结合偶函数性质，即可判断0x <的单调性，进而求得函数最值.【详解】对于A ，由已知0ab ≠，函数()2e ax f x x bx =++，可得()e 2ax f x a x b ′=++，令()()2e 2,e 20ax axg x a x b g x a ′=++∴=+>， 则()g x 即()e 2axf x a x b ′=++在R 上单调递增， 令()e 20ax f x a x b ′=++=，则e 2ax a x b =−−，当0a >时，作出函数e ,2ax y a y x b ==−−的大致图象如图：当a<0时，作出函数e ,2ax y a y x b ==−−的大致图象如图：可知e ,2ax y a y x b ==−−的图象总有一个交点，即()e 20axf x a x b ′=++=总有一个根0x ， 当0x x <时，()0f x ′<；当0x x >时，()0f x '>，此时()f x 存在唯一极小值点，A 正确；对于B ，由于()01f =，故原点不在曲线()2e ax f x x bx =++上，且()e 2axf x a x b ′=++， 设切点为2e (,),am m n n bm m =++，则()2e e 2am am n m bm f m a m b m m++′=++==， 即e e amam a m m+=，即2e (1)0am am m −+=， 令2()e (1)am h m am m =−+，2()e (1)e 2(e 2)am am am h m a am a m m a ′=−++=+， 当0m <时，()0h m ′<，()h m 在(,0)−∞上单调递减，当0m >时，()0h m ′>，()h m 在(0,)+∞上单调递增，故min ()(0)1h m h ==−，当m →−∞时，e (1)am am −的值趋近于0，2m 趋近于无穷大，故()h m 趋近于正无穷大，当m →+∞时，e (1)am am −的值趋近于正无穷大，2m 趋近于无穷大，故()h m 趋近于正无穷大， 故()h m 在(,0)−∞和(0,)+∞上各有一个零点，即2e (1)0am am m −+=有两个解，故对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条，B 正确；对于C ，当2a b +=−时，2=−−b a ，()2e (2)axf x x a x =+−+， 故()e 22axf x a x a ′=+−−，该函数为R 上单调增函数，()()020,1e (e 1)0a a f f a a a ′′=−<=−=−>，故(0,1)s ∃∈，使得()0f s ′=，即22e 1as s a a=−++， 结合A 的分析可知，()f x 的极小值也即最小值为2222e (2)1(2())as f s a s s s a s a as +−+=−+++−+=， 令2221)2)((s s a s a a m s −+++−+=，则()22(2)m s s a a′=−++，且为增函数，当a<0时，2(2)2)0(0a am −++≥−=>′ ，当且仅当a = 故当0s >时，()()00m s m ′′>>，则()f s 在(0,1)上单调递增， 故2()(0)1f s f a >=+，令3a =−，则21(0)10,()(0)03f f s f a =+=>∴>>， 此时()f x 的最小值为()0f s >，()f x 无零点，C 错误；对于D ，当0a b +>时，()f x 为偶函数，考虑0x >视情况； 此时()2e ,)(()0ax f x f x x bx x ++>==，e ()2ax x a b f x +=+′，结合A 的分析可知e ()2ax x a b f x +=+′在R 上单调递增，)0(0b f a ′=+>，故0x >时，()(0)0f x f ′′>>，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，故()f x 在(,0)−∞上单调递减，()fx 为偶函数， 故()min (0)1f x f ==，D 正确，故选：ABD【点睛】难点点睛：本题综合新较强，综合考查了导数的几何意义以及极值点、零点、最值问题，计算量较大；难点在于利用导数解决函数的零点问题时，要能构造恰当的函数，结合零点存在定理判断导数值的情况，从而判断函数的单调性，求得最值，解决零点问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin 3cos 0αα−=，则cos 2tan αα+=________． 【答案】115##2.2##125 【解析】【分析】由倍角公式结合商数关系求解即可.【详解】因为tan 3α=，则22222222cos sin 1tan 4cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα−−=−===−++，所以411cos 2tan 355αα+=−=． 故答案为：11514. 函数()1293x x f x −=+的最小值是___________.【答案】【解析】 【分析】先化简为()399x x f x =+，再结合基本不等式求出最小值即可.【详解】()12233939939x x x x x x f x −=+=+=+≥=，当且仅当399x x =，即14x =时取等.所以最小值为故答案为：15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =___________.①()f x 是定义域为R 的奇函数；②()()11f x f x +=−；③()12f =. 【答案】π2sin2x （答案不唯一） 【解析】.【详解】由条件①②③可知函数对称轴为1x =，定义域为R 的奇函数，可写出满足条件的函数π()2sin2f x x =. 故答案为：π2sin 2x （答案不唯一） 16. 函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为__________．【答案】9【解析】【分析】根据给定条件，构造函数sin y x =π，ln 23y x −，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答. 【详解】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=−，令sin y x =π，ln 23y x −， 显然sin y x =π与ln 23y x −的图象都关于直线32x =对称，在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x −的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x −的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ， 这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=， 所以函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为9.故答案为：9四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()222(sin sin sin )1cos2.a A c C b B a C +−=− （1）求B.（2）是否存在()0,A π∈，使得2a c b +=，若存在，求;A 若不存在，说明理由.【答案】（1）3B π=或23π；（2）当3B π=时，存在3A π=，使得2;a c b +=当23B π=时，不存在()0,A π∈，使得2.a c b +=【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cos B ，进而求得B .（2）利用正弦定理化简已知条件，对B 进行分类讨论，进而求得A .【详解】（1）因为()222(sin sin sin )1cos2a A c C b B a C +−=−， 所以222(sin sin sin )sin a A c C b B a C +−=，可得sin sin sin sin a A c C b B a C +−=或sin sin sin sin a A c C b B a C +−=−，即222a c b ac +−=或222a c b ac +−=−， 所以2221cos 22a b c B ac +−==±， 又因为()0,B π∈，所以3B π=或23π.（2）因为2a c b +=，所以sin sin 2sin A C B +=. 当3B π=时，sin sin 2sin 33A A ππ ++=，可得3sin 2A A +， 所以sin 16A π+=， 又因为203A π<<，所以.3A π= 当23B π=时，22sin sin 2sin 33A A ππ ++=，可得1sin 2A A +，所以sin 3A π+综上，当3B π=时，存在3A π=，使得2;a c b += 当23B π=时，不存在()0,A π∈，使得2.a c b += 18. 已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）当12B D =时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大．【解析】【分析】（1）连接AF ，易知1CF =，BF =，由11BF A B ⊥，BF AB ⊥，再利用勾股定理求得AF 和AC 的长，从而证明BA BC ⊥，然后以B 为原点建立空间直角坐标系，证得0BF DE ⋅= ，即可；（2）易知平面11BB C C 的一个法向量为(1p = ，0，0)，求得平面DEF 的法向量n ，再由空间向量的数量积可得cos ,p n <>= 2m =时，得解． 【小问1详解】证明：连接AF ，E ，F 分别为直三棱柱111ABC A B C 的棱AC 和1CC 的中点，且2ABBC ==， 1CF ∴=，BF =，11BF A B ⊥ ，11//AB A B ，BF AB ∴⊥3AF ∴===，AC =， 222AC AB BC ∴=+，即BA BC ⊥，故以B 为原点，BA ，BC ，1BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A ， (0,0,0)B ， (0,2,0)C ， (1,1,0)E ， (0,2,1)F ， 设1B D m =，且[0,2]m ∈，则(,0,2)D m ，∴(0,2,1)BF = ， (1,1,2)DE m =−− ，∴0BF DE ⋅=，即BF DE ⊥．【小问2详解】解：AB ⊥ 平面11BB C C ，∴平面11BB C C 的一个法向量为(1,0,0)p =，由（1）知，(1,1,2)DE m =−− ， (1,1,1)EF − ，设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DE n EF ⋅= ⋅=，即(1)200m x y z x y z −+−= −++= ，令3x =，则1y m =+，2z m =−，∴(3,1,2)n m m =+−，cos ,||||p n p n p n ⋅∴<>==⋅， 又[0,2]m ∈∴当2m =时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最小，此时正弦值最大，故当12B D =时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大．19. 函数22()ln ,()(2) 2.71828...x f x a x x g x x e x m x e =−=−−+=+（其中）. （1）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =−时，(0,1]x ∈时，()()f x g x >恒成立，求正整数m 的最大值. 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，再因式分解，讨论每个因式的正负，再判断()f x ′的正负，进而判断()f x 的单调性；（2）代入1a =−，将不等式()()f x g x >中的x 和m 分离在不等号两边，然后讨论不等号含有x 一边的函数的单调性，进而判断最值，再计算m 的取值范围，由m 是正整数的条件可求出m 的最大值.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()21,a x x af x x x x−++=−+=′①当18a ≤−时，因为(0,)x ∈+∞，故有2111()0248x a f x x −−++′ =≤. 此时函数()f x 在区间(0,)+∞单调递减. ②当108a −<<，有180a +>，方程220x x a −++=的两根分别是：120,0x x =>=>1(0,)()0,x x f x ′∴∈<当，函数()f x 在1(0,)x 上单调递减；当12(,)()0,x x x f x ′∈>，函数()f x 在12(,)x x 上单调递增； 当2(,)()0,x x f x ′∈+∞<，函数()f x 在2(,)x +∞上单调递减.③当0a =时，易知()f x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减. 综上所述，当18a ≤−时，()f x (0,)+∞上单调递减； 当108a −<<时，()f x在上单调递减，在)+∞ 上单调递增； 当0a =时，()f x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞单调递减. （2）当1(0,1],()(),(2)ln ,x a x f x g x m x e x x =−∈><−+−+， 设1()(2)ln ,(0,1],()(1)(),xxh x x e x x x h x x e x=−+−+∈∴=−−′∴当01x <≤时，有10x −≥，设211(),()0,xx u x e u x e x x′=−=+> ()u x ∴在(]0,1上单调递增，又()u x 在(0,1]上的函数图像是一条不间断的曲线，且1()202u ，(1)10u e =−>存在唯一01,12x ∈，使得0()0u x =，即001xe x =.在的当0(0,),()0,()0x x u x h x ′∈<<； 当0(,1),()0,()0x x u x h x ′∈>≥，()h x ∴在0(0,)x 上单调递减，在0(,1]x 上单调递增，0min 00000000012()()(2)ln (2)212,x h x h x x e x x x x x x x ∴==−+−+=−+⋅+=−++ 212y x x=−++ 在(0,1)上单调递减， 01(,1)2x ∈ ，0()(3,4).h x ∴∈3m ∴≤时，不等式(2)ln x m x e x x <−+−+对任意(0,1]x ∈恒成立，∴正整数m 的最大值是3.【点睛】本题是典型的导数和不等式的综合题，这种题需要分情况讨论函数单调性再进行判断，属于较难题.20. 已知函数()()ln f x a x a x =+−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()2e af x a <．【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求出函数导数，分类讨论求出函数单调区间；（2）先证明引理：0a ∀>，恒有ln 1a a ≤−且1e a a +<，构造函数()ln 1g a a a =−−，()e 1ah a a =−−，利用导数求证即可，再由引理原命题得证. 【小问1详解】因为()()ln f xa x a x =+−，定义域为()0,∞+，所以()1af x x′=−． 当0a ≤时，由于0x >，所以()0f x ′<恒成立，此时()f x 在()0,∞+上单调递减； 当0a >时，()()x a f x x−′=−，令()0f x ′=，得x a =，则当()0,x a ∈时，()0f x '>，有()f x 在()0,a 上单调递增；当(),x a ∈+∞时，()0f x ′<，有()f x 在(),a +∞上单调递减； 综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递增，()f x 在(),a +∞上单调递减． 【小问2详解】我们先证明引理：0a ∀>，恒有ln 1a a ≤−且1e a a +<． 引理的证明：设()ln 1g a a a =−−，()e 1ah a a =−−． 故只需证明0a ∀>，恒有()0g a ≥，()0h a >． 由于()11g a a′=−，知当()0,1a ∈时，()0g a ′<；当()1,a ∈+∞时，()0g a ′>； 则()g a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 10g a g ==， 所以0a ∀>，恒有()0g a ≥．由于()e 1ah a ′=−，知当0a >，均有0e 1e 10a −>−=，所以恒有()0h a ′>，故()h a 在()0,∞+上单调递增，则()0e 010h a >−−=． 所以0a ∀>，恒有()0h a >． 综上，引理得证．回到原题：由（1）得()()2maxln f x f a a a a a ==+−，故只需证明：对0a ∀>，恒有2ln 2e a a a a a a +−<，即ln 12e a a a +−<． 由引理得()()ln 111212e aa a a a a +−≤−+−<+<．命题得证．【点睛】关键点点睛：根据需要证明不等式，进行恰当转化可得ln 12e a a a +−<，根据此式，证明0a ∀>，恒有ln 1a a ≤−且1e a a +<是解题的关键. 21. 已知函数()ln 1f x x x x =−−． （1）证明：()0;f x ≤ （2）若e 1x ax ≥+，求a ．【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】【分析】（1）求导分析函数的单调性与最大值证明即可；（2）构造函数()e 1xg x ax =−−，求导分析单调性可得当0a >时()min ()ln ln 10g x g a a a a ==−−≥，结合（1）中的结论求解即可 【小问1详解】证明：()ln 1f x x x x =−−的定义域为()0+∞，，且()11ln ln .f x x x x x′=−+⋅=−令()0f x '=，得1x =．当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增;当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()max ()10f x f ==，所以()0.f x ≤【小问2详解】令()e 1xg x ax =−−，则()e xg x a ′=−．当0a ≤时，有()11e 10g a −−=+−<，与题设矛盾，故舍去．当0a >时，令()0g x '=，得ln .x a =当ln x a <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当ln x a >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()min ()ln ln 10.g x g a a a a ==−−≥由()1知，ln 10(a a a −−≤当且仅当1a =时，取等号)， 所以ln 10a a a −−=，所以1a =．22. 设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+−−+.（1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在R 上单调递增，求a .【答案】（1）在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增（2）12 【解析】【分析】（1）求得()()e cos 21xf x a x ax a =+−−+′，设()()g x f x ′=，得到()()e 2sin xg x a x +′=−，得到()y g x =在R 上单调递增，得到()y f x ′=在R 上单调递增，结合()00f ′=，即可求解；（2）令()e 1xh x x =−−，利用导数求得()()00h x h ≥=，得到e 10x x −−≥和e 1x x −≥−， 令()sin x x x ϕ=−，得出0x ≥时，sin x x ≥；0x ≤，得到sin x x ≤，分0a ≤，102a <<，12a >和12a =，四种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【小问1详解】解：因为()()2e sin 1xf x a x ax a x =+−−+，可得()()e cos 21xf x a x ax a =+−−+′，设()()g x f x ′=，则()()e 2sin xg x a x +′=−所以当0a ≤时，()0g x ′>，函数()y g x =在R 上单调递增， 即函数()y f x ′=在R 上单调递增，又由()00f ′=，所以当0x <时，()0f x ′<；当0x >时，()0f x '>， 所以当0a ≤时，()f x 在(,0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增. 【小问2详解】解：令()e 1xh x x =−−，可得()e 1xh x ′=−，当0x >时，()0h x ′>，()h x 单调递增； 当0x <时，()0h x ′<，()h x 单调递减，又由()00h =，所以()()00h x h ≥=，即e 10x x −−≥， 所以e 1x x ≥+，所以e 1x x −≥−；令()sin x x x ϕ=−，可得()1cos 0x x ϕ′=−≥，所以函数()x ϕ单调递增， 因为()00ϕ=，当0x ≥，可得()()00x ϕϕ≥=，即sin 0x x −≥，即sin x x ≥； 当0x ≤，可得()()00x ϕϕ≤=，即sin 0x x −≤，即sin x x ≤，（2.1）当0a ≤时，由（1）知不合题意； （2.2）当102a <<时，若(),0x ∈−∞， ()()e cos 21x f x a x ax a =+−−+′()1cos 211a x ax a x≤+−−+−121212111ax x a a ax a x x−−≤+−−−=−−； 当1102x a−<<时，()0f x ′<，()f x 单调递减，不合题意； （2.3）当12a >时，若()0,1x ∈，同理可得()12121ax x a f x x−− ′≤−， 当1012x a<<−时，()0f x ′<，()f x 单调递减，不合题意； （2.4）当12a =时，()2113e sin 222x f x x x x =+−−，可得()13e cos 22x f x x x =+−−′， 设()()g x f x ′=，则()1e sin 12x g x x ′=−−， ①当0x >时，()111e sin 11sin 10222x g x x x x x x =−′−≥+−−≥−>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()f x ′在()0,∞+上单调递增， ②当0x >时，若[)1,0x ∈−，()()()1111e sin 11021221xx x g x x x x x +−−≤−−≤−−′， 若(],1x ∈−∞−，()111e sin 1102e 2xg x x −≤+′−−<， 所以()g x 在(),0∞−上单调递增，()f x ′在(),0∞−上单调递增，由①②可知，()()00f x f ′′≥=，所以()f x 在R 上单调递增， 综上所述，12a =.。
2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考卷(二)数学数学试卷
大联考长郡中学 2024届高三月考试卷(二)数 学得分本试卷共8 页 。
时量 120 分钟 。
满分 150 分。
一 、选择题 : 本题共 8 小题 , 每小题 5 分 , 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中 , 只有一项是符合题目要求的 . 1 . 若集合A4K 1 , KEN} , B(U+1) (X 9)≤0} , 则 An B的元素个数为A. 2B. 3C. 4D. 52 · 设 a eR · 若复数的虚部为 31其中 i 为虚数单位 · 则 -A 1 B. 3 C· D. 33 33 . 已知非零向量 a , b 满足b =(,J/3 , 1) 〈a , b 〉= T , 若(a b)La , 则向量 a在向量b 方向上的投影向量为A·4b B·2b C·2b D. b4. 设抛物线 C: z2 = 2PY 的焦点为F , M(X , 4)在 C 上 , IMFl = 5 , 则 C 的方程为A. x2 = 2yB. z2 = 2yC. z2 = 4yD. x2 = 4y5 . 若函数f (1)ea +1x 在区间(0 , )上单调递增 , 则实数 a 的取值范围为A. ( , 1]B. ( o , 1)C. [0 , 十 。
)D. ( o , 1]6 . 直线 l : y = kz +1 与圆 O: z2 十y2 = 1 相交于 A , B 两点 , 则 " k = 1 " 是2A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 "△O AB 的面积为 1 "的37 . 已知 a e (0 , T ) . 且、Cos 2a sin( a+ T ) , 则 sin 2aA B· C i n i8. 若实数 a , b , C · d 满足 - 1 = 1 ,则(a C) +(b d) 的最小 值是A. 8B. 9C. 10D. 11二 、选择题 : 本题共 4 小题 , 每小题 5 分 , 共 20 分. 在每小题给出的选项中 ,有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分 , 部分选对的得 2 分 , 有选错 的得 。
湖南省长沙市长郡中学2021届高考数学(理)一轮复习：10.3变量间的相关关系、统计案例同步训练
10.3变量间的相关关系、统计案例同步训练1．(2020·衡水质检)具有线性相关关系的变量x ，y 满足一组数据如下表所示．若y 与x 的线性回归方程为y ^＝3x －32，则m 的值是( )A.4B.92 C ．5 D ．6 答案 A解析 由已知得x ＝32，y ＝m4＋2，又因为点(x ，y )在直线y ^＝3x －32上，所以m 4＋2＝3×32－32，得m ＝4.2．(2020·湖南师大附中月考)已知x ，y 的取值如下表：从所得散点图中分析可知：y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ^，则x ＝13时，y 等于( )A ．1.45B ．13.8C ．13D ．12.8 答案 B解析 由题意，x ＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y＝16×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25，∵y与x线性相关，且y^＝0.95x＋a^，∴5.25＝0.95×4＋a^，∴a^＝1.45，从而当x＝13时，有y＝13.8.故选B.3．(2020·泰安月考)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表：附：参考公式及数据：(1)统计量：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)(n＝a＋b＋c＋d)．(2)独立性检验的临界值表：则下列说法正确的是()A．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关答案 C解析因为K2＝40×(14×13－7×6)220×20×21×19≈4.912，3．841<K2<6.635，所以有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关．4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是() A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 答案 D解析∵0.85>0，∴y与x正相关，∴A正确；∵回归直线经过样本点的中心(x，y)，∴B正确；∵Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85，∴C正确．故选D.5．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：附：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是( )A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 答案 C解析 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，选项A 、B 错误． 根据列联表中的数据，得到K 2＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”．6．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 x 0，y 0为这10组数据的平均数，根据公式计算线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的b ^以后，再根据a ^＝y －b ^x (x ，y 为样本平均数)求得a ^.因此(x ，y )一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(x ，y )外，可能还有其他样本点．7．以下四个命题，其中正确的序号是________．①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1； ③在线性回归方程y ^＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 答案 ②③解析 ①是系统抽样；对于④，随机变量K 2的观测值k 越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小．8．(2020·郑州模拟)对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其线性回归方程是y ^＝13x ＋a ^ ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是________． 答案 18解析 依题意可知样本点的中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38，则38＝13×34＋a ^ ，解得a ^ ＝18.9．某百货公司1～6月份的销售量x 与利润y 的统计数据如下表：(1)根据2～5月份的数据，画出散点图，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问所得线性回归方程是否理想？解 (1)根据表中2～5月份的数据作出散点图，如图所示：计算得x ＝11，y ＝24，∑5i ＝2x i y i ＝11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1 092，∑5i ＝2x 2i ＝112＋132＋122＋82＝498， 则b ^＝∑5i ＝2x i y i －4x y∑5i ＝2x 2i －4x 2＝1 092－4×11×24498－4×112＝187，a ^＝y －b ^ x ＝24－187×11＝－307.故y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(2)当x ＝10时，y ^＝187×10－307＝1507，此时|1507－22|<2；当x ＝6时，y ^＝187×6－307＝787，此时|787－12|<2.故所得的线性回归方程是理想的．10．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请列出每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).解(1)300×4 50015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.025＋0.100)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得K2＝300×(45×60－165×30)275×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．。
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高三(下)月考数学试卷(六)
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高三（下）月考数学试卷（六）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{x|x2≤4}，N＝{x|2x＜4}，则M∩N＝（）A．{x|x≤﹣2}B．{x|﹣2≤x＜2}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|0＜x＜2} 2．（5分）已知复数z满足z（2+i）＝3﹣4i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．D．53．（5分）已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A．B．C．D．4．（5分）a是的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）的符号不确定B．f（x0）＜0C．f（x0）＝0D．f（x0）＞05．（5分）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，若|AB|＝2，则C的离心率为（）A．B．C．2D．47．（5分）已知函数f（x）＝sin（πx+φ）某个周期的图象如图所示，A，B分别是f（x）图象的最高点与最低点，C是f（x）图象与x轴的交点，则tan∠BAC＝（）A．B．C．D．8．（5分）概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）A．甲48枚，乙48枚B．甲64枚，乙32枚C．甲72枚，乙24枚D．甲80枚，乙16枚二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若α⊥β，m∥β，则m⊥αD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β10．（5分）若a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么（）A．ab+bc＝2ac B．ab+bc＝ac C．＝+D．＝﹣11．（5分）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的（）A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为12．（5分）关于函数，下列说法正确的是（）A．f（1）是f（x）的极小值B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减D．设g（x）＝xf（x），则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）的展开式中x3的系数为．14．（5分）已知，则sin2θ＝．15．（5分）如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°．定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB＝θ．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为．16．（5分）已知两条抛物线C：y2＝2x，E：y2＝2px（p＞0且p≠1），M为C上一点（异于原点O），直线OM与E的另一个交点为N．若过M的直线l与E相交于A，B两点，且△ABN的面积是△ABO面积的3倍，则p＝四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等比数列{a n}的公比为q（q＞1），前n项和为S n，若，且S3+2＝a4．（1）求a n；（2）设数列的前n项和为T n，求证：．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设b sin A＝a（2+cos B）．（1）求B；（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面P AC⊥底面ABCD，P A＝PC＝2．（1）求证：PB＝PD；（2）点M，N分别在棱P A，PC，PM＝AM，PN＝CN，求直线PB与平面DMN所成角的正弦值．20．已知椭圆的焦距为2，且过点（，1）．（1）求C的方程；（2）若直线l与C有且只有一个公共点，1与圆x2+y2＝6交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2．试判断k1•k2是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．21．某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩（x）和物理成绩（y），绘制成如图触点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B．经调查得知，A考生由于1感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计k的值：，其中x i，y i分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i＝1，2，…，42，y与x的相关系数r＝0.82．（1）若不剔除A，B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为r0．试判断r0与r的大小关系，并说明理由；（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）；（3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布N（μ，σ2）．以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数作为μ的估计值，用样本方差s2作为σ2的估计值．试求该地区5000名考生中，物理成绩位于区间（62.8，85.2）的人数Z的数学期望．附：①回归方程②若ξ﹣N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9544．③＝11.222．已知函数f（x）＝lnx﹣x+a．（1）讨论函数f（x）零点的个数；（2）若函数f（x）存在两个零点x1，x2（x2＜x2），证明：2lnx1+lnx2＜0．。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．15B．．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的坐标为和C，已知点A(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若6AE=，23CE=，求»AC14．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看数没有标出）.根据上述信息，解答下列各题：(1)该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）.(1)当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；(2)在（1）的条件下，已知二次函数2y x=-+AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，(1)求出此函数图象的顶点坐标（用含(2)当4a=时，此函数图象交x轴于点为x轴下方图象上一点，过点P作(3)点(21,3)---，(0,3) M a aN a--再根据两点之间，线段最短可得蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线B长，然后运用勾股定理可完成解答．【详解】如图所示：三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(23)315+´=，则蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线长．B点的最短路程为x，可设蚂蚁沿台阶面爬行到B，由勾股定理得：2222x=+=201525解得：25x=，即蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为25．故选：C7．C【分析】过点C作CH y^轴于点H，过点A作AG y^轴于点G，易证()@V V，AGO OHC AAS根据全等三角形的性质，求出点C坐标，利用待定系数法求解即可．【详解】过点C作CH y^轴于点G，如图所示：^轴于点H，过点A作AG y则有90CHO OGA Ð=Ð=°，90HCO HOC \Ð+Ð=°，ABCO Q 是正方形，OA OC \=，90COA Ð=°，90COH AOG \Ð+Ð=°，AOG HCO \Ð=Ð，()AGO OHC AAS \@V V ，HC OG \=，HO GA =，(1,2)A -Q ，1GA \=，2OG =，(2,1)C \，将A ，C 点坐标代入y kx b =+，得221k b k b +=-ìí+=î，解得3k =，在矩形AOCD中，AO则APH ATPÐ=Ð=Ð∴90Ð+Ð=APT HPJV V∽，四ATP PJH==,AT OJ AO TJAM AM=¢，由6,3AO AD==可得点代入二次函数2y x bx =-+236y x x=-++.由（1）可知45MAM¢Ð=答案第161页，共22页。
湖南省长沙市长郡中学2021届高考数学(理)一轮复习：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条件课内基础通关1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件．课外知识延伸从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( ×)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( ×)(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题．( √ ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(5)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( √ ) (6)若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件．( √ )点自查1．下列命题为真命题的是( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2答案 A2．(教材改编)命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( ) A ．若x <y ，则x 2<y 2B ．若x ≤y ，则x 2≤y 2C ．若x >y ，则x 2>y 2D ．若x ≥y ，则x 2≥y 2答案 B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．3．(教材改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由(x－1)(x＋2)＝0可得x＝1或x＝－2，∵{1}{1，－2}，∴“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．4．(2020·北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．5．(教材改编)下列命题：①“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的必要不充分条件；②“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充分必要条件；③“sin α＝sin β”是“α＝β”的充要条件；④“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件．其中为真命题的是________．(填序号)答案②④高考题型分类精讲题型一命题及其关系例1 (2020·潍坊一模)有下列四个命题：①若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为( )A．①②B．②③C．①④D．①②③答案 D解析①的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．故选D.思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是( )A．若x>0，则x2≤0B．若x2>0，则x>0C．若x≤0，则x2≤0D．若x2≤0，则x≤0(2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( )A．不拥有的人们会幸福B．幸福的人们不都拥有C．拥有的人们不幸福D．不拥有的人们不幸福答案(1)C (2)D题型二充分必要条件的判定例2 (1)(2020·四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案(1)B (2)A解析(1)∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时log a3<log b3正确；反之，若log a3<log b3，则不一定得到3a>3b>3，例如当a＝12，b＝13时，log a3<log b3成立，但推不出a>b>1.故“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的充分不必要条件．(2)由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．(1)(2020·四川)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的( )B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 (1)A (2)A解析 (1)当x >1，y >1时，x ＋y >2一定成立，即p ⇒q ， 当x ＋y >2时，可以x ＝－1，y ＝4，即q ⇏p ， 故p 是q 的充分不必要条件．(2)(等价法)因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1， 所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1， 因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇏綈q ， 所以綈q 是綈p 的充分不必要条件， 即p 是q 的充分不必要条件，故选A. 题型三 充分必要条件的应用例3 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． 引申探究1．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2．本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇏P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．(1)已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________________．(2)已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)(0,3) (2)[－1,6]解析 (1)令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3.故答案为(0,3)．(2)由p ：－4<x －a <4成立，得a －4<x <a ＋4； 由q ：(x －2)(3－x )>0成立，得2<x <3，所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3，又綈p 是綈q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6，故答案为[－1,6]．数学思想总结1．等价转化思想在充要条件中的应用典例(1)(2020·湖北七校联考)已知p，q是两个命题，那么“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]思想方法指导等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到．本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化．解析(1)因为“p∧q是真命题”等价于“p，q都为真命题”，且“綈p是假命题”等价于“p 是真命题”，所以“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的充分不必要条件．(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q 的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．∴{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.答案(1)A (2)A后作业认真做1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 A2．命题“如果x ≥a 2＋b 2，那么x ≥2ab ”的逆否命题是( )A ．如果x <a 2＋b 2，那么x <2abB ．如果x ≥2ab ，那么x ≥a 2＋b 2C ．如果x <2ab ，那么x <a 2＋b 2D ．如果x ≥a 2＋b 2，那么x ＜2ab答案 C解析 命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，“≥”的否定是“<”．故答案C 正确．3．(2020·山东重点中学模拟)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定 答案 B解析 命题p ：“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p 的否命题．4．(2020·重庆)“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B 解析 由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件．故选B.5．(2020·山东)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.6．已知集合A ＝{x ∈R |12<2x <8}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A ．{m |m ≥2}B ．{m |m ≤2}C ．{m |m >2}D ．{m |－2<m <2} 答案 C解析 A ＝{x ∈R |12<2x <8}＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2，故选C.7．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由Venn 图易知充分性成立．反之，A ∩B ＝∅时，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1 答案 A解析 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x(x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1. 观察选项，根据集合间关系得{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}，故选A.9．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 ∵a －b >1，即a >b ＋1.又∵a ，b 为正数，∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立，反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的充分不必要条件．10．有三个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题．其中真命题的序号为____________．答案 ①解析 命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题．综上知只有命题①是真命题．11．给定两个命题p 、q ，若綈p 是q 的必要不充分条件，则p 是綈q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 ∵綈p 是q 的必要不充分条件，∴q ⇒綈p 但綈p ⇏q ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q ⇏ p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．12．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 13．若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是________________．答案 [32，＋∞) 解析 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是可得3>2λ，即λ<32. 故所求λ的取值范围是[32，＋∞)． 14.(2020·贵州七校联考)以下四个命题中，真命题的个数是________．①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a ，b ，使得lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；④在△ABC 中，A <B 是sin A <sin B 的充分不必要条件．答案 2解析 ①原命题的逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，而a ＝2，b ＝－2满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故①是假命题；②根据对数的运算性质，知当a ＝b ＝2时，lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，故②是真命题；③“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题；④根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A <B ⇔a <b (a ，b 为角A ，B 所对的边)⇔2R sin A <2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A <sin B ，故可知A <B 是sin A <sin B 的充要条件，故④是假命题，∴真命题个数是2.*15.已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解 y ＝x 2－32x ＋1 ＝(x －34)2＋716， ∵x ∈[34，2]，∴716≤y ≤2. ∴A ＝{y |716≤y ≤2}． 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．。
专题04 恒成立问题(文理通用)(含详细答案)
专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0a f f a e>2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为14．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．16．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+ D ．21cos 12x x ≥-1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________． 2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________．6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________．1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________．3．已知函数1()ln (0)f x ax x a x=+>．（1）当1a =时，()f x 的极小值为___________；（2）若()f x ax ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为___________． 4．已知函数()()221xf exx x =-+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为___________，若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为___________．5．设函数()32f x ax bx cx =++（a ，b ，R c ∈，0a ≠）若不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立，则a =___________，b ca+的取值范围为___________． 6．已知函数()()x x f x x ae e -=-为偶函数，函数()()xg x f x xe -=+，则a =___________；若()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围为___________． 五、解答题1．已知函数()sin f x x ax =-，()=ln 1xg x x x e -+，2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数． （1）当()0,x π∈，()0f x <恒成立，求a 的取值范围；（2）当0a =时，记()()()h x f x g x =+，求证：对任意()1,x ∈+∞，()0h x <恒成立． 2．已知函数()1x f x ae x =--（1）若()0f x ≥对于任意的x 恒成立，求a 的取值范围 （2）证明：1111ln(1)23n n++++≥+对任意的n N +∈恒成立 3．若对任意的实数k 、b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．（1）判断函数()2f x x =是否为“恒切函数”；（2）若函数()()ln 0f x m x nx m =+≠是“恒切函数”，求实数m 、n 满足的关系式；（3）若函数()()1x xf x e x e m =--+是“恒切函数”，求证：104m -<≤． 4．已知函数()(ln )sin x f x e x a x =+-．（1）若()ln sin f x x x ≥⋅恒成立，求实数a 的最大值； （2）若()0f x ≥恒成立，求正整数a 的最大值．专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C【分析】当1x <时，求导，得出导函数恒小于零，得出()f x 在(),1-∞内是增函数．再由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，从而得()f x 在()1,+∞内是减函数，由此可得选项．【解析】当1x <时，'1()0xx f x e -=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数． 由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在()1,+∞内是减函数， 所以()()350f f ->．故选C ．2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef【试题来源】2020届福建省仙游县枫亭中学高三上学期期中考试（理） 【答案】B【分析】构造函数()()xf x F x e =，求出'()0F x >，得到该函数为R 上的增函数，故得(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，从而可得到结论．【解析】设()()x f x F x e =，x R ∈（），所以'()()[]xf x F x e '==()()xf x f x e '-， 因为对于()(),x R f x f x ∀∈<'，所以'()0F x >，所以()F x 是R 上的增函数，所以(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，即(1)(0)f f e <，2018(2018)(0)f f e <， 整理得()()10f ef >和()20182018(0f ef >）．故故选B ．3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 【试题来源】浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试 【答案】D【解析】对于A ，不妨令01a <≤，1b ≥，则1aab bb a aa a ab a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1baa b ⋅=即11b aaab-=，由10b a -≥可知101b aa -<≤，则101ab <≤，所以1≥ab ，2a b +≥，故A 正确； 对于B ，若a b ≤，则0a b e e -≤，320b a ->，故32ab e e b a -≠-即23a b e a e b +≠+，与已知矛盾，故B 正确；对于C ，()ln ln ln 1b b a a b a b a a-≥-⇔-≥-， 令0b x a =>，()()ln 10f x x x x =-->，则()1x f x x-'=， 则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()10f x f ≥=，所以ln 10b b a a --≥即ln 1b ba a-≥-，故C 正确； 对于D ，设()()ln 0h x x x x =>，()()0x xg x x e=>， 则()ln 1h x x '=+，()1xxg x e -'=， 所以()h x 在()10,e -上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，则()()11h x h e e --≥=-，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11g x g e -≤=，所以()()110h e g e --+<，即当1a b e -==时ln 0bba a e +<，故D 错误．故选D ． 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学（理）能力测试试题 【答案】D【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列1{}n n a a +-是等比数列，求得1n n a a +-，由累加法求得n a ，计算出n b ，然后求和122311202020202020n n b b b b b b ++++，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出n S 的最小值，再由不等式恒成立可得t 的最大值． 【解析】3212()43n n n f x a x a x a '++=--，所以12(1)430n n n f a a a '++=--=， 即有()2113n n n n a a a a +++-=-，所以{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列， 所以1123n n n a a -+-=⋅，1201111221123232313n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=所以31log n n b a n +==，所以12231120202020202011120201223(1)n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=+++⎪⨯⨯+⎝⎭1111120202020122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭， 又20201ny n =+为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<， 若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，函数新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目提供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项公式后用累加法求得n a ，由对数的概念求得n b ，用裂项相消法求和新数列的前n 项和，并利用函数单调性得出最小值，然后由新定义得n S 的最小值，从而根据不等式恒成立得结论． 二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0af f a e>【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期6月月考 【答案】BD【分析】根据()()'0f x f x +>，设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，得到()h x 在R 上是增函数，再根据a 是正实数，利用单调性逐项判断．【解析】设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，因为()()'0f x f x +>，所以()0h x '>，()h x 在R 上是增函数， 因为a 是正实数，所以2a a <，所以()()22aae f a e f a <，因为21a a e e >>， ()(),2f a f a 大小不确定，故A 错误， 因为a a -<，所以()()aa ef a e f a --<，即()()2a f a e f a >-，故B 正确．因为0a >，所以()()()000a e f a e f f >=， 因为1a e >，()(),0f a f 大小不确定．故C 错误．()()()000a e f a e f f >=，因为1a e >，所以()()0af f a e>，故D 正确．故选BD. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题．2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高二下学期期中 【答案】BCD【分析】构造出函数()()xxf x F x e =，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中()()()f x xf x xf x '+<，从而确定函数()()xxf x F x e =是单调递减函数，然后可判断出每个答案的正误． 【解析】构造函数()()xxf x F x e =， 因为2[()()]()()()()()0()x x x xe f x xf x xe f x f x xf x xf x F x e e '+-+-=='<'， 故函数()()xxf x F x e=在R 上单调递减函数， 因为21>，所以212(2)(1)(2)(1)f f F F e e <⇒<，即2(2)(1)f f e<，故A 正确，B 错误； 因为()(1)0F F <，即()10f e<，所以()10f <，故C 错误； 因为()(1)0F F ->，即()110f e--->，所以()10f -<，故D 错误，故选BCD. 【名师点睛】解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数()()xxf x F x e=，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功，属于较难题． 3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1【试题来源】山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试 【答案】BCD【分析】先对函数求导，根据022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，排除A ；再由导数的方法研究函数单调性，判断出B 选项；构造函数()sin xg x x=，由导数的方法研究其单调性，即可判断C 选项；根据()sin x g x x =的单调性，先得到sin 2x x π>，再令()sin h x x x =-，根据导数的方法研究其单调性，得到sin 1xx<，即可判断D 选项． 【解析】因为()cos sin f x x x x =-，所以()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-， 所以022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，所以2x π=不是函数的极值点，故A 错； 若[]0,x π∈，则()sin 0f x x x '=-≤，所以函数()cos sin f x x x x =-在区间[]0,π上单调递减；因此()()00≤=f x f ，故B 正确； 令()sin x g x x =，则()2cos sin x x x g x x -'=， 因为()cos sin 0f x x x x =-≤在[]0,π上恒成立，所以()2cos sin 0x x xg x x -'=<在()0,π上恒成立，因此函数()sin xg x x=在()0,π上单调递减；又120x x π<<<，所以()()12g x g x >，即1212sin sin x x x x >，所以1122sin sin x x x x <，故C 正确；因为函数()sin x g x x =在()0,π上单调递减；所以0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()sin x g x x =也单调递减，因此()sin 22x g x g x ππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立；令()sin h x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0h x x '=-≥在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()sin h x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因此()sin 0h x x x =->，即sin 1xx <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立； 综上，2sin 1x x π<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，故D 正确．故选BCD ． 【名师点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数的极值，单调性等，属于常考题型．4．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 【试题来源】冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷（山东专版） 【答案】ACD【分析】对选项A ，()f x 在[]1,2上的最小值小于a 即可；对选项B ，()g x 的最小值大于0即可；对选项C ，()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值即可；对选项D ，[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥即可．【解析】对选项A ，只需()f x 在[]1,2上的最小值小于a ，()f x 在[]1,2上单调递增，所以min 2()(1)111f x f ==-=-，所以1a >-，故正确； 对选项B ，只需()g x 的最小值大于0，因为[]πcos,2x a a a∈-，所以min ()52530g x a a a =-+-=->，所以503a <<，故错误； 对选项C ，只需()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值，min ()1f x =-，max ()525g x a a a =+-=-，即15a ->-，6a >，故正确；对选项D ，只需()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥，max 2()(2)212f x f ==-=，所以[]11,2x ∈，[]1()1,1f x ∈-， []0,1x ∈时，π0,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,1上单调递减， ()min (1)52a g x g ==-，()max (0)5a g x g ==-，所以()[]52,5g x a a ∈--，由题意，52151a a -≤-⎧⎨-≥⎩⇒34a ≤≤，故正确．故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件的转化，属于中档题．5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．1【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期期中考前训练 【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，利用导数法研究其最小值即可．【解析】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1xF x x x x x =++>，则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=．令()ln 2x x x ϕ=--，因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增． 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++．（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈． 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数，所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 因为k 为整数，所以0k ≤．故选ABC ． 6．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+D ．21cos 12x x ≥-【试题来源】广东省中山市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】ACD 【分析】令10tx ，()1ln 1f t t t=+-，导数方法求出最小值，即可判定出A 正确；令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，导数方法研究单调性，求出范围，即可判定B 错； 令()1xf x e x =--，导数的方法求出最小值，即可判定C 正确；令()21cos 12f x x x =-+，导数的方法求出最小值，即可判定D 正确． 【解析】A 选项，因为1x >-，令10t x ，()1ln 1f t t t=+-，则()22111t f t t t t -'=-=，所以01t <<时，()210t f t t-'=<，即()f t 单调递减；1t >时，()210t f t t -'=>，即()f t 单调递增； 所以()()min 10f t f ==，即()1ln 10f t t t=+-≥，即1ln t t t -≥，即()ln 11x x x +≥+，1x >-恒成立；故A 正确；B 选项，令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >， 则()()2222211112110222x x x f x x x x x ---⎛⎫'=-+==-≤ ⎪⎝⎭显然恒成立， 所以()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0x >上单调递减， 又()10f =，所以当()0,1x ∈时，()()10f x f >=，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故B 错； C 选项，令()1xf x e x =--，则()1xf x e '=-，当0x >时，()10xf e x ='->，即()f x 单调递增；当0x <时，()10xf e x ='-<，所以()f x 单调递减；则()()00f x f ≥=，即1x e x ≥+恒成立；故C 正确； D 选项，令()21cos 12f x x x =-+，则()sin f x x x '=-+， 所以()cos 10f x x ''=-+≥恒成立，即函数()sin f x x x '=-+单调递增， 又()00f '=，所以当0x >时，()0f x '>，即()21cos 12f x x x =-+单调递增； 当0x <时，()0f x '<，即()21cos 12f x x x =-+单调递减； 所以()()min 00f x f ==，因此21cos 12x x ≥-恒成立，故D 正确；故选ACD ． 三、填空题1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________．【试题来源】【全国区级联考】江苏省徐州市铜山区下学期高二数学（文）期中试题 【答案】2c ≥【解析】由()()f x g x ≥，即32ln 1x x c x -+≥+，即32ln 1c x x x ≥-+++．令()()32ln 10h x x x x x =-+++>，()()()21331x x x h x x'-++=-，故函数()h x 在区间()0,1上递增，在()1,+∞上递减，最大值为()12h =，所以2c ≥．【名师点睛】本题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立，问题，考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值等知识．首先根据()()f x g x ≥，对函数进行分离常数，这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个部分的最值，根据这个最值来求得参数的取值范围．2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月停课不停学阶段性测试（理） 【答案】(,2]e -∞【分析】首先对参数的范围进行讨论，分两种情况，尤其是当0m >时，对式子进行变形，构造新函数，将恒成立问题转化为最值来处理，利用函数的单调性来解决，综述求得最后的结果．【解析】（1）0m ≤，显然成立；（2）0m >时，由32ln 0mxx x me -≥22ln m x m x x e x ⇒≥2ln (2ln )mxx m x e e x⇒≥，由()x f x xe =在[),e +∞为增2ln mx x⇒≥2ln m x x ⇒≤在[),e +∞恒成立， 由()2ln g x x x =在[),e +∞为增，min ()2g x e =，02m e <≤， 综上，2m e ≤，故答案为(,2]e -∞．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．【试题来源】四川省泸州市2020学年下学期高二期末统一考试（文） 【答案】(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可．【解析】函数的导数2()21f ax x x '=+-，由()0f x '在1x 上恒成立得2210a x x +-在1x 上恒成立，即221a x x+，得322x x a +在1x 上恒成立，设32()2g x x x =+， 则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数， 则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=，则3a ， 即实数a 的取值范围是(],3-∞，故答案为(],3-∞.【名师点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 【试题来源】2020年高考数学选填题专项测试（文理通用） 【答案】[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-，代入()10f x m -+≤，即ln 1m x x ≥-+恒成立，构造()ln 1g x x x =-+，利用导数研究最值，即得解．【解析】()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1)+∞，单调递减， 故max ()(1)00g x g m ==∴≥，故答案为[)0,+∞.【名师点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题．5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 【试题来源】2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（理）试题 【答案】0a e ≤<【分析】若函数()0x f x e ax =->恒成立，即min ()0f x >，求导得'()x f x e a =-，在0,0,0a a a >=<三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的min ()f x ，解关于a的不等式，再取并集，即得．【解析】由题意得，只要min ()0f x >即可，'()x f x e a =-，当0a >时，令'()0f x =解得ln x a =，令'()0f x <，解得ln x a <，()f x 单调递减， 令'()0f x >，解得ln x a >，()f x 单调递增，故()f x 在ln x a =时，()f x 有最小值，min ()(ln )(1ln )f x f a a a ==-， 若()0f x >恒成立，则(1ln )0a a ->，解得0a e <<； 当0a =时，()0x f x e =>恒成立； 当0a <时，'()x f x e a =-，()f x 单调递增，,()x f x →-∞→-∞，不合题意，舍去．综上，实数a 的取值范围是0a e ≤<．故答案为0a e ≤<6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】陕西省商洛市洛南中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理） 【答案】(2,)+∞【分析】设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合题意，即可求得实数m 的取值范围．【解析】由题意，设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=， 则()22(1)(323)x x f x x x --=-+'=，当2[1,)3x ∈--或(1,2]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 又由222(),(2)2327f f -==，即2()(2)3f f -<， 即函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为2，又由当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，所以2m >， 即实数m 的取值范围是(2,)+∞．故答案为(2,)+∞【名师点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用函数的导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020-2021学年高三上学期期中 【答案】32m ≤-【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法、构造函数法、常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可．【解析】()()()()222210xx x x x xme ex e ex me ex e ex e e++++-⇒≤≤ （1）， 令x ext e=，因为()0,x ∈+∞，所以0t >， 则不等式(1)化为2221(2)(1)11t t m t t m t --+++≤⇒≤+，设()xex f x e=，()0,x ∈+∞，'(1)()x e x f x e -=，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，max ()(1)1f x f ==， 而(0)0f =，因此当()0,x ∈+∞时，()(0,1]f x ∈，因此(0,1]t ∈，设2221()1t t g t t --+=+，(0,1]t ∈，因此要想()()220x x xme ex e ex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，只需min ()m g t ≤，2'2243()(1)t t g t t ---=+，因为(0,1]t ∈，所以'()0g t <，因此()g t 在(0,1]t ∈时单调递减，所以min 3()(1)2g t g ==-，因此32m ≤-．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二下学期期末适应性考试（理） 【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；原问题即可转化为直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象，由图象得到只需<<OA OB k a k ；根据导数的方法求出OA ，OB 所在直线斜率，进而可得出结果． 【解析】由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；所以若()()(ln )0=--<xf x e ax x ax 恒成立，只需0ln 0x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩，即直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象如下：由图象可得，只需<<OA OB k a k ；设11(,)A x y ，由ln y x =得1y x'=，所以111OA x x k y x =='=， 所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ， 又该切线过点O ，所以11110ln (0)1-=-=-x x x ，解得1x e =，所以1=OA k e； 设22(,)B x y ，由x y e =得e x y '=，所以22x OB x x k y e =='=，所以曲线x y e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为222()-=-x x y e e x x ，又该切线过点O ，所以2220(0)-=-x x ee x ，解得21x =，所以=OB k e ；所以1a e e <<．故答案为1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【名师点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________． 【试题来源】黑龙江省七台河市田家炳高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）【答案】[1,)-+∞【分析】求导得到()x f x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故()(0)0f x f =，不符合，排除，得到答案． 【解析】因为()1x f x e ax =+-，所以()x f x e a '=+，因为0x ，所以()1f x a '+． 当10a +，即1a ≥-时，()0f x '，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =，故1a ≥-符合题意；当10a +<，即1a <-时，因为()x f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=．令()0f x '<，得00x x <，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =，故1a <-不符合题意．综上，a 的取值范围是[1,)-+∞．故答案为[1,)-+∞．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________． 【试题来源】北京市101中学2019-2020学年高三10月月考 【答案】331n n >-【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立．【解析】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-．下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln 33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<． 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤．所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-．故答案为331n n >-． 【名师点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考 【答案】(,1)-∞【分析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数m 的取值范围．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->， (ⅰ)当(0,1)x ∈时，||0x m -≥，ln 0xx<，不等式恒成立，所以m R ∈； (ⅰ)当1x =时，|1|0m -≥，ln 0xx=，所以1m ≠； (ⅰ)当1x >时，不等式恒成立等价于ln x m x x <-恒成立或ln xm x x>+恒成立， 令ln ()x h x x x =-，则221ln ()x x h x x'-+=，因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >， 因为ln xm x x<-恒成立等价于min ()m h x <，所以1m ， 令ln ()x g x x x =+，则221ln ()x xg x x+-'=， 再令2()1ln p x x x =+-，则1'()20p x x x=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()p x 在(1,)x ∈+∞上无最大值，综上所述，满足条件的m 的取值范围是(,1)-∞．故答案为(,1)-∞．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理）【答案】4e -⎡⎤⎣⎦【分析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立，当0x ≠时，则2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩，然后构造函数()x e g x x=（0x >），()221x h x x x +=-（0x <），分别求解函数()g x 的最小值和()h x 的最大值，只需()()min max h x a g x ≤≤即可．【解析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立；当0x ≠时，则()2,012,0x e ax x a x x x x ⎧≥>⎪⎨-≥--<⎪⎩，因为当0x <时，20x x ->， 所以只需满足2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩即可，令()x e g x x =（0x >），则()()21x x e g x x-'=， 则()0,1x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1x ∈上递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()1,+∞上递增， 所以()()1min g x g e ==，所以a e ≤，令()221x h x x x +=-（0x <）， 则()()()()()()22222222112221x x x x x x h x x x x x --+-+-'==--，令()0h x '=，得x =x =则当x ⎛∈-∞ ⎝ ⎭时，()0h x '>；当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以函数()h x在⎛-∞ ⎝ ⎭上递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上递减， 所以()4maxh x h ===-⎝⎭⎝⎭故4a ≥-4a e -≤．故答案为4e -⎡⎤⎣⎦．【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题，考查学生分析问题、转化问题的能力，考查参变分离思想的运用，考查利用导数求解函数的最值，属于难题． 解决此类问题的方法一般有以下几种：（1）作出函数的图象，利用数形结合思想加以研究；（2）先进行参变分离，然后利用导数研究函数的最值，即可解决问题，必要时可以构造新函数进行研究．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（理）联考试题 【答案】[)0,+∞ 【分析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决．【解析】22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥． 由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦， 令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-． 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴的最小值为()1g ππ=--． 又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤， ()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数．02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤．又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥，故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞．14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．【试题来源】6月大数据精选模拟卷04（上海卷）（满分冲刺篇） 【答案】e -【分析】把不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，转化为函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，结合函数的单调性和零点，得出1a-是函数ln y ax x =-的零点，即可求解． 【解析】由题意，不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，即函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，由ln ,0,0y ax x a x =-<>，则10y a x'=-<，所以ln y ax x =-为(0,)+∞减函数， 又由当0a <，可得1y ax =+为(0,)+∞减函数， 所以1y ax =+ 与ln y ax x =-同为单调减函数，且1a-是函数1y ax =+的零点， 故1a -是函数ln y ax x =-的零点，故110ln a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a e =-．【名师点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把不等式恒成立问题转化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________． 【试题来源】2020届辽宁省抚顺市高三二模考试（理） 【答案】12-【分析】设()()2211xx ax f x x e-+=≤，结合导数可知当0a <时，()()min 21f x f a =+；由题意可知，()()2122211a a f x f a e++≥+=≥，设()1t g t e t =--，则()0g t ≤，由导数可求出当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥．从而可确定()0g t =，即可求出a 的值．【解析】设()()2211xx ax f x x e -+=≤，则()()()121xx x a f x e --+⎡⎤⎣⎦'=．当211a +≥，即0a ≥时，()0f x '≤，则()f x 在(],1-∞上单调递减， 故()()2211a f x f e -≥=≥，解得102ea ≤-<，所以0a ≥不符合题意； 当211a +<，即0a <时，()f x 在(),21a -∞+上单调递减，在(]21,1a +上单调递增， 则()()min21f x f a =+．因为2211xx ax e -+≥，所以()()2122211a a f x f a e ++≥+=≥． 令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤，设()1t g t e t =--， 则()1tg t e '=-，令()0g t '<，得0t <；令()0g t '>，得01t <<，则()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增；当0t =时，()g t 有最小值0， 即()0g t ≥．因为()0g t ≤，所以()0g t =，此时210a +=，故12a =-． 【名师点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题．本题的难点在于将已知恒成立问题，转化为()10tg t e t =--≤恒成立．本题的关键是结合导数，对含参、不含参函数最值的求解． 四、双空题1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)5,-+∞【分析】求出导函数()2122122ax x f x ax x x-+'=-+=，只需方程22210ax x -+=有两个不相等的正根，满足1212010210x x a x x a ⎧⎪∆>⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩，解不等式组可得a 的取值范围；求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式，最后利用导数，通过构造函数，求出新构造函数的单调性，最后求出t 的取值范围．【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<．()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---， 设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 22()0a h a a '-=>，故()h a 在102a <<上单调递增，故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以5t ≥-．因此t 的取值范围是[)5,-+∞. 故答案为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；[)5,-+∞【名师点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题，考查了不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数是解题的关键，属于基础题．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________． 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】13,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦132-【分析】将2n =代入求解即可；当n 为奇数时，cos 1n π=-，则转化。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期期末(合格考)地理试题(解析版)
长郡中学2020-2021学年度高二第一学期期末考试地理（合格性考试）时量：60分钟满分：100分第I卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共30小题，每小题2分，共60分，每小题只有一个正确选项）2015年，某中学地理兴趣小组对我国某海岛（图1）进行了考察，并观测绘制了该岛某地正午太阳高度年变化示意图（图2）。
读图完成下列两题。
1. 根据图2所示信息，可推断该地最可能位于图1中的（）A. 钓鱼岛B. 舟山群岛C. 南沙群岛D. 台湾岛北部2. 在太阳直射点由b向a的运动期间，有关湖南省文化现象的叙述，正确的是（）A. 放鞭炮，守岁迎春B. 荡秋千，踏青插柳C. 吃月饼，共庆团圆D. 望双星，鹊桥相会【答案】1. C 2. B【解析】【分析】本题考查正午太阳高度的分布规律以及读图分析能力。
【1题详解】据图2可知，该地一年中有太阳直射现象，说明其位于赤道和回归线之间，A、B、D排除。
故选C。
【2题详解】据上题分析并结合图2分析可知，在太阳直射点由b向a的运动期间，直射点由直射该地向北移，据图1可知，南沙群岛大概位置在10°N附近，日期大约为阳历4月初。
吃月饼，共庆团圆时间是农历八月十五，时间在6月22日到9月23日之间，C错误；放鞭炮，守岁迎春时间在农历一月初一，时间在12月22日和3月21日之间，A错误；荡秋千，踏青插柳时间在3月21日到6月22日之间，B正确；望双星，鹊桥相会时间在农历七月初七，时间在6月22日和9月23日之间，D错误。
故选B。
【点睛】太阳直射点移动规律：下图为某校高一同学绘制的局部气压带、风带分布示意图。
读图完成下面小题。
3. ①、②、③、④四幅分布示意图中，符合全球气压带、风带分布规律的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④4. 若甲地常年受该气压带控制，则有关该气候类型的叙述，不正确的是（）A. 终年受副热带高压控制B. 气候特征表现为终年高温多雨C. 终年受赤道低气压控制D. 该类气候主要分布于赤道附近【答案】3. B 4. A【解析】【分析】【3题详解】空气水平运动方向是由气压高处流向气压低处，北半球右偏，南半球左偏。
2020—2021学年长沙长郡中学七年级上学期期中考试数学试题及答案
2020—2021学年长沙长郡中学七年级上学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某大米包装袋上标注着“净含量10kg±150g”，小华从商店买了2袋大米，这两袋大米相差的克数不可能是()A.100gB.150gC.300gD.400g2.在()11,15,10,032,,5-----+中，负数的个数有（）A.2个B.3个C.4个D.53.如图，点A 所表示的数的绝对值是（）A.3B.﹣3C.13D.13-4.2017上半年，四川货物贸易进出口总值为2098.7亿元，较去年同期增长59.5%，远高于同期全国19.6%的整体进出口增幅．在“一带一路”倡议下，四川同期对以色列、埃及、罗马尼亚、伊拉克进出口均实现数倍增长．将2098.7亿元用科学记数法表示是（）A.2.0987×103B.2.0987×1010C.2.0987×1011D.2.0987×10125.如果温度上升10C 记作10C + ，那么温度下降5C 记作（）A.10C+ B.10C-o C.5C +o D.5C- 6.若()2120x y ++-=，则2x y -=（）A.3- B.0C.3D.1-7.a 、b 、c 、m 都是有理数，且a+2b+3c=m ，a+b+2c=m ，那么b 与c 的关系是（）A.互为相反数B.互为倒数C.相等D.无法确定8.用一根长为a （单位：cm ）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm ）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（）A.4cmB.8cmC.（a+4）cmD.（a+8）cm9.当x=﹣1时，代数式3x+1的值是（）A.﹣1B.﹣2C.4D.﹣410.下列说法正确的是（）A.没有最大的正数，却有最大的负数B.在原点左边离原点越远，数就越小C.0大于一切非负数D.数轴上离原点越远，表示数越大二、填空题11.已知3x－8与2互为相反数，则x＝________．12.规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x＜1时，化简[x]+（x）+[x）的结果是_____．13.据统计：我国微信用户数量已突破8.87亿人，近似数8.87亿精确到_____位．14.定义运算“*”，规定x*y=2x+y，如1*2=4，2*3=7，则（﹣2）*5=_____．15.如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为______．16.按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为48,我们发现第一次得到的结果为24,第2次得到的结果为12,…，请你探索第2018次得到的结果为_______________________．三、解答题17.阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}；{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合称为条件集合．例如；{3，﹣2}，因为﹣2×3+4＝﹣2，﹣2恰好是这个集合的元素所以{3，﹣2}是条件集合：例如；（﹣2，9，8，}，因为﹣2×（﹣2）+4＝8，8恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，9，8，}是条件集合．（1）集合{﹣4，12}是否是条件集合？（2）集合{12，﹣53，223}是否是条件集合？（3）若集合{8，n}和{m}都是条件集合．求m、n的值．18.把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号连接﹣1，+3，0，﹣（﹣2.5），﹣|﹣5|19.对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．(1)计算2⊙（-4）的值；(2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a⊙b．20.先阅读下面例题的解题过程，再解决后面的题目．例：已知9﹣6y﹣4y2=7，求2y2+3y+7的值．解：由9﹣6y﹣4y2=7，得﹣6y-4y2=7﹣9，即6y+4y2=2，所以2y2+3y=1，所以2y2+3y+7=8．题目：已知代数式14x+5﹣21x2=-2，求6x2﹣4x+5的值21.点,A B 在数轴上分别表示实数,a b A B 、、两点之间的距离记作AB ．当,A B 两点中有一点为原点时，不妨设A 点在原点．如图①所示，则AB OB b a b===-．当,A B 两点都不在原点时：（1）如图②所示，点,A B 都在原点的右边，不妨设点A 在点B 的左侧，则AB OB OA b a b a b a a b =-=-=-=-=-．（2）如图③所示，点,A B 都在原点的左边，不妨设点A 在点B 的右侧，则()AB OB OA b a b a a b a b=-=-=---=-=-．（3）如图④所示，点,A B 分别在原点的两边，不妨设点A 在点O 的右侧，则()AB OB OA b a a b a b=+=+=+-=-．回答下列问题：（1）综上所述，数轴上,A B 两点之间的距离AB =．（2）数轴上表示2和4-的两点A 和B 之间的距离AB =．（3）数轴上表示x 和2-的两点A 和B 之间的距离AB =．如果2AB =，则x 的值为．（4）若代数式2-3x x ++有最小值，则最小值为_．22.洋芋是大多数云南人都喜爱的食品，现有20袋洋芋，以每袋450斤为标准，超过或不足的斤数分别用正、负数来表示，与标准质量的差值记录如表：每袋与标准质量的差值（斤）﹣5﹣2136袋数143453（1）这20袋洋芋中，最重的一袋比最轻的一袋重几斤？（2）这20袋洋芋的平均质量比标准质量多还是少？多或少几斤？（3）求这20袋洋芋的总质量．23.如图所示，将面积为2a 的小正方形和面积为2b 的大正方形放在同一水平面上()0b a >>．（1）用a b 、表示阴影部分的面积；（2）计算当3,4ab ==时，阴影部分的面积﹒参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某大米包装袋上标注着“净含量10kg±150g”，小华从商店买了2袋大米，这两袋大米相差的克数不可能是()A.100gB.150gC.300gD.400g【答案】D 【解析】试题分析：根据“正”和“负”所表示的意义得出每袋大米的最多含量和最小含量，再两者相减即可得出答案．解：根据题意得：10+0.15=10.15（kg ），10﹣0.15=9.85（kg ），因为两袋两大米最多差10.15﹣9.85=0.3（kg ），=300（g ），所以这两袋大米相差的克数不可能是400g ；故选D ．考点：正数和负数．2.在()11,15,10,032,,5-----+中，负数的个数有（）A.2个B.3个C.4个D.5【答案】B 【解析】【分析】先化简可以化简的数，然后再根据负数的定义解答即可．【详解】解：∵-（-5）=5，-|+3|=-3∴()11,15,10,032,,5-----+中负数有112-，-10，-|+3|，共3个．故选：B ．【点睛】本题考查了负数的定义、去括号和绝对值的相关知识，灵活应用相关知识是解答本题的关键．3.如图，点A 所表示的数的绝对值是（）A.3B.﹣3C.13D.13-【答案】A 【解析】【分析】根据负数的绝对值是其相反数解答即可．【详解】|-3|=3，故选A ．【点睛】此题考查绝对值问题，关键是根据负数的绝对值是其相反数解答．4.2017上半年，四川货物贸易进出口总值为2098.7亿元，较去年同期增长59.5%，远高于同期全国19.6%的整体进出口增幅．在“一带一路”倡议下，四川同期对以色列、埃及、罗马尼亚、伊拉克进出口均实现数倍增长．将2098.7亿元用科学记数法表示是（）A.2.0987×103B.2.0987×1010C.2.0987×1011D.2.0987×1012【答案】C 【解析】将2098.7亿元用科学记数法表示是2.0987×1011，故选C ．点睛:本题考查了正整数指数科学计数法,对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数.5.如果温度上升10C 记作10C + ，那么温度下降5C 记作（）A.10C+ B.10C-o C.5C +o D.5C- 【答案】D 【解析】【分析】根据正负数表示具有意义相反的两种量进行解答即可．【详解】解：温度下降5C 记作5C-故答案为D ．【点睛】本题主要考查了正负数的意义，根据题意得到“上升记为正，则下降就记为负”是解答本题的关键．6.若()2120x y ++-=，则2x y -=（）A.3- B.0C.3D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据平方和绝对值的非负性求出x ，y ，代入求值即可；【详解】∵()2120x y ++-=，∴10x +=，20y -=，∴1x =-，2y =，∴2121-=-=-xy ；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了代数式求值，结合绝对值和平方数的非负性求解是解题的关键．7.a 、b 、c 、m 都是有理数，且a+2b+3c=m ，a+b+2c=m ，那么b 与c 的关系是（）A.互为相反数B.互为倒数C.相等D.无法确定【答案】A 【解析】试题分析：由于a+2b+3c=m ，a+b+2c=m ，则a+2b+3c=a+b+2c ，则b 与c 的关系即可求出．解：由题意得，a+2b+3c=m ，a+b+2c=m ，则a+2b+3c=a+b+2c ，即b+c=0，b 与c 互为相反数．故选A ．点评：本题考查了代数式的换算，比较简单，容易掌握．8.用一根长为a （单位：cm ）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm ）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（）A.4cmB.8cmC.（a+4）cmD.（a+8）cm 【答案】B 【解析】【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．【详解】∵原正方形的周长为acm ，∴原正方形的边长为4a cm ，∵将它按图的方式向外等距扩1cm ，∴新正方形的边长为（4a+2）cm ，则新正方形的周长为4（4a+2）=a+8（cm ），因此需要增加的长度为a+8﹣a=8cm ，故选B ．【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及规范书写代数式．9.当x=﹣1时，代数式3x+1的值是（）A.﹣1B.﹣2C.4D.﹣4【答案】B 【解析】【分析】把x 的值代入进行计算即可．【详解】把x=﹣1代入3x+1，3x+1=﹣3+1=﹣2，故选B ．【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10.下列说法正确的是（）A.没有最大的正数，却有最大的负数B.在原点左边离原点越远，数就越小C.0大于一切非负数D.数轴上离原点越远，表示数越大【答案】B 【解析】【分析】此题主要是考查大家对于正数、负数、0的大小的认识和在有理数范围内比较数的大小，当然，解决此类问题还可以借助数轴.【详解】A 、不对，因为既没有最大的正数也没有最大的负数，可举例说明.B 、原点右面，离原点越远数越大，原点左面则越远越小，正确.C 、非负数即不是负数就包括正数和0，所以说0大于一切非负数不对.D 、原点左面是负数，离原点越远数就越小，错误.【点睛】解决此题关键是对数轴有一个准确的认识，数轴上原点表示0，原点右面表示正数，原点左面表示负数，数轴上的点表示的数越往右越大，越往左越小.二、填空题11.已知3x －8与2互为相反数，则x ＝________．【答案】2【解析】根据互为相反数的两个数的和为0可得，3x -8+2=0，解得x =2.点睛：根据互为相反数的和为零，可得关于x 的一元一次方程，解方程即可得答案．12.规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x ＜1时，化简[x]+（x ）+[x ）的结果是_____．【答案】﹣2或﹣1或0或1或2．【解析】【分析】有三种情况：①当10x -<<时，[x ]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0，∴[x ]+（x ）+[x ）＝-2或-1；②当0x=时，[x ]＝0，（x ）＝0，[x ）=0，∴[x ]+（x ）+[x ）＝0；③当01x <<时，[x ]＝0，（x ）＝1，[x ）=0或1，∴[x ]+（x ）+[x ）＝1或2；综上所述，化简[x]+（x）+[x）的结果是-2或﹣1或0或1或2.故答案为-2或﹣1或0或1或2.点睛：本题是一道阅读理解题.读懂题意并进行分类讨论是解题的关键.【详解】请在此输入详解！13.据统计：我国微信用户数量已突破8.87亿人，近似数8.87亿精确到_____位．【答案】百万【解析】解：8.87亿精确到百万位．故答案为百万．14.定义运算“*”，规定x*y=2x+y，如1*2=4，2*3=7，则（﹣2）*5=_____．【答案】1【解析】【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【详解】根据题中的新定义得：（－2）*5＝-4+5=1，故答案是：1.【点睛】】主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键.15.如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为______．【答案】﹣6【解析】【分析】先根据已知条件可以确定线段AB的长度，然后根据点B、点C关于点A对称，设设点C所表示的数为x，列出方程即可解决．【详解】解：设点C所表示的数为x，∵数轴上A、B两点表示的数分别为-1和4，点B关于点A的对称点是点C，∴AB=4-（-1），AC=-1-x，根据题意AB=AC，∴4-（-1）=-1-x，故答案为-6．点睛：本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，熟练掌握对称性质是解本题的关键．16.按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为48,我们发现第一次得到的结果为24,第2次得到的结果为12,…，请你探索第2018次得到的结果为_______________________．【答案】1【解析】【分析】把x＝48代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，求出第2018次的得到的结果即可．【详解】解：把x＝48代入得：48×12＝24，把x＝24代入得：24×12＝12，把x＝12代入得：12×12＝6，把x＝6代入得：6×12＝3，把x＝3代入得：3＋5＝8，把x＝8代入得：8×12＝4，把x＝4代入得：4×12＝2，把x＝2代入得：2×12＝1，把x＝1代入得：1＋5＝6，以此类推，∵（2018−2）÷6＝2016÷6＝336，∴第2018次的得到的结果为：1，故答案为：1．【点睛】此题考查了程序框图与有理数运算，弄清题中的规律是解本题的关键．17.阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}；{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得﹣2a+4也是这个集合的元素，这样的集合称为条件集合．例如；{3，﹣2}，因为﹣2×3+4＝﹣2，﹣2恰好是这个集合的元素所以{3，﹣2}是条件集合：例如；（﹣2，9，8，}，因为﹣2×（﹣2）+4＝8，8恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，9，8，}是条件集合．（1）集合{﹣4，12}是否是条件集合？（2）集合{12，﹣53，223}是否是条件集合？（3）若集合{8，n}和{m}都是条件集合．求m、n的值．【答案】（1）集合{﹣4，12}是条件集合（2）是条件集合（3）见解析【解析】【分析】（1）依据一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得-2a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，即可得到结论；（2）依据一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得-2a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，即可得到结论；（3）分情况讨论：当-2×8+4=n，解得：n=-12；当-2n+4=8，解得：n=-2；当-2n+4=n，解得：n=43；当-2m+4=m，解得：m=4 3．【详解】（1）∵﹣2×（﹣4）+4＝12，∴集合{﹣4，12}是条件集合；（2）∵522 2433⎛⎫-⨯-+=⎪⎝⎭，∴{1522,,233-}是条件集合；（3）∵集合{8，n}和{m}都是条件集合，∴当﹣2×8+4＝n，解得：n＝﹣12；当﹣2n+4＝8，解得：n＝﹣2；当﹣2n+4＝n，解得：n＝4 3；当﹣2m+4＝m ，解得：m ＝43．【点睛】考查了有理数的运算，解决问题的关键是依据条件集合的定义进行计算．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a ，使得-2a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合．18.把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号连接﹣1，+3，0，﹣（﹣2.5），﹣|﹣5|【答案】图见解析，510( 2.5)3--<-<<--<+【解析】【分析】首先在数轴上表示出各数，然后再根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大可得答案．【详解】如图所示：用“<”号把它们连接起来为：()510 2.53--<-<<--<+.19.对于有理数a 、b ，定义一种新运算“⊙”，规定：a ⊙b ＝|a+b|+|a ﹣b|．(1)计算2⊙（-4）的值；(2)若a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简a ⊙b ．【答案】（1）8；（2）-2a.【解析】【分析】（1）根据新定义计算可得；（2）根据数轴得出a ＜0＜b 且|a|＞|b|，从而得出a+b ＜0、a-b ＜0，再根据绝对值性质解答可得．【详解】（1）2⊙（﹣4）=|2﹣4|+|2+4|=2+6=8；（2）由数轴知a ＜0＜b ，且|a|＞|b|，则a+b ＜0、a ﹣b ＜0，所以原式=﹣（a+b ）﹣（a ﹣b ）=﹣a ﹣b ﹣a+b=﹣2a ．【点睛】主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序及绝对值的性质．20.先阅读下面例题的解题过程，再解决后面的题目．例：已知9﹣6y ﹣4y 2=7，求2y 2+3y+7的值．解：由9﹣6y ﹣4y 2=7，得﹣6y-4y 2=7﹣9，即6y+4y 2=2，所以2y 2+3y=1，所以2y 2+3y+7=8．题目：已知代数式14x+5﹣21x 2=-2，求6x 2﹣4x+5的值【答案】7【解析】【分析】根据已知条件可得到一个等式，对等式变形，可求出2321x x -=，再将2321x x -=代入所求代数式即可．【详解】解：由2145212x x +-=-，∴214217x x -=-，∴22231321x x x x -=-⇒-=，∴2645x x -+()22325x x =-+215=⨯+7=【点睛】本题考查了代数式的值，做此类题的时候，应先得到只含未知字母的代数式的值为多少，把要求的式子整理成包含那个代数式的形式．21.点,A B 在数轴上分别表示实数,a b A B 、、两点之间的距离记作AB ．当,A B 两点中有一点为原点时，不妨设A 点在原点．如图①所示，则AB OB b a b ===-．当,A B 两点都不在原点时：()1如图②所示，点,A B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧，则=-=-=-=-=-．AB OB OA b a b a b a a b()2如图③所示，点,A B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧，则()=-=-=---=-=-．AB OB OA b a b a a b a b()3如图④所示，点,A B分别在原点的两边，不妨设点A在点O的右侧，则()AB OB OA b a a b a b=+=+=+-=-．回答下列问题：()1综上所述，数轴上,A B两点之间的距离AB=．()2数轴上表示2和4-的两点A和B之间的距离AB=．()3数轴上表示x和2-的两点A和B之间的距离AB=．如果2AB=，则x 的值为．()4若代数式2-3++有最小值，则最小值为_．x xx+；0或4-；()45【答案】()1a b-；()26；()32【解析】【分析】（1）根据数轴上A，B两点的位置即可得出答案；（2）按照数轴上的位置进行计算即可；（3）根据数轴进行计算即可；（4）根据绝对值的性质进行化简即可．【详解】解：（1）综上所述，数轴上A B 、两点之间的距离AB a b =-；（2）数轴上表示2和4-的两点A 和B 之间的距离()24246AB =--=+=；（3）数轴上表示x 和2-的两点A 和B 之间的距离2,AB x =+如果2AB =，则x 的值为0或4-；（4）若代数式23x x ++-有最小值，23x x ++-的值即为-2与3两点间的距离，此时最小，最小值为|3−（−2）|＝5，则最小值为5．故答案为：()1a b -；()26；()32x +；0或4-；()45．【点睛】此题考查了实数与数轴，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．22.洋芋是大多数云南人都喜爱的食品，现有20袋洋芋，以每袋450斤为标准，超过或不足的斤数分别用正、负数来表示，与标准质量的差值记录如表：每袋与标准质量的差值（斤）﹣5﹣20136袋数143453（1）这20袋洋芋中，最重的一袋比最轻的一袋重几斤？（2）这20袋洋芋的平均质量比标准质量多还是少？多或少几斤？（3）求这20袋洋芋的总质量．【答案】（1）11斤；（2）多1.2斤；（3）9024斤.【解析】【分析】（1）找出最重的与最轻的，即可求出差值；（2）求出平均质量，比较标准即可；（3）求出总重量即可．【详解】(1)根据题意得：最重的一袋为456斤，最轻的一袋为445斤，则这20袋洋芋中，最重的一袋比最轻的一袋重11斤；(2)根据题意得：−5−2×4+0×3+1×4+3×5+6×3=24，24÷20=1.2(斤)这20袋洋芋的平均质量比标准质量多，多1.2斤.(3)根据题意得：450×20+24=9024(斤)，则这20袋洋芋的总质量9024斤.【点睛】考查正数与负数的实际应用，利用有理数的加减法是解题的关键.23.如图所示，将面积为2a 的小正方形和面积为2b 的大正方形放在同一水平面上()0b a >>．()1用a b 、表示阴影部分的面积；()2计算当3,4a b ==时，阴影部分的面积﹒【答案】（1）()21122b a a b ++；（2）372﹒【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式解答即可；（2）把a 、b 的值代入（1）题中的代数式计算即可﹒【详解】解：()1阴影部分的面积=()21122b a a b ++；()2当3,4a b ==时，()()21111371633422222b a a b ++=⨯+⨯⨯+=，所以阴影部分的面积为372﹒【点睛】本题考查了列代数式和代数式求值，属于常考题型，正确列式、准确计算是解题关键﹒。
第六章 统计【过关测试】-2020-2021学年高一数学单元复习一遍过(北师大版2019必修第一册)
14．（2018·全国高一课时练习）采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本,若个体a前两次未被抽到,则第三次被抽到的概率为_____.
贫困户编号
评分
贫困户编号
评分
贫困户编号
评分
贫困户编号
评分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
78
73
81
92
95
85
79
84
63
86
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
88
86
95
76
97
78
88
82
76
89
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
79
83
72
74
91
66
80
83
35
36
A． ， B． ， C． ， D． ，
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．（2020·湖北东西湖·华中师大一附中高二期末）已知样本2， ， ，4，6的平均数为4，则标准差的最小值为______．
12．（2018·安徽安庆·高二月考（理））某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人､高二1200人､高三 人中，抽取80人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么 _____________.