矩阵秩和解存在定理共27页文档
矩阵的秩
§4 矩阵的秩
一、矩阵的秩
如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些向量组成的.同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的.
定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.
例如，矩阵
0000500041201311A
的行向量组是
)0,0,0,0(,)5,0,0,0(,)4,1,2,0(,)1,3,1,1(4321
它的秩是3.它的列向量组是
)0,5,4,1(,)0,0,1,3(,)0,0,2,1(,)0,0,0,1(4321
它的秩也是3.
矩阵A的行秩等于列秩，这点不是偶然的.
引理 如果齐次线性方程组
0,0,0221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa （1）
的系数矩阵
snssnnaaaaaaaaaA212222111211
的行秩nr，那么它有非零解.
定理4 矩阵的行秩与列秩相等.
因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩.
二、矩阵的秩与行列式的联系 定理5 nn矩阵
nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211
的行列式为零的充要条件是A的秩小于n.
推论 齐次线性方程组
0,0,0221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa
有非零解的充要条件是它的系数矩阵
nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211
的行列式等于零.
矩阵秩的8大性质、重要定理以及关系
矩阵秩的8大性质:
② R(AT)-1?(A);
③ 若A〜叭则R(A) = R(B);
④ 若八Q可逆，则R(PAQ) = R(A). 下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质：
⑤ nwc{R(A),R(E)IWR(A』)WR(A) + 特别地，当B = b为非零列向量时，有
R(AX/?(A,fr)
⑦ R(AB)
⑧ 若釘4产O,则R(A) + R(B)£”.(见下章例13)
设AB = Of若A为列满秩矩阵，则B-0.线性方程组的解:
定理3 H元线性方程组A x=&
(i) 无解的充分必要条件是K(A)CR(A』)；
(ii) 有惟一解的充分必要条件是R(A) = R(A,b)=n;
(iii) 有无限多解的充分必要条件是R(A) = R(A』)Cr?・
定理4 n元齐次线性方程组Ax=OW零解的充分必要条件是R(A)Cm
£35翹方聽AE鬧械酬髓件默⑷=R(A"
定理6矩阵方程AX=B有繃充分必要条件是R(A) = R(A,B)・
定理7 «AB = C,则 R(C)Wmin|R(A),R(B)h向量组的线性相关性:
定鰹1向跖能由向量组严心线憐示的充分必要桑件是
3£阵A珂的曲严心)的秩等于矩阵B =(爲卫2广』册』)的税.
定理2向虽组B；bJ“7 能由向蚩组A0叫…心 线性表示的
充分必要条件是矩阵A = («i严心)的秩等于矩阵(A,B)=(釦，…上捕,
27啲秩，即 R(A} = R(A,B)・
推论向輦组A：叭与向H组B；枷』ejE等价的充分必要
条件是
J?(A) = R(B)-J?(A,B)t
其中A和月是向僮组A和B所构成的矩阵”
定理3设向悽组B：D］』2「讪能由向證组A"1厲厂心线性表示.
JMR(h』w讪KR仏曲厂叫)
阵A = g曲严心)的秩小于向懂个数奶向咼组线性无关曲充分必要条件
是R⑷二皿
血“也线性相关成盲之，若向储组B线性无关侧向虽组A也线性无关.
(2) 7«个"维向虽组成的向量组,当维数«小于向虽个数加时一定銭牲相 关•特别地d+1个”维向量一定线性相关，
矩阵的秩及相关定理
矩阵的秩及相关定理
矩阵是⼀个数表，⾥⾯的元素有很多种理解⽅式，现在我们将矩阵理解为由⾏向量或列向量组成的⼀个向量组。
则矩阵的秩就是：⾏向量组或者列向量组中极⼤线性⽆关组所含向量的个数，或者说秩是列(⾏)向量空间的最低维度。
所以我们拿到⼀组向量，通过构造矩阵求秩，就可以知道这些向量所在空间的最低维度。怎么理解呢？
线性空间是我们⽤来容纳向量的集合，⽐如⽔平⾯就是⼀个线性空间，平⾯上的所有向量都是该空间内的元素，⽽⽔平⾯内的向量其实
⼜全包含在三维空间内，所以三维空间也可以构成⼀个线性空间，来容纳⽔平⾯上的所有向量，⼀组向量所处的线性空间维度是没有上
限的，但有下限，这个下限就是这个向量组的秩，⽐如平⾯上的所有向量秩为 2，那最少得⽤⼀个平⾯来容纳它们，总不能⽤直线来
容纳吧。
总之：秩就是容纳这些向量的最⼩向量空间的维数。
设有若⼲个向量，它们能找到⼀个维数为 n 的空间容纳，且⽆法再找到更低维度的空间，那么它们的线性组合必然也能被这个空间容纳。
这是由线性空间的封闭性决定的。
注：如果不了解什么是向量空间的维数和向量维数，可先阅读。
进⼀步理解：以 AB=C 为例
α1α2...αn⋅b11b12...b1nb21b22...b2n............bn1bn2...bnn=β1β2...βn
矩阵 C 的列向量组可以由矩阵 A 的列向量组线性表出，输出向量组所在向量空间的最低维度必然不会超过矩阵 A 的秩。
输出的向量可能就被压缩到低维度的空间，即降秩(取决于变换的矩阵)。
理解了上述内容，可以得到⼀个定理：r(AB)≤min(r(A),r(B))
1）将 A 看成变换矩阵，按列分块，矩阵 B 即为输⼊向量的坐标，则输出矩阵列向量都可以由 A 列向量组表⽰，故 r(AB)≤r(A)。
2）将 B 看成变换矩阵，按⾏分块，矩阵 A 即为输⼊向量的坐标，则输出矩阵⾏向量都可以由 B ⾏向量组表⽰，故 r(AB)≤r(B)。
矩阵的秩的定理
矩阵的秩的定理
矩阵的秩的定理，也称为格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)定理或斯皮耳定理(Sylvester's law)，是线性代数中的一个基本定理。它描述了一个矩阵的秩，也称为矩阵的“行秩”或“列秩”，等于其行向量组或列向量组的极大线性无关组中向量的个数。
具体地，设A是一个n\times m矩阵，r是它的秩，则：
1. 存在n\times r矩阵B和r\times m矩阵C，使得A=BC；
2. r等于矩阵A中的行向量组或列向量组的极大线性无关组中向量的个数。
这个定理的证明可以通过线性代数的一般理论，包括线性空间的基本概念和线性相关性等进行推导。
矩阵的秩的定理在很多数学和工程应用中都得到了广泛的应用，如矩阵分解、矩阵压缩、图像处理、信号处理和统计学中的因子分析等。
第五节矩阵的秩
第五节矩阵的秩
矩阵秩的不等式 小结
一、矩阵秩的概念定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k
列(k m , k n),位于这些行列交叉处的 k 2 个元素, 不改 变它们在
A 中所处的位置次序而得的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.m行n列矩阵的k 阶子式有几个呢 ?
k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有Cm Cn 个.
定义2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 式 D,且所有 r 1 阶子式(如果存在的话 )全等 于 0,那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 等于零.
注： m n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的 1. 子式的最高阶数 .
2.显然有R( AT ) R( A) k 0时有R(kA) R( A)3. R( Am n ) min( m ,
n)
4. R( An ) n A为可逆矩阵 .
例1
1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1 1 2 在 A 中， 0. 2 3又
A的 3 阶子式只有一个 A, A 0, 且 解
R( A) 2.
例2
3 2 2 1 0 3 1 2 5 0 求矩阵 B 的秩. 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0
解
B是一个行阶梯形矩阵， 其非零行有3行，
B 的所有 4阶子式全为零.
2 1 而0 0 3 0
3 2 0, R( B ) 3. 4
1 3 2 2 例3 已知 A 0 2 1 3 ,求该矩阵的秩. 2 0 1 5 1 3 2 0,
计算A的3阶子式， 解 0 2
1 3 2 3 2 2 1 2 2 0 , 0 2 1 00 2 3 2 , 1 3 0, 1 3 0, 0 2 0 1 2 0 5
2-6矩阵的秩
§2.6矩阵的秩
一、矩阵的秩
矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、线性方程组解的存在性等问题的重要工具.
从上节已看到，矩阵可经过初等行变换化成行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行
数是唯一确定的.这个数就是矩阵的“秩”.鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我
们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵秩的方法.
定义1设A
=(a
ij)
m×n，从A
中任意选定k
行、k
列（1≤k
≤min{m
,n
}），位于这些行和
列交叉处的k2
个元素，保持它们原有的相对顺序所构成的
k阶行列式，称为矩阵A
的一个k
阶子式.例如，矩阵
中的第一、二行与第二、三列交叉处的元素构成的二阶子式为.
根据定义，A
中的任意一个元素都是A
的一个一阶子式.A
的k
阶子式共有Ck
m·Ck
n个(1
≤k
≤min{m
,n
}).且若m
=n
，即A
为方阵，则|A
|是A
的一个n
阶子式.当A
≠O
时，它至
少有一个一阶子式不为零.
定义2设A
=(a
ij)
m×n
，如果存在A
的r
阶子式不为零，而任何r
+1阶子式（如果有的
话）皆为零，则称数r
为矩阵A
的秩，记为R
(A
)，并规定零矩阵的秩为零.例如，在矩阵中，有一个三阶子式
而所有的四阶子式显然都为零.因此R
(A
)=3.
根据秩的定义容易得到如下结论：
(1)R
(A
m×n)=0的充分必要条件是A
=O
;
(2)0≤R
(A
m×n)≤min{m
,n
};
(3)如果A
中有一个r
阶子式不为零，则R
(A
)≥r
;
(4)R
(AT
)=R
(A
),R
(kA
)=R
(A
)(k
≠0);
(5)分块矩阵的秩不小于它的各子块的秩.如R
(A
┊B
)≥R
(A
),R
(A
┊B
)≥B
;
(i
,j
=1,2)等;
(6)
(7)行（列）阶梯形矩阵的秩等于它的非零行（列）的行（列）数.
如果R
(A
m×n)=m
，则称A
为行满秩矩阵；如果R
(A
m×n)=n
，则称A
为列满秩矩阵；如果R
(A
n)=n
，
则称A
为满秩矩阵.
由上面的讨论知，利用定义计算矩阵的秩，需要由高阶到低阶考虑矩阵的子式，当矩阵
满秩矩阵及矩阵满秩分解
1 满秩矩阵及矩阵满秩分解
引言
矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.
一 矩阵的秩
定义1.1[1] 一个矩阵A中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩.记作
rankA.
利用定义1.1计算矩阵的秩运算量很大,故而给出矩阵秩的第二定义.
定义1.2[2] 矩阵A的秩等于A的行秩,也等于A的列秩,即行秩等于列秩.行秩指矩阵行向量组的秩,列秩指矩阵列向量组的秩.
定理1.1 定义1.1和定义1.2等价.
证明 设A的秩为r,则A有不等于零的r阶子式D.不妨设D位于A的左上角,设A的前r个列向量为12,,,r.设12,,,rkkk,使得
11220(1)rrkkk
考虑线性方程组
11220(2)rrxxx
因为（2）的系数矩阵
12(,,,)rB
中有一个不等于零的r阶子式D,所以B的秩为r,从而线性方程组的（2）只有零解.因此满足（1）式的120rkkk,也即证明了12,,,r线性无关.
设121,,,,rrjjjj是A的任意1r个列向量.考虑线性方程组
121''''1210(3)rrjjrjrjxxxx
因为方程组(3)的系数矩阵 2 ),,,,(c121rjjrjj
的秩小于1r,所以（3）有非零解,也即有
121(,,,,,,),rrnA
rrankrankAnrr,,,,,,121.
二 满秩矩阵
2.1满秩矩阵的概念
定义2.1.1 设FMAnn上的一个矩阵,若nrankA,则称A为满秩矩阵.