称球问题一般解法
称球问题一般会有以下3种变形：
1、n个球，其中有一个坏的，知道是轻还是重，用天平称出坏球来。
2、n个球，其中有一个坏的，不知是轻还是重，用天平称出坏球来。
3、n个球，其中有一个坏的，不知是轻还是重，用天平称出坏球来，并告知坏球是轻还是重。
对于上面3种情况，称量n次，最多可以在几个球中找出坏球来
答案：分别为：3^n, (3^n - 1)/2, (3^n - 3)/2.
称法体现在下面的证明中：
一、
天平称重，有两个托盘比较轻重，加上托盘外面，也就是每次称重有3个结果，就是ln3/ln2比特信息。n个球要知道其中一个不同的球，如果知道那个不同重量的球是轻还是重，找出来的话那就是n个结果中的一种，就是有ln(n)/ln2比特信息，
假设我们要称k次，根据信息理论：
k*ln3/ln2>=ln(n)/ln2, 解得k>=ln(n)/ln3
这是得到下限，可以很轻易证明满足条件的最小正整数k就是所求。比如称3次知道轻重可以从3^3=27个球中找出不同的球出来。
具体称法就是：每次再待定的n个球中取[(n+2)/3]个球，放在天平左边；[(n+2)/3]个球放在天平右边。
（注：[ x ]表示不大于x的最大整数。）
二、
对于N(m)=(3^m-1)/2个小球，现在我们来寻求m次的解法。
首先，对于m=2的情况，相当于四个小球来称两次的情况，这个已经讨论过多次了，也很简单，在此略去
其次，若m <=k-1时，假定对于N(k-1)=(3^(k-1)-1)/2个球的情况我们都有解法。
现在来考虑m=k的情况。
第一次称取[3^(k-1)-1]个球放在天平天平两端，则：
如果平衡，获得[3^(k-1)-1]个标准球，坏球在剩下的[3^(k-1)+1]/2个中。由于
[3^(k-1)-1]>=[3^(k-1)+1]/2，（k>=2),即已知的标准球数不小于未知球数;
所以在以后的测量中就相当于任意给定标准球的情况，由前面的引理二可知
对于[3^(k-1)+1]/2的情况(k-1)次可解。
如果不平衡，大的那方记做A,小的那方记作B。标准球记做C.
则现在我们有[3^(k-1)-1]/2个A球和B球，有[3^(k-1)+1]/2个C球。
第二次用3^(k-2)个A球加[3^(k-2)-1]/2个B球放左边;
3^(k-2)个C球加[3^(k-2)-1]/2个A球放右边。
如果左边大于右边，则说明是在左边的3^(k-2)个A球中质量大的为坏球；
如果左边等于右边，则说明是在第二次称时没用的3^(k-2)个B球中质量轻
的为坏球。以上两种情况都可以再用三分法(k-2)次解决，加上前两
次共k次解决。
如果左边小于右边，则坏球在左边的[3^(k-2)-1]/2个B球中或在右边的同样
数目的A球中。此时的情况和第二次开始时类似（只不过是k-1变成k-2).
用相同的办法一直往下追溯到一个A球和一个B球一次区分的情况，这时
只需拿A球和标准球比较以下就行了。
因此在这种情况下也是可以最终用k次解决的。
由以上两步加上数学归纳法知，对于N(m)=(3^m-1)/2的情况，称m次是可以称出来的。
由这个解法加上前面所给出的上界Nmax(m) <=(3^m-1)/2，知称m次能解决的最大的小球数
Nmax(m)=(3^m-1)/2。
有兴趣的人可以验证一下m=3,N=13的情况----该情况已经被反复拿出来讨论过了。
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大家好，我们来继续昨天的问题。现在我要给出通解啦。为了简化下面的过程，我们假设小球的个数正好是(3t-3)/2。
首先我们把小球分成数量相等的三组A
1～A
n
|B
1
～B
n
|C
1
～C
n
，其中n=(3t-1-1)/2。
第一次使用天平的时候，不妨把A组和B组分别放在天平左右盘。如果天平左低右高，那么有可能因为左边n个小球之一较重，也可能因为右边n个小球之一较轻。反过来也是一样。这种时候，转到下面的情况(1)处理。而天平平衡的时候，则坏球一定在剩下n个小球中，(2)讨论了这种问题。
【情况1】这时的条件是：已知A
1～A
n
中一个球较重，或者B
1
～B
n
中一个球较轻，
其中n=(3t-1-1)/2。我们把可以在C中任意拿出一个好球（C中的都是好球嘛）放到B中去。然后由情况(3)讨论接下来的处理方法。
【情况2】这时的条件是：已知坏球C
1～C
n
中，且不知轻重关系，其中n=(3t-1-1)/2。
我们把C分作三组a
1～a
m
|b
1
～b
m
|c
1
～c
m+1
，其中m=(3t-2-1)/2。注意看啦，c组要
比a，b两组多出一个。怎么我们昨天不是说这种情况没办法完成吗但是，我们现在多了一项武器－－好球。对，我们可以从已经判断为一定是好球的A，B组中任意拿出一个好球，和a一起放到天平左盘，把c组放到天平右盘，如果天平左低右高，那么一定是a组中m个球较重或者c组重m+1个球较轻，反过来也于这个类似，情况(3)正是讨论这种问题的。如果平衡的话，说明b组的m=(3t-2-1)/2个小球是问题小球，这不正好和我们当前要讨论的问题一样吗所以我们又回到了情况(2)。
【情况3】这种情况最为复杂，我们知道的是a
1～a
m
中一个小球较重，或者c
1
～
c
m+1
中的一个小球较轻，其中m=(3t-2-1)/2。另外，还有一个标准小球。我们把a
分为α
1～α
s
|β
1
～β
s
|γ
1
～γ
s+1
三组；把c分为ε
1
～ε
s+1
|ξ
1
～ξ
s+1
|ζ
1
～ζ
s
，
其中s=(3t-3-1)/2。把αε放再天平左盘，βξ放在天平右盘。要是天平平衡，说明要么γ组的s+1个小球较重，要么ζ组的s个小球较轻，这恰恰是一个更小规模的情况(3)。要是天平不平衡呢以左低右高为例，左盘是αε而右盘是βξ，这种情况不可能是由ε较重引起的－－如果ε中的球有坏球，它只会比
好球轻。同样也不会是β较轻引起的。所以，这个时候，要么是α中的s个球之一较重，要么是ξ中的s+1个球之一较轻。这同样是情况(3)。
好了，到这里所有的情况都有了一个递归的算法。可以把问题分解直到下面这些情况：
1.使用一次天平，一个标准球，判断一个坏球是轻还是重。
2.有两个球，要么其中一个球较重，要么其中一个球较轻，仍然有标准球可
以利用，使用一次天平找到坏球。
3.三个球，要么是1号与2号球之一比较重，要么是3号球比较轻。使用一
次天平找到坏球。
相信这三个问题相当简单吧。什么，你不知道最后一种怎么做呃，1号2号上天平，要是倾斜了，低的那边是坏球；平衡的话……
好了，你可以尝试使用五次天平解决120个球了。不过，一定要先找到一张非常非常大的纸。
另外补充一点：对于(3t-1)/2个小球，如果另外给定一个标准球的话，就能以情况(2)为入口，在t次内找到坏球，并得知其偏重还是偏轻。而少了一个标准球，就只能保证找到坏球，网路上的13球问题就是这样的。
称球问题的一般解法
称球问题相信大家已经很熟悉了，并且已经知道从12个球中找出坏球并判断其轻重最多只需要3次称量。但如果把球数改变一下，比如说13个球，答案又是几次呢本文将对这一问题进行“深入”分析。为了后面叙述方便，先在这里把一般化后的问题重复一下：
有m（m≥3）个球，记为q1、q2、…、q m，其中有且仅有一个坏球，其重量与其他的不同，现使用无砝码的天平进行称量，令n为称量次数，问：能确保找到坏球并指出它与好球的轻重关系的n的最小值是多少
先来看理论上要多少次。每次称量有左边轻、平衡和右边轻共3种可能的情况，而坏球的可能结果有q1轻、q1重、q2轻、q2重、…、q m轻、q m重等共2m种。因此，根据商农的信息论，此问题的熵就是需要的称量次数，又因为n是整数，所以有：
不过理论终归是理论，直接拿到现实生活中往往行不通。一个很简单的情况：4个球，上面的公式说2次称量就够了。但你可以想想办法，反正我是没找到两次解决问题的方案。
那，是理论错了吗唔，我可不敢怀疑商农，我只敢怀疑我自己。来看看我们错在哪了吧。对4个球的情况，第一次称量只有两个可选的方案：方案1：q1放左盘，q2放右盘。若不平衡（由于对称性，只分析左边轻的情况，下同），则可能的结果还剩q1轻和q2重，再称一次就能找到坏球；若平衡，则可能的结果还剩q3轻、q3重、q4轻和q4重4个，再套用一下商农的定理，此时还要称次。所以方案1被否决。方案2：q1、q2放左盘，q3、q4放右盘。此时天平肯定不会平衡，称量后，可能的结果有q1轻、q2轻、q3重和q4重4个。同样的道理，方案2也难逃被否决的命运。
在4个球这么简单的情况下就撞得满头是包，未免让人难以接受，总结一下经验教训吧，把上面的分析归纳一下并推广到一般情况，就是：整个称量过程中，要达到目的，倒数第k次称量前的可能结果数h，必须满足条件h≤3k。
上面的得出的结论虽然不能让我们找到问题的答案，但却有助于我们确定每次称量的方案，特别是第一次如何做。假设我们计划的称量次数是n，第一次在左右两盘中各放x个球，则保证下面两个不等式同时成立是解决问题的必要条件：
2(m-2x)≤3n-1（平衡时）
2x≤3n-1（不平衡时）
把这两个不等式稍加变换，就成了下面的样子：
注意到x是整数，3n-1是奇数，2m是偶数，所以上面的不等式等价于：
显然，在n一定的情况下，m越大，x的取值范围越小，而当x只能取值时，m继续增大，就会导致n次称量找到坏球的计划破产。籍此，可以得出在n一定的情况下m的取值范围：。发现了吗现在m的最大值正好比我们最初的结果少了1。同时此结果也与前面提到的4个球的实际情况相符。
但分析了半天，我们只证明了m不在取值范围内时，n次称量不能确保找到坏球。那m 在取值范围内的时候，肯定能找到吗答案是肯定的，不过马上证明它有点难，先来看两个简单一点的命题。
命题1：有A、B两组球，球的个数分别为a、b，且0≤b-a≤1，已知这些球中有且仅有一个坏球，若它在A组中，则比正常球轻，在B组中则比正常球重。另有一个好球。先使用无砝码的天平称量，令，则可以找到一个称量方案，使得最多经过n次称量，就可以找到坏球（此时肯定能指出它与好球的重量关系）。
使用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，a、b的取值可能有{0，1}、{1，1}、{1，2}三组，由于还有一个已知的好球，所以不难验证此时命题成立。
②假设当n=k时命题也成立。
③当n=k+1时。我们将A、B两组球分别尽量平均得分为三组，记为A1、A2、A3、B1、B2和B3。不影响一般性，假设这六组球按球数从少到多的排列次序也与前面的顺序一致，且A1有球a1个。则第一次称量时的称量方案与每组球个数的对应关系如下，其中需要注意的是：在带蓝色的两种情况下，必有，否则就与命题的前提不符了。
很明显，不管结果是什么，第一次称量之后，问题都能转化为n=k时的情形。所以，命题1是真命题。
前面已经证明时，n次称量无法确保找到坏球并指出其轻重关系。但如果此时也有一个已知的好球的话，答案就不一样了，这时n次称量就已经足够（命题2）。仍使用数学归纳法。
①当n=2时，m=4，验证一下可知命题成立。
②假设当n=k时命题也成立。
③当n=k+1时。我们把这些球尽量平均的分成三组，则每组球的个数分别为：、、。第一次称量时，第一组和那个好球放左盘，第三组放右盘。若平衡，问题转化为n=k时的情形，不平衡，问题转化为命题1的情形。命题成立。
有了前面两个证明作基础，最初的问题就很简单了，再次祭出数据学归纳法。由于m<5时的情况有些特殊(考虑只有一个球或两个球的情况)，不能作为递推得依据，所以我们从n=3，也就是m=5开始。
①当n=3时，m在5和12之间（13的情况已经被排除在外），通过一一验证可知命题成立。
②假设当n=k时命题也成立。
③当n=k+1时，找到一个满足不等式的x，在天平左右两盘中各放x个球。如果天平平衡，问题转化为n=k时的情形或命题2中的情形；不平衡，则转化为命题1的情形。命题成立。
综上所述，称球问题的完整答案是：当球数时，n次称量时就能确保找到坏球，并指出它与好球的轻重关系；当球数时，n次称量只能确保找到坏球，而无法指出它与好球的轻重关系。要想指出轻重关系，就可能需要多进行一次称量。但如果此时再有一个好球，就又可以把这次称量省掉了。
天平称球中的信息论
天平秤球中的信息论 mjwu mjwu1940@https://www.360docs.net/doc/d84336470.html, 天平秤球过程是人们对事物认识不断深化的过程。从一开始的一无所知，通过分盘秤球，逐步加深认识，直到最后完全了解为止。因此，用信息论方法来描述这一过程会获得意想不到的结果。 （虽然本文撰写并不要求读者掌握信息论，但先学点信息论基础对本文的阅读与理解有帮助。） m个球中含有一个次球，通过n次天平秤球，查寻次球并确定其轻重。球编号为1，…，m。初始，球的状态用原始向量X=(x1,…,x m)来表示，x i为0表示i号球为正品，1——重球，-1——轻球；仅有一个xi为1或-1。分盘秤球过程中，人们对球的估计与判定用估判向量Y=(y1,…,y m) 来表示，y i为0表示判定i号球为正品，1——疑重球（或重球或正品），-1——疑轻球（或轻球或正品），2——待定球（或重球或轻球或正品）。统计估判向量Y中的疑重球数z，疑轻球数，待定球数d，正品好球数h，z+q+d+h=m。秤球过程中，估判向量Y不断变化。从初始的Y=(2,…,2)，z=q=0,d=m开始，每次秤球后，Y都有所变化，直到Y仅含有一个分量yi为1（或-1）为止。此时Y=X,z+q=1,d=0。为方便讨论，第i次秤球后估判向量Y记为Y(i)；为简化书写长度，估判向量Y=(y11,…,y m)有时写成Y=(z,q,d)。 一、估判向量的信息量
下面考察秤球过程中估判向量Y信息量（即其不肯性）的变化：1，初始，估判向量Y(0)=(2,…,2)，次球可能在1，…，m号位置上，其取值有2中可能:1或-1。因此，有2m种可能状态，初始Y(0)的信息量I(0)为log(2m)，（底为2，下同）。 2，第i次秤球后，估判向量Y(i)的各分量有多种可能。但仅有两种类型：一种是z=0,q=0,d>0，此时，Y(i)的各分量仅为0与2，Y(i)的信息量为log(2d)；另一种是z+q>0,d=0，此时，Y(i)的各分量仅为0,1与-1，Y(i)的信息量I(i)为log(z+q); 3，最后，估判向量Y(n)的各分量仅有一个为1或-1，即z=1,q=0或者z=0,q=1。z+q=1, Y(n)的信息量I(n)为log(z+q)=log(1)=0。此表明，不肯定性完全消失，查寻完成。 综上所述，对于所有的第i次秤球后，估判向量Y(i)的信息量I(i)=log(z+q+2d)。 例1。设m=10,X=(0,…,0,1,0)，即第9号球为重球。初始，Y(0)=(2,…2), 其信息量I(0)=log(2*10)=log(20)。第一次秤球时，左盘1-3号球，右盘4-6球，不放盘7-10号球。秤球结果：平衡。估判向量Y变为Y(1)=(0,0,0,0,0,0,2,2,2,2)；z=0,q=0,d=4；其信息量I(1)=log(2*4)=log(8)。 例2，m=14,X=(1,0,…,0)，即第1号球为重球。第一次秤球时，左盘1-5号球，右盘5-10球，不放盘11-14号球。秤球结果：左重右轻。估判向量Y变为Y(1)=(1,1,1,1,1，-1，-1，-1，-1,-1,0,0,0,0)；z=5,q=5,d=0；其信息量I(1)=log(5+5)=log(10)。
小学奥数竞赛专题之称球问题
小学奥数竞赛专题之称球问题 竞赛专题选讲囊括了希望杯、华罗庚金杯、走进美妙的数学花园、EMC、全国小学数学联赛和数学解题能力展示等在内的国内主要数学竞赛的精华试题 ［专题介绍］称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。 ［经典例题］例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。 解：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。 例2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。 解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。 第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。 第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。 例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。 解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则
（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。 （2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为什么？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。 （3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。 练习有12个外表上一样的球，其中只有一个是次品，用天平只称三次，你能找出次品吗？
经典智力题解法：十二个乒乓球称重三次
经典智力题解法：十二个乒乓球称重 三次 有十二个大小、形状都相同的乒乓球，要求用没砝码的天秤称三次，找出其中唯一的异常球，并且知道它是重了还是轻了。乒乓球称重智力题分析 经典智力题之所以经典,除了需要开动脑筋思考外，它不受人种、年龄、学历等因素限制，这道题，一小时之内某些大学生解不出，而某些小学生却能解出来，不是什么奇怪的事情。 有部分人认为分三组，每组4个乒乓球解不出来，往往是思维卡在了一个地方。 有部分人认为分两组，每组6个乒乓球能解
出来，往往忽略了一个因素，或者无视了这个因素。 最终能找到正确方法的人，当然会分析下先称6个，因为这种方法很明显、很简单。 下面我们先来分两组尝试下称重，并找出失败的所在，要总结，失败是成功之母。似是而非的分两组误解（6-6） 将12个乒乓球分为两组,每组6个。我们标记 ②③④⑤⑥为一组，⑦⑧⑨⑩⑾⑿为另一组。 第一次称重， ②③放一边，④⑤⑥放另一边。
1、如果第一次称重不平衡，则异常球在 ②③中，或在④⑤⑥当中，这里有两种情况： a、 ②③比④⑤⑥重； b、 ②③比④⑤⑥轻。 1.1、第二次称重,我们将 ④放一边,②⑤放另一边，即去掉③和⑥，②④互换。 1.1.1如果平衡,则异常球是③或者是⑥, 第三次称重，我们将③与⑥之外的任意一个 z4c4e 明升 https://www.360docs.net/doc/d84336470.html,
正常球进行称重。 1.1.1.1如不平衡,则可断定③为异常球 c、如果第一次称，左端重(情况a)，则③比其他球更重 d、如果第一次称，右端重(情况b)，则③比其他球更轻 1.1.1.2、如平衡,则可断定⑥为异常球, e、如果第一次称，左端重(情况a)，则比⑥其他球更轻。 f、如果第一次称，右端重(情况b)，则比⑥其他球更重。 1.1.2如果不平衡,则异常球是
奥数知识点 秤球问题
1）有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。 【解析】 第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。 第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。 第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。 2）有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。 【解析】 依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。 3）把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。 【解析】 把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B 两组分别放在天平的两个盘上去称，则 （1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。 （2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为什么？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。 （3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。
经典称球问题
我将首先致力于解决下面的问题： 问题：已知 N 个球中有1个是坏的，但不知轻重，问用天平至少称多少次可以把它找出来，并判断轻重？ 在解决这个问题之后，将是此问题的一些推广，关于非随机应变策略，关于多臂天平，以及关于多个坏球等等。 从一个最简单的问题开始 问题：假设三个球中有一个不标准,且已知是重的,则可以称几次将非标准球找出来？ 假设三个球中有一个不标准,且已知是重的,则可以称一次将非标准球找出来。 方法是随便取两个来称，如果天平平衡，则第三个球是坏的，如果天平不平衡，则较重的那个球是坏的。 那么，如果是9个球的话，又如何呢？ 假设9个球中有一个不标准,且已知是重的,则可以称2次将非标准球找出来。方法是把9个球分成3组A,B,C，第一次称其中两组(A vs B)，如果天平平衡，说明坏球在C组，如果天平不平衡，则坏球在较重的那一组中，然后问题归结为3个球的情况 假设3^k个球中有一个不标准,且已知是重的,则可以称k次将非标准球找出来。或者说： 【定理】假设 N 个球中有一个不标准,且已知是重的,则可以称{log3(N)}次将非标准球找出来。 ======找不到上取整符号，我用{}表示上取整，===== 好了，这是我们得到的第一个一般性的结论。为了严密起见，我将严格的证明它。我需要证明的是下面两条： 1.N<=3^k时，可以称k次把坏球找出来。 2.N>=3^k+1时，称k次不能必然把坏球找出来。 1.N<=3^k时，可以称k次把坏球找出来。 首先说明一个平凡的情况：N=1
此时，既然已经知道有一个坏球，而又只有一个球，则它自然就是坏球 也就是说称0次可以把它找出来，因而命题成立。 下面用归纳法证明，对k归纳 (1)k=1时 此时N=1，2或3 N=1时不用说了 N=2时，有两个球A,B，则称A vs B，较重的那个是坏的，一次就可以把坏球找出来 N=3时, 见3L。也是一次就可以把坏球找出来。 (2)假设对k-1命题成立，即N<=3^(k-1)时，可以称k-1次把坏球找出来。 当N<=3^k时， 首先将N个球平均分成A,B,C 3份(此处“平均”是指每两份之间相差不超过1个) 容易知道，|A|,|B|,|C|都<=3^(k-1)，并且其中有两组球个数相等（有可能三组球个数都相等） 我们取出两组个数相等的球，不妨设为A,B 第一次称 A vs B 如果天平平衡，说明坏球在C组中，如果天平不平衡，说明坏球在A,B中较重的那一组中 总之，我们把坏球限制在A,B,C中的一组当中 由于每一组球的个数都<=3^(k-1),由归纳假设，我们可以用k-1次从A(或BC)中将坏球找出来 因此我们可以用k次从N<=3^k个球中将坏球找出来。 证毕 2. N>=3^k+1时，称k次不能必然把坏球找出来。 这个涉及到信息论，简单来说就是 一共有3^k+1种可能的结果， 每一次称量可以从3组（互不相容的）信息中选出一种 因此k次称量最多可以从3^k种不同的结果中选出一种 所以 N>=3^k+1时，称k次不能必然把坏球找出来。 ============================================== 或者说我们有这样一个原理： 如果要从M种可能的情况中确定一种情况，又每次测量有a个结果，则最少需要
从“三角形构成”到“称球问题”
从“三角形构成”到“称球问题” 浙江慈溪实验中学 张利波 315300 关于“三角形构成”有这样一题： 输入一个正整数n ，将该数作为三角形的周长，要求各边均为整数，求所有可以构成三角形的个数及对应各边长。 例：当n=7时，共可以构成2个三角形，边长分别为：3，3，1和3，2，2。 解析：常规思路用穷举法，再结合三角形构成的数学常识，设三角形三边分别为：a,b,c ，则构成条件为(a+b+c=n) and (a+b>c) and (a-b
奥数八大类型问题
奥数八大类型问题 一、过桥问题（1） 1. 一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长140米，火车每分钟行400米，这列火车通过长江大桥需要多少分钟？ 分析：这道题求的是通过时间。根据数量关系式，我们知道要想求通过时间，就要知道路程和速度。路程是用桥长加上车长。火车的速度是已知条件。 总路程：（米） 通过时间：（分钟） 答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。 2. 一列火车长200米，全车通过长700米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？ 分析与解答：这是一道求车速的过桥问题。我们知道，要想求车速，我们就要知道路程和通过时间这两个条件。可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所以车速可以很方便求出。 总路程：（米） 火车速度：（米） 答：这列火车每秒行30米。 3. 一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，山洞长多少米？ 分析与解答：火车过山洞和火车过桥的思路是一样的。火车头进山洞就相当于火车头上桥；全车出洞就相当于车尾下桥。这道题求山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须知道总路程和车长，车长是已知条件，那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。 总路程： 山洞长：（米） 答：这个山洞长60米。 二、和倍问题 1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？ 我们把秦奋的年龄作为1倍，“妈妈的年龄是秦奋的4倍”，这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦奋年龄的5倍是40岁，也就是（4＋1）倍，也可以理解为5份是40岁，那么求1倍是多少，接着再求4倍是多少？ （1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：4＋1＝5（倍） （2）秦奋的年龄：40÷5＝8岁 （3）妈妈的年龄：8×4＝32岁 综合：40÷（4＋1）＝8岁8×4＝32岁 为了保证此题的正确，验证 （1）8＋32＝40岁（2）32÷8＝4（倍） 计算结果符合条件，所以解题正确。 2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行，3小时共飞行3600千米，甲的速度是乙的2倍，求它们的速度各是多少？ 已知两架飞机3小时共飞行3600千米，就可以求出两架飞机每小时飞行的航程，也就是两架飞机的速度和。看图可知，这个速度和相当于乙飞机速度的3倍，这
由天平称球引发的思考
由天平称球引发的思考 探索研究数学问题是我最大的乐趣，乘星期天闲暇之际，我又捧起《趣味数学》，遨游在数学王国之中。 我被书中有这样一道题所吸引：8个小球外形一样，其中有7个重量相同，只有1个较重。现有一架天平，最少能称几次，一定能把这个超重的球找出来？ 这一类问题有没有什么规律？而要寻找其中的规律，根据以往的经验，可以先从简单情况想起，先假设只有两个球，那么只要称一次，就可以找出超重的那个球。如果有三个球，要称一次，还是要称两次，经过思考，得出只要称一次，即天平左、右盘上各放一个球，如果天平平衡，说明第三个球超重；如果天平不平衡，哪边重，超重的球就在那个盘子里。即称一次可以同时从三个球中找出较重的那一个。根据这个规律，如果要从8个球中找出较重的那一个，只要把8个球分成三组：第一组和第二组各是3个，第三组2个。把第一组和第二组分别放在的天平的左盘和右盘中，第三组放在桌上。下面分两种情况进行分析：（1）如果这时天平平衡，那么较重的球在第三组中。这时把第一组和第二组的球从天平上取下，把第三组的两个球分别放在左盘和右盘中，其中必有一只较重，所以最少要称两次。（2）如果这时天平不平衡，哪边重，较重的球就在那一组的三个球中。再从三个球找出较重的那个球，又需要再称一次，所以最少也要称两次。 结果找出来了，思考就结束了吗？没有！我想进一步寻找其中的规律。假如有9个球，其中有一只较重，其余一样重，最少要称几次呢？根据上面的规律，先将9个球分成三组，每组3个，将第一组和第二组分别放在天平左、右盘上，称一次，就能确定较重的那个球在哪一组三个球中，即从原来从9个球中寻找较重的那个球，称一次以后，只要在其中的3个球中寻找较重的那个球，就把寻找的范围缩小了3倍。再从3个球中找出较重的那个球，又需要称一次，一定能找到较重的那个球，范围又缩小了3倍。 通过以上分析，我猜想可以得到这样的结论：每称量一次，可以把寻找范围缩小3倍。反之，每增加一次称量的机会，寻找对象的数量就可以扩大3倍。 1
关于古典概型的计算(摸球问题)
关于古典概率的计算（抽签问题） 1. 两种抽样方法 在古典概率的计算中，将涉及到两种不同的抽取方法，我们以例子来说明：设袋内装有n 个不同的球，现从中依次摸球，每次摸一只，就产生两种摸球的方法。 （1） 每次摸出一只后，仍放回原袋中，然后再摸下一只，这种摸球的方法称为有放 回的抽样。显然，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限 地进行下去。 （2） 每次摸出一球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称 为无放回的抽样。显然，对于无放回的抽样，依次摸出的球不出现重复，且摸 球只能进行有限次。 2. 计算古典概型的基本原则 初学者往往对于一些古典概率的计算望而生畏，究其原因，大都是没有掌握好计算古典概率的基本原则。拿到一个问题，首先应该分清问题是否与顺序有关？元素是否允许重复？如问题与顺序有关，元素不允许重复，那么应考虑用排列的工具，如此等等，计算 当然，我们并不排除对于某些问题用特殊的方法去解决。 3．例1 （抽签问题）袋中有a 根红签，b 根白签，它们除颜色不同外，其它方面没有差别， 现有a+b 个人依次无放回的去抽签，求第k 个人抽到红签的概率。 解：这是一个古典概型问题，问题相当于把一根一根抽出来，求第k 次抽到红签的概率。如 考虑把签一一抽 排成一列，问题与顺序有关，是一个排列问题，就产生以下几种解法： 记A k =“第k 个人抽到一根红签”。 （1） 把a 根红签和b 根白签看作是不同的（例如设想把它们编号），若把抽出的 签依次排成一列，则每个排列就是试验的一个基本事件，基本事件总数就 等于a+b 根不同签的所有全排列的总数为（a+b ）！ 事件A k 包含的基本事件的特点是：在第k 个位置上排列的一定是红签，有 a 种排法；在其它a+b-1个位置上的签的排列种数为（a+b-1）！，所以A k 包 含的基本事件数为a.（a+b-1）！，所求概率为： P A k =a . a +b?1 ！ a + b ！=a a + b （1≤k ≤a +b ） （2） 把a 根红签、b 根白签均看作是没有区别的，仍把抽出的签依次排列成一 列，这是一个含有相同元素的全排列，每一个这样的全排列就是一个基本 事件，基本事件总数就等于（a+b ）根含有相同签的全排列总数为 a +b ！ a ！. b ！。 事件A k 可看成在第k 个位置上放红签，只有一种放法，在其余的a+b-1个 位置上放余下的a+b-1根签，其中a-1根是没有区别的红签，b 根是没有区 别的白签，共有 a +b?1 ！ a?1 ！b ！种放法，所以A k 包含的基本事件数为 a +b?1 ！ a?1 ！b ！，
放球问题总结
最近学习了一下组合数学，对其中的放球问题模型感觉比较有用，特来总结一下，纯当学习笔记。 放球模型主要讲的就是将n 个球放进m 个盒子中的组合数。其中，根据球是否可区分，篮子是否可区分，还有是否允许有空盒，可将放球模型分成8个类别。下面就来总结一下这8类放球问题的组合数计算方法。 1) 球有区别，盒子有区别，允许有空盒。 因为球有区别，那么可以单独拿一个球出来讨论，对于第一个球，可以放到m 个盒子中的任意一个，因为盒子也是有区别的，有m 种方法，对于第二个球，因为允许有空盒的存在，所以每个球的放法是独立的，所以也有m 种方法。由乘法原理，知前2个球有种放法，所以n 个球一共有 种放法。易知对于 n≥m 和m>n 两种情况公式不变。 2） 球有区别，盒子有区别，不允许有空盒。 因为不允许有空盒，一个球的放法需要考虑前面的球的放置位置，所以每个球的放法不是相互独立的了，不能用上面的方法。 这里可以用容斥原理或者母函数的方法计算该问题的方案数。 方法一：母函数。 首先可以将该问题转换成一个排列问题，将m 盒子看成m 件物品，问题转换成m 个有标志的元素取n 个做有重复的排列，并且每个元素至少取一个。因为求的是排列问题，所以应该用指数型母函数。 其母函数定义如下： 又由泰勒展开公式有 可知 其中 （同样由泰勒展开） 所以 母函数可以化为下式：我们知道，对于上式中项的系数就是我们所要求的组合数，所以对于有n 个有区别的球放入有区别的m 个盒子的组合数就是： 我们知道，对于上式中项的系数就是我们所要求的组合数，所以对于有n 个有区别的球放入有区别的m 个盒子的组合数就是： 方法二：容斥原理 设表示把{1,2,3，...,n}分到m 个有区别的盒子中的划分集合，允许有空盒，由1）的结果我们知。接下来考虑确定h 个空盒的放置方案。我们从m 个盒子中选取h 个作为空盒，有种选法，剩下的(m-h)个盒子，它们可以是空的，也可以不是，也就是将n 个有区别的球放入(m-h)个有区别的盒子中，允许有空盒的方案数，同样由1的结果，我们知道方案数为。所以确定h 个空盒的方案数为，由容斥原理，我们知道总的方案数为 2 n m m 3 2)!3!2()(?+++=x x x x G e ?+++++=!4!3!2!11432x x x x e x ∑=--=-=m h x h m h m x e e h m C e x G 0 )()1)(,()1()(n n n x h m x n h m x h m x e ∑∞ =--=+-++=02)(!)(...!2)(1!h -m 1∑∑∑∑∞===∞=--=--=0000)()1)(,(!!)()1)(,()(n m h n h n n m h n n h e h m h m C n x x n h m h m C x G n x m h m h m C 1)(--∑U n m U =||),(h m C n h m )(-n h m h m C )(,(-n m h h h m h m C )()1)(,(0 --∑=
六年级奥数专题讲解称球问题
六年级奥数专题讲解称 球问题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
六年级奥数专题讲解：称球问题 ［专题介绍］ 称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。 ［经典例题］ 例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。 解：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。 例2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。
解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。 第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。 第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。 例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。 解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则
放球问题总结
放球问题总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
设序列 ),(m n S 满足 0)0,(=n S 且1),(=n n S ，且满足递推关系： )1,1(),1(),(--+-=m n S m n mS m n S )1(n m <≤ 称),(m n S 为第二类斯特林数。它恰恰等于将n 个有区别的球放入m 个无区别的盒子中，满足没有一个盒子为空的方案数。 下面说明为什么这个序列能描述我们放球模型的组合数。 首先0)0,(=n S 表示将n 个球放入0个盒子中，这是不可能的，所以方案数是0。 另外，1),(=n n S 表示将n 个球放入n 个盒子中，因为不允许有空盒，所以只能是每个盒子恰好放一个球，又盒子没区别，所以只有一种方案。所以有0)0,1(=S 和1)1,1(=S 。 下面看接下来的递推关系如何描述我们的放球模型。首考虑),(m n S ,我们首先将第n 号球拿出来，根据n 号球的方法来划分总体的放球方案数，首先，可以让n 号球单独放入一个盒子中，这等价于让另外n-1个球放入其他m-1个盒子中的方案数。也就是)1,1(--m n S 种方案数。或者n 号球不是单独放在一个盒子中，而是和其他一些球放在同一个盒子中，这等价于将其他n-1个球放
入m 个盒子中后，在将n 号球放入这m 个盒子中的一个，有m 种方法，所以一共有),1(m n mS -种方案。所以满足递推式： )1,1(),1(),(--+-=m n S m n mS m n S 所以我们说第二类斯特林数),(m n S 描述的是将n 个有区别的球放入m 个无区别的盒子中，满足无空盒的方案数。 另外容易得知：当m>n 时，S(n,m)=0。 4） 球有区别，盒子无区别，允许有空盒 因为这里允许有空盒，所以这里可以根据非空盒的数量来划分答案，当确定了非空盒的数量m 后，该问题等价于3）中所描述的问题的方案，即),(m n S ,所以总方案数为： ),(...)2,()1,()0,(),(...)2,()1,()0,({n n S n s n S n S m n S n s n S n S ++++++n m n m >≤ 数学中称这个序列为Bell 数，即 ),(...)2,()1,()0,()(n n S n s n S n S n B +++= Bell 数同样满足一个递推式。如下： )1()1,1(...)1()1,1()0()0,1()(---++-+-=n B n n C B n C B n C n B 这个递推式同样可以由组合推理证明。 考虑和n 号球在一起的其他元素的数量，假设是t ，取法有),1(t n C -种，剩下来不和n 号球在一起的n-t-1个球有)1(--t n B 种方法，所以有 ∑∑-=-=-=---=1 010)(),1()1(),1()(n t n t t B t n C t n B t n C n B 得证。
12个球称3次找坏球的数学解答(原作者-方)
序篇（4-4-4分组整体称法） 古老的智力题详述: 有12个球特征相同,其中只有一个重量异常,要求用一部没有砝码的天平称三次,将那个重量异常的球找出来。 以下会给4个解答，一个比一个牛，一个比一个震撼！ 第一篇先给个被号称网上最牛的解答，一种新的完全的数学解法（线代+信息论），该文解法创于2005年，一次与友人聊天建议发表到QQ346546618的个人空间（2006年7月），后被网友转载到各大网站并被收入到百度文库。 第二篇会给个EXCEL进阶解法，网友们可以用此法加上分块矩阵的方法继续找出9球称4次找2异常球的具体解法或更复杂的称球问题。 第三篇会给出2个很漂亮完美的非常特别的解，其称量结果的三进制和异常球序号及和轻重状态具有简洁的一一对应关系。 先给个444分组的具体称量方案： 把12个球编成1，2......12号，则可设计下面的称法： 左盘*** 右盘 第一次1，5，6，12 *** 2，3，7，11 第二次2，4，6，10 *** 1，3，8，12 第三次3，4，5，11 *** 1，2，9，10 每次都可能有平、左重、右重三种结果，搭配起来共有27种结果，但平、平、平的结果不会出现，因为总有一个球是不相等的。同样左、左、左，右、右、右的结果也不回出现，因为根据设计的称法，没有一个球是三次都在左边或右边的。剩下的24种结果就可以判断出哪种情况是哪一个球了。例如：如果结果是平、平、左或是平、平、右，就可判断出是9号球，因为第一次与第二次都没有9号球，唯独第三次有9号球，而第一次与第二次都是平的，只有第三次是失衡的，说明9号球的重量与其它的球不同。可依据此原理判断出其它的各种情况分别是哪个球。 有12个球，而坏球又可能比好球轻也可能比好球重，所以总共有12x2=24种可能，24
高中数学讲义 取球问题
微专题90 取球问题 一、基础知识： 在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下： 1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。 2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取” 3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响 4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数。 5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。 二、典型例题： 例1：一袋中有6个黑球，4个白球 （1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数X 的分布列，期望和方差 （1）思路：因为是不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的影响，要使用条件概率相关公式进行计算。第一次已经取到白球，所以剩下6个黑球，3个白球；若第二次取到黑球，则第三次取到黑球的概率为 6598?，若第二次取到白球，则第三次取到黑球的概率为36 98 ?，从而能够得到第三次取到黑球的概率 解：设事件A 为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球” ()6536482 9898723 P A ∴= ?+?== （2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为 69 解：设事件B 为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球” ()23 P B ∴=
12球称重问题
12球称重问题 有十二个乒乓球特征相同，其中只有一个重量异常，现在要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个重量异常的球找出来。 先将乒乓球分成三组：A、B、C。 A B C A1，A2，A3，A4 B1，B2，B3，B4 C1， C2 ，C3 ，C4 1．先是ABC三组中任意两大组称量： 结果：以A与B称量为例 a：AB平衡，则C组中有异常球。 取C1与C2称量，结果： （1）平衡，则坏球在C3、C4中，则取C3与C1称量，若平衡，则C4是坏球，如果失衡，则C3是坏球。 （2）不平衡，则C1、C2中有坏球，取C1与C3称量，若平衡，则C2是坏球，如果失衡，则C1是坏球。 b：AB失衡（关键），则C组都为正常球。 先定A组（左盘）重，则取(A1，B1，C1)与（A2，A3，B2）称量 （1）平衡，则坏球在A4，B3，B4中有坏球。则A4要么是好球，要么比好球重；B3，B4要么是好球，要么比好球轻。 则称第三次，取B3与B4，平衡则A4是坏球，如果不平衡，则轻球是坏球。 （2）失衡，则再次假设(A1，B1，C1)比（A2，A3，B2）重，则A1，B2是坏球（注：首先有么A组中全正常，要么有重球；B组中要么正常，要么有轻球。仍然是左边重于右边，所以坏球必然在没有经过换位置的A1与B2中）。则第三次，取A1与C1称量，平衡，则B2是坏球；如果A1重，则A1是坏球。 而如果右边重于左边，则必然是经过换位置的B1，A2，A3中有坏球，
B1要么是好球，要么轻于好球；A2，A3要么是好球，要么重于好球。则第三次用A2，A3称量，平衡，则B1是坏球，如果失衡，则重的是坏球。 如果B组（右盘）重，则可以用上述方法类推。
12球称重问题逻辑推理
12球称重问题逻辑推理 题目：有12个外观一样的球，有且仅有一个是坏球，但是不知道坏球是比好球轻还是重，利用天平最多称重三次找出这个坏球，并指出是比好球轻还是重。 推理：将12球分成ABC三组，每组4个，随机选两组进行称重 A and B，此时有三种情况 1. A=B，则坏球在C组中。此时C1C2 and C3A1，有三种情况 1.1 C1C2> C3A1 则C1C2重或C3轻，此时C1 and C2，有三种情况 1.1.1 C1>C2，则C1是坏球，且坏球重于好球 1.1.2 C1 第一种情况：天平平衡 可以判断次品球在丙组内。从丙组中取出三个球与乙盘中任三个球交换，看天平是否还平衡？（第二次使用天平） { 又有两种情况：1、天平平衡。2、天平不平衡。 第一种情况：天平平衡 可以断定丙组中剩下的那个就是次品。 第二种情况：天平不平衡 可以断定刚从丙组中取出的三个球中有一个是次品。且可以判断出次品球是轻还是重！！（看天平乙盘是下降还是上升：下降，次品球重；上升，次品球轻） 要想从三个球中找出哪个是次品球，且已知次品球是轻是重，就不用我说了吧！} 第二种情况：天平不平衡 可以判断出丙组中全为好球。 不失一般性，假设甲盘重，然后从丙组中取出三个球与乙盘中任三个球交换；并将乙盘中剩下的那只球与甲盘中的任一球交换，看天平是否还平衡？（第二次使用天平） { 又有两种情况：1、天平平衡。2、天平不平衡。 第一种情况：天平平衡 可以判断出从乙盘中取出的三只球中有一个为次品，且次品球轻。下面最后一步就不用我说了，与上同。 第二种情况：天平不平衡 此时天平不平衡时亦有两种情况：1、不会改变甲乙两盘的原有轻重格局。2、改变甲乙两盘的原有轻重格局。 { 1、可以判断次品球在甲盘剩下的三只球中，且次品球重。下面最后一步就不用我说了，与上同。 2、可以判断从乙盘中与甲盘中交换的两只球中有一只必为次品，但此时不知道次品球是轻还是重。最后一次使用天平是从两只球挑出次品球，应该不用我说了吧。 } } 变形一： 变形二： 变形三： 称法体现在下面的证明中： ******************************************************************** 变形一 ******************************************************************** 变形一n个球，有一个坏的，知道是轻还是重，用天平称出坏球来，称k次。 天平称重，有两个托盘比较轻重，加上托盘外面，也就是每次称重有3个结果，就是ln3/ln2比特信息。n个球要知道其中一个不同的球，如果知道那个不同重量的球是轻还是重，找出来的话那就是n个结果中的一种，就是有ln(n)/ln2比特信息，假设我们要称k次，根据信息理论： k*ln3/ln2>=ln(n)/ln2 k>=ln(n)/ln3 这是得到下限，可以很轻易证明满足条件的最小正整数k就是所求。比如已知是轻还是重的情况下，称3次可以从3^3=27个球中找出不同的球出来。 具体称法：每次在待定的n个球中取[(n+2)/3]个球，放在天平左边；[(n+2)/3]个球放在天平右边。 （注：[x]为高斯函数，表示不大于x的最大整数。） ******************************************************************** 变形二 ******************************************************************** 变形二n个球，有一个坏的，不知是轻还是重，用天平称出坏球来，称k次。 注：解法来自BBS水木清华站，作者idle 对于N(m)=(3^m-1)/2个小球，现在我们来寻求m次的解法。 首先，对于m=2的情况，相当于四个小球来称两次的情况，这个已经讨论过多次了，也很简单，在此略去 称球问题一般会有以下3种变形： 1、n个球，其中有一个坏的，知道是轻还是重，用天平称出坏球来。 2、n个球，其中有一个坏的，不知是轻还是重，用天平称出坏球来。 3、n个球，其中有一个坏的，不知是轻还是重，用天平称出坏球来，并告知坏球是轻还是重。 对于上面3种情况，称量n次，最多可以在几个球中找出坏球来 答案：分别为：3^n, (3^n - 1)/2, (3^n - 3)/2. 称法体现在下面的证明中： 一、 天平称重，有两个托盘比较轻重，加上托盘外面，也就是每次称重有3个结果，就是ln3/ln2比特信息。n个球要知道其中一个不同的球，如果知道那个不同重量的球是轻还是重，找出来的话那就是n个结果中的一种，就是有ln(n)/ln2比特信息， 假设我们要称k次，根据信息理论： k*ln3/ln2>=ln(n)/ln2, 解得k>=ln(n)/ln3 这是得到下限，可以很轻易证明满足条件的最小正整数k就是所求。比如称3次知道轻重可以从3^3=27个球中找出不同的球出来。 具体称法就是：每次再待定的n个球中取[(n+2)/3]个球，放在天平左边；[(n+2)/3]个球放在天平右边。 （注：[ x ]表示不大于x的最大整数。） 二、 对于N(m)=(3^m-1)/2个小球，现在我们来寻求m次的解法。 首先，对于m=2的情况，相当于四个小球来称两次的情况，这个已经讨论过多次了，也很简单，在此略去 其次，若m <=k-1时，假定对于N(k-1)=(3^(k-1)-1)/2个球的情况我们都有解法。 现在来考虑m=k的情况。 第一次称取[3^(k-1)-1]个球放在天平天平两端，则： 如果平衡，获得[3^(k-1)-1]个标准球，坏球在剩下的[3^(k-1)+1]/2个中。由于 [3^(k-1)-1]>=[3^(k-1)+1]/2，（k>=2),即已知的标准球数不小于未知球数; 所以在以后的测量中就相当于任意给定标准球的情况，由前面的引理二可知 对于[3^(k-1)+1]/2的情况(k-1)次可解。 如果不平衡，大的那方记做A,小的那方记作B。标准球记做C. 则现在我们有[3^(k-1)-1]/2个A球和B球，有[3^(k-1)+1]/2个C球。 第二次用3^(k-2)个A球加[3^(k-2)-1]/2个B球放左边; 3^(k-2)个C球加[3^(k-2)-1]/2个A球放右边。 如果左边大于右边，则说明是在左边的3^(k-2)个A球中质量大的为坏球； 如果左边等于右边，则说明是在第二次称时没用的3^(k-2)个B球中质量轻 的为坏球。以上两种情况都可以再用三分法(k-2)次解决，加上前两 次共k次解决。 如果左边小于右边，则坏球在左边的[3^(k-2)-1]/2个B球中或在右边的同样 数目的A球中。此时的情况和第二次开始时类似（只不过是k-1变成k-2). 用相同的办法一直往下追溯到一个A球和一个B球一次区分的情况，这时 只需拿A球和标准球比较以下就行了。 因此在这种情况下也是可以最终用k次解决的。从12颗小球到天平称球
称球问题一般解法