高考文科数学练习题双曲线含答案解析
{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练48《双曲线》附答案详析
{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练48《双曲线》(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1. (2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A ．2 B. 3 C ． 2 D.323．(2018·青岛二模)直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )A ．x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1C ．x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝14．(2019·湖南师大附中模拟)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2C ．4D ．与λ的取值有关5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )A ．13 B.12 C ．23 D.32二、填空题6．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.7．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值为________． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率大于6，则m 的取值范围为________．三、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9.双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．10．(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.B 组 能力提升1．(2019·湖南四校联考)已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ·k PB ＝3，则该双曲线的离心率为( )A ． 2 B. 3 C ．2 D ．32．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝13．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.4．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积． 解析{北师大版}2020高考数学文科一轮复习课后练48《双曲线》(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1. (2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)B [∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上，∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．故选B.]2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A ．2 B. 3 C ． 2 D.32C [由渐近线互相垂直可知⎝⎛⎭⎫－b a ·b a＝－1，即a 2＝b 2，即c 2＝2a 2，即c ＝2a ，所以e ＝ 2.]3．(2018·青岛二模)直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )A ．x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1C ．x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1A [根据题意，令y ＝0，则x ＝5，即c ＝5.又b a ＝12，所以a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线的方程为x 220－y 25＝1.]4．(2019·湖南师大附中模拟)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2C ．4D ．与λ的取值有关A [由题意，可知|PG |＝2|GO |，GA ∥PF 1，∴2|OA |＝|AF 1|，∴2a ＝c －a ，∴c ＝3a ，∴e ＝3.]5．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )A ．13 B.12C ．23 D.32D [由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.]二、填空题6．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.3 [因为(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝4，则b ＝ 3.]7．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值为________． 2 [双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，焦点F (c,0)到渐近线的距离d ＝|bc ＋0|b 2＋a 2＝b .∴b ＝32c ，∴a ＝c 2－b2＝12c ，∴e ＝ca＝2.] 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率大于6，则m 的取值范围为________．(0,1)∪(4，＋∞) [由双曲线方程可得m >0，所以e ＝m ＋m 2＋4m>6，解得m >4或m <1.由m >0，故可得m 的取值范围为(0,1)∪(4，＋∞)．]三、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9.双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．[解] 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3.∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. [解] (1)∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1.(2)证明：法一：由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→·MF 2→＝0.法二：由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.B 组 能力提升1．(2019·湖南四校联考)已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ·k PB ＝3，则该双曲线的离心率为( )A ． 2 B. 3 C ．2 D ．3C [由双曲线的对称性知，点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，P (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，又k PA ＝y 2－y 1x 2－x 1，k PB ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，所以k PA ·k PB ＝y 22－y 21x 22－x 21＝b 2a2＝3，所以离心率e ＝1＋b 2a2＝2，故选C ．]2．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1C [如图，不妨设A 在B 的上方，则A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a)．其中的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b2＝2bc c ＝2b ＝6，∴b ＝3. 又由e ＝c a ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，∴a ＝3. ∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 故选C ．]3．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.4 [由e ＝ca＝a 2＋b 2a 2知a 2＋4a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝54，∴a 2＝16. ∵a >0，∴a ＝4.]4．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积．[解] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m ＞0，n ＞0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，因为tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，所以S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.。
福建高考数学双曲线专项练习(含答案)
福建高考数学双曲线专项练习（含答案）在数学中，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
以下是双曲线专项练习，请考生仔细练习。
1.M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,那么动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线左边一支C.双曲线左边一支D.一条射线2.假定双曲线方程为x2-2y2=1,那么它的右焦点坐标为()A. B. C. D.(,0)3.(2021纲要全国,文11)双曲线C:=1(a0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,那么C的焦距等于()A.2B.2C.4D.44.过双曲线=1(a0)的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM(切点为M),交y轴于点P.假定M为线段FP的中点,那么双曲线的离心率是()A. B. C.2 D.5.双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上的一点,且满足=0,||||=2,那么该双曲线的方程是()A.-y2=1B.x2-=1C.=1D.=16.双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.假定|F1A|=2|F2A|,那么cosAF2F1=()A. B. C. D.7.(2021福建莆田模拟)双曲线=1的右焦点的坐标为(,0),那么该双曲线的渐近线方程为 .8.A,B是双曲线C的两个顶点,直线l与双曲线C交于不同的两点P,Q,且与实轴所在直线垂直.假定=0,那么双曲线C的离心率e= .9.双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线方程;(2)假定点M(3,m)在双曲线上,求证:=0;(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积.10.(2021福建厦门模拟)双曲线=1(a0)的一条渐近线方程是y=x,坐标原点到直线AB的距离为,其中A(a,0),B(0,-b).(1)求双曲线的方程;(2)假定B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过点B作直线交双曲线于点M,N求时,直线MN的方程.才干提升组11.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,那么C的实轴长为()A. B.2 C.4 D.812.点P是双曲线=1(a0)右支上一点,F1,F2区分为双曲线的左、右焦点,点I为PF1F2的内心,假定+成立,那么的值为()A. B. C. D.13.假定点O和点F(-2,0)区分为双曲线-y2=1(a0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的恣意一点,那么的取值范围为()A.[3-2,+)B.[3+2,+)C. D.14.(2021浙江,文17)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线=1(a0)的两条渐近线区分交于点A,B.假定点P(m,0)满足|PA|=|PB|,那么该双曲线的离心率是 .15.(2021湖南,文20)如图,O为坐标原点,双曲线C1:=1(a10)和椭圆C2:=1(a20)均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)能否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只要一个公共点,且||=||?证明你的结论.16.双曲线E:=1(a0)的两条渐近线区分为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l区分交直线l1,l2于A,B两点(A,B区分在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探求:能否存在总与直线l有且只要一个公共点的双曲线E?假定存在,求出双曲线E的方程;假定不存在,说明理由.1.C 解析:|PM|-|PN|=34,由双曲线定义知,其轨迹为双曲线的一支.又|PM||PN|,点P的轨迹为双曲线的右支.2.C 解析:双曲线的规范方程为x2-=1,a2=1,b2=.c2=a2+b2=.c=,故右焦点坐标为.3.C 解析:e=2,=2.设焦点F2(c,0)到渐近线y=x的距离为,渐近线方程为bx-ay=0,∵c2=a2+b2,b=.由=2,得=2,=4,解得c=2.焦距2c=4,应选C.4.A 解析:如下图,在Rt△OPF中,OMPF,且M为PF的中点, 那么△POF为等腰直角三角形.所以△OMF也是等腰直角三角形.所以有|OF|=|OM|,即c=a.故e=.5.A 解析:由=0,可知.可设||=t1,||=t2,那么t1t2=2.在△MF1F2中,=40,那么|t1-t2|===6=2a.解得a=3.故所求双曲线方程为-y2=1.6.A 解析:双曲线的离心率为2,=2,a∶b∶c=1∶∶2.又|AF1|=4a,|AF2|=2a,|F1F2|=2c=4a,cosAF2F1选A.7.2x3y=0 解析:由于右焦点坐标是(,0),所以9+a=13,即a=4.所以双曲线方程为=1.所以渐近线方程为=0,即2x3y=0.8. 解析:如下图,设双曲线方程为=1,取其上一点P(m,n), 那么Q(m,-n),由=0可得(a-m,-n)(m+a,-n)=0,化简得a2-m2+n2=0.又=1可得b=a,故双曲线的离心率为e=.9.(1)解:由于e=,所以可设双曲线方程为x2-y2=.由于双曲线过点(4,-),所以16-10=,即=6.所以双曲线方程为=1.(2)证明:由(1)可知,在双曲线中a=b=,所以c=2.所以F1(-2,0),F2(2,0).所以=(-2-3,-m),=(2-3,-m),那么=9-12+m2=m2-3.由于点(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,即m2=3.所以=m2-3=0.(3)解:由(2)知△F1MF2的高h=|m|=,由△F1MF2的底边|F1F2|=4,那么=6.10.解:(1)设直线AB:=1,由题意,所以所以双曲线方程为=1.(2)由(1)得B(0,-3),B1(0,3),设M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN的斜率存在.设直线MN:y=kx-3,所以所以3x2-(kx-3)2=9.整理得(3-k2)x2+6kx-18=0,①所以x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)-6=,x1x2=,y1y2=k2(x1x2)-3k(x1+x2)+9=9.由于=(x1,y1-3),=(x2,y2-3), =0,所以x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,即+9-+9=0,解得k2=5,所以k=,代入①有解,所以lMN:y=x-3.11.C 解析:设等轴双曲线方程为x2-y2=m(m0),由于抛物线的准线为x=-4,且|AB|=4,所以|yA|=2.把坐标(-4,2)代入双曲线方程得m=x2-y2=16-12=4, 所以双曲线方程为x2-y2=4,即=1.所以a2=4,所以实轴长2a=4.12.B 解析:设△PF1F2内切圆半径为r,依据可得|PF1|r=|PF2|r+2cr,整理可得|PF1|=|PF2|+2c.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,那么2c=2a,故=.13.B 解析:由a2+1=4,得a=,那么双曲线方程为-y2=1.设点P(x0,y0),那么=1,即-1.=x0(x0+2)+=+2x0+-1x0,当x0=时,取最小值3+2.故的取值范围是[3+2,+).14. 解析:双曲线=1的两条渐近线方程区分是y=x和y=-x. 由解得A,由解得B.设AB中点为E,那么E.由于|PA|=|PB|,所以PE与直线x-3y+m=0垂直,而kPE=,于是=-1.所以a2=4b2=4(c2-a2).所以4c2=5a2,解得e=.15.解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.由于点P在双曲线x2-=1上,所以=1.故=3.由椭圆的定义知2a2==2.于是a2==2.故C1,C2的方程区分为x2-=1,=1.(2)不存在契合题设条件的直线.①假定直线l垂直于x轴,由于l与C2只要一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.当x=时,易知A(),B(,-),所以||=2,||=2.此时,||||.当x=-时,同理可知,||||.②假定直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=,x1x2=.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.由于直线l与C2只要一个公共点,所以上述方程的判别式=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得2k2=m2-3,因此=x1x2+y1y2=0,于是+2-2,即||||,故||||.综合①,②可知,不存在契合题设条件的直线.16.解法一:(1)由于双曲线E的渐近线区分为y=2x,y=-2x, 所以=2,所以=2,故c=a,从而双曲线E的离心率e=.(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时,假定直线l与双曲线E有且只要一个公共点, 那么|OC|=a,|AB|=4a,又由于△OAB的面积为8,所以|OC||AB|=8,因此a4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为=1.假定存在满足条件的双曲线E,那么E的方程只能为=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k2或k-2,那么C. 记A(x1,y1),B(x2,y2).由得y1=,同理得y2=,由S△OAB=|OC||y1-y2|得,=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.由于4-k20,=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又m2=4(k2-4),所以=0,即l与双曲线E有且只要一个公共点.因此,存在总与l有且只要一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.解法二:(1)同解法一.(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得-2或k-2.由得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,由于4-k20,0,所以x1x2=,又由于△OAB的面积为8,所以|OA||OB|sinAOB=8,由sinAOB=,所以=8,化简得x1x2=4.所以=4,即m2=4(k2-4).由(1)得双曲线E的方程为=1,由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,由于4-k20,直线l与双曲线E有且只要一个公共点当且仅当=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,所以双曲线E的方程为=1.当lx轴时,由△OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:=1有且只要一个公共点.综上所述,存在总与l有且只要一个公共点的双曲线E,且E 的方程为=1.双曲线专项练习及答案的全部内容希望考生可以经过试卷查缺补漏。
【高考复习】2020年高考数学(文数) 双曲线 小题练(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(文数)双曲线 小题练一、选择题1.已知双曲线C 的右焦点F 与抛物线y 2=8x 的焦点相同，若以点F 为圆心，2为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A ．y 23-x 2=1B ．x 23-y 2=1C ．y 22-x 22=1D ．x 22-y 22=12.双曲线x 2a 2-y2b2=1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y =±2xB ．y =±3xC ．y =±22x D ．y =±32x3.已知平面内两定点A(-5，0)，B(5，0)，动点M 满足|MA|-|MB|=6，则点M 的轨迹方程是( )A ．x 216-y 29=1B ．x 216-y 29=1(x≥4)C ．x 29-y 216=1D ．x 29-y216=1(x≥3)4.已知双曲线C ：y 2a 2-x 2b 2=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y =±12x ，则双曲线C 的离心率为( )A ．52 B ． 5 C ．62D ． 65.若双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y=－2x ，则该双曲线的离心率是( )A ．52B ． 3C ． 5D ．2 36.已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C的右支交于点A ，若BA →=2AF →，且|BF →|=4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25=1 B ．x 28－y 212=1 C.x 28－y 24=1 D ．x 24－y 26=17.设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为( ) A ． 5 B ．2 C ． 3 D ． 28.过双曲线x 2a 2－y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2=a 2的切线FM(切点为M)，交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 59.已知F 是双曲线C ：x 2－y23=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B ．12 C.23 D ．3210.若实数k 满足0<k<5，则曲线1161622=--k y x 与曲线151622=--y k x 的( ) A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等11.等轴双曲线的一个焦点是F 1(-6，0)，则它的标准方程是( )A.1181822=-x y B.1181822=-y x C.18822=-y x D.18822=-x y 12.若双曲线E ：=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.3二、填空题13.已知双曲线C ：x 2a 2-y2b2=1(a>0，b>0)的离心率e =2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．14.已知双曲线x 2a 2－y 22=1(a ＞0)和抛物线y 2=8x 有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．15.双曲线x 2a 2－y 29=1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=35x ，则a=________.16.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2-y2b2=1(b>0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|=2且∠F 1AF 2=45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．17.已知双曲线C ：x 2a 2-y2b2=1(a>0，b>0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN=60°，则C 的离心率为________．18.设F 1，F 2分别为双曲线x 216-y220=1的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离为________．答案解析1.答案为：D ；解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a>0，b>0)，而抛物线y 2=8x 的焦点为(2，0)，即F(2，0)，∴4=a 2＋b 2．又圆F ：(x-2)2＋y 2=2与双曲线C 的渐近线y=±b a x 相切，由双曲线的对称性可知圆心F 到双曲线的渐近线的距离为2b b 2＋a2=2，∴a 2=b 2=2， 故双曲线C 的方程为x 22-y22=1．故选D ．2.答案为：A ；解析：∵e =c a =3，∴b 2a 2=c 2－a 2a 2=e 2-1=3-1=2，∴ba=2．因为该双曲线的渐近线方程为y =±bax ，所以该双曲线的渐近线方程为y =±2x ，故选A ．3.答案为：D ；解析：由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线的右支，故排除A ，C ；又c =5，a =3，∴b 2=c 2-a 2=16．∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 29-y 216=1(x≥3)．故选D ．4.答案为：B解析：由题意可得a b =12，则离心率e =c a =1＋b a2=5，故选B ．5.答案为：C ；解析：由双曲线x 2a 2－y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y=±bax ，且双曲线的一条渐近线方程为y=－2x ，得ba =2，则b=2a ，则双曲线的离心率e=c a =a 2＋b 2a =a 2＋4a 2a =5aa= 5.故选C.6.答案为：D.解析：不妨设B(0，b)，由BA →=2AF →，F(c ，0)，可得A ⎝⎛⎭⎫2c 3，b3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19=1，即49·a 2＋b 2a 2=109，所以b 2a 2=32，①又|BF →|=b 2＋c 2=4，c 2=a 2＋b 2，所以a 2＋2b 2=16，②由①②可得，a 2=4，b 2=6，所以双曲线C 的方程为x 24－y 26=1，故选D.7.答案为：C ；解析：由题可知|PF 2|=b ，|OF 2|=c ，∴|PO|=a ．在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc，∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O=|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ，∴b 2＋4c 2－(6a )22b·2c =b c ⇒c 2=3a 2，∴e=3．故选C ．8.答案为：A ；解析：连接OM.由题意知OM ⊥PF ，且|FM|=|PM|，∴|OP|=|OF|，∴∠OFP=45°，∴|OM|=|OF|·sin 45°，即a=c·22，∴e=ca= 2.故选A.9.答案为：D.解析：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x=2时，代入双曲线C 的方程，得4－y23=1，解得y=±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x 轴，又PF⊥x 轴，所以AP⊥PF，所以S △APF =12|PF|·|AP|=12×3×1=32.故选D.10.答案为：D ；11.答案为：B ；12.B.13.答案为：x 2-y23=1；解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝1，ca ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b =3，故所求方程为x 2-y23=1．14.答案为：2；解析：易知抛物线y 2=8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线x 2a 2－y22=1的焦点为(2,0)，则a 2＋2=22，即a=2，所以双曲线的离心率e=c a =22= 2.15.答案为：5；解析：∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29=1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y=±3a x.又双曲线的一条渐近线方程为y=35x ，∴a=5.16.答案为：4；解析：由题意知a=1，由双曲线定义知|AF 1|-|AF 2|=2a=2，|BF 1|-|BF 2|=2a=2， ∴|AF 1|=2＋|AF 2|=4，|BF 1|=2＋|BF 2|．由题意知|AB|=|AF 2|＋|BF 2|=2＋|BF 2|， ∴|BA|=|BF 1|，∴△BAF 1为等腰三角形，∵∠F 1AF 2=45°，∴∠ABF 1=90°，∴△BAF 1为等腰直角三角形．∴|BA|=|BF 1|=22|AF 1|=22×4=22． ∴S △F1AB=12|BA|·|BF 1|=12×22×22=4．17.答案为：233； 解析：如图，由题意知点A(a ，0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y=bax ，即bx-ay=0，∴点A 到l 的距离d=aba 2＋b 2．又∠MAN=60°，|MA|=|NA|=b ，∴△MAN 为等边三角形， ∴d=32|MA|=32b ，即ab a 2＋b 2=32b ，∴a 2=3b 2，∴e=c a =a 2＋b 2a 2=233．18.答案为：17；解析∵实轴长2a=8，半焦距c=6，∴||PF 1|-|PF 2||=8．∵|PF 1|=9，∴|PF 2|=1或|PF 2|=17． 又∵|PF 2|的最小值为c-a=6-4=2，∴|PF 2|=17．。
高考文科数学练习题双曲线
第四节 双曲线[考纲要求]1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．知道双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 3．了解双曲线的简单应用． 4．理解数形结合思想．突破点一 双曲线的定义和标准方程[基本知识]1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. (1)当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若P Q 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段P Q 上，则△P Q F 的周长为________．答案：442．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________．答案：y225－x275＝13．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．答案：7 2[全析考法]考法一双曲线的定义及应用(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题；(2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．[例1](1)(2019·宁夏育才中学月考)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于() A．1B．17C．1或17 D．以上均不对(2)已知点P在曲线C1：x216－y29＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|P Q|－|PR|的最大值是()A．6 B．8C．10 D．12[解析](1)根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒PF2＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故选B.(2)由题意可知C3，C2的圆心分别是双曲线C1：x216－y29＝1的左、右焦点，点P在双曲线的左支上，则|PC2|－|PC3|＝8.|P Q|max＝|PC2|＋1，|PR|min＝|PC3|－1，所以|P Q|－|PR|的最大值为(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.故选C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．考法二双曲线的标准方程待定系数法求双曲线方程的5种类型 类型一与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)类型二若已知双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x 或y ＝－b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)类型三与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2＜k ＜a 2)类型四过两个已知点的双曲线的标准方程可设为x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)或者x 2m ＋y 2n ＝1(mn ＜0)类型五与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2λ－b 2＝1(b 2＜λ＜a 2) [例2] (2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] 法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0， 则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b＝6，所以b ＝3.又由e ＝ca ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] C[方法技巧]求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．[集训冲关]1.[考法一]虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24解析：选B ∵2b ＝2，e ＝ca ＝3，∴b ＝1，c ＝3a ，∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知：|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22， ① |BF 2|－|BF 1|＝22，②①＋②得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B.2.[考法二]设k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．长轴在x 轴上的椭圆 B ．长轴在y 轴上的椭圆 C ．实轴在x 轴上的双曲线D ．实轴在y 轴上的双曲线解析：选D ∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0，∴方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是实轴在y 轴上的双曲线，故选D.3.[考法二]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x 223＝1 解析：选C 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a2－9b2＝1，ba＝3，解得⎩⎨⎧a＝1，b＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意得⎩⎨⎧9a2－4b2＝1，ab＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，选C.法二：当其中的一条渐近线方程y＝3x中的x＝2时，y＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a2－9b2＝1，ba＝3，解得⎩⎨⎧a＝1，b＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y＝±3x，即y3＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－y23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y23＝1，故选C.突破点二双曲线的几何性质[基本知识]标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0) 图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )(2)等轴双曲线的离心率等于2，且渐近线互相垂直．( ) 答案：(1)√ (2)√ 二、填空题1．双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为________．答案：3x ±4y ＝02．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k ＝________. 答案：13．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为________．答案：54或53[全析考法]考法一 渐近线问题[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x(2)(2019·郑州一中入学测试)已知抛物线x 2＝8y与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] (1)∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a .∴渐近线方程为y ＝±2x .(2)设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，所以y 0＝3，x 20＝24， 由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a 2－x 20＝1， 即9a 2－24＝1，解得a 2＝925， 所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a 2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B.[答案] (1)A (2)B [方法技巧]求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(a ＞0，b ＞0)．考法二 离心率问题[例2] (1)(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2(2)(2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤53，2B.⎝⎛⎦⎤1，53 C ．(1,2]D.⎣⎡⎭⎫53，＋∞[解析] (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝ba x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b . 在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac＝－cos ∠POF 2＝－ac ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.(2)由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53，即e ≤53，又双曲线的离心率e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53，故选B. [答案] (1)C (2)B [方法技巧]求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[集训冲关]1.[考法一]已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由于双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，所以c ＝5，m ＋9＝25，则m ＝16，则双曲线的方程为y 216－x 29＝1，则双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.2.[考法二]若a ＞1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a 2＜2，∴1＜e ＜ 2. 3.[考法一、二](2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝ 1＋b 2a 2＝2，∴ba ＝1.∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0.∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4.[考法一、二]已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1，F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立得⎩⎨⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－a b x ，解得⎝ ⎛x ＝－bc 2a，y ＝c2，即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c 2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c 22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得c a ＜2，又双曲线的离心率e ＝c a＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A .[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)解析：选B ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．2．(2019·南宁摸底联考)双曲线x 225－y 220＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±45xB ．y ＝±54xC ．y ＝±15xD ．y ＝±255x解析：选D 在双曲线x 225－y 220＝1中，a ＝5，b ＝25，∴其渐近线方程为y ＝±255x ，故选D.3．(2019·合肥调研)下列双曲线中，渐近线方程不是y ＝±34x 的是( )A.x 2144－y 281＝1 B.y 218－x 232＝1 C.y 29－x 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选D 对于A ，渐近线方程为y ＝±912x ＝±34x ；对于B ，渐近线方程为y ＝±1832x＝±34x ；对于C ，渐近线方程为y ＝±34x ；对于D ，渐近线方程为y ＝±32x ．故选D.4．(2019·铜陵模拟)已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( )A ．4(1＋2)B ．4＋ 2C ．2(2＋6) D.6＋3 2解析：选A 设双曲线的左焦点为F ′，易得点F (6，0)，△APF 的周长l ＝|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋2a ＋|PF ′|＋|AP |，要使△APF 的周长最小，只需|AP |＋|PF ′|最小，易知当A ，P ，F ′三点共线时取到，故l ＝2|AF |＋2a ＝4(1＋2)．故选A.5．(2019·合肥一模)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝－2x ，则该双曲线的离心率是( )A ．52B ． 3C ． 5D ．2 3 解析：选C 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，且双曲线的一条渐近线方程为y ＝－2x ，得b a ＝2，则b ＝2a ，则双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝a 2＋4a 2a ＝5aa ＝ 5.故选C.6．(2019·德州一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝16x 的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(3，3)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 220＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 24－y 212＝1 D.x 220－y 24＝1 解析：选C 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，由双曲线的一条渐近线过点(3，3)，可得ba＝3，①由双曲线的一个焦点(－c,0)在抛物线y 2＝16x 的准线x ＝－4上，可得c ＝4， 即有a 2＋b 2＝16，②由①②解得a ＝2，b ＝23， 则双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选C.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13 B.12 C.23D.32解析：选D 法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ―→＝(1,0)，PF ―→＝(0，－3)，所以AP ―→·PF ―→＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.2．(2019·黄冈质检)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选A 连接OM .由题意知OM ⊥PF ，且|FM |＝|PM |，∴|OP |＝|OF |， ∴∠OFP ＝45°，∴|OM |＝|OF |·sin 45°，即a ＝c ·22，∴e ＝ca＝ 2.故选A.3．(2019·银川模拟)已知双曲线x 2a 2－y 21－a 2＝1(0＜a ＜1)的离心率为2，则a 的值为( )A.12B.22C.13D.33解析：选B ∵c 2＝a 2＋1－a 2＝1，∴c ＝1，又c a ＝2，∴a ＝22，故选B.4．(2019·辽宁五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A ．x 22－y 28＝1B ．x 24－y 2＝1C ．x 24－y 216＝1D ．x 2－y 24＝1 解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.5．(2019·黄山一诊)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，F 1，F 2为C 的焦点，A 为双曲线上一点，若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1等于( )A.32 B.54C.55D.14解析：选C 因为双曲线的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以b ＝2a .又|F 1A |＝2|F 2A |，且|F 1A |－|F 2A |＝2a ，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，而c 2＝5a 2，得2c ＝25a ，所以cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A |2－|F 1A |22|F 1F 2||F 2A |＝20a 2＋4a 2－16a 22×25a ×2a＝55，故选C.6．(2019·天津和平一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为32，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( )A ．x 2－4y 25＝1 B.x 22－2y 25＝1C.x 24－y 25＝1 D.x 216－y 220＝1 解析：选C 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取一条渐近线为y ＝ba x ，可得F 到渐近线y ＝ba x 的距离d ＝bca 2＋b2＝b ， 在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，联立⎩⎨⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1.故选C.7．(2019·湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫53，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫54，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤1，53 D.⎝⎛⎦⎤1，54 解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a . 将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±bca ， 不妨取C ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bca . 因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54. 8．(2019·桂林模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤1，52 B.⎝⎛⎦⎤1，72 C.⎣⎡⎭⎫52，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫72，＋∞解析：选C 由条件得|OP |2＝2ab .又∵P 为双曲线上一点，∴|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a .又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.∴双曲线离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫52，＋∞.9．(2019·惠州调研)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D ．12解析：选A 如图，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，可知|PF 1|＝|P Q |，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，从而|Q F 2|＝2，在△F 1Q F 2中，易知OH 为中位线，故|OH |＝1.故选A.10．(2019·郑州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：选B 假设点P 在双曲线的右支上，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵|F 1F 2|＝2c ＞2a ，∴△PF 1F 2最短的边是PF 2， ∴△PF 1F 2的最小内角为∠PF 1F 2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2＝16a 2＋4c 2－2×4a ×2c ×cos 30°， ∴c 2－23ac ＋3a 2＝0，∴e 2－23e ＋3＝0，∴e ＝3，∴ca ＝3， ∴c 2＝3a 2，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b 2＝2a 2，∴ba ＝2，∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，故选B.11．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析：∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.答案：512．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py 消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案：y ＝±22x13．(2019·成都毕业班摸底测试)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞0)和抛物线y 2＝8x 有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．解析：易知抛物线y 2＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线x 2a 2－y 22＝1的焦点为(2,0)，则a 2＋2＝22，即a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝22＝ 2.答案： 214．(2019·南昌调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－ab (x－c )，即ax ＋by －ac ＝0.又圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝ca ，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2. 答案：215．(2019·西安铁一中模拟)已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°.(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1―→·PP 2―→的值．解：(1)由题易知F 2(1＋b 2，0)，可设M (1＋b 2，y 1)． 因为点M 在双曲线C 上且在x 轴上方，所以1＋b 2－y 21b2＝1，得y 1＝b 2，所以|F 2M |＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2，所以|MF 1|＝2b 2.由双曲线的定义可知，|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)易知两条渐近线方程分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0. 设双曲线C 上的点P (x 0，y 0)，两条渐近线的夹角为θ， 不妨设P 1在l 1上，P 2在l 2上，则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3. 因为P (x 0，y 0)在双曲线x 2－y 22＝1上， 所以2x 20－y 20＝2，又易知cos θ＝13，所以PP 1―→·PP 2―→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3cos θ＝|2x 20－y 20|3·13＝29.16．(2019·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝b ，所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以a 2＝b 2＝2， 所以双曲线的方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ， 所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，所以3⎝⎛⎭⎫c a 4－8⎝⎛⎭⎫c a 2＋4＝0， 所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0， 因为e ＞1，所以e ＝2， 所以双曲线的离心率为 2.。
高中数学关于双曲线的经典试题(含答案)
高中数学关于双曲线的经典试题（含答案）
高中数学经典试题：已知双曲线C的中点在原点，焦点在x轴上，点P（-2，0）与其渐进线的距离为（根号10）／5，过P作斜率为1/6的直线交双曲线于A，B两点，交y轴于点M，且PM是PA与PB的等比中项．⑴求双曲线C的渐进线方程⑵求双曲线C的方程高中数学经典试题答案第一问设渐近线方程为y=kx，利用点到直线的距离，求出k=1/3，可求得渐近线方程为y=1/3x，第二问解答如下设：A(x1，y1)B（x2，y2）直线为y=(1/6)*(x+2)，与y轴相交，即x=0时y=1/3所以
M(0，1/3)|PM|是|PA|与|PB|的等比中项，即|PA|：
|PM|=|PM|：|PB|画个图可知他们是相似三角形所以有：
|y1|：(1/3)=(1/3)：|y2|由于A、B必在x轴的两侧，所以y1，y2其中的一个必是负的因此上式整理为：1/9=-y1*y2再把直线和双曲线联立解方程组，要消x留y其中双曲线的
a=3b得到一个关于y的一元二次方程过程我省略了，方程是：27y^2-24y+4-b^2=0则y1*y2=(4-b^2)/27因此b^2=5则a^2=45方程就求出来了
拿稳100分
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(完整版)双曲线练习题(含标准答案)
双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 2sin α-y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角α的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 22229259257. 若a ·b <0，则ax 2-ay 2=b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是 ． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知ab <0，方程y=-2x +b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线的标准方程及其简单的几何性质1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－13．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线 D ．双曲线4．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1D.y 23－x 24＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2， |PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1 7．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( ) A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．269．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程是( )A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 10．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝1 11．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线12．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54xB ．y ＝±45xC ．y ＝±43xD ．y ＝±34x13．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.3214．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. 3 B ．3 C ．4 D ．2二、填空题15．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________． 16．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．17．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1的焦点相同，那么a ＝________.18．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．19．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.20．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2.234双曲线的标准方程及其简单的几何性质（答案）1、[答案] D2、[答案] A [解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ， x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23＝1. 5、[答案] C [解析] ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)8、[答案] D [解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21， ∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.11、[答案] C [解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.12、[答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1，∴c 2＝2a 2，e ＝ca＝ 2. 14、[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.15、[答案] x 273－y 275＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.16、[答案]833[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7， 该弦所在直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833.17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1.18、[答案] －12<b <0 [解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)，∴－12<b <0. 19、[答案]62 [解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52，∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394，∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.20、[答案]y2254－x2394＝1 [解析]椭圆x29＋y225＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16，。
人教A版文科数学课时试题及解析(51)双曲线A
高考数学一轮复习课时试题及解析（文科数学）课时作业(五十一)A [第51讲 双曲线][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1． 双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 22． 设集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24－y 2＝1，Q ＝{(x ，y )|x －2y ＋1＝0}，记A ＝P ∩Q ，则集合A 中元素的个数是( )A ．3B ．1C ．2D ．43． 双曲线x 216－y 29＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．双曲线y 27－x 29＝1的共轭双曲线的离心率是________． 能力提升5． 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( ) A. 6 B. 5 C.62 D.52 6． 设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．17． 从x 2m －y 2n＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( ) A.12 B.47 C.23 D.34 8．双曲线y 26－x 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( ) A. 6 B ．3 C ．4 D ．69． 如图K51－1，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝2AD ，设∠DAB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，以A 、B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C 、D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，则e 1·e 2＝________.10． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．11． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，它的一个焦点为F (6,0)，则双曲线的方程为________．12．(13分)双曲线C 与椭圆x 227＋y 236＝1有相同焦点，且经过点(15，4)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝120°，求△F 1PF 2的面积．难点突破13．(1)(6分) 已知双曲线x2a2－y2b2＝1和椭圆x2m2＋y2b2＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形(2)(6分) 已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2 B．4 C．6 D．8课时作业(五十一)A【基础热身】1．C [解析] 双曲线方程可化为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，得a ＝2，所以2a ＝4.故实轴长为4.2．B [解析] 由于直线x －2y ＋1＝0与双曲线x 24－y 2＝1的渐近线y ＝12x 平行，所以直线与双曲线只有一个交点，所以集合A 中只有一个元素．故选B.3．B [解析] 双曲线x 216－y 29＝1的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是3x －4y ＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×5－0|5＝3.故选B. 4.43 [解析] 双曲线y 27－x 29＝1的共轭双曲线是x 29－y 27＝1，所以a ＝3，b ＝7，所以c ＝4，所以离心率e ＝43.【能力提升】5．D [解析] 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y ＝±b ax ，因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12.根据c 2＝a 2＋b 2，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2＝54，所以e ＝52，故选D. 6．C [解析] 根据双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程得：y ＝±3ax ，即ay ±3x ＝0.又已知双曲线的渐近线方程为3x ±2y ＝0且a >0，所以有a ＝2，故选C.7．B [解析] 若方程表示圆锥曲线，则数组(m ，n )只有7种：(2，－1)，(3，－1)，(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，其中后4种对应的方程表示焦点在x 轴上的双曲线，所以概率为P ＝47.故选B. 8．A [解析] 双曲线的渐近线为y ＝±2x ，圆心为(3,0)，所以半径r ＝|±2×3－0|3＝ 6.故选A.9．1 [解析] 作DM ⊥AB 于M ，连接BD ，设AB ＝2，则DM ＝sin θ，在Rt △BMD 中，由勾股定理得BD ＝5－4cos θ，所以e 1＝|AB |||BD |－|AD ||＝25－4cos θ－1， e 2＝|CD ||AC |＋|AD |＝2－2cos θ5－4cos θ＋1，所以e 1·e 2＝1. 10．[2，＋∞) [解析] 依题意，双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是[60°，90°)，所以b a≥tan60°＝3，即b 2≥3a 2，c 2≥4a 2，所以e ≥2. 11.x 29－y 227＝1 [解析] b a＝3，即b ＝3a ，而c ＝6，所以b 2＝3a 2＝3(36－b 2)，得b 2＝27，a 2＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1. 12．[解答] (1)椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1，则a 2＋b 2＝32＝9.① 又双曲线经过点(15，4)，所以16a 2－15b 2＝1，②解①②得a 2＝4，b 2＝5或a 2＝36，b 2＝－27(舍去)，所以所求双曲线C 的方程为y 24－x 25＝1. (2)由双曲线C 的方程，知a ＝2，b ＝5，c ＝3.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|m －n |＝2a ＝4，平方得m 2－2mn ＋n 2＝16.①在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos120°＝m 2＋n 2＋mn ＝36.②由①②得mn ＝203， 所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn sin120°＝533. 【难点突破】13．(1)B (2)B [解析] (1)依题意有a 2＋b 2a ·m 2－b 2m＝1，化简整理得a 2＋b 2＝m 2，故选B.(2)在△F 1PF 2中，由余弦定理得，cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|， ＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|， ＝4a 2－4c 22|PF 1|·|PF 2|＋1＝－4b 22|PF 1|·|PF 2|＋1. 因为b ＝1，所以|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.。
高中数学关于双曲线的经典试卷(含解析)
高中数学关于双曲线的经典试卷（含解析） 高中数学经典试题：已知双曲线C的中点在原点，焦点在x轴上，点P（-2，0）与其渐进线的距离为（根号10）／5，过P作斜率为1/6的直线交双曲线于A，B两点，交y轴于点M，且PM是PA与PB的等比中项． ⑴求双曲线C的渐进线方程 ⑵求双曲线C的方程 高中数学经典试题答案 第一问设渐近线方程为y=kx，利用点到直线的距离，求出k=1/3，可求得渐近线方程为y=1/3x， 第二问解答如下 设：A(x1，y1)B（x2，y2） 直线为y=(1/6)*(x+2)，与y轴相交，即x=0时y=1/3 因此M(0，1/3) |PM|是|PA|与|PB|的等比中项，即|PA|：|PM|=|PM|：|PB| 画个图可知他们是相似三角形 因此有：|y1|：(1/3)=(1/3)：|y2| 由于A、B必在x轴的两侧，因此y1，y2其中的一个必是负的 因此上式整理为：1/9=-y1*y2 再把直线和双曲线联立解方程组，要消x留y 其中双曲线的a=3b 得到一个关于y的一元二次方程 过程我省略了，方程是：27y^2-24y+4-b^2=0 则y1*y2=(4-b^2)/27 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。能够写在后黑板的“积存专栏”上每日一换,能够在每天课前的3分钟让学生轮番讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。如此,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财宝。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会为所欲为地“提取”出来,使文章增色添辉。 因此b^2=5 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确仿照，才能不断地把握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我专门重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清晰，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，如此能引起幼儿的注意。当我发觉有的幼儿不用心听别人发言时，就随时夸奖那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们用心听，用心记。平常我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，如此幼儿学得生动爽朗，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了经历，又进展了思维，为说打下了基础。 则a^2=45 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。方程就求出来了
人教版高三文科数学课后习题(含答案)课时规范练45双曲线
课时规范练45双曲线基础巩固组1.(2019山西太原二模,5)已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x,且经过点(2,2),则该双曲线的标准方程为( )A.x24-y2=1 B.y24-x2=1C.x2-y24=1 D.y2-x24=12.(2019河北唐山一模,6)已知双曲线C:=1(b>0),F1,F2分别为C 的左、右焦点,过F2的直线l分别交曲线C的左、右两支于A,B,且|AF1|=|BF1|,则|AB|=( )A.4B.8C.16D.323.(2019湖北荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜”四地七校联考,6)设F1(-c,0),F2(c,0)是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是C右支上异于极点的恣意一点,PQ是∠F1PF2的角平分线,过点F1作PQ的垂线,垂足为Q,O为坐标原点,则|OQ|的长为( )A.定值aB.定值bC.定值cD.不确定,随P点位置变化而变化4.已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点为M,且|F1M|=3,则双曲线C的实轴长为()A.32B.3 C.3√32D.3√35.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个核心.若<0,则y0的取值范围是( )A.-√33,√33B.-√36,√36C.-2√23,2√23D.-2√33,2√336.(2019河北衡水联考,6)已知双曲线C:=1(b>0)的一条渐近线方程为y=x,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,P为双曲线C上的一点,|PF1|∶|PF2|=3∶1,则||的值是( )A.4B.2√6C.2√10D.6√1057.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( )A.x24−y212=1 B.x212−y24=1C.x23-y2=1 D.x2-y23=18.已知点F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线C 的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A.(1,+∞) B.√102,+∞C.1,√102D.1,529.(2019河北保定模仿,14)已知双曲线C:-y2=1(x>0),焦点F(2,0),M 是曲线C 上的一个动点,点N 满足=0,则点N 到原点的最短距离为 .10.已知方程=1表现双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 .11.(2019黑龙江哈尔滨模仿,14)如果双曲线的两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),一条渐近线方程为y=x,那么经过双曲线焦点且垂直于x 轴的弦的长度为 .综合提升组12.已知直线l 与双曲线x 24-y 2=1相切于点P ,l 与双曲线两条渐近线交于M ,N 两点,则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.3 B.4C.5D.与P 的位置有关13.(2019河南濮阳模仿,8)已知双曲线=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为( )A.2B.√2+1C.√3+1D.3-y2=1的右准线与它的两条14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x23渐近线分别交于两点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.15.(2019陕西潼关模仿,11)已知点F是双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,过原点且倾斜角为α的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且=0,若α∈,则C的离心率取值范围是.创新应用组16.(2019福建福州模仿,8)已知A(3,)是双曲线-y2=1上一点,F1是左焦点,B是右支上一点,AF1与△ABF1的内切圆切于点P,则|F1P|的最小值为( )A.√3B.2√3C.3√3−√D.6√3-2√参考答案课时规范练45 双曲线1.B A 选项,双曲线的渐近线为y=±x,不切合题意.B 选项,双曲线的渐近线为y=±2x ,且过点(2,2√5),符合题意.C 选项,双曲线的渐近线为y=±2x,但不过点(2,2),不切合题意.D 选项,双曲线的渐近线为y=±x,不切合题意.综上所述,故选B.2.C 由双曲线C :x 216−y 2b2=1(b>0),可得a=4,设|AF 1|=|BF 1|=m ,由双曲线的定义可得|AF 2|=|AF 1|+2a=2a+m ,|BF 2|=|BF 1|-2a=m-2a ,可得|AB|=|AF 2|-|BF 2|=2a+m-(m-2a )=4a=16,故选C .3.A 依题意如图,延长F1Q,交PF2于点T.∵PQ 是∠F 1PF 2的角分线.TF 1是PQ 的垂线,∴PQ 是TF 1的中垂线,∴|PF 1|=|PT|.∵P 为双曲线x 2a 2−y 2b2=1上一点,∴|PF 1|-|PF 2|=2a ,∴|TF 2|=2a ,在三角形F 1F 2T 中,QO 是中位线, ∴|OQ|=a.故选A .4.B 设F 2M 的中点为N ,坐标原点为O ,则ON=12|F 1M|=32,∵点F 2到渐近线的距离为b ,∴(32)2+b 2=c 2,∴c 2-b 2=94,∴a 2=94,∴a=32,∴2a=3.故双曲线的实轴长为3,故选B .5.A 由条件知F 1(-√3,0),F 2(√3,0), ∵M (x 0,y 0) ∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3-x 0,-y 0),MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3-x 0,-y 0),∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02+y 02-3<0.①又x 022−y 02=1,∴x 02=2y 02+2.代入①得y 02<13,∴-√33<y 0<√33.6.C ∵双曲线C :x 24−y 2b2=1(b>0)的一条渐近线方程为y=√62x ,∴b=√6,∴c=√10. ∵|PF 1|∶|PF 2|=3∶1, ∴|PF 1|=6,|PF 2|=2, ∴cos ∠F 1PF 2=36+4-402×6×2=0, ∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=36+4=40, ∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√10,故选C .7.D ∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A 在双曲线的渐近线上,且△OAF 是边长为2的等边三角形,不妨设点A 在渐近线y=x 上,∴{c =2,b a=tan60°,a 2+b 2=c 2,解得{a =1,b =√3.∴双曲线的方程为x 2-y 23=1.故选D .8.C 由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.又|PF 1|≥3|PF 2|,所以|PF 2|≤a , 所以(|PF 2|+2a )2+|PF 2|2=4c 2, 化为(|PF 2|+a )2=2c 2-a 2, 即有2c 2-a 2≤4a 2,可得c ≤√102a ,由e=c a >1可得1<e ≤√102, 故选C .9. 由=0,得点N 的轨迹是以MF 为直径的圆,设|MF|=2r,O1为MF 的中点,F'(-2,0),则点N 到原点的最短距离为|O1O|-r=|MF'|-|MF|=×2a=a=.10.(-1,3) 因为双曲线的焦距为4,所以c=2,若{m 2+n <0,3m 2-n <0,则{n <-m 2,n >3m 2,不成立,故{m 2+n >0,3m 2-n >0,即m 2+n+3m 2-n=4,解得m 2=1.又由方程表示双曲线得(1+n )(3-n )>0,解得-1<n<3.11.4√3 因为双曲线的两个焦点分别F 1(-3,0),F 2(3,0),—条渐近线方程为y=√2x , ∴{a 2+b 2=9,ba=√2,解得a=√3,b=√6,双曲线的方程为x 23−y 26=1, 由{x 23-y 26=1,x =3,解得y=±2√3,所以经过双曲线焦点且垂直于x 轴的弦的长度为2×2√3=4√3. 12.A 取点P (2,0),则M (2,1),N (2,-1),∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4-1=3. 取点P (-2,0),则M (-2,1),N (-2,-1),∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4-1=3.故选A . 13.C 因为以PQ 为直径的圆过右焦点F,所以得到该圆以原点O 为圆心,OF 为半径,故得到OP=OQ=OF=c,因为过原点直线的倾斜角为,即∠QOF=60°,所以△QOF 为等边三角形,所以QF=c,凭据对称性,该圆也过双曲线的左核心,设左焦点为F1,所以∠QOF1=120°,在△QOF1中,由余弦定理得QF1=c,凭据双曲线的界说得,QF1-QF=2a,即c-c=2a,解得e=+1,故选C.14.2√3 该双曲线的右准线方程为x=3√10=3√1010,两条渐近线方程为y=±√33x ,得P3√1010,√3010,Q3√1010,-√3010,又c=√10,所以F 1(-√10,0),F 2(√10,0),四边形F 1PF 2Q 的面积S=2√10×√3010=2√3.15.[√2,√3+1] 如图,∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴F 在以AB 为直径的圆上,O 为AB 中点,则OA=OB=OF=c,且∠AOF=α,过O 作OC⊥AF,则C 为AF 的中点,∴CF=c·sin α2,OC=c·cos α2, ∴AE=2c·cos α2,AF=2c·sin α2, ∴e=ca =2c2c ·cos α2-2c ·sin α2=1cos α2-sin α2=√2cos (α2+π4),α∈π6,π3,∴α2+π4∈π3,5π12,cosα2+π4∈12,√3-12√2,∴e ∈[√2,√3+1].16.B AF 1与△ABF 1的内切圆切于点P ,∴F 1P=AF 1+BF 1-AB2, 由双曲线定义BF 1=BF 2+2a=BF 2+2√3,AF 1=3√3,∴F 1P=AF 1+BF 1-AB2=5√3+BF 2-AB2≥5√3-AF 22=2√3,当且仅当A,B,F2共线时取等号,故选B.。
专题73：双曲线新高考多项选择专练(解析版)
专题73：抛物线新高考多项选择专练（解析版）A 级 巩固基础1．已知曲线22:1(,)C mx ny m n +=∈R ，则下列说法正确的是（ ）． A ．若0m >，0n >，则曲线C 是椭圆B ．若0m n >>，则曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆 C ．若0m n >>，则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线D ．曲线C 可以是抛物线 【答案】BC 【分析】多项选择题要对选项一一验证：对于A ．B ．椭圆根据定义及标准方程验证； 对于C ．根据双曲线定义及标准方程验证； 对于D ．根据抛物线标准方程验证． 【详解】对于A ．若0m >，0n >且m n ≠，则曲线C 是椭圆；若=0m n >，则C 是圆．故A 错误；对于B ．221mx ny +=在0m n >>时可化为22111x y m n+=，∵0m n >>∴11m n<，所以曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆．故B 正确；对于C ．221mx ny +=可化为22111x y m n+=，∵0m n >>，∴110,0m n><，∴曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线；对于D. 曲线22:1(,)C mx ny m n +=∈R 都不能化成抛物线的标准方程的形式，所以曲线C 不能是抛物线． 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．2．（多选题）对抛物线24x y =，下列描述不正确的是( )A ．开口向上，焦点为()0,1B ．开口向上，焦点为1016⎛⎫⎪⎝⎭，C ．开口向右，焦点为()10， D ．开口向右，焦点为1016⎛⎫⎪⎝⎭， 【答案】BCD 【分析】根据抛物线方程，直接确定开口方向和焦点，即可得出结果. 【详解】因为抛物线的标准方程为24x y =，所以24p =，2p =，开口向上，因此抛物线的焦点为()0,1，准线为1y =-.故A 正确，BCD 都错. 故选：BCD.3．(多选)若动点P 到定点()4,0F -的距离与到直线4x =的距离相等，则P 点的轨迹不可能是（ ） A ．抛物线 B ．线段 C ．直线 D ．射线【答案】BCD 【分析】根据抛物线的定义可得动点的轨迹为抛物线. 【详解】因为动点到定点的距离等于到定直线的距离，且点()4,0F -不在直线4x =上，符合抛物线的定义，所以P 点的轨迹是抛物线，不可能是线段、直线、射线， 故选：BCD4．|3-4-6|5x y =表示的曲线不可能为（ ） A ．抛物线 B ．椭圆C ．双曲线D ．圆【答案】BCD 【分析】根据抛物线的定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 【详解】解:设P (x ，y )|3-4-6|5x y =得， 点P 到点F (2，2)的距离等于点P 到直线3x-4y-6=0的距离，又点F 不在直线3x-4y-6=0上， 由抛物线的定义得，曲线为抛物线. 故选：BCD5．经过点()4,2P -的抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x = B ．28x y = C ．28x yD ．28y x =-【答案】AC 【分析】根据题意，分抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线的方程为()22>0y px p =，和抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线的方程为()22>0x py p =，分别代入点P 的坐标，计算可得选项． 【详解】解：若抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线的方程为()22>0y px p =，又因为抛物线经过点()4,2P -，所以()2224p -=⨯，解得12p =，所以抛物线的方程为2y x =. 若抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线的方程为()22>0x py p =，又因为抛物线经过点()4,2P -，所以()2422p =⨯-，解得4p =-，所以抛物线的方程为28x y .故选：AC ． 【点睛】本题考查求抛物线的标准访，注意考虑抛物线的焦点所在的位置，属于基础题．6．已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和则p 的值可以是( ) A ．2 B ．6C ．4D ．8【答案】AC 【分析】 由题意得32px +=，28px =，解方程即可. 【详解】设M 的横坐标为x ，由题意，32px +=，28px =，解得2p =或4p =. 故选：AC 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.7．已知抛物线x 2＝8y 上的点P 到其准线的距离为4，直线l 交抛物线于A ，B 两点，且AB 的中点为Q (4，3)，则P 到直线l 的距离为（ ）A ．2B C ．2D ．2【答案】AC 【分析】先求出P 的坐标，再求出直线的方程，利用公式可求距离. 【详解】设()P m n ,，则24n +=，故2n =，故4m =±，所以()4,2P ±. 设():4334AB y k x kx k =-+=+-，由2834x y y kx k⎧=⎨=+-⎩，故2832240x kx k -+-=， 因为AB 的中点为()4,3Q ，故88k =，故1k =，此时满足0>，直线的方程为10x y --=，若()4,2P ，则P 到直线l 2=；若()4,2P -，则P 到直线l =； 故选：AC.8．在平面直角坐标系xOy 中，下列曲线中，()1,0是其焦点的曲线有（ ） A ．24x y =B ．24y x =C ．2222cos 10tan 2y x πθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭<<D ．222210sin cos 2x y πθθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭<<【答案】BD 【分析】根据抛物线、椭圆、双曲线的焦点求法逐一判断即可. 【详解】对于A ，抛物线24x y =的焦点为()0,1，不选；对于B ，抛物线24y x =的焦点为()1,0，可选；对于C ，椭圆2222cos 10tan 2y x πθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭<<，不能确定焦点所在的坐标轴，不选；对于D ，双曲线222210sin cos 2x y πθθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭<<，可得焦点在x 轴上，222sin cos 1c θθ=+=，即1c =，所以()1,0是其焦点，可选.故选：BD 9．已知点1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，抛物线2:2C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，直线AP 交y 轴于点M ，且2AP AM =，则下列表述正确的是（ ） A ．点P 的纵坐标为1 B ．APF 为锐角三角形C ．点A 与点F 关于坐标原点对称D ．点P 的横坐标为12【答案】CD 【分析】根据抛物线2:2C y x =的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，且2AP AM =，得到OM 是APF 的中位线，则//OM PF ，然后再逐项判断. 【详解】抛物线2:2C y x =的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为2AP AM =，所以点M 是线段AP 的中点. 又坐标原点O 是线段AF 的中点， 所以OM 是APF 的中位线， 所以//OM PF . 因为OM x ⊥轴， 所以PF x ⊥轴. 设点()00,P x y ，则012x =， 将点01,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭坐标代入22y x =中，得20122y =⨯， 解得01y =±. 故选：CD.10．设抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 为C 上一动点，3,1E 为定点，则下列结论正确的是（ ） A ．准线l 的方程是2x =- B ．ME MF -的最大值为2 C ．ME MF +的最小值为5 D ．以线段MF 为直径的圆与y 轴相切 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的方程和定义进行判断即可. 【详解】因为抛物线的方程为28y x =，所以4p =，则准线l 的方程是22px =-=-，因此选项A 正确；因为焦点()2,0F ，则ME MF EF -≤==F 在线段ME 上时取等号，所以ME MF -，因此选项B 是错误的；过点M ，E 分别作准线l 的垂线，垂足为A ，B ，则5ME MF ME MA EB +=+≥=，当点M 在线段EB 上时取等号，所以ME MF +的最小值为5，因此本选项正确；设点()00,M x y ，线段MF 的中点为D ，则0222D MFx x +==，所以以线段MF 为直径的圆与y 轴相切，因此本选项正确. 故选：ACD ．11．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A ．C 的准线方程为1y =-B ．线段PQ 的长度最小为4C ．M 的坐标可能为()3,2D ．3OP OQ ⋅=-恒成立【答案】BCD 【分析】由抛物线C ：()220y px p =>，得到焦点和准线方程，可判定A 项错误；由PQ 垂直于x 轴时长度最小，可判定B 项正确；联立方程组241y xx my ⎧=⎨=+⎩，根据根与系数的关系，可判定C 正确、以D 正确. 【详解】由题意，抛物线C ：()220y px p =>，可得焦点F 到准线的距离即为2p =，所以抛物线C 的焦点为()1,0F ，准线方程为1x =-，A 项错误.当PQ 垂直于x 轴时长度最小， 此时()1,2P ，()1,2Q -，所以4PQ =，B 项正确. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程组241y xx my ⎧=⎨=+⎩，消去x 可得2440y my --=，可得124y y m +=，则21212242x x my my m +=++=+，当1m =时，可得(3,2)M ，所以C 正确，又由124y y =-，可得1212(1)(1)1x x my my =++=，所以12123OP OQ x x y y ⋅=+=-， 所以D 正确. 故选：BCD12．已知抛物线2:4E x y =的焦点为F ，圆22 C:?(1)16x y +-=与抛物线E 交于A ､B 两点，点P 为劣弧AB 上不同于A ､B 的一个动点，过点P 作平行于y 轴的直线l 交抛物线E 于点N ，则以下结论正确的是（ ） A ．点P 的纵坐标的取值范围是(3,5] B ．圆C 的圆心到抛物线准线的距离为1 C ．||||PN NF +等于点P 到抛物线准线的距离 D ．PFN 周长的取值范围是(8,10) 【答案】ACD 【分析】A. 由圆与y 的正半轴交点和与抛物线的交点坐标判断；B.根据圆C 的圆心为抛物线的焦点判断；C. 由抛物线的定义判断；D.利用抛物线的定义，由 PFN 周长为：15P P PF PN NF r y y ++=++=+判断.【详解】 如图所示：A. 圆22C:(1)16x y +-=的圆心为()0,1，半径为4，与y 的正半轴交点为()0,5，由()2224116x y x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，解得3y =，所以点P 的纵坐标的取值范围是(3,5]，故正确； B.因为圆C 的圆心为抛物线的焦点，所以圆C 的圆心到抛物线准线的距离为2p =，故错误；C. 由抛物线的定义得||||PN NF +等于点P 到抛物线准线的距离，故正确；D.PFN 周长为：()158,10P P PF PN NF r y y ++=++=+∈，故正确；故选：ACD13．已知抛物线2:10C y x =的焦点为F ，过点F 倾斜角为60︒的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于D ，则以下结论正确的是（ ） A ．||10AF = B ．F 为AD 的中点C ．2||||BD BF =D ．8||3BF =【答案】AB 【分析】过点,A B 作抛物线C 的准线m 的垂线，结合抛物线定义，易得AEF 为正三角形，然后再根据条件逐项求解判断. 【详解】 如图，分别过点,A B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点,E M ， 抛物线的准线m 与x 轴交于点P ，则||5PF =， 因为直线l 的倾斜角为60︒，//AE x 轴， 由抛物线定义可知，||||AE AF =，则AEF 为正三角形，所以60EFP AEF ︒∠=∠=，则30PEF ︒∠=， 所以||||2||210AF EF PF p ====，故A 正确；||||2||,//AE EF PF PF AE ==，所以点F 为AD 的中点，故B 正确；因为60DAE ︒∠=，所以30ADE ︒∠=，所以，||2||2||BD BM BF ==，故C 错误，1110||||||333BF DF AF ===，故D 错误 故选：AB14．（多选）设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线,OM ON 的斜率之积为12-，则下列结论中不正确的是（ ） A ．||||42QM QN + B ．O 到直线MN 距离不大于2 C ．直线MN 过抛物线2y x =的焦点D ．以MN 为直径的圆的面积大于4π 【答案】ACD 【分析】当直线MN 的斜率不存在时，设()()220000,,,M y y N y y -，根据斜率之积可求出直线MN 方程；当直线MN 的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，将直线与抛物线2y x =联立，根据斜率之积，可得直线MN 过定点(2,0)，再逐一判断即可. 【详解】当直线MN 的斜率不存在时， 设()()220000,,,M y y N y y -， 由直线OM 、ON 的斜率之积为12-，可得20112y -=-，即202y =，所以直线MN 方程为2x =；当直线MN 的斜率存在时， 设直线方程为y kx m =+，联立2,,y kx m y x =+⎧⎨=⎩，可得20ky y m -+=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则12m y y k =，2122m x x k=，所以121212OM ON y y k k k x x m ==-⋅=，即2m k =-． 故直线方程为2(2)y kx k k x =-=- 故直线MN 过定点(2,0)，所以O 到直线MN 的距离不大于2，故B 中结论正确，C 中结论错误； 当MN x ⊥轴时，||||OM ON +=<， 以MN 为直径的圆的面积为2π，故A ，D 中结论错误． 故选：ACD 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了基本运算能力，属于基础题.15．（多选）已知点(2,4)A -在抛物线22(0)y px p =->上，抛物线的焦点为F ，延长AF 与抛物线相交于另一点B ，O 为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）B ．抛物线的焦点坐标为(2,0)-C ．点B 的坐标为(2,2)--D ．OAB 的面积为8 【答案】ABD 【分析】将(2,4)A -代入抛物线方程，求出4p =，进而可得28y x =-，根据抛物线的标准方程逐一判断即可. 【详解】将(2,4)A -代入抛物线方程可得4p =， 因此抛物线方程为28y x =-，所以准线方程为2x =，焦点坐标为(2,0)-，故A ，B 正确； 易知AF x ⊥轴，所以()2,4B --，故C 错误； 又因为||8AB =，所以18282OABS =⨯⨯=，故D 正确． 故选：ABD 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.16．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD 【分析】根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误. 对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得 2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a =++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =可得122y y =-，142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD. 【点睛】本题考查了抛物线的定理和圆的切线的性质，属于基础题.C 级 拓展探究17．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），点P 在l 上的射影为P 1，则（ ） A ．若x 1+x 2＝6．则|PQ |＝8 B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设M （0，1），则|PM |+|PP 1D ．过点M （0，1）与抛物线C 有且只有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC 【分析】利用抛物线的性质，结合抛物线的方程和选项一一判断得出结论． 【详解】若直线的斜率存在，设y ＝k （x ﹣1），由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，联立解方程组k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0， 212224k x x k++=，x 1x 2＝1，A 中，若x 1+x 2＝6，则k 2＝1，故k ＝1或﹣1，|PQ |8=，故A 正确；取PQ 点中点M ，M 在l 上的投影为N ，Q 在l 上的投影为Q '，根据抛物线的定义，|PP 1|＝|PM |，|QQ '|＝|QM |， M ，N 为梯形的中点，故|MN |＝12（|PP 1|+|QQ '|）＝12|PQ |，故B 成立；对于C ，M （0，1），|PM |+|PP 1|＝|MP |+|PF |≥|MF |C 正确；过M （0，1）相切的直线有2条，与x 轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条，D 错． 故选：ABC ． 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 18．设F 是抛物线C ：24y x =的焦点，直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A ．||4AB ≥B ．||||8OA OB +>C ．若点(4,1)P ，则||||PA AF +的最小值是5D ．若AB 倾斜角为3π，且AF BF >，则3AF BF =【答案】ACD 【分析】A 选项由AB 范围来判断，B 选项由特殊点进行判断，C 选项利用点P 到抛物线的准线的距离来判断，D 选项求得,A B 两点的纵坐标来判断. 【详解】抛物线的准线为1x =-，焦点为()1,0F . 设()()1122,,,A x y B x y ， 设直线AB 的方程为1x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 并化简得2440y my --=，()21212242x x m y y m +=++=+，所以212444AB x x p m =++=+≥（0m =时等号成立）.所以A 选项正确. 当直线AB 的方程为1x =时，不妨设()()1,2,1,2A B -，此时8OA OB +==<，所以B 选项错误.根据抛物线的定义可知，||||PA AF +的最小值是P 到抛物线准线1x =-的距离，也即||||PA AF +的最小值为415+=，所以C 选项正确.当AB 倾斜角为3π时，3m =，不妨设A 在第一象限，B 在第四象限.故12124y y y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得12y y ==， 所以123AF y BF y ==，即3AF BF =，所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】求解与抛物线有关的距离和的最值问题，要注意结合抛物线的定义来求解.19．已知点O 为坐标原点，直线1y x =-与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点，则（ ） A ．||8AB =B ．OA OB ⊥C ．AOB的面积为D ．线段AB 的中点到直线0x =的距离为2【答案】AC 【分析】先判断直线过焦点，联立方程组214y x y x =-⎧⎨=⎩结合韦达定理得两根关系，再根据选项一一判断即可． 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，抛物线2:4C y x =，则2P = ，焦点为()1,0，则直线1y x =-联立方程组214y x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得2610x x -+=， 则12126,1x x x x +==， ()()()121212121114y y x x x x x x =--=-++=-所以12628AB x x P =++=+= ，故A 正确；由12121430OA OB x x y y ⋅=+=-=-≠，所以OA 与OB 不垂直，B 错；原点到直线1y x =-的距离为d ==，所以AOB 的面积为11822S d AB =⨯⨯==，则C 正确；因为线段AB 的中点到直线0x =的距离为126322x x +==，故D 错 故选：AC 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率为k 的直线交抛物线C 于,A B 两点，过线段AB 的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线OA ，OB ，l 于点,,P Q N .则下列结论中正确的有（ ）A ．||||NP MQ =B ．,P Q 是线段MN 的三等分点C ．以FB 为直径的圆一定与y 轴相切D ．AOB ∆ 【答案】AC 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设直线AB 的方程为()2py x =-，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，分别求得M ，N ，P ，Q 的坐标，计算可判断A ，B ；由FB 的中点和直线和圆的位置关系可判断C ；由三角形的面积公式和韦达定理，计算可判断D ．解：抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(2pF ，0)， 准线为:2p l x =-， 直线AB 的方程为()2py k x =-，与抛物线的方程联立， 可得22222(2)04k p k x k p p x -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1222p x x p k +=+，2124p x x =，12122()py y k x x p k+=+-=，2122y y p =-=-， 线段AB 的中点M 的坐标为2(2p p k +，)p k ，(2p N -，)p k， 直线OA 的方程为11y y x x =即12p y x y =，可得1(2y P k ，)p k， 同理可得2(2y Q k ，)pk， 则1||22y p NP k =+，22||22yp p MQ k k=+-， 由1222y y pk k+=，可得||||NP MQ =，故A 正确；又12||||2y y PQ k -====222(1)||||p p k MN p k k +=+=，可得||3||MN PQ ≠，故B 错误；又FB 的中点T 的横坐标为242x p +，可得T 到y 轴的距离为242xp +，2||2p FB x =+，可得2||2()42xp FB =+，则以FB 为直径的圆一定与y 轴相切，故C 正确；由2121||||22AOBp SOF y y =⋅-=== 故D 错误． 故选：AC ．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。