数学周报杯2011年全国初中数学竞赛试题
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中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题
一、选择题(每小题7分,共35分,每小题只有一个正确选项)
1、设17-=a ,则代数式12612323--+a a a 的值为( )
(A )24 (B )25 (C )1074+ (D )1274+
2、对于任意实数a ,b ,c ,d ,定义有序实数对(a ,b )与(c ,d )之间的运算“△”为:(a ,b )△(c ,d )=(ac+bd ,ad+bc )。如果对于任意实数u ,v ,都有(u ,v )△(x ,y )=(u ,v ),那么(x ,y )为( )
(A )(0,1) (B )(1,0) (C )(-1,0) (D )(0,-1)
3、若x>1,y>0,且满足xy=x y ,y x y
x 3=,则x+y 的值为( ) (A )1 (B )2 (C )29 (D )2
11 4、点D ,E 分别在△ABC 的边AB ,AC 上,BE ,CD 相交于点F ,设S 四边形EADF =S 1,S △BDF =S 2, S △BCF =S 3,S △CEF =S 4,则S 1S 3与S 2S 4的大小关系为( )
(A )S 1S 3< S 2S 4 (B )S 1S 3=S 2S 4 (C )S 1S 3>S 2S 4 (D )不能确定
5、设333399
1312111+⋅⋅⋅+++=S ,则4S 的整数部分等于( ) (A )4 (B )5 (C )6 (D )7
二、填空题(每小题7分,共35分)
6、若关于x 的方程(x-2)(x 2-4x+m )=0有三个根,且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长,则m 的取值范围是___________。
7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是_________。
8、如图,点A ,B 为直线y=x 上的两点,过A ,B 两点分别作y 轴 的平行线交双曲线x
y 1=(x>0)于C ,D 两点。若BD=2AC , 则224OD OC -的值为________。
9、若2
11-+-=x x y 的最大值为a ,最小值为b ,则a 2+b 2的值为___________。 10、如图,在Rt △ABC 中,斜边AB 的长为35,正方形CDEF 内接
于△ABC ,且其边长为12,则△ABC 的周长为__________。
三、解答题(每题20分,共80分)
11、已知关于x 的一元二次方程x 2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x 2+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c 的值。
12、如图,点H 为△ABC 的垂心,以AB 为直径的⊙O 1和△BCH 的外接圆⊙O 2相交于点D ,延长AD 交CH 于点P ,求证:点P 为CH 的中点。
13、如图,点A 为y 轴正半轴上一点,A ,B 两点关于x 轴对称,过点A 任作直线交抛物线2
3
2x y 于P ,Q 两点。
(1)求证:∠ABP=∠ABQ
(2)若点A 的坐标为(0,1),且∠PBQ=60o ,试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式。
14、如图,△ABC 中,∠BAC=60o ,AB=2AC ,点P 在△ABC 内,且PA=3,PB=5,PC=2,求△ABC 的面积。