人教版数学八年级下册《16.3二次根式的加减教案》教学设计
16.3 二次根式的加减 教案
（共2课时）
教学目标：
知识与技能目标：
1、理解和掌握二次根式加减的方法；
2、 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式
乘法公式的应用．
过程与方法目标：
1、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式加
减方法的理解，再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．
2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的
乘除、乘方等运算．
情感与价值目标：
通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科
学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
重难点关键
重点：
1、二次根式化简为最简根式
2、二次根式的乘除、乘方等运算规律；
难点关键：
1、会判定是否是最简二次根式
2、由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
第1课时
教学过程:
一、复习引入
学生活动：计算下列各式．
（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a
3
老师评析：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的合并同类
项，合并同类项就是字母不变，系数相加减．
二、探索新知
学生活动：计算下列各式．
（1）22+32 （2）28-38+58
（3）7+27+397 （4）33-23+2
老师评析：（1）如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题吗？
22+32=（2+3）2=52
其它三个题，要求学生用类似的方法进行求解。
因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的。而对于22与
8
表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？（先让学生讨论，然后共
同发现问题）
32+8=32+22=52 33+27=33+33=63
所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，
•再将被开方数相同的二次根式进行合并．
例1．计算：（1）8+18 （2）16x+64x
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第
二步，将被开方数相同的最简二次根式进行合并．
解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52；
（2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x.
例2．计算：（要求学生自己动手，请两位同学上台板演）
（1）348-913+312； （2）（48+20）+（12-5）
三、应用拓展：
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（293xx+y23xy）-（x21x-5xyx）
的值．（请一位同学上台，分析并书写）
分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得
（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运
算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入
求值．
四、归纳小结：（师生共同小结）本节课应掌握：（1）不是最简二次
根式的，应化成最简二次根式；（2）被开方数相同的最简二次根式进
行合并．
五、布置作业：
1、课本P15第2题
2、先化简，再求值:（6xyx+33xyy）-（4xxy+36xy），其
中x=32，y=27．
第2课时
教学过程：
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题:
1．计算
（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy
2．计算
（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）
2
老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有
（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；
（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．
二、探索新知
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否
仍成立呢？•仍成立．
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代
表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律
也适用于二次根式．
例1．计算:
（1）（6+8）×3 （2）（46-32）÷22
分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所
以直接可用整式的运算规律．
解：（1）（6+8）×3=6×3+8×3=18+24=32+26
解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22=23-32
例2．计算（要求学生独立完成，请两位同学上台板演）
（1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7）
三、应用拓展
例3．先化简，再求值：当x=2时，求11xxxx+11xxxx的值．
分析：由于（1x+x）（1x-x）=1，因此对代数式的化简，
可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的
值，代入化简得结果即可．
解：原式=2(1)(1)(1)xxxxxx+2(1)(1)(1)xxxxxx
=2(1)(1)xxxx+2(1)(1)xxxx
=（x+1）+x-2(1)xx+（x+1）+x+2(1)xx
=4x+2
当x=2时
∴原式=4x+2=4×2+2=10
四、归纳小结：
本节课应掌握的内容是二次根式的乘、除、乘方等运算．
五、课后作业：
1、课本P15的第3、4题
2、化简5710141521
《16.3二次根式的加减》教学设计教学反思-2023-2024学年初中数学人教版12八年级下册
《二次根式的加减》教学设计方案（第一课时）一、教学目标本课旨在使学生掌握二次根式的加减法规则，理解同类二次根式合并的原理，并能正确运用这些规则进行实际计算。
通过学习，学生应能熟练进行二次根式的化简与加减运算，为后续学习方程的解法及函数等知识打下基础。
同时，通过小组合作与探究，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学重难点教学重点为理解二次根式加减的基本法则及操作过程，学会运用公式和性质化简和合并同类二次根式。
难点在于如何准确判断同类二次根式并正确进行合并，以及在计算过程中避免常见错误。
三、教学准备教师需准备教学课件，包括二次根式的基本概念、加减法规则、例题解析等内容。
学生需准备教材、练习本及必要的文具。
同时，教室应配备投影仪等多媒体设备，以便展示教学内容和练习题。
教师还需提前准备一些实际问题的案例，用于课后拓展和小组讨论。
通过展示和强化学生的学习内容。
以下是针对该信息内容的续写：以提供足够的练习题和案例分析，确保学生能够充分理解和掌握所学知识。
教师可以利用现代教学工具，如多媒体课件、在线平台等，将教学内容以图文并茂、生动有趣的方式呈现给学生。
这不仅能够激发学生的学习兴趣，还能够提高教学效率，让学生在轻松愉悦的氛围中掌握知识。
为了使学生能够将理论知识与实践相结合，教师还需提前准备一些实际问题的案例。
这些案例可以是历史上的真实事件，或者是基于现实情境的模拟问题。
通过课后拓展和小组讨论的形式，让学生们围绕案例展开思考和讨论，培养他们的分析问题和解决问题的能力。
这样的教学方式不仅能够加深学生对知识的理解，还能够培养学生的批判性思维和团队合作能力。
四、教学过程：一、导入新课在课堂的开始，教师首先通过一个实际问题来引导学生进入本课的主题——二次根式的加减。
例如，教师可以提出一个关于面积计算的问题：“假设我们有一个矩形花坛，其长为√a米，宽为√b米，我们如何计算其面积？”通过这个问题，学生将意识到需要运用二次根式的知识来解决问题。
人教版八年级数学下册16.3二次根式的加减教案
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式的定义、性质、合并同类二次根式的法则以及在实际生活中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次根式加减的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的加减》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算不同根号下的数相加或相减的情况？”（如购物时计算两种不同长度的物品总长度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式加减的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的定义及性质。二次根式是形如$\sqrt{a}$的表达式，其中$a$是非负实数。它是解决平方根问题的重要工具，广泛应用于数学和实际生活。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次根式在几何图形面积计算中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-掌握二次根式的定义及性质，特别是理解二次根式的有理化。
-熟练运用合并同类二次根式的法则，进行加减运算。
-能够将实际问题中的二次根式加减问题转化为数学模型，并解决。
-举例：
*重点讲解二次根式$\sqrt{a}+\sqrt{b}$和$\sqrt{a}-\sqrt{b}$的有理化过程，强调分母有理化的重要性。
人教版八年级数学下《16.3 二次根式的加减 二次根式的混合运算》优质课教学设计_21
16.3 二次根式的加减教学目标知识与技能目标：理解和掌握二次根式加减的方法, 使用二次根式、化简解应用题．过程与方法目标：先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式实行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的水平．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式,会计算二次根式的混合运算教法：1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论并解决。
2、讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读，与同类项实行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并实行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：类比的方法，阅读的方法，分组讨论法，练习法教学用具：多媒体课件，教材。
课时安排：1课时。
教学过程：一、复习引入学生活动：计算下列各式．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．二、探索新知学生活动：计算下列各式．（1）（2）（3老师点评：（1x，不就转化为上面的问题吗？（2+3（2y；（2-3+5（3z；（1+2+3所以，二次根式的被开方数相同是能够合并的，如但它们能够合并吗？能够的．例如：（1）（2）所以，二次根式加减时，能够先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式实行合并．例1．计算：（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式实行合并．解：（1（2+3（2（4+8例2．计算：（1）（2）+解：（1）（12-3+6（2）+同学们，下面我们看一下二次根式里面的混合运算的计算方法.例3.计算（1）（2）（分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）解：（3 2例4.计算 （1））（ （2）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1））（2（2）=2- 2=10-7=3三、应用拓展：1.已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式实行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=12，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：∵4x 2+y 2-4x-6y+10=0∵4x 2-4x+1+y 2-6y+9=0∴（2x-1）2+（y-3）2=0∴x=12，y=3原式=23+y当x=12，y=3时，原式=1242. 3.先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27．原式（=（6+3-4-6当x=32，y=27时，原式92四、归纳小结：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式实行合并．五、布置作业：1.选择题1.以下二次根式：（）．A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④2.下列各式：①17中错误的有（）．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个2.填空题：1．在、是同类二次根式的有________．2.计算二次根式________．板书设计：。
新人教版八年级数学下《16.3 二次根式的加减 二次根式的混合运算》优质课教学设计_54
课题名称：二次根式的混合运算年级：八年级下册版本：人民教育出版社16.3.2 二次根式的混合运算一.新课引入整式四则运算的运算法则大家比较熟悉，那么二次根式的四则运算又该怎样实行呢？今天我们来学习二次根式的四则混合运算.学习目标熟练应用二次根式的加减乘除法运算法则及乘法公式实行二次根式的混合运算.重、难点重点：类比整式混合运算实行二次根式的混合运算.难点：混合运算的顺序、运算律及乘法公式的灵活使用.教学过程：一．复习引入问题1.二次根式的乘除运算法则是什么？⋅=≥≥）0,0a b追问：在实行二次根式的乘除运算时，需要注意什么？ 需要注意的是：运算结果要化成最简二次根式.问题2.二次根式的加减运算法则是什么？追问：二次根式的加减运算法则的依据是什么？加减法则的依据是：乘法分配律.二.探究新知例1 计算：.2334 +=0,0a b =≥>）cb ac b c a )(+=+;6)38( )1(⨯+6368 ⨯+⨯=解：原式6368⨯+⨯=.22)6324( )2(÷-22632224 ÷-÷=解：原式.3232-=小结（1）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；（2）最终的结果一定要化为最简二次根式.例2 计算：2.= 提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？小结 乘法公式使计算准确、简便，所以能用运算公式的，尽可能用运算式．因为二次根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．三．巩固练习1. 练习 计算：).35)(35( )2(-+22)3()5( -=解：原式35-=;5)4080( )1(÷+2. 已知 求下列各式的值：作业课上作业：教材第14页练习1,2题课下作业：教材第十五页第3.4题复习二次根式的混合运算 );25)(35( )2(++);74)(74( )3(-+.)252( )4(2-,23 ,23-=+=y x . )2( ;2 )1(2222y x y xy x -+-。
人教版数学八年级下册16.3《二次根式加减法(2)》教学设计
学生小组探讨例2的三个小题的解决方法.
学生自己先在练习本上解出结果,然后,在集体对答案,自己给自己打分,找出缺乏之处,加以改正.
请学生自己试着说出印象最深的内容.
通过同学的讲解,激发学生的好胜心,提高学习兴趣和注意力.
提高学生的合作意识和合作能力,充分发挥小组中每一个成员的作用.
学生对分数非常敏感,因此,让他们自己给自己打分,他们会加倍注意错在什么地方,以后会记得很结实.
16.3二次根式的加减〔第2课时〕
教
学
目
标
知识技能
在有理数的混合运算及整式的混合运算的根底上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比拟中求得方法，并能熟练地进展二次根式的混合运算．
数学思考
对二次根式的混合运算与整式的混合运算及数的混合运算作比拟，要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．
〔5〕 .
活动四小结收获
请你提醒大家,本节课所研究的内容,有什么需要特别记住的,有哪些地方是特别容易出错的?
1.以前学过的运算法那么在二次根式的混合运算中依然成立；
2.计算结果最后一定要化成最简形式.
作业：
1.计算：
〔1〕 ；
〔2〕 .
2． ， ，求以下各式的值：
〔1〕 ；
〔2〕 .
学生计算后,找俩名学生为全体学生讲解.
活动一复习引入
计算:
〔1〕 ；
〔2〕 ；
〔3〕 .
问题1:
应怎样计算?
乘法对加法的分配律依然可以应用吗?下面我们验证一下.
活动二动手演练
例1计算:
〔1〕 ；
〔2〕 .
解:〔1〕
〔2〕
新人教版八年级数学下《16.3二次根式加减二次根式混合运算》课教学设计0
二次根式的加减第2课时二次根式的混合运算一、教材分析本节课是人教版数学八年级下册第十六章第三节第二课时的内容，本节课是在学习了二次根式的重要概念和最简二次根式及二次根式的相关运算〔二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法〕的根底上，将加、减、乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。
教学重点混合运算的法那么，运算律的合理使用．二、教学目标【知识技能】在有理数的混合运算及整式的混合运算的根底上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比拟中求得方法，并能熟练地实行二次根式的混合运算【过程方法】1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比拟，注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性.2. 在运算中使用多项式的乘法法那么和整式的乘法公式，体会二次根式的运算与整式的运算的联系.【情感目标】培养学生的类比使用意识三、教学方法分析鉴于学生的特点及教材的特点，本节课主要采用“引导发现法〞的课堂教学模式及“类比法〞的教学方法，以此实现生生互动、师生互动、学生与教材之间的互动。
具体说明如下：1、引导发现法：在教师的启发引导下，鼓励学生积极参与，让学生自主探索，归纳结论，掌握规律。
2、类比法：类比合并同类项合并同类二次根式；类比有理数的混合运算及整式的混合运算实行二次根式的混合运算。
教学难点灵活使用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便四、教学过程设计一〕前置诊断，出示目标导语设计：到当前为止，我们已经学习了二次根式的乘除、加减运算，这节课来学习二次根式的混合运算.复习稳固：1.①在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法那么是什么?②多项式与多项式的乘法法那么是什么?什么是完全平方式?③什么是平方差公式？分别用式子表示出来。
2、要实行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能实行加减？教学目标：1、了解二次根式的混合运算2、能利用运算律、乘法法那么和乘法公式实行二次根式的混合运算二〕问题设置同伴互助活动1、用类比的方法，计算课本例3〔学生计算，观察比照，类比整式混合运算知识尝试计算〕①(2a+3b)a；83 6②(3ab-4a2)÷a； 4 2-3 6 2 2思考：例3〔1〕使用了什么运算律？在有理数范围内成立的运算律在实数范围内能否继续使用？〔2〕二次根式的混合运算与整式的混合运算相同之处是什么？〔3〕左边式子中的字母a、b能够表示二次根式吗？活动2、计算课本例题4计算〔1〕 2 32-5〔2〕5 3 5- 34〔1〕使用的多项式乘法法那么是________________;〔2〕使用的乘法公式是_____________________. 归纳：在二次根式的运算中，多项式乘法法那么和乘法公式仍然适用活动3给出二次根式混合运算的一般步骤.〔小组交流，讨论〕分析法那么：〔1〕实行二次根式混合运算时，运算顺序与实数运算类似，先算 _____，再算______，最后算_____，有括号的先算括号里面的〔或先去掉括号〕.2〕对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法那么仍然适用，整式、分式的乘法法那么和乘法公式仍然适用。
新人教版数学初中八年级下册16.3《二次根式的加减》公开课优质课教学设计
1《16.3二次根式的加减》本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，从算术平方根的运算出发，从算术平方根的运算出发，研究二次根式的加减运算．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．实数的运算律对二次根式的运算仍实数的运算律对二次根式的运算仍然适用．结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算．进行二次根式的混合运算．1. 1. 探索二次根式加减运算的方法和步骤；探索二次根式加减运算的方法和步骤；2.2. 会进行二次根式的加减运算．会进行二次根式的加减运算．3.3. 通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想. .4.4. 类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混合运算顺序的步骤和方法方法. .5.5. 能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .6.6. 通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力．1.1. 在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．2.2. 熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .课件课件◆ 教材分析 ◆ 教学目标◆ 教学重难点 ◆◆ 课前准备◆◆ 教学过程第一课时一、复习引入：一、复习引入：问题1：什么叫最简二次根式？你能将18，8，23化为最简二次根式吗？化为最简二次根式吗？ 问题2：现有一块长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 的木板的木板,,能否采用如图的方式能否采用如图的方式,,在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板的正方形木板? ? 提问提问::①大、小正方形木板的边长分别为18dm 和8dm,dm,木板是木板是否够宽否够宽??②木板是否够长呢②木板是否够长呢??③怎样计算818+的结果呢的结果呢? ?问题3：计算下列各式：（1）a+2a a+2a；；（2）3x-2x 3x-2x；；解：（1）a+2a=(1+2)a=3a a+2a=(1+2)a=3a；；（2）3x-2x=(3-2)x=x 3x-2x=(3-2)x=x；；【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备. .二、新课讲解：1.1.探究二次根式的加法探究二次根式的加法探究二次根式的加法. .问题4：请类比整式的加减，计算下列各式：：请类比整式的加减，计算下列各式：（1）323+；（2）52-53.解：（1）333)21(323=+=+；（2）55)23(52-53=-=.【点拨】最简二次根式中，被开方数相同的二次根式的加减，直接把系数相加减，根号和根号内的数不变内的数不变. .问题5：53+能合并吗？为什么？82+呢？呢？解：53+不能合并，因为它们被开方数不相同；不能合并，因为它们被开方数不相同；232)21(22282=+=+=+.【小结】（1）二次根式能够进行合并的条件：①首先将二次根式化成最简二次根式；②观察被开方数是否相同开方数是否相同. .（2）二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并式合并. .练习1：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（ ）A ．xy 与y x 2B ．22y x +与22y x - C ．mn 与n m + D．ab 2与ba 2 练习练习:2:2:2：：（教材P13练习）下列计算是否正确？为什么？练习）下列计算是否正确？为什么？（1）3838-=-；（2）9494+=+；（3）22223=-.解：（1）∵228=和3的被开方数不相同，的被开方数不相同，∴不能合并∴不能合并,,故错误故错误. .（2）∵53294=+=+，1394=+，故9494+¹+，故错误；，故错误；（3）∵22)23(2223=-=-，故正确故正确. .[点拨点拨]]化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并. .2.2.二次根式加法的运用二次根式加法的运用二次根式加法的运用. .问题7：（教材例题）计算：（1）4580-；（2）a a 259+；（3）483316122+-；（4）)53()2012(-++.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a 853259=+=+；（3）3102831232-28483316122+=+=+-； （4）533535232)53()2012(+=-++=-++.练习3：（教材P13练习2）计算：（1）4580-；（2）a a 9194+； （3）52080+-；（4）)2798(18-+；（5）)681()5.024(--+.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a =+=+31329194； （3）535525452080=+-=+-；（4）33210332723)2798(18-=-+=-+；.42636422262)642()2262()681()5.024(5+=+-+=--+=--+）（问题6：前面问题2中，怎样计算818+的结果呢的结果呢??木板长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 5dm，是否够长？，是否够长？，是否够长？解：818+=2223+···化为最简二次根式·化为最简二次根式=2)23(+···乘法分配率·乘法分配率=25≈7.077.07＜＜7.5故木板够长故木板够长. .练习4：（教材P13练习3）如果两个圆的圆心相同，他们的面积分别是12.56和25.1225.12，求圆环的，求圆环的宽度d （π取3.143.14，结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位）. .解：∵解：∵S S 圆=πr 2，∴d=r 大圆-r 小圆小圆=2224814.356.1214.312.25-=-=-=-ππ小圆大圆S S ≈0.83 答：圆环的宽度d 为0.83.三、课堂小结：三、课堂小结：1.1. 知识梳理：（1）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同. .（2）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式. .2.2.二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；②合并被开方数相同的最简二次根式时，②合并被开方数相同的最简二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变不变. .3.3. 二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．4.4.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别运算运算二次根式的乘除法二次根式的乘除法 二次根式的加减法二次根式的加减法 系数系数系数相乘除系数相乘除 系数相加减系数相加减被开方数被开方数 被开方数相乘除被开方数相乘除 被开方数不变被开方数不变化简化简 结果化成最简二次根式结果化成最简二次根式先化成最简二次根式先化成最简二次根式,,再合并被开方数相同的二次根式的二次根式((同类二次根式同类二次根式) )四、随堂测试：四、随堂测试：1.1.下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是 ( () A.532=+ B.13334=- C.363332=´ D.3327=¸ 解析解析:A.:A.:A.不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；B.B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；C.C.应为应为18363332=´=´´，故错误；，故错误；D.39327327==¸=¸，故正确，故正确. .故选D.2.2.以下二次根式以下二次根式以下二次根式::①12,②22,③32,④27中, 化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是( ( ( )A.A.①和②①和②①和②B. B.②和③②和③②和③C. C.①和④①和④D.D.③和④③和④③和④解析：①3212=；②222=；③3632=；④3327=. 3.3. 计算：2-23的值是（的值是（） A.2 B.3 C.2 D.22 解析：解析：..222)13(2-23=-=.4.4. 一个等腰三角形的两边长分别为2332，, 则三角形的周长为则三角形的周长为则三角形的周长为. . 解析：分两种情况讨论：（1）当32为腰长，23为底边长时，周长为3423+；（2）当23为腰长，为32底边长时，周长为3226+.5.5. 若最简二次根式若最简二次根式14232+a 与16322-a 的被开方数相同的被开方数相同,,则a= a= . 解析：由题意得4a 2+1=6a 2-1-1，解得，解得a=a=±±1.6.6. 计算：（1）233-2332++； （2）101015-40+.第二课时一、复习引入：一、复习引入：1.1.计算：（1）728+；（2）68´；（3）324¸. 解：（1）282622728=+=+；（2）34486868==´=´；（3）228324324==¸=¸.【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备. .2.2. 计算：（1）(2x-y)(2x-y)··zx zx；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy xy；；（3）(2x+y)(x-3y) （3）(2x+3y)(2x-3y);(2x+3y)(2x-3y);（（4）(2x+1)2+(2x-1)2.解：（1）(2x-y)(2x-y)··zx=2x 2z-xyz z-xyz；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy=2x 2y ÷xy+3xy 2÷xy=2x+2y xy=2x+2y；；（3）(2x+y)(x-3y)=2x 2-6xy+xy-3y 2=2x 2-5xy-3y 2;（4）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x 2-9y 2;（5）(2x+1)2+(2x-1)2=4x 2+4x+1+4x 2-4x+1=8x 2+2.提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式. .【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算. .二、新课讲解：二、新课讲解：问题1：如果把上面的x ，y ，z 改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？例1.1.（教材（教材P14例题3）计算：（1）6)38(´+；（2）226324¸-）（.解：（1）6)38(´+=6368´+´=1848+=2334+；（2）2263-24¸）（ =22632224¸-¸=3232-.【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率. . 练习1：（教材P14练习1）计算：（1）)53(2+；（2）5)4080(¸+； 解：（1）)53(2+=5232´+´=106+；（2）5)4080(¸+=540580¸+¸=816+=224+.【小结】（1）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；（2）最终的结果一定要化为最简二次根式）最终的结果一定要化为最简二次根式. . .问题2.2.（教材（教材P14面例4）例2.2. 计算：（1）)52()32(-×+；（2）)35)(35(-+. 解：（1）)52()32(-×+=152523)2(2--+=15222--=2213--；（2）)35)(35(-+=22)3()5(-=5-3=2.提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？【小结】乘法公式使计算准确、简便，因此能用运算公式的，尽可能用运算公式．因为二次根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．练习2：计算：（1）)17(72--=；（2）)2332)(2332(+-=.答案为：7214+-；6.练习3：计算2)322215324(×+-的结果是（的结果是（ ） A. A. 303-3320 B.30-3320 C.332303- D.332302- 练习3 计算：（1）)2762)(6227(-+；（2）2)377(-；（3）22)632()632(-+--+解：（1）)2762)(6227(-+=222762）（）（-=24-98=-74=-74；；（2）2)377(-=22)37(3772)7(+´´-=2114154-；（3）22)632()632(++--+=)]632()632)][(632()632[(++--++++-+ =)62()3222(-×+=21238--.练习4：已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0-4x-6y+10=0，求下面式子的值，求下面式子的值，求下面式子的值. . )1()(2y x y x y x y y xx +-+解：由4x 2+y 2-4x-6y+10=0得到得到(2x-1)(2x-1)2+(y-3)2=0,∴2x-1=0,y-3=0.解得，解得，x=x=21，y=3. )1()(2yx y x y x y y xx +-+ =yx x y y x 12--+ =y y x x y y y x--+=x y -当x=21，y=3时，时， 原式原式==223213-=-. 三、课堂小结：三、课堂小结：师生共同回顾本节课所学主要内容师生共同回顾本节课所学主要内容: :关于二次根式的四则混合运算关于二次根式的四则混合运算,,实质上就是实数的混合运算.(1)(1)运算顺序与有理式的运算顺序相运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2);(2)运算律仍然适用运算律仍然适用运算律仍然适用;(3);(3);(3)与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似,,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.四、随堂检测：1. 下列二次根式中可以进行合并的是下列二次根式中可以进行合并的是( ) ( )A. ab 与2abB. 22n m + 与22n m -C. mn 与nm 11+ D. 438b a 与432b a 【知识点：同类二次根式】【知识点：同类二次根式】【参考答案】D【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同. .2.2.计算：计算：)12)(12(-+的结果是（的结果是（）. A.23+ B.23- C.1D.3 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】C C【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，本题利用平方差公式直本题利用平方差公式直接计算即可接计算即可. .3.3.若矩形相邻两边长分别是若矩形相邻两边长分别是cm 20和cm 125，则它们的周长是，则它们的周长是. .【知识点：二次根式混合运算】【知识点：二次根式混合运算】【参考答案】cm 514【思路点拨】矩形的周长【思路点拨】矩形的周长==（长（长++宽）×宽）×2 24. 计算：)4831375(12-+´的结果是（的结果是（） A.23 B.32 C. 6D. 12 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】D D【思路点拨】123232)34335(12)4831375(12=´=-+´=-+´5. 计算：3)4841311527(¸+-【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】1-【解析】原式=1333)33533(-=¸-=¸+-略。
人教版八年级下册教案：16.3二次根式的加减(二)
5.增强学生的数学思维能力，引导学生在解题过程中发现规律，培养创新意识和解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
本节课的核心内容包括：
（1）二次根式的概念及其性质；
（2）二次根式加减法的运算法则；
（3）合并同类二次根式的方法；
（4）将二次根式应用于解决实际问题。
举例说明：
-通过具体例子让学生理解二次根式的概念，如√9、√16等；
今天的学习，我们了解了二次根式的概念、加减法的运算法则以及在实际问题中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节关于二次根式的加减课后，我有一些深刻的体会和反思。首先，我发现学生在理解二次根式的基本概念上还存在一定的困难。尽管我们在课堂上进行了详细的讲解和举例，但在实际操作中，部分学生仍然对如何合并同类项、如何进行有理化处理感到困惑。这提示我在今后的教学中，需要更加耐心和细致地引导学生掌握这些基本概念。
-强调二次根式加减法运算法则，如√3 + √5和√3 - √5的计算方法；
-演示合并同类二次根式的过程，如√3 + √3 = 2√3；
-结合实际情境，如面积、速度等问题，让学生学会运用二次根式进行计算。
2.教学难点
本节课的难点内容包括：
（1）理解并掌握二次根式的有理化；
（2）在合并同类二次根式时，识别并处理根号内不同项的合并；
人教版八年级下册16.3.2二次根式的加减(教案)
-举例解释：
难点1：对于√18这类含有非完全平方数的二次根式，需要指导学生如何将其化简为3√2。
难点2：在计算如√20 - √50时，指导学生先将根式化简为2√5 - 5√2，再进行减法运算，得到-3√2。
难点3：针对实际应用题，如长方形的周长计算，需要引导学生将长宽的根式表达式相加两次，即(√5 + √3) × 2，从而得到周长表达式2(√5 + √3)。
-教学策略：
-使用直观的图形和实际例题，帮助学生理解二次根式的加减法则。
-设计阶梯式的练习题，从简单到复杂，逐步引导学生掌握化简和合并同类项的技巧。
-采用小组合作和讨论的方式，让学生在交流中互相启发，共同解决难点问题。
-教师在讲解难点时，应提供详细的步骤和解释，确保学生能够逐步理解和掌握。
四、教学流程
例2：在应用题中，如求长方形的周长和面积，强调将长宽的二次根式表达式进行加减运算，得到最终结果。
2.教学难点
-难点内容：二次根式加减过程中的化简和合并同类项。
-难点突破：
a.学生对于根式化简的理解，特别是含有不同根数或不同底数的根式。
b.学生在进行二次根式加减时，容易忽略合并同类项的步骤，导致答案不准确。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式加减相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二次根式加减的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
教学内容涉及课本例题及练习题，如：
新人教版八年级数学下《16.3 二次根式的加减 二次根式的混合运算》优质课教学设计_108
16.3二次根式的加减------二次根式的混合运算教学目标：知识与技能：熟练应用二次根式的加减乘除运算法则及乘法公式实行二次根式的混合运算。
过程与方法：将整式运算知识使用于二次根式的运算，使学生体会类比思想的使用。
情感态度与价值观：通过准确计算和化简培养学生严谨的科学态度和探究精神，发展学生观察、分析、发现问题的水平。
教学重点：熟练实行二次根式的混合运算。
教学难点：混合运算的运算顺序、乘法公式的综合使用。
教学关键：培养学生准确计算的水平，培养学生一丝不苟的科学精神。
教学准备：多媒体课件。
教法：引导发现法，讲练结合法、小组合作法。
学法：类比法、分组讨论法、练习法。
教学过程一、复习引入：学生活动：请同学们完成下列各题：1、思考并回答：（1）整式混合运算的运算顺序？（2）已经学过的乘法公式有哪些？ （学生口答，教师板书）2、计算：（1）5·a 2·b 21 （2）25141÷ 3、计算：（1）（4x+3y ）（4x-3y ） （2）（2a+1）2+（2a-1）2教师点评：字母能够代表二次根式吗？整式中的运算规律适用于二次根式的运算吗？注意观察同学们对整式运算中平方差公式与完全平方公式的使用是否准确熟练。
二、新课学习：合作交流例1．计算：（1）（38+）×6 ； （2）22)6324(÷-分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以能够直接使用整式的运算规律．（1）小题中使用了分配率。
（2）相当于多项式除以单项式。
例2．计算：（1）)52)(32(-+；（2）（5+3）（5-3）；（3）2)5332(-分析：我们已经知道，多项式乘以多项式的运算法则在二次根式的运算中仍然适用，请同学们先独立探究，再合作完成。
三、巩固练习：计算：（1）12)323641(⋅- ； （2）)25)(53(+-；（3）2)2-52( ； （4）（）（-（-1）2（5） ； （6）)123)(123(+--+ 考虑每一个小题的运算顺序，适用哪一个公式，化简后是否是最简二次根式。