高中数学《圆的一般方程》导学案1 北师大版必修2
高中数学《圆的一般方程》导学案1 北师大版必修2
1 / 2
高中数学《圆的一般方程》导学案1 北师大版必修2
【学习目标】掌握圆的一般方程
【重点难点】圆的一般方程应用
【学法指导】探究应用
【知识链接】
1、圆的标准方程
2、直线与二元一次方程0(,AxByCAB不全为零)建立了一一
对应的关系，那么圆是否也由与之对应的方程呢
1、圆的一般方程：
圆的标准方程222)()(rbyax的展开式为：
写成022FEyDxyx ①
这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如022FEyDxyx
的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
将上方程配方，得
②
不难看出，此方程与圆的标准方程的关系
（1）当0422FED时，
（2）当0422FED时，
（3）当0422FED时，
综上所述，方程022FEyDxyx表示的曲线不一定是圆
只有当 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如
022FEyDxyx
的表示圆的方程称为圆的一般方程。
2、圆的一般方程的特点：
（1）
（2）确定圆的一般方程，只要根据已知条件确定 就可以了
三、应用举例：
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心
及半径。22(1)46120xyxy；22(2)4484150xyxy
例2：求过点（—1，1），且圆心与已知圆22(1)46120xyxy相同
的圆的方程
例3：求过三点(0,5),(1,2),(3,4)ABC的圆的方程，并求这个圆的半径
和圆心坐标
注：（1）用待定系数法求圆的方程的一般步骤：
①根据题意，选择标准方程或一般方程；
高中数学《圆的一般方程》导学案1 北师大版必修2
2 / 2
②根据条件列出关于,,abr或,,DEF的方程组；
③解出,,abr或,,DEF，代入标准方程或一般方程。
（2）何时选设圆的标准方程或一般方程？
四、小结 1．对方程022FEyDxyx的讨论(什么时候可以表示圆) 。
2．与标准方程的互化。 3．用待定系数法求圆的方程。
五、基础训练：
1、方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a、b、c
的值依次为（）
（A）2、4、4； （B）-2、4、4； （C）2、-4、4； （D）2、-4、-4
2、写出圆心和半径
0622xyx )0(,0222bby
y
x
3、已知方程x2+y2+kx+(1-k)y+134=0表示圆，则k的取值范围 ( )
A k>3 B 2k C -2
4、已知△ABC的顶点的坐标为A（4,3）,B(5,2)，C(1,0)，求△ABC外接圆
的方程
【学后反思】
【教后反思】
2017-2018学年高中数学必修2北师大版 圆的一般方程 教案
教学设计2．2 圆的一般方程整体设计教学分析圆的一般方程是表示圆的方程的又一基本形式，本节内容研究圆的一般方程的方法与研究圆的标准方程不同，它是在学习了圆的标准方程的基础上将圆的方程展开，化成二元二次方程的形式：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，从而得出：任何一个圆的方程都可以写成这种形式，即任何一个圆的方程都可表示成关于x ，y 的二元二次方程的形式，但是，是不是任何一个关于x ，y 的形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程的曲线都表示圆呢？这就给学生留下了一个悬念．教材中讨论二元二次方程所表示的曲线运用了“由简单到复杂、由特殊到一般”的化归思想，这种思想要求学生理解掌握．教材通过将二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方化为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋F 22＝D 2＋E 2－4F 4后，只需讨论D 2＋E 2－4F ＞0，D 2＋E 2－4F ＝0，D 2＋E 2－4F ＜0三种情况．与圆的标准方程比较可知D 2＋E 2－4F ＞0时，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2；当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 从而得出圆的一般方程的特点：(1)x 2和y 2的系数相同，不等于0；(2)没有xy 这样的二次项；(3)D 2＋E 2－4F ＞0.其中(1)和(2)是二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的必要条件，但不是充分条件，只有三条同时满足才是充要条件．同圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2含有三个待定系数a ，b ，r 一样，圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中也含有三个待定系数D ，E ，F ，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．同样可以用待定系数法求得圆的一般方程．在实际问题中，究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定．圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径，因此，对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程．如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系，通常采用圆的一般方程；当两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式，这是因为它可避免解三元二次方程组．圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长．我们知道，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，它有利于研究圆的有关性质和作图．而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中，哪些是圆的方程，哪些不是圆的方程，它们各有自己的优点，在教学过程中，应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化，尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径．要画出圆，就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程，然后才能画出曲线的形状．这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性．三维目标1．在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心、半径．2．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件，通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析、解决问题的能力．3．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法和轨迹法求圆的方程，同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力．重点难点教学重点：①圆的一般方程的代数特征．②一般方程与标准方程间的互化．③根据已知条件确定方程中的系数D，E，F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.写出圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.将圆的标准方程展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.如果D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得到方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式．能不能说方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0所表示的曲线一定是圆呢？这就是我们本堂课的内容．思路2.问题：求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程．利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式．推进新课新知探究提出问题①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法？②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢？③给出式子x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，请你利用配方法化成不含x 和y 的一次项的式子. ④把式子(x －a )2＋(y －b )2＝r 2与x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方后的式子比较，得出x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件.⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较，看各自有什么特点？讨论结果：①以前学习过直线，我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，最后学习一般式．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的．②我们想求圆的一般方程，可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程，把标准形式展开，整理得到，也是从特殊到一般．③把式子x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方得⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. ④(x －a )2＋(y －b )2＝r 2中，r ＞0时表示圆，r ＝0时表示点(a ，b )，r ＜0时不表示任何图形．因此式子⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4， (ⅰ)当D 2＋E 2－4F ＞0时，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆； (ⅱ)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (ⅲ)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．综上所述，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，由此得到圆的方程都能写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，它表示的曲线才是圆．因此x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F ＞0.我们把形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的方程称为圆的一般方程．⑤圆的一般方程形式上的特点：x 2和y 2的系数相同，不等于0.没有xy 这样的二次项．圆的一般方程中有三个待定的系数D ，E ，F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．应用示例思路1例1 求过点M (－1,1)，并与已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y －3＝0同心的圆的方程．图1解：将已知圆的方程化为标准方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16，圆心C 的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的半径为r ＝|CM |＝(2＋1)2＋(－3－1)2＝5.所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25(如图1)．例2 求过三点O (0,0)，M 1(1,1)，M 2(4,2)的圆的方程，并求圆的半径长和圆心坐标． 解：方法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由O ，M 1，M 2在圆上，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0.解得D ＝－8，E ＝6，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，即(x －4)2＋(y ＋3)2＝52.所以圆心坐标为(4，－3)，半径为5.方法二：先求出OM 1的中点E ⎝⎛⎭⎫12，12，M 1M 2的中点F ⎝⎛⎭⎫52，32， 再写出OM 1的垂直平分线PE 的直线方程y －12＝－⎝⎛⎭⎫x －12，① AB 的垂直平分线PF 的直线方程y －32＝－3⎝⎛⎭⎫x －52，② 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，3x ＋y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3.则点P 的坐标为(4，－3)，即为圆心．OP ＝5为半径．方法三：设所求圆的圆心坐标为P (a ，b )，根据圆的性质可得|OP |＝|AP |＝|BP |， 即x 2＋y 2＝(x －1)2＋(y －1)2＝(x －4)2＋(y －2)2，解之，得P (4，－3)，OP ＝5为半径．方法四：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为O (0,0)，A (1,1)，B (4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解．把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于a ，b ，r 的方程。
高中数学(直线和圆的位置关系)导学案 北师大版必修2 学案
第10课时直线和圆的位置关系1.理解直线与圆的位置关系的种类.2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3.会用方程思想(判别式法)或点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.一艘船在沿直线返回港口的途中,接到台风预报:台风中心位于船正西70千米处,受影响的X围是半径为30千米的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40千米处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风影响?这个问题可归结为直线和圆是否有公共点的问题,也是我们这节课研究的对象.问题1:直线与圆的位置关系有三种:、、.判断直线与圆的位置关系有两种方法:(1)代数法:联立直线方程与圆的方程消去x或y整理成一元二次方程后,计算判别式Δ,当判别式Δ<0时,直线和圆;当判别式Δ=0时,直线和圆 ;当判别式Δ>0时,直线和圆.(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d<r⇒,d=r⇒,d>r⇒.问题2:过一定点是否都存在圆的切线?如果存在,如何求圆的切线方程?(1)若点在圆内,此时直线和圆相交,不存在圆的切线.(2)若点在圆上,则过该点的切线只有,切线方程求法如下:①直接法,先求该点与圆心的连线的直线的斜率,再利用垂直关系求出切线斜率,最后用点斜式求出切线方程.②设元法,先设出切线方程(注意斜率不存在时的讨论),再利用圆心到切线的距离等于半径,求出所设参数.③公式法,设A(x0,y0)是圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的一点,则过点A的切线方程为:(x-a)(x0-a)+(y-b)·(y0-b)=r2,特别地,当圆心在原点时,即:A(x0,y0)是圆x2+y2=r2上一点,则过点A的切线方程为:.(3)若点在圆外,则过该点的切线有,切线方程求法如下:首先分析斜率不存在是否满足条件,再分析斜率存在时:设斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率,从而求出切线方程.问题3:计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数法:运用韦达定理及两点距离公式有|AB|= .问题4:用直线与圆的知识解决实际问题的步骤(1)仔细审题,理解题意;(2)引入,建立;(3)用直线与圆的知识解决已建立的数学模型;(4)用结果解释.1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是( ).2.自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,则切线长为().A. B.3 C.3.若直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交点,则k的取值X围是.4.过原点作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,求切线方程.圆的切线方程已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.求圆的弦长求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.利用圆的方程求最值已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,求3x2+4y2的最值.求过点P(4,5)的圆(x-2)2+y2=4的切线方程.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=2时,求直线l的方程.已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,则的最大值为;最小值为.1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是().2.圆C:x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为().A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=03.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于.4.已知圆x2+y2=8内一点P(-1,2),过点P的直线l的倾斜角为135°,直线l交圆于A、B两点,求AB的长.(2012年·卷) 直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为.考题变式(我来改编):第10课时直线和圆的位置关系知识体系梳理问题1:相交相切相离(1)相离相切相交(2)相交相切相离问题2:(2)一条③x0x+y0y=r2(3)两条问题3:(2)·|x A-x B|=问题4:(2)数学符号数学模型(4)实际问题基础学习交流1.A∵d==1<4,∴直线与圆的位置关系是相交.2.B因为过圆外一点作圆的切线,两条切线长相等,故切线长为=3,或2-(-1)=3.3.(0,)依题意有<1,解得0<k<,∴k的取值X围是(0,).4.解:已知圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,所以圆与坐标轴相切,所以切线方程为x=0或y=0.重点难点探究探究一: 【解析】(法一)当点M不在坐标轴上时,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1,∵圆的切线垂直于过切点的半径,∴k=-.∵k1=,∴k=-.∴经过点M的切线方程是y-y0=-(x-x0),整理得x0x+y0y=+.又∵点M(x0,y0)在圆上,∴+=r2.∴所求的切线方程是x0x+y0y=r2.当点M在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用.(法二)设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当P与M不重合时,△OPM为直角三角形,OP为斜边,∴OP2=OM2+MP2,即x2+y2=++(x-x0)2+(y-y0)2,整理得x0x+y0y=r2.可以验证,当P与M重合时同样适合上式,故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.(法三)设P(x,y)为所求切线上的任意一点(M与P不重合),当点M不在坐标轴上时,由OM⊥MP得k OM· k MP=-1,即·=-1,整理得x0x+y0y=r2.可以验证,当点M在坐标轴上时,同样适合上式;当P与M重合时亦适合上式.故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.【小结】(1)求圆的切线方程一般有三种方法:①设切线斜率,利用判别式,但过程冗长,计算复杂,易出错,通常不采用此法,但该法却是判断直线和曲线相切的通法,以后会经常用到;②设切线斜率,利用圆心到直线的距离等于半径;③设切点,利用过圆心和切点的直线与切线垂直.前两种方法要验证斜率是否存在.(2)过圆外一点可作圆的两条切线.探究二:【解析】(法一)直线x-y+2=0和圆x2+y2=4的公共点坐标就是方程组的解.根据x-y+2=0得y=x+2,代入x2+y2=4得x2+x=0,解得或∴公共点坐标为(-,1)和(0,2),直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为=2.(法二)如图,设直线x-y+2=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,弦AB的中点为M,则OM⊥AB(O为坐标原点),所以OM==,所以AB=2AM=2=2=2.【小结】在本题的两种方法中,前一种方法是代数法,后一种方法是几何法.在处理与直线和圆相交形成的弦的有关问题时,我们经常用到如下解法:(1)设弦的两个端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),代入圆的方程后寻求坐标与弦的关系,然后加以求解;(2)涉及圆的弦长问题时,为了简化运算,常利用垂径定理或半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行运算.探究三:【解析】由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64,故3x2+4y2在x=8时有最大值64,没有最小值.[问题]在圆的方程中变量x的取值X围是R吗?[结论]将x=8代入圆方程(x-2)2+y2=4,得y2=-32,矛盾,所以上述解法是错误的.因为y2=4-(x-2)2≥0,所以x的取值X围不是R.于是,正确解答如下:由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2≥0,得0≤x≤4,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64(0≤x≤4),所以当x=y=0时,3x2+4y2取得最小值0;当x=4,y=0时,3x2+4y2取得最大值48.【小结】确定圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的变量的取值X围的方法:先配方,再根据平方项非负来确定.圆的方程中变量的X围一般是以隐含条件的形式出现在试题中,因此在解题时注意挖掘出这个隐含条件.思维拓展应用应用一:把点P(4,5)代入(x-2)2+y2=4,得(4-2)2+52=29>4,即点P在圆(x-2)2+y2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y-5=k(x-4),即kx-y+5-4k=0,又圆心坐标为(2,0),r=2,由圆心到切线的距离等于半径,得=2,解得k=.将k代入所设方程得此时切线方程为21x-20y+16=0.当直线的斜率不存在时,还有一条切线是x=4.因此切线方程为x=4或21x-20y+16=0.应用二:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方后得到标准方程x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为C(0,4),半径为2.(法一)过圆心C作CD⊥AB交AB于点D,则根据题意和圆的性质,得即:+2=4.解得a=-7或a=-1.即直线l的方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.(法二)联立方程组消去y,得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0.Δ=-16(4a+3)>0,即a<-,设此方程的两根分别为x1,x2,由韦达定理知x1+x2=-,x1x2=.由AB=2=,可求出a=-7或a=-1,所以直线l的方程是7x-y+14=0或x-y+2=0.应用三:-因为表示的几何意义是圆上的动点与(2,1)连线的斜率,所以设=k,即kx-y+1-2k=0,当直线与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=1,解得k=±.所以的最大值为 ,最小值为-.基础智能检测1.B因为圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d=<1,故直线与圆相交,又(0,0)不在直线上,所以直线不过圆心.2.D因为点P在圆C上,k PC=-,所以切线的斜率为,所以切线方程为y-=(x-1),即x-y+2=0.3.-3或由题设知圆心坐标为(1,0),因为直线与圆相切,所以d==r=,解得m=或-3.4.解:k AB=-1,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.故圆心(0,0)到AB的距离d==,从而弦长|AB|=2 =.全新视角拓展2本题考查直线和圆的位置关系以及简单的平面几何知识.(法一)几何法:圆心到直线的距离为d==,圆的半径r=2,所以弦长为l=2×=2=2;(法二)代数法:联立直线和圆的方程消去y可得x2-2x=0,所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为=2.。
《圆的一般方程》课件1 (北师大版必修2).ppt
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
x y r
2 2
2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆的一般方程
( x 3) ( y 4) 6
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0
2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0 2 7 (1) 2 7 D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2 2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆 配方得
2021年高中数学第二章2.2.1圆的标准方程学案北师大版必修2
§2圆与圆的方程2．1圆的标准方程知识点一确定圆的条件[填一填]一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就确定了，如图所示．[答一答]1．确定圆的标准方程需要具备的条件是什么？提示：由标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 知确定圆的标准方程需要确定三个参数a、b、r.其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．知识点二圆的标准方程[填一填](1)圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点叫作圆的圆心，定长称为圆的半径．(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)当圆心是坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2[答一答]2．若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是(m，n)吗？提示：圆的半径不一定是a，当a>0 时，半径是a；当a<0 时，半径是－a.圆心坐标不是(m，n)，应是(－m，－n)，因为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2 化为标准结构是[x－(－m)]2＋[y－(－n)]2＝|a|2.3．圆的标准方程有哪些优点？确定圆的标准方程有几个基本要素？提示：圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径．在圆的标准方程中有两个基本要素：圆心坐标和半径，只要a，b，r三个量确定了，且r>0，则圆的标准方程就确定了，这就是说要确定圆的标准方程，必须具备三个独立的条件，注意确定a，b，r，可以根据条件利用待定系数法来解决．知识点三点与圆的位置关系[填一填]设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d＝r；点在圆外⇔d>r.[答一答]4．判断点和圆的位置关系的依据是什么？提示：判断点与圆的位置关系的依据是圆心到该点的距离和圆的半径的大小关系．1．对于圆的标准方程，我们要从其结构形式上准确地记忆．2．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性．3．确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求a，b，r.类型一根据方程确定圆心和半径【例1】分别写出下列方程所表示圆的圆心坐标和半径．(1)(x－2)2＋(y－2)2＝8；(2)(x＋4)2＋y2＝4；(3)(x＋m)2＋(y－n)2＝p2.【思路探究】利用圆的标准方程的几何特征解答．【解】(1)原方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝(2 2)2，∴圆心坐标为(2,2)，半径r＝2 2.(2)原方程可化为[x－(－4)]2＋(y－0)2＝22，∴圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2.(3)原方程可化为[x－(－m)]2＋(y－n)2＝p2，∴圆心坐标为(－m，n)，半径r＝|p|.规律方法由圆的标准方程可直接得出圆心坐标和半径，但要注意圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 中，a，b前的运算符号均为减号．给定圆：(x－2)2＋(y＋8)2＝(－3)2，下列说法中正确的是(C)A．圆心坐标是(2，－8)，半径长为－3B．圆心坐标是(－2,8)，半径长为3C．圆心坐标是(2，－8)，半径长为3D．圆心坐标是(－2,8)，半径长为－3解析：对照圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，知圆心坐标是(2，－8)，半径长不可能是负数，故为3.类型二判断点与圆的位置关系【例2】已知两点P(3,8)，Q(5,4)，试分别判断点M(6，3)，N(3,5)在以线段PQ为直径的圆上，圆内，还是圆外？【解】线段PQ的中点为C(4,6)，|PQ|＝5－32＋4－82＝2 5，∴圆的半径r＝5，以线段PQ为直径的圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.由于(6－4)2＋(3－6)2＝13>5，∴点M在圆外．由于(3－4)2＋(5－6)2＝2<5，∴点N在圆内．规律方法点与圆的位置关系及判断方法：(1)点M与圆心C的距离与半径r比较：|CM|＝r⇔点M在圆上；|CM|>r⇔点M在圆外；|CM|<r⇔点M在圆内．(2)利用圆的标准方程来确定：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(m，n)．(m－a)2＋(n－b)2＝r2⇔点M在圆上；(m－a)2＋(n－b)2>r2⇔点M在圆外；(m－a)2＋(n－b)2<r2⇔点M在圆内．设圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，试判断下列各点是在圆内、圆外、还是圆上？(1)M(－1，－7)；(2)N(－3,1)；(3)P( 2，2)．解：(1)∵(－1－2)2＋(－7＋3)2＝25，∴点M在圆C上．(2)∵(－3－2)2＋(1＋3)2＝41>25，∴点N在圆C外．(3)∵( 2－2)2＋( 2＋3)2＝17＋2 2<25，∴点P在圆C内．类型三求圆的标准方程【例3】求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的标准方程．【思路探究】用待定系数法，求出圆心(a，b)、半径r.也可用几何法．【解】解法一：∵圆心在y轴上，∴a＝0.设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.∵该圆经过A、B两点，∴Error!∴Error!所以圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝10.2－4 1解法二：线段AB的中点为(1,3)，k AB＝＝－，3－－1 2∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由Error!得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r为0＋12＋1－42＝10，∴所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10.规律方法求圆的标准方程就是要求圆心坐标和圆的半径，解法一是先设出圆的标准方程，而后用待定系数法求出圆心坐标和圆半径，解法二抓住圆的性质及题目的特点，求出线段AB的垂直平分线方程并与y轴的方程联立组成方程组，先得出了圆心的坐标，而后求出圆的半径．已知一个圆经过两个点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0 上，求此圆的标准方程．解：解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由已知条件得Error!即Error!∴Error!∴所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.1解法二：由A(2，－3)，B(－2，－5)得AB的中点为(0，－4)，k AB＝，∴AB的垂直平2分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，解方程组Error!得Error!∴圆心为(－1，－2)，半径r＝2＋12＋－3＋22＝10.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.解法三：设点C是圆心，∵点C在直线l上，∴设点C(2b＋3，b)．又∵|CA|＝|CB|，∴2b＋3－22＋b＋32＝2b＋3＋22＋b＋52，解得b＝－2，∴圆心为C(－1，－2)，半径r＝10，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.——规范解答系列——数形结合解决与圆有关的最值问题【例4】设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上任意一点，求x－12＋y－12的最大值．【精解详析】因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，因此x－12＋y－12表示点(1,1)与该圆上点的距离，如图所示．易知点(1,1)在圆x2 ＋(y＋4)2 ＝4 外，结合右图易得x－12＋y－12的最大值为1－02＋1＋42＋2＝26＋2.【解后反思】用数形结合的思想方法也能求出x－12＋y－12的最小值为26－2.求圆外一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝d－r；求圆内一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝r－d.已知点P(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝36 上，求x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围．解：x2＋y2＋2x－4y＋5＝[x－－1]2＋y－22，其最值可视为圆上一点P(x，y)到定点A(－1,2)的距离的最值，又(－1－2)2＋(2＋3)2<36，所以点A在圆内，问题可转化为圆心C(2，－3)到定点A(－1,2)的距离与半径6 的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋6，最小值为6－34.所以x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围是[6－34，6＋34]．一、选择题1．点A(－2,3)与圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9 的位置关系是(B)A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定解析：圆心坐标为C(－3,1)，半径r＝3，|AC|＝5<r，所以点A在圆内．二、填空题2．过A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.解析：过A，B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆．∴圆心坐标为(0，－4)，1半径r＝|AB|＝ 5.2∴圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.3．若点M(5 a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26 的外部，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．解析：由题意得(5 a＋1－1)2＋( a)2>26，即a>1.三、解答题4．已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0 与直线x－2y＋2＝0 的交点，且圆过点P(－5,6)．求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解：解方程组Error!得Error!∴圆心M的坐标为(0,1)．半径r＝|MP|＝52＋1－62＝5 2.∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.∵|AM|＝2－02＋2－12＝5<r，∴点A在圆内．∵|BM|＝1－02＋8－12＝50＝r，∴点B在圆上．∵|CM|＝6－02＋5－12＝52>r，∴点C在圆外．∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．。
《圆的一般方程》课件1 (北师大版必修2).ppt
y
S Q l : Ax By C 0
d
R
P0 (x0,y0)
O
d
| A x0 B y0 C | A B
2 2
x
注意： 化为一般式．
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y) O x
C
( x a) ( y b) r
2 2
2
标准方程 若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
2 2
( x 2 ) ( y 3)
2
2
2
不表示任何图形
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D x y 2 2
2
2
2
E 4
2
4F
（1）当
D
2
E
2
4F 0
时，表示圆，
D
2
E D 圆 心 - , 2 2
2 2
展开得
x y 6 x 8 y 19 0
2 2
x y Dx Ey F 0
2 2
任何一个圆的方程都是二元二次方程 反之是否成立？
圆的一般方程
(1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
配方得
( x 1) ( y 2 ) 4
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
r
E 2
2
4F
（2）当 （3）当
D
2
E
2
4F 0
时，表示点
E D - , 2 2
数学北师大版高中必修2圆的标准方程教案
圆的标准方程教案一、教材分析本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。
二、教学目标1、知识目标：使学生掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程。
2、能力目标：(1)使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
(2)体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题能力(3)培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
三、重点、难点、疑点及解决办法1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。
2、难点：圆的方程的应用。
3、解决办法充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
四、学法在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率。
采取学生共同探究问题的学习方法，五、教法先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力。
在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合。
六、教学步骤一、导入新课首先让学生回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的。
二、讲授新课1、新知识学习在学生回顾确定直线的要素——两点（或者一点和斜率）确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素——圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合在平面直角坐标系中，圆心可以用坐标表示出来，半径长是圆上任意一点与圆心的距离，根据两点间的距离公式，得到圆上任意一点的坐标满足的关系式。
经过化简，得到圆的标准方程2、知识巩固学生口答下面问题1、求下列各圆的标准方程。
①圆心坐标为（-4，-3）半径长度为6；②圆心坐标为（2，5）半径长度为3；2、求下列各圆的圆心坐标和半径。
①②3、知识的延伸根据“曲线与方程”的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，为了使学生体验曲线和方程的思想，加深对圆的标准方程的理解，教科书配置了例1。
高中数学北师大版必修2 2.2 教学设计 《圆的标准方程》(北师大)
《圆的标准方程》◆教材分析圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础，对于知识的后续学习，具有相当重要的意义。
◆教学目标【知识与能力目标】掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；会用待定系数法求圆的标准方程。
【过程与方法目标】进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
【教学重点】圆的标准方程。
【教学难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分如图，把石子看成点，把波纹看成圆．你知道石子与一圈圈的波纹是什么关系吗？二、研探新知，建构概念1.电子白板投影出上面实例。
点在圆内。
2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
（1）圆的标准方程①圆心为(a，b)，半径为r，圆的标准方程是(x−a)2+(y−b)2=r2②圆心为坐标原点，半径为r，圆的标准方程是x2+y2=r2◆教学重难点◆课前准备◆教学过程注意：(1)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件。
反之，若已知圆的标准方程便可以直接得到圆心和半径。
(2)几种特殊位置的圆的标准方程：（3设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(m，n)，①点M在圆上⇔(m－a)2＋(n－b=r2；②点M在圆内⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2；③点M在圆外⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2。
高一数学必修2第4章圆与方程的导学案
高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:圆的标准方程一、学习目标学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。
情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。
二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、运用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。
2、不会的，模棱两可的问题标记好。
3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、学问链接： 1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，推断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.依据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.依据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 2.1圆的标准方程》0
《圆的标准方程》教学设计【一】教学背景分析1教材结构分析《圆的方程》是北师大版必修二第二章第二节内容圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用2学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3教学目标1 知识目标：①掌握圆的标准方程;②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程;③利用圆的标准方程解决简单的实际问题2 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力;②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用;③增强学生用数学的意识3 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识;②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：4 教学重点与难点1重点:圆的标准方程的求法2难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程。
为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：【二】教法学法分析1教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导了学生建模的过程2学法分析通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求的过程下面我就对具体的教学过程和设计加以说明：【三】教学过程与设计整个教学过程是由问题组成的问题链驱动的，共分为五个环节：一创设情境——启迪思维通过生活实例很自然的进入了本课的主题用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题生的学习兴趣和学习欲望这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移抓住了学生的注意力，此时再把问题深入，进入第二环节二深入探究——获得新知问题 1回顾圆的定义能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程2确定圆的要素是什么？3 能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程这一环节引导学生归纳出圆心在原点，半径为r的圆的标准方程然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究我预设了三种方法等待着学生的探究结果，分别是：坐标法、图形变换法、向量平移法得到圆的标准方程后，我设计了由浅入深的三个应用平台，进入第三环节三应用举例——巩固提高I直接应用内化新知试一试 1写出下列各圆的圆心坐标和半径；2写出圆的标准方程；3下列方程表示什么图形？这几道题比较简单，目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为后面探究问题作准备II灵活应用提升能力探究 1求圆心在直线上，且过两点的圆的方程2求圆心在直线，且与一条直线相切的圆的方程。
高中数学 第2章 解析几何初步 2-2-2 圆的一般方程学案 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学
2.2 圆的一般方程1．圆的一般方程的定义当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆，这时这个方程叫作圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．( )(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．( )(3)任何二元二次方程都表示圆．( )[答案](1)×(2)√(3)×题型一圆的一般方程的概念【典例1】 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求： (1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．[思路导引] (1)根据表示圆的条件求m 的取值范围． (2)将方程配方，根据圆的标准方程求解． [解] (1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0，即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0，解得m ＜15，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15. (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看D 2＋E 2－4F 是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．[针对训练1] 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x 2＋y 2＋2x ＋y ＋2＝0； (2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)； (3)x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)． [解] (1)∵D ＝2，E ＝1，F ＝2， ∴D 2＋E 2－4F ＝4＋1－8＝－3＜0， ∴方程不表示任何图形． (2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0， ∴方程表示点(－a,0)． (3)∵D ＝2a ，E ＝－2a ，F ＝0， ∴D 2＋E 2－4F ＝8a 2>0，∴方程表示圆，它的圆心为(－a ，a )， 半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝2|a |.题型二求圆的一般方程【典例2】 已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)． (1)求△ABC 的外接圆的方程；(2)若点M (a,2)在△ABC 的外接圆上，求a 的值．[思路导引] 求圆的方程有两种形式可选：标准形式及一般式，分别代表了圆的几何特征与代数特征，根据已知选取合适的形式是解决问题的关键．[解] (1)设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，32＋(－1)2＋3D －E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0， ∵点M (a,2)在△ABC 的外接圆上， ∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0， 即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或6.[引申探究] 若本例中将点“C (3，－1)”改为“圆C 过A ，B 两点且圆C 关于直线y ＝－x 对称”，其他条件不变，如何求圆C 的方程？[解] ∵k AB ＝3－25－2＝13，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，52，∵AB 的垂直平分线方程为y －52＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y －52＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －72，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝132，y ＝－132，即圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫132，－132，r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－132－22＝3702，∴圆C 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －1322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1322＝1852.应用待定系数法求圆的方程时应注意以下两点：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .[针对训练2] 已知一圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．[解] 解法一(待定系数法)： 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4D －2E ＋F ＋20＝0，D －3E －F －10＝0.①②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，③由已知得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根， ∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.④ 联立①②④解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 解法二(几何法)：由题意得线段PQ 的垂直平分线方程为x －y －1＝0， ∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上， 设其坐标为(a ，a －1)． 又圆C 的半径长r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2.⑤由已知得圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |， ∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4322， 代入⑤整理得a 2－6a ＋5＝0， 解得a 1＝1，a 2＝5， ∴r 1＝13，r 2＝37.故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37. 题型三求动点的轨迹方程【典例3】 等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．[思路导引] 用(x ，y )表示轨迹(曲线)上任一点M 的坐标，列出关于x ，y 的方程，把方程化简为最简形式，剔除不符合条件的点．[解] 设另一端点C 的坐标为(x ，y )．依题意，得|AC |＝|AB |. 由两点间距离公式，得(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2， 整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A 、B 、C 为三角形的三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线．即点B 、C 不能重合且B 、C 不能为圆A 的一直径的两个端点．因为点B 、C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)． 又因为点B 、C 不能为一直径的两个端点， 所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．求与圆有关的轨迹问题常用的方法(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． (3)相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．[针对训练3] 已知直角△ABC 的两个顶点A (－1,0)和B (3,0)，求直角顶点C 的轨迹方程．[解] 解法一：设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线， 所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3. 且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．解法二：△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，设顶点C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．1．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和194B ．(3,2)和192C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和192D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1和192[解析] 由一般方程圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F 两公式易得答案．[答案] C2．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是( ) A.14<m <1 B ．m >1 C ．m <14D ．m <1[解析] 表示圆应满足D 2＋E 2－4F >0. [答案] D3．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y －3＝0 C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝0[解析] 过M 最长的弦应为过M 点的直径所在直线． [答案] B4．方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为( )A ．－2,4,4B ．－2，－4,4C ．2，－4,4D ．2，－4，－4[解析] 由方程得圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－a ，b 2，半径为r ＝4a 2＋b 2－4c 2.由已知，得－a ＝2，b2＝2，4a 2＋b 2－4c2＝2，解得a ＝－2，b ＝4，c ＝4. [答案] A课后作业(二十四)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3[解析] 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1,2)， 所以3x ＋y ＋a ＝0过点(－1,2)， 即－3＋2＋a ＝0，所以a ＝1. [答案] B2．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0D ．－2或0[解析] 由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，得a ＝0或a ＝2.[答案] C3．方程x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0表示的图形是( ) A ．一个圆B ．只有当a ＝0时，才能表示一个圆C ．一个点D ．a ，b 不全为0时，才能表示一个圆 [解析] (2a )2＋4b 2＝4(a 2＋b 2)， 当a ＝b ＝0时，方程表示一个点； 当a ≠0或b ≠0时方程表示一个圆． [答案] D4．已知两点A (0,3)，B (－4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最大值为( )A ．13B ．3 C.132D.32[解析] 圆的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，∴圆心为(0,1)，半径为1.直线AB 的方程为x－4＋y 3＝1，即3x －4y ＋12＝0，|AB |＝32＋(－4)2＝5.圆心到直线AB 的距离为d ＝|－4＋12|5＝85，∴P 到直线AB 的距离的最大值为85＋1＝135，∴S △ABP 的最大值为S ＝12×5×135＝132，故选C.[答案] C5．动点P 到点A (8,0)的距离是到点(2,0)的距离的2倍，那么点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16[解析] 设P (x ，y )，根据题意有2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16. [答案] B6．过圆x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0的圆心，且垂直于x ＋2y ＋11＝0的直线方程是__________________．[解析] 圆x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0的圆心为(3，－2)，直线x ＋2y ＋11＝0的斜率为－12，则所求直线的斜率为k ＝2，故所求直线方程为y ＋2＝2(x －3)，即2x －y －8＝0. [答案] 2x －y －8＝07．圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋19＝0关于直线x ＋y ＋1＝0对称的圆的方程为__________________．[解析] 圆C 的方程可化为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1，圆心为(4，－2)，半径r ＝1.设所求的圆为(x －a )2＋(y －b )2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2a －4×(－1)＝－1，a ＋42＋b －22＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝6，a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5.所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋5)2＝1. [答案] (x －1)2＋(y ＋5)2＝18．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是________．[解析] r 2＝1＋(m －1)2－4×12m 24＝－m 2－2m ＋24，所以当m ＝－1时，r 2max ＝34，所以S max ＝34π.[答案] 34π9．设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0， (1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，求直线AB 的方程．[解] (1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2,0)，半径为r ＝3.(2)设直线AB 的斜率为k .由圆的几何性质可知：CP ⊥AB ， ∴k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1，∴k ＝－1.∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即：x ＋y －4＝0.10．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋(m －2)x ＋(m ＋1)y ＋m －2＝0，根据下列条件确定实数m 的取值，并写出相应的圆心坐标和半径．(1)圆的面积最小；(2)圆心距离坐标原点最近．[解] 因为(m －2)2＋(m ＋1)2－4(m －2)＝2m 2－6m ＋13＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322＋172>0恒成立，所以无论m 为何值，方程总表示圆，且圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－m 2，－m ＋12，圆的半径r ＝122m 2－6m ＋13. (1)当圆的半径最小时，圆的面积最小．r ＝122m 2－6m ＋13＝122⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322＋172≥344， 当且仅当m ＝32时，等号成立，此时面积最小． 所以当圆的面积最小时，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－54，半径r ＝344. (2)圆心到坐标原点的距离d ＝122⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋92≥324，当且仅当m ＝12时，圆心到坐标原点的距离最近．此时，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－34，半径r ＝424. 应试能力等级练(时间25分钟)11．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( ) A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－22 [解析] l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1. ∴S min ＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2. [答案] A12．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) [解析] 曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则曲线C 表示的是以(－a,2a )为圆心，2为半径的圆．要使圆C 上所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径．易知圆心到两坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，故a >2.[答案] D13．若A (5,0)、B (－1,0)、C (－3,3)三点的外接圆为⊙M ，点D (m,3)在⊙M 上，则m ＝________.[解析] 设过A (5,0)、B (－1,0)、C (－3,3)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 52＋02＋5D ＋E ×0＋F ＝0，(－1)2＋02－D ＋E ×0＋F ＝0，(－3)2＋32－3D ＋3F ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5，即所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0. 因为点D (m,3)在⊙M 上，所以m 2＋32－4m －253×3－5＝0， 解得m ＝－3或m ＝7.[答案] －3或714．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．[解析] 圆M 的圆心为(－2，－1)，由题意知点M 在直线l 上，所以－2a －b ＋1＝0，所以b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5.[答案] 515．在△ABC 中，|BC |＝4，|AB |＝3|AC |.(1)建立适当的直角坐标系，求A 的轨迹方程，并说明是何种曲线；(2)求△ABC 面积的最大值．[解] (1)以BC 所在的直线为x 轴，B 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．则B 、C 的坐标分别为B (0,0)，C (4,0)．设A 的坐标为(x ，y )，(y ≠0)．由|AB |＝3|AC |，得x 2＋y 2＝3(x －4)2＋y 2，化简得x 2＋y 2－9x ＋18＝0， 即A 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋y 2＝94(y ≠0)． 所以A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0为圆心，半径为32的圆[除去点(3,0)与(6,0)]． (2)由(1)知，当点A 到BC 的距离的最大值为半径r ＝32时，△ABC 的面积最大，最大值为12|BC |·r ＝12×4×32＝3.。