江苏省苏州市2019-2020学年高一下学期期末学业质量阳光指标调研数学试题
一、单选题
江苏省苏州市2019-2020学年高一下学期期末学业质量阳光指标调研数学试题
1. 已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四类．某社区
为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800
人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是（ ）
A．20B．40C．60D．80
3. 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4. 在同一平面直角坐标系中，两直线
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为
，都是白子的概率为
，则取出的2粒颜色不同的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6. 如图，在平行六面体
中，点
是棱
上靠近
的三等分点，点
是棱
的中点，且三棱锥
的体积为2，则
平行六面体
的体积为（ ）
A．8B．12C．18D．20
二、多选题
7. 已知在锐角
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，
，且
的面积为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8. 在平面立角坐标系
中，两圆
，
均过点
，它们的圆心分别为
，
，满足
，若两圆与
轴正半轴分别交
于
，
，则
的值为（ ）
A．2B．6C．9D．与
，
的取值有关
9. 党的十九大为新时代农业农村改节发展明确了重点、指明了方向，报告中提出了“实施乡村振兴战略”．某地区农村经过三年的乡村振兴建
设，农村的经济收入增加了一倍.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比
例，得到如下饼图：
则下面结论中正确的有（ ）
A．乡村振兴建设后，种植收入减少
B．乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上
C．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍
D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
10. 已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的可能值为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
11. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知
，
，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
12. 如图，点
是正方体
的棱
的中点，点
在线段
上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线
与直线
始终是异而直线
B．存在点
，使得
C．四面体
的体积为定值
D．当时，平面
平面
13. 为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们
的比赛成绩（满分为100分）分为5组：，
，
，
，
，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生
中成绩在80分（含80分）以上的人数为______．
四、双空题
五、解答题
14. 在
中，角
、
、
所对的边分别为、、
，若，
，
，则
的面积为______．
15. 已知
、两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为，则
______．
16. 已知在球
的内接长方体
中，
，
，则球
的表面积为________，若
为线段
的中点，则过点
的平面截球
所得截面面积的最小值为______．
17. 如图，在斜三棱柱
中，已知
，
，
分别为
，
的中点，侧面
是菱形，
（1）求证：
//平面
；
（2）求证：平面
平面
．
18. 已知圆
经过两点
、
，且圆心
在直线
上．
（1）求圆
的方程；
（2）过点
的直线与圆相交于、两点，且求直线的方程．
19. 随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈米愈多．每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产则数
（单位：个）
与温度（单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如下表：
温度
/℃ 91113128
产卵数
/个 2325302620
科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y关于x的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．
（1）求
关于
的线性回归方程；
（2）若由线性回归方程行到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性同归方程足可靠的，试问（1）中所得的线性回
归方程是否可靠？
（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为
，
）
20. 在①
，②
，③
这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．
在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
．已知
，
，满足______．
（1）请写出你的选择，并求出角
的值；
（2）在（1）的结论下，已知点
在线段
上，且
，求
长．
21. 如图所示，等边三角形
的边长为3，点
，
分别是边
，
上的点，满足
，
．将
沿
折起到
的位置，使二面
为二面角，连接
，
．
（1）求二面角
的余弦值；
（2）线段上是否存在点，使得直线
与平面
所成的角为60°？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．
22. 如图，点
是圆
：
上一动点，过点
作圆
的切线
与圆
：
交于
，
两点，已
知当直线
过圆心时，
（1）求
的值；
（2）当线段
最短时，求直线
的方程；
（3）问：满足条件
的点
有几个？请说明理由．
江苏省苏州市2020-2021学年高一上学期1月学业质量阳光指标调研数学试题
苏州市2020~2021学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在母小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设有下面四个命题：1:p x R ∃∈，210x +<； 2:p x R ∀∈，0x x +>；3:p x Z ∀∈，x N ∈；4:p x R ∃∈，2230x x -+=.其中真命题为（ ）A. 1pB. 2pC. 3pD. 4pC根据全称命题与特称命题真假的判断方法逐一判定. 解：对于A.2,11x x ∀∈+≥R ，所以该命题为假命题； 对于B.当0x ≤时x x +=0，所以该命题为假命题； 对于C.当x Z ∀∈时x 均为非负整数，所以该命题为真命题；对于D.因为2223(1)20x x x -+=-+≠，所以该命题为假命题；故选：C. 全称命题与特称命题真假的判断方法：1、全称命题：真：所有对象使命题真，否定为假； 假：存在一个对象使命题假，否定为真. 2、特称命题：真：存在一个对象使命题真，否定为假； 假：所有对象使命题假，否定为真.2. 若角α的终边经过点()1,2-，则cos α=（ ）A. B.C. D.A用余弦的定义可以直接求解.点()1,2-到原点的距离为cos5α==-，故本题选A.本题考查了余弦的定义，考查了数学运算能力.3. 对于集合A ，B ，我们把集合{|x x A ∈且}x B ∉叫做集合A 与B 的差集，记作A B -.若{ln A x x =≤，{}1B x x =≥，则A B -为（ ）A. {}1x x <B. {}01x x <<C. {}13x x ≤<D. {}13x x ≤≤B解对数不等式得集合A ，现根据新定义计算．{ln {|03}A x x x x =≤=<≤，∴{|01}A B x x -=<<．故选：B ．思路点睛：本题考查集合的新定义，解题时关键是正确理解新定义运算，确定集合A 是解题基础．A B -是由集合A 中不属于集合B 的元素所组成，由此可得结论．4. 下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（ ）A. sin 2y x =B. cos y x =C. tan y x =D. cos 2xy =C根据三角函数的性质依次求出周期和判断单调性即可. 对于A ，sin 2y x =的最小正周期为22ππ=，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭有增有减，故A 错误； 对于B ，cos y x =的最小正周期为2π，故B 错误；对于C ，tan y x =的最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；对于D ，cos 2xy =的最小正周期为2412ππ=，故D 错误.故选：C.5. “双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价.甲平台第一次降价a %，第二次降价b %；乙平台两次都降价2a b+%（其中020a b <<<），则两个平台的降价力度（ ） A. 甲大 B. 乙大C. 一样大D. 大小不能确定A根据题意可分别得出甲、乙两次降价后的售价的表达式，并进行计算，再结合基本不等式比较大小即可． 设原价是x ，那么甲平台两次降价后的售价＝（1﹣a %）（1﹣b %）x ；乙平台两次降价后的售价＝（1-2a b+%）2x ； 而（1﹣a %）（1﹣b %）x ()1000010010000a b ab-++=x ()40000400440000a b ab-++=x ；（1-2a b +%）2x ()240000400()40000a b a b -+++=x ， ∵（a +b ）2≥4ab ，(当且仅当a b =是等号成立)，又020a b <<<， ∴乙＞甲．即乙的售价高，甲降价幅度大，故选：A ．6. 已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()y xf x =的图象可能是（ ）A. B.C. D.A法一：根据函数奇偶性，及函数特殊值的正负判定；法二：根据函数()f x 函数值的正负，结合()y xf x =的函数值正负判定. 解：法一：由图可得()f x 为偶函数，令()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--=-=-， 所以()()g x xf x =为奇函数，排除C ，D.又,()0x f x →+∞>，所以,()()0x g x xf x →+∞=>.排除B. 法二：由函数图像可得()f x 的函数值：正、负、正、负； 则()y xf x =的函数值：负、正、负、正.故选：A. 思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 若θ ）A. 2tan θB.2tan θC. 2tan θ-D. 2tan θ-D根据同角三角函数的关系化简可求出.θ为第二象限角，sin 0θ∴>，==1cos 1+cos sin sin θθθθ-=- 1cos 1+cos 2cos 2sin sin sin tan θθθθθθθ-=-=-=-.故选：D. 8. 已知函致()23,01,0x x f x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，若函数()()y f f x k =-有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A. ()1,4 B. (]1,4C. [)1,4D. []1,4B先求出()()y f f x =的解析式，画出函数图象，根据()()y f f x =和y k =有3个不同的交点可得出.当0x <时，()0f x >，则()()()()2211322f f x f x x x x =-+=-+-=--，当0x <3≤时，()0f x <，则()()()()2223314f f x f x x x =-=--+=-+，当3x ≥时，()0f x >，()()()()2224233366f f x f x x x x =-=--=-+，()()224222,04,0366,3x x x f f x x x x x x ⎧--<⎪⎪∴=-+≤<⎨⎪-+≥⎪⎩，当3x ≥时，()24226633y x x x =-+=--，23t x =-单调递增，且0t ≥，此时23y t =-单调递增，∴()2233y x =--在)3,⎡+∞⎣单调递增，min 3y =-，画出函数图象，函数()()y f f x k =-有3个不同的零点，等价于()()y f f x =和y k =有3个不同的交点， 则观察图象可得，14k <≤.故选：B.本题考查根据函数零点个数求参数范围，解题的关键是将其转化为()()y f f x =和y k =有3个不同的交点，数形结合求出.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知幂函数()f x 的图象经过点(.则（ ） A. ()f x 的定义域为[)0,+∞ B. ()f x 的值域为[)0,+∞ C. ()f x 是偶函数 D. ()f x 的单调增区间为[)0,+∞ABD先求出幂函数的解析式，再根据解析式判断各项的正误.因()f x 为幂函数，故()a f x x =，所以3a =，故12a =，故()f x =所以函数的定义域为[)0,+∞，值域为[)0,+∞，单调增区间为[)0,+∞， 且()f x 不是偶函数，故选：ABD.10. 为了得到函数cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数cos y x =图象上所有的点（ ）A. 向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B. 向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍C. 横坐标变为原来的12倍，再向左平移8π个单位长度 D. 横坐标变为原来的12倍，再向左平移4π个单位长度 BC由题意利用三角函数的图象变换规律，得出结论．要得到函数cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将y ＝cos x 的图象上所有点向左平移4π个单位长度， 然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变而得到．也可将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移8π个单位长度而得．故选：BC ．易错点：y ＝A cos(ωx +φ)(ω>0)的图像是由y ＝A cos(ωx )(ω>0）向左平移φω个单位长度而得的,而不是向左平移ϕ个单位长度.11. 已知实数a ，b ，c 满足01a b c <<<<，则（ ） A. a a b c < B. log log b c a a >C. 3a a <D. sin sin b c <AC根据幂函数，对数函数，指数函数，正弦函数的性质判断． ∵01a b c <<<<由a y x =在(0,)+∞上是增函数知A 正确；由对数函数性质log a y x =是减函数，0log log a a b c >>为，∴11log log a a b c<，即log log b c a a <，B 错；由x y a =是减函数得3a a <，C 正确；由于,b c 不一定在sin y x =的单调增区间内，不能比较sin ,sin b c 的大小，因此sin sin b c <错误，D 错；故选：AC ．关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题时需对各个选项分别进行判断，需要掌握幂函数、指数函数、对数函数、正弦定理的性质．解题时，对数式中两个对数的底不相同，可考虑同底的对数同，因此利用换底公式及不等式的性质进行判断，正弦函数在整个定义域上不单调，它是周期函数，增区间是一个一个的，因此由b c <不能轻易地得出sin sin b c <．12. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[]2.13-=-，[]2.12=.已知函数()sin sin f x x x =+，函数()() g x f x =⎡⎤⎣⎦，则（ ）A. 函数()g x 的值域是{}0,1,2B. 函数()g x 是周期函数C. 函数()g x 的图象关于2x π=对称 D. 方程()2g x x π⋅=只有一个实数根AD先研究函数()f x 的奇偶性，作出函数()f x 的图象，作出函数()g x 的图象判断选项ABC 的正确性，再分类讨论判断方程()2g x x π⋅=的根的个数得解.由题得函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ,()sin sin()sin |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数()f x 为偶函数，当0x π≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=； 当2x ππ<<时，()sin sin 0f x x x =-=； 当23x ππ≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=；所以函数()f x 的图象如图所示，所以函数()g x 的图象如图所示，所以函数()g x 的值域是{}0,1,2，故选项A 正确； 由函数()g x 的图象得到()g x 不是周期函数，()[()]g x f x ππ+=+=故选项B 不正确； 由函数()g x 的图象得到函数()g x 的图象不关于2x π=对称，故选项C 不正确；对于方程()2g x x π⋅=，当()0g x =时，0x =，方程有一个实数根； 当()1g x =时，2x π=，此时()212g π=≠，此时方程没有实数根； 当()2g x =时，x π=，此时()02g π=≠，此时方程没有实数根； 故方程()2g x x π⋅=只有一个实数根，故选项D 正确.故选：AD关键点睛：解答本题的关键是能准确作出函数()()f x g x ，的图象，研究函数的问题，经常要利用数形结合的思想分析解答.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数()()1lg 2f x x x =-+-的定义域是___________．[)1,2试题分析：要使函数有意义，需满足10{1220x x x -≥∴≤<->，所以函数定义域为[)1,2 考点：函数定义域14. 关于x 的方程sin 30x x +-=的唯一解在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，则k 的值为__________.2由题意转化为函数()sin 3f x x x =+-在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内有唯一零点，求导得()'cos 10f x x =+≥，从而()f x 在R 上递增，且()20f <，502f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由函数的零点存在定理可得结果.由题意得，关于x方程sin 30x x +-=的唯一解转化为函数()sin 3f x x x =+-在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内有唯一零点，()'cos 10f x x =+≥，()f x ∴在R 上递增，由()2sin 223sin 210f =+-=-<，且5555511sin 3sin 302226222f π⎛⎫=+->+-=-= ⎪⎝⎭， 由函数的零点存在定理可得()f x 在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点，又因为方程sin 30x x +-=的唯一解在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，所以2k =. 故答案：2关键点点睛：方程sin 30x x +-=的解转化为函数()sin 3f x x x =+-的零点问题，求导得()f x 的单调性，再结合函数的零点存在定理.15. 已知a ，b 为正实数，且39ab a b ++=，则3a b +的最小值为_________. 6利用基本不等式得出3a b +的不等式，解之可得3a b +的最小值．∵0,0a b >>，∴211933(3)(3)(3)312ab a b a b a b a b a b =++=⋅++≤+++．(318)(36)0a b a b +++-≥，∴36a b +≥，当且仅当3a b =，即3,1a b ==时等号成立， 故答案为：6．方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，解题方法是用基本不等式得出关于3a b +的不等式，然后通过解不等式得出结论．不是直接由基本不等式得最小值，解题时也要注意基本不等式成立的条件．即最小值能否取到．16. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳14含量为A ，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y 与死亡年数x 的函数关系式是_______，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约________年.（参考数据：lg 20.3≈）(1). 573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭； (2). 3883根据指数函数模型得出函数关系式，然后由62.5%y =计算x ．设1年后碳14含量为原来的a 倍，则573012a =，1570312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴573012x x y a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由5730162.52100x ⎛⎫=⎪⎝⎭，即57301528x⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴57302221510log log log 2816x⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴211log 104445730lg 20.301x -=-=-=-，3883x ≈． 故答案为：573012xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；3883．四、解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在条件：①2sin cos 13sin 4cos 7A A A A -=+；②24sin 4cos 1A A =+；③1sin cos tan 2A A A =中任选一个，补充在下面的问题中，并求解.已知角A 为锐角，___________. （1）求角A 的大小；（2）求()2021sin cos 2A A ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） （1）见解析；（2）见解析.（1）利用同角的三角函数的基本关系式可求A 的三角函数值，从而得到角A 的大小. （2）利用诱导公式可求三角函数式的值. 若选①，（1）由2sin cos 13sin 4cos 7A A A A -=+可得sin cos A A =，因为A 为锐角，故4A π=.（2）()220211sin cos sin sin sin 22A A A A A ππ⎛⎫+-=-=-=- ⎪⎝⎭. 若选②，（1）由24sin 4cos 1A A =+，故24cos 4cos 30A A +-=， 故1cos 2A =或3cos 2A =-（舍），因为A 为锐角，故3A π=.（2）()220213sin cos sin sin sin 24A A A A A ππ⎛⎫+-=-=-=- ⎪⎝⎭. 若选③，（1）由1sin cos tan 2A A A =可得21sin 2A =，因为A 为锐角，故sin 2A =，故4A π=.（2）()220211sin cos sin sin sin 22A A A A A ππ⎛⎫+-=-=-=-⎪⎝⎭. 方法点睛：（1）利用同角的三角函数基本关系式化简时，常见的方法有弦切互化法、“1的代换”等，注意根据三角函数式的特征选择合适的方法.（2）使用诱导公式化简三角函数式，注意函数名是否改变，三角函数式的符号是否改变.18. 已知集合{}2230A x x x =--<，{}1B x x a =-<.（1）当3a =时，求A B ；（2）设:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. （1）{}14x x -<<；（2）[0,2]（1）化简集合,A B ，根据并集运算即可；（2）根据命题的关系转化为B A ，得到1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩，化简即可.解：集合,A B 化简得{}13A x x =-<<，{}11B x a x a =-<<+ （1）当3a =时，{}24B x x =<<，所以{}{}{}132414A B x x x x x x ⋃=-<<⋃<<=-<< （2）因为p 是q 的必要不充分条件， 所以B A ，所以110132a a a a -≥-≥⎧⎧⇒⎨⎨+≤≤⎩⎩，验证当0,2a =时满足B A ，所以实数a取值范围为[0,2].根据充分、必要条件求参数范围的方法：（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解；（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.19. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象经过点12π⎛ ⎝，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为2π. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间.（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3. （1）根据函数()f x 最大值与最小值的差为4，求得A ,再由相邻两个零点之间的距离为2π，求得ω，然后由函数()f x 的图象经过点12π⎛ ⎝，求得函数的解析式.（2）令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，结合[]0,x π∈，利用正弦函数的性质求解.（1）因为函数()f x 最大值与最小值的差为4， 所以A =2,又相邻两个零点之间的距离为2π.所以T π=，所以 22πωπ==， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数()f x 的图象经过点12π⎛ ⎝，所以()2sin 212f x πϕ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭sin 6πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以263k ππϕπ+=+或2263k ππϕπ+=+，解得26k πϕπ=+或22k πϕπ=+，又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，因为[]0,x π∈， 所以06x π≤≤或2ππ3x ，所以()f x 在[]0,π上的单调增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3. 方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．20. 已知定义在R 上的函数()()22x xf x k k R -=+⋅∈.（1）若()f x 是奇函数，求函数()()2y f x f x =+的零点；（2）是否存在实数k ，使()f x 在(),1-∞-上单调递减且在()2,+∞上单调递增？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由. （1）0x =；（2）存在，1164k ≤≤，理由见解析. （1）利用特殊值求得k ，得到()22x xf x -=-，再令()()20y f x f x =+=，可求得零点；（2）对k 讨论，当0k ≤时不符合题意，当0k >时，令2(0)xt t =>，则()1g t t k t=+⋅，利用()g t的图象找到单调性的分界线，让其在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围可得答案.（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()000220f k =+⋅=，即1k =-，所以()22x x f x -=-，()()22x xf x f x --=-=-，即满足函数为奇函数， 令()()22202222x x x xy f x f x --+--=+==，整理得222112222221x xx x x x ++=+= ，所以()2121220x xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 因为120x +>，所以22210xx-=，即0x =， 函数()()2y f x f x =+的零点为0x =. （2）存在，理由如下： 当0k <时，由于122xxy k k -⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=是增函数，所以()22x x f x k -=+⋅是增函数，不符合题意；当0k =时，()2xf x =是增函数，不符合题意；当0k >时，令2(0)x t t =>，则()1g t t k t=+⋅，因为()f x 在(),1-∞-上单调递减且在()2,+∞上单调递增，所以()g t 在()4t ,∈+∞上单调递增，在10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g t 的图象形如对勾，而()1g t t k t =+⋅≥=当且仅当1t k t =⋅等号成立，即t =是单调性分界线，所以142≤，解得1164k ≤≤， 所以存在实数k ，且1164k ≤≤. 方法点睛：本题考查了奇偶性的应用，利用函数的单调区间研究参数的取值范围，第二问的关键点是对勾函数的单调性是以取得最值时的x 为分界线的，考查了分析问题、解决问题的能力.21. 经多次实验得到某种型号的汽车每小时．．．耗油量Q （单位：L ）、百公里．．．耗油量W （单位：L ）与速度v （单位：km/h ）（40120v ≤≤）的数据关系如下表：为描述Q 与v 的关系，现有以下三种模型供选择：()0.5Q v a ν=+，()Q v av b =+，()32Q v av bv cv =++.（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[)60,90，[)90,110，[]110,120（单位：km/h ）.问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W 最小？（1）填表见解析，选第三种函数模型，()320.0000250.004+0.25Q v v v v =-；（2）在外侧车道以80km/h 行驶时W 最小.（1）根据分析可得出第三种模型最符合实际，代入三组值即可求出解析式； （2）可得21000.00250.425W Q v v v=⨯=-+，根据二次函数性质可求出最值. （1）填表如下：由题可得符合的函数模型需满足在40120v ≤≤时v 都可取，三种模型都满足， 且该函数模型应为增函数，故第一种函数模型不符合，若选择第二种模型，代入()()40,5.2,60,6得 5.240660a ba b=+⎧⎨=+⎩，解得0.04, 3.6a b ==，则()0.04 3.6Q v v =+，此时()907.2Q =，()1007.6Q =，()1208.4Q =，与实际数据相差较大，故第二种不符合；经观察，第三种函数模型最符合实际， 代入()()()40,5.2,60,6,100,10，则323232404040 5.2606060610010010010a b c a b c a b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⨯+⨯+⨯=⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎩，解得0.000025,0.004,0.25a b c ==-=， ()320.0000250.004+0.25Q v v v v ∴=-； （2）()221000.00250.4250.002580+9W Q v v v v=⨯=-+=-， 当80v =时，W 取得最小值为9，所以该型号汽车应在外侧车道以80km/h 行驶时W 最小.本题考查函数模型的应用，解题的关键是正确分析题意，考查学生计算能力.22. 已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若满足对任意01x D ∈，恰好存在n 个不同的实数122,,,n x x x D ⋯∈，使得()()0i g x f x =（其中*1,2,,,N i n n =⋯∈），则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.（1）判断()1g x x =-[]()0,4x ∈是否为()2f x x =+[]()0,1x ∈的“n 重覆盖函数”、如果是，求出n 的值；如果不是，说明理由；（2）若()()22231,1log ,1ax a x x g x x x ⎧+-+≤=⎨>⎩为()1221log 21x x f x -=+的“2重覆盖函数”.求实数a 的取值范围；（3）若()[]()sin 0,23g x x x πωπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭为()21x f x x =+的“21k +重覆盖函数”（其中k ∈N ），请直接写出正．．．．．实数ω的取值范围（用k 表示）（无需解答过程）. （1）是，1n =；（2）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）17,412k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ （1）根据[]0122,3i x x -=+∈，可得[]3,4i x ∈，得出对于任意[]00,1x ∈，都能找到一个1x ，使得1012x x -=+，即得证；（2）将题转化为对任意0k >，()g x k =有2个实根，根据()g x 的性质即可求解；（3）将题转化为对于任意11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()[],0,2g x m x π=∈要有21k +个根，根据三角函数的性质列出不等式求解即可.（1）由定义可得，对任意[]00,1x ∈，恰好存在n 个不同的实数122,,,n x x x D ⋯∈，使得()()0i g x f x =（其中*1,2,,,N i n n =⋯∈）， 即[]0122,3i x x -=+∈，可得[]3,4i x ∈，所以对于任意[]00,1x ∈，都能找到一个1x ，使得1012x x -=+，()g x ∴是()f x 的“n 重覆盖函数”，1n =； （2）可得()f x 的定义域为()0,∞+，即对任意()00x ∈+∞,，存在2个不同的实数12,x x R ∈，使得()()0i g x f x =（其中1,2i =），即()()000112221log log 10,21212x i x x g x -⎛⎫==-∈+∞ ⎪++⎝⎭， 即对任意0k >，()g x k =有2个实根， 当1x >时，()2log g x x k ==已有一个根， 故只需1x ≤时，()g x k =仅有1个根， 当0a =时，()31g x x =-+，符合题意，当0a >时，则需满足()12310g a a =+-+≤，解得203a <≤， 当0a <时，抛物线开口向下，存在最大值，不符合题意， 综上，203a ≤≤； （3）()00200111,1122x f x x x x ⎡⎤==∈-⎢⎥+⎣⎦+，∴对于任意11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()[],0,2g x m x π=∈要有21k +个根，()10sin 32g π⎛⎫=-=<- ⎪⎝⎭，()72262222212k k k k πππππωωππωππω⎧++⎪≤<⎪⎪⎪⋅<⎨⎪⎪⋅+>⎪⎪⎩，解得17412k k ω+≤<+. 故正．实数ω的取值范围为17,412k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭． 本题考查函数新定义，解题的关键是正确理解“n 重覆盖函数”的概念，将题目转化为方程根的问题.。
江苏省苏州市2019-2020学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷高三数学试题
江苏省苏州市2019—2020学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷高三数学试题2020．01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}1x x ≥，B ＝{﹣1，0，1，4}，则AB ＝ ．2．已知i 是虚数单位，复数z ＝(1＋bi )(2 ＋i )的虚部为3，则实数b 的值为 ．3．从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为 ．4．为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，则在[8，9)之间通过的车辆数是 ．5．如图是一个算法流程图，若输入的x 值为5，则输出的y 值为 ．第4题 第5题 第9题6．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“1a ＜2a ”是“3a ＜5a ”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）7．在平面直角坐标系xOy 中，己知点F 1，F 2是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 的坐标为(0，b )，若∠F 1PF 2＝120°，则该双曲线的离心率为 ．8．若x ，y 满足约束条件0010x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z ＝x ＋3y 的最大值为 ．9．如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为25π，弧长为4πcm 的扇形，则该冰淇淋的体积是 cm 3．10．在平面直角坐标系xOy 中，若直线x ＋my ＋m ＋2＝0(m ∈R)上存在点P ，使得过点P向圆O ：222x y +=作切线PA （切点为A ），满足POPA ，则实数m 的取值范围为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：12y =与函数()sin()6f x x πω=+(ω＞0)的图象在y 轴右侧的公共点从左到右依次为A 1，A 2，…，若点A 1的横坐标为1，则点A 2的横坐标为 ．12．如图，在平面四边形ABCD 中，已知AD ＝3，BC ＝4，E ，F 为AB ，CD 的中点，P ，Q 为对角线AC ，BD 的中点，则PQ EF ⋅的值为 ．13．已知实数x ，y 满足2()12x x y y +=+，则2254x y -的最小值为 ． 第12题14．已知函数2()4825x exx e f x x x x⎧≤⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩，，（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程2()f x 23()20a f x a -+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，﹣1)． （1）当a ∥b 时，求tan2x 的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅，且x ∈(0，2π)，求()f x 的最大值以及对应的x 的值． 16．（本题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，D ，E 分别是AB ，B 1C 的中点．（1）求证：DE ∥平面ACC 1A 1； （2）若DE ⊥AB ，求证：AB ⊥B 1C ．17．（本题满分14分）为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地(如图)租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜．已知扇形AOB中，∠AOB ＝23π，OB ＝百米)，荒地内规划修建两条直路AB ，OC ，其中点C 在AB 上(C 与A ，B 不重合)，在小路AB 与OC 的交点D 处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区．设∠BDC ＝θ，蜂果区的面积为S(平方百米)．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，蜂巢区的面积S 最小，并求此时S 的最小值．18．（本题满分16分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象限内一点P 作x 轴的垂线交其“辅圆”于点Q ，当点Q 在点P 的上方时，称点Q 为点P 的“上辅点”．已知椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0) 上的点(1，2)的上辅点为(1．（1）求椭圆E 的方程； （2）若△OPQ 的面积等于12，求上辅点Q 的坐标； （3）过上辅点Q 作辅圆的切线与x 轴交于点T ，判断直线PT 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足12n n S na a =+，34a =，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和． （1）求1a 和2a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设12311112462n n T S S S S n=++++++++(N n *∈)．①若123T T T =，求k 的值；②求证：数列{}n T 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积． 20．（本题满分16分）已知函数ln ()a xf x x+=(a ∈R)． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当函数()f x 与函数()ln g x x =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；（3）证明：当a ∈(0，12)时，函数()()h x f x ax =-有两个零点1x ，2x ，且满足11x +211x a．。
江苏省苏州市2020-2021学年下学期期初学业质量阳光指标调研卷高三数学试题 含答案
苏州市2020~2021学年第二学期期初学业质量阳光指标调研卷高三数学注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡 的规定位置。
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，阴影部分所表示的集合为A.A ∩(C U B)B.B ∩(C U A)C.A ∪(C U B)D.B ∪(C U A)2.已知复数z 满足iz=1-i(i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 8+a 10)=60,则S 11的值为A.33B.44C.55D.664.古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美。
如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202)电元被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11,22,...,99),则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为A. 13 B. 49 C. 59 D. 235.如图，在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60°角，e 1,e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP =xe 1+ye 2,则称有序实数对（x,y)为向量OP 的坐标，记作OP =(x,y).在此斜坐标系xOy 中，已知向量a =(2,3),b =(-5,2）,则a ,b 夹角的大小为A. 6πB. 3π C. 23π D. 56π6.已知函数y=f(x)和y=g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f(0)=-4,f(x)=g(x+2),则g(x)的解析式可以是 A.y=-4sin4x π B.y=4sin 2x π C.y=-4cos 4x π D.y=4cos 2x π 7.已知函数f(x)=2sin(2x+6π)，若α为锐角且f(2a )=65，则f(α+12π)的值为 A.- 4825 B.- 2425 C. 2425 D. 48258.我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。
江苏省苏州市2020-2021学年下学期期初学业质量阳光指标调研卷高三数学试题 含答案
苏州市2020~2021学年第二学期期初学业质量阳光指标调研卷高三数学注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡 的规定位置。
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，阴影部分所表示的集合为A.A ∩(C U B)B.B ∩(C U A)C.A ∪(C U B)D.B ∪(C U A)2.已知复数z 满足iz=1-i(i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 8+a 10)=60,则S 11的值为A.33B.44C.55D.664.古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美。
如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202)电元被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11,22,...,99),则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为A. 13 B. 49 C. 59 D. 235.如图，在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60°角，e 1,e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP =xe 1+ye 2,则称有序实数对（x,y)为向量OP 的坐标，记作OP =(x,y).在此斜坐标系xOy 中，已知向量a =(2,3),b =(-5,2）,则a ,b 夹角的大小为A. 6πB. 3π C. 23π D. 56π6.已知函数y=f(x)和y=g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f(0)=-4,f(x)=g(x+2),则g(x)的解析式可以是 A.y=-4sin4x π B.y=4sin 2x π C.y=-4cos 4x π D.y=4cos 2x π 7.已知函数f(x)=2sin(2x+6π)，若α为锐角且f(2a )=65，则f(α+12π)的值为 A.- 4825 B.- 2425 C. 2425 D. 48258.我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。
江苏省宿迁市2019-2020学年高一下期末调研数学试题含解析
江苏省宿迁市2019-2020学年高一下期末调研数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．平面α平面β，直线a α⊂，b β⊂ ，那么直线a 与直线b 的位置关系一定是（ ）A ．平行B ．异面C ．垂直D ．不相交【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面的位置关系得出直线a 与直线b 没有公共点. 【详解】 由题平面α平面β，直线a α⊂，b β⊂则直线a 与直线b 的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交. 故选D. 【点睛】本题考查空间中两条直线的位置关系，属于简单题．2．四边形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，223AB AD CD ===，则ABC ∆的外接圆与ACD ∆的内切圆的公共弦长（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．2【答案】C 【解析】 【分析】以C 为坐标原点，以,CB CD 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，求出ABC ∆的外接圆与ACD ∆的内切圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，求出弦心距，进而可得公共弦长. 【详解】解：以C 为坐标原点，以,CB CD 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，过A 作AF CD ⊥交CD 于点F ，则3,23DF AD ==，故60FDA ∠=，则ACD ∆为等边三角形，故(0,3)B A D ，ABC ∆的外接圆方程为223(()322x y -+-=，① ACD ∆的内切圆方程为22((1)1x y -+-=，②①-②得两圆的公共弦所在直线方程为30y --=,ABC ∆32=，公共弦长为= 故答案为：C. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的求解，关键是要求出两圆的公共弦所在直线方程，将两圆方程作差即可得到，是中档题.3．数列{}n a 只有5项，分别是3，5，7，9，11，{}n a 的一个通项公式为（ ） A ．2n a n =+ B ．21n a n =+C ．1n a n =+D ．21n a n =-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到数列{}n a 为等差数列，通过首项和公差，得到通项. 【详解】因为数列{}n a 只有5项，分别是3，5，7，9，11， 所以{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，()31221n a n n =+-⨯=+.故选：B. 【点睛】本题考查求等差数列的通项，属于简单题.4．正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b 满足11a b =，77a b =，17 a a ≠，则44a b ，的大小关系为（ ）A ．44a b =B ．44<a bC ．44a b >D ．不确定【分析】利用17442b b a b +==分析44a b ，的关系即可. 【详解】因为正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b ,故4a =又17442b b b a +=≥=,当且仅当17b b =时“=”成立,又17a a ≠即17b b ≠,故44<a b , 故选：B 【点睛】本题主要考查等差等比数列的性质与基本不等式的“一正二定三相等”. 若{}n a 是等比数列，且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a = 若{}n a 是等差数列，且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+ 5．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ︒∠=，E 是BC 的中点，则AC AE ⋅=A B ．92C D ．9【答案】D 【解析】 【分析】选取向量,BA BC 为基底，用基底表示,AC AE ，然后计算． 【详解】由题意120ABC ∠=︒，22cos1202BA BC ⋅=⨯⨯︒=-，1()()()()2AC AE BC BA BE BA BC BA BC BA ⋅=-⋅-=-⋅-221322BC BA BC BA =-⋅+22132(2)2922=⨯-⨯-+=． 故选D ． 【点睛】本题考查向量的数量积，平面向量的线性运算，解题关键是选取基底，把向量用基底表示． 6．三条线段的长分别为5，6，8，则用这三条线段 A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形【答案】C先求最大角的余弦，再得到三角形是钝角三角形. 【详解】设最大角为α，所以25+366431cos==02566020α--=-<⋅⋅，所以三角形是钝角三角形.故选C【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理求出的值，由得出，可得出角的值，再利用三角形的内角和定理求出角的大小.【详解】由正弦定理得，则，，则，所以，，由三角形的内角和定理得，故选：C.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，也考查了三角形内角和定理的应用，在解题时要注意正弦值所对的角有可能有两角，可以利用大边对大角定理或两角之和小于进行验证，另外就是要熟悉正弦定理解三角形所适用的基本情形，考查计算能力，属于中等题.8．已知(3,0)AB=，那么AB等于( )A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】AB=，因为(3,0)AB=+=，所以93故选B.9．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A．出租车车费与出租车行驶的里程B．商品房销售总价与商品房建筑面积C．铁块的体积与铁块的质量D．人的身高与体重【答案】D【解析】【分析】根据函数的概念来进行判断。
江苏省苏州市2020-2021学年高一第一学期学业质量阳光指标调研数学试题(word版无答案)
苏州市2020~2021学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2021.1一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在母小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设有下面四个命题：1:p x R ∃∈，210x +<； 2:p x R ∀∈，0x x +>； 3:p x Z ∀∈，x N ∈；4:p x R ∃∈，2230x x -+=．其中真命题为 A ．1pB ．2pC ．3pD ．4p2．已知角α终边上一点P 的坐标为()1,2-，则cos α的值为A ．B ．CD 3．对于集合A ，B ，我们把集合{}x x A x B ∈∉且叫作集合A 与B 的差集，记作A B -．若{ln 2ln A x x =≤，{}1B x x =≥，则A B -为A ．{}1x x <B ．{}01x x <<C ．{}13x x ≤<D ．{}13x x ≤≤4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是 A ．sin 2y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．cos2y x=5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a %，第二次降价b %；乙平台两次都降价2a b+%（其中020a b <<<），则两个平台的降价力度 A ．甲大B ．乙大C ．一样大D ．大小不能确定6．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()y xf x =的图象可能是ABCD7．若θA ．2tan θB ．2tan θC ．2tan θ-D ．2tan θ-8．已知函致()23,0,1,0,x x f x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩若函数()()y f f x k =-有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是A ．()1,4B ．(]1,4C ．[)1,4D ．[]1,4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知展函数()f x 的图象经过点(．则 A ．()f x 的定义域为[)0,+∞ B ．()f x 的值域为[)0,+∞ C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,+∞10．为了得到函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只要把函数cos y x =图象上所有的点A ．向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍 B ．向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍C ．横坐标变为原来的12倍，再向左平移8π个单位长度D ．横坐标变为原来的12倍，再向左平移4π个单位长度11．已知实数a ，b ，c 满足01a b c <<<<，则A ．a a b c <B ．log log b c a a >C <D ．sin sin b c <12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =对称为高斯函数，例如[]2,13-=-，[]2,12=．已知函数()sin sin f x x x =+，函数()() g x f x =⎡⎤⎣⎦，则A ．函数()g x 的值域是{}0,1,2B ．函数()g x 是周期函数C ．函数()g x 的图象关于2x π=对称D ．方程()2g x x π⋅=只有一个实数根三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()()lg 2f x x -的定义域为___________．14．关于x 的方程sin 30x x +-=的唯一解在区间()11,22k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，则k 的值为__________． 15．已知a ，b 为正实数，且39ab a b ++=，则3a b +的最小值为_________。
江苏省苏州市2019-2020学年高二数学上学期期末学业质量阳光指标调研考试试题
江苏省苏州市2019-2020学年高二数学上学期期末学业质量阳光指标调研考试试题一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．下列不等式中成立的是A ．若a b >,则22ac bc > B ．若a b >,则22a b > C ．若0a b <<,则22a ab b << D ．若0a b <<,则11a b> 2．不等式(4)3x x -<的解集为A ．{}13x x x <>或 B ．{}04x x x <>或 C ．{}13x x << D ．{}04x x <<3．双曲线221916y x -=离心率为A ．53 B ．54C D4．椭圆的两个焦点分别为F 1(﹣8,0),F 2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20,则椭圆的标准方程为A ．22136100x y += B ．221400336x y += C ．22110036x y += D ．2212012x y += 5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,且14a ,22a ,3a 成等差数列,则4S ＝ A ．7 B ．8 C ．15 D ．166．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 是CD 的中点,直线A 1E 与平面B 1BC 所成角的正弦值为A ．12 B ．13C ．2 D7．中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”,题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,相邻两个儿子中,年龄小的比年龄大的多分到17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是A ．201斤B ．191斤C ．184斤D ．174斤 8．关于x 的不等式22(1)ax x -<恰有2个整数解,则实数a 的取值范围是A ．(32-,43-]U (43,32] B ．(32-,43-]U [43,32) C ．[32-,43-)U (43,32] D ．[32-,43-)U [43,32)二、 多项选择题（本大题共4小题,每小题5分, 共计20分．在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列判断中正确的是A ．在△ABC 中,“B ＝60°”的充要条件是“A,B,C 成等差数列”B ．“x ＝1”是“x 2﹣3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题p ：“∃x ＞0,使得x 2＋x ＋1＜0”,则p 的否定：“x ∀≤0,都有x 2＋x ＋1≥0” D ．若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离,则该动点的轨迹是一条抛物线10．已知向量()a b c b c ⋅=⋅r r r r r ＝(1,2,3),b r ＝(3,0,﹣1),c r＝(﹣1,5,﹣3), 下列等式中正确的是A ．()a b c b c ⋅=⋅r r r r rB ．()()a b c a b c +⋅=⋅+r r r r r rC ．2222()a b c a b c ++=++r r r r r r D ．a b c a b c ++=--r r r r r r11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2()n n S a a =-(其中a 为常数),则下列说法正确的是A ．数列{}n a 一定是等比数列B ．数列{}n a 可能是等差数列C ．数列{}n S 可能是等比数列D ．数列{}n S 可能是等差数列12．已知方程mx 2＋ny 2＝mn 和mx ＋ny ＋p ＝0（其中mn ≠0且m ,n ∈R,p ＞0）,它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是三、填空题（本大题共4小题, 每小题5分,共计20分．其中第15题共有2空,第一个空2分,第二个空3分；其余题均为一空, 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知向量a r ＝(1,4,3),b r ＝(﹣2,t ,﹣6),若a r ∥b r,则实数t 的值为 ．14．己知正实数x ,y 满足x ＋4y ＝1,则11x y+的最小值为 ． 15．早在一千多年之前,我国已经把溢流孔用于造桥技术,以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击,现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔,桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分,且四个溢流孔轮廓线相同．根据图上尺寸,在平面直角坐标系xOy 中,桥拱所在抛物线的方程为,溢流孔与桥拱交点 B 的坐标为 （本题第一空2分,第二空3分）．第15题16．已知一族双曲线E n ：2221x y n n-=+(N n *∈,且n ≤2020),设直线x ＝2与E n 在第一象限内的交点为A n ,由A n 向E n 的两条渐近线作垂线,垂足分别为B n ,C n ．记△A n B n C n 的面积为n a ,则1232020a a a a ++++L ＝ ．四、解答题（本大题共6小题,共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解下列不等式：（1）24120x x --≤；（2）223x x +<-． 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,且3550S S +=,1a ,4a ,13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图1,一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成,其中框架设计如图2,其结构为上、下两栏,下栏为两个完全相同的矩形,四周框架和中间隔栏的材料为铝合金,宽均为8(cm),上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为1：2,此铝合金窗占用的墙面面积为20000(cm 2),设该铝合金窗的宽和高分别a (cm),b (cm),铝合金的透光部分的面积为S (cm 2)（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）．（1）试用a ,b 表示S ；（2）若要使S 最大,则铝合金窗的宽和高分别为多少?20．（本小题满分12分）已知抛物线24x y ,过点P(4,2)作斜率为k 的直线l 与抛物线交于不同的两点M,N ． （1）求k 的取值范围；（2）若△OMN 为直角三角形,且OM ⊥ON,求k 的值． 21．（本小题满分12分）如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,AB 2, AF ＝t ,M 是线段EF 的中点．（1）求证：AM ∥平面BDE ；（2）若t ＝1,求二面角A —DF —B 的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P,使得PF ⊥BE,求t 的最大值．22．（本小题满分12分）如图,已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0),左、右焦点分别为F 1,F 2,右顶点为A,上顶点为B,P 为椭圆上在第一象限内一点．（1）若1221PF F PAF PBF S S S ==V V V ．①求椭圆的离心率e ；②求直线PF 1的斜率．（2）若2PAF S V ,12PF F S V ,1PBF S V 成等差数列,且∠F 1BO ≤30°,求直线PF 1的斜率的取值范围．。
江苏省无锡市普通高中2019-2020学年高一下学期期末数学试题(解析版)
无锡市普通高中2020年春学期高一期终调研考试试卷数学公式参考：线性回归方程y bx a =+，其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题卡相应位置上.）1. 用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确的是（ ） A. ,A l l α∈∉ B. ,A l l α∈⊄ C. ,A l l α⊂⊄ D. ,A l l α⊂∉【答案】B 【解析】试题分析：用“属于”和“不属于”表示点与直线的关系；用“包含”和“不包含”表示直线与平面的关系.故点A 在直线l 上用属于符号∈，l 在平面α外用不包含⊄．故选B ． 考点：点、线、面位置关系的表示．2. 某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，下列说法正确的是（ ） A. 如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈 B. 2位病人中一定有1位能治愈C. 每位病人治愈的可能性是50%D. 所有病人中一定有一半的人能治愈 【答案】C 【解析】 【分析】利用治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，判断选项即可.【详解】A 不正确，因为治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，针对某一具体的个体并不一定能治愈；B 不正确，因为治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，并不是两次试验就一定能发生一次；C 正确，因为治愈率为50%是一种概率，就是每位病人治愈的可能性是50%；D 不正确，因为治愈率为50%是一种概率，只是一种可能性，并不一定有一半的人能治愈.【点睛】本题主要考查了利用概率的知识解决实际问题.属于容易题. 3. 直线230x y ++=在y 轴上的截距为（ ） A.32B. 3C. 3-D. 32-【答案】D 【解析】 【分析】直线方程中令0x =，求得的y 值即得． 【详解】在230x y ++=令0x =，得32y =-． 故选：D ．【点睛】本题考查直线截距的概念，直线与y 轴交点的纵坐标为纵截距，与x 轴交点的横坐标为横截距． 4. 某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据：对上述数据进行分析，发现y 与x 之间具有线性相关关系，下列四个线性回归方程中正确的选项是（ ） A. 6.517.5y x =+ B. 6.517y x =+ C. 614y x =+ D. 520y x =+【答案】A 【解析】 【分析】根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，代入验证，可得A 符合. 【详解】由题意得：()12456855x =++++=， ()13040506070505y =++++=，代入验证，可得A 符合.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法和应用，本题的解题的关键是求出样本中心点.属于较易题. 5. 在空间直角坐标系中，已知ABC 的顶点分别为()1,2,1A ，()1,4,2B ，()0,4,2C ，则ABC 的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】B 【解析】 【分析】直接利用空间点间的距离公式和勾股定理的逆定理求出结果．【详解】因为ABC 的顶点分别为(1A ，2，1)，(1B ，4，2)，(0C ，4，2)，则||AB||AC =||1BC =．所以222||||||AB BC AC +=． 所以ABC 的形状为直角三角形． 故选：B【点睛】本题考查空间点的坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6. 某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为（ ） A. 24π米3 B. 48π米3C. 96π米3D. 192π米3【答案】B 【解析】 【分析】由圆锥体积公式分别求出原仓库与新建仓库的体积，作差可得答案. 【详解】原仓库圆锥的底面半径为6米，高为4米，则容积为21614483V ππ=⨯⨯⨯=立方米； 仓库的高增加4米，底面直径不变,则仓库的容积为22618963V ππ=⨯⨯⨯=立方米.所以新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为2148V V π-=立方米. 故选：B.【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，准确地运用公式是关键，属于基础题.7. 如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的斜坡前进若干米后到达D 处，又测得山顶的仰角为75︒，已知山的高度BC 为1千米，则该登山队从A 到D 前进了（ ）A.2千米B.62-千米C. 1千米D. 1.5千米【答案】C 【解析】 【分析】由题意得15BAD ∠=︒,75BDE ∠=︒可得30ABD ∠=︒，设AD x =，在ABD △中根据正弦定理求得BD ，从而求得BE CE ，，结合山的高度BC 为1千米即可求得答案.【详解】如图，过D 作DE BC ⊥交BC 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ， 由题意得45,30,BAC ABC DAC ∠=∠=︒∠=︒则15BAD ∠=︒在D 处测得山顶的仰角为75︒， 即75BDE ∠=︒,15DBE ∠=︒,则30ABD ∠=︒ 设AD x =，在ABD △中由正弦定理得：2sin15sin sin x BDBD x ABD BAD=⇒=︒∠∠1cos152sin15cos15sin 302BE BD x x x =︒=︒︒=︒=,1sin 302CE DF x x ==︒=,因为1BC =,即1BE CE x +==，即从A 到D 前进了1千米，故选：C【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，考查学生运算能力及思维能力，属于基础题.8. 如图，矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，P 为MN 的中点，且2MN =.则AP 长度的最小值为（ ）A. 13B. 32C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】以AB 为x 轴，以AD 为y 轴建立直角坐标系，转化为在坐标系里求距离的最小值，根据分析可以知道，AP 长度的最小值实际是一个圆上的点到定点距离的最小值的一半，即可求解. 【详解】以AB 为x 轴，以AD 为y 轴建立直角坐标系，设()4,M y ，(),3N x ，43,22x y P ++⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()()222434MN x y ∴=-+-=,x y 表示以()4,3为圆心，半径为2的圆上的点， ()()222243143222x y AP x y ++⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴AP 表示圆上的点到()4,3--距离的一半，()4,3--到()4,322443310，min10242AP .故选：C .【点睛】本题考查解析几何的相关知识，通过建系把几何问题转化成代数问题解决，从而可直接利用计算解决，是一道中档题.二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分，请将答案填写在答题卡相应位置上.)9. 正方体1111ABCD A B C D -中，下列叙述正确的有（ ）A. 直线1A B 与1B C 所成角为60︒B. 直线1A C 与1C D 所成角为90︒C. 直线1A C 与平面ABCD 所成角为45︒D. 直线1A B 与平面11BCC B 所成角为60︒ 【答案】AB 【解析】 【分析】作出异面直线1A B 与1B C 所成角，然后计算，判断A ，证明1CD ⊥平面1A CD ，判断B ，作出直线1A C 与平面ABCD 所成角，判断C ，找到直线1A B 与平面11BCC B 所成角，判断D ．【详解】正方体中由11A B 与CD 平行且相等得平行四边形11A B CD ，则有11//B C A D ，异面直线1A B 与1B C 所成角是1BA D ∠（或其补角），1BA D 是正三角形，160BA D ∠=︒，A 正确；11A D ⊥平面11CDD C ，则有111A D CD ⊥，又有11CD C D ⊥，则有1CD ⊥平面1A CD ，于是有11C D AC ⊥，所以异面直线1A C 与1C D 所成角为90︒，B 正确；1AA ⊥平面ABCD ，1ACA ∠是直线1A C 与平面ABCD 所成角，此角为是45︒，C 错； 11A B ⊥与平11BCC B ，11A BB ∠是直线1A B 与平面11BCC B 所成角，1145A BB ∠=︒，D 错．故选：AB ．【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查直线与平面所成的角，解题时就根据定义作出（并证明）这个角，然后求解．10. 已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的有（ ） A. 11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的平均数为3 B. 11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的方差为3 C. 12x ，22x ，32x ，42x ，52x 的方差为4D. 122x +，222x +，322x +，422x +，522x +的方差为8 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平均数的差倍分性质，以及方差的性质，即可容易求得结果.【详解】对,A B 选项，将每个数据在原基础上加1，故平均数加1，但是方差保持不变， 故其平均数是3，方差是2；故A 正确；B 错误；对C ，将每个数据乘以2，故其方差变为原来的4倍，即为8，故C 错误； 对D ，将每个数据乘以2再加2，故其方差也变为原来的4倍，即为8，故D 正确. 故选：AD .【点睛】本题考查平均数和方差的性质，属简单题. 11. 下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ） A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C. 若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αD. 若一条直线的倾斜角为()90αα≠︒，则该直线的斜率为tan α 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论；【详解】平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A 正确； 若直线的倾斜角为90︒，而tan90︒不存在，所以斜率不存在，故B 错； 若一条直线的斜率为5tan4π，因为5tan 14π=，即斜率为1，则该直线的倾斜角为4π，故C 错； 若一条直线的倾斜角为()90αα≠︒，则该直线的斜率为tan α，故D 正确； 故选：AD.【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的相关概念，属于基础题型.12. 在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6b =，sin 2sin A C =，则以下四个结论正确的有（ ） A.ABC 不可能是直角三角形B.ABC 有可能是等边三角形C. 当A B =时，ABC 的周长为15D. 当3B π=时，ABC 的面积为【答案】CD 【解析】 【分析】对选项A ，利用勾股定理即可判断A 错误，对选项B ，根据2a c =即可判断B 错误，对选项C ，根据A B =和2a c =即可判断C 正确，对选项D ，首先根据余弦定理得到c =，a =ABC 的面积即可判断D 正确.【详解】由正弦定理得2a c =，对选项A ，若A 直角，则()22222236=+⇒=+⇒=a b c c c c 所以存在ABC 是直角三角形，故A 错误.对选项B ，因为2a c =，所以不存在ABC 是等边三角形，故B 错误. 对选项C ，若A B =，则6a b ==，3c =，ABC 的周长为15，故C 正确.对选项D ，2222224361cos 2222+-+-===⨯a c b c c B ac c ，解得c =，a =所以1sin 2S ac B ==，故D 正确. 故选：CD【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学生的计算能力，属于简单题.三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上.）13. 下表是关于某校高一年级男女生选科意向的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调查，若在“选修物理的男生”中抽取了8人，则n 的值为________. 【答案】20 【解析】 【分析】根据分层抽样方法可得方程，求得答案. 【详解】根据分层抽样方法得：8160400n=，解得20n =， 故答案：20.【点睛】本题考查分层抽样方法中的样本容量的求解，属于基础题.14. 若两条直线210ax y ++=和()110a x ay ---=互相垂直，则a 的值为________. 【答案】0或3 【解析】 【分析】根据两直线垂直的判定条件，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为直线210ax y ++=和()110a x ay ---=互相垂直， 所以()120a a a --=，解得：0a =和3a =. 故答案为：0或3.【点睛】本题主要考查由两直线垂直求参数，属于基础题型.15. 已知直三棱柱111A B C ABC -中，1AB =，2BC =，90ABC ∠=︒，其外接球的表面积为9π，则该三棱柱的侧棱长为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，该直三棱柱可补形为长方体1111-ABEC A B E C ，则长方体1111ABEC A B E C -的外接球即是直三棱柱111A B C ABC -的外接球，由球的表面积求出半径，根据题中数据得出侧棱长，即可得出结果.【详解】由题意，该直三棱柱可补形为长方体1111-ABEC A B E C ，则长方体1111ABEC A B E C -的外接球即是直三棱柱111A B C ABC -的外接球. 所以体对角线1BE 的长为球的直径，设球的半径为R ， 则249S R ππ==球. 所以32R =设侧棱为x ，则2221232x R +=+=，解得2x =， 即侧棱为2. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，属于常考题型.16. 从A ，B ，C ，D ，E 五位条件类似的应聘者中征选2人担任秘书职位，则A 被录用的概率为________. 【答案】25【解析】 【分析】先求出总的情况2510C =，再列举出A 被录用的可能，求出A 被录用的概率即可.【详解】由题意得：录用可能的总数为2510C =,A 被录用的可能为,,,AB AC AD AE 共四种，则A 被录用的概率为42105=. 故答案为：25. 【点睛】本题主要考查了求古典概率模型的概率的计算问题.属于容易题.四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案填写在答题卡相应的位置上.）17. 为了解一大片经济林的生长情况，随机抽样测量其中20株树木的底部周长（单位cm ），得到如下频数分布表和频率分布直方图：分组[)85,95 [)95,105 [)105,115 [)115,125 []125,135 频数2 7 a b 2（1）请求出频数分布表中a ，b 的值；（2）估计这片经济林树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）从样本中底部周长在115cm 以上的树木中任选2株进行嫁接试验，求至少有一株树木的底部周长在125cm 以上的概率.【答案】（1）5a =，4b =；（2）108.5；（3）35. 【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得频率，从而可得频数,a b ；（2）用每组数据中间值乘以频率相加得均值；（3）底部周长在[)115,125上的有4株，底部周长在[]125,135上的有2株，编号后用列举法写出所有基本事件，得出“至少有一株树木的底部周长在125cm 以上”含有的基本事件，计数后可计算概率．【详解】（1）底部周长在[)105,115上的频率为0.025100.25⨯=，所以200.255a =⨯=，底部周长在[)115,125上的频率为0.020100.20⨯=，所以200.204b =⨯=；（2）由频率分布直方图，这片经济林树木底部周长的平均值为： (900.011000.0351100.0251200.021300.01)10108.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；（3）底部周长在[)115,125上的有4株，记为,,,A B C D ，底部周长在[]125,135上的有2株，记为,a b ，从中任取2株的基本事件为： ,,,,,,,,,,,,AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ca Cb ,,Da Db ab ，共15个，其中至少有一株树木的底部周长在125cm 以上事件有,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb ,,Da Db ab ，共9个，所求概率为93155P ==． 【点睛】本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查用样本估计总体，考查古典概型，列举法是求解古典概型的常用方法．18. 如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，P 是CE 上的中点，Q 是AC 的中点，BP 与CE 交于点O .（1）求证：//OQ 平面ABEF ；（2）求证：AP CE ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接AE ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）根据线面垂直的判定定理，证明CE ⊥平面ABP ，即可得出结论成立.【详解】（1）连接AE ，因为P 是CE 上的中点，BP 与CE 交于点O ，所以O 为CE 中点，又Q 是AC 的中点，所以//OQ AE ，因为AE ⊂平面ABEF ，OQ ⊄平面ABEF ，所以//OQ 平面ABEF ；（2）由题意，AB BC ⊥，AB BE ⊥，又BC ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以AB ⊥平面BCE ，因此AB CE ；又由（1）可知：BP CE ⊥，因为AB 平面ABP ，BP ⊂平面ABP ，AB BP P ⋂=， 所以CE ⊥平面ABP ，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP CE ⊥.【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及证明线线垂直，熟记线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理和性质即可，属于常考题型.19. 已知圆C 过三点()1,3，()4,2，()1,7-.（1）求圆C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若CMN △为等腰直角三角形，求直线l 的方程【答案】（1）()()221225x y -+-=；（2）20l x y -+=:或80x y --=. 【解析】【分析】（1）根据题意，求得圆心的纵坐标，设出方程，根据两点距离公式即可求得圆心和半径，则问题得解； （2）设出直线方程，根据题意，利用点到直线的距离公式，即可求得参数，则问题得解.【详解】（1）因为圆过点()()1,3,1,7-，故圆心在2y =-上，设圆心坐标(),2x -，则()()22125416x x -+=-+，解得1x =. 故其半径()2212525r x =-+=.故圆方程为：()()221225x y -+-=（2）设直线方程为：0x y c -+= CMN △为等腰直角三角形， ∴圆心到直线的距离52d ==352c c ⇒+=⇒=或8-:20l x y ⇒-+=或80x y --=【点睛】本题考查圆方程的求解，以及根据直线与圆相交所得三角形的形状求直线方程，属综合基础题. 20. 在ABC 中，已知tan 2A =，tan 3B =.（1）若ABC 最小边的长为5，求ABC 最大边的长；（2）若AC 边上的中线BDABC 的面积.【答案】（1）；（2）12【解析】【分析】（1）结合三角形内角和的代换，可得()tan tan C A B =-+，代入数值即可求解tan C ，根据同角三角函数可求出三个角正弦值，结合大边对大角和正弦定理即可求解b ；（2）由正弦定理可得三边比例关系，再由余弦定理中线长定理可求出,a c ，结合1sin 2S ac B =即可求解；也可作CE 垂直AB ，设2BE x =，3AE x =，6CE x =，由中线长定理求出,AC BC ，结合正弦面积公式求解.【详解】（1）()23tan tan 1123C A B +=-+=-=-⨯，()0,C π∈，4C π∴=，tan 2A =，tan 2B =，25sin 5A ∴=，310sin B =，2sin C =，sin sin sin C A B ∴<<，c a b ∴<<， ∴最大边为b ，最小边为c ,由正弦定理，得31022=， 35b ∴=，即最大边长为35（2）解法一：由正弦定理得：::sin :sin :sin a b c A B C =，设10b m =，则453a m =，523c m =，由余弦定理中线长定理：()22222AB BC BD AD+=+ 得()2222455210217332m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得3105m =， 得42a =，25c =，11310sin 4225122210S ac B ∴==⨯⨯⨯= 解法二：见切作高：作CE 垂直AB ，设2BE x =，3AE x =，6CE x =由中线长公式得()222222245221725404x BD CD AB BC x x ⎛⎫+=+⇒+=+ ⎪⎝⎭ 245x ⇒=，1sin 122ABC S AC BC C =⋅⋅=【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的具体应用，余弦定理中线长定理的使用，三角形面积的求法，属于中档题21. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PBC 为正三角形，M ，N 分别为PD ，BC 的中点，PN ⊥AB.（1）求三棱锥P AMN -的体积；（2）求二面角M AN D --的正切值.【答案】（13（215. 【解析】【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证出PN 平面ABCD ，再利用已知条件求3PN =1124P AMN P ADN P ABCD V V V ---==，即可得出结论； （2）取DN 中点E ，连接ME ，过E 作EQ AN ⊥，利用已知条件得出MQE ∠即为该二面角的平面角，再利用解三角形的有关知识求出二面角的平面角即可.【详解】（1）PB PC =，PN BC ∴⊥ 又PN AB ⊥，AB BD B =，AB 、BC ⊂平面ABCD ，PN ∴⊥平面ABCD ，2AB BC PB PC ====，3PN ∴=，M 为PD 中点，P AMN D AMN M ADN V V V ---==，11113432443P AMN P ADN P ABCD V V V ---∴===⨯⨯=； （2）取DN 中点E ，连接ME ， M 、E 为中点，//ME PN ∴，PN ⊥平面ABCD ，ME ∴⊥平面ABCD ，过E 作EQ AN ⊥，ME AN ⊥,,EQ ME E AN =∴⊥平面MEQ ，AN MQ ∴⊥，MQE ∠即为该二面角的平面角，tan ME QE θ=∴， 3PN =，3ME ∴=，5AN DN ==，2AD =，125255QE =⨯=∴， 15tan 4θ=∴. 即该二面角的正切值为15.【点睛】本题主要考查了用线面垂直的判定定理证明线面垂直，以及求二面角的平面角与几何体的体积.属于中档题.22. 已知圆()()22:444C x y -+-=和圆()22:220D x y ++=，()2,4A ，P 为圆D 上动点.（1）过点A 作一条直线l ，若l 被圆C 和圆D 截得的弦长相等，求直线l 的方程；（2）求证：当点P 不在x 轴上时，总存在圆C 上点M 和圆D 上点N ，使得四边形AMPN 为平行四边形.【答案】（1）:4l y =或8200x y +-=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出直线l 的方程，利用弦长公式结合弦长相等，即可求得直线斜率，则直线方程得解； （2）设出点P 的坐标，根据直线,AM PN 截得的弦长相同，将问题转化为一元二次方程一定有根的问题，结合∆取值，即可容易证明.【详解】（1）设直线():24l y k x =-+，即420kx y k -+-=由弦长相等，得222220416D C D C d d r r -=-=-=2216-=，解得0k =或8- :4l y ∴=或8200x y +-=（2）设()00,P x y ，则()2200220x y -+= 设():24AM y k x =-+，则()00:PN y k x x y =-+由弦长相等，得2216-= 得：()()22222000022241616x k y x ky k k ++-+-=+ 化为关于k 的方程：()()222000022022160x k x y k y ⎡⎤+--++-=⎣⎦二次项系数()22002200x y +-=-≠ ()()()22220000022422016160x y x y y ⎡⎤∆=-+-+--=>⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴存在k 使等式成立，即存在k 使AMPN 为平行四边形【点睛】本题考查直线与圆相交时，弦长的求解，本题第二问中，将问题转化为一元二次方程一定有根，是本题的关键，属中档题.。
江苏省扬州市2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 D卷
江苏省扬州市2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共13题；共26分)1. （2分） (2017高一下·卢龙期末) 二进制数110011（2）化为十进制数为（）A . 51B . 52C . 25223D . 250042. （2分） (2015高二上·广州期末) 运行如图所示的程序语句后，输出的结果是（）A . 17B . 19C . 21D . 233. （2分） 2014年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；化妆品116000人；家用电器92000人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为（）A . 92B . 94C . 116D . 1184. （2分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表广告费用x （万元）4235销售额y （万元）4926a54已知由表中4组数据求得回归直线方程=8x+14，则表中的a的值为（）A . 37B . 38C . 39D . 405. （2分）(2018·孝义模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A .B .C .D .6. （2分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是（）A . （,2]B . （1，3]C . （2，3]D . [3，5]7. （2分）各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为（）A .B .C .D . 或8. （2分） (2018高二下·惠东月考) 已知满足约束条件，则的最大值为（）A . 2B . 0C .D .9. （2分） (2016高二上·晋江期中) 在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则边b等于（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·乾安期末) 已知是正方形内的一点，且满足，，在正方形内投一个点，该点落在图中阴影部分内的概率是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一下·鹤岗期中) 已知，则（）A .B .C .D .12. （2分）给出下列三个等式：，，，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A .B .C .D .13. （2分）数列的前n项和为，则数列的前50项的和为（）A . 49B . 50C . 99D . 100二、填空题 (共5题；共14分)14. （1分）已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，则S2016=________15. （1分） (2016高一下·南汇期末) 在△ABC中，若a2+b2=2c2 ，则 =________．16. （1分） (2017高二下·宾阳开学考) 设实数x，y满足，则的最大值是________．17. （10分） (2017高二下·新余期末) 已知函数f（x）=xex+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．18. （1分） (2018高一下·吉林期中) 某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论：①函数在上单调递增，在上单调递减；②点是函数图像的一个对称中心；③存在常数，使对一切实数均成立；④函数图像关于直线对称．其中正确的结论是________．三、解答题 (共7题；共50分)19. （5分） (2017高一下·静海期末) 解含参数a的一元二次不等式：（a﹣2）x2+（2a﹣1）x+6＞0．20. （10分） (2018高二下·邯郸期末) 在中，，，的对边分别为，，，若，（1）求的大小；（2）若，，求，的值.21. （5分） (2017高三上·九江开学考) 某学校餐厅新推出A、B、C、D四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下．为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：满意一般不满意A套餐50%25%25%B套餐80%020%C套餐50%50%0D套餐40%20%40%（Ⅰ）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率．22. （5分） (2017高一下·玉田期中) 某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，在甲地和乙地之间往返一次的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要运送不少于900人从甲地去乙地的旅客，并于当天返回，为使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？营运成本最小为多少元？23. （5分） (2017高一上·定州期末) 2015年春，某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面的面积设计为定值S，渠深为h，则水渠壁的倾斜角α（0＜α＜）为多大时，水渠中水的流失量最小？24. （10分）(2018·栖霞模拟) 已知正项数列的前项和为，且， .（1）求数列的通项公式；（2）求的值.25. （10分）(2017·葫芦岛模拟) 已知数列{an}满足：a1+2a2+…+nan=4﹣．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=（3n﹣2）an，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案一、选择题 (共13题；共26分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、填空题 (共5题；共14分)14-1、15-1、16-1、17-1、17-2、18-1、三、解答题 (共7题；共50分)19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、24-1、24-2、25-1、25-2、。
【精准解析】江苏省苏州市昆山市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
江苏省昆山2019—2020学年高一第二学期期中调研试卷数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1.310x y +-=的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C 【解析】 【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率k ，再由tan θk 求解倾斜角.310x y +-=的斜率=3k tan 3,[0,180)o o k θθ∴==∈，∴120θ︒=. 故选：C【点睛】本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题.2.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45A =︒，120B =︒，6a =，则b =（ ） A. 26 B. 32 C. 33 D. 36【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解． 【详解】45A =，120B =，6a =，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得：sin 6sin12036sin sin45a Bb A ⋅⨯=== 故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3.在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点坐标分别为()()0,0,4,0,4,(2)(),0,2O A B C ﹣﹣，则矩形OABC 的外接圆方程是（ ）A. 22420x y x y +-+= B. 22420x y x y ++-=C. 22840x y x y +-+= D. 22840x y x y ++-=【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的中心是其外接圆的圆心，矩形的对角线是其外接圆的直径，求出圆心坐标和半径，得到圆的标准方程，再化为圆的一般方程即可得到答案.【详解】矩形OABC 的中心为(2,1)-=所以矩形OABC 的外接圆的圆心为(2,1)-所以矩形OABC 的外接圆方程是22(2)(1)5++-=x y ，即22420x y x y ++-=.故选：B【点睛】本题考查了根据圆心坐标和半径求圆的标准方程，属于基础题.4.古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 222石 B. 224石C. 230石D. 232石【答案】B 【解析】 【分析】根据270粒内夹谷30粒，可得2016石的夹谷约为302016270⨯石，即可得到答案． 【详解】由题意可知，2016石的夹谷约为302016224270⨯=石． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了简单随机抽样，用样本估计总体，属于容易题．5.已知直线1:210l ax y +-=，直线2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则实数a 的值为（ ） A. 4﹣B. 4C. 4±D. 0【答案】A 【解析】 【分析】解不等式820,a a ⨯-⨯=得4a =±，检验舍去4a =得解. 【详解】因为12l l //，所以820,4a a a ⨯-⨯=∴=±.当4a =时，1:4210l x y +-=，2:4210l x y +-=，两直线重合，所以舍去； 当4a =-时，满足题意. 故选：A【点睛】本题主要考查两直线平行的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6.已知()()2,3,6,2M N -，点P 在x 轴上，且使得PM PN +取最小值，则点P 的坐标为（ ） A. (2,0)- B. 12,05⎛⎫⎪⎝⎭C. 14,05⎛⎫⎪⎝⎭D. ()6,0【答案】C 【解析】 【分析】作图，找到M 关于x 轴对称点是()'2,3M --，连结M’N ，求出M’N 的方程，则M’N 与x 轴交于P 点，此时，PM PN +取最小值，且'PM PN M N +=，此时根据直线方程求出P 点即可【详解】如图，M 关于x 轴对称点是()'2,3M --，M’和N 在x 轴两侧，则当M’N 成一直线，此时，M’N与x 轴交于P 点，有PM PN +取最小值，此时，'PM PN M N +=，而直线M’N 的方程为263226y x --=----，化简得，58140x y --=，则直线M’N 交x 轴于P 点，所以，P 点坐标为14,05⎛⎫ ⎪⎝⎭答案选：C【点睛】本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题7.如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线AC 匀速飞行．在A 处观测地面目标A ，测得俯角30BAP ∠=︒．经2分钟飞行后在B 处观测地面目标P ，测得俯角60ABP ∠=︒．又经过一段时间飞行后在C 处观察地面目标P ，测得俯角BCP θ∠=且419cos θ=，则该侦察飞机由B 至C 的飞行时间为（ ）A .1.25分钟 B. 1.5分钟 C. 1.75分钟 D. 2分钟【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，直接利用解三角形知识的应用和三角函数的关系式的恒等变换，列出方程，即可求解.【详解】设飞机的飞行速度为V ，所以根据飞机的飞行图形，测得俯角30BAP ∠=， 经过2分钟飞行后在B 处观测地面目标P ，测得俯角为60ABP ∠=︒， 所以ABP ∆为直角三角形，过点P 作PD AC ⊥于点D ，则2,3,AB V AP V BP V ===，解得3V DP =， 设CB xV =， 因为41919cos θ=，可得257sin 1cos 19θθ=-=，所以3tan 4θ=，直角PCD ∆中，3321a n 2t V V xV θ==+，解得 1.5x =， 即该侦察飞机由B 至C 的飞行时间为1.5分钟. 故选：B .【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中结合图形，合理利用解三角形的知识和三角函数的基本关系式求解是解答的关键，着重考查数形结合数学，以及运算、求解能力.8.已知圆C 的方程为：222(1)(2)(0)x y r r -+-=>，若直线210x y +-=上存在一点P ，使得在圆C 上总存在不同的两点,M N ，使得2MN NP =，则圆C 的半径r 的取值范围是（ ） A. 5⎛ ⎝⎦B. 25⎛ ⎝⎦C. 5⎫+∞⎪⎣⎭D.25⎫+∞⎪⎪⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】设P 的坐标，可得M 的坐标，代入圆的方程，可得以()1,2为圆心，r 为半径的圆与以2+122,33m n +⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，3r 为半径的圆有公共点，由此求得C 的半径r 的取值范围． 【详解】直线的方程为210x y +-=， 设(),P m n ，(,)N x y ．(,)M x y ''∴(),MN x x y y '--'=，(),NP m x n y =--又2MN NP =∴()(),2,x x y y m x n y --=-'-'可得2222x x m x y y n y -=-⎧⎨-=-''⎩，即3232x x m y y n=-⎧⎨=-''⎩∴()32,32M x m y n --又M ，N 都在半径为r 的圆C 上，222222(1)(2)(321)(322)x y r x m y n r⎧-+-=∴⎨--+--=⎩ 即：222222(1)(2)2122339x y r m n r x y ⎧-+-=⎪⎨++⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩该关于x ，y 的方程组有解， 即以()1,2为圆心，r 为半径的圆与以2+122,33m n +⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，3r 为半径的圆相交或相切， 可得：22222122123333r m n r r r ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-+-≤+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即：22224212216129339m n r r ++⎛⎫⎛⎫≤-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭——①由点(),P m n 在210x y +-=∴21n m =-——②将②代入①整理可得：222244846916r m m m m r ≤-++++≤∴2224521316r m m r ≤-+≤∴2221145131655r m r ⎛⎫≤--+≤ ⎪⎝⎭ 故：222164451655r m r ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭ 要保证直线210x y +-=上存在一点P ，使得在圆C 上总存在不同的两点,M N ，使得2MN NP =需264165r ≤ ，解得：5r ≥故圆C 的半径r 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 故选：D.【点睛】本题解题关键是掌握的向量线性坐标表示和两圆相交几何特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ，则下列结论中正确的是（ ） A. 1234P P P P === B. 312P P = C. 12341P P P P +++= D. 423P P =【答案】CD 【解析】 【分析】利用n 次的独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式，分别求得1234,,,P P P P 的值，即可求解.【详解】由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为1234,,,P P P P ，根据独立重复试验的概率计算公式， 可得：3322121233431111113113(),(),()(1),(1)2828228228P P P C P C =====-==⋅-=， 由1234P P P P =<=，故A 是错误的； 由313P P =，故B 是错误的；由12341P P P P +++=，故C 是正确的； 由423P P =，故D 是正确的. 故选：CD【点睛】本题主要考查概率的计算及其应用，其中解答中熟练应用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.10.在同一直角坐标系中，直线0ax y a -+=与圆222()x a y a ++=的位置可能是（ ）A. B.C.D.【答案】AD 【解析】 【分析】利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径比较大小即可得到结果【详解】解：圆222()x a y a ++=的圆心为(,0)a -，半径为a则圆心(,0)a -到直线0ax y a -+=的距离为221a a d a -+=+221a a a a -+<+2111a a -<+，即22121a a a -+<+，当0a >时，恒成立，可知A 正确，B 不正确；当0a <时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以C 不正确，D 正确， 故选：AD【点睛】此是考查直线与圆的位置关系的判断，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，属于中档题.11.对于ABC ，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若sin 2sin 2A B =，则ABC 必为等腰三角形 B. 若A B >，则sin sin A B >C. 若5,3,60a b B ︒===，则符合条件的ABC 有两个D. 若222cos cos cos 1A B C +->，则ABC 必为钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦函数性质，正弦定理，余弦定理对每个命题进行判断．【详解】∵,A B 是三角形内角，∴由sin 2sin 2A B =得22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，三角形为等腰三角形或者直角三角形，A 错；A B a b >⇔>，又由sin sin a bA B=得sin sin A B >，B 正确；若5,3,60a b B ︒===，则sin 5sin 60sin 13a B A b ︒===>，无解，C 错； 若222cos cos cos 1A B C +->，则2221sin 1sin (1sin )1A B C -+--->，即222sin sin sin 0A B C +-<，由正弦定理得2220a b c +-<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，C 为钝角，D 正确．故选：BD ．【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查正弦定理、余弦定理解三角形．掌握正弦定理和余弦定理是解三角形的关键．应用正弦定理解三角形时注意三角形解的情况，可能1解也可能2解，还可能无解．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程是||||1(0)x a y b a b a b--+=>>，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C 关于(,)a b 对称 B. 22x y +的最小值为2222a b a b+ C. 曲线C 的周长为2()a b + D. 曲线C 围成的图形面积为2ab【答案】ABD 【解析】 【分析】确定方程表示的曲线，根据对称性判断A ，利用22x y +的几何意义判断B ，计算曲线的周长与所围图形面积判断C ，D ．【详解】设00(,)x y 是曲线上的任一点，则00||||1x a y b a b--+=，所以00(2)(2)1a x a b y ba b ----+=，所以点00(2,2)a x b y --也在曲线上，而点00(,)x y 与00(2,2)a x b y --是关于(,)a b 对称的，由00(,)x y 的任意性知A 正确，如,x a y b ≤≤时方程||||1x a y b a b --+=化为1a x b y a b --+=，即1x ya b+=，其中0,0x a y b ≤≤≤≤，表示一条线段，同理当2,0a x a y b ≤≤≤≤时，方程为1x ya b-=，当0,2x a b y b ≤≤≤≤时，方程为1x y a b -+=，当2,2a x a b y b ≤≤≤≤时，方程为3x ya b+=． 所以方程||||1(0)x a y b a b a b--+=>>表示的曲线是以(,0),(0,),(,2),(2,)A a B b C a b D a b 为顶点的菱形M ，如图，22x y +表示菱形M 上点到原点距离的平方，原点到AB 的距离为为OAB 斜边AB 上的高22h a b =+，所以22x y +的最小值为2222a b a b+，B 正确； 菱形M 的周长为224a b +C 错误； 菱形M 的面积为12222a b ab ⨯⨯=，D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查曲线的对称性，考查用方程研究曲线的性质，考查方程的曲线，解题关键是确定方程表示的曲线，注意掌握绝对值的定义，按绝对值分类讨论即可．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.随机抽取圆柱形零件样本5件，测量其直径依次为5.1，4.9，5.2，4.7，5.1（单位：mm ），则数据5.1，4.9，5.2，4.7，5.1的方差为______． 【答案】0.032 【解析】 【分析】先计算出平均值，然后根据方差公式计算． 【详解】由已知均值为 5.1 4.9 5.2 4.7 5.155x ++++==，所以方差为2222220.1(0.1)0.2(0.3)0.10.0325s +-++-+==．故答案为：0.032【点睛】本题考查方差的计算，属于基础题． 14.在ABC中，已知a =3c =，60A ︒∠=，则b =_____．【答案】1或2 【解析】 【分析】直接根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-可解得结果.【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即217962b b =+-⨯， 所以2320b b -+=，解得1b =或2b =. 故答案为：1或2【点睛】本题考查了用余弦定理解三角形，属于基础题.15.在平面直角坐标xOy 中，已知()4,3A 、()5,2B 、()1,0C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为_______．【答案】()3,1 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(),x y ，根据条件PA PB PC ==建立有关x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得点P 的坐标. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，由PA PB PA PC=⎧⎨=⎩可得()()()()()()()222222224352431x y x y x y x y⎧-+-=-+-⎪⎨-+-=-+⎪⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩， 因此，点P 的坐标为()3,1. 故答案为：()3,1.【点睛】本题考查利用两点间的距离求点的坐标，考查计算能力，属于基础题. 16.在平面直角坐标系xOy 内，已知(1,0),(1,0)A B -，若点P满足PA =，则PAB△面积的最大值为______；若点P还同时满足PB =，则点P 的横坐标等于______．【答案】(2). 16- 【解析】 【分析】设(,)P x y，根据PA =求出P 点的轨迹方程，可得PAB △面积的最大值，根据PB =求出P 点的轨迹方程，联立两个方程可解得16x =-，即可得答案.【详解】设(,)P x y=22(1)2x y -+=,所以P 点的轨迹是以(1,0)B为半径的圆， 所以PAB △面积的最大值为122⨯=由PB ==22102x y x ++-=， 联立2222210102x y x x y x ⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩，解得16x =-，即点P 的横坐标等于16-.；16-. 【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求法，考查了三角形的面积，考查了求曲线的交点坐标，属于基础题.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，已知(1,1),(3,2)A B -，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上．（1）求顶点C 的坐标； （2）求ABC 的面积． 【答案】（1）(1,2)--；（2）2． 【解析】 【分析】（1）设点()00,C x y ,根据AC 边的中点M 在y 轴上求出01x =-，根据BC 边的中点N 在x 轴上求出02y =-，即得解；（2）先求出直线AC 的方程为230x y --=，再求出点B 到直线AC 的距离，即得ABC 的面积．【详解】解：（1）设点()00,C x y ,AC 边的中点M 在y 轴上，0102x +∴=，解得01x =-． 又BC 边的中点N 在x 轴上，0202y +∴=，解得02y =-． ∴点C 的坐标是(1,2)--.(2)(1,1),(1,2),||A C AC ---∴=由题得121112AC k -+==+, 所以直线AC 的方程为11(1)2y x +=-， 所以直线AC 的方程为230x y --=．又(3,2)B ，∴点B 到直线AC距离为d == 1||22ABCSAC d ∴=⋅==． 【点睛】本题主要考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.某校高一某班50名学生参加防疫知识竞赛，将所有成绩制作成频率分布表如下：（1）求频率分布表中a b c d ,,,的值； （2）从成绩在[50,70)的学生中选出2人，请写出所有不同的选法，并求选出2人的成绩都在[60,70)中的概率．【答案】（1）2,3,0.04,0.08a b c d ====；（2）所有选法：()()()()()()()()1211121321222312,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B ，()()1323,,,B B B B ；概率为310． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表中的数据，结合频数、频率的计算方法，即可求解；（2）设成绩落在[50,60)中的2人为12,A A ，成绩落在[60,70)中的3人为123,,B B B ，利用列举法得到基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】（1）由题意，该班学生人数为50人，所以表格中的频数总和为356450a b ++++=，则根据频率与频数的关系，可得40.0850d ==，500.063b =⨯=， 所以50335642a =----=，0.0450ac ==． （2）由（1）可得成绩落在[50,60)中的2人为12,A A ，成绩落在[60,70)中的3人为123,,B B B ，则从成绩在[50,70)的学生中选2人的基本事件有：()()()()12111213,,,,,,,A A A B A B A B ，()()()()()()212223121323,,,,,,,,,,,A B A B A B B B B B B B ，共有10个，其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有()()()121323,,,,,B B B R B B ，共有3个， 所以选出2人的成绩都在[60,70)中的概率为3()10P A =． 答：从成绩在[50,70)的学生中选出2人，2人的成锁都在[60,70)中的概率为310． 【点睛】本题主要考查了频率分布表的应用，以及古典概型的概率计算，其中解答中认真审题，熟记频率分布表中的频数与频率的计算，以及利用列举法得出基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 19.在锐角ABC 中，角,,A B C对边分別为,,a b c 2sin c A =．（1）求角C 的大小；（2）若c =，且ABC 的面积为+a b 的值．【答案】（1）3π；（2）7． 【解析】【分析】（12sin sin A C A =．进而得到sin C =，即可求解角C 的大小； （2）由ABC 的面积为求得12ab =，再余弦定理和c =，得到2213a b ab +-=，联立方程组，即可求解．【详解】（1）在锐角ABC 2sin c A =，由正弦定理可知：2sin ,2sin a R A cR C ==（其中R 为ABC 外接圆半径）， 2sin sin A C A =，又因为锐角三角形，则0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin 0A >，所以sin 2C =， 又因为锐角三角形，则0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3C π=．（2）因为ABC 的面积为11sin sin 223ABCSab C ab π=== 可得12ab = ①．在ABC 中，由余弦定理可知：222cos 122a b c C ab +-==，因为c =，所以2213a b ab +-=②，联立①②解得：7a b +=．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．20.某调查机构为了了解某产品年产量x （吨）对价格y （千元/吨）和年利润z 的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表，若 5.5y =．（1）求表格中c 的值；（2）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3）若每吨该产品的成本为2千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取得最大值？【答案】（1） 2.5c =；（2） 1.49.7y x =-+；（3）2.75吨． 【解析】 【分析】（1）由 5.5y =，计算可得；（2）依题意求出b 和a ，即可求出回归直线方程；（3）依题意可得年利润21.47.7z x x =-+，根据二次函数的性质求解即可； 【详解】解：（1）1(8764) 5.55y c =++++=，解得： 2.5c =．（2）51814181612.568.5i ii x y==++++=∑，522222211234555ii x==++++=∑．又1234535x ++++==，又已知 5.5y =．152251568.553 5.51.455595i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯∴===--⨯-∑∑，5.5( 1.4)39.7a y bx =-=--⨯=y ∴关于x 的线性回归方程是 1.49.7y x =-+（3）年利润2( 1.49.72) 1.47.7z x x x x =-+-=-+ 所以当7.72.752.8x =-=-吨时，年利润z 可取得最大． 答：当年产量为2.75吨时，年利润z 取得最大值．【点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程以及二次函数的性质的应用，属于基础题. 21.如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，2,1AB AD BC ===，且sin 3sin CAD BAC ∠=∠．（1）求CD 的长度； （2）求圆O 的半径． 【答案】（1）3；（2）213． 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理及已知角的关系可求CD 与BC 的关系，进而可求；（2）结合圆内接四边形的角的性质及余弦定理可求AC ，再由正弦定理即可求解． 【详解】解：（1）四边形ABCD 内接于圆O ，ABC ∴与ACD 有相同的外接圆圆O ，设圆O 的半径为R ． 在ABC 中，由正弦定理可得：2sin BCR BAC =∠．在ACD 中，由正弦定理可得：2sin CDR CAD=∠． sin sin BC CD BAC CAD∴=∠∠． 又设sin 3sin CAD BAC ∠=∠，33CD BC ∴==．（2）设(13)AC x x =<<，又已知2,1AB AD BC ===．在ABC 中，由余弦定理可得：22225cos 24BC BA AC x ABC BC BA +--∠==⋅． 在ACD 中，由余弦定理可得：222213cos 212AD CD AC x ADC AD CD +--∠==⋅． 四边形ABCD 内接于圆O ，ABC ADC π∴∠+∠=，cos cos()cos ABC ADC ADC π∴∠=-∠=-∠，即cos cos 0ABC ADC ∠+∠=．由①②可得：225130412x x --+=，解得：7x =1cos 2ABC ∴∠=-，又(0,)ABC π∠∈，23ABC π∴∠=．∴在ABC 中，由正弦定理可得：72212sin 3sin 3AC R ABC π===∠．∴圆O 的半径为213．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是圆内接四边形性质的灵活应用．22.已知圆22:4O x y +=，点P 坐标为(1,0)．（1）如图1，斜率存在且过点P 的直线l 与圆交于,A B 两点．①若3OA OB ⋅=-，求直线l 的斜率；②若2AP PB =，求直线l 的斜率．（2）如图2，,M N 为圆O 上两个动点，且满足0PM PN ⋅=，Q 为MN 中点，求OQ 的最小值．【答案】（1）①1-或1；②153或153-；（271-；【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程为：(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，由3OA OB ⋅=-，则12123x x y y +=-，即()()21212113x x k x x +--=-，即可求出k 的值；由2AP PB =，则()12121212x x y y ⎧-=-⎨-=⎩，解方程组即可；（2）连结,,OM ON PQ ，依题意可得PM PN ⊥，可得224OQ PQ +=，设点Q 的坐标为(,)x y ，即可得动点Q 点的轨迹；【详解】解：（1）设直线l 的方程为：(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ．联立方程得：224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，消去y 整理可得：()22221240k x k x k +-+-=．()()2242441401216k k k k ∆=-+=+->恒成立，∴由韦达定理可得：212221k x x k +=+①，212241k x x k -=+②．又3OA OB ⋅=-，12123x x y y ∴+=-，即()()21212113x x k x x +--=-．整理可得：()()2221212130kx xk x x k +-+++=．将①②代入可得：422224301k k k k--++=+． ()()22421120k k k ∴-+-=，化简得：21k =．∴直线l 的斜率k 的值为1-或1．（2）点(1,0)P ，()111,AP x y ∴=--，()221,PB x y =-．2AP PB =，()12121212x x y y ⎧-=-∴⎨-=⎩，整理可得1212232x x y y =-+⎧⎨=-⎩．,A B 都在圆O 上，2211222244x y x y ⎧+=∴⎨+=⎩，即()()2222222223244x y x y ⎧-++-=⎪⎨+=⎪⎩③④． ③-④可得：274x =． 将274x =代入22224x y +=解得：2y = ∴此时，直线l 的斜率k．（3）如图，连结,,OM ON PQ ．0PM PN ⋅=，PM PN ∴⊥，又Q 为MN 中点，PQ QM ∴=．,M N 为圆上两点，2OM ON ∴==，又Q 为MN 中点，OQ MN ∴⊥．2224OQ QM OM ∴+==，又PQ QM =，224OQ PQ ∴+=．设点Q 的坐标为(,)x y2222(1)4x y x y∴++-+=，整理可得：221724x y⎛⎫-+=⎪⎝⎭．Q∴点的轨迹是以1,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，72为半径的圆．min 71 2OQ -∴=．【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，求动点的轨迹问题，属于中档题.。