《等比数列前n项和》公开课课件
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等比数列前n项和的求和公式微课名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
设{an}为等比数列,a1 为首项,q为公比,它旳前n项和
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 ①
两边同步乘以 q 为
qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ②
两式相减得 (1 q)Sn a1 1 qn
错位相减
(1 q)Sn a1 1 qn
课堂小结及巩固作业
(1)等比数列旳前n项和公式
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq 1 q
,q 1
Sn
na1 q
1
(2) 公式推导利用思想 “错位相减”
(3) 公式旳利用： a1, q, n, Sn
作业：完毕课后习题2,3
①
两边同步乘以2，
2S30 2 22 23 229 230 ②
由①-②得,
S30 1 230 即 S30 230 1 1.01010.
而S30' 3.0 1053,显然S30比S30'大得多,
所以，究竟是猪八戒占便宜还是孙悟空 有谋略？
三：问题拓展，有效指导
探讨：对于一般旳等比数列我们该怎样求它 旳前n项和?
教学重、难点：
要点：等比数列旳前n项和公式旳推导； 难点：灵活应用公式处理有关问题。
回忆：求等差数列旳前n项和用了倒序相加法
即
Sn a1 a2
Sn an an1
an a1
两式相加 而得 Sn
对于该式子是否也能用倒序相加法呢？
能否找到一种式 子与原式相减能
消去中间项？
S30 1 2 22 228 229
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列旳
当q 1 时
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 ①
两边同步乘以 q 为
qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ②
两式相减得 (1 q)Sn a1 1 qn
错位相减
(1 q)Sn a1 1 qn
课堂小结及巩固作业
(1)等比数列旳前n项和公式
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq 1 q
,q 1
Sn
na1 q
1
(2) 公式推导利用思想 “错位相减”
(3) 公式旳利用： a1, q, n, Sn
作业：完毕课后习题2,3
①
两边同步乘以2，
2S30 2 22 23 229 230 ②
由①-②得,
S30 1 230 即 S30 230 1 1.01010.
而S30' 3.0 1053,显然S30比S30'大得多,
所以，究竟是猪八戒占便宜还是孙悟空 有谋略？
三：问题拓展，有效指导
探讨：对于一般旳等比数列我们该怎样求它 旳前n项和?
教学重、难点：
要点：等比数列旳前n项和公式旳推导； 难点：灵活应用公式处理有关问题。
回忆：求等差数列旳前n项和用了倒序相加法
即
Sn a1 a2
Sn an an1
an a1
两式相加 而得 Sn
对于该式子是否也能用倒序相加法呢？
能否找到一种式 子与原式相减能
消去中间项？
S30 1 2 22 228 229
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列旳
当q 1 时
《等比数列前n项和》课件
2 其他公式
通项公式的推导过程可以帮助我们得到其他与等比数列相关的公式。
等比数的前n项和
1 求和公式
我们可以通过数学推导得到等比数列前n项和的公式。
2 实例计算
通过使用公式，我们可以计算具体等比数列的前n项和。
应用实例
经济应用
了解等比数列在经济领域中的应 用，如金融市场中的资产增长模 型。
自然科学应用
《等比数列前n项和》 PPT课件
掌握等比数列前n项和的概念和计算方法，以及在经济、自然科学和计算机科 学中的实际应用。
什么是等比数列？
1 定义
等比数列是指数列中的每一项与其前一项的 比都相等。
2 性质
等比数列具有独特的性质，如比值相等、前 项与后项之比等于公比等。
等比数列的通项公式
1 推导公式
根据等比数列的定义和性质，可以推导出等比数列的通项公式。
发现等比数列在自然科学中的应 用，如生物群体的增长规律。
计算机科学应用
探索等比数列在计算机科学领域 中的实际应用，如算法设计和数 据结构。
总结
关键概念和公式回顾
回顾等比数列的关键概念和 通项公式，巩固知识。
应用回顾
再次思考等比数列在经济、 自然科学和计算机科学中的 实际应用。
总结
总结本课件的主要内容，强 调等比数列前n项和的重要性。
高中数学人教A版 选择性必修第二册 等比数列的前n项和公式 课件
由题意，得 an＋1＝45an.
因此，数列{an}是首项 a1＝25，公比 q＝45的等比数列．
热气球在前 n 分钟内上升的总高度为 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝
4
a111－－qqn＝25×1－1－4
5
n
＝125×
1－
4 5
n
<125.
5
故这个热气球上升的高度不可能超过 125 m.
例题解析
1
1
例 8．已知在等比数列{an}中，a2＝9，a3a4＝2 187.
例题解析
解析：当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1； 当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)an－1，n∈N* ∴an＋1＝a，
an ∴数列{an}是等比数列． 答案：B
例题解析
S6
S9
例 6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若S3＝4，则S6＝( A )
因为等比数列{an}共有 2n＋1 项，所以等比数列中偶数项有 n 项，奇数项有 n＋1 项．由题意得 q≠±1，所
a1q（1－q2n）
q2－q2n＋2
a1（1－q2n＋2）
1－q2n＋2
以偶数项和为 1－q2
＝84，∴ 1－q2 ＝42q，奇数项和为
1－q2
＝170，∴ 1－q2 ＝85，
2×2（1－4n）
例题解析
(2)由于 an＝13n，所以 bn＝nan＝n·13n，所以 Tn＝1×13＋2×132＋…＋n·13n，① 13Tn＝1×132＋2×133＋…＋(n－1)·13nn·13n＋1，② ①－②得，23Tn＝13＋132＋…＋13n－1＋13n－n·13n＋1＝1311－－1331n－n·13n＋1，解得 Tn＝34－34＋n2·13 n.
第七章 第三节 等比数列及其前n项和 课件(共54张PPT)
(2)等比中项 如果 a，G，b 成等比数列，那么_G_叫做 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a
与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇒_G_2_＝__a_b_．
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝_a_1_q_n_－_1___．
__n_a_1 ，q＝1； (2)前 n 项和公式：Sn＝a1（11－－qqn）＝a11－－aqnq，q≠1.
第七章 数 列
第三节 等比数列及其前n项和
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.通过实例，理解等比数列的概念． 考情分析： 等比数列的基本运算，
2．探索并掌握等比数列的通项公式 等比数列的判断与证明，等比数列的
与前 n 项和的公式．
性质与应用仍是高考考查的热点，三
3．等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn 是其前 n 项和． (1)若 m＋n＝p＋q＝2r，则 aman＝apaq＝a2r . (2)若数列{an}、{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}、a1n 、{a2n }、{anbn}、 abnn (λ≠0)仍然是等比数列． (3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an， an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式．
解析： (1)证明：由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋bn＋1＝12 (an＋bn).
又因为 a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为 1，公比为12 的等比数列． 由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为 a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
等比数列的前n项和(优质课比赛)ppt课件
10
课堂小结
1、等比数列的前n项和公式； 2、前n项和的推导方法我们称之为错位相减法； 3、由 Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二。
最新课件
11
知能巩固
1.已知a1
27,
a9
1 ,(q 243
0),求S8
2.若等比数列1，1，1，...前n项和是63，求n
248
64
3.已知a1
a3
通项公式: an=a1• q n-1
最新课件
5
例题分析
例1 求等比数列 1 , 1 , 1 , 的前8项的和. 248
解:
a1
1,q1,n8 22
S8
1 2
1
1 2
8
1 1
2
Sn
a1(1 qn ) 1q
255 . 256
最新课件
6
S 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 a n 的 n
等比数列的前n项和
最新课件
1
等差数列
等比数列
定义
an－an-1=d(n≥2)
an q a n1
(n≥2)
通项 公式 中项
an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
A= a b 2
an=a1·qn-1(q≠0) an=am·qn-m
G= a b
m+n=p+q
前n项和
am+an=ap+aq
10,
a4
a6
5 4
,
求S5
最新课件
12
作业: 课本P66 练习1、２、３
最新课件
13
谢谢大家
最新课件
《 等比数列的前n项和》课件
分析：第1年产量为 5000台 第2年产量为 5000×(1+10%)=5000×1.1台
第3年产量为5000×(1+10%) ×(1+10%)
…… 50001.12台 第n年产量为 50001.1n1台
则n年内的总产量为：
5 5 1 .1 5 1 .1 2 5 1 .1 n 1
例2.某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年 的销售量比上一年增加10%,那么从第一年起,约几年 内可使总销售量达到30000台(保留到个位)?
(1q)Sna1anq
∴当q≠1时，
Sn
a1(1qn) 1q
①
或
Sn
a1 anq 1q
②
∴当q＝1时，Sn na1.
等比数列的前n项和公式的推导
“方程”在代数课程里占有重要的地 位，方程思想是应用十分广泛的一种数 学思想，利用方程思想，在已知量和未 知量之间搭起桥梁，使问题得到解决．
等比数列的前n项和公式
我们看国王能不能满足他的要求，由于每 个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数 的2倍，共有64个格子，各个格子里的麦粒数 依次是：
讲授新课
讲授新课
1
讲授新课
12
讲授新课
1 2 22
讲授新课
1 2 22 23
讲授新课
1 2 22 23 24
讲授新课
1 2 22 23 24
讲授新课
1 2 2 2 2 3 24 2 63
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
2 63
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22, 23, , 263.
第3年产量为5000×(1+10%) ×(1+10%)
…… 50001.12台 第n年产量为 50001.1n1台
则n年内的总产量为：
5 5 1 .1 5 1 .1 2 5 1 .1 n 1
例2.某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年 的销售量比上一年增加10%,那么从第一年起,约几年 内可使总销售量达到30000台(保留到个位)?
(1q)Sna1anq
∴当q≠1时，
Sn
a1(1qn) 1q
①
或
Sn
a1 anq 1q
②
∴当q＝1时，Sn na1.
等比数列的前n项和公式的推导
“方程”在代数课程里占有重要的地 位，方程思想是应用十分广泛的一种数 学思想，利用方程思想，在已知量和未 知量之间搭起桥梁，使问题得到解决．
等比数列的前n项和公式
我们看国王能不能满足他的要求，由于每 个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数 的2倍，共有64个格子，各个格子里的麦粒数 依次是：
讲授新课
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1
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讲授新课
1 2 22
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1 2 22 23
讲授新课
1 2 22 23 24
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1 2 22 23 24
讲授新课
1 2 2 2 2 3 24 2 63
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
2 63
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22, 23, , 263.
4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)
有了上述公式，就可以解决本节开头提出的问题了. 由a1 1，q 2，n 64，
可得
S64
1 (1 264 ) 1 2
264
1
1.84 1019.
如果一千颗麦粒的质量约为40克，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨， 约是202X-202X年度世界小麦产量的981倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言.
思考：对于等比数列的相关量a1，q，n，an，S n ，已知几个量就可以确定其他量？
（1）若 （2）若
a1 a1
1227，，q a912，2求143S，8 q；
0，求 S8；
（3）若
a1
8，q
1 2
，Sn
31，求 2
n.
a1
q
n
an
Sn
（1）
1 2
1
8
√
√
2
知 三
1
（2） 27
√
9
243
√
求 二
（3） 8
1 2
√
√
31
2
例题讲授，学以致用
例2. 已知等比数列 an 的公比 q 1 ，前 n 项和为 Sn.
证明 Sn ， S2n Sn ， S3n S2n 成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：利用等比数列 an前 n 项和 Sn 的定义，得
Sn a1 a2 a3 an a1 a1q a1q2 a1qn1 a1(1 q q2 qn1），
公比 q(q 1)
首项 ， 公比
a1 ，末项
q(q 1)
an
首项 a1，项数 n ，
公比 q(q 1)
Sn
a1(1 qn ) 1 q
Sn