河北省衡水中学2018届高三下学期第一次调考(文数)
河北省衡水中学2018届高三下学期第一次调考数学（文科）本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x y x M 2lg，}1|{<=x x N ，则=N M ( )A ．)2,0(B ．)1,0(C ．)2,1(D ．)1,(-∞2． 若复数z 的共轭复数1)1(12++=i z ，则在复平面内z 对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( )A ．2021B ．2019C ．5052D ．15052- 4． 已知R y x ∈,，那么“y x >”的充要条件是( )A ．yx22>B ．gy x 1lg >C ．yx 11>D ．22y x >5． 已知在ABC ∆中，DC BD 2=．若AC AB AD 21λλ+=，则21λλ的值为 ( )A ．91 B ．92 C ．21 D ．910 6． 将函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图像向左平移8π个单位长度后得到的函数图像关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为( )A ．4π B ．43πC ．0D ．4π-7． 在等差数列}{n a 中，0106=+a a ，且公差0>d ，则其前n 项和取最小值时n 的值为 ( ) A ．6 B ．7或 8 C ．8 D ．98． 刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方，得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．” 意思是把一个长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一个堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2∶1，这个比率是不变的．如图是一个阳马的三视图，则其表面积为 ()A ．2B ．22+C ．33+D ．23+9．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 与直线03:=++m y x l 交于),(11y x M ，),(22y x N 两点，其中01>x ，01>y ，02>x ，02<y ．若0=+OQ OM ，且︒=∠30MNQ ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．x y 21±=B ．x y ±=C ．x y 2±=D ．x y 2±= 10．下面四个推理中，属于演绎推理的是( )A ．观察下列各式：4972=，34373=，240174=，…，则20157的末两位数字为43B ．观察x x 2)(2='，344)(x x ='，x x sin )(cos -='，可得偶函数的导函数为奇函数 C ．在平面内，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积之比为1∶4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8D ．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生还原反应 11．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当)0,2[-∈x 时，122)(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=xx f ，若关于x 的方程0)2(log )(=+-x x f a （0>a ，且1=/a ）在区间)6,2(-内恰有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41B ．)4,1(C ．)8,1(D ．),8(+∞12．若函数)(x f y =，M x ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x 都有)()(T x f x af +=，则T 为)(x f 的类周期，函数)(x f y =是M 上的a 级类周期函数．若函数)(x f y =是定义在区间),0[+∞内的2级类周期函数，且2=T ，当)2,0[∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤-=,21),2(,10,221)(2x x f x x x f 函数m x x x x g +++-=221ln 2)(．若]8,6[1∈∃x ，),0(2+∞∈∃x ，使0)()(12≤-x f x g ，则实数m 的取值范围是( )A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-25,B ．⎥⎦⎤⎝⎛∞-213,C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-23,D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,213二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．抛物线2x y =的准线方程为 ． 14．已知实数y x ,满足约束条件⎩⎨⎧≤--≥+-,01||,012y x y x 则y x z +=2的最大值为 ．15．某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，随机抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示．其中支出的金额在)40,30[的同学比支出的金额在)20,10[的同学多26人，则n 的值为 ．16．已知等比数列}{n a 的公比为)10(<<q q ，且第11项的平方等于第6项，若存在正整数k 使得kk a a a a a a 1112121+++>+++ ，则k 的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）设函数.23cos 3sin 2)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x f π(1)求函数)(x f 的单调递增区间；(2)已知ABC ∆的内角分别为C B A ,,，若232=⎪⎭⎫⎝⎛A f ，且A B C ∆能够覆盖住的最大圆的面积为π，求AC AB ⋅的最小值．18．（12分） 在如图所示的五面体ABCDEF 中，CD AB //，22==AD AB ，︒=∠=∠120BCD ADC ，四边形EDCF 为正方形，平面⊥EDCF 平面.ABCD (1)证明：在线段AB 上存在一点G ，使得//EG 平面.BDF (2)求EB 的长．19．（12分） 某中学参加数学选修课的同学，对某公司一种产品的年销量y （单位：kg ）与定价x （单位：元/kg ）进行了统计，得到如下数据和散点图．(1)根据散点图判断，y 与x ，z 与x 哪一对具有较强的线性相关性？（给出判断即可， 不必说明理由）(2)根据(1)的判断结果及数据，建立y 关于x 的回归方程（精确到0.01）． (3)当该产品定价为70.50元/kg 时，年销售额的预报值是多少？参考公式：对于一组数据),(,),,(),,(2211n n v u v u v u ，其回归直线αβ+=u v 的斜率和截距的最小二乘估计分别为26161)())((ˆu u v v u u ii iii ---=∑∑==β，.ˆˆu v βα-= 参考数据：34580))((61-=--∑=y y x x iii ，5.175))((61-=--∑=z z x x iii ，776840)(261=-∑=y y ii ，2.3465))((61=--∑=z z y y i i i ，.60.544≈e20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆16)1(:22=++y x C ，点)0,1(A ，)3|)(|0,(>a a B ，以B 为圆心，||BA 为半径作圆，交圆C 于点P ，且PBA ∠的平分线交线段CP 于点.Q(1)当a 变化时，点Q 始终在某圆锥曲线τ上运动，求曲线τ的方程；(2)已知过点C 的直线l 与曲线τ交于N M ,两点，记OCM ∆的面积为1S ，OCN ∆的面积为2S ，求21S S 的取值范围．21．（12分） 已知函数.)1(2ln )(22x a x a x a x f +-+= (1)讨论函数)(x f 的单调性；(2)当1>a 时，记函数)(x f 的极小值为)(a g ，若)522(41)(23a a a b a g +--<恒成立，求满足条件的最小整数.b（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x （t 为参数，其中2πα=/）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为.04cos 62=+-θρρ(1)写出直线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)已知直线1C 与曲线2C 交于B A ,两点，记B A ,对应的参数分别为21,t t ，当021=+t t 时，求||AB 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数.2|12|)(-+-=ax x x f (1)若1-=a ，解不等式xx x f ||)(>； (2)若对任意R x ∈，恒有a x f -≥)(，求实数a 的取值范围．数学（文科）参考答案一、选择题 1．B 2．A 3．C4．A5．B6．A7．B8．B9．B10．D11．D 12．B二、填空题 13．41-=y 14．8 15．100 16. 30三、解答题17．解：(1)x x x x x x x f 2sin 2123cos sin 21cos 23223cos 3sin 2)(=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π.32sin 2cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+πx x （3分）则πππππk x k 223222+≤+≤+-，解得).(12125Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ所以函数)(x f 的单调递增区间为).(12,125Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ（6分）(2)233sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛πA A f ， 又),0(π∈A ，所以.3π=A（7分）由题意知ABC ∆的内切圆半径为1．设角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，如图所示．可得32=-+a c b ，①由余弦定理得bc c b a -+=222，②联立①②式，得bc c b c b -+=-+222)32(， 则bc c b bc 8)(4334≥+=+， 解得12≥bc 或34≤bc （舍）． （10分）[)+∞∈=⋅,621bc AC AB ，当且仅当c b =时，AC AB ⋅的最小值为6．（12分）18．(1)证明：如图，取AB 的中点G ，连接.EG因为CD AB //，︒=∠=∠120BCD ADC ，22==AD AB ， 所以1=CD ，所以BG CD =，.//BG CD又四边形EDCF 是正方形，所以CD EF //，.CD EF = 所以BG EF //，BG EF =， 故四边形EFBG 为平行四边形， 所以.//BF EG （4分）又⊂/EG 平面BDF ，⊂BF 平面BDF ，所以//EG 平面.BDF （6分） (2)解：因为平面⊥EDCF 平面ABCD ，平面 FDCF 平面CD ABCD =， 又CD ED ⊥，⊂ED 平面EDCF ，所以⊥ED 平面ABCD ， 又⊂DB 平面ABCD ，所以.BD ED ⊥（8分）因为︒=∠120ADC ，且CD AB //，所以︒=∠60DAB ， 又22==AD AB ，所以.3=BD（10分）又由(1)知1==DC ED ，所以.222=+=BD ED EB（12分） 19．解：(1)由散点图可以判断，z 与x 具有较强的线性相关性．（2分）(2)由题得356605040302010=+++++=x ，.55.1169.82.101.111.129.121.14=+++++=z10.017505.175)())((61261-≈-=---=∑∑==i ii i ix x z z x xb ，.05.15ˆˆ=-=x b z a（7分）所以z 关于x 的线性回归方程为.10.005.15ˆx z-= 所以y 关于x 的回归方程为.ˆ210.005.152xe e y-== （9分）(3)设年销售额关于x 的函数为)(x g ，则.ˆ)(210.005.15xyx x g -==当50.70=x 时，30.384950.7050.70)50.70(4250.7010.005.15≈=⨯=⨯-e eg （元）．所以定价为70.50元/kg 时，年销售额的预报值为3849.30元．（12分）20．解：(1)因为||||BP BA =，||||BQ BQ =，ABQ PBQ ∠=∠， 所以QAB ∆≌QPB ∆，所以.||||QP QA = 又.||||||||||QA QC QP QC CP +=+= 所以.4||||=+QA QC由椭圆的定义可知，曲线τ是以A C ,为焦点，长轴长为4的椭圆，所以曲线τ的方程为.13422=+y x （5分）(2)由题设直线1:-=my x l ，),(11y x M ，).,(22y x N 则||||2111y OC S ⋅=，||||2122y OC S ⋅=，所以.||||212121y y y y S S -==（7分）由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134,122y x my x 得096)43(22=--+my y m ，01441442>+=∆m ，436221+=+m my y ，.439221+-=m y y（9分）则⎥⎦⎤⎝⎛-∈+-=+0,34434)(2221221m m y y y y ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈++0,3421221y y y y ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈31,321y y ， 所以.3,312121⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=y y S S（12分）21．解：(1))(x f 的定义域为),0(+∞，xa x ax x a x a ax a ax x a x f ))(1()1()1()(222--=++-=+-+='．①若0≤a ，当),0(+∞∈x 时，0)(≤'x f ， 所以函数)(x f 在区间),0(+∞内单调递减．②若0>a ，由0)(='x f ，得ax 11=，a x =2，(ⅰ)若10<<a ，当⎪⎭⎫⎝⎛∈a a x 1,时，0)(<'x f ；当⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,1),0(a a x 时，.0)(>'x f所以函数)(x f 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛a a 1,内单调递减，在区间),0(a ，⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 内单调递增．(ⅱ)若1=a ，0)(≥'x f ，函数)(x f 在区间),0(+∞内单调递增．(ⅲ)若1>a ，当⎪⎭⎫⎝⎛∈a a x ,1时，0)(<'x f ；当),(1,0+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a a x 时，.0)(>'x f所以函数)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛a a ,1内单调递减，在区间⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0，),(+∞a 内单调递增．（5分） (2)由(1)知当1>a 时，函数)(x f 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛a a ,1内单调递减，在区间⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0，),(+∞a 内 单调递增．所以当a x =时，)(x f 的极小值为.2ln )()(3a a a a a f a g --==)522(41)(2+--<a a a b a g 恒成立，即42ln 2a a a a b +->恒成立．（7分）设)1(42ln )(2>+-=x xx x x x h ， 则.45ln )(+-='x x x h 令45ln )()(+-='=x x x h x ϕ， 当),1(+∞∈x 时，011)(<-='xx ϕ，所以)(x h '在区间),1(+∞内单调递减，且041)1(>='h ，.0)ln 16(ln 41432ln )2(3<-=-='e h 所以)2,1(0∈∃x ，使045ln )(000=+-='x x x h ，所以当),1(0x x ∈时，0)(0>'x h ，函数)(x h 单调递增；当),(0+∞∈x x 时，0)(0<'x h ，函数)(x h 单调递减．（10分）所以42ln )()(020000max x x x x x h x h +-==， 又45ln 00-=x x ， 则020max 21)(x x x h -=，其中).2,1(0∈x因为x x y -=221在区间)2,1(内单调递增，所以.0,21)(max ⎪⎭⎫⎝⎛-∈x h因为max )(x h b >，Z b ∈，所以.0min =b（12分）22．解：(1)直线1C 的普通方程为1tan )2(+-=αx y （其中2πα=/）． 曲线2C 的直角坐标方程为.5)3(22=+-y x（4分）(2)由题知直线1C 恒过定点)1,2(P ，又021=+t t ， 由参数方程的几何意义可知，P 是线段AB 的中点．曲线2C 是以)0,3(2C 为圆心，半径5=r 的圆，且.2||22=PC（8分）所以.32252||2||222=-=-=PC r AB（10分）23．解：(1)当1-=a 时，原不等式为xx x x ||2|12|>---，①当0>x 时，不等式化为03|12|>---x x ，等价于⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<023,210x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>->,04,21x x 解得.4>x ②当0<x 时，不等式化为12)12(->----x x ， 解得.0<x所以原不等式的解集为0|{<x x 或}.4>x（5分）(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--≥-+=-+-=.21,1)2(,21,3)2(2|12|)(x x a x x a ax x x f对任意R x ∈，恒有a x f -≥)(，则.)(min a x f -≥又当⎩⎨⎧≤-≥+,02,02a a 即22≤≤-a 时，)(x f 有最小值.22121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛a f（8分）由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤≤-,221,22a a a 解得.234≤≤a所以实数a 的取值范围是.2,34⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （10分）。
河北省衡水中学2018届高三高考押题(一)文数试题
河北衡水中学2018年高考押题试卷文数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A {x N|2x 4}，B {x|122x 4}，则A B=（）A．{x|1x 2}B．{1,0,1,2}C．{1,2}D．{0,1,2}2．已知i为虚数单位，若复数z 1t i1i在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值范围为（）A．[1,1]B．(1,1)C．(,1)D．(1,) 3．下列函数中，与函数y x3的单调性和奇偶性一致的函数是（）A.y x B．y tan x C.y x 1xD．y e xex4．已知双曲线C1：x2y2x2y21与双曲线C：14343，给出下列说法，其中错误的是（）A.它们的焦距相等B．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D．它们的离心率相等5．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为8:00~8:40，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在9:10~10:00之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（）A．1324B．C．D．510556．若倾斜角为的直线l与曲线y x4相切于点1,1，则cos2sin2的值为（）A．137 B．1C．D．25177．在等比数列{a}中，“a，a是方程xn41223x 10的两根”是“a18”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）2A.1009B．-1009 C.-1007D．1008 9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．111B．1C．D．63121234310．已知函数f(x)A sin(x )(A 0,0,||)的部分图象如图所示，则函数g(x)A cos(x )图象的一个对称中心可能为（）A．(52,0)B．1( ,0)6C.(12,0)D．(116,0)11．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C 在直径AB上，且O F A B，设AC a，BC b，则该图形可以完成的无字证明为（）A.a b2ab(a 0,b 0)B．a2b22a b(a 0,b 0)C.2aba bab(a 0,b 0)D．a b a2b222(a 0,b 0)12．已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD的外接球，BC 3，AB 23，点E在线段BD上，且BD 3BE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．,4B．2,4C．3,4D．0,4第Ⅱ卷（共90分）13．已知a(1,)，b (2,1)，若向量2a b与c (8,6)共线，则a ．14．已知实数x，y 满足不等式组x y 20,x 2y 50,y 20,目标函数z 2log y log x42，则z的最大值为．15．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c b a是与的等差中项且a 8，ABC的cos B cos B cos A面积为43，则b c的值为．16．已知抛物线C：y24x的焦点是F，直线l1：y x1交抛物线于A，B两点，分别从A，B两点向直线l2：x2作垂线，垂足是D，C，则四边形ABCD的周长为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数fx 12x2mx（m 0），数列{a }的前n项和为S，点n,S 在fxn n n图象上，且fx的最小值为1 8 .（1）求数列{a }n的通项公式；（2）数列{b}满足bn n(2a n 2a n1)(2a n 11)，记数列{b}的前n项和为T，求证：T 1nn n.18．如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直与圆O所在平面，G为AOC的垂心.（1）求证：平面O PG 平面PAC；（2）若PA AB 2A C 2，点Q在线段PA上，且PQ 2QA，求三棱锥P QGC的体积.19．2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为50,60，60,70，…，90,100分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若高三年级共有 2000 名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于 70 分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于 70 分的三组学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人参加这次 考试的考后分析会，试求后两组中至少有 1 人被抽到的概率.20．已知椭圆C： x 2 y 21(a b 0) a 2 b 2的长轴长为2 2，且椭圆C与圆M： ( x 1)2y 212的公共弦长为2. （1）求椭圆C的方程.（2）经过原点作直线 l（不与坐标轴重合）交椭圆于 A ， B 两点，AD x轴于点D，点E 在椭圆C上，且AB EBDB AD，求证：B，D，E三点共线..21．已知函数f x 2ml n x x，gx3e x 3x 2（m R ， e为自然对数的底数）.（1）试讨论函数fx的极值情况；（2）证明：当 m1且 x 0 时，总有 gx3 f x.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知直线 l 2 x 4 2的参数方程为 2 2t , （ t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为4cos，直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点.（1）求圆 C 的直角坐标方程及弦AB的长； （2）动点 P在圆 C上（不与A， B 重合），试求ABP的面积的最大值.23.选修 4-5：不等式选讲.已知函数f ( x )|2x 1| | x 1|.（1）求函数f ( x )的值域M；uuur uu r uuur uuu ry t的大小.一、选择题1-5:DBDDA6-10:DDBCC11、12：DB二、填空题13．214．115．4516．1842三、解答题17．（1）解：fx 12x mm22，故f x的最小值为m21 28.又m 0，所以m 12，即11Sn2n22.所以当n 2时，a S Sn n n 1n；当n 1时，a 11也适合上式，2n（2）证明：由（1）知bn2n11(2n 1)(2n 1 1)2n 12n 11，所以T 1n 11133721111n12n 112n 11，所以T 1n.18．（1）证明：（1）如图，延长OG交AC于点M.因为G为AOC的重心，所以M为AC的中点.因为O为AB的中点，所以OM//B C.因为AB是圆O的直径，所以BC A C，所以O M A C.因为PA 平面ABC，OM 平面ABC，所以PA OM.又PA 平面PAC，AC 平面PAC，PA AC A，所以OM 平面PAC.即OG 平面PAC，又OG 平面OPG，所以平面OPG 平面PAC.（2）解：由（1）知OM 平面PAC，所以GM就是点G到平面PAC的距离.由已知可得，OA OC AC 1，所以V AOC为正三角形，所以OM32.又点G为V AOC的重心，所以GM 13 OM36.故点G到平面PQC的距离为3 6.V P QC V P AC112 21 S GMSGM21 3 33 9233 627.19．解：（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为10.10.30.30.10.2，故x 0.02.故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为550.01650.03750.03850.02950.011074（分）.t由于前两组的频率之和为设中位数为分，0.10.30.4，前三组的频率之和为0.10.30.30.7，故中位数在第3组中.则有t 700.030.1，所以t 7313，即所求的中位数为7313分.（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.30.20.10.6，由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为20000.6 1200.（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在70,80这组的3名学生分别为a，b，c ，成绩在80,90这组的2名学生分别为d，e，成绩在90,100这组的1名学生为f，则从中任抽取3人的所有可能结果为a,b,c ，a,b,d ，a,b,e ，a,b,f ，a,c,d ，a,c,e ，a,c,f ，a,d,e，a,d, f ，a,e,f ，b,c,d，b,c,e，b,c,f，b,d,e，b,d,f ，b,e,f，c,d,e，c,d,f ，c,e,f，d,e, f共20种.其中后两组中没有人被抽到的可能结果为a,b,c ，只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为P 1119 2020.20．（1）解：由题意得2a 22，则a 2.由椭圆C与圆M ：x12y212的公共弦长为2，其长度等于圆M的直径，可得椭圆C2经过点1,2，12x2 2y21.所以椭圆C的方程为（2）证明：设A x,y ，E x,y1122，则B x,y，D x,0.111因为点A，Ex 22y22,都在椭圆上，所以x2y 2,所以x x12x x 2yy1212y y012，即又y y x x1212.x x2y y1212AB EB DB AD AE AB 0，所以kAB k AE 1，即y y y1121x x x112，所以y x x112x2y y1121所以y2y y12 x x x 112又kBE kBDy y y y y y y12112120x x2x x x x x1211212，所以kBE kBD，所以B，D，E三点共线.21．（1）解：fx的定义域为0,，fx 2m x 2m1x x.①当m 0时，f x0，故f x 在0,内单调递减，fx无极值；②当m 0时，令f x，得0x 2m；令fx 0，得x 2mC112222uuur uu r uuur uuu r uuur uuur 1.无极小值.故f x在x2m处取得极大值，且极大值为 f 2m2ml n 2m2m，fx3e x 36m（2）当x 0时，g x 3f x 0 3 03e x 3x26m x 30.x2x设函数u x 3e x 3x26mx 3，则u x 3e x 2x 2m.记v x ex 2x 2m，则v x e x2.当x变化时，v x，v x的变化情况如下表：由上表可知v x v l n2，而vl n 3 e ln22ln22m 22ln22m 2m l n2 1，由m 1，知m ln21，所以所以v l n20，v x0，即ux.所以u x 在0,内为单调递增函数.所以当x 0时，ux u 0.即当m 1且x 0时，3e x 3x26mx 30.所以当m 1且x 0时，总有g x3f x.22．解：（1）由4cos 得24cos ，所以x2y24x 0，所以圆C的直角坐标方程为(x 2)2y24.将直线l的参数方程代入圆C:(x 2)2y24，并整理得t222t 0，解得t 0，t 2212.所以直线l被圆C截得的弦长为|t t |2212.（2）直线l的普通方程为x y 40.圆C的参数方程为x 22cos ,y 2sin ,（为参数），可设圆C上的动点P(22cos ,2sin )，则点P到直线l的距离d |22cos 2sin 4|2|2cos()2|4.当cos()14时，d取最大值，且d的最大值为22，所以SABP 122(22)2222，即ABP的面积的最大值为22.23. 解：（1）3x,x 1,1 f (x)2x,1x ,213x,x .2根据函数f(x)的单调性可知，当113 x 时，f(x)f( )222.所以函数f(x)的值域3M [,)2.（2）因为a M，所以a 32，所以3012a.又|a 1||a 1|a 1a 12a 3，所以|a 1||a 1|3 2a372a 2a 24a27a 32aa 14a32a由3a ，知a 10，4a 302，所以(a 1)(4a 3)2a0，所以所以372a，2a2|a 1||a 1|372a2a2.min。
2017-2018届河北省衡水中学高三下学期一调考试语文试题及答案
2017-2018学年度第二学期高三年级一调考试语文试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共150分,考试时间150分钟。
注意事项：1、考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。
共9个单项选择题，在答题卡上按题号填涂。
2、考试结束，将答题卡交回。
3、细致、认真。
为假期自主复习交一份满意的答卷！祝你成功！Ⅰ卷（27分）一、基础知识（共9分）1、下列各句中加点成语使用错误的一项（）A．我们的领导干部要勤政爱民，廉洁自律，提高自身修养，增强抵御腐败的能力，否则，难免到时像陈希同一样对簿公堂．．．．，落得个身败名裂的下场。
B．听到张旭东升任宁江市交通局长的消息，一帮老同学、老同事纷纷发来短信，祝贺他的乔迁之喜．．．．，并要他赶快请客。
C．一年前歌星臧天朔带头签署了《演艺人社会责任自律宣言》，但墨迹未干，他却因‚涉恶‛嫌疑被警方带走，前后判若云泥．．．．，真是不可思议。
D. 令人忧虑的是，有的出版社出了不好的作品还不置可否．．．．，听不进群众的批评。
2、下列各句中，没有语病的一句是（）A. 人是社会发展的主体，人的个性和谐是社会和谐发展的根本前提，同时，人的个体和谐又是自然和谐的产物。
B．些同学读书迷信权威，对文本的理解不是建立在对文本深悟、慢泡、细嚼的基础上，而是轻松地做了权威的奴隶。
C.专家指出，绕月成功后，嫦娥三号的‚刹车‛时间是否合适、远近距离是否准确、能否在指定区域落下来，都是完成此次发射任务的技术难点和关键。
D．据悉，为了更好地体现高考公平性，2017-2018年高考全国将针对贫困地区提供较2017-2018年更多的招生名额走进高校，保证他们有机会实现‚大学梦‛。
3、请将下列语句重新排序，衔接最恰当的一组是（3分）①他能辨别，他不能这样笼统地概括。
②什么是中国诗的一般印象呢？③一个只读中国诗的人决不会发生这个问题。
④具有文学良心和鉴别力的人像严正的科学家一样，避免泛论、概论这种高帽子、空头大话。
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}AB =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=， 即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D 解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ）A ． 5B ．3C．5D．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，5d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（ ）A ．3B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒， 在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ）A ．3B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（ ）A ．0B．CD．27．答案：B解析：解法1：123410,0a a a a a ======，周期3T =，所以202a a ==解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ== B ．211,312πωϕ==- C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ== 9．答案：D解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．,2⎛-∞- ⎝⎭C ．(0,)+∞D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）A ．1B ．2±C ．12或3 D ．1或212．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x ∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ．14．答案：(0,)e解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t=-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +=，所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因（2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA =（2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πC B B C B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin 116626πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=-=-- ⎪⎝⎭由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， 故25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀． （1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.6P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============所以X 的分布列为3271519()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分） 19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B OCC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B 1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OC OA 的方向为x轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),CB A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，1111130AB m x AC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,m =．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =， 于是cos ,55m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值．20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令2ln ()(0)1x xg x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==， 所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）． （1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++-⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分）（2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分）（3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭．问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+- ⎪⎝⎭恒成立， 设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<<⎪⎝⎭， 则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤．当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭．于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立．综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c o s ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t解得10x +=， 所以直线l的普通方程为10x +=……………………（5分）（2）把1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==10分） 方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：1212524y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥， 解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。
2018-2019学年河北省衡水中学高三(下)一调数学试卷(理科)(4月份)-教师用卷
2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）一调数学试卷（理科）（4月份）副标题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合,,则( )A. B. C. D. 1,【答案】D【解析】解：因为集合,1,2,,所以1,．故选：D．解一元二次不等式求得A,解指数不等式求得B,再根据两个集合的交集的定义求得．本题考查交集的求法,考查有关集合的运算、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．2.已知a,,i是虚数单位,若,则( )A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】解：因为,结合a,,所以有,解得,所以,故选：C．根据复数相等的充要条件,构造关于a,b的方程组,解得a,b的值,进而可得答案．本题考查的是有关复数的模的问题,涉及到的知识点有复数相等的条件等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．3.给出下列四个结论：命题“,”的否定是“,”；命题“若,则且”的否定是“若,则”；命题“若,则或”的否命题是“若,则或”；若“是假命题,是真命题”,则命题p,q一真一假．其中正确结论的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：命题“,”的否定是“,”；所以正确；命题“若,则且”的否定是“若,则或”,所以不正确；命题“若,则或”的否命题是“若,则且”；所以不正确；“是假命题,是真命题”,则命题p,q一真一假,所以正确；故正确命题的个数为2,故选：B．写出命题“”的否定,可判断的正误；写出命题“若,则且”的否定,可判断的正误；写出命题“若,则或”的否命题,可判断的正误；结合复合命题的真值表,可判断的正误,从而求得结果．本题考查的是有关判断正确命题的个数的问题,涉及到的知识点有命题的否定,否命题,复合命题真值表,属于简单题目．4.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法应用．根据函数的定义域和特值法即可排除A,C,D,从而得到正确选项．【解答】解：因为,函数的定义域为R,且在R上连续,故排除A；且,故排除C,,故排除D,故选：B．5.下列三图中的多边形均为正多边形,M,N是所在边的中点,双曲线均以图中的,为焦点,设图示中的双曲线的离心率分别为,,、则,,的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设等边三角形的边长为2,以底边为x轴,以底边的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则双曲线的焦点为,且过点,到两个焦点,的距离分别是和,,,．正方形的边长为,分别以两条对角线为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,则双曲线的焦点坐标为和,且过点点到两个焦点,的距离分别是和,,,．设正六边形的边长为2,以所在直线为x轴,以的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则双曲线的焦点为和,且过点,点到两个焦点和的距离分别为和2,,,．所以．故选：D．根据题设条件,分别建立恰当的平面直角坐标系,求出图示中的双曲线的离心率,,,然后再判断,,的大小关系．恰当地建立坐标系是正确解题的关键．6.如图所示的程序框图输出的结果是( )A. 2018B.C. 1009D.【答案】C【解析】解：执行如图所示的程序框图知,该程序运行后是计算并输出,当时,终止循环,此时输出．故选：C．模拟执行题目中的程序框图,得出该程序运行后输出的S值．本题考查了程序框图的应用问题,是基础题．7.某几何体的三视图如图所示,图中小方格的长度为1,则该几何体的表面积为( )A. 65B.C.D. 60【答案】D【解析】解：由三视图可知,该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥后所剩的几何体,其中,所以其表面积；故选：D．由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的,根据图中数据,计算表面积．本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积；关键是正确还原几何体的形状．8.五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币若硬币正面朝上,则这个人站起来；若硬币正面朝下,则这个人继续坐着那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：五个人的编号为1,2,3,4,5．由题意,所有事件,共有种,没有相邻的两个人站起来的基本事件有,,,,,,,,,,再加上没有人站起来的可能有1种,共11种情况,没有相邻的两个人站起来的概率为,故选C．求出基本事件的个数,即可求出没有相邻的两个人站起来的概率．本题考查没有相邻的两个人站起来的概率,考查列举法的运用,比较基础．9.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,所以：,则：,所以：,,,,,故选：C．1首先利用余弦定理整理出,进一步利用三角函数关系式的恒等变换,根据关系式的转换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换,同角三角函数关系式的应用,正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型．10.抛物线的焦点为F,设,是抛物线上的两个动点,若,则的最大值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】解：因为,,所以．在中,由余弦定理得：．又．所以,的最大值为,故选：D．利用余弦定理,结合基本不等式,即可求出的最大值．本题考查抛物线的定义,考查余弦定理、基本不等式的运用,属于中档题．11.已知当,时,,则以下判断正确的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：,,又余弦函数是偶函数,；设,,在上是偶函数,且在上是减函数；又,,即．故选：C．根据题意,得出,设,,根据的奇偶性和单调性,即可得出结论．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了转化思想,是中档题．12.若存在一个实数t,使得成立,则称t为函数的一个不动点设函数e为自然对数的底数,定义在R上的连续函数满足,且当时,若存在,且为函数的一个不动点,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】解：令,,,即为奇函数,,且当时,,对恒成立,为奇函数,在R上单调递减,,,即,,即,为函数的一个不动点,即在有解．在R上单调递减．可,．故选：B．构造函数,结合条件证明是奇函数,求函数的导数,研究函数的单调性,结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数与方程的应用,已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路,直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围；分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决；数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解．二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.抛物线的准线方程是______．【答案】【解析】解：因为抛物线的标准方程为：,焦点在y轴上；所以：,即,所以：,准线方程,即．故答案为：．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及,再直接代入即可求出其准线方程．本题主要考查抛物线的基本性质解决抛物线的题目时,一定要先判断焦点所在位置．14.三棱锥中,,,,则该几何体外接球的表面积为_______________．【答案】【解析】【分析】本题考查棱锥外接球的表面积的求法,是中档题．由题意,把三棱锥放到长方体中,利用长方体外接球性质即可得解．【解答】解：三棱锥中,,,,三棱锥放到长方体：如图不难发现：AB,AC,AD分别是长方体的三个面的对角线,即长方体的对角线的平方等于,长方体外接球直径,即,几何体外接球的表面积．故答案为：．15.已知O在内,且：：：3：2,,则______【答案】【解析】解：如图,根据题意不妨设的边,,,,建立如图坐标系,则BC的方程为设O点坐标为,点O在三角形内,故则O到BC的距离则根据：：：3：2,得：：,解得,,,,由,得,解得,,所以：,故填：本题可以采用特值法,设为以,,的直角三角形,建立坐标系进行计算．如何将面积比转化为边的关系是解决问题的关键本题属难题．16.设实数,若对任意的,关于x的不等式恒成立,则的最小值为______．【答案】【解析】解：设,则,令,可得：,由指数函数与反比例函数在第一象限有且只有一个交点,可得：与的图象在第一象限有且只有一个交点,设交点横坐标为m,当时,,单调递增；当时,,单调递减,且,令可得,,．在上单调递增,因为,所以在上单调递增,当时,由可得：,即,时等号成立,所以,即的最小值为,故答案是：．首先将不等式恒成立,转化为的最小值,利用导数研究函数的单调性,从而求得其最值,得到结果．该题考查的是有关利用恒成立问题求参数的最值的问题,涉及到的知识点有利用导数研究不等式恒成立问题,属于较难题目．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列的前n项和满足,且．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ在数列的前100项中,是否存在两项,,且,使得三项成等比数列若存在,求出所有的m,t的取值；若不存在,请说明理由．【答案】解：,,则,．当时,．又符合上式,；若,,三项成等比数列,则,即,即．,,,即．又为3的奇数倍,,5,8,11,验证得,,．【解析】先根据等差数列定义求,再根据项与和的关系求；根据条件化简m,t的关系式,再利用范围限制m取值,即得正整数解．本题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有等差数列的概念,通项公式的求解,数列项与和的关系,关于是否存在类问题的解法,属于中档题．18.某企业为了解年广告费单位：万元对年销售额单位：万元的影响,对近4年的年广告费和年销售额的散点图,并判断与哪一个更适合作为年销售额y关于年广告费x的回归方程类型给出判断即可,不必说明理由．根据的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程．已知商品的年利润z与x,y的关系为根据的结果,计算年广告费x约为何值时小数点后保留两位,年利润的预报值最大附：对于一组数据,,,,其回归直的斜率和截距的最小二乘估计分别为,．【答案】解：作出散点图如图所示,由此判断更适合作为年销售额y关于年广告费x的回归方程类型；计算,,则,,所以回归方程为；由可知年利润z的预报值为,设,则,可得,；故当,即万元时,年利润的预报值最大．【解析】根据题中所给的数据画出散点图,可以发现点落在一条直线的周围,从而判断出更适合作为年销售额y关于年广告费x的回归方程类型；根据数据,利用公式求得回归直线的方程；根据题意,将相应的量代换,求得结果．本题考查了有关统计的应用问题问题,涉及到的知识点有回归类型的选取,散点图的绘制,回归直线的求解等,是中档题．19.如图,在五边形ABCDE中,,,,,将沿AD折起到的位置,得到如图所示的四棱锥,M为线段PC的中点,且平面PCD．求证：平面PAD．若直线PC与AB所成角的正切值为,求直线BM与平面PDB所成角的正弦值．【答案】解：证明：取PD的中点N,连接AN,MN．又M为PC的中点,所以,．又,,所以,．则四边形ABMN为平行四边形,所以．因为平面PAD,平面PAD,所以平面PAD．解：因为平面PCD,,所以平面PCD,所以,．由,即及N为PD的中点,可得为等边三角形,所以．又,所以,即．因为平面PAD,平面PAD,,所以平面PAD．又平面ABCD,所以平面平面ABCD．因为,所以即为直线PC与AB所成的角,所以,所以．设,则,．取AD的中点O,连接PO,过O作交BC于点F,则PO,OF,OA两两垂直．以O为坐标原点,OA,OF,OP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示．则0,,1,,2,,0,,所以1,所以1,,1,,0,设平面PDB的法向量为y,,则,即,令 ,则因为． 所以直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值为． 【解析】 取PD 的中点N ,连接AN ,MN ,可证四边形ABMN 为平行四边形,从而应用线面平行的判定定理证得结果；设 ,取AD 的中点O ,连接PO ,过O 作AB 的平行线,建立空间直角坐标系 ,求出平面PBD 的法向量 ,计算法向量与 的夹角得出结论．该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有线面平行的判定,应用向量法求线面角的正弦值的问题,属于中档题目．20. 如图所示,在 中, ,AB 的中点为O ,点D 在AB 的延长线上,且固定边AB ,在平面内移动顶点C ,使得圆M 与边BC ,边AC 的延长线相切,并始终与AB 的延长线相切于点D ,记顶点C 的轨迹为曲线 以AB 所在直线为x 轴,O 为坐标原点建立平面直角坐标系．Ⅰ 求曲线 的方程；Ⅱ 过点 的直线l 与曲线 交于不同的两点S ,R ,直线SB ,RB 分别交曲线 于点E , 设 , ,求 的取值范围．【答案】解： 如图所示,依题意得 ,,设动圆M 与边AC 的延长线相切于 ,与边BC 相切于 ,则 , , ,．点C 轨迹 是以A ,B 为焦点,长轴长为 的椭圆,且挖去长轴的两个顶点． 则曲线 的方程为：．Ⅱ 设S ,R ,E 的坐标分别为 2, , ．, ,可得． 当直线SB 与x 轴不垂直时,直线SB 的方程为：,即．代入椭圆方程整理化为：．则,即． 当直线 轴时,直线SB 的方程为： , ,满足上式 即 ． 同理可得： ．设直线l的方程为：代入椭圆方程整理为：．由,,解得：．由．则．,．【解析】如图所示,依题意得,,设动圆M与边AC的延长线相切于,与边BC相切于,可得,,,可得利用椭圆的定义标准方程即可得出．Ⅱ设S,R,E的坐标分别为2,,由,可得当直线SB与x轴不垂直时,直线SB的方程为：,即代入椭圆方程整理化为：利用根与系数的关系可得当直线轴时,直线SB的方程为：,,满足上式同理可得：设直线l的方程为：代入椭圆方程整理为：再利用根与系数的关系即可得出．本题考查了圆的标准方程及其切线性质、椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、分类讨论方法、转化法,考查了推理能力与计算能力,属于难题．21.已知函数有两个不同的极值点,Ⅰ求实数a的取值范围；Ⅱ设,讨论函数的零点个数．【答案】解：,因为有两个不同的极值点,则有两个不同的零点．令,则,即,设,则直线与函数的图象有两个不同的交点．,由,得,即,所以在上单调递增,在上单调递减,从而．因为当时,；当时,；当时,,所以a的取值范围是．因为,为的两个极值点,则,为直线与曲线的两个交点的横坐标,由可知,且,因为当或时,,即；当时,,即,则在,上单调递减,在上单调递增,所以的极小值点为,极大值点为,当时,因为,,,则,所以在区间内无零点,因为,,则当,即时,．又,则,所以．此时,在和内各有1个零点,且,当,即时,,此时在内有1个零点,且, 当,即时,,此时在内无零点,且,综上分祈,当时,有2个零点；当时,有1个零点；当时,没有零点．【解析】Ⅰ根据函数极值与导数之间的关系,进行求解即可．Ⅱ求的解析式,求函数的导数,根据函数单调性极值关系判断函数零点个数即可．本题主要考查函数零点的判断以及函数极值与单调性之间的关系,利用导数是解决本题的关键考查学生的运算能力,综合性较强,有一定的难度．22.在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为为参数,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线、的公共点为A、B．Ⅰ求直线AB的斜率；Ⅱ若点C、D分别为曲线、上的动点,当取最大值时,求四边形ACBD的面积．【答案】解：曲线的参数方程为为参数,消去参数化为：．曲线的极坐标方程为,即,化为普通方程：．上述两个方程相减可得：．则直线AB的斜率为2．Ⅱ当且仅当直线CD经过两个圆的圆心时,线段CD取得最大值,此时．．直线的方程为：,可得．当取最大值时,四边形ACBD的面积．【解析】曲线的参数方程为为参数,利用平方关系消去参数化为普通方程,曲线的极坐标方程为,即,利用互化公式可得普通方程上述两个方程相减可得直线AB的方程及其斜率．Ⅱ当且仅当直线CD经过两个圆的圆心时,线段CD取得最大值,此时直线的方程为：,可得利用弦长公式可得,当取最大值时,四边形ACBD的面积．本题考查了直线与圆的参数方程极坐标方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．23.设的最小值为m．求m的值；设a、,,求的最小值．【答案】解：由根据图象可知最小值为．由,可得,那么：当且仅当时取等号即的最小值为．【解析】利用零点取绝对值,即可求解最小值；构造基本不等号式,利用乘以“1”法求解即可；本题主要考查函数最值的求解,根据基本不等式的性质以及零点分段法是解决本题的关键．。
2018届河北省衡水中学高三下学期一调考试文科数学试题及答案 精品
2018～2018学年度下学期一调考试 高三年级数学（文科）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1、已知20<<a ，复数z 的实部为a ，虚部为1，则||z 的取值范围是( )A ．(1，5)B ．(1，3)C ．)5,1(D ．)3,1( 2、设集合}0)3)(1(|{},06|{2≤--=<-+∈=x x x P x x N x M ，则=⋂P M （ ）A ．)2,1[B ．[1，2]C ． }2,1{D ． }1{ 3、已知命题p ：“若直线01=++y ax 与直线01=++ay x 垂直，则1-=a ”； 命题q ：“3131b a >是b a >的充要条件”，则（ ）A ．q ⌝真B ．p ⌝真C ．q p ∧真D ．q p ∨假 4、在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力( ) A ．平均数与方差 B ．回归直线方程 C ．独立性检验 D ．概率5、等差数列}{n a 中，18,269371=+=+a a a a ，则数列}{n a 的前9项和为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 6、定义在R 上图像为连续不断的函数y=f(x)满足f(－x)＝－f(x ＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f(x 1)＋f(x 2)的值 ( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负7、如图给出的是计算20141 (614121)++++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）A.2014i ≤B.2014i ＞C.1007i ≤D.1007i ＞（第7题图） （第8题图） 8、一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如上图所示，该四棱锥侧面积和 体积分别是（ ）A. 8,8B.C. 81),3D. 839、ABC ∆外接圆半径等于1，其圆心O 满足||||),(21=+=，则向量在方向上的投影等于（ ）A ．23-B ．23C ．23D ．310、过x 轴正半轴上一点0(,0)M x ,作圆22:(1C x y +=的两条切线,切点分别为,A B ,若||AB ≥则0x 的最小值为（ ） A ．1BC ．2D ．311、过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左焦点1F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于点P ，若线段1PF 的中点在y 轴上，则此双曲线的离心率为（ ）C.3 12、定义域为R 的偶函数()f x 满足对x R ∀∈，有(2)()(1)f x f x f +=+，且当[2,3]x ∈ 时，2()21218f x x x =-+-，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在R 上恰有六个零点，则a 的取值范 围是 （ ）A. B. )1,55( C. )33,55( D. )1,33( 第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13、某医院近30天每天因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数依次构成数列{}n a ，己知2,121==a a ，且满足()n n n a a 112-+=-+，则该医院30天内因患H1N1流感就诊的人数共有 ．14、在区间[0,1]内任取两个数b a ,，能使方程022=++b ax x 两根均为实数的概率为 .15、四面体BCD A -中，,5,4======BD AD AC BC CD AB 则四面体外接球的表面积为 ． 16、对于函数x x x f sin )(=，)2,0()0,2(ππ⋃-∈x ，对于区间)2,0()0,2(ππ⋃-上的任意实数21,x x ，有如下条件：||)5(;0)4(;||)3(;)2(;)1(212121222121x x x x x x x x x x ><+>>>，其中能使)()(21x f x f <恒成立的条件的序号有_________。
(word完整版)河北省衡水中学2018年高三下学期期初试卷
第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分.满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. £ 19.15.B. £ 9.18.C. £ 9.15.答案是C。
1. When did the taxi arrive?A. At 7:10.B. At 7:25.C. At 7:45.2. How is Frank getting on with his project?A. Very poorly.B. Quite smoothly.C. Just so-so.3. Where does the conversation probably take place?A. In a bank.B. In a shop.C. In a restaurant.4. What are the speakers talking about?A. A website.B. A PPT.C. Some photos.5. What will the man do?A. Go to the party.B. Watch a DVD.C. Attend his brother.第二节（共15小题;每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6、7题。
6. What is the probable relationship between the speakers?A. Boss and employee.B. Husband and wife.C. Colleagues.7. Why does Dave go to Seattle?A. To get a new job.B. To look after his daughter.C. To attend a party.听第7段材料，回答第8、9题。
{衡水金卷}2018届河北省高考一模数学试题(文)及答案解析
2018届高三毕业班第一次模拟演练文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}lg 2M x y x ==+，{}21x N y y ==-，则M N =U （ ） A ．R B ．()1,-+∞ C ．()2,-+∞ D ．[)2,-+∞2．已知i 为虚数单位，复数3i 2iz =-，则z 的实部与虚数之差为（ ）A ．15-B ．35 C ．35- D ．153．已知圆锥曲线()22102cos x y θπθ+=<<=θ（ ）A ．6π B ．56π C ．3π D ．23π4．已知等比数列{}n a 中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =（ ） A ．2± B ．-2 C ．2 D ．4 5．已知命题p ：“001,01x x ∃∈<-R ”的否定是“1,01x x ∀∈≥-R ”；命题q ：“2019x >”的一个必要不充分条件是“2018x >”，则下列命题为真命题的是（ ） A ．q ⌝ B ．p q ∧ C ．()p q ⌝∧ D ．()p q ∨⌝6．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），上底宽2丈，长3丈；下底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（ ）A ．13.25立方丈B ．26.5立方丈C ．53立方丈D ．106立方丈7．如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，若从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（ ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．458．执行上面的程序框图，若输出的S 值为-2，则①中应填（ ）A ．98?n <B ．99?n <C ．100?n <D ．101?n < 9．已知一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．(2116π+B ．(2124π++C ．16+D ．8163π+10．已知函数()()2cos 0f x x ωω=->的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位，所得的部分函数图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．6πB ．56π C ．12π D ．512π 11．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos sin a B B b c +=+，1b =，点D 是ABC ∆的重心，且AD =，则ABC ∆的外接圆的半径为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．若函数()y f x =满足：①()f x 的图象是中心对称图形；②若x D ∈时，()f x 图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数M ，则称()f x 是区间D 上的“M 对称函数”.若函数()()()310f x x m m =++>是区间[]4,2-上的“M 对称函数”，则实数M 的取值范围是（ ）A．)⎡+∞⎣B．)+∞ C．(D．()+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知()4tan 3απ-=-，则22sin 2cos sin 2ααα-= ． 14．若幂函数()16=3a f x ax+的图象上存在点P ，其坐标(),x y 满足约束条件2,6,,y x x y y m -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为 ．15．已知在直角梯形ABCD 中，22AB AD CD ===，90ADC ∠=︒，若点M 在线段AC 上，则MB MD +uuu r uuu r的取值范围为 ．16．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为1l ，直线2l 与抛物线C 相切于点P ，记点P 到直线1l 的距离为1d ，点F 到直线2l 的距离为2d ，则212d d +的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n S an =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()221161n n n n a b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 18． 在矩形ABCD 中，3AB =，2AD =，点E 是线段CD 上靠近点D 的一个三等分点，点F 是线段AD 上的一个动点，且()01DF DA λλ=≤≤.如图，将BCE ∆沿BE 折起至BEG ∆，使得平面BEG ⊥平面ABED .（1）当12λ=时，求证：EF BG ⊥； （2）是否存在λ，使得三棱锥D EFG -与三棱锥B EFG -的体积之比为14：？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.19． 某公司在某条商业街分别开有两家业务上有关联的零售商店，这两家商店的日纯利润变化情况如下表所示：（1）从这几天的日纯利润来看，哪一家商店的日平均纯利润多些？（2）由表中数据可以认为这两家商店的日纯利润之间有较强的线性相关关系. （ⅰ）试求y 与x 之间的线性回归方程；（ⅱ）预测当B 店日纯利润不低于2万元时，A 店日纯利润的大致范围（精确到小数点后两位）；（3）根据上述5日内的日纯利润变化情况来看，哪家商店经营状况更好？附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，()()()1122211ˆn ni iiii i nni ii i x y nx y x x yyb x nxx x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：()()510.691ii i x x yy =--=∑，521()0.5ii x x =-=∑. 20． 已知圆C 的圆心为原点，其半径与椭圆22:143x y D +=的左焦点和上顶点的连线线段长度相等. （1）求圆C 的标准方程；（2）过椭圆右焦点的动直线2l （其斜率不为0）交圆C 于,A B 两点，试探究在x 轴正半轴上是否存在定点E ，使得直线AE 与BE 的斜率之和为0？若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由. 21． 已知函数()2e x f x ax =（a ∈R ，e 为自然对数的底数）. （1）当0a ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()e 1e x x f x x ++≥在区间(],0-∞上恒成立，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程是sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为1cos ,sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0r >）. （1）若直线l 与圆C 有公共点，求实数r 的取值范围；（2）当2r =时，过点()2,0D 且与直线l 平行的直线l '交圆C 于,A B 两点，求11DA DB-的值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =++-. （1）解不等式()3f x ≤；（2）若函数()2201822019g x x a x =--+-，若对于任意的1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.衡水金卷·2018届高三模拟联考（一）文数答案一、选择题1-5:CBDCC 6-10:BDBAC 11、12：AA 二、填空题 13．112 14．2 15．⎣ 16．12 三、解答题 17．解：（1）由12n n S an =+，得()21n n S n a =+， 当2n ≥时，112n n S na --=， 两式相减，得()121n n a a n n n -=≥-，又121a =，∴2na n=，∴()2n a n n =∈*N . （2）由（1）知，()221161n n n n a b a a ++==()()2222211111n n n n n +=-++， ∴12222111123n n T b b b n =+++=--++L L ()()()22221121111n n n n n +-=-=+++. 18．解：（1）当12λ=时，点F 是AD 的中点. ∴112DF AD ==，113DE CD ==，90ADC ∠=︒，∴45DEF ∠=︒. ∵223CE CD ==，2BC =，90BCD ∠=︒， ∴45BEC ∠=︒. ∴BE EF ⊥.又平面GBE ⊥平面ABED ，平面GBE I 平面ABED BE =，EF ⊂平面ABED ， ∴EF ⊥平面BEG . ∵BG ⊂平面BEG ， ∴EF BG ⊥.（2）∵2DF DA λλ==，∴1122DEF S λλ∆=⨯⨯=， ()11322BEF ABF DEFABED S S S S ∆∆∆=--=⨯+⨯梯形()1322122λλλ-⨯⨯--=+， 由::D EFG B EFG G DEF G BEF V V V V ----=()::1214DFE BEF S S λλ∆∆==+=：，解得12λ=， ∴当12λ=时，三棱锥D EFG -与三棱锥B EFG -的体积之比为1:4.19．解：（1）由题意，可知0.20.50.80.9 1.10.75x ++++==（万元）；0.230.220.51 1.50.695y ++++==（万元）.所以从平均水平来讲，A 家商店的日平均纯利润要更多些.（2）（ⅰ）根据题意，得()()()51521ˆ 1.382iii ii x x y y bx x ==--==-∑∑，所以ˆ0.69 1.3820.70.2774a=-⨯=-， 所以y 与x 之间的回归方程为ˆ 1.3820.2774yx =-. （ⅱ）令2y ≥，得1.3820.27742x -≥， 解得 1.65x ≥，即B 店日纯利润不低于2万元时，A 店日纯利润大约不低于1.65万元.（3）A 店的日纯利润的方差为()()()222210.20.70.50.70.80.75A s ⎡=⨯-+-+-+⎣()()220.90.7 1.10.70.1⎤-+-=⎦， B 店的日纯利润的方差为()()()222210.230.690.220.690.50.695Bs ⎡=⨯-+-+-+⎣()()2210.69 1.50.690.24⎤-+-≈⎦. 因为,x y 相差不大，但22A B s s <，所以A 店日纯利润更集中一些，故从日纯利润变化情况来看，A 店经营状况更好.20．解：（1）由题知，椭圆22:143x y D +=的左焦点为()1,0-，上顶点为(，故圆的半径2r ==，所以圆C 的标准方程为224x y +=. （2）假设存在符合条件的点E . 设(),0E t ，()11,A x y ，()22,B x y ， 当直线2l 的斜率存在时， 设直线2l 的方程为()1y k x =-.由()224,1,x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+.由0AE BE k k +=，得12120AE BE y yk k x t x t=-⇒+=--， 即()()1212121102k x k x x x x t x t --+=⇒--()()12120t x x t -+++=⇒()()2222242120411k k t t t k k -+-+=⇒=++.即()4,0E .当直线2l的斜率不存在时，直线2l 的方程为1x =，与圆C的交点坐标分别为(，(1,，显然满足0AE BE k k +=.所以当点E 为()4,0时，0AE BE k k +=.21．解：（1）由题知，()22e e x x f x ax ax '=+=()()2e 2e 2x x a x x a x x +=+. 当0a >时，令()0f x '>，得0x >或2x <-.所以函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-，()0,+∞，单调递减区间为()2,0-. 当0a <时，令()0f x '>，得20x -<<.所以函数()f x 的单调递减区间为(),2-∞-，()0,+∞，单调递增区间为()2,0-. （2）()e 1e x x f x x ++≥⇒()2e 110x ax x +-+≥. 依题意，当0x ≤时，()2e 110x ax x +-+≥， 即当0x ≤时，2110e xax x +-+≥. 设()211ex h x ax x =+-+， 则()121e x h x ax '=+-11222e x ax ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 设()1122e x m x ax =+-， 则()12e x m x a '=+.①当12a ≥-时，当0x <时，112e 2x >，从而()0m x '>，∴()1122ex m x ax =+-在区间(),0-∞上单调递增，又∵()00m =，∴当0x <时，()0m x <，从而当0x <时，()0h x '<， ∴()211e xh x ax x =+-+在区间(),0-∞上单调递减， 又∵()00h =，从而当0x ≤时，()0h x ≥， 即2110e xax x +-+≥. 于是当0x ≤时，()e 1e x x f x x ++≥； ②当12a <-时，令()0m x '=，得102ex a +=， ∴1ln 02x a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 当1ln ,02x a ⎛⎫⎛⎫∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0m x '<，∴()1122e x m x ax =+-在区间1ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减， 又∵()00m =，∴当1ln ,02x a ⎛⎫⎛⎫∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0m x >， 从而当1ln ,02x a ⎛⎫⎛⎫∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>， ∴()211e x h x ax x =+-+在区间1ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增， 又∵()00h =， 从而当1ln ,02x a ⎛⎫⎛⎫∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x <，即2110e xax x +-+<，不合题意. 综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.22．解：（1）由sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin coscos sin133ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112y x =，故直线l 20y -+=. 由1cos ,sin ,x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩得1cos ,sin ,x r y r ϕϕ-=⎧⎨=⎩所以圆C 的普通方程为()2221x y r -+=.若直线l 与圆C 有公共点，则圆心()1,0到直线l 的距离d r =≤，即r ≥，故实数r 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭. （2）因为直线l '的倾斜角为3π，且过点()2,0D ，{衡水金卷}2018届河北省高考一模数学试题（文）及答案解析11 所以直线l '的参数方程为2,2tx y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），①圆C 的方程为()2214x y -+=，②联立①②，得230t t +-=，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则121t t +=-，123t t =-， 故12121113DB DAt t DA DB DA DB t t -+-===⋅.23．解：（1）依题意，得()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩由()3f x ≤，得1,233x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≤⎩或11,223x x ⎧-<<⎪⎨⎪+≤⎩或1,3 3.x x ≥⎧⎨≤⎩解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{}11x x -≤≤.（2）由（1）知，()min 1322f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()2201822019g x x a x =--+-≥22018220191x a x a ---+=-， 则312a -≤， 解得1522a -≤≤，即实数a 的取值范围为15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
河北省衡水一中2018届高三上学期一调数学试卷文科 含
2018-2018学年河北省衡水一中高三（上）一调数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}2．复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．下列函数为奇函数的是（）A．2x﹣B．x3sinx C．2cosx+1 D．x2+2x4．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．设a=40.1，b=log40.1，c=0.40.2则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a6．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．127．已知函数f（x）=cos（x+）sinx，则函数f（x）的图象（）A．最小正周期为T=2πB．关于点（，﹣）对称C．在区间（0，）上为减函数D．关于直线x=对称8．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A．B．C．D．9．设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．1 B．C．D．10．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．2log23 B．log27 C．3 D．211．一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A． B．C．D．0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=2018sinx+x2018+2018tanx+2018，且f（﹣2018）=2018，则f=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=．15．不等式e x≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为．16．已知△ABC的三边a，b，c满足+=，则角B=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．19．已知函数f（x）=lnx﹣，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为，求a的值．20．如图所示，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为20千米和50千米．某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．（1）设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；（2）求P到海防警戒线AC的距离（结果精确到0.01千米）．21．已知函数f（x）=x﹣﹣（a+1）lnx（a∈R）．（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）≤x恒成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+2=0．（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所对直线l′与圆C相切，求h．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2018-2018学年河北省衡水一中高三（上）一调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}【考点】交集及其运算．【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选B2．复数=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．【解答】解：===i，故选：A3．下列函数为奇函数的是（）A．2x﹣B．x3sinx C．2cosx+1 D．x2+2x【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数的奇偶性的定，对各个选项中的函数进行判断，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=2x﹣，由于f（﹣x）=2﹣x﹣=﹣2x=﹣f（x），故此函数为奇函数．对于函数f（x）=x3sinx，由于f（﹣x）=﹣x3（﹣sinx）=x3sinx=f（x），故此函数为偶函数．对于函数f（x）=2cosx+1，由于f（﹣x）=2cos（﹣x）+1=2cosx+1=f（x），故此函数为偶函数．对于函数f（x）=x2+2x，由于f（﹣x）=（﹣x）2+2﹣x=x2+2﹣x≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），故此函数为非奇非偶函数．故选：A．4．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直接根据必要性和充分判断即可．【解答】解：设x＞0，y∈R，当x=0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，而“x＞|y|”⇒“x＞y”，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，故选：C．5．设a=40.1，b=log40.1，c=0.40.2则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】判断三个数的范围，即可判断三个数的大小．【解答】解：a=40.1＞1；b=log40.1＜0；c=0.40.2∈（0，1）．∴a＞c＞b．故选：C．6．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x 2+y 2的最大值是10． 故选：C ．7．已知函数f （x ）=cos （x +）sinx ，则函数f （x ）的图象（ ）A ．最小正周期为T=2πB ．关于点（，﹣）对称C ．在区间（0，）上为减函数 D ．关于直线x=对称【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性，得出结论【解答】解：∵函数f （x ）=cos （x +）sinx=（cosx ﹣sinx ）•sinx=sin2x ﹣•=（sin2x +cos2x ）﹣=sin （2x +）+，故它的最小正周期为=π，故A 不正确；令x=，求得f （x ）=+=，为函数f （x ）的最大值，故函数f （x ）的图象关于直线x=对称，且f （x ）的图象不关于点（，）对称，故B 不正确、D 正确；在区间（0，）上，2x +∈（，），f （x ）=sin （2x +）+为增函数，故C 不正确， 故选：D ． 8．已知＜α＜π，3sin2α=2cos α，则cos （α﹣π）等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件求得sin α 和cos α 的值，再根据cos （α﹣π）=﹣cos α求得结果．【解答】解：∵＜α＜π，3sin2α=2cos α，∴sin α=，cos α=﹣．∴cos （α﹣π）=﹣cos α=﹣（﹣）=，故选：C ．9．设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．1 B．C．D．【考点】函数的值；分段函数的应用．【分析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．【解答】解：函数f（x）=，若f（f（））=4，可得f（）=4，若，即b≤，可得，解得b=．若，即b＞，可得，解得b=＜（舍去）．故选：D．10．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．2log23 B．log27 C．3 D．2【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S=×的值，即可求得S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S=×的值，由于S=×=×==3．故选：C．11．一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体是三棱柱割去一个同底等高的三棱锥所得，因此求几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，几何体是底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为1的三棱柱割去一个同底等高的三棱锥所得，所以体积为；故选B．12．设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A． B．C．D．0【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论．【解答】解：由题意，设与的夹角为α，分类讨论可得①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2，不满足②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cosα，不满足；③•+•+•+•=4•=8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=∴与的夹角为．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=2018sinx+x2018+2018tanx+2018，且f（﹣2018）=2018，则f解析式可以看出函数f（x）﹣2018为奇函数，从而便有f（﹣2018）﹣2018=﹣[f的值解出f﹣2018=2018sinx+x2018+2018tanx，∴f（x）﹣2018为奇函数；∴f（﹣2018）﹣2018=﹣[f=2018；∴f已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），解得a=1．故答案为：1．15．不等式e x≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为e．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得f（x）=e x﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，求出f（x）的导数，求得单调区间，讨论k，可得最小值，解不等式可得k的最大值．【解答】解：不等式e x≥kx对任意实数x恒成立，即为f（x）=e x﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，由f（x）的导数为f′（x）=e x﹣k，当k≤0，e x＞0，可得f′（x）＞0恒成立，f（x）递增，无最大值；当k＞0时，x＞lnk时f′（x）＞0，f（x）递增；x＜lnk时f′（x）＜0，f（x）递减．即有x=lnk处取得最小值，且为k﹣klnk，由k﹣klnk≥0，解得k≤e，即k的最大值为e，故答案为：e．16．已知△ABC的三边a，b，c满足+=，则角B=．【考点】余弦定理．【分析】化简所给的条件求得b2=a2+c2﹣ac，利用余弦定理求得cosB=的值，可得B的值．【解答】解：△ABC的三边a，b，c满足+=，∴+=3，∴+=1，∴c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），即b2=a2+c2﹣ac，∴cosB==，∴B=，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣318．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．【考点】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，∴cosB=，∴B=．（2）∵cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．19．已知函数f（x）=lnx﹣，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为，求a的值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出导数，由直线垂直的条件得f'（1）=﹣1，即可得到a，再令导数小于0，解出即可，注意定义域；（2）对a讨论，①当0＜a≤1时，②当1＜a＜3时，③当a≥3时，运用导数判断单调性，求出最小值，解方程，即可得到a的值．【解答】解：（x＞0），（1）因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，所以f'（1）=﹣1，即1﹣a=﹣1解得a=2；当a=2时，，．令，解得0＜x＜2，所以函数的递减区间为（0，2）；（2）①当0＜a≤1时，f'（x）＞0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为增函数则f（x）min=f（1）=a﹣1令，得（舍去），②当1＜a＜3时，由f'（x）=0得，x=a∈（1，3）由于对于x∈（1，a）有f'（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，对于x∈（a，3）有f'（x）＞0，f（x）在[a，3]上为增函数，则f（x）min=f（a）=lna，令，得，③当a≥3时，f'（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，故．令得a=4﹣3ln3＜2（舍去）综上，．20．如图所示，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为20千米和50千米．某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．（1）设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；（2）求P到海防警戒线AC的距离（结果精确到0.01千米）．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）根据题意可用x分别表示PA，PC，PB，再利用cos∠PAB求得AB，同理求得AC，进而根据cos∠PAB=cos∠PAC，得到关于x的关系式，求得x．（2）作PD⊥AC于D，根据cos∠PAD，求得sin∠PAD，进而求得PD．【解答】解：（1）依题意，有PA=PC=x，PB=x﹣1.5×8=x﹣12．在△PAB中，AB=20=同理，在△PAB中，AC=50=∵cos∠PAB=cos∠PAC，∴解之，得x=31．（2）作PD⊥AC于D，在△ADP中，由得∴千米答：静止目标P到海防警戒线AC的距离为18.33千米．21．已知函数f（x）=x﹣﹣（a+1）lnx（a∈R）．（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）≤x恒成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负确定取得函数的单调区间；（Ⅱ）f（x）≤x恒成立可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，构造函数φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，求导函数，分类讨论，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1）当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得，0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0得，a＜x＜1 故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）…（2）当a=1时，f′（x）≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）…（Ⅱ）f（x）≤x恒成立可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，…求导函数可得：φ′（x）=（a+1）（1+lnx）当a+1＞0时，在时，φ′（x）＜0，在时，φ′（x）＞0∴φ（x）的最小值为，由得，故当时f（x）≤x恒成立，…当a+1=0时，φ（x）=﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…当a+1＜0时，取x=1，有φ（1）=a＜﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…综上所述当时，使f（x）≤x恒成立．…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B、C两点．（Ⅰ）证明：O，D，B，C四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连结OA，则OA⊥EA．由已知条件利用射影定理和切割线定理推导出=，由此能够证明O，D，B，C四点共圆．（Ⅱ）连结OB．∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，能求出∠OEC的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连结OA，则OA⊥EA．由射影定理得EA2=ED•EO．由切割线定理得EA2=EB•EC，∴ED•EO=EB•EC，即=，又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，∴∠EDB=∠OCE．∴O，D，B，C四点共圆．…（Ⅱ）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，结合（Ⅰ）得：∠OEC=180°﹣∠OCB﹣∠COE=180°﹣∠OBC﹣∠DBE=180°﹣∠OBC﹣=∠DBC﹣∠ODC=20°．∴∠OEC的大小为20°．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+2=0．（Ⅰ）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线l向右平移h个单位，所对直线l′与圆C相切，求h．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）根据ρ2=x2+y2，ρsinθ=y代入到圆的极坐标方程即可．（Ⅱ）设平移过的直线l'的参数方程为：（t为参数），将其代入到圆的方程，根据相切的位置关系，即△=0，解出h．【解答】解：（Ⅰ）因为ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，所以圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y+2=0．（Ⅱ）平移直线l后，所得直线l′的（t为参数）．代入圆的方程，整理得，2t2+2（h﹣12）t+（h﹣10）2+2=0．因为l′与圆C相切，所以△=4（h﹣12）2﹣8[（h﹣10）2+2]=0，即h2﹣16h+60=0，解得h=6或h=10．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，a∈R，g（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；（Ⅱ）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由g（x）≤5求得﹣2≤x≤3；由f（x）≤6可得a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，得出结论．（Ⅱ）根据题意可得f（x）+g（x）≥|a﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，可得|a﹣1|+a ≥3 由此求得所求的a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当g（x）≤5时，|2x﹣1|≤5，求得﹣5≤2x﹣1≤5，即﹣2≤x≤3．由f（x）≤6可得|2x﹣a|≤6﹣a，即a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3．根据题意可得，a﹣3≤﹣2，求得a≤1，故a的最大值为1．（Ⅱ）∵当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|+a≥|2x﹣a﹣2x+1|+a≥|a﹣1|+a，f（x）+g（x）≥3恒成立，∴|a﹣1|+a≥3，∴a≥3，或．求得a≥3，或2≤a＜3，即所求的a的范围是[2，+∞）．2018年1月2日。
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)最新修正版
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}A B =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=， 即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D 解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ） A ． 5 B ．3CD．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，5d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（ ）A ．3 B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒， 在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ） A ．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（ ）A ．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D 解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞ B．,⎛-∞ ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ） A ．1 B ．2±C ．12或3 D ．1或212．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x ∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ．14．答案：(0,)e解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t=-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因2（1）求角A 的大小； （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA =（2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πC B B C B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭ 由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B 1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OC OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，11111300AB m xAC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=--=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,m =．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =， 于是cos ,55m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值． 20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令 2ln ()(0)1x x g x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==，所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）． （1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； （3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分） （2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分） （3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭． 问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+-⎪⎝⎭恒成立， 设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭， 则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤． 当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭． 于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立． 综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c os ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t解得10x +=， 所以直线l的普通方程为10x +=……………………（5分）（2）把1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==………………（10分） 方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：12125,24y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。
河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期一模考试数学(文)试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}|20,|A x x B x x a =-<=<，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．[)2,-+∞ C ．(],2-∞ D ．[)2,+∞ 【答案】D考点：集合的运算.2.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB，则12z z +=（ ）A ．2B ．3C ． ．【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，122,z i z i =--=，所以1222z z +=-=，故选A. 考点：复数的表示与复数的模.3.已知平面直角坐标系内的两个向量，()()1,2,,32a b m m ==-，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+（,λμ为实数），则m 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),-∞+∞D ．(),2-∞()2,⋃+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+（,λμ为实数），则,a b一定不共线，所以1232m m ≠-，解得2m ≠，所以m 的取值范围是(),2-∞()2,⋃+∞，故选D.考点：向量的坐标运算. 4.如图所示的是计算111124620++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内填入的条件是（ ）A ．8i >B ．9i >C ．10i >D ．11i >【答案】C考点：循环结构的程序框图的计算.5.将函数()cos f x x x -的图像向左平移m 个单位（0m >），若所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．23π B ．3π C ．8π D ．56π【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数()cos sin()6f x x x x π=-=-，将函数()sin()6f x x π=-的图象向左平移m 个单位（0m >），得()sin()6f x x m π=+-，若使得()sin()6f x x m π=+-为偶数，则2,623m k m k k Z πππππ-=+⇒=+∈,当1k =时，23m π=，故选A.考点：三角函数的图象变换与三角函数的性质. 6.已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为（ ）A ． 2B ． 4C ． 8D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，246516a a a ==，所以54a =±，因为32a =，所以54a =，所以2532a q a ==，又91141012115768114a a a q a q q a a a q a q--===--，故选B. 考点：等比数列的通项公式的应用.7.某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生①该抽样一定不是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样；③该抽样不可能是分层抽样；④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率，其中说法正确的为（ ） A ．①②③ B ．②③ C ． ③④ D ．①④ 【答案】B考点：抽样的应用.8.已知点Q 在椭圆22:11610x y C +=，点P 满足()112OP OF OQ =+ （其中O 为坐标原点，1F 为椭圆C 的左焦点），则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 满足()112OP OF OQ =+（其中O 为坐标原点，所以点P 是1QF 的中点，设(,)P a b ，由于1F 为椭圆22:11610x y C +=的左焦点，则1(F ，故)2b Q ，由点Q 在椭圆22:11610x y C +=上，则点P 的轨迹方程为2140b C +=，故选D. 考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质.9.已知一个几何体的三视图的如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3272π-B ．3182π- C ．273π- D ．183π- 【答案】B考点：几何体的三视图及体积的计算.10.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，,1,AC BC AC BC PA ⊥===外接球的表面积为（ ）A ．5π BC ．20πD ．4π 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，所以BC ⊥平面,PAC PB 是三棱锥P ABC -的外接圆的直径，因为Rt PBA ∆中，AB PA =PB =接球的半径为R =，所外接球的表面积为245S R ππ==，故选A.考点：球的组合体及球的表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式，同时考查了推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据题意，证得BC ⊥平面,PAC PB 是三棱锥P ABC -的外接圆的直径，利用勾股定理几何体题中数据算得球的直径，得到球的半径，即可求解球的表面积. 11.若函数[])111sin 20,y x x π=∈，函数223y x =+，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）A．12 B ．()21872π+ C ．()21812π+ D．()21572π-【答案】B考点：利用导数研究曲线在某点处的切线；利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线、利用导数求闭区间上函数的最值，体现了导数的综合应用，其中利用平移切线法求直线和正弦函数距离的最小值是解决本题的关键，同时着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用，本题的解答中根据平移切线法，求出和直线3y x =+平行的切线或切点，利用点到直线的距离公式即可求解结论.12.已知,x y R ∈，且4300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则存在R θ∈，使得()4cos sin 0x y θθ-++=的概率为 （ ） A ．4π B ． 8π C ．24π- D ．18π-【答案】考点：简单的线性规划的应用.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划的应用，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想和数形结合思想的应用，本题的解答中作出不等式组表示的平面区域，利用辅助角公式将条件进行化简，转化为()2242x y -+≥，对应的图象是以(4,0)为圆心，半径r =的圆的外部，求出对应饿平面区域的面积即可求得结论.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知()22:12,:210,0p x q x x a a -≤-+-≥>，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(]0,2考点：充分不必要条件的应用．14.已知函数()f x =[)0,+∞，则实数m 的取值范围是 . 【答案】[][)0,19,⋃+∞ 【解析】试题分析：由题意得，函数()f x =[)0,+∞，则当0m =时，函数()f x =[)0,+∞，显然成立；当0m >时，则2(3)40m m ∆=--≥，解得01m <≤或9m ≥，综上可知实数m 的取值范围是[][)0,19,⋃+∞. 考点：函数的值域及二次函数的性质.15.若点P 是以12,F F 为焦点的双曲线22221x y a b-=上一点，满足12PF PF ⊥，则122PF PF =，则次双曲线的离心率为 .考点：双曲线的定义及简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义及其简单的几何性质、离心率的求解，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力，解答的关键是抓住要求离心率的定义，利用题设条件建立,,a b c 的关系式，即可求解ca的值，得到双曲线的离心率，本题的解答中根据双曲线的定义和题设条件，可得12,PF PF ，在直角三角形中，利用勾股定理得到,,a b c 的关系式. 16.已知函数()()2cos 10,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=++>><< ⎪⎝⎭的最大值为3，()f x 的图像与y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 ()()()()1232016f f f f +++= .【答案】4032 【解析】 试题分析：因为()()21cos(22)cos 112wx f x A x A ϕωϕ++=++=⋅+cos(22)122A Awx ϕ=+++的最大值为3，所以1322A A++=，所以2A =，根据函数相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即24w π=，所以4w π=，故函数的解析式为()cos()2sin 2222f x x x πππ=++=-+，所以()()()()1232016f f f f +++[sin sin(2)sin(3)sin(2015)sin(2016)]2201604032403222222πππππ-+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=+= .考点：二倍角公式；三角函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了二倍角公式、三角函数sin()y A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查分析问题、解答问题的能力和运算能力，属于中档试题，本题的解答中，由函数的最值求出A 的值，在根据相邻两条对称轴间的距离，求出函数的周期，确定w 的值，根据特殊点的坐标求解ϕ的值，确定函数的解析式，再利用三角函数的周期性求解相应式子的值. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项()113,3n n n a a S n N ++≠=+∈． （1）求证：{}3nn S -是等比数列；（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）()9,-+∞.试题解析：（1）()13nn n a S n N ++=+∈ ，()1+1+1=233=23n n n n n n n SS S S +∴+∴--13a ≠ ，∴数列3n n S -是公比为2，首项为13a -的等比数列；（2）由（1）得()11332nn n S a --=-⨯，()11323n n n S a -=-⨯+2n ≥时，()21113223n n n n n a S S a ---=-=-⨯+⨯{}n a 为递增数列，2n ∴≥时，()()1211132233223n n n n a a ----⨯+⨯>-⨯+⨯2n ∴≥时，2213212302n n a --⎡⎤⎛⎫⨯+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦12119,3a a a a ∴>-=+> ，1a ∴的取值范围是()9,-+∞.考点：等比数列的定义及等比数列的性质的应用.18．（本小题满分12分）去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按[)[)[)[)60,70,70,80,80,90,90,100分成四组，其频率分布直方图如下图所示，集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为,,,A B C D 四个等级，等级评定标准如 下表所示.（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A 等级的概率.【答案】（1）75，75.4；（2）35.（2）A 等级的频数为250.082⨯=，记这两家分别为,;a b B 等级的频数为250.164⨯=，记这四家分别为,,,c d e f ，从这6家连锁店中任选2家，共有()()()()()(),,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,b d b e b f c d c e c f d e d f e f ，共有15种选法.其中至少选1家A 等级的选法有()()()()()(),,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c ()()(),,,,,b d b e b f 共9种，则93155P ==，故至少选一家A 等级的概率为35.考点：频率直方图、众数与平均数的计算；古典概型及其概率的计算.19.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，11160,2ACC CC B AC ∠=∠=︒=.（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB =11A BB C C -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）2.试题解析：（1）连接11,AC CB 则1ACC ∆和11BCC ∆皆为正三角形. 取1CC 中点O ，连接1,OA OB则1111,,CC OA CC OB OA OB O ⊥⊥⋂=又 则1CC ⊥平面1OAB ，则11CC AB ⊥；（2）由（1）知，1OA OB =1AB所以1OA OB ⊥，又111,OA CC OB CC O ⊥⋂=，所以OA ⊥平面11BB C C则111sin 60BB C C S BC BB =⨯︒=菱形故1111123A BBC C BB C C V S OA -=⨯=菱形.考点：直线与平面垂直的判定与证明；几何体的体积的计算.20. （本小题满分12分）设抛物线21:4C y x =的准线与x 轴交于点1F ，焦点2F ；椭圆2C 以1F 和2F 为焦点，离心率12e =.设P 是1C 与2C 的一个交点. （1）椭圆2C 的方程；（2）直线l 过2C 的右焦点2F ，交1C 于12,A A 两点，且12A A 等于12PFF ∆的周长，求l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）)1y x =-或)1y x =-.试题解析：（1）由题得， ()()121,0,1,0F F -是椭圆2C 的两焦点，故半焦距为1，再由离心率为12知，长半轴长为2，从而2C 的方程为22143x y +=；考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线综合应用，解题是要认真审题，注意椭圆的弦长公式的合理运用，着重考查了推理与运算能力和分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用12PF F ∆的周长为6，得出弦长，可设l 的方程为(1)y k x =-与1C 的方程联立，由此利用弦长公式，即可求解直线的方程.21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3. （1）求实数a 的值；（2）若()2f x kx ≤对任意0x >成立，求实数k 的取值范围；（3）当()1,n m m n N+>>∈m n>.【答案】（1）1a =；（2）[)1,+∞；3mn>. 【解析】试题分析：（1）求出()f x 的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可得到a ；（2）()2f x kx ≤对任意0x >成立，得1ln x k x +≥对任意0x >成立，令()1ln xg x x+=，则问题转化为求()g x 的最大值，运用导数，求出导数，求得单调区间，得到最大值，令k 不小于最大值即可；（3）令()ln 1x xh x x =-，求出导数，判断其单调性，即得()h x 是(1,)+∞上的增函数，由1n m >>，则()()h n h m >，化简整理，即可得证.试题解析：（1）()()'ln ln 1f x ax x x fx a x =+∴=++又()f x 的图像在点x e =处的切线的斜率为3，()'3f e ∴=，即ln 131a e a ++=∴=（3）令()ln 1x x h x x =-，则()()'21ln 1x xh x x --=- 由（2）知，()()'1ln 0,0x x x h x ≥+>∴≥()h x ∴在区间()1,+∞上增函数，()()'1n m h n h m >>∴> ，即ln ln 11n n m mn m >-- ln ln ln min mn n n n mn m m ∴->-，即ln ln ln ln mn n m m mn m n n ∴+>+ln ln ln ln mn m mn n n m m n +>+，()()ln ln mnn m mn nm >()()mnn nmn m n >，mn>. 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的综合应用和不等式的证明.【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查不等式的恒成立问题转化为求解函数的最值，同时考查了与函数有关的不等式的证明，运用构造函数，求得导数的单调性，再由单调性证明，试题有一定的难度属于难题，着重考查了转化与化归的思想方法和构造思想的应用，对于此类问题平时要注意总结和积累. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆O 是ABC ∆的外接圆，,AB BC AD =是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径. （1）求证：AC BC AD AE ⋅=⋅；（2）过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ，若4,6AF CF ==，求AC 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）103.（2）因为FC 为圆的切线，所以2FC FA FB =⋅又4,6AF CF ==，从而解得9,5BF AB BF AF ==-= 因为,ACF CBF CFB AFC ∠=∠∠=∠， 所以AFC CFB ∆∆∽，所以AF AC CF CB =，即103AF CB AC CF ⋅==. 考点：圆的性质及与圆相关的比例线段.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，O 为极点，点2,,24A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求经过点,,O A B 的圆C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系，圆D 的参数方程为1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ 是参数，a 为半径），若圆C 与圆D 相切，求半径a 的值.【答案】（1）4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）a =a =试题解析：（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，∴点()()()0,0,0,2,2,2O A B ，过,,O A B 三点的圆C 的普通方程是()()22112x y -+-=即22220x x y y -+-=，化为极坐标方程为22cos 2sin ρρθρθ=+即4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）圆D 的参数方程1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数，a 为半径）化为普通方程是()()22211x y a +++=则圆C 与圆D 的圆心距CD ==,当圆C 与圆D 相切时，则有2a +=2a -=解得a =a =考点：参数方程与普通方程的互化；简单曲线的极坐标方程. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()(),4f x x g x x m ==--+. （1）解关于x 的不等式()20g f x m +->⎡⎤⎣⎦；（2）若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()()6,22,6--⋃；（2）(),4-∞.考点：函数的恒成立；函数的值；绝对值不等式的求解.。