北京市陈经纶中学2018-2019学年高二上期中考试数学试题
北京市陈经纶中学2018-2019学年度第一学期期中考试高二
数学试卷
(时间:100分钟满分:120分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,有且
只有一项是符合题目要求的)
1.椭圆1162522yx的离心率是（ ）
A.53 B.54 C.43 D.415
2.若，＞1x则14xx的最小值为（ ）
A.3 B.122 C.4 D.5
3.等差数列na中,，，116497aaa则12a（ ）
A.15 B.30 C.31 D.64
4.若，＞，，，baRcba,那么下列不等式成立的是（ ）
A.ba11＜ B.22ba＞ C.1122bbaa＞ D.cbca＞
5.已知双曲线M的焦点与椭园1162522yx的焦点相同，如果直线xy2是M的一条渐近
线,那么M的方程为（ ）
A.191822yx B.118922yx C.16322yx D.13622yx
6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍毵塔七层,红光点点倍加增,共灯
三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层的塔共了381盖灯且相邻两层中下一层灯
数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯（ ）
A.1盖 B.3盖 C.5盏 D.9盏
7.已知不等式91yaxyx对任意的正实数yx、恒成立,则正实数a的最小值为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
8.过抛物线xy42的焦点,倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点,若，8AB则这条直
线方程为（ ）
A.1xy B.1xy
C.11xyxy或 D.11xyxy或
9.已知椭园01:2222＞＞babyaxE的右焦点为F,短轴上一个端点为M,直线043:yxl
交椭圆E与A、B两点,若，4BFAF点M到直线l的距离不小于54，椭园E的离心率的
取值范围是（ ）
A.143， B.123， C.430， D.230，
10.已知等差数列na的通项公式，，，，32112nnan记：
，，，为偶数，为奇数，，32122121111nnaaTnaTTaT
nnn
nn
n
那么nT2（ ）
A.nn232 B.12n C.6211n D.1634152nnnn，，
二、填空题(本大题6道题,每小题4分,共24分)
11.已知抛物线yx42上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2,则点M的纵坐标是______.
12.等比数列na的公比大于1,，，6152415aaaa则3a_______.
13.不等式axx22＞对于切32，x恒成立,则实数a的取值范围是_______.
14.设数列na的前n项和，2nSn则8a_______.
15.已知双曲线13:22yxC的右焦点为F,P是双曲线C的左支上的一点,M(0,2),则△PFM
的周长的最小值为______.
16.曲线C是平面内与两个定点011，F和012，F的距离的积等于常数12＞aa的点的轨迹，
给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上,则△FPF的面积不大于.212a
其中,所有正确结论的序号是____________.
三、解答题(本大题共4道小题,共46分)
17.(本题满分10分)
已知抛物线的方程为，xy42,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,k为何值时,直线l与抛物
线xy42只有一个公共点、有两个公共点、没有公共点?
18.(本小题满分12分)
已知关于x的不等式0222＞xaax(aRa，是常数).
(1)当3a时,求不等式的解集；
(2)求关于x的不等式0222＞xaax的解集。
19.(本小题满分12分)
已知数列nnba、满足，，1211ba且.21434114143*1111Nnnbabbaannnnnn，
(1)若nnnbac，求数列nc的通项公式；
(2)求数列na的通项公式及前n项和nS.
20.已知椭圆的两个焦点21FF、的坐标分别为(-2,0)、(2,0),并且经过点，，352过左焦点
，1F斜率为011kk
的直线与榈圆交于A、B两点，设R(1,0),延长AR、BR分别与椭园交于
C、D两点。
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点，，352A求C点坐标；
(3)设直线CD的斜率为，2k求证21kk为定值。
【20套试卷合集】北京市陈经纶中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案A ．b a 11< B ．1122+>+c b c a C ．22b a > D ．c b c a > 2. 已知等比数列{}n a 的公比13q =-，则13572468a a a a a a a a ++++++等于 ( )A.3-B.13-C.3D.133. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC ∆的形状是（ ）A.锐角三角B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形4. 已知函数⎩⎨⎧≤->-=)0(1)0(log )(22x x x x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为（ ）A.}10|{<<x x B }01|{≤<-x x C. }1|{->x x D. }11|{<<-x x 5. 在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和S 11等于 （ ） A.24B.48C.66D.1326. 设定点12(0,3),(0,3),M M -动点P 满足条件129PM PM a a+=+（a 为大于0的常数），则点P 的轨迹是（ ）A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.不存在 7. 在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是 （ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解8. 已知变量,x y 满足1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则x y +的最小值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 59. “方程22221x y m n+=表示焦点在y 轴上的椭圆” 是“0n m >>”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10.下列说法错误的是（ ）A ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+=使得，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠都有； B ．命题“若0232=+-x x ,则1=x ”的否命题为假命题；C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”；D ．已知:,cos 1p x R x ∃∈=使得，2:,10q x R x x ∀∈-+>都有，则“q p ⌝∧”为假命题.11. 已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆12222=+by a x 的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且221c PF PF =⋅，则此椭圆离心率的取值范围是 ( )A ．3B ．11[,]32C ． 32D ．(0,2 12. 设1a >，定义111()122f n n n n=+++++，如果对任意的2n N n *∈≥且，不等式()1127log 77log a a f n b b ++>+恒成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．29217⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()1,+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知数列{}n a 满足12324n n n n a a a a +++=，且1231,2,3,a a a ===则12320132014a a a a a +++⋅⋅⋅++＝________.14. 已知O 为原点，椭圆221259x y +=上一点P 到左焦点1F 的距离为4，M 是1PF 的中点．则OM = .15. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin ,A C =30,2,B b ==则ABC ∆的面积是 .16. 已知正实数,x y 满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的,x y ，都有2()()10x y a x y +-++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知全集U R =，非空集合{23x A x x -=-＜}0，{}()(4)0B x x a x a =---<． （1）当32a =-时，求A B ⋂； （2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(cos ,sin ),(cos ,sin ),m B C n C B ==- 且1.2m n ⋅=（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ∆的面积S =求b c +的值．19.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ，22b S q =. （1）求n a 与n b ；（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n T .20.（本小题满分12分）新余到吉安相距120千米，汽车从新余匀速行驶到吉安，速度不超过120km h ，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度v （km h ）的平方成正比，比例系数为b ,固定部分为a 元，（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （km h ）的函数；并求出当150,200a b ==时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；（2）随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当1691,2200a b ==，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小．21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点到焦点的距离为2（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. 若22PA PB +的值与点P 的位置无关，求k 的值.22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=,n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅,n *N ∈， n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)nn T n λ<+⨯-恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数,(1)m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．数学试卷（文） 参考答案一、选择题(每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求.)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
北京市陈经纶中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析
北京市陈经纶中学期中考试一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.命题“0x ∃∈R ，320010x x -+>”的否定是（ ）A. x ∀∈R ，3210x x -+≤B. 0x ∃∈R ，320010x x -+<C. 0x ∃∈R ，320010x x -+≤D. x ∀∈R ，3210x x -+>【答案】A 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，由此确定正确选项.【详解】原命题为特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论，故D 选项错误，A 选项正确. 故选：A【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，属于基础题. 2.．设m n 、是不同的直线，是不同的平面,下列四个命题中，正确的是（ ）A. 若//,//m n αα,则//m nB. 若,,m n ββ⊥⊥则//m nC. 若,,m αβα⊥⊂则m β⊥D. 若,,//,//,m n m n ααββ⊂⊂则//αβ【答案】B 【解析】A 错误．平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面；B 正确．垂直于同一平面的两条直线平行；C 错误．两平面垂直，一个平面内的直线可能平行另一个平面，也可能相交；D 错误．只有m 与n 相交时，才有两个平面平行． 3.阅读下列各式，其中正确的是（ ）A. ()0a b b c b a c ⋅=⋅≠⇒=r r r r r r rB. 00a b a ⋅=⇒=r r r或0b =rC. ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r rD.()cos 180OA BO OA BO AOB ⋅=︒-∠u u u r u u u r u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，当b r 与a r 和c r都垂直时，满足()0a b b c b ⋅=⋅≠r r r r r ，但不一定有a c =r r ，所以A 选项错误.对于B 选项，当b r 与a r 垂直时，0a b ⋅=r r ，所以不能推出0a =r0b =r ，所以B 选项错误.对于C 选项，()a b c ⋅⋅r r r 的方向与c r 有关，()a b c ⋅⋅r r r 的方向与a r有关，所以()a b c ⋅⋅r r r 与()a b c⋅⋅r r r 不一定相等，故C 选项错误.对于D 选项，,180OA BO AOB =︒-∠u u u r u u u r ，所以()cos 180OA BO OA BO AOB ⋅=︒-∠u u u r u u u r u u u r u u u r，故D 选项正确. 故选：D【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，属于基础题.4.在各项都是正数的等比数列{}n a 中，若13a ，312a ，22a 成等差数列，则6745a a a a ++的值为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项的性质列方程，由此求得等比数列{}n a 的公比，由此求得6745a a a a ++的值【详解】由于13a ，312a ，22a 成等差数列，所以31232a a a =+，即211132a q a a q =+，由于10a >，所以()()223310q q q q --=-+=，由于0q >，所以3q =，所以22674539a a q a a +===+.故选：A【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.5.数列{}n a 中，1(1)21nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 前12项和等于（ ）A. 76B. 78C. 80D. 82【答案】B 【解析】 试题分析：因为()1121nn n a a n ++-=-，所以21324354651,3,5,7,9,a a a a a a a a a a -=+=-=+=-= 7611,,a a +=L 1110121119,21a a a a +=-=，所以134212102,8,,40a a a a a a +=+=+=L ，所以从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式子相加可得，121212S a a a =+++L135791124681012()()()()()()328244078a a a a a a a a a a a a =+++++++++++=⨯+++=，故选B.考点：数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等差数列的求和公式、数列的递推关系式等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中根据数列的递推关系式，利用数列的结构特征和等差数列的求和公式是解得问题的关键.6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】当“{}n a 为常数列”时，数列1n a a =，前n 项和1n n S na na ==.当“*n ∀∈N ，n n S na =”时，当1n =时，11111a S a a ==⨯=，当2n ≥时，由n n S na =得()111n n S n a --=-，两式相减得()11n n n a na n a -=--，化简得()()111n n n a n a --=-，由于11n -≥，所以1n n a a -=（2n ≥），所以数列{}n a 为常数列. 综上所述，“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的充分必要条件 故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查数列前n 项和与通项间的关系，属于基础题.7.已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是（ ） A. PC uuu v 与BD uuu vB. DA u u u v 与PB u u u vC. PD u u u v 与AB u u u vD. PA u u u v与CD uuu v【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直．据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案． 【详解】作出草图：根据题意，依次分析选项： 对于A ，PC 与BD 不一定垂直，即向量 PC uuu r 与BD u u u r，则向量PC uuu r 与BD u u u r的数量积不一定为0；对于B ，根据题意，有PA ⊥平面ABCD ，则PA AD ⊥，又由AD AB ⊥，则有AD ⊥平面PAB ，进而有AD PB ⊥，即向量 DA uuu r 与PB u u u r 一定垂直，则向量 DA uuu r 与PB u u u r的数量积一定为0；对于C ，根据题意，有PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥，又由AD AB ⊥，则有AB ⊥平面PAD ，进而有AB PD ⊥，即向量PD u u u r 与AB u u u r 一定垂直，则向量 PD u u u r 与AB u u u r的数量积一定为0；对于D ，根据题意，有PA ⊥平面ABCD ，则PA CD ⊥，即向量 PA u u u r 与CD uuu r一定垂直，则向量PA u u u r 与CD uuur 的数量积一定为0；故选：A ．【点睛】本题考查了空间向量的数量积的运算，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直，这是解题的关键．8.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点分别是,A B ，左，右焦点分别是12,F F ，若1121,,AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为A.14C.12D.2【答案】B 【解析】：1121,2,AF a c F F c F B a c =-==+由1121,,AF F F F B 成等比数列得2(2)()()c a c a c =-+即2255a c e =⇒=【考点定位】本题主要考查椭圆的定义和离心率的概念．属基础题9.正方形ABCD 边长为1，点E 在正方形ABCD 外，且0EA ED ⋅=u u u r u u u r ，则EB EC ⋅u u u r u u u r最大值是（ ）A. 2B. 1C. 3D. 4【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，设(),E x y ，代入0EA ED ⋅=u u u r u u u r求得,x y 的关系式，再求得EB EC ⋅u u u r u u u r的最大值.【详解】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，则()()()()0,0,1,0,1,1,0,1A B C D ，设(),E x y ，其中0x <或1x >；0y <或1y >. ()()()(),,,1,1,,1,1EA x y ED x y EB x y EC x y =--=--=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r. 由0EA ED ⋅=u u u r u u u r得()210x y y --=，即()21x y y =-，也即220x y y +-=，()22211022x y x ⎛⎫⎛⎫+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即E 点的轨迹是以10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为12的圆的左半部分，由此可知102x -≤<. EB EC⋅u u u r u u u r ()()()22211112x y y x x x =---=--=-，由于102x -≤<，所以1122x <-≤，所以EB EC ⋅u u u r u u u r的最大值是2.故选：A【点睛】本小题主要考查向量数量积的最值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.10.已知两平行平面α与β间距离为4，直线a β⊂，点A a ∈，则平面α内到点A 的距离为5，且到直线a 的距离为25 ） A. 一组平行线B. 两段线段C. 两端圆弧D. 四个点【解析】 【分析】首先判断出平面α内到点A 的距离为5的点的轨迹是圆，在圆上假设点D 到直线a 的距离为25，结合图像，判断出这样的点D 有四个，由此确定正确选项.【详解】过A 作平面α的垂线，交平面α于C ，则4AC =.依题意两平行平面α与β间距离为4，直线a β⊂，点A a ∈，则平面α内到点A 的距离为5的点的轨迹是以C 为圆心，半径为3的圆.假设圆上点D 到直线a 的距离为25.过C 作直线a 的平行线BC ，且DB BC ⊥，过B 作//BE AC 交直线a 于E ，连接DE .由于,BD BC BE BC ⊥⊥，所以BC ⊥平面BDE ，所以a ⊥平面BDE ，所以a DE ⊥.依题意25DE =，而4BE =，所以()222542BD =-=，也即D 得到圆C 直径的距离为2，由于圆C 的半径为3，所以符合这个条件的点D 一共有4个. 故选：D【点睛】本小题主要考查空间点、线、面的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.11.命题“若a 和b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题是__________，该否命题的真假性是__________.（填“真”或“假”）【答案】 (1). “若a 和b 不都是偶数，则+a b 不是偶数” (2). 假 【解析】 【分析】根据否命题的知识写出原命题的否命题，并判断出真假性.【详解】命题“若a 和b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数，则+a b 不是偶数”.因为当,a b 都是奇数时，+a b 是偶数，所以该否命题是假命题. 故答案为：（1）“若a 和b 不都是偶数，则+a b 不是偶数”；（2）假 【点睛】本小题主要考查原命题的否命题的知识，属于基础题.12.在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===u u u v v u u u v v u u u v v，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE uuu v ＝______________(用,,a b c v v v表示)．【答案】111244a b c ++v v v【解析】因为在四面体O ABC -中，,,,OA a OB b OC c D ===u u u v u u u v u u u v为BC 的中点，E 为AD 的中点，()1222OA OD OE OA OD ∴=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()111222a OB OC =+⨯+u u uv u u u v v ()1111124244a b c a b c =++=++v v v v v v，故答案为111244a b c ++r r r . 13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*1n n a S n +=∈N ，则通项na=__________.【答案】12n 【解析】 【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式.【详解】当1n =时，11121a S a +==，所以112a =； 当2n ≥时，由1n n a S +=，得111n n a S --+=，两式相减得11120,2n n n n a a a a ---==，所以数列{}n a 是首项为112a =，公比q 为12的等比数列，所以12n n a =故答案为：12n【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，属于基础题.14.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，设11AD AA ==，2AB =，则11CC BD -=u u u u r u u u u r __________，11CC CA ⋅=u u u u r u u u r__________.【答案】 (1). 5 (2). 1【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量减法、模和数量积的坐标运算，求得所求的结果. 【详解】以D 为原点建立空间直角坐标系如下图所示，则()()()()()1110,2,0,0,2,1,1,2,0,0,0,1,2,0,1C C B D A . 所以()()()1110,0,1,1,2,1,2,2,1CC BD CA ==--=-u u u u r u u u u r u u u r ，所以()111,2,01405CC BD -==++=u u u u r u u u u r ，()()110,0,12,2,11CC CA ⋅=⋅-=u u u u r u u u r.故答案为：（1）5；（2）1【点睛】本小题主要考查空间向量的减法、模和数量积的计算，属于基础题. 15.数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+，n *∈N ，则n a =__________，数列29n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭中最大项的值为________. 【答案】 (1). 2n (2). 13【解析】 【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得2n a n =，然后利用基本不等式可求出数列29n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭中最大项的值.【详解】当1n =时，211112a S ==+=；当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦.12a =适合2n a n =，则对任意的n *∈N ，2n a n =.222219993n a n n n n n ==≤=+++，当且仅当3n =时，等号成立，因此，数列29n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭中最大项的值为13.故答案为：2n ；13. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了利用基本不等式求数列最大项，考查计算能力，属于中等题.16.已知曲线C1=，给出下列4个结论： ①曲线C 是以点(4,0)-和(4,0)为焦点的椭圆的一部分； ②曲线C 关于x 轴、y 轴、坐标原点O 对称； ③若点(,)P x y 在曲线C 上，则5x <，||3y <； ④曲线C 围成的图形的面积是30． 其中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】②④ 【解析】【分析】 化简方程为153x y +=，画出图像，结合图像逐个分析可判定正误．【详解】①根据题意，方程221259x y +=，即153x y +=，表示四条线段，其图形如图所示，故①错误；②由图可知，曲线C 关于x 轴，y 轴，坐标原点O 对称，故②正确； ③若点(,)P x y 在曲线C 上，则5x ≤，3y ≤，故③错误； ④曲线C 围成的面积1453302S =⨯⨯⨯=，故④正确． 综上所述，正确结论的序号是②④． 填②④【点睛】本题综合考查对曲线方程的分析能力，对学生迁移应用能力要求较强，需要数形结合思想，利用图形解题．三、解答题：本大题共4个小题，共50分. 17.已知等比数列{}n a 的前4项和45S =，且12234,,2a a a 成等差数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2，公差为1a -的等差数列，其前n 项和为n T ，求满足10n T ->的最大正整数n ．【答案】（Ⅰ）1123n n a -=⨯；（Ⅱ）最大正整数为13．【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意得到等比数列{}n a 的首相和公比的方程112a a q =和414(12)512a S -==-，联立求得等比数列{}n a 中的113a =，2q =的通项公式求得结论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的113a =，进而求得172+(1)()33n nb n -=--=，显然数列{}n b 是等差数列，求得其前n 项和(13)T 6n n n-=，解不等式10n T ->，进而求得满足10n T ->的最大正整数为13．【详解】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为12234,,2a a a 成等差数列，所以12243a a a +=．整理得122a a =，即112a a q =，解得2q =．又414(12)512a S -==-，解得113a =．所以1123n n a -=⨯．（Ⅱ）由（Ⅰ）得1a -1=3-, 所以172+(1)()33n nb n -=--=．n T 72+(13)3=26n n n n --⨯=． 所以由10n T ->，得[13(1)](1)06n n --->，整理得(1)(14)0n n --<， 解得114n <<． 故满足10n T ->最大正整数为13．18. 已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A （﹣1，0），B （1，0），一个顶点为H （2，0）．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）对于x 轴上点P （t ，0），椭圆E 上存在点M ，使得MP⊥MH，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）；（2）（﹣2，﹣1）．【解析】试题分析：（1）由两个焦点分别为A （﹣1，0），B （1，0），上顶点为D （2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在X轴上求得方程．（2）利用向量垂直即可求得M点的横坐标x0，从而解决问题．解：（1）由题意得，c=1，a=2，则b=故所求的椭圆标准方程为；（2）设M（x0，y0）（x0≠±2），则①又由P（t，0），H（2，0）．则，由MP⊥MH可得，即（t﹣x0，﹣y0）•（2﹣x0，﹣y0）=由①②消去y0，整理得②∵x0≠2，∴∵﹣2＜x0＜2，∴﹣2＜t＜﹣1故实数t的取值范围为（﹣2，﹣1）．点评：本题考查直线和椭圆的位置关系、考查存在性问题，解题时要认真审题，仔细解答．∥，19.四棱锥S ABCD-中，SA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AB CDSA AD DC===，1⊥，2AD DCAB=.（Ⅰ）求证：平面SAD⊥平面SCD；--的余弦值；（Ⅱ）求二面角S BC D（Ⅲ）M为SC中点，在四边形ABCD所在的平面内是否存在一点N，使得MN⊥平面SBD，若存在，求三角形ADN的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（I ）详见解析；（II）（III ）存在，理由见解析，三角形ADN 的面积为1. 【解析】 【分析】（I ）通过证明,CD SA CD AD ⊥⊥，证得CD ⊥平面SAD ，由此证得平面SAD ⊥平面SCD .（II ）建立空间直角坐标系，利用平面SBC 和平面ABCD 的法向量，求得二面角S BC D --的余弦值.（III ）先假设存在符合题意的N ，然后利用向量的数量积运算，求得N 点的坐标，由此证得N 点存在，并求得三角形ADN 的面积.【详解】（I ）由于SA ⊥平面ABCD ，所以SA CD ⊥，由于,CD AD SA AD A ⊥⋂=，所以CD ⊥平面SAD ，由于CD ⊂平面SCD ，所以平面SAD ⊥平面SCD .（II ）由已知条件可知,,AD AB AS 两两垂直，以A 为原点建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,1,0,2,2,0,2,0,0A B C D --,()()0,0,2,1,1,1S M -.依条件知()0,0,2AS =u u u r 是平面ABCD 的一个法向量.设(),,n x y z =r是平面SBC 的法向量，()()0,1,2,2,1,0BS BC =-=-u u u r u u u r ，由2020n BS y z n BC x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，令1x =，得()1,2,1n =r .设二面角S BC D --的平面角为θ，则cos cos ,AS n AS n AS n θ⋅====⋅u u u r ru u u r r u u ur r . （III ）假设存在点N 满足条件，设(),,0N x y ，则()()1,1,1,2,2,0MN x y BD =+--=--u u u u r u u u r，()0,1,2BS =-u u u r ，所以()()()21100120MN BD x y MN BS y ⎧⋅=-+--=⎪⎨⋅=+--=⎪⎩u u u u v u u u v u u u u v u u u v ，解得0,1x y ==-，所以存在()0,1,0N -满足条件，此时112ADN S AN AD ∆=⨯⨯=u u ur u u u r .【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的计算，考查探究性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()13a a a =≠，13n n n a S +=+，设3n n n b S =-，*n ∈N .（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求实数a 的最小值；（Ⅲ）当4a =时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1,2n n n e b n =⎧=⎨≥⎩，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t （t ，*p ∈N 且1t >，1p >）的形式，则称n C 为“指数型和”.问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.【答案】（I ）详见解析；（II ）9-；（III ）3C 为指数型和. 【解析】 【分析】（I ）通过计算证明证得12n nb b +=，来证得数列{}n b 是等比数列. （II ）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式，由1n n a a +≥，10n n a a +-≥，求得a 的最小值.（III ）先求得{}n C 的通项公式，对p 分成偶数和奇数两种情况进行分类讨论，根据“指数型和”的定义，求出符合题意的“指数型和”.【详解】（I ）13n n n a S +=+，*11323,n n n n n n n S S S S S n N ++-=+⇒=+∈.由于3nn n b S =-，当3a ≠时，11113233233n n n n n n n n n n n b S S b S S ++++-+-===--，所以数列{}n b 是等比数列.1133b S a =-=-，()132n n b a -=-⨯.（II ）由（I ）得()1332nn n n b S a -=-=-⨯，()1332n n n S a -=+-⨯()12*12332,2,n n n n n a S S a n n N ---=-=⨯+-⨯≥∈，所以()12,12332,2n n n a n a a n --=⎧=⎨⨯+-⨯≥⎩.因为1n n a a +≥，213a a a a =+>=.当2n ≥时， ()122332n n n a a --=⨯+-⨯，()112332n n n a a -+=⨯+-⨯，而1n n a a +≥，所以10n n a a +-≥，即()()12123322332n n n n a a ---⎡⎤⨯+-⨯-⨯+-⨯⎣⎦()1243320n n a --=⨯+-⨯≥，化简得11243338322n n n a ----⨯⎛⎫≥+=-⨯+ ⎪⎝⎭，由于当2n ≥时，13832n -⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭单调递减，最大值为2138312392-⎛⎫-⨯+=-+=- ⎪⎝⎭，所以9a ≥-，又3a ≠，所以a 的最小值为9-.（III ）由（I ）当4a =时，12n nb -=，当2n ≥时，()1212324232112n n n n C +⨯-=++++=+=+-L .13C =也符合上式，所以对正整数n 都有21n n C =+.由21,12p n p n t t =+-=，（*,t p N ∈且1,1t p >>），t 只能是不小于3的奇数.①当p 为偶数时，221112p ppnt t t ⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由于21p t +和21p t -都是大于1的正整数，所以存在正整数,g h ，使得2212,12p pg h t t +=-=，()222,2212g h hg h--=-=，所以22h =，且2121,2g hh g --=⇒==，相应的3n =，即有233C =，3C 为“指数型和”；② 当p 为奇数时，()()21111pp t t t t t--=-++++L ，由于211p t tt -++++L 是p 个奇数之和，仍为奇数，又1t -为正偶数，所以()()21112p nt t t t--++++=L 不成立，此时没“指数型和”.综上所述，{}n C 中的项存在“指数型和”，为3C .【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查根据数列的单调性求参数的取值范围，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.。
2019北京市陈经纶中学高二(下)期中数学含答案
2019北京市陈经纶中学高二（下）期中数 学一、选择题1. 已知集合A={x |x(x +1)≤0}集合B={x |−1<x <1},则A ∪B=（ ） A. {x |−1≤x ≤1} B. {x |−1<x ≤0}C. {x |−1≤x <1}D. {x |0<x <1}2. 设a ，b ，m 均为正数，则“b>a ”是“a+mb+m >ab ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是( ) A .0.6B.0.7C.0.8D.0.94. 已知y=13x 3+bx 2+(b +2)x +3是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ） A. b<-1或b>2B. b ≤-2或b ≥2C. -1<b<2D. -1≤b ≤25. 若二项式（x 2−mx）6的展开式中x 3的系数为-160，m 的值为（ ） A. -2B. 3C. 2D. 16. 已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P （ξ=1）=1645，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ） A. 10%B. 20%C. 30%D. 40%7. 设函数f （x ）=x+1x+b ，若曲线y=f （x ）在点（a ，f （a ））处的切线经过坐标原点，则ab=（ ） A. 1B. 0C. -1D. -28.抛掷两骰子，当至少有一枚出现1点或2点时，就说试验成功。
若每次抛掷骰子相互独立，则在30次独立重复试验中，试验成功的次数X 的数学期望是( ) A. 403B. 503C. 10D. 209. 已知f(x)=ln (x 2+1),g (x )=(12)x −m ,若对∃x 1∈[0,3],∀x 2∈[1,2],使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是（ ）A. m ≥14B. m ≥12C. m ≥14−ln10D. m ≥12 -ln1010. 已知函数f(x)=e x −ln(x +3),则下面对函数f(x)的描述正确的是（ ） A. ∀x ∈(−3,+∞),f(x)≥13) B. ∀x ∈(−3,+∞),f (x )>−12) C. ∃x 0∈(−3,+∞),f (x 0)=−1D. f(x)min ∈(0,1)二、填空题11.已知P={x|x2−8x−20≤0},非空集合S={x|1−m≤x≤1+m}若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围。
2023-2024学年北京陈经纶中学高二(上)期中数学试题和答案
2023北京陈经纶中学高二（上）期中数 学（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 10y ++=的倾斜角是（ ）A. 30B. 60C. 120D. 1352. 双曲线22122x y -=的左焦点的坐标为（ ）A. (-2,0)B. (C. (1,0)- D. (4,0)-3. 在空间直角坐标系O xyz -中，点()()1,3,0,0,3,1A B -，则（ ）A. 直线AB 坐标平面xOy B. 直线AB ⊥坐标平面xOy C. 直线AB坐标平面xOzD. 直线AB ⊥坐标平面xOz4. 如图，1F ，2F 是平面上的两点，且1210F F =，图中的一系列圆是圆心分别为1F ，2F 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，L ，A ，B ，C ，D ，E 是图中两组同心圆的部分公共点，若点A 在以1F ，2F 为焦点的椭圆M 上，则（ ）A. 点B 和C 都在椭圆M 上B. 点C 和D 都在椭圆M 上C. 点D 和E 都在椭圆M 上D. 点E 和B 都在椭圆M 上5. 已知直线:l y kx b =+，22:1O x y +=e ，则“||1b <”是“直线l 与O 相交”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知A ，B （异于坐标原点）是圆()()22215x y -+-=与坐标轴的两个交点，则下列点M 中，使得MAB △为钝角三角形的是（ ）A.()0,0M B. M ⎛ ⎝ C. (2,1M D. (1,M 7. 过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ．若2AFO AOF ∠∠=（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）C. 228. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是（ ）C. 29. 设点1F ，2F 分别为椭圆22:14x C y +=的左，右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的一个取值可以为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 310. 对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(),d P C ．下列结论中正确的个数为（ ）①若曲线C 是一个点，则点集(){},2D P d P C =≤所表示的图形的面积为4π；②若曲线C 是一个半径为2的圆，则点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为9π；③若曲线C 是一个长度为2的线段，则点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为π4+；④若曲线C 是边长为9的等边三角形，则点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为54π+-．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.11. 若直线10x ay -+=与直线20x y +=垂直，则a 的值为___________.12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若1AE AA xAB y AD =++，则x =___________，y =___________.13. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC F F ⊥，1163F B =，124F F =，则截口BAC 所在椭圆的离心率为______.14. 设点()1,0A ，()2,3N -，直线:210l x ay a ++-=，AM l ⊥于点M ，则MN 的最大值为___________.15. 已知两点12(1,0),(1,0)F F -．点(cos ,sin )P θθ满足12||||PF PF -12PF F △的面积是____；θ的一个取值为____．16. 如图，在矩形ABCD 中，1AB =，AD =，将ABD △沿BD 所在的直线进行翻折，得到空间四边形1A BCD .给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得1A C BD ⊥；②在翻折过程中，三棱锥1A BCD -的体积不大于14；③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线1A D 与BC 所成角为45°.其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题：本大题共5个小题，共70分.17. 已知直线l 经过两条直线1:3420l x y +-=和2:220l x y ++=的交点.（1）若直线l 与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆22:(1)(1)25C x y -+-=相交所得弦长为8，求直线l 的方程.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E 为线段AB 的中点，2PA AB ==.（1）求证：BC PE ⊥；（2）求平面PAB 与平面PBD 夹角的余弦值.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的正方形.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知.（1）求证：AB ⊥平面11AA C C ；（2）求直线1BC 与平面1A BC 所成角的正弦值；（3）设M 是11A C 的中点，棱1BB 上是否存在点G ，使得MG平面1A BC ？若存在，求线段BG 的长；若不存在，说明理由.条件①：1BC BA ==；条件②：11BC A C ^；条件③：平面ABC⊥平面11AA C C .注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.20. 已知椭圆22221x a E y b +=：（0a b >>，一个焦点为()2,0.（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为原点，直线y x m =+（0m ≠）与椭圆E 交于不同的两点,A B ，且与x 轴交于点C ，P 为线段OC 的中点，点B 关于x 轴的对称点为1B .证明：1PAB V 是等腰直角三角形.21. 设正整数3n ≥，集合(){}12,,,,,1,2,,n k A aa x x x x R k n ==∈= ∣，对于集合A 中的任意元素()12,,,n a x x x = 和()12,,,nb y y y = ，及实数λ，定义：当且仅当k k x y =(1,2,,)k n = 时a b =；()1122,,,n n a b x y x y x y +=+++ ；()12,,,n a x x x λλλλ= .若A 的子集{}123,,B a a a =满足：当且仅当1230λλλ===时，112233(0,0,0)a a a λλλ++=，则称B 为A 的完美子集.（1）当3n =时，已知集合1{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}B =，2{(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)}B =.分别判断这两个集合是否为A 的完美子集，并说明理由；（2）当3n =时，已知集合{(2,,1),(,2,1),(,1,2)}B m m m m m m m m m =---.若B 不是A 的完美子集，求m 的值；（3）已知集合{}123,,B a a a A =⊆，其中(),,,(1,2,3)i i i in a x x x i == .若1232ii i i i x x x x >++对任意1,2,3i =都成立，判断B 是否一定为A 的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 【答案】C【分析】先求出直线的斜率为k =tan k θ==，从而求解.【详解】由题意得：直线的斜率tan k θ==，解得：120θ=︒，故C 项正确.故选：C.2. 【答案】A【分析】根据双曲线方程，可求得c 的值，即可得答案.【详解】由题意可知焦点在x 轴上，2224c a b =+=，即2c =，所以左焦点坐标为(-2,0)，故选：A .【点睛】本题考查双曲线的几何性质，属基础题.3. 【答案】C【分析】求出AB 及三个坐标平面的法向量，根据AB与法向量的关系判断．【详解】(1,0,1)AB =--，坐标平面xOy 的一个法向量是(0,0,1)，坐标平面xOz 的一个法向量是(0,1,0)，坐标平面yOz 的一个法向量是(1,0,0)，这三个法向量与AB都不平行，但(0,1,0)0AB ⋅=，点,A B 均不在坐标平面xOz 上，因此AB 与坐标平面xOz 平行，故选：C ．4. 【答案】C【分析】由123912AF AF +=+=，即椭圆中的212a =，然后根据定义逐一判断即可.【详解】因为点A 在以1F ，2F 为焦点的椭圆M 上，所以123912AF AF +=+=，即椭圆中的212a =因为12591412BF BF +=+=≠，12561112CF CF +=+=≠125712DF DF +=+=， 1211112EF EF +=+=所以,D E 在椭圆M 上故选：C 5. 【答案】A【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果.【详解】由题意可得直线:l y kx b =+与22:1O x y +=e 相交，2211b k <⇒<+当||1b <时，满足221b k <+，即“||1b <”是“直线l 与O 相交”的充分条件；当直线:l y kx b =+与22:1O x y +=e 相交时，不一定有||1b <，比如2,3b k ==也满足，所以“||1b <”是“直线l 与O 相交”的充分不必要条件.故选:A.6. 【答案】D【分析】先求出直线AB 的方程，确定弦AB 为该圆的直径，再判断A ，B ，C ，D 各选项中的点M 与圆的位置关系，即可确定MAB △的形状，从而得解．【详解】因为A ，B （异于坐标原点）是圆22(2)(1)5x y -+-=与坐标轴的两个交点，所以易得(0,2)A ，(4,0)B ，则12AB k =-，直线AB 的方程为122y x =-+，显然圆心(2,1)在直线AB 上，即弦AB 为该圆的直径，对于A ，22(02)(01)5-+-=，即(0,0)M 在圆上，则MAB △为直角三角形，故A 错误；对于B，因为AB ==，AM ==BM ==所以AB AM >，AB BM >，即AMB ∠为MAB △中的最大角，因为22(42)1)5-+>，即M ⎛ ⎝在圆外，即AMB ∠为锐角，所以MAB △为锐角三角形，故B 错误；对于C，22(22)(11)5-+--=，即(2,1M -在圆上，则MAB △为直角三角形，故C 错误；对于D，22(12)1)5-+<，即M 在圆内，则MAB △为钝角三角形，故D 正确．故选：D ．7. 【答案】B【分析】由题意易得所以30AOF ∠=，从而tan 30b a ==，再由c e a ==.【详解】解：在Rt AFO △中，因为2AFO AOF ∠∠=，所以30AOF ∠=，则tan 30b a ==，所以c e a ====，故选：B 8. 【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，设()1,,P m n ，其中[],0,2m n ∈，根据题意得到m =达出1A P =.【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设()1,,P m n ，其中[],0,2m n ∈，()()()11,0,2,0,0,0,0,2,0A D C ，则点P 到直线1AA 的距离为m ，点()1,,P m n 到直线CD的距离为==故m=，则1A P ===因为[]0,2n ∈，故当1,nm ==1AP 故选：B9. 【答案】A【分析】设点()11,P x y ，根据坐标得到2121324PF PF x m ⋅=-= ，再结合椭圆的对称性即可得到m 的范围.【详解】设点()11,P x y ，根据椭圆方程得()1F ，)2F ，221114x y +=，则()111,PF x y =-- ，)211,PF x y =-- ，2222211211113331244x PF PF x y x x m ⋅=-+=-+-=-= ，显然，方程21324x m -=最多有两个解，根据椭圆的对称性可知，要想有四个点，需要方程21324x m -=有两个解，且在()2,2-范围里，所以()2,1m ∈-.故选：A.10. 【答案】C【分析】根据题中定义分析出①②③④中点集构成的区域，计算出相应图形的面积，即可得出结论.【详解】设点(,)P x y ，对于①，若曲线C 表示点(,)a b ，则(),2d P C =≤，化简可得()()224x a y b -+-≤，所以，点集(){},2D P d P C =≤所表示的图形是以点(,)a b 为圆心，半径为2的圆及其内部，所以，点集(){},2D P d P C =≤所表示的图形的面积为2π24π⨯=，①对；对于②，若曲线C 表示以点(,)M a b 为圆心，半径为2的圆，设Q 为曲线C 上一点，当点P 在曲线C 内时，2PQ MQ MP MQ MP MP =-≥-=-，当且仅当,,Q P M 三点共线时，等号成立，所以(,)21d P C MP =-≤，可得1MP ≥，此时12MP ≤<；当点P 在曲线C 外时，2PQ MQ MP MP MQ MP =-≥-=-，当且仅当,,Q P M 三点共线时，等号成立，所以，(,)21d P C MP =-≤，可得3MP ≤，此时23MP <≤，当点P 在曲线C 上时，线段PQ 的长不存在最小值，综上所述，12MP ≤<或23MP <≤，即()()2214x a y b ≤-+-<或()()2249x a y b <-+-≤，所以，点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形是夹在圆()()221x a y b -+-=和圆()()229x a y b -+-=的区域（但不包括圆()()224x a y b -+-=的圆周），此时，点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为()22π318π⨯-=，②错；对于③，不妨设点曲线C 为线段AB ，且||2AB =，当点Q 与点A 重合时，由①可知，则点集D 表示的是以点A 为圆心，半径为1的圆，当点Q 与点B 重合时，则点集D 表示的是以点B 为圆心，半径为1的圆，故当点Q 在线段AB 上滑动时，点集D 表示的区域是一个边长为2的正方形EFGD 和两个半径为1的半圆所围成的区域，此时，点集D 的面积为22π12π4⨯+=+，③对；对于④，若曲线C 是边长为9的等边三角形，设等边三角形为ABC ，因为π2BAD CAE ∠=∠=，π3BAC ∠=，则2π3DAE ∠=，由③可知，点集D 构成的区域由矩形ABRD 、ACFE 、BCWL ，以及分别由点,,A B C 为圆心，半径为1，圆心角为2π3的三段圆弧，和夹在等边三角形ABC 和等边三角形STU 中间的部分（包括边界），因此||1SG =，π||||tan 3AG SG ==，则||||2||9HG AB AG =-=-，所以，点集D 所表示的图形的面积为(222π13919954π⎡⎤⨯+⨯⨯--=+-⎢⎥⎣⎦，④对.综上所述：正确的序号为①③④，共3个.故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出点集D 所表示的区域，并作出其图形，计算其面积即可.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.11. 【答案】2【分析】直接由直线垂直的充要条件列出等式即可求解.【详解】因为直线10x ay -+=与直线20x y +=垂直，所以()1210a ⨯+-⨯=，解得2a =，即a 的值为2.故答案为：2.12. 【答案】 ①. 12 ②. 12【分析】根据空间向量基本定理得到11122AE AA AB AD ++= ，求出12x y ==，得到答案.【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，所以()()111111122A B A D A AD A E B =+=+ ，故1111122AE AA A E AA AB AD +=+=+ ，因为1AE AA xAB y AD =++ ，所以12x y ==.故答案为：12x =，12y =.13. 【答案】13【分析】取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有BC 为椭圆通径，得2163b a =，结合24c =及222a b c =+解出,,a b c 代入离心率公式计算即可.【详解】解：取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由12BC F F ⊥及椭圆性质可得，BC 为椭圆通径，所以21163b F B a ==，1224F Fc ==又222a b c =+，解得6,2,a c b ===所以截口BAC 所在椭圆的离心率为13故答案为：13【点睛】求椭圆的离心率或其范围的方法：（1）求,,a b c 的值，由22222221c a b b a a a-==-直接求e ；（2）列出含有,,a b c 的齐次方程(或不等式)，借助于222a b c =+消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．14. 【答案】6【分析】先求出直线l 过定点(1,2)-，再根据条件求出点M 的轨迹方程，再结合轨迹方程求出||MN 的最大值．【详解】直线:210l x ay a ++-=，则1(2)0x a y -++=，则1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得1x =，=2y -，即直线l 恒过点(1,2)P -，设(,)M x y ，∴(1,2)PM x y =-+ ，(1,)AM x y =- ，∴(1)(1)(2)0PM AM x x y y ⋅=--++= ，即22(1)(1)1x y -++=，故点M 的轨迹为22(1)(1)1x y -++=，该轨迹是以(1,1)-为圆心，半径为1的圆，max ||16MN ∴=+=．故答案为：6.15. 【答案】 ①.12 ②. π6（答案不唯一）【分析】根据条件求出点P 的轨迹方程，联立方程后求点P 的坐标，即可求解面积和角的取值.【详解】由点(cos ,sin )P θθ可知，22cos sin 1θθ+=，所以点P 在圆221x y +=，且12||||PF PF -=，则点P在双曲线的右支上，其中2a =22c =，22212b c a =-=，则双曲线方程为22221x y -=，0x >联立222212210x y x y x ⎧+=⎪-=⎨⎪>⎩，解得：12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则12PF F △的面积12111122222S F F y =⨯⨯=⨯⨯=；当12x y ==时，tan θ=，π2π6k θ=+，Z k ∈，当12x y ==-时，tan θ=，π2π6k θ=-+，Z k ∈，则其中θ的一个取值是π6.故答案为：12；π6（答案不唯一）16. 【答案】②③【分析】在矩形ABCD 中，过,A C 点作BD 的垂线，垂足分别为,E F ，对于①，连接CE ，假设存在某个位置，使得1A C BD ⊥，则可得到BD CE ⊥，进而得矛盾，可判断；对于②在翻折过程中，当平面1A BD ⊥平面BCD 时，三棱锥1A BCD -的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于③，由题知11A D A E ED =+ ，BC BF FC =+ ，设平面1A BD 与平面BCD 所成的二面角为θ，进而得1393cos ,3442B A D C θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⋅∈ ，进而得异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值的范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可判断.【详解】解：如图1，在矩形ABCD 中，过,A C 点作BD 的垂线，垂足分别为,E F ，则在翻折过程中，形成如图2的几何体，故对于①，连接CE ，假设存在某个位置，使得1A C BD ⊥，由于1A E BD ⊥，111A C A E A = ，所以BD ⊥平面1A CE ，所以BD CE ⊥，这与图1中的BD 与CE 不垂直矛盾，故错误；对于②在翻折过程中，当平面1A BD ⊥平面BCD 时，三棱锥1A BCD -的体积取得最大值，此时1AD AB A E BD ⋅==，体积为1111113324BCD V S A E =⋅⋅=⨯⨯= ，故三棱锥1A BCD -的体积不大于14，故正确；对于③，11A D A E ED =+ ，BC BF FC =+ ，由②的讨论得1,12AE DF EF ===，所以ED BF = ，所以()()1111A D A E ED A E ED EA BC BF FC FC BF FC BF ED ⋅+⋅⋅⋅=++=-⋅=+ 11139cos c ,,os 44EA EA ED FC FC B A F FC E =⋅⋅-+=-+ ，设翻折过程中，平面1A BD 与平面BCD 所成的二面角为θ，所以1,FC EA θ= ，故139cos 44B ACD θ⋅=-+ ，由于要使直线1A D 与BC 为异面直线，所以()0,θπ∈，所以1393cos ,3442B A D C θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⋅∈ ，所以11139cos 144,1cos ,32A D A D A D BC BC BCθ⋅=⋅-+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭ ，所以异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值的范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线1A D 与BC 所成角为45°.故答案为：②③三、解答题：本大题共5个小题，共70分.17. 【答案】（1）340x y ++=（2）2x =-或43140x y -+=【分析】（1）联立方程组得到交点为()2,2-，再利用平行的直线系求解即可.（2）首先得到圆心()1,1到直线l的距离3d ==，再分类讨论结合圆的弦长求解即可.【小问1详解】342022202x y x x y y +-==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩，即交点为()2,2-.设直线l 的方程为()301x y c c ++=≠-，把点()2,2-代入方程得4c =，所以直线l 的方程为340x y ++=.【小问2详解】圆22:(1)(1)25C x y -+-=，圆心为()1,1，半径为5.设圆心()1,1到直线l 的距离为d，则3d ==.若直线l 过点()2,2-且斜率不存在，则:2l x =-，到圆心()1,1的距离为3，满足条件；若直线l 过点()2,2-且斜率存在，设():22l y k x -=+，即220kx y k -++=，由题意3d =，解得43k =.所以()4:223l y x -=+，即43140x y -+=.综上所述，直线l 的方程为2x =-或43140x y -+=.18. 【答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得PA BC ⊥,再根据底面是正方形可证明线面垂直，即可得BC PE ⊥；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面PAB 与平面PBD 的法向量，即可求得二面角的余弦值【小问1详解】由PA ⊥平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知，PA BC⊥又因为底面ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又因为PA BA A = ，且PA,BA 含于平面PAB,所以BC ⊥平面PAB ；E 为线段AB 的中点，PE ⊂平面PAB ，所以，BC PE⊥【小问2详解】根据题意可知，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D P ；则(2,0,2),(0,2,2)PB PD =-=- ，设平面PBD 的一个法向量为(,,)n x y z = ，得·220·220n PB x z n PD y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ ，令1z =可得，1,1x y ==，即(1,1,1)n = ；易知，(0,2,0)AD = 是平面PAB 的一个法向量，设平面PAB 与平面PBD 的夹角为θ，则cos cos,n ADn ADn ADθ====所以，平面PAB与平面PBD19. 【答案】（1）证明见详解（2（3）存在点G；2BG=【分析】（1）只能选择①③，由平面ABC⊥平面11AA C C易证1AB AA⊥，结合勾股定理逆定理可证AB AC⊥，进而得证AB⊥平面11AA C C；（2）以AB方向为x轴，1AA方向为y轴，AC方向为z轴，求出1BC和平面1A BC的法向量n，结合线面夹角的向量公式即可求解；（3）结合向量法，要使MG 平面1A BC，即MG n⊥，求出点G坐标，进而求出BG的长.【小问1详解】因所求问题包括线面角大小，需要求出AB边长，故①必选，选②缺垂直条件，因为11BC A C^，又四边形11AA C C是边长为4的正方形，所以11AC AC⊥，111AC BC C⋂=，1AC⊂平面1,ABC1BC⊂平面1,ABC所以1A C⊥平面1,ABC又AB⊂平面1,ABC所以1A C AB⊥，选①②无法证明AB⊥平面11AA C C；故只能选择①③，理由如下：因为平面ABC⊥平面11AA C C，平面ABC⋂平面11AA C C AC=，四边形11AA C C是边长为4的正方形，所以1AA AC⊥，所以1AA⊥平面ABC，又因为AB⊂平面ABC，所以1AA AB⊥，1BC BA==，所以2AB=，又因为2221AB AA BC+=，所以AB AC⊥，AC⊂平面ABC，1AA AC A=，所以AB⊥平面11AA C C；【小问2详解】由（1）知1,,AB AA AC两两垂直，故以AB方向为x轴，1AA方向为y轴，AC方向为z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,0,0,4,0,0,0,4,0,4,4B AC C，故()12,4,4BC=-，()()12,4,0,2,0,4BA BC=-=-，设平面1A BC的方向量为(),,n x y z=，则1n BAn BC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y x z -=⎧⎨-=⎩，令2x =，得1y z ==，故()2,1,1n = ，设直线1BC 与平面1A BC 所成角为θ，则1sin cos ,BC n θ=== ，故直线1BC 与平面1A BC 【小问3详解】假设存在设点G ，使得MG 平面1A BC ，则()[]2,,0,0,2G m m ∈，因为MG 平面1A BC ，所以MG n ⊥ ，()0,4,2M ，所以()2,4,2MG m =-- ，4420MG n m ⋅=+--= ，解得2m =，故()2,2,0G ，2BG =，所以存在点G ，G 为1BB 中点，使得MG 平面1A BC ，此时2BG =.20. 【答案】（1）22162x y += （2）证明见解析.【分析】（1）由题知2c e c a ===，进而结合222b a c =-求解即可得答案；（2）设点(,0)C m -，1122122(,),(,),(,)A x y B x y B x y -，进而联立2236y x m x y =+⎧⎨+=⎩并结合题意得0m -<<或0m <<10PA PB ⋅= ，再AB 的中点为00(,)M x y ，证明PM AB ⊥，进而得||||PA PB =，1||||PB PB =，故1||||PA PB =，综合即可得证明.【小问1详解】解：因为椭圆E ，一个焦点为()2,0所以2c e c a ===，所以222 2.a b a c ==-=所以椭圆E 的方程为22162x y +=.【小问2详解】解：设点(,0)C m -，则点(,0)2mP -,所以联立方程2236y x mx y =+⎧⎨+=⎩得2246360x mx m ++-=，所以有223616(36)0m m ∆=-->，解得m -<<因为0m ≠，故0m -<<或0m <<设1122122(,),(,),(,)A x y B x y B x y -，所以123.2mx x +=-设向量11122(,),(,)22m mPA x y PB x y =+=+- ，所以112121212()()()()()2222m m m mPA PB x x y y x x x m x m ⋅=++-=++-++ 22212333()02444m m m x x m =-+-=-=，所以1PA PB ⊥，即190APB ︒∠=，设AB 的中点为00(,)M x y ，则120003,.244x x m mx y x m +==-=+=所以342104PM mm k m -+==--，又因为1AB k =，所以PM AB ⊥，所以||||PA PB =，因为点B 关于x 轴的对称点为1B .所以1||||PB PB =，所以1||||PA PB =，所以1PAB V 是等腰直角三角形.21. 【答案】（1）1B 是完美子集，2B 不是完美子集，理由见解析（2）14（3）B 一定是A 的完美子集，理由见解析【分析】（1）根据完美子集的定义，设112233(0,0,0)a a a λλλ++=，列方程组求得1λ，2λ，3λ的值即可判断；（2）由题意可得：存在()()123,,0,0,0λλλ≠，使得112233(0,0,0)a a a λλλ++=，列出方程组，解方程组求出m 的值即可求解；（3）假设存在不全为0的实数1λ、2λ、3λ满足112233(0,0,0)a a a λλλ++=，不妨设123λλλ≥≥，则10l ¹，由1112213310x x x λλλ++=结合已知条件得出矛盾即可求解.【小问1详解】设112233(0,0,0)a a a λλλ++=，即1230λλλ===，所以1B 是完美子集，设112233(0,0,0)a a a λλλ++=，可得12312312324023503460λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：12λ=，23λ=-，31λ=，所以2B 不是完美子集.【小问2详解】因为集合{(2,,1),(,2,1),(,1,2)}B m m m m m m m m m =---不是A 的完美子集，所以存在()()123,,0,0,0λλλ≠，使得112233(0,0,0)a a a λλλ++=，即()()()123123123202101120m m m m m m m m m λλλλλλλλλ⎧++=⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩，由集合的互异性可得：2m m ≠且1m m ≠-且12m m -≠，所以0m ≠且1m ≠-，所以12320λλλ++=，可得3122λλλ=--，()()12,0,0λλ≠所以()()()()()12121212212011220m m m m m m λλλλλλλλ⎧++---=⎪⎨-+-+--=⎪⎩，即()()()()12122103110m m m m λλλλ⎧-+++=⎪⎨--+--=⎪⎩，所以()1410m λ-+=，所以14m =或10λ=，当14m =时，123123123202303320λλλλλλλλλ++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，解得：123573λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，试题21所以存在123573λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩使得112233(0,0,0)a a a λλλ++=，当10λ=时，因为1m ≠-，所以20λ=，30λ=，不符合题意，所以14m =.【小问3详解】B 一定是A 的完美子集，假设存在不全为0的实数1λ、2λ、3λ满足112233(0,0,0)a a a λλλ++=，不妨设123λλλ≥≥，则10l ¹，否则与假设矛盾，由1112213310x x x λλλ++=，可得3211213111x x x λλλλ=--，所以32112131213111x x x x x λλλλ≤+≤+与111121312x x x x >++即211311x x x >+矛盾，所以假设不成立，所以10λ=，所以230λλ==，所以B 一定是A 的完美子集.。
北京市海淀区2018-2019学年高二上学期期中考试理科数学试卷Word版含解析
北京市海淀区2018-2019学年高二上学期期中考试理科数学试卷一、选择1．（3分）设A（3，3，1）、B（1，0，5）、C（0，1，0），则AB的中点M到C点的距离为（）A．B．C．D．2．（3分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论中正确的个数是（）①BD∥平面EFGH；②AC∥平面EFGH；③BD与平面EFGH相交；④AC与平面EFGH相交；⑤AB与平面EFGH相交．A．2 B．3 C．4 D．53．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n；②如果m⊥α，m⊥β，那么α∥β；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n⊥β．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④4．（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．365．（3分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2）．，夹角的余弦值是，则λ的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．36．（3分）直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（）A．B．C．D．7．（3分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．2+B．C．D．1+8．（3分）中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（）A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：89．（3分）已知平面α、β，直线a、b，下面的四个命题：①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒a⊥b；④⇒a∥b中，所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④10．（3分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2二、填空题11．（3分）①所谓直线的方向向量，就是指的向量，一条直线的方向向量有个；②所谓平面的法向量，就是一个平面的法向量有个．12．（3分）（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的与平面的法向量；（2）直线与平面平行的判定定理：文字语言：符号语言：．13．（3分）面面平行的向量方法：证明这两个平面的是．面面平行的判定定理：文字语言：，符号语言：．14．（3分）面面垂直的向量方法：证明这两个平面的法向量是；面面垂直的判定定理：文字语言：，符号语言：．15．（3分）直线与平面所成的角定义：范围：直线和平面所夹角的取值范围是；向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为φ，则有sinφ=．16．（3分）经过平面外一点可以作个平面平行于这个平面；可以作条直线平行于这个平面．17．（3分）已知向量，若，则x=；若则x=．18．（3分）一个球的体积是，则这个球的表面积是．19．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．20．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BD1与CD所成角的正弦值等于．三、解答题（共4小题，满分0分）21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．22．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．23．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值．24．如图①是一个正三棱柱形容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干．将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面．请问图①中容器内水面的高度是多少？附加题25．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．北京市海淀区2018-2019学年高二上学期期中考试理科数学试卷参考答案与试题解析一、选择1．（3分）设A（3，3，1）、B（1，0，5）、C（0，1，0），则AB的中点M到C点的距离为（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算．专题：常规题型．分析：先由中点坐标公式求得AB的中点M的空间直角坐标，再利用空间坐标系中两点间的距离公式求出M到C点的距离即可．解答：解：∵A（3，3，1）、B（1，0，5）∴AB的中点M坐标为：（2，，3），又∵C（0，1，0），∴M到C点的距离为：d==．故选C．点评：本小题主要考查空间直角坐标系、距离公式等基础知识，考查点、线、面间的距离计算，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．2．（3分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论中正确的个数是（）①BD∥平面EFGH；②AC∥平面EFGH；③BD与平面EFGH相交；④AC与平面EFGH相交；⑤AB与平面EFGH相交．A．2 B．3 C．4 D．5考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知得EH∥BD，GH∥AC，AB∩平面EFGH=E，由此得到①②④正确．解答：解：∵在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EH∥BD，又EH⊂平面EFGH，BD不包含于平面EFGH，∴BD∥平面EFGH，故①正确，③错误；∵在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴GH∥AC，又GH⊂平面EFGH，AC不包含于平面EFGH，∴AC∥平面EFGH，故②正确，④错误；∵AB∩平面EFGH=E，∴AB与平面EFGH相交，故⑤正确．故选：B．点评：本题考查空间中直线与平面的位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n；②如果m⊥α，m⊥β，那么α∥β；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n⊥β．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：①如果m∥α，n⊂α，m与n平行或异面，故①错误；②如果m⊥α，m⊥β，那么由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故②正确；③如果α⊥β，m⊥α，那么m∥β或m⊂β，故③错误；④如果α⊥β，α∩β=m，m⊥n，那么n与β相交，平行或n⊂β，故④错误．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．（3分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．36考点：由三视图求面积、体积．专题：规律型．分析：由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以正视图为底，然后根据三棱柱的体积公式进行求解即可．解答：解：由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以正视图为底，三棱柱的高为3，直角三角形的两个直角边长度分别为4和3，∴三棱柱的体积为．故选：B．点评：本题主要考查三视图的识别和应用，以及三棱柱的体积公式，比较基础．5．（3分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2）．，夹角的余弦值是，则λ的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3考点：空间向量的正交分解及其坐标表示．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设向量，的夹角为θ，可得cosθ==，解这个关于λ的方程即可．解答：解：设向量，的夹角为θ，则∵向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），∴cosθ===，解得λ=﹣2，故选B．点评：本题考查空间向量的夹角与距离公式，属基础题．6．（3分）直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知得△AA′D的面积=△AA′C的面积=AC×AA′=，B到平面AA′D的距离=B到AC的距离=AB=a，由此能求出三棱锥A﹣A′BD的体积．解答：解：∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱，∴AC⊥AA′，AA′∥CD，∴△AA′D的面积=△AA′C的面积=AC×AA′=，∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱，∴B到平面AA′D的距离=B到AC的距离=AB=a，∴三棱锥A﹣A′BD的体积：V==．故选：C．点评：本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．（3分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．2+B．C．D．1+考点：斜二测法画直观图．专题：计算题；作图题．分析：原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．解答：解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选A点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查．8．（3分）中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（）A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：8考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设扇形半径为1，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可．解答：解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×=，设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=，r=，扇形的面积B=×1×=，圆锥的表面积A=B+πr2=+=，∴A：B=11：8故选A点评：本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法，同时，还考查了平面与空间图形的转化能力，属基础题．9．（3分）已知平面α、β，直线a、b，下面的四个命题：①⇒b⊥α；②⇒a∥b；③⇒a⊥b；④⇒a∥b中，所有正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：①根据线面垂直的性质判断．②根据线面垂直的性质判断直线关系．③根据面面垂直的性质证明直线关系．④根据面面平行进行判断．解答：解：①根据线面垂直的性质以及直线平行的性质可知，若a∥b，a⊥α，则b⊥α，∴①正确．②根据垂直于同一平面的两条直线平行可知②正确．③若两个平面α⊥β，则a，b没有关系，∴③错误．④若两个平面α⊥β，则a，b没有关系，∴④错误．故选：A．点评：本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，要求熟练掌握平行或垂直的判定定理或性质定理．10．（3分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．解答：解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，所以R=，所以球的表面积是S=4πR2=12πcm2．故选：B．点评：本题是基础题，考查正方体的外接球的表面积的求法，解题的根据是正方体的对角线就是外接球的直径，考查计算能力，空间想象能力．二、填空题11．（3分）①所谓直线的方向向量，就是指和这条直线所对应的向量平行的向量，一条直线的方向向量有无数个；②所谓平面的法向量，就是与平面垂直的向量一个平面的法向量有无数个．考点：平面的法向量；直线的方向向量．专题：规律型；空间位置关系与距离．分析：利用直线的方向向量、平面的法向量的定义，即可得出结论．解答：解：①直线的方向向量是指和这条直线所对应的向量平行的向量，一条直线的方向向量有无数个；②所谓平面的法向量，就是与平面垂直的向量，一个平面的法向量有无数个．故答案为：和这条直线所对应的向量平行；无数；与平面垂直的向量；无数．点评：本题考查直线的方向向量、平面的法向量的定义，比较基础．12．（3分）（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（2）直线与平面平行的判定定理：文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：已知：a⊊α，b⊂α，a∥b，所以a∥α．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，（2）直线与平面平行的判定定理：需要三个条件，面内一线，面外一线，线线平行，可得线面平行．解答：解：（1）证明线面平行的向量方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，（2）直线与平面平行的判定定理：文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：已知：a⊊α，b⊂α，a∥b，所以a∥α；故答案为：方向向量，垂直；平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，已知：a⊊α，b⊂α，a∥b，所以a∥α．点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，熟练掌握定理内容是解答的关键，属于基础题．13．（3分）面面平行的向量方法：证明这两个平面法向量的是共线向量．面面平行的判定定理：文字语言：如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，符号语言：⇒α∥β．考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：面面平行的向量方法是：若两个平面平行，则他们的法向量共线；面面平行的判定定理是：如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，用符号表示后可得答案．解答：解：若两个平面平行，则他们的法向量共线，故面面平行的向量方法：证明这两个平面的法向量是共线向量，面面平行的判定定理：如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，用符号语言表示：⇒α∥β，故答案为：法向量，共线向量，如果两个一个平面内有两个相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，⇒α∥β点评：本题考查的知识点是平面与平面平行的判定方法，熟练掌握几何法和向量法判断平面平行的方法及符号表示是解答的关键．14．（3分）面面垂直的向量方法：证明这两个平面的法向量是垂直的；面面垂直的判定定理：文字语言：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直，符号语言：若l ⊥β，l⊂α，则α⊥β．考点：空间向量的数量积运算．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据平面法向量的概念，得出面面垂直时两个平面的法向量是互相垂直，即可得出结论；（2）结合面面垂直的判定定理，写出文字语言叙述与符号语言叙述．解答：解：（1）面面垂直的向量方法是：证明这两个平面的法向量互相垂直，即法向量的数量积等于0；（2）面面垂直的判定定理中：文字语言是“一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直”，符号语言是“若l⊥β，l⊂α，则α⊥β”．故答案为：垂直的；一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直；若l⊥β，l⊂α，则α⊥β．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，解题时应熟记面面垂直的判定定理的内容是什么，表述方式是什么，证明方法是什么，属于基础题．15．（3分）直线与平面所成的角定义：范围：直线和平面所夹角的取值范围是[0，]；向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为φ，则有sinφ=|cos＜＞|．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用直线与平面所成的角的定义能求出直线和平面所夹角的取值范围和直线与平面所成角的向量求法的应用．解答：解：由直线与平面所成的角定义，知：直线和平面所夹角的取值范围是[0，]；向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为φ，则有sinφ=|cos＜＞|．故答案为：[0，]；|cos＜＞|．点评：本题考查直线与平面所成角的定义的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题．16．（3分）经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面；可以作无数条直线平行于这个平面．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由平面与平面平行的性质，得经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面；可以作无数条直线平行于这个平面．解答：解：由平面与平面平行的性质，得：经过平面外一点可以作1个平面平行于这个平面；可以作无数条直线平行于这个平面．故答案为：1；无数．点评：本题考查平面与平面的位置关系的判断与应用，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．（3分）已知向量，若，则x=；若则x=﹣6．考点：向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：计算题；待定系数法．分析：两个向量垂直时，他们的数量积等于0，当两个向量共线时，他们的坐标对应成比列，解方程求出参数的值．解答：解：若，则•=．若，则==，∴x=﹣6，故答案为，﹣6．点评：本题考查两个向量垂直的性质以及两个向量平行的性质，待定系数法求参数的值．18．（3分）一个球的体积是，则这个球的表面积是16π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由球的体积，由球的体积公式能求出这个球的半径，再由球的表面积的计算公式能求出结果．解答：解：一个球的体积V=π×r3=，设这个球的半径r=2，则4πr2=16π，故答案为：16π．点评：本题考查球的体积和表面积的应用，解题时要认真审题，仔细解答．19．（3分）若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：由圆柱的侧面展开图是正方形，我们易得圆柱的高与底面周长相等，设侧面的正方形边长为A后，易分别计算出侧面积和全面积，代入计算后，易得结果．解答：解：可以设该侧面的正方形边长为A，则S侧面积=A2全面积S=A2+2π则圆柱的全面积与侧面积的比==故答案：点评：本题考查的是圆柱的表面积与侧面积，利用已知分别求出全面积和侧面积是解答本题的关键，另外全面积=侧面积+底面积×2，中易解为全面积=侧面积+底面积．20．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BD1与CD所成角的正弦值等于．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：利用几何体是正方体，直接找出所求角，利用正方体的对角线的长度，求出直线BD1与直线CD所成的角的正弦值即可．解答：解：如图，连接BD1，BC1，∵几何体是正方体，∴异面直线BD1与CD所成角，就是直线BD1与C1D1所成角，即∠BD1C1，sin∠BD1C1===．∴异面直线BD1与CD所成角的正弦值为：．故答案为：．点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共4小题，满分0分）21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明GH∥B1C1，从而可得GH∥BC，即可证明B，C，H，G四点共面；（2）证明平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA1∥平面BCHG．解答：证明：（1）∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH∥B1C1，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，∴GH∥BC∴B、C、H、G四点共面；（2）∵E、F分别为AB、AC中点，∴EF∥BC∴EF∥BC∥B1C1∥GH又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点，∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E∥BG∴平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行∴平面EFA1∥平面BCHG．点评：本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．专题：证明题．分析：（Ⅰ）先证明四边形ADGB是平行四边形，可得AB∥DG，从而证明AB∥平面DEG．（Ⅱ）过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再证BH⊥EG，从而可证EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．（Ⅲ）分别以 EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA 的法向量．求出平面DCF的法向量为n=（x，y，z），则由求得二面角C﹣DF﹣E的余弦值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG．又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．（Ⅲ）分别以 EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．设平面DCF的法向量为n=（x，y，z），∵，∴，即，令z=1，得n=（﹣1，2，1）．设二面角C﹣DF﹣E的大小为θ，则，∴二面角C﹣DF﹣E的余弦值为．点评：本题考查证明线面平行、线线垂直的方法，用向量法求二面角C﹣DF﹣E的余弦值，是解题的难点．23．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．解答：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD．因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，∴cos∠PBE=．∴AC与PB所成的角为arccos．（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．在等腰三角形AMC中，AN•MC=，∴AN=．∴AB=2，∴cos∠ANB==﹣故面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值为﹣．点评：本题考查平面与平面垂直，二面角的求法，异面直线所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，转化思想，是中档题．24．如图①是一个正三棱柱形容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干．将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面．请问图①中容器内水面的高度是多少？考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：设图1中水面的高度为h，水的体积为V，由已条条件推导出S△ABC=4S△DEC，从而容器放倒后的水体积为V=，由此能求出图①中容器内水面的高度．解答：解：设图1中水面的高度为h，水的体积为V，则V=S△ABC•h，因为容器放倒后，水面恰好为中截面，所以S△ABC=4S△DEC，所以容器放倒后的水体积为V=，所以h=（）÷S△ABC=．点评：本题考查图①中容器内水面的高度的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．附加题25．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积．求出圆台体积减去圆锥体积，即可得到几何体的体积．解答：解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1===．体积V=V圆台﹣V圆锥=[25π++4π]×4﹣×2π×2×2=×39π×4﹣×8π=．所求表面积为：，体积为：．点评：本题是基础题，考查旋转体的表面积与体积，转化思想的应用，计算能力的考查，都是为本题设置的障碍，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据．。
北京市十一学校2018-2019学年高二(上)期中数学试卷(含精品解析)
∵曲线 C1：|y|-x=2 与曲线 C2：λx2+y2=4 恰好有两个不同的公共点， ∴△＞0，2 是方程的根，
∴
＜0，即-1＜λ＜1 时，方程两根异号，满足题意；
综上知，实数 λ 的取值范围是[-1，1）．
故选：C．
利用绝对值的几何意义，由 x=|y|-2 可得，y≥0 时，x=y-2；y＜0 时，x=-y-2，函
心率，求得双曲线的实半轴和虚半轴的长，进而可得双曲线的方程．
本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定
义和性质．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．利用双曲线的离心率，
这求出 a，b 的关系式，然后求渐近线方程． 【解答】
解：双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率是 3，
可得 ，则 =
=．
双曲线
=1（a＞0，b＞0）的其渐近线的方程为：x
．
故选 A．
7.【答案】A
【解析】
解：曲线 - =1 右焦点为 F（ ，0），△ APF 的周长 l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+2a+|PF′|+|AP|，要△ APF 的周长最小，只需|PF′|+|AP|，最小，如
图，当 A、P、F 三点共线时取到，故 l=2|AF|+2a=4（1+ ）． 故选：A．
故圆心到直线 x+y=0 的距离 d= ， ∵圆 M：x2+y2-2ay=0（a＞0）截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 ，
∴2
=2
=2 =2 ，
即 = ，即 a2=4，a=2， 则圆心为 M（0，2），半径 R=2， 易知圆 N：（x-1）2+（y-1）2=1 的圆心为 N（1，1），半径 r=1，
北京市陈经纶中学2019-2020学年第一学期高二数学期中试题(教师版)
北京市陈经纶中学期中考试一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.命题“0x ∃∈R ，320010x x −+>”的否定是（ ） A. x ∀∈R ，3210x x −+≤B. 0x ∃∈R ，320010x x −+<C. 0x ∃∈R ，320010x x −+≤D. x ∀∈R ，3210x x −+>【答案】A 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，由此确定正确选项.【详解】原命题为特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论，故D 选项错误，A 选项正确. 故选：A【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，属于基础题. 2.．设m n 、是不同的直线，是不同的平面,下列四个命题中，正确的是（ ）A. 若//,//m n αα,则//m nB. 若,,m n ββ⊥⊥则//m nC. 若,,m αβα⊥⊂则m β⊥D. 若,,//,//,m n m n ααββ⊂⊂则//αβ【答案】B 【解析】A 错误．平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面；B 正确．垂直于同一平面的两条直线平行；C 错误．两平面垂直，一个平面内的直线可能平行另一个平面，也可能相交；D 错误．只有m 与n 相交时，才有两个平面平行． 3.阅读下列各式，其中正确的是（ ） A. ()0a b b c b a c ⋅=⋅≠⇒=B. 00a b a ⋅=⇒=或0b =C. ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r rD. ()cos 180OA BO OA BO AOB ⋅=︒−∠【答案】D 【解析】 分析】根据向量数量积的运算律对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，当b 与a 和c 都垂直时，满足()0a b b c b ⋅=⋅≠，但不一定有a c =，所以A 选项错误.对于B 选项，当b 与a 垂直时，0a b ⋅=，所以不能推出0a =0b =，所以B 选项错误.对于C 选项，()a b c ⋅⋅r r r 的方向与c 有关，()a b c ⋅⋅r r r 的方向与a 有关，所以()a b c ⋅⋅r r r 与()a b c ⋅⋅r r r不一定相等，故C 选项错误.对于D 选项，,180OA BO AOB =︒−∠，所以()cos 180OA BO OA BO AOB ⋅=︒−∠，故D 选项正确. 故选：D【点睛】本小题主要考查向量数量积的运算，属于基础题.4.在各项都是正数的等比数列{}n a 中，若13a ，312a ，22a 成等差数列，则6745a a a a ++的值为（ ）A. 9B. 6C. 3D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项的性质列方程，由此求得等比数列{}n a 的公比，由此求得6745a a a a ++的值【详解】由于13a ，312a ，22a 成等差数列，所以31232a a a =+，即211132a q a a q =+，由于10a >，所以()()223310q q q q −−=−+=，由于0q >，所以3q =，所以22674539a a q a a +===+.故选：A【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.5.数列{}n a 中，1(1)21nn n a a n ++−=−，则数列{}n a 前12项和等于（ ）A. 76B. 78C. 80D. 82【答案】B 【解析】试题分析：因为()1121nn n a a n ++−=−，所以21324354651,3,5,7,9,a a a a a a a a a a −=+=−=+=−=7611,,a a +=1110121119,21a a a a +=−=，所以134212102,8,,40a a a a a a +=+=+=，所以从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式子相加可得，121212S a a a =+++135791124681012()()()()()()328244078a a a a a a a a a a a a =+++++++++++=⨯+++=，故选B.考点：数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等差数列的求和公式、数列的递推关系式等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中根据数列的递推关系式，利用数列的结构特征和等差数列的求和公式是解得问题的关键. 6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】当“{}n a 为常数列”时，数列1n a a =，前n 项和1n n S na na ==.当“*n ∀∈N ，n n S na =”时，当1n =时，11111a S a a ==⨯=，当2n ≥时，由n n S na =得()111n n S n a −−=−，两式相减得()11n n n a na n a −=−−，化简得()()111n n n a n a −−=−，由于11n −≥，所以1n n a a −=（2n ≥），所以数列{}n a 为常数列.综上所述，“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的充分必要条件 故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查数列前n 项和与通项间的关系，属于基础题. 7.已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是（ ） A. PC 与BD B. DA 与PBC. PD 与ABD. PA 与CD【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直．据此依次分析选项，判定所给的向量是否垂直，即可得答案．【详解】作出草图：根据题意，依次分析选项： 对于A ，PC 与BD 不一定垂直，即向量 PC 与BD ，则向量 PC 与BD 的数量积不一定为0；对于B ，根据题意，有PA ⊥平面ABCD ，则PA AD ⊥，又由AD AB ⊥，则有AD ⊥平面PAB ，进而有AD PB ⊥，即向量 DA 与PB 一定垂直，则向量 DA 与PB 的数量积一定为0；对于C ，根据题意，有PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥，又由AD AB ⊥，则有AB ⊥平面PAD ，进而有AB PD ⊥，即向量PD 与AB 一定垂直，则向量 PD 与AB 的数量积一定为0；对于D ，根据题意，有PA ⊥平面ABCD ，则PA CD ⊥，即向量 PA 与CD 一定垂直，则向量PA 与CD 的数量积一定为0；故选：A ．【点睛】本题考查了空间向量的数量积的运算，若空间非零向量的数量积为0，则这两个向量必然互相垂直，这是解题的关键．8.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点分别是,A B ，左，右焦点分别是12,F F ，若1121,,AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为A.14C.122【答案】B 【解析】：1121,2,AF a c F F c F B a c =−==+由1121,,AF F F F B 成等比数列得2(2)()()c a c a c =−+即2255a c e =⇒=【考点定位】本题主要考查椭圆的定义和离心率的概念．属基础题9.正方形ABCD 边长为1，点E 在正方形ABCD 外，且0EA ED ⋅=，则EB EC ⋅最大值是（ ）A. 2B. 1C. 3D. 4【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设(),E x y ，代入0EA ED ⋅=求得,x y的关系式，再求得EB EC ⋅的最大值.【详解】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，则()()()()0,0,1,0,1,1,0,1A B C D ，设(),E x y ，其中0x <或1x >；0y <或1y >.()()()(),,,1,1,,1,1EA x y ED x y EB x y EC x y =−−=−−=−−=−−.由0EA ED ⋅=得()210x y y −−=，即()21x y y =−，也即220x y y +−=，()22211022x y x ⎛⎫⎛⎫+−=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即E 点的轨迹是以10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为12的圆的左半部分，由此可知102x −≤<. EB EC ⋅()()()22211112x y y x x x =−−−=−−=−，由于102x −≤<，所以1122x <−≤，所以EB EC ⋅的最大值是2. 故选：A【点睛】本小题主要考查向量数量积的最值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 10.已知两平行平面α与β间距离为4，直线a β⊂，点A a ∈，则平面α内到点A 的距离为5，且到直线a的距离为 ） A. 一组平行线 B. 两段线段C. 两端圆弧D. 四个点【答案】D 【解析】首先判断出平面α内到点A 的距离为5的点的轨迹是圆，在圆上假设点D 到直线a 的距离为像，判断出这样的点D 有四个，由此确定正确选项.【详解】过A 作平面α的垂线，交平面α于C ，则4AC =.依题意两平行平面α与β间距离为4，直线a β⊂，点A a ∈，则平面α内到点A 的距离为5的点的轨迹是以C 为圆心，半径为3的圆.假设圆上点D到直线a 的距离为过C 作直线a 的平行线BC ，且DB BC ⊥，过B 作//BE AC 交直线a 于E ，连接DE .由于,BD BC BE BC ⊥⊥，所以BC ⊥平面BDE ，所以a ⊥平面BDE ，所以a DE ⊥.依题意DE =，而4BE =，所以2BD ==，也即D 得到圆C 直径的距离为2，由于圆C 的半径为3，所以符合这个条件的点D 一共有4个. 故选：D【点睛】本小题主要考查空间点、线、面的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.11.命题“若a 和b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题是__________，该否命题的真假性是__________.（填“真”或“假”）【答案】 (1). “若a 和b 不都是偶数，则+a b 不是偶数” (2). 假 【解析】 【分析】根据否命题的知识写出原命题的否命题，并判断出真假性.【详解】命题“若a 和b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数，则+a b 不是偶数”.因为当,a b 都是奇数时，+a b 是偶数，所以该否命题是假命题. 故答案为：（1）“若a 和b 不都是偶数，则+a b 不是偶数”；（2）假【点睛】本小题主要考查原命题的否命题的知识，属于基础题.12.在正四面体O －ABC 中，,,OA a OB b OC c ===，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝______________(用,,a b c 表示)．【答案】111244a b c ++ 【解析】因为在四面体O ABC −中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，()1222OA OD OE OA OD ∴=+=+()111222a OB OC =+⨯+()1111124244a b c a b c =++=++ ，故答案为111244a b c ++. 13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*1n n a S n +=∈N ，则通项n a =__________.【答案】12n 【解析】 【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n −=⎧=⎨−≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式.【详解】当1n =时，11121a S a +==，所以112a =； 当2n ≥时，由1n n a S +=，得111n n a S −−+=，两式相减得11120,2n n n n a a a a −−−==，所以数列{}n a 是首项为112a =，公比q 为12的等比数列，所以12n n a =故答案为：12n【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，属于基础题.14.如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，设11AD AA ==，2AB =，则11CC BD −=__________，11CC CA ⋅=__________.【答案】 (1). (2). 1【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量减法、模和数量积的坐标运算，求得所求的结果. 【详解】以D 为原点建立空间直角坐标系如下图所示，则()()()()()1110,2,0,0,2,1,1,2,0,0,0,1,2,0,1C C B D A .所以()()()1110,0,1,1,2,1,2,2,1CC BD CA ==−−=−，所以()111,2,0CC BD −===，()()110,0,12,2,11CC CA ⋅=⋅−=.故答案为：（1（2）1【点睛】本小题主要考查空间向量的减法、模和数量积的计算，属于基础题. 15.数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+，n *∈N ，则n a =__________，数列29n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭中最大项的值为________.【答案】 (1). 2n (2). 13【解析】【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n −=⎧=⎨−≥⎩可求得2n a n =，然后利用基本不等式可求出数列29n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭中最大项的值.【详解】当1n =时，211112a S ==+=；当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n −⎡⎤=−=+−−+−=⎣⎦.12a =适合2n a n =，则对任意的n *∈N ，2n a n =.222219993n a n n n n n ==≤=+++，当且仅当3n =时，等号成立，因此，数列29n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭中最大项的值为13. 故答案为：2n ；13. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了利用基本不等式求数列最大项，考查计算能力，属于中等题.16.已知曲线C1=，给出下列4个结论： ①曲线C 是以点(4,0)−和(4,0)为焦点的椭圆的一部分； ②曲线C 关于x 轴、y 轴、坐标原点O 对称； ③若点(,)P x y 在曲线C 上，则5x <，||3y <； ④曲线C 围成的图形的面积是30． 其中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】 化简方程为153x y +=，画出图像，结合图像逐个分析可判定正误．【详解】①根据题意，1=，即153x y +=，表示四条线段，其图形如图所示，故①错误；②由图可知，曲线C 关于x 轴，y 轴，坐标原点O 对称，故②正确； ③若点(,)P x y 在曲线C 上，则5x ≤，3y ≤，故③错误； ④曲线C 围成的面积1453302S =⨯⨯⨯=，故④正确． 综上所述，正确结论的序号是②④． 填②④【点睛】本题综合考查对曲线方程的分析能力，对学生迁移应用能力要求较强，需要数形结合思想，利用图形解题．三、解答题：本大题共4个小题，共50分. 17.已知等比数列{}n a 的前4项和45S =，且12234,,2a a a 成等差数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2，公差为1a −的等差数列，其前n 项和为n T ，求满足10n T −>的最大正整数n ．【答案】（Ⅰ）1123n n a −=⨯；（Ⅱ）最大正整数为13．【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意得到等比数列{}n a 的首相和公比的方程112a a q =和414(12)512a S −==−，联立求得等比数列{}n a 中的113a =，2q =的通项公式求得结论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的113a =，进而求得172+(1)()33n nb n −=−−=，显然数列{}n b 是等差数列，求得其前n 项和(13)T 6n n n −=，解不等式10n T −>，进而求得满足10n T −>的最大正整数为13．【详解】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，因为12234,,2a a a 成等差数列， 所以12243a a a +=．整理得122a a =，即112a a q =，解得2q =． 又414(12)512a S −==−，解得113a =． 所以1123n n a −=⨯． （Ⅱ）由（Ⅰ）得1a −1=3−, 所以172+(1)()33n n b n −=−−=． n T 72+(13)3=26n n n n −−⨯=． 所以由10n T −>，得[13(1)](1)06n n −−−>，整理得(1)(14)0n n −−<， 解得114n <<．故满足10n T −>的最大正整数为13．18. 已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A （﹣1，0），B （1，0），一个顶点为H （2，0）．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）对于x 轴上的点P （t ，0），椭圆E 上存在点M ，使得MP⊥MH，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）；（2）（﹣2，﹣1）．【解析】试题分析：（1）由两个焦点分别为A （﹣1，0），B （1，0），上顶点为D （2，0），得到椭圆的半长轴a ，半焦距c ，再求得半短轴b ，最后由椭圆的焦点在X 轴上求得方程．（2）利用向量垂直即可求得M 点的横坐标x 0，从而解决问题．解：（1）由题意得，c=1，a=2，则b=故所求的椭圆标准方程为； （2）设M （x 0，y 0）（x 0≠±2），则① 又由P （t ，0），H （2，0）．则， 由MP ⊥MH可得，即（t ﹣x 0，﹣y 0）•（2﹣x 0，﹣y 0）=由①②消去y 0，整理得②∵x 0≠2，∴ ∵﹣2＜x 0＜2，∴﹣2＜t ＜﹣1故实数t 的取值范围为（﹣2，﹣1）．点评：本题考查直线和椭圆的位置关系、考查存在性问题，解题时要认真审题，仔细解答．19.四棱锥S ABCD −中，SA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AD DC ⊥，2SA AD DC ===，1AB =.（Ⅰ）求证：平面SAD ⊥平面SCD ；（Ⅱ）求二面角S BC D −−的余弦值；（Ⅲ）M 为SC 中点，在四边形ABCD 所在的平面内是否存在一点N ，使得MN ⊥平面SBD ，若存在，求三角形ADN 的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（I ）详见解析；（II 6；（III ）存在，理由见解析，三角形ADN 的面积为1. 【解析】【分析】（I ）通过证明,CD SA CD AD ⊥⊥，证得CD ⊥平面SAD ，由此证得平面SAD ⊥平面SCD .（II ）建立空间直角坐标系，利用平面SBC 和平面ABCD 的法向量，求得二面角S BC D −−的余弦值. （III ）先假设存在符合题意的N ，然后利用向量的数量积运算，求得N 点的坐标，由此证得N 点存在，并求得三角形ADN 的面积.【详解】（I ）由于SA ⊥平面ABCD ，所以SA CD ⊥，由于,CD AD SA AD A ⊥⋂=，所以CD ⊥平面SAD ，由于CD ⊂平面SCD ，所以平面SAD ⊥平面SCD .（II ）由已知条件可知,,AD AB AS 两两垂直，以A 为原点建立空间直角坐标系，则 ()()()()0,0,0,0,1,0,2,2,0,2,0,0A B C D −−,()()0,0,2,1,1,1S M −.依条件知()0,0,2AS =是平面ABCD 的一个法向量.设(),,n x y z =是平面SBC 的法向量，()()0,1,2,2,1,0BS BC =−=−，由2020n BS y z n BC x y ⎧⋅=−+=⎨⋅=−+=⎩，令1x =，得()1,2,1n =.设二面角S BC D −−的平面角为θ，则2cos cos ,62AS nAS n AS n θ⋅====⋅. （III ）假设存在点N 满足条件，设(),,0N x y ，则()()1,1,1,2,2,0MN x y BD =+−−=−−，()0,1,2BS =−，所以()()()21100120MN BD x y MN BS y ⎧⋅=−+−−=⎪⎨⋅=+−−=⎪⎩，解得0,1x y ==−，所以存在()0,1,0N −满足条件，此时112ADN S AN AD ∆=⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的计算，考查探究性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()13a a a =≠，13n n n a S +=+，设3n n n b S =−，*n ∈N . （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求实数a 的最小值；（Ⅲ）当4a =时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1,2n n n e b n =⎧=⎨≥⎩，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t （t ，*p ∈N 且1t >，1p >）的形式，则称n C 为“指数型和”.问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.【答案】（I ）详见解析；（II ）9−；（III ）3C 为指数型和.【解析】【分析】（I ）通过计算证明证得12n nb b +=，来证得数列{}n b 是等比数列. （II ）利用11,1,2n n n S n a S S n −=⎧=⎨−≥⎩求得数列{}n a 的通项公式，由1n n a a +≥，10n n a a +−≥，求得a 的最小值. （III ）先求得{}n C 的通项公式，对p 分成偶数和奇数两种情况进行分类讨论，根据“指数型和”的定义，求出符合题意的“指数型和”.【详解】（I ）13n n n a S +=+，*11323,n n n n n n n S S S S S n N ++−=+⇒=+∈.由于3n n n b S =−，当3a ≠时，11113233233n n n n n n n n n n n b S S b S S ++++−+−===−−，所以数列{}n b 是等比数列.1133b S a =−=−，()132n n b a −=−⨯. （II ）由（I ）得()1332n n n n b S a −=−=−⨯，()1332n n n S a −=+−⨯()12*12332,2,n n n n n a S S a n n N −−−=−=⨯+−⨯≥∈，所以()12,12332,2n n n a n a a n −−=⎧=⎨⨯+−⨯≥⎩.因为1n n a a +≥，213a a a a =+>=.当2n ≥时， ()122332n n n a a −−=⨯+−⨯，()112332n n n a a −+=⨯+−⨯，而1n n a a +≥，所以10n n a a +−≥，即()()12123322332n n n n a a −−−⎡⎤⨯+−⨯−⨯+−⨯⎣⎦()1243320n n a −−=⨯+−⨯≥，化简得11243338322n n n a −−−−⨯⎛⎫≥+=−⨯+ ⎪⎝⎭，由于当2n ≥时，13832n −⎛⎫−⨯+ ⎪⎝⎭单调递减，最大值为2138312392−⎛⎫−⨯+=−+=− ⎪⎝⎭，所以9a ≥−，又3a ≠，所以a 的最小值为9−.（III ）由（I ）当4a =时，12n n b −=，当2n ≥时，()1212324232112n n n n C +⨯−=++++=+=+−.13C =也符合上式，所以对正整数n 都有21n n C =+.由21,12p n p n t t =+−=，（*,t p N ∈且1,1t p >>），t 只能是不小于3的奇数.①当p 为偶数时，221112p p pn t t t ⎛⎫⎛⎫−=+−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由于21p t +和21p t −都是大于1的正整数，所以存在正整数,g h ，使得2212,12p pg h t t +=−=，()222,2212g h h g h −−=−=，所以22h =，且2121,2g h h g −−=⇒==，相应的3n =，即有233C =，3C 为“指数型和”；② 当p 为奇数时，()()21111p p t t t t t −−=−++++，由于211p t t t −++++是p 个奇数之和，仍为奇数，又1t −为正偶数，所以()()21112p n t t t t −−++++=不成立，此时没“指数型和”.综上所述，{}n C 中的项存在“指数型和”，为3C .【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查根据数列的单调性求参数的取值范围，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.。
北京市十一学校2018-2019学年高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年北京市十一学校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.椭圆的焦距为（）A. 10B. 5C.D.2.已知双曲线x2-=1，那么它的焦点到渐近线的距离为（）A. 1B.C. 3D. 43.函数f（x）=1-x+x2，则函数y=f（x）在x=3处的瞬时变化率为（）A. 7B. 6C. 5D. 84.直线l：x=my+2与圆M：（x+1）2+（y+1）2=2相切，则m的值为（）A. 1或B. 1或C. 或7D. 1或5.若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A. B. C. D.6.设双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A. B. C. D.7.已知曲线-=1右焦点为F，P为双曲线左支点上一点，点A（0，），则△APF周长的最小值为（）A. B. C. D.8.已知圆M：x2+y2-2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x-1）2+（y-1）2=1的位置关系是（）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离9.已知曲线C1：|y|-x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A. B.C. D. ，10.点P在曲线C：+y2=1上，若存在过P的直线交曲线C于A点，交直线l：x=4于B点，满足|PA|=|PB|或|PA|=|AB|，则称点P为“H点”，那么下列结论正确的是（）A. 曲线C上的所有点都是“H点”B. 曲线C上仅有有限个点是“H点”C. 曲线C上的所有点都不是“H点”D. 曲线C上有无穷多个点但不是所有的点是“H点”二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.由直线y=x+3上的点向圆（x-3）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为______．12.过点（1，2）且与y2=4x有且只有一个公共点的直线方程为______．13.点P是椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1||PF2|=12，则∠F1PF2的大小______．14.已知点P（x，y）是椭圆=1上的动点，则2x+4y的取值范围是______．15.已知直线y=与双曲线（a＞0，b＞0）交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是______．16.已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=______．17.设椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若椭圆C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足=0，则椭圆的离心率的取值范围是______．18.曲线C为到两定点M（-2，0），N（2，0）距离的乘积为常数16的动点P的轨迹，以下结论中，正确的为______（把你认为正确的序号都填在横线上）①曲线C一定经过原点；②曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；③△MPN的面积不大于8；④曲线C在一个面积为60的矩形范围内．三、解答题（本大题共4小题，共46.0分）19.已知点P（2，2），圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为2，F为椭圆的右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点A（3，0），P是椭圆上的点，求的最小值；（3）点M是以长轴为直径的圆O上一点，圆O在点M处的切线交直线x=3于点N；求证：过点M且垂直于ON的直线l过定点．21.已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（3，m）到焦点F的距离为4．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）点P为准线上任意一点，AB为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线PA，PB，PF的斜率为k1，k2，k3，问是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3恒成立．若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．22.如图，曲线Γ由两个椭圆T1：=1（a＞b＞0）和椭圆T2：=1（b＞c＞0）组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”（1）若猫眼曲线Γ过点M（0，）），且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；（2）对（1）中求出的猫眼曲线Γ，任意作一条斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与椭圆T1，T2均相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，设O为坐标原直线OM，ON的斜率分别为k OM，k ON，求证为定值；（3）已知t1的长轴长是4，T2的离心率是，斜率为的直线1为椭圆T2的切线交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN 面积的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵椭圆方程为∴a2=16，b2=9，得c==由此，可得椭圆的焦距等于2c=2故选：D．根据椭圆标准方程得a2=16，b2=9．再根据椭圆基本量的关系得c==，由此即可得到该椭圆的焦距．本题给出椭圆的方程，求椭圆的焦距，着重考查了椭圆的标准方程和椭圆基本量的关系等知识，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：双曲线x2-=1的焦点F（2，0），一条渐近线的方程为y= x，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为=，故选：B．根据双曲线的方程求出焦点坐标和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式求得焦点到渐近线的距离．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解∵f（x）=1-x+x2，∴f′（x）=2x-1，即当x=3时，f′（3）=5，即在点x=2处的瞬时变化率估计是3，故选：C．根据导数的物理意义求函数的导数即可．本题主要考查导数的物理意义的应用，求函数的导数解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，直线l：x=my+2与圆M：（x+1）2+（y+1）2=2相切，圆M的圆心为（-1，-1），半径r=，则有d==，变形可得：m2+6m-7=0，解可得：m=1或-7；故选：B．根据题意，由直线与圆的位置关系，分析可得d==，变形解可得m的值，即可得答案．本题考查直线与圆相切的判断，注意直线与圆相切的性质即可，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意设双曲线方程为，离心率为e椭圆长轴的端点是（0，），所以a=．∵椭圆的离心率为∴双曲线的离心率e=，⇒c=2，∴b=，则双曲线的方程是y2-x2=2．故选：D．根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率，进而可得双曲线的顶点和离心率，求得双曲线的实半轴和虚半轴的长，进而可得双曲线的方程．本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．利用双曲线的离心率，这求出a，b的关系式，然后求渐近线方程．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，可得，则==．双曲线=1（a＞0，b＞0）的其渐近线的方程为：x．故选A．7.【答案】A【解析】解：曲线-=1右焦点为F（，0），△APF的周长l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+2a+|PF′|+|AP|，要△APF的周长最小，只需|PF′|+|AP|，最小，如图，当A、P、F三点共线时取到，故l=2|AF|+2a=4（1+）．故选：A．利用双曲线的性质，转化求解三角形的面积的最小值，判断最小值的位置是解题关键．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查圆的弦长，两圆位置关系的判断，求出a的值是解决本题的关键.写出圆M的圆心坐标和半径，求出圆M的圆心到直线x+y=0的距离，构造直角三角形，求出a的值，根据两圆的位置关系的判断方法进行判断即可.【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y-a）2=a2 （a＞0），则圆心为（0，a），半径R=a，故圆心到直线x+y=0的距离d=，∵圆M：x2+y2-2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，∴2=2=2=2，即=，即a2=4，a=2，则圆心为M（0，2），半径R=2，易知圆N：（x-1）2+（y-1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，则|MN|==，∵R+r=3，R-r=1，∴R-r＜|MN|＜R+r，故两个圆相交.故选B.9.【答案】C【解析】解：由x=|y|-2可得，y≥0时，x=y-2；y＜0时，x=-y-2，∴函数x=|y|-2的图象与方程y2+λx2=4的曲线必相交于（0，±2），所以为了使曲线C1：|y|-x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则将x=y-2代入方程y2+λx2=4，整理可得（1+λ）y2-4λy+4λ-4=0，当λ=-1时，y=2满足题意，∵曲线C1：|y|-x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，∴△＞0，2是方程的根，∴＜0，即-1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[-1，1）．故选：C．利用绝对值的几何意义，由x=|y|-2可得，y≥0时，x=y-2；y＜0时，x=-y-2，函数x=|y|-2的图象与方程y2+λx2=4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C1：|y|-x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x=y-2代入方程y2+λx2=4，整理可得（1+λ）y2-4λy+4λ-4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y＜0时的情形．本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：由题意，P、A的位置关系对称，于是不妨设-2≤x P＜x A≤2，（此时PA=AB）．由相似三角形，2|4-x A|=|4-x P|即：x P=2x A-4…①设PA：y=kx+m，与椭圆联立方程组，解得x A x P=…②∵△＞04k2＞m2-1…③联立①②③，得x A2-2x A＜而0＜＜2即x A2-2x A＜2即1-≤x A≤2而当x A＜1时，x P=2x A-4＜-2，故此时不存在H点又因为P的位置可以和A互换（互换后即PA=PB），所以H点的横坐标取值为[-2，0]U[1，2]故选：D．设出-2≤x P＜x A≤2，利用相似三角形求得x P和x A的关系，设出PA的方程与椭圆方程联立求得x A x P的表达式，利用判别式大于0求得k和m的不等式关系，最后联立①②③求得x A的范围，进而通过x A＜1时，x P=2x A-4＜-2，故此时不存在H点，进而求得H点的横坐标取值范围，判断出题设的选项．本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系问题．解题的关键是求得H点的横坐标取值范围．11.【答案】【解析】解：根据题意，设圆（x-3）2+（y+2）2=1的圆心为C，则C（3，-2），其半径为1，设P为直线y=x+3上任意一点，过点P向圆C引切线，切点为T，则|PT|=，则当|PC|最小时，|PT|最小，而|PC|的最小值为C到直线的距离d，且d==4，则切线长|PT|的最小值为=；故答案为：．根据题意，由圆的方程可得圆心与半径，设P为直线y=x+3上任意一点，过点P向圆C引切线，切点为T，分析可得可得当圆心C和直线上点的距离最小时，切线长最短，据此分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析切线长最短的条件，属于基础题．12.【答案】y=2或（）x-y+3-=0，或（）x+y-3-=0【解析】解：由题意可设直线方程为：y=k（x-1）+2，代入抛物线方程整理可得k2x2+（2k2+4k-4）x+k2+4k+4=0（*）直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根，①k=0时，y=2，符合题意；②k≠0时，△=（2k2+4k-4）2-4k2（k2+4k+4）=0，整理，得k2+2k-1=0，解得k=或k=-，故所求直线方程为：y=2或y=（）（x-1）+2或y=-（）（x-1）+2．所求直线方程为：y=2或（）x-y+3-=0，或（）x+y-3-=0．故答案为：y=2或（）x-y+3-=0，或（）x+y-3-=0．设出直线方程代入抛物线方程，整理可得k2x2+（2k2+4k-4）x+k2+4k+4=0（*），直线与抛物线只有一个公共点⇔（*）只有一个根，对k讨论即可得到．本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系，求解参数的取值范围，一般的思路是把位置关系转化为方程解的问题，体现了转化的思想．13.【答案】60°【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．利用椭圆的定义，结合余弦定理，已知条件，转化求解即可．【解答】解：椭圆+=1，可得2a=8，设|PF1|=m，|PF2|=n，可得，化简可得：cos∠F1PF2=∴∠F1PF2=60°故答案为：60°．14.【答案】[-10，10]【解析】解：目标函数z=2x+4y，P代表椭圆上动点，直线则代表目标函数，在直线移动的过程中，直线越往上移动，所代表的截距越大，那么目标函数值z也越大，反之则越小．由此我们可以得出在相切时，z分别取到最大最小值，图象如下．为了研究相切时的情况，联立椭圆=1和直线z=2x+4y的方程，得到二次方程，25x2-8zx+z2-36=0由于相切时方程有且仅有一解，所以令判别式△=0得到64z2-100（z2-36）=0即z2=100，此时z=±10，所以，z max=10，z min=-10，因此目标函数2x+4y的取值范围是[-10，10]．故答案为：[-10，10]．目标函数z=2x+4y，P代表椭圆上动点，直线则代表目标函数，我们会发现，在直线移动的过程中，直线越往上移动，所代表的截距越大，那么目标函数值z也越大，反之则越小．由此我们可以得出在相切时，z分别取到最大最小值，即可得出结论．本题考查椭圆方程，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15.【答案】（，）【解析】解：把直线y=代入双曲线（a＞0，b＞0），并整理，得，∵直线y=与双曲线（a＞0，b＞0）交于两点，∴4b2＞a2，即b2＞，∴c2=a2+b2＞a+=，∴c＞，∴e=＞．故答案为：（，+∞）．由直线y=与双曲线（a＞0，b＞0）交于两点，推导出4b2＞a2，由此能够推导出离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意一元二次方程的解的个数的应用．16.【答案】【解析】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x 2-1，y2）=（1-x1，-y1），可得y2=-，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，可得|m-1|=，解得m=．故答案为：．画出图形，利用已知条件求出A，B的坐标，通过向量关系求出m值即可．本题考查直线与抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．17.【答案】[，1）【解析】解：由=0可得∠APB=90°，由圆的切线质可得|PA|=|PB|，∠OAP=∠OBP=∠APB=90°，且|OA|=|OB|=b，则四边形OABP是正方形，|OP|=b，∴|OP|2=2b2≤a2，∴a2≤2c2，∴e2=≥，即e的范围为[，1）．故答案为：[，1）．由题意可得∠APB=90°，运用圆的切线性质，可得四边形OABP是正方形，|OP|=b，又|OP|2=2b2≤a2，由此能求出椭圆离心率e的取值范围．本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用圆的切线性质和椭圆上的点与原点的距离的范围，考查运算能力，属于中档题．18.【答案】②【解析】解：设P（x，y），则•=16，①，（0，0）代入，方程不成立，即曲线C一定经过原点，不正确；②，以-x代替x，-y代替y，方程成立，即曲线C关于x、y轴对称，不正确；③，x=0，y=，△MPN的最大面积=×=4＜8，故正确；，④令y=0，可得x=±2，曲线C在一个面积为4×=16的矩形范围内，不正确．故答案为：②．设P（x，y），则•=16，对选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）由圆C：x2+y2-8y=0，得x2+（y-4）2=16，∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M（x，y），则，，，．由题意可得：．即x（2-x）+（y-4）（2-y）=0．整理得：（x-1）2+（y-3）2=2．∴M的轨迹方程是（x-1）2+（y-3）2=2．（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．∵k ON=3，∴直线l的斜率为-．∴直线PM的方程为，即x+3y-8=0．则O到直线l的距离为．又N到l的距离为，∴|PM|==．∴△ ．【解析】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．20.【答案】解：（1）由长轴长为2，且离心率为．可得a=，e==，a2-b2=c2，解得b=，c=1．则椭圆的方程为+=1；（2）设P（m，n），则2m2+3n2=6．-又A（3，0），F（1，0）∴=（3-m，-n）•（1-m，-n）=（3-m）（1-m）+n2=m2+n2-4m+3=∴当m=-时，的最小值4+6；（3）证明：由题意知，圆O的方程为x2+y2=3．设N（3，t），M（x0，y0），x02+y02=3．由|ON|2=3+|MN|2，得32+t2=3+（x0-3）2+（y0-t）2，即9+t2=3+x02-6x0+9+y02-2ty0+t2，因为x02+y02=3，所以3x0+y0t-3=0．当t=0时，x0=1，直线l的方程为x=1，直线l过椭圆C的右焦点F（1，0）．当t≠0时，直线MN的方程为，即ty-ty0=-3x+3x0，即ty=-3（x-1），直线l过椭圆C的右焦点F（1，0）．综上所述，直线l过椭圆C的右焦点F（1，0）．【解析】（1）由题意可得2a=2，e==，a2-b2=c2，解方程可得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设P（m，n），则2m2+3n2=6．-．=（3-m，-n）•（1-m，-n）=（3-m）（1-m）+n2=m2+n2-4m+3=，根据m的范围求得最值．（3）求得圆O的方程，根据题意|ON|2=3+|MN|2，求得3x0+y0t-3=0，分类讨论，当t≠0时，直线MN的方程，则ty=-3（x-1），直线l过椭圆C的右焦点F（1，0）．本题考查椭圆的标准方程及性质，向量数量积运算，定点问题，考查圆方程的应用，考查转化思想，属于中档题．21.【答案】解：（I）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），准线为x=，由抛物线的定义可知：4=3，p=2∴抛物线方程为y2=4x；（II）由于抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），准线为x=-1，设直线AB：x=my+1，与y2=4x联立，消去x，整理得：y2-4my-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（-1，t），有易知，而====2k3∴存在实数λ=2，使得k1+k2=λk3恒成立．【解析】（Ⅰ）由抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，即可求出p，从而得到方程；（Ⅱ）求出焦点和准线，设出直线AB，联立方程，消去x得到y的方程，运用韦达定理，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（-1，t），运用斜率公式，化简整理，注意点在抛物线上，且全部转化为y的式子，即可判断．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义、性质和方程，同时考查联立方程，运用韦达定理，运用斜率公式，考查运算化简能力，是一道中档题．22.【答案】解：（1）由题意知，b=，，∴a=3，c=1，∴T1：+=1，∴T2：+x2=1；（2）证明：设斜率为k的直线交椭圆T1于点C（x1，y1），D（x2，y2），线段CD中点M（x0，y0），∴x0=，y0=，由+=1，+=1，相减得+=0，∵k存在且k≠0，∴x1≠x2，且x0≠0，∴•=-，即k•k OM=-；同理，k•k ON=-3；∴=；（3）设直线l的方程为y=x+m，联立方程得，化简得，（b2+2c2）x2+2mc2x+m2c2-b2c2=0，由△=0化简得m2=b2+2c2，l1：y=x+，联立方程得，化简得（b2+2a2）x2+2ma2x+m2a2-b2a2=0，由△=0得m2=b2+2a2，l2：y=x-，两平行线间距离d=，∴|AB|=，∴△ABN的面积最大值为S=|AB|•d=．T1的长轴长是4，T2的离心率是，可得a=2，b=c，由a，b，c成等比数列可得b2=ac，可得a=2，c=1，b=，则△ABN面积的最大值S=．【解析】（1）由题意知b=，从而求猫眼曲线Γ的方程；（2）设交点C（x1，y1），D（x2，y2），从而可得x0=，y0=，联立方程化简可得k•k OM=-，k•k ON=-2；从而解得；（3）设直线l的方程为y=x+m，联立方程化简（b2+2c2）x2+2mc2x+m2c2-b2c2=0，从而可得l1：y=x+，同理可得l2：y=x-，从而利用两平行线间距离表示三角形的高，再求|AB|=，从而求最大面积．本题考查了学生的化简运算的能力及椭圆与直线的位置关系的判断，属于难题．。
2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试卷含答案
2019届高二上学期期中考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考试结束后，请将答题卡上交。
满分150分，考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.非选择题的作答：用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4.考生务必保持答题卡的整洁。
第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知集合}034|{2<+-=x x x A ，}|{2R x x y y B ∈==，，则=⋂B A （ ） A. φ B. [0,1)(3,)+∞ C. (1,3) D. (0,3)2．若323a =，523b =，0.5log 3c =，则（ ） A. c a b <<B. b a c <<C. b c a <<D. a b c <<3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A. 21y x =-+ B.lg y x = C. 1y x= D. x x y e e -=- 4．已知直线10ax y a +--=与直线102x y -=平行，则a 的值是（ ） A. 1 B. 1- C. 2 D. 2-5．在等比数列{}n a 中，13524621,42a a a a a a ++=++=，则数列{}n a 的前9项的和=9S （ ）A.255B.256C.511D.5126．执行如图所示的程序框图，若输入的5-=x ，则输出的=y （ ）A. 2B.4C. 10D.287．已知函数)(x f 在)(∞+-∞，单调递减，且为奇函数。
北京市丰台区2018-2019学年高二上期中数学理科试题(A)(含答案)
丰台区2018-2019学年度第一学期期中联考试卷 高二理科数学（A 卷） 考试时间：90分钟第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、单选题共10小题；每小题4分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1、已知直线l 的方程为y x =-+1,那么直线l 的倾斜角是 A 、-45B 、45C 、60D 、1352、已知点(,)P 11,Q 为直线x y +-=10上任意一点,那么||PQ 的最小值是A 、1B 、2CD 3、若两条直线x ay +-=210与()a x ay --+=110平行,则a 的值为 A 、12B 、12或0C 、0D 、324、若直线l 沿x 轴向左平移3个单位,再沿y 轴向上平移1个单位,回到原来的位置,则直线l 的斜率为 A 、3B 、-3C 、-13D 、135、方程x y x y m +++-=220表示一个圆,则m 的取值范围是 A 、m <-12 B 、m >-12 C 、m ≤-12 D 、m ≥-126、若直线x y --=20被圆()x a y -+=224所截得的弦长为,则实数a 的值为A 、0或4B 、1或3C 、-1D 、-2或67、若双曲线221y x n-=的离心率为2,则n ＝A 、-3B 、13C 、1D 、38.直线03=+-m y x 与圆4:22=+y x O 在第二象限内有两个不同交点,则实数m 的取值范围是A 、20<<mB 、322<<mC 、42<<mD 、432<<m9、如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分、过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上,片门位于另一个焦点2F 上、由椭圆一个焦点1F 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F 、已知12BC F F ⊥,11216||,||43F B F F ==、则截口BAC 所在椭圆的离心率为A 、23B 、12C 、13D 、1610、已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥032031y x y x y ,且目标函数)(R a y ax z ∈+=,若取得最大值时的唯一最优解是)2,1(,则实数a 的取值范围是A 、(,)(,)-∞-+∞112B 、 (,)-112C 、(,)(,)-∞-+∞112D 、 (,)-112第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题共6小题,每小题4分,共24分。