2020新课标高考数学讲义：圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题含解析
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2020新课标高考数学讲义：圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题含解析
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第4讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
定点问题
1．参数法：参数法解决定点问题的思路：(1)引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量、即确定题目中的核心变量(此处设为k)；(2)利用条件找到k与过定点的曲线F(x、y)＝0之间的关系、得到关于k与x、y的等式、再研究变化量与参数何时没有关系、找到定点．
高考真题 思维方法
3 / 22 (20xx·高考全国卷Ⅱ)设O为坐标原点、动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上、过M作x轴的垂线、垂足为N、点P满足NP→＝2NM→.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上、且OP→·PQ→＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. (1)略
(2)证明：由题意知F(－1、0)．设Q(－3、t)、P(m、n)、则OQ→＝(－3、t)、PF→＝(－1－m、－n)、【关键1：用参数表示P、Q的坐标及向量OQ→、PF→】
OQ→·PF→＝3＋3m－tn、OP→＝(m、n)、PQ→＝(－3－m、t－n).
由OP→·PQ→＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1、又由(1)知m2＋n2＝2、故3＋3m－tn＝0.所以OQ→·PF→＝0、【关键2：在OP→·PQ→＝1的前提下、证明OQ→·PF→＝0】
即OQ→⊥PF→.又过点P存在唯一直线垂直于OQ、所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【关键3：利用平面内过一点作一直线的垂线的唯一性、即得直线l过点F】
2.由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时、常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点、再证明该定点与变量无关．
高考真题 思维方法
4 / 22 (20xx·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)、四点P1(1、1)、P2(0、1)、P3(－1、32)、P4(1、32)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1、证明：l过定点. (1)略
(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2.
如果l与x轴垂直、设l：x＝t、由题设知t≠0、且|t|<2、可得A、B的坐标分别为t，4－t22、t，－4－t22.
则k1＋k2＝4－t2－22t－4－t2＋22t＝－1、得t＝2、不符合题设.
【关键1：验证直线l与x轴垂直时、直线过定点的情况】
从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入x24＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
设A(x1、y1)、B(x2、y2)、则x1＋x2＝－8km4k2＋1、x1x2＝4m2－44k2＋1.而k1＋k2＝y1－1x1＋y2－1x2＝kx1＋m－1x1＋kx2＋m－1x2＝2kx1x2＋（m－1）（x1＋x2）x1x2.
由题设k1＋k2＝－1、故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·4m2－44k2＋1＋(m－1)·－8km4k2＋1＝0.
解得k＝－m＋12.【关键2：设出直线l的方程、并与椭圆方程联立消去y得到关于
x的一元二次方程、利用根与系数的关系及条件找到直线l中两个参数的关系】
当且仅当m>－1时、Δ>0、于是l：y＝－m＋12x＋m、即y＋1＝－m＋12(x－2)、所以l过定点(2、－1).
【关键3：将k＝－m＋12代入直线l的方程、变形得到直线所过定点(2、－1)】
[典型例题]
5 / 22 (20xx·××市第一次质量预测)设M点为圆C：x2＋y2＝4上的动点、点M在x轴上的投影为N.动点P满足2PN→＝3MN→、动点P的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)设E的左顶点为D、若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)、且满足|DA→＋DB→|＝|DA→－DB→|、求证：直线l恒过定点、并求出该定点的坐标．
【解】 (1)设点M(x0、y0)、P(x、y)、由题意可知N(x0、0)、
因为2PN→＝3MN→、所以2(x0－x、－y)＝3(0、－y0)、
即x0＝x、y0＝23y、
又点M在圆C：x2＋y2＝4上、所以x20＋y20＝4、
将x0＝x、y0＝23y代入得x24＋y23＝1、
即轨迹E的方程为x24＋y23＝1.
(2)由(1)可知D(－2、0)、设A(x1、y1)、B(x2、y2)、
联立得y＝kx＋mx24＋y23＝1、得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0、
Δ＝(8mk)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝16(12k2－3m2＋9)>0、
即3＋4k2－m2>0、
所以x1＋x2＝－8mk3＋4k2、x1x2＝4（m2－3）3＋4k2.
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3m2－12k23＋4k2、
6 / 22 因为|DA→＋DB→|＝|DA→－DB→|、所以DA→⊥DB→、即DA→·DB→＝0、
即(x1＋2、y1)·(x2＋2、y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0、
所以4m2－123＋4k2＋2×－8mk3＋4k2＋4＋3m2－12k23＋4k2＝0、
所以7m2－16mk＋4k2＝0、
解得m1＝2k、m2＝27k、且均满足3＋4k2－m2>0、
当m1＝2k时、l的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)、直线恒过点(－2、0)、与已知矛盾；
当m2＝27k时、l的方程为y＝kx＋27k＝kx＋27、直线恒过点－27，0.
综上、直线l过定点、定点坐标为－27，0.
(1)求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x、y当作常数看待、把方程一端化为零、既然是过定点、那么这个方程就要对任意参数都成立、这时参数的系数就要全部等于零、这样就得到一个关于x、y的方程组、这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
(2)由直线方程确定定点时、若得到了直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)、则直线必过定点(x0、y0)；若得到了直线的斜截式方程y＝kx＋m、则直线必过定点(0、m)．
[对点训练]
(20xx·蓉城名校第一次联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F、过点F作倾斜角为45°的直线与抛物线C交于A、B两点、且|AB|＝16.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设P、M、N为抛物线上不同的三点、且PM⊥PN、若P点的横坐标为8、判断直线MN是否过定点？若是、求出定点的坐标；若不是、请说明理由．
7 / 22 解：(1)由题意知、直线AB的方程为y＝x＋p2.
由y＝x＋p2x2＝2py、得y2－3py＋p24＝0.
设A(x3、y3)、B(x4、y4)、则y3＋y4＝3p.
所以|AB|＝y3＋y4＋p＝4p＝16、所以p＝4.
所以抛物线C的方程为x2＝8y.
(2)法一：由(1)可得点P(8、8)、设Mx1，x218、Nx2，x228、则kPM＝x218－8x1－8＝x1＋88、同理可得kPN＝x2＋88.因为PM⊥PN、所以kPM ·kPN＝x1＋88·x2＋88＝－1、化简得x1x2＋8(x1＋x2)＋128＝0.(*)
易知直线MN的斜率一定存在、设直线MN：y＝kx＋b、由y＝kx＋bx2＝8y、得x2－8kx－8b＝0、
所以x1＋x2＝8k、x1x2＝－8b.
代入(*)、得－8b＋64k＋128＝0、则b＝8k＋16.
直线MN的方程可化为y＝kx＋8k＋16、所以直线MN过定点(－8、16)．
法二：由(1)可得点P(8、8)、设Mx1，x218、Nx2，x228、则kMN＝x218－x28x1－x2＝x1＋x28、同理可得kPM＝x1＋88、kPN＝x2＋88.因为PM⊥PN、所以kPM·kPN＝x1＋88·x2＋88＝－1、化简得－x1x2＝8(x1＋x2)＋128.①
直线MN的方程为y－x218＝x1＋x28(x－x1)、
化简得y＝x1＋x28x－x1x28.②
把①代入②得y＝x1＋x28(x＋8)＋16、
所以直线MN过定点(－8、16)．
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定值问题
1．直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：(1)确定一个(或两个)变量为核心变量、其余量均利用条件用核心变量进行表示；(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)、然后进行化简、看能否得到一个常数．
高考真题 思维方法
(20xx·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)、直线l不过原点O且不平行于坐标轴、l与C有两个交点A、B、线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点m3，m、延长线段OM与C交于点P、四边形OAPB能否为平行四边形？若能、求此时l的斜率；若不能、说明理由. (1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0、b≠0)、A(x1、y1)、B(x2、y2)、M(xM、yM)．【关键1：设出直线方程及直线与椭圆交点坐标】
将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2、得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0、
【关键2：把直线方程与椭圆方程联立消元得一元二次方程】
故xM＝x1＋x22＝－kbk2＋9、yM＝kxM＋b＝9bk2＋9.
【关键3：利用根与系数的关系及中点在直线l上求M的坐标】
于是直线OM的斜率kOM＝yMxM ＝－9k、即kOM·k＝－9.
【关键4：求直线OM的斜率并计算两直线斜率乘积】
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.
(2)略
2.从特殊到一般求定值：常用处理技巧：(1)在运算过程中、尽量减少所求表达式中变量的个数、以便于向定值靠拢；(2)巧妙利用变量间的关系、例如点的坐标符合曲线方程等、尽
高考数学一轮复习2 第2课时 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题
第2课时 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题
定值问题
(2020·高考北京卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点B(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求|PB||BQ|的值．
【解】 (1)因为a＝2b，所以椭圆的方程为x24b2＋y2b2＝1，
又因为椭圆过点A(－2，－1)，所以有44b2＋1b2＝1，解得b2＝2，所以椭圆C的方程为x28＋y22＝1.
(2)由题意知直线MN的斜率存在．
当直线MN的斜率为0时，不妨设M(－22，0)，N(22，0)，
则直线MA：y＝－1－2＋22(x＋22)，直线NA：y＝－1－2－22(x－22)，
则yP＝2，yQ＝－2，|PB||BQ|＝1.
当直线MN的斜率不为0时，设直线MN：x＝my－4(m≠0)，与椭圆方程x28＋y22＝1联立，化简得(m2＋4)y2－8my＋8＝0，Δ＝64m2－32(m2＋4)＝32(m2－4)＞0，解得m2＞4.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝8m2＋4，y1＋y2＝8mm2＋4. 直线MA的方程为y＋1＝y1＋1x1＋2(x＋2)，则P－4，－2（y1＋1）x1＋2－1，
即P－4，－（m＋2）y1my1－2.
直线NA的方程为y＋1＝y2＋1x2＋2(x＋2)，则Q－4，－2（y2＋1）x2＋2－1，
即Q－4，－（m＋2）y2my2－2.
所以|PB||BQ|＝（m＋2）y1my1－2my2－2（m＋2）y2
＝my1y2－2y1my1y2－2y2＝8mm2＋4－2y18mm2＋4－2y2
＝y1＋y2－2y1y1＋y2－2y2＝1.
新高考数学复习知识点讲解与练习57---圆锥曲线中的定点、定线、定值、探索性问题
1 / 28 新高考数学复习知识点讲解与练习
圆锥曲线中的定点、定线、定值、探索性问题
知识梳理
1．定点问题的常用方法
(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k)；②利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)＝0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
2．定线问题的常用方法
(1)证明动点的轨迹为直线．
(2)验证动点的坐标适合定直线的方程．
3．定值问题的常用方法
(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．
(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算． 2 / 28 4．探究性问题的常用方法
先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立．
诊断自测
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2x1x2的值为()
A．－4 B．4 C．p2 D．－p2
答案A
解析 ①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝p2，则x1x2＝p24，不妨设y1＝p，则y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴y1y2x1x2＝－4.
②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝kx－p2，
联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋p2k24＝0，
微专题05 圆锥曲线中的定点、定值及证明问题-2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦
微专题05 圆锥曲线中的定点、定值及证明问题
——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦
【考情分析】圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的常考题型，无论是选择题、填空题，还是解答题，只要考查与曲线有关的运动变化，都可能涉及探究定点或定值，注重与平面向量、函数、二次方程、不等式等融合与渗透，因而这类问题考查范围广泛，命题形式新颖，难度一般较大。
【前备知识】
1、直线与圆锥曲线的三种位置关系
将直线方程与圆锥曲线方程联立,化简后得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:
(1)相交:Δ>0⇔直线与椭圆相交;Δ>0⇒直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有Δ>0,故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件;Δ>0⇒直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有Δ>0,故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,而不是必要条件.
(2)相切:Δ=0⇔直线与椭圆相切;Δ=0⇔直线与双曲线相切;Δ=0⇔直线与抛物线相切.
(3)相离:Δ<0⇔直线与椭圆相离;Δ<0⇔直线与双曲线相离;Δ<0⇔直线与抛物线相离.
2、直线与圆锥曲线相交时的常见问题的处理方法
(1)涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”,采用设而不求,利用弦长公式计算弦长.
(2)涉及弦中点的问题,常用“点差法”设而不求,将动点的坐标、弦中点坐标和弦所在直线的斜率联系起来,相互转化.
(3)特别注意利用公式求弦长时,是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式,判别式大于零是检验所求参数的值是否有意义的依据.
考点一 圆锥曲线的定点问题 【例1】已知抛物线y2=2px(p>0)上的点T(3,t)到焦点F的距离为4.
(1)求t,p的值.
(2)设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且·=5(其中O为坐标原点).求证:直线AB过定点,并求出该定点的坐标.
【解析】(1)由抛物线的定义得,3+p2=4,解得p=2,
2020版高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练习
学必求其心得，业必贵于专精
- 1 - 第4讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
定点问题
1．参数法:参数法解决定点问题的思路:(1）引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量（此处设为k)；（2)利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y）＝0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．
高考真题 思维方法
(2017·高考全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：错误!＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足错误!＝错误!错误!.
(1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x(1）略
(2)证明：由题意知F（－1，0)．设Q（－3，t）,P(m，n)，则错误!＝(－3,t),错误!＝(－1－m，－n），【关键1:用参数表示P，Q的坐标及向量错误!，错误!】
错误!·错误!＝3＋3m－tn,错误!＝(m,n），错误!＝(－3－m，t－n).
由错误!·错误!＝1得－3m－m2＋学必求其心得，业必贵于专精
- 2 - ＝－3上,且错误!·错误!＝1。证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
tn－n2＝1，又由(1）知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0。所以错误!·错误!＝0,【关键2：在错误!·错误!＝1的前提下,证明错误!·错误!＝0】
即错误!⊥错误!.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【关键3：利用平面内过一点作一直线的垂线的唯一性，即得直线l过点F】
2.由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关．
高考真题 思维方法 学必求其心得，业必贵于专精
- 3 - （2017·高考全国卷Ⅰ）已知椭圆C:错误!＋错误!＝1(a>b>0），四点P1(1,1)，P2（0，1）,P3(－1，错误!），P4(1，错误!)中恰有三点在椭圆C上.
2020年高考数学(理)总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题(原卷版)
2020年高考数学(理)总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题(原卷版) 1 / 9
2020 年高考数学（理）总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与
存在性问题
题型一 圆锥曲线中的定点、定值问题
【题型重点】
圆锥曲线中定点、 定值问题必定是变化中所表现出来的不变的量， 那么就用变化的量表示问题的直线方程、数目积、比率关系等，这些直线方程、数目积、比率关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．解决这种问题的一般思路是：
(1)引进变化的参数表示直线方程、数目积、比率关系等．
(2)依据等式的恒建立、数式变换等找寻不受参数影响的量．
(3) 求解定点、定值问题，假如预先不知道定点、定值，能够先对参数取特别值，经过特别状况求出这个定点、定值，而后再对一般状况进行证明．
【例 1】已知椭圆 x2 y2
＝ 1(a>b>0)的离心率为 2 b, a C： 2 ＋ 2 ，点 Q 在椭圆上， O 为坐
a b 2 b
标原点．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)已知点 P， M， N 为椭圆 C 上的三点，若四边形 OPMN 为平行四边形，证明四边形
OPMN 的面积 S 为定值，并求该定值．
1 2020年高考数学(理)总复习：圆锥曲线中的定点与定值、范围与存在性问题(原卷版) 2 / 9
题组训练一 圆锥曲线中的定点、定值问题
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已知椭圆 C： x2 y2
， B(0,1)两点． a ＋ b ＝ 1 过 A(2,0)
(1)求椭圆 C 的方程及离心率；
(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交
2020届高考数学复习备考-定点、定值、存在性问题
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2020届高考数学复习备考-定点、定值、存在性问题
高考考点 考点解读
圆锥曲线中的定点、定值问题 定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．
圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中的最值、范围问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．
圆锥曲线中的探索性问题 圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在．(2)探索曲线是否存在．(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题.
1．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于点A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
2．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交于C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A．5 B．22 C．23 D．33
3．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为32.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为45．
例1 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3(－1，32)，P4(1，32)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程．
第2页 (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．
例2：已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直.
2020届高考数学一轮复习圆锥曲线的综合问题(第3课时)定点、定值、存在性专题课时作业理(含解析)人教A版
第3课时 定点、定值、存在性专题
课时作业
1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞0，b＞0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足PM→＝λ1MQ→，PN→＝λ2NQ→.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．
解：(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，
又a2＝b2＋c2，所以a2＝3.
所以椭圆的方程为x23＋y2＝1.
(2)由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，
N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，
由PM→＝λ1MQ→知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，
∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，
∴λ1＝my1－1.
同理由PN→＝λ2NQ→知λ2＝my2－1.
∵λ1＋λ2＝－3，
∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①
联立 x2＋3y2＝3，x＝ty－m
得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，
∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)＞0，②
且有y1＋y2＝2mt2t2＋3，y1y2＝t2m2－3t2＋3，③
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，
∴(mt)2＝1，
由题意mt＜0，∴mt＝－1，满足②，
得l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．
2．设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP→·PQ→＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP→＝(x－x0，y)，NM→＝(0，y0)．
2020届高考数学(文)总复习讲义：圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题
第十一节圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题
考点一 巧妙消元证定值
[典例] (2018·北京高考)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，QM―→＝λQO―→，QN―→＝μQO―→，求证：1λ＋1μ为定值．
[解] (1)因为抛物线y2＝2px过点(1,2)，
所以2p＝4，即p＝2.
故抛物线C的方程为y2＝4x.
由题意知，直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
由 y2＝4x，y＝kx＋1，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，
解得k<0或0
又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2)．
从而k≠－3.
所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由(1)知x1＋x2＝－2k－4k2，x1x2＝1k2.
直线PA的方程为y－2＝y1－2x1－1(x－1)．
令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝－y1＋2x1－1＋2＝－kx1＋1x1－1＋2.
同理得点N的纵坐标为yN＝－kx2＋1x2－1＋2.
由QM―→＝λQO―→，QN―→＝μQO―→，得λ＝1－yM，μ＝1－yN.
所以1λ＋1μ＝11－yM＋11－yN＝x1－1k－1x1＋x2－1k－1x2 ＝1k－1·2x1x2－x1＋x2x1x2＝1k－1·2k2＋2k－4k21k2＝2.
所以1λ＋1μ为定值．
[解题技法] 解答圆锥曲线定值问题的技法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)引进变量法：其解题流程为
[对点训练]
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：x22－y24＝1，椭圆C2：x2＋y24＝1，若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
圆锥曲线中的定点、定值问题(含解析)
1 圆锥曲线中的定点、定值问题
一、题型选讲
题型一 、 圆锥曲线中过定点问题
圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：
（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点
（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A、B分别为椭圆E：2
2
21x
y
a+=
（a>1）的左、右顶点，G为E的上
顶点，
8AGGB
=，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
例2、（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F为抛物线C：2
2ypx=
（0p
）的焦点，过点
F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°
时，16MN=
.
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由.
2 例3、【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2
=−2py经过点（2，−1）．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分
别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
题型二、圆锥曲线中定值问题
圆锥曲线中常见的定值问题，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根
据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去
变量，从而得到定值
例4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C：22
221(0)xy
ab
ab+=的离心率为2
2，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
例5、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆()22
(新课标)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第4讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练习理新
（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第4讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练习 理
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（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第4讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题练习 理
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- 2 - 第4讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
1．(2019·安徽省考试试题)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a〉b〉0）的上顶点为P，右顶点为Q,直线PQ与圆x2＋y2＝错误!相切于点M错误!.
（1)求椭圆C的方程;
(2）若不经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，且错误!·错误!＝0，求证：直线l过定点．
解：(1）由已知得直线OM（O为坐标原点）的斜率kOM＝2，则直线PQ的斜率kPQ＝－错误!＝－错误!，
所以直线PQ的方程为y－错误!＝－错误!错误!,即x＋2y＝2.可求得P（0，1）,Q(2，0）,故a＝2，b＝1，
故椭圆C的方程为错误!＋y2＝1.
（2）证明：当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件．