高中数学 必修四 2.3.4 平面向量共线的坐标表示
高一数学必修4同步练习：2-3-4平面向量共线的坐标表示
2-3-4平面向量共线的坐标表示
一、选择题
1．已知向量a＝(x,5)，b＝(5，x)，两向量方向相反，则x＝( )
A．－5 B．5 C．－1 D．1
[答案] A
2．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝( )
A．13 B．－13 C．9 D．－9
[答案] D
3．(2011～2012·重庆高一检测)已知向量a＝(x,2)，b＝(1，x)，若a∥b，则x＝( )
A.2 B．－2 C．±2 D．2
[答案] C
4．(2011～2012·北京西城高三第一学期期末)已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若AB→∥a，则实数y的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
[答案] C
[解析] AB→＝(3，y－1)，又AB→∥a，
所以(y－1)－2×3＝0，解得y＝7.
5．若点M(3，－2)，点N(－5，－1)，且MP→＝12MN→，则点P的坐标为( )
A．(－8,1) B.－1，－32
C.1，32 D．(8，－1) [答案] B
[解析] 设P(x，y)，则MP→＝(x－3，y＋2)，MN→＝(－8,1)，
∵MP→＝12MN→，∴ x－3＝12×－8，y＋2＝12×1，
解得x＝－1，y＝－32.
6．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值为( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
[答案] D
[解析] a＋b＝(3,1＋x)，4b－2a＝(6,4x－2)，
由于a＋b与4b－2a平行，
则3(4x－2)－6(1＋x)＝0，解得x＝2.
7．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( )
A．－6 B．6 C．2 D．－2
[答案] B
[解析] a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，
高中数学必修4平面向量常考题型平面向量共线的坐标表示案
平面向量共线的坐标表示
【知识梳理】
平面向量共线的坐标表示
前提条件 ＝(，)，＝(，)，其中≠
结论 当且仅当－＝时，向量、(≠)共线
【常考题型】
题型一、向量共线的判定
【例】 ()已知向量＝()，＝(λ，)，若(＋)∥(－)，则λ的值等于( )
． ．
()已知()，()，()，(，－)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
()[解析]法一：＋＝()＋(λ，)＝(＋λ，)，－＝()－(λ，)＝(－λ，)，由(＋)∥(－)可得(＋λ)－(－λ)＝，解得λ＝.
法二：假设，不共线，则由(＋)∥(－)可得＋＝μ(－)，从而(\\(＝μ，＝－μ，))方程组显然无解，即＋与－不共线，这与(＋)∥(－)矛盾，从而假设不成立，故应有，共线，所以＝，即λ＝.
[答案]
()[解]＝()－()＝(－)，＝(，－)－()＝(，－)，
∵(－)×(－)－×＝，∴，共线．
又＝－，∴，方向相反．
综上，与共线且方向相反．
【类题通法】
向量共线的判定方法
()利用向量共线定理，由＝λ(≠)推出∥.
()利用向量共线的坐标表达式－＝直接求解．
【对点训练】
已知＝()，＝(－)，当实数为何值时，(＋)∥(－)？这两个向量的方向是相同还是相反？
解：∵＝()，＝(－)，
∴＋＝(－＋)，－＝(，－)．
由题意得(－)×(－)－(＋)＝，解得＝－.
此时＋＝－＋＝－(－)，
∴当＝－时，(＋)∥(－)，并且它们的方向相反. 题型二、三点共线问题
【例】 ()若点(，－)，，()共线，则＝.
()设向量＝()，＝()，＝(，)，求当为何值时，、、三点共线．
()[解析]＝，＝(－)．
∵，，共线，∴与共线
∴×－(－)＝，解得＝.
[答案]
()[解] 法一：若，，三点共线，则，共线，
则存在实数λ，使得＝λ，
∵＝－＝(－，－)，
＝－＝(－，－)．
∴(－，－)＝λ(－，－)，
即(\\(－＝λ(－(，,－＝λ(－(，))解得＝－或＝.
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
2、向量加法：设,ABaBCb，则a+b=ABBC=AC
（1）aaa00；（2）向量加法满足交换律与结合律；
ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法： ① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量
②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，③作图法：ba可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）
4、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）aa； （Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a
6、平面向量的基本定理：如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea，其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成axiyj，记作a=(x,y)。
2平面向量的坐标运算： (1) 若1122,,,axybxy，则1212,abxxyy
(2) 若2211,,,yxByxA，则2121,ABxxyy
平面向量共线的坐标表示学案
成都龙泉 刘杰名师工作室
1 平面向量
向量的实际背景及基本概念 平面向量
的线性运算
向量的概念 向量的表示法与模 零向量
向量加法及运算律 向量减法 单位向量 相等向量 平行共线向量 数乘向量及运算律 向量共线定理
向量基本定理及坐标表示 知识网络再现
向量基本定理 向量夹角 向量正交分解 待定
向量坐标运算 待定 待定 待定 待定 待定 必修4 2．3．4 平面向量共线的坐标表示
【学习目标】
1.能自己推导出平面向量共线的坐标表示，能对该结论熟练运用、解决实际问题；
2.知道利用向量推导定比分点公式的推导方法，并运用此方法求解一些问题；
3.培养同学们在解决问题过程中见“数”思“形”、以“形”助“数”的思维习惯.
【学习重点】平面向量共线的坐标表示及运用
【难点提示】定比分点公式的推导与理解.
【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材98102P结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；
2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.
【学习过程】 一、学习准备
前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题：
1.平面向量的坐标运算公式，若),(11yxa，),(22yxb，则________ab；_________ab；______()aR；
2.向量共线定理：向量）（0aa与b共线 有 一个实数λ，使_______；
３.若点),(11yxA，),(22yxB，则________________________AB
新人教A版必修4高中数学平面向量共线的坐标表示学案
1 高中数学 平面向量共线的坐标表示学案
新人教A版必修4
一、预习导航：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得a=λb，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？
设a=(x1, y1) b=(x2, y2)（ b0） 其中ba
由a=λb ， (x1, y1) =λ(x2, y2) 2121yyxx 消去λ：x1y2－x2y1=0
二：结论：a∥b (b0)x1y2-x2y1=0
注意：1消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0， ∵b0，
∴x2, y2中至少有一个不为0.
2充要条件不能写成2211xyxy ∵x1, x2有可能为0.
3从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b
(b0)01221yxyxba
二、课堂听评：你能掌握要领,提高能力吗？
例1. 已知(4,2)a，(6,)by，且//ab，求y．
提示：利用平面向量共线的充要条件直接求解.
变式训练1：已知平面向量)2,1(a ，),2(mb ，且ba//，则ba32等于_________.
例2: 已知(1,1)A，(1,3)B，(2,5)C，求证:A、B、C三点共线．
提示:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共
2 线.
变式训练2：若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为_________.
例3:设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
提示:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.
【课堂小结与反思】
1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；
2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；
平面向量共线的坐标表示学案 (学生版)
南涧县民族中学 高一数学必修四 新授学案 使用时间： 编号:07 学科组长审核: 学校领导审核: 班级： 小组： 姓名：
我们合作，我们收获！我们讨论，我们提升！ 第 1 页 共 4页 我们合作，我们收获！我们讨论，我们提升！ 第 2页 共4页 《平面向量共线的坐标表示》学案
【学法指导】
1.认真阅读学习目标，明确学习目标。
2．课前用10－15分钟自学课本P98-P100，并完成【固学预学】。
3. 课前用15－20分钟完成【小组讨论】,由组长组织讨论，书写规范，并做好督促、检查。
4.课堂小组展示讨论25分钟，当堂检测20分钟，改错、总结5分钟。
【学习目标】
1.根据向量的坐标，判断向量是否共线，判断三点共线。
2.理解向理中点公式。
【固学预学】
1.知识回顾
平面向量的坐标运算
(1)若),(11yxa，),(22yxb，则ba ，ba
(2)若),(yxa和实数，则a .
(3)已知(3,2)a，(0,1)b，则24ab等于（ ）
A．)8,6( B．)6,3( C．)8,6( D．)8,6(
2.知识预学
从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b (b0)01221yxyxba
【小组讨论】
讨论一 ：已知(1,1)A，(1,3)B，(2,5)C，求证:A、B、C三点共线。
讨论二 ：设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
2.3.4平面向量共线的坐标表示
2．3.4平面向量共线的坐标表示要点1向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔．要点2证明三点共线设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，三点共线
⇔(x2－x1)(y3－y2)－(x3－x2)(y2－y1)＝0,(AB→＝λBC→.)要点3证明两直线平行CDABADABACABCDAB//不共线或其它与不共线或与共线与
要点4分点坐标公式x1y2－x2y1＝0
)3,3()4()1,1(,)3()32,32()32,32()2()2,2()1(),(),,(
32132121212121212212112121222111
yyyxxxOABCyyxxPPPPPyyxxPPPyyxxPPPyyxxPyxPyxP
的重心则若：线段定比分点坐标公式的三等分点时：为靠近点点的三等分点时：为靠近点点三等分点坐标公式：中点坐标公式：设
人教版高中数学必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.3含答案
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．
1．平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．
(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示．
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA→＝________，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝________________________.
2．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
一、选择题
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b等于( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
2．已知a－12b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿
1 / 4
高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿
高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿
各位老师好：
我是户县二中的李敏，今天讲的课题是《平面向量的坐标的表示》，本节课是高中数学北师大版必修4第二章第4节的内容，下面我将从四个方面对本节课的教学设计来加以说明。
一、学情分析
本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。
二、高考的考点分析：
在历年高考试题中，平面向量占有重要地位，近几年更是有所加强。这些试题不仅平面向量的相关概念等基本知识，而且常考平面向量的运算；平面向量共线的条件；用坐标表示两个向量的夹角等知识的解题技能。考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提高广阔的空间，相关题型经常在高考试卷里出现，而且经常以选择、填空、解答题的形式出现。
三、复习目标 2 / 4
1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
4.能用坐标表示两个向量的夹角,理解用坐标表示的平面向量垂直的.条件.
教学重难点的确定与突破：
根据《20xx高考大纲》和对近几年高考试题的分析，我确定本节的教学重点为：平面向量的坐标表示及运算。难点为：平面向量坐标运算与表示的理解。我将引导学生通过复习指导，归纳概念与运算规律，模仿例题解决习题等过程来达到突破重难点。
四、说教法
根据本节课是复习课，我采用了“自学、指导、练习”的教学方法，即通过对知识点、考点的复习，围绕教学目标和重难点提出一系列精心设计的问题，在教师的指导下，用做题来复习和巩固旧知识点。
高中数学必修四2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示
一、复习引入：
平面向量基本定理：如果
1e
，
2e
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面
内的任一向量a
，有且只有一对实数λ
1，λ
2使a
=λ
1
1e
+λ
2
2e
(1)我们把不共线向量ｅ
１、ｅ
２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
[来源:]
(3)由定理可将任一向量ａ
在给出基底ｅ
１、ｅ
２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ
1，λ
2是被a，
1e，
2e
唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x
轴、y
轴方向相同的两个单位向量i
、j
作为
基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得
yjxia
…………○1○1
我们把),(yx
叫做向量a
的（直角）坐标，记作
),(yxa
…………○2○2
其中x
叫做a
在x
轴上的坐标，y叫做a
在y轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表
示.与
．a
相等的向量的坐标也为
．．．．．．．．．．),(yx
.
特别地，)0,1(i
，)1,0(j
，)0,0(0
.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作aOA
，则点A的位置由a唯一确定.
设yjxiOA，则向量OA
的坐标),(yx
就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx
也
就是向量OA
的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯
一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1）若),(
11yxa，),(
22yxb，则ba),(
2121yyxx，
ba),(
2121yyxx
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为i
、j
，则ba)()(
2211jyixjyixjyyixx)()(
2121
即ba),(
2121yyxx，同理可得ba),(
2121yyxx
（2）若),(
11yxA
，),(
22yxB
，则
1212,yyxxAB