江苏省奔牛高级中学高二上学期数学理科寒假作业
高二（理科）数学寒假作业（五） 班级 姓名
1. 双曲线C ：22
2
21(00)x y a b a b -=>>，的离心率为3，则此双曲线的渐近线方程为
__________________ .
2. 把一根匀均匀木棒随机地按任意点拆成两段,则“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”
的概率为_________
3. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为
[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布
直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是________.
4. 点P 是抛物线C :x y 42
=上一动点，则点P 到点)12,6(的距离与到y 轴的距离之和的最小值是_________
5. 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下： 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为______________
6. 设椭圆12622=+y x 和双曲线1322
=-y x 的公共焦点为F1、F2，P 是两曲线的一个公共
点，则21cos PF F ∠的值等于 ____________
7. 将一个体积为64cm3、表面涂有红漆的正方体木块锯成64个体积为1cm3的小正方体，
从中
任取两块，至少有一面上涂有红漆的概率是_________
8. 如果以原点为圆心的圆经过双曲线C ：)0,0(122
2
2>>=-b a b y a x 的顶点，并且被双曲线
的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________
9. 右边的伪代码，对,,,],3,3[M y m R M m x ≤≤∈?-∈? 则m M -的最小值为_________
Read x
If x<0 Then y ← -x+1 Else
If x ←0 Then y ←0 Else
y ←122
--x x
End If End If
Print y （第9题图）
10. 若数据
n
x x x ,,,21 的方差为3,数据
b
ax b ax b ax n +++,,,21 的标准差为32,则
实数a 的值为________
11. 已知p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要条件，则p ?是r ?的_____________条件
12. 如果以原点为圆心的圆经过双曲线C ：)0,0(122
2
2>>=-b a b y a x 的顶点，并且被双曲线
的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________
13. 在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是____
14. 设集合{,1},{,1,2},,,{1,2,3,
,8}M a N b M N a b ==?∈，且在直角坐标平面内，从
所有满足这些条件的有序实数对(,)a b 所表示的点中任取一个，其落在圆222
x y r +=内的
概率恰为1
3，则2
r 的所有可能的整数值是________
15． 已知p ：,0922
<+-a x x q ：22430680x x x x ?-+
? 且?p 是?q 的充分条件, 求实数a 的取值范围.
16. 已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，它的准线经过椭圆2C ：)
0(122
22>>=+b a b y a x 的一个
焦点
1
F 且垂直于
2
C 的两个焦点所在的轴，若抛物线
1
C 与椭圆
2
C 的一个交点
是
2(3M ．求抛物线1C 及椭圆2C 的方程；
17. 已知集合
{}
01≤≤-=x x A ，集合
{}
21,20,0222≤≤≤≤≤++=b a b ax x x B
（1）若φ≠?∈B A N b a 求,,的概率 （2）若φ≠∈B R b a 求,,的概率
18. （1）已知双曲线1
C 与椭圆2C ：22
13649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭
圆的离心率2e 之比为7
3，求双曲线1C
的方程．
（2）以抛物线2
8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．
19. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，
4ABC π
∠=
,
OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线MN OCD
平面‖；
（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角C OD A --的余弦值
20. 设1F 、2F 分别是椭圆1
422
=+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ．
（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求
12PF PF ?的最大值和最小值;
（Ⅱ）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF BF
λ=，求λ的值； （Ⅲ）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ?的周长的最大值.
高二（理科）数学寒假作业（五）参考答案：
1. 12
2. 32
3.13
4. 12
5. ;01
6.0;5.9 6. ;31
7. ;
7271 8.
;2
9. 6 10. ;2± 11. 必要不充分 12.
;2
13. ;103
14. ;32,31,30
15. 解由 x2-4x+3<0 得 1 设A=｛x ︱p ｝=｛x ︱2x2-9x+a<0｝ B=｛x ︱q ｝=｛x ︱2 ?p ??q, ∴ q ?p ∴B ?A 即2 ∵当2 ) =-2(x-49)2+881的值大于9且小于等于881 ， 即9<9x-2x2≤881 ∴a≤9 方法二: 设 2 ()29f x x x a =-+当23x <<时，()0f x < (2)0(3)3f f ≤?∴?≤? 即109a a ≤?? ≤? 9a ∴≤ 16. ;4:2 1x y C = 134:2 22=+y x C 17. (1)对集合B ，2,1,0=a ，2,1=b 若1,0==b a ，则012 ≤+x ，φ=B 若2,0==b a ，则042 ≤+x ，φ=B 若1,1==b a ，则0122 ≤++x x ，}1{-=B ，φ≠?B A 若2,1==b a ，则0422 ≤++x x ，φ=B 若1,2==b a ，则0142 ≤++x x ，]32,32[+---=B ，φ≠?B A 若2,2==b a ，则 0442≤++x x ，}2{-=B ，φ=?B A ∴总的基本事件有6个，他们是等可能的，事件φ≠?B A 包含2个基本事件 ∴概率 31 62== （2） 因为21,20≤≤≤≤b a ，所以点),(b a 所在的区域D 的面积为2 又因为φ≠B ，所以0442 2≥-=?b a ，即b a ≥，则区域d 的面积为21 所以φ≠B 的概率为41 221= 18. （1）解：1C 的焦点坐标为(0, 2e =由1273e e = 得1e = 设双曲线的方程为222 21(,0)y x a b a b -=>则222 2213 139a b a b a ?+=??+=?? 解得229,4a b == 双曲线的方程为22 194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +?=????=??，∴00262x x y y =-?? =?． 代入2 00 8y x =得： 2 412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 19. 作AP CD ⊥于点P ,如图,分别以AB,AP ,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系 (0,0,0),(1,0,0),(0, ((0,0,2),(0,0,1),(122244A B P D O M N --, (1)2222(1,,1),(0,,2),(2)MN OP OD =- -=-=-- = 设 平面 OCD 的法向 量为(,,)n x y z =即 2020y z x y z -=? ?+-=?? 取z = 解得(0,n = 22 (1,,1)(0,4,2)044MN n =- - =∵ MN OCD ∴平面‖ (2)设AB 与MD 所成的角为θ, (1,0,0),(,,1)22AB MD ==- -∵ 1cos ,2 3AB MD AB MD π θθ= == ?∴∴ , AB 与MD 所成角的大小为3 π 20解：（Ⅰ）易知2,1,a b c ===所以 ( ))12 ,F F ，设(),P x y ，则 ()) 2212,, ,3 PF PF x y x y x y ?=---=+-()2 2 21133844x x x =+--=- 因为 [] 2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时， 12PF PF ?有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时， 12PF PF ?有最大值1 （Ⅱ）设C （ 0x 0 ，y ），) 1 ,0(-B ( )1F 由1 1 CF BF λ=得 001 x y λ= =- ， 又 2 20014x y += 所以有2 670λλ++=解得舍去）01(7>=-=λλ． （Ⅲ） 因为|P 1F |＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|， ∴1PBF ?的周长≤4＋|BF2|＋|B 1F |≤8． 所以当P 点位于直线BF2与椭圆的交点处时，1PBF 周长最大，最大值为8．