高二数学导数运算法则
3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
高二下导数知识点归纳总结
高二下导数知识点归纳总结导数是高中数学中的一个重要概念，是微积分的基础知识。
在高二下学期中，学生们通常会学习更加深入和复杂的导数知识。
本文将对高二下导数的相关知识点进行归纳总结，帮助学生们更好地理解和掌握这些内容。
1. 导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，表示函数在该点处的瞬时变化速度。
如果一个函数f(x)在点x0处可导，则它的导数记作f'(x0)或者dy/dx|<sub>x=x0</sub>。
2. 导数的几何意义导数的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。
切线斜率正值表示曲线递增，负值表示曲线递减，为0表示曲线在该点处取得极值。
3. 导数的计算（1）常数的导数为0，即f(x) = c，则f'(x) = 0。
（2）幂函数的导数为幂次减一乘以系数，即f(x) = ax^n，则f'(x) = anx^(n-1)。
（3）指数函数的导数等于自身乘以底数的自然对数，即f(x) =e^x，则f'(x) = e^x。
（4）对数函数的导数等于自身的倒数乘以底数的导数，即f(x) = log<sub>a</sub>x，则f'(x) = 1/(xlna)。
（5）三角函数和反三角函数的导数可以通过公式或导数表获得。
4. 导数的基本运算法则（1）常数法则：若f(x) = c，则f'(x) = 0。
（2）和差法则：若f(x)和g(x)可导，则(f(x) ± g(x))' = f'(x) ±g'(x)。
（3）数乘法则：若f(x)可导，则(cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数。
（4）积法则：若f(x)和g(x)可导，则(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)。
（5）商法则：若f(x)和g(x)可导，并且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2。
高二数学知识点求导公式
高二数学知识点求导公式在高二数学学习中，求导公式是一个非常重要的知识点。
它是求解函数导数的基础，掌握了求导公式，能够更加灵活地处理数学问题。
下面我们来系统整理一下高二数学常用的求导公式。
1. 基本函数的求导公式(1) 常数函数的导数为0：$y=C$，其中C为常数。
(2) 幂函数的导数：$y=x^n$，其中n为整数，导数为$y'=nx^{n-1}$。
(3) 指数函数的导数：$y=a^x$，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为$y'=a^x\cdot ln(a)$。
(4) 对数函数的导数：$y=log_a(x)$，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为$y'=\dfrac{1}{x\cdot ln(a)}$。
(5) 三角函数的导数：正弦函数的导数：$y=sin(x)$，导数为$y'=cos(x)$。
余弦函数的导数：$y=cos(x)$，导数为$y'=-sin(x)$。
正切函数的导数：$y=tan(x)$，导数为$y'=sec^2(x)$。
2. 基本运算法则(1) 基本规律：$[f(x)\pm g(x)]' = f'(x)\pm g'(x)$，即两个函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差)。
(2) 乘法法则：$[f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$，即两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
(3) 除法法则：$\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'=\dfrac{f'(x)\cdotg(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$，即两个函数的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再减去第一个函数乘以第二个函数的导数，然后除以第二个函数的平方。
高二数学导数知识要点总结
高二数学《导数》知识要点总结导数：导数的意义-导数公式-导数应用1、导数的定义：在点处的导数记作.2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/表示过曲线y=f上P)切线斜率。
V=s/表示即时速度。
a=v/表示加速度。
3.常见函数的导数公式:①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f 的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'或df/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f，x↦f'也是一个函数，称作f的导函数。
高二导数的知识点总结大全
高二导数的知识点总结大全一、导数的定义和基本概念导数是微分学中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
导数的定义如下：若函数f(x)在点x处的导数存在，则导数定义为：f'(x) = lim(h→0) [(f(x+h)-f(x))/h]其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
二、导数的性质1. 可导函数的性质：- 可导函数f(x)在其定义域上连续。
- 当函数f(x)在某一点x处可导时，f(x)在该点连续。
2. 常见函数的导数公式：- 常数函数的导数为零：(c)' = 0。
- 幂函数的导数公式：(x^n)' = nx^(n-1)。
- 指数函数的导数公式：(e^x)' = e^x。
- 对数函数的导数公式：(lnx)' = 1/x。
- 三角函数的导数公式：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx。
3. 导数的四则运算规则：- 和的导数等于导数的和：(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)。
- 差的导数等于导数的差：(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)。
- 积的导数等于导数的积加上原函数乘以导数：(f(x) * g(x))' =f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
- 商的导数等于导数的商减去原函数乘以导数的商的导数：(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2。
三、导数的应用1. 切线与法线：- 函数图像上一点处的切线斜率等于该点处的导数值。
- 函数图像上一点处的法线斜率等于切线斜率的负倒数。
2. 极值点与拐点：- 极值点对应函数的导数在该点处为零或不存在。
- 函数图像的拐点对应函数的导数在该点处发生变号。
高二数学常用导数公式大全
高二数学常用导数公式大全高二数学常用导数公式大全在学习数学的时候公式是一定要牢牢记住的，下面为大家带来了高二数学常用导数公式大全，一起来回顾一下吧! 导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。
1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。
4.y=logax⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^ x]/x⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。
可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。
高二数学基本初等函数的导数公式
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
3 1 1 ∴y′＝ 4＋4cosx ′＝－ sinx. 4
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则， 会给运算带来不便，甚至导致错误．在求 导之前，对三角恒等式先进行化简，然后 再求导，这样既减少了计算量，也可少出 差错．
x 2x 练习：求函数 y＝－sin (1－2sin )的导数． 2 4
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
1 4 t 4
例4.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
[点评] 较为复杂的求导运算，一般综合了 和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先 将函数化简；(2)注意公式法则的层次性．
22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--5.2.2 导数的四则运算法则
5.2.2 导数的四则运算法则课标解读课标要求 素养要求1.能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数；2.会使用导数公式表.1.数学运算——能求复杂函数的导数；2.直观想象——能根据图形研究导数的几何意义.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一两个函数的和（或差）的导数一般地，对于两个函数f(x) 和g(x) 的 和（或差） 的导数，我们有如下法则： [f(x)±g(x)]′= ① f′(x)±g′(x) .要点二两个函数的乘积（或商）的导数一般地，对于两个函数f(x) 和g(x) 的 乘积（或商） 的导数，我们有如下法则： [f(x)g(x)]′= ② f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ； [f(x)g(x)]′= ③f ′(x)g(x)−f(x)g ′(x)[g(x)]2(g(x)≠0) .由函数的乘积的导数法则可以得出 [cf(x)]′=c ′f(x)+cf ′(x)=cf ′(x) .也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 [cf(x)]′= ④ cf′(x) . 自主思考1.求函数以y 1=x 2+sin x 及y 2=x 2−cos x 的导数.答案：提示 y 1′=2x +cos x ，y 2′=2x +sin x .2.求函数y 1=x 2sin x 以及y 2=x 2sin x 的导数.答案：提示 y 1′=2xsin x +x 2cos x ，y 2′=2xsin x−x 2cos xsin 2x.名师点睛关于导数的运算法则的说明（1）基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算法则，只要求会运用于求函数的导数，不要求证明.（2）计算复杂函数的导数，关键是判断函数是由哪几个基本初等函数通过加、减、乘、除运算所得，正确运用导数的运算法则计算即可.（3）对于多个函数相加减的函数，可以分别求函数的导数再相加减即可；对于多个函数相乘的函数，可以转化为“两个”函数的乘积的形式分别求导数．互动探究·关键能力探究点一函数的和（或差）的导数的运算法则与应用自测自评1.下列导数计算正确的是( )A.若y=x2+2x，则y′=2x2+2B.若y=x2+2x，则y′=2x+2C.若y=x2−5，则y′=2x2−5D.若y=x2−5，则y′=2x2−5答案：B2.函数f(x)=x3+x的导数为f′(x)，则f′(x)的最小值为( )A.0B.1C.2D.3答案：B3.（2021山东菏泽高二期中）已知曲线y=x2−lnx的一条切线的斜率为-1，则该切线的方程为.答案：x+y−34−ln2=0解析：设切点坐标为(x0,y0)，∵y′=2x−1x ，∴2x0−1x0=−1，解得x0=12或x0=−1（舍去），∴y0=14+ln2，故切线方程为y−14−ln2=−1×(x−12)，即x+y−34−ln2=0.4. 曲线y=cos x−x在点（0，1）处的切线方程为.答案：x+y−1=0解析：∵y=cos x−x，∴y′=−sin x−1，∴y′|x=0=−1,即曲线在（0，1）处的切线斜率为-1，∴切线方程为y−1=−1(x−0)，即x+y−1=0.解题感悟熟练掌握函数的和（或差）的导数的运算法则区分运算函数的运算类型，如多个基本初等函数的和、差运算，分别求导数再相加减.探究点二函数的乘积（或商）的导数的运算法则与应用精讲精练类型1 乘积函数的导数运算法则与应用例1 （1）（2021山东烟台高二质检）函数y=xe x的图象在点P(0,0)处的切线斜率为，切线方程为.（2）（2021山东枣庄高二质检）曲线y=e x(x+1)cos x在点（0，1）处的切线方程为.答案：（1）1 ; y=x（2）y=2x+1解析：（1）因为函数y=xe x的导数为y′=(xe x)′=x′e x+x(e x)′=e x(x+1)，所以曲线y=xe x在点P(0,0)处的切线斜率为k=y′|x=0=1，切线方程为y=x.（2）由y=e x(x+1)cos x，得y′=[e x(x+1)]′⋅cos x+[e x(x+1)](cos x)′=[e x(x+1)+ e x]cos x−[e x(x+1)]sin x，所以y′|x=0=2，曲线y=e x(x+1)cos x在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1.变式1-1 若本例（1）函数变为y=xlnx，则函数图象在点P(1,0)处的切线斜率为，切线方程为.答案：1; y=x−1解析：因为函数y=xlnx的导数为y′=(xlnx)′=x′lnx+x(lnx)′=lnx+1，所以曲线y= xlnx在点P(1,0)处的切线斜率k=(lnx+1)|x=1=1，所以切线方程为y=x−1.解题感悟乘积函数的导数法则及其注意事项1. 掌握两个函数的乘积函数的导数法则：[f(x)⋅g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，可以简记为：前导后不导，前不导后导.2. 三个函数的乘积函数的导数法则：[f(x)g(x)⋅φ(x)]′=f′(x)[g(x)φ(x)]+f(x)[g(x)φ(x)]′，再利用两个函数的乘积函数的导数法则求导即得.3. 若能将乘积函数化为函数的和（或差）的形式，可以将乘积函数的导数转化为和（或差）函数的导数，再运用求导法则计算，这样可以简化计算过程.类型2 两个函数的商的导数运算法则与应用例2 已知函数f(x)=e xx的导数为f′(x)，解方程f′(x0)+f(x0)=0．答案：因为f(x)=e xx，所以f′(x)=(e x)′x−e x⋅x′x2=e x(x−1)x2(x≠0)．由f′(x0)+f(x0)=0，得e x0(x0−1)x02+e x0x0=0，解得x0=12.变式2-1 若本例函数变为f(x)=xe x，该函数的图象是否存在经过原点的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由.答案：存在.理由如下：因为f(x)=xe x，所以f ′(x)=x ′e x −x(e x )′(e x )2=1−x e x．设函数f(x)=x e x图象上的切点为P(x 0,f(x 0)) ，则切线斜率为1−x 0e x 0，切线方程为y −x0e x 0=1−x 0e x 0(x −x 0) ，如果切线经过原点，则−x 0e x 0=1−x 0e x 0(−x 0) ，即x 02e x 0=0, 所以x 0=0, 所以切点为坐标原点，切线斜率为1，切线方程为y =x . 解题感悟两个函数的商的导数法则及其注意事 1.掌握两个函数的商的函数的导数法则[f(x)g(x)]′=f ′(x)g(x)−f(x)g ′(x)[g(x)]2，可以简记为：上导下不导，下导上不导，分母平方，分子相减.2. 注意两个函数的商的导数法则中，分母函数不能为0，否则无意义. 迁移应用1. （2021 陕西西安周至二中高二期末）已知函数f(x)=x 2+2x −xe x ，则f ′(0)= ( ) A.1 B.0 C.-1 D.2 答案：A解析：由f(x)=x 2+2x −xe x ， 得f ′(x)=2x +2−(e x +xe x ) ， 所以f ′(0)=2−1=1 . 2.求曲线y =(x+1)(x−1)x的切线的倾斜角的取值范围.答案：解法一：由于y =(x+1)(x−1)x=x −1x，所以导数y ′=1+1x 2 ，则y ′＞1 ， 由导数的几何意义，得切线的斜率k ＞1 ， 所以曲线y =(x+1)(x−1)x的切线的倾斜角的取值范围是(π4,π2) .解法二：由于y =(x+1)(x−1)x=x 2−1x，所以导数y ′=(x 2−1)′x−(x 2−1)x ′x 2=2x 2−x 2+1x 2=1+1x 2 ，则y ′＞1,由导数的几何意义，得切线的斜率k ＞1 ， 所以曲线y =(x+1)(x−1)x的切线的倾斜角的取值范围是(π4,π2) .评价检测·素养提升课堂检测1.已知函数f(x)=2x+1x的导数为f′(x)，则下列结论正确的是( ) A.f′(1)=1B.f′(−1)=0C.f′(2)=3D.f′(−2)=94答案：A2.已知函数f(x)=ax3+3x2+2，若f′(−1)=4，则实数a的值为( )A.103B.133C.163D.193答案：A3. 设f(x)=xlnx，若f′(x0)=2，则x0等于( )A.eB.e2C.ln22D.ln2答案：A4.（多选）下列导数运算正确的是( )A.(x2−2x+3)′=2x−2B.(sin x+cos x)′=sin x−cos xC.(x−1+lnx)′=(x−1)x−2D.(√x √x)′=2x√x答案：A; C; D解析：(x2−2x+3)′=2x−2，选项A正确；(sin x+cos x)′=cos x−sin x，选项B错误；(x−1+lnx)′=−x−2+1x=(x−1)x−2，选项C正确；(√x √x)′=(x−12+x12)′=2x√x，选项D正确.5.（★）（2021天津和平高二质检）曲线y=x2x−1在点（1，1）处的切线方程为. 答案：x+y−2=0解析：由y=x2x−1，得y′=2x−1−2x(2x−1)2=−1(2x−1)2，所以y′|x=1=−1，故切线方程为y−1=−(x−1)，即x+y−2=0.素养演练数学运算——导数的除法法则与应用1.（2021山东枣庄三中高二质检）已知正切函数f(x)=tan x的导数为f′(x).（1）求函数f(x) 的定义域，计算f ′(π6) ； （2）求函数f(x) 的图象在原点处的切线方程.解析：审：已知函数为正切函数，求其导数，以及求正切曲线的切线方程. 联：可以转化为正弦函数和余弦函数的比，再利用导数法则求导数. 答案：解：（1）函数f(x)=tan x 的定义域为① {x|x ≠kπ+π2,k ∈Z} ， f ′(x)=(tan x)′=(sin x cos x)′= ②(sin x)′cos x−sin x(cos x)′cos 2x=cos 2x+sin 2xcos 2x=1cos 2x ，即(tan x)′=1cos 2x .所以f ′(π6)=43 .（2）函数y =tan x 的图象在原点处的切线斜率k =1cos 20= ③1，所以切线方程为y =x .思：利用导数运算法则计算的注意事项：1. 注意坚持函数的定义域优先的原则，即自变量的取值范围必须使函数与导数都有意义.2. 三角函数的导数问题常常综合利用三角函数的性质解题，如解三角方程和三角不等式，三角函数的有界性以及三角函数的图象问题等. 迁移应用1. 函数y =1tan x 图象上切线的倾斜角是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由. 答案： ∵y =1tan x =cos x sin x，∴y ′=(cosxsinx )′=(cosx)′sinx−cosx(sinx)′sin 2x =−(sin 2x+cos 2x)sin 2x=−1sin 2x .∵0＜sin 2x ≤1 ，∴−1sin 2x ≤−1 ， 由于函数y =1tan x的定义域为{x|x ≠kπ2,k ∈Z} ，所以−1sin 2x ＜−1 ，所以函数y =1tan x图象上切线的倾斜角不存在最大值.课时评价作业 基础达标练1. 下列求函数的导数正确的是( ) A.若y =2x +1 ，则y ′=3B.若y =xcos x ，则y ′=cos x +xsin xC.若y=sin xx ，则y′=xcos x+sin xx2D.若y=lnxx ，则y′=1−lnxx2答案：D2. 函数f(x)=xe x的导数为f′(x)，则( )A.f′(x)=1−xB.f′(x)=1−xe2xC.f′(x)=1−xe x D.f′(x)=1+xe x答案：C3.计算limΔx→0(1+Δx)21+Δx−2Δx的值为( )A.1B.2C.4D.2+2 ln2答案：D4. （2020辽宁大连高二期末）曲线y=xe x+1在点（0，1）处的切线方程是( )A.x−y+1=0B.2x−y+1=0C.x−y−1=0D.x−2y+2=0答案：A5.（2020辽宁朝阳凌源二中高二期末）下列求导计算正确的是( )A.(lnxx )′=lnx−1x′B.(log2x)′=log2exC.(2x)′=2x1ln2D.(xsin x)′=cos x答案：B6.（多选）下列函数的图象在x=0处的切线平行于x轴的是( )A.f(x)=3x2+x+cos xB.g(x)=xsin xC.ℎ(x)=1x +2x D.w(x)=1cos x答案：B; D解析：对于选项A，f′(x)=6x+1−sin x，f′(0)=1，此时切线的斜率为1，切线不平行于x轴，不满足题意；对于选项B，g′(x)=sin x+xcos x，g′(0)=0，此时切线的斜率为0，故曲线在x=0处的切线平行于x轴，满足题意；对于选项C，ℎ′(x)=−1x2+2在x=0处导数不存在，则曲线在x=0处没有切线，不满足题意；对于选项D，w′(x)=sin xcos2x，w′(0)=0，此时切线的斜率为0，故曲线在x=0处的切线平行于x轴，满足题意.故选BD.7.（多选）（2021山东济南历城二中高二质检）在函数f(x)=13x3−x2图象上的某点处作切线，则切线的倾斜角可能为( )A.0B.π2C.πD.3 π4答案：A; D解析：由函数f(x)=13x3−x2，得f′(x)=x2−2x=(x−1)2−1≥−1，设函数f(x)=13x3−x2图象上任一点P(x0,y0)，且过该点的切线的倾斜角为α(0≤α＜π)，则tanα≥−1，所以0≤α＜π2或34π≤α＜π. 所以在函数f(x)=13x3−x2图象上某点处作切线，切线倾斜角的范围为[0,π2)∪[34π,π).故选AD.8.（2020天津四中高二质检）已知函数f(x)=cos xx ，则f(π)+f′(π2)=.答案：−3π解析：由函数f(x)=cos xx ，得f′(x)=−xsin x−cos xx2，则f(π)+f′(π2)=cosππ+−π2sinπ2−cosπ2(π2)2=−3π.9.设函数f(x)在(0,+∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(lnx)=2x−lnx，则f′(1)= .答案：2e−1解析：因为f(lnx)=2x−lnx，令t=lnx,t∈R，则x=e t，所以f(t)=2e t−t，即f(x)= 2e x−x，x∈R，所以f′(x)=2e x−1，因此f′（1）=2e−1.10.（2021山东青岛高二期末）设函数f(x)=e x(x+1)的图象在点（0，1）处的切线为y= ax+b，若方程|a x−b|=m有两个不等实根，则实数m的取值范围是.答案：（0，1）解析：由函数f(x)=e x(x+1)，得f′(x)=e x(x+1)+e x=e x(x+2)，f′(0)=2，所以函数f(x)的图象在点（0，1）处的切线方程为y−1=2x⇒y=2x+1，所以a=2，b=1，若方程|a x−b|=m即|2x−1|=m有两个不等实根，画出函数y=|2x−1|的图象，如图，依题意，直线y=m与函数y=|2x−1|的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（0，1）.素养提升练11.（2020北京海淀高二期中）已知函数y=f(x)是可导函数.如图，直线y=kx+2是曲线y=f(x)在（3，1）处的切线，令g(x)=f(x)x，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)=( )A.−29B.−13C.−23D.0答案：A解析：由直线y=kx+2是曲线y=f(x)在点（3，1）处的切线，得f(3)=3k+2=1，f′(3)=k，得k=−13，f′(3)=−13，由g(x)=f(x)x ，得g′(x)=xf′(x)−f(x)x2，则g′(3)=3f′(3)−f(3)9=3×(−13)−19=−29.12.（2021海南海口高二检测）已知函数f(x)=x2+2f′(1)x−3，则f′(1)=. 答案：-2解析：由f(x)=x2+2f′(1)x−3，得f′(x)=2x+2f′(1)，所以f′(1)=2+2f′(1)，解得f′(1)=−2.13.（2021天津南开中学高二质检）设在曲线f(x)=−e x−2x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，若总有在曲线g(x)=ax+2 cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为.答案：[−32,2]解析：由f(x)=−e x−2x得f′(x)=−e x−2＜−2，设切线l1的斜率为k1，则有k1＜−2，因此由k1＜−2⇒−k1＞2⇒−1k1∈(0,12)，由g(x)=ax+2 cos x得g′(x)=a−2 sin x，设切线l2的斜率为k2，则有k2∈[a−2,a+ 2]，因为l1⊥l2，所以k1⋅k2=−1⇒−1k1=k2，因为对于曲线f(x)=−e x−2x上任意一点处的切线为l1，总有在曲线g(x)=ax+2 cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，所以有{a+2≥1 2 ,a−2≤0⇒−32≤a≤2.14.求垂直于直线2x−6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2−5相切的直线的方程.答案：设切点为P(a,b)，函数y=x3+3x2−5的导函数为y′=3x2+6x，由题意得切线的斜率k=y′|x=a=3a2+6a=−3，得a=−1，代入到y=x3+3x2−5中，得b=−3，即P(−1,−3)，因此所求切线方程为y+3=−3(x+1)，即3x+y+6=0.创新拓展练15.记函数f(x)、g(x)的导函数分别为f′(x)、g′(x).把同时满足f(x0)=g(x0)，f′(x0)= g′(x0)的x0叫做f(x)与g(x)的“Q点”.（1）求f(x)=2x与g(x)=(x−1)2+3的“Q点”；（2）函数f(x)=ax2+12与g(x)=lnx是否存在“Q点”？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由.解析：命题分析本题考查导数的运算法则与新定义问题，解题的关键是计算导数，解方程组，考查转化与化归能力.答题要领（1）根据题意，设出两个函数的“Q点”，建立方程组求解.（2）假设两个函数存在“Q点”，分别求两个函数的导函数，看方程组是否有解.答案：（1）因为f(x)=2x，g(x)=x2−2x+4，所以f′(x)=2，g′(x)=2x−2，设x0为函数f(x)与g(x)的一个“Q点”.由f(x 0)=g(x 0) 且f ′(x 0)=g ′(x 0) 得{2x 0=x 02−2x 0+4,2=2x 0−2, 解得x 0=2 . 所以函数f(x) 与g(x) 的“Q 点”是2.（2）存在.设两个函数f(x)=ax 2+12 与g(x)=lnx 的“Q 点”为x 0 ，因为f ′(x)=2ax ，g ′(x)=1x ，由f(x 0)=g(x 0) 且f ′(x 0)=g ′(x 0) 得{ax 02+12=lnx 0①,2ax 0=1x 0①, 由②得a =12x 02 ，代入①得lnx 0=1 ，所以x 0=e .所以a =12x 02=12e 2 满足题意. 方法感悟1. 解答新定义问题的方法技巧：理解新定义问题的意义和规则，将问题转化为常规问题求解.2. 解决是否存在型问题的方法步骤：假设存在满足题意的参数的值，通过运算变形和正确推理，建立方程或方程组探究是否有解.。
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高二数学导数的学习方法小结y=arccosx y’=-1/√1-xy=arctanx y’=1/1+x y=arccotx y’=-1/1+x方法/步骤2：导数的运算法则：1导数的运算法则，就是指导数的加、减、乘、除的四则运算法则，这也是需要掌握的重要内容，公式如下：①(u±v)=u’v±vu’ ②uv=u’v+uv’ ③u/v=(u’v-uv’)/v这里边的u.v一般是代表的两个不同的函数，不会同时为常数。
这三个运算法则中，特别要记住的是两个函数商的导数求法，分子中出现的是减号，这个地方容易出错。
对于上面提到的二次函数，符合函数和差的运算法则，所以y’=(ax )’+(bx)’+c’=2ax+b+0=2ax+b.方法/步骤3：初等函数四则运算的求导1初等函数的四则运算，就是上述提到基本函数，其求导，通常要用到上述求导的运算法则，它可以单独使用其中的一个运算法则，也可以是多个运算法则同时使用，下面举几个例子。
2(1)y=sinx+5x-cosx,这个是函数的和差运算，求导法则仅使用①，所以：y’=(sinx)’+(5x)’-(cosx)’=cosx+5-(-sinx)=cosx+sinx+5.3(2)y=(5sinx)*(3cosx),这个是函数的乘积运算，求导法则仅使用②，所以：y’=(5sinx)’(3cosx)+(5sinx)(3cosx)’=(5cosx)(3cosx)+(5sinx)(-3sinx)=15(cos x-sin x)=15cos2x.4(3)y=sinx/cosx,这个是函数的商的运算，求导法则仅使用③，所以：y’=[(sinx)’cosx-(sinx)(cosx)’]/(cosx)=[cosxcosx-(sinx)(-sinx)]/(cosx)=1/(cosx)=sec x,实际上y=sinx/cosx=tanx，其导数是通过这个法则求出来的。
5(4)y=(sinx-5x+x cosx)/x,这个函数的求导，上述三个运算法则都要使用到，所以：y’=[(sinx-5x+x cosx)’x-(sinx-5x+x cosx)x’]/x={[(sinx)’-(5x)’+(x cosx)’]x-(sinx-5x+x cosx)}/x={[cosx-5+(x )’cosx+(x )(cosx)’]x-sinx+5x-x cosx}/x={[cosx-5+2xcosx-x sinx]x-sinx+5x-x cosx}/x=(xcosx-5x+2x cosx-x sinx-sinx+5x-x cosx)/x=(xcosx+x cosx-x sinx-sinx)/x .方法/步骤4：复合函数的求导法则1复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)即y=f(g(x))的导数间的关系为y’ =f’(g(x))*g’(x)即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.举例如下：2(1)y=(2x+1) ,y’=5(2x+1) *(2x+1)’=5(2x+1) *2=10(2x+1) .3(2) y=sin(x +2x).y’=cos(x +2x)*(x +2x)’=cos(x +2x)*(2x+2)=2(x+1)cos(x +2x).4(3)y=(3x),因为它既不是指数函数，也不是幂函数，所以求导之前要变型，得到：lny=xln3x,两边求导得到：y’/y=ln3x+x(ln3x)’y’/y=ln3x+x*3/3x=ln3x+1所以y’=(3x)(1+ln3x).方法/步骤5：积分函数的求导1对有积分上下限函数的求导有以下公式:[∫(a,c)f(x)dx]’=0，a，c为常数。
高二下学期数学人教A版选择性必修第2册5.2.1基本初等函数的导数公式及运算法则课件
导数的四则运算法则
(u v) u v
(uv) uv uv
u v
uv uv v2
(v 0)
1.y f (x) c
y 0
2.y f (x） x
y 1
3.y f (x) x2
y 2x
5.y f (x) x3
y 3x2
4.y f (x) 1
x
y
1 x2
6.y f (x) x
y 1 2x
公式3 (sin x)' cos x.
公式4 (cos x)' sin x.
解：因为y=2sinx+x2
y'=2cosx+2x
y |x0 2， 即k 2 又 当x 0时 ，y 0,即 切 点 为(0,0)。 切 线 方 程 为 ：y 2 x
3、商的导数
u v
uv uv v2
(v 0)
例3：求
y x 2 的导数。 sin x
解：y
( x2 ) sin x sin 2
或y ' |x x0 ,即
f
y
'(
x0 )
lim
x 0
x
lim
x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) .
当x变化时，f '( x)是x的一个函数，我们称
它为f ( x)的导函数（简称导数）.即
y ' f '( x) lim f ( x x) f ( x) .
x 0
x
2.导数的几何意义：f '( x0 )是曲线y f ( x)在切 点P( x0 , f ( x0 ))处的切线的斜率.
f ' (1)等 于___e ___
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答案:
(1)
y
1 x2
4 x3
;
(3)
y
1 cos 2
x
;
(2)
yБайду номын сангаас
1 x2 (1 x2 )2
;
(4) y 6x3 x ; 1 x2
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2.
1 4
t
4
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:
t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
(2) s(t) t3 12t2 32t,令s(t) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
(3.2.2)基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公 式1.若 f ( x ) c, 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
公 式 3.若 f ( x ) sin x, 则 f '( x ) cos x;
公 式 4.若 f ( x ) cos x, 则 f '( x ) sin x;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a (a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7.若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
0,且 a
1);
公 式 8.若 f ( x ) ln x, 则 f '( x ) 1 ; x
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1, y 2x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①
对于S2, y 2(x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
因为两切线重合,
2x1
x12
2(x2 2) x22 4
x1 x2
0 或
x1
2 x2
2 . 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
作业:
• 作业: P93 2、3、4、5
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
晃、黄澄澄的咒符『棕光锅妖米粒神谱』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边转化，一边发出“咝咝”的神声……陡然间女族长Ｗ．娅娜小姐狂速地让自己粗俗 的深黑色电闸似的鼻子怪舞出亮橙色的仙鹤声，只见她傻傻的土黄色篦子一样的怪辫中，变态地跳出三十串脸皮状的树怪，随着女族长Ｗ．娅娜小姐的摇动，脸皮状 的树怪像钥匙一样在双手上缠绵地三陪出隐隐光盾……紧接着女族长Ｗ．娅娜小姐又旋起弯曲的脖子，只见她强壮的身材中，轻飘地喷出三十簇船帮状的雪花，随着 女族长Ｗ．娅娜小姐的旋动，船帮状的雪花像背带一样念动咒语：“八腿 哦 ，狐妖 哦 ，八腿狐妖 哦 ……『棕光锅妖米粒神谱』！！！！” 只见女族长Ｗ．娅娜小姐的身影射出一片亮橙色妖影，这时正北方向轻飘地出现了七缕厉声尖叫的淡蓝色光豹，似金辉一样直奔亮橙色奇影而来。，朝着蘑菇王子晶 莹洁白的牙齿猛滚过来。紧跟着女族长Ｗ．娅娜小姐也乱耍着咒符像气桶般的怪 影一样向蘑菇王 子猛滚过来蘑菇王子悠然像浅绿色的悬皮遗址鱼一样猛叫了一声，突 然玩了一个独腿狂舞的特技神功，身上眨眼间生出了七十只很像地灯一样的演了一套，波体兽摇腾空翻七百二十度外加飞转四十九周的俊傲招式！紧接着颤动淡红色的古树般的嘴唇一喊，露出一副迷人的神色，接着摇动充满活力的幼狮 肩膀，像水绿色的亿背孤山虫般的一颤，远古的犹如仙猿般的手臂突然伸长了六十倍，神奇的、像美丽小漩涡一样的星光肚脐也立刻膨胀了七十倍……最后颤起犹如 仙猿般的手臂一喊，变态地从里面抖出一道金辉，他抓住金辉迷人地一扭，一件亮晶晶、凉飕飕的咒符∈神音蘑菇咒←便显露出来，只见这个这件东西儿，一边蠕动 ，一边发出“啾啾”的幽响……。陡然间蘑菇王子狂速地让自己年轻强健的长腿奇闪出鹅黄色的冰块声，只见他犹如仙猿般的手臂中，萧洒地涌出四十片甩舞着∈七 光海天镜←的下巴状的油饼，随着蘑菇王子的晃动，下巴状的油饼像瓜秧一样在双手上缠绵地三陪出隐隐光盾……紧接着蘑菇王子又转起修长灵巧的手指，只见他闪 闪发光的亮蓝色迷彩蘑菇帽中，快速窜出三十道扭舞着∈七光海天镜←的枷锁状的风车，随着蘑菇王子的转动，枷锁状的风车像卵石一样念动咒语：“森林哎 嗒 ，小子哎 嗒，森林小子哎 嗒……∈神音蘑菇咒←！高人！高人！高人！”只见蘑菇王子的身影射出一片鹅黄色奇光，这时裂土而出快速出现了四群厉声尖叫 的青兰花色光鹰，似流光一样直奔鹅黄色神光而去……，朝
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例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
l练习: P92 1、2
2题再加两题 :
(5).y
1 x4
; (6).y
x
x.
例4:求下列函数的导数:
(1)
y
1 x
2 x2
;
(2)
y
x 1 x2
;
(3) y tan x;
(4) y (2 x2 3) 1 x2 ;