空间中直线与平面之间的位置关系PPT教学课件
A
（B）1个 （C）2个 （D）3个
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知识识记
直线与平面的位置关系
D C
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知识识记
直线与平面的位置关系
(4).已知m，n为异面直线，m∥平面a，n∥平面b，a∩b=l，
典例精讲
直线与平面的位置关系
若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是( B )
A．直线上所有的点都在平面外 B．直线上有无数多个点都在平面外 C．直线上有无数多个点都在平面内 D．直线上至少有一个点在平面内
[解析] 直线上有一点在平面外，则直线不在平面内， 直线上有无数多个点在平面外．
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新课讲授
直线与平面的位置关系
直线在平面α内 直线与平面α相交 直线与平面α平行
有无数个公共点
a α
有且只有一个交点 a A
α
无交点 a
α
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立体
立体几何
几何 立体几何 立体几何
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
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三维目标
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空间中直线与平面之间的位置关系
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课堂小结
总结本节课的学习内容.
课时小结： （师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？ （2）三个公理的内容及作用是什么？
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1．庄子用“郊祭之牺牛”作比，说明自 己只要 到了楚 国，就 会被楚 国治罪 。 2．从庄周拒绝楚王聘任，可以看出庄 子拒绝 功名利 禄，追 求自由 的精神 。 3.我记得有一句著名的格言是这样的:“真理诞 生于一 百个问 号之后 ”。其 实,应该 说,这句 格言本 身也是 真理。 4.这次假期作业能全部完成的同学,充 其量只 能说占 全班的 十分之 二、三, 至于完 成的质 量就更 不好说 了。 5．庐冢，也叫“庐墓”，古时为了表示 孝顺父 母或尊 敬师长 ，在他 们死后 服丧期 间，为 守护坟 墓而盖 的屋舍 。 6．古代以山南水北为阴，山北水南为 阳。故 “以其 乃华山 之阳名 之也”中 的“华 山之阳”是指华 山的北 面。
直线都平行.
(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条 ( )
直线都没有公共点.
(4)若两条平行直线中的一条与一个平面平行，那 (×)
么另一条也与这个平面平行.
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知识识记
直线与平面的位置关系
（A）0个
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典例精讲
直线与平面的位置关系
一条直线l上有相异三个点A，B，C 到平面α的距离相等，
那么直线l与平面α的位置关系是( D )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l与α相交但不垂直
D．l∥α或l⊂α
[解析] l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；
l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；
平面BC′、平面A′C′相交，与平面CD′平行．
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新课讲授
直线与平面的位置关系
空间的直线与平面有如下三种位置关系： (1)直线在平面内——直线与平面有__无__数__个__公__共__点__,_记__作__a_⊂_α__； (2)直线与平面相交——直线与平面__有__且__只__有__一__个__公__共__点__,记__作__a__∩__α_=_A__； (3)直线与平面平行——直线与平面__没__有__公__共__点___,记__作__a_∥__α_ ； (其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外) [思考] 直线a与平面α平行，直线b⊂α，则a与b有怎样的位置关系？ 解：由直线a与平面α平行，直线b⊂α知a与b没有公共点， 所以a与b平行或异面．
则l （C）
（A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交 （C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
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知识识记
直线与平面的位置关系
3．如图，直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，求证：a∥b.
证明：∵直线a∥平面α， ∴直线a与平面α没有公共点． ∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β. ∴直线a与b没有公共点． ∵a⊂β，∴a∥b.
复习回顾：空间中直线和直线有几种位置关系？
思考1：一支笔所在的直线和一个作业本所在的平面有几种位置关系？
观察：观察右边的长方体，你能发现长方
C'
体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与 B'
长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有
C
D' A'
D
几种位置关系？
B
A
解析：线段A′B所在的直线在平面AB′内，与平面AD′、平面AC、
1．知识与技能 (1)结合图形正确理解空间中直线与平面之间的 位置关系； 2．过程与方法 进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相 互转换． 3．情感、态度与价值观 进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、 实事求是的科学态度和品质．
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导入新课
直线与平面之间的关系
l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；
l与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．
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知识识记
直线与平面的位置关系
1.判断下列四个命题的对错.
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内， 则l∥α. (×) (2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条 (×)
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直线和平面的位置关系PPT完美课件
应用举例1 （2）点A是平面外的一点，过A和 平面平行的直线有 无数 条。
A α
应用举例1
（3）点A是直线l 外的一点，过A 和直线l 平行的平面有无数 个。
A
应用举例1
（4）过两条平行线中的一条和另 一条平行的平面有 无数 个。
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应用举例1
（5）过两条异面直线中的一条和另 一条平行的平面有 且仅有一 个。
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应用举例1
（6）如果l1 // l2 , l1 平行于 平面,则l2 或 // 平面
l2 l1
l2
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应用举例1
（7）如果两直线a，b相交,a平行于 平面，则b与平面的位置关系 是 相交或平行 。
知识三
线面平行的性质
(1)如果一条直线与一个平面平行， 则这条直线与这个平面无公共点
(2)如果一条直线与一个平面平行， 则这条直线与这个平面内的直线成 异面直线或平行直线 (3)如果一条直线与一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相 交，则这条直线与交线平行。
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2、如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF
所在平面交于AB, M.N分别是对角线上
的点，AM=FN，求证:MN//面BCE。
A
DM B
F
N
∵△AFN∽ △BNH
∴ AN/NH=FN/BN ∴ AN/NH=AM/MC
EH
∴ MN//CH
C
∴ MN //面BCE
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高三高考数学复习课件8-3空间点直线平面之间的位置关系
【答案】 (1)B (2)C
题型三 求两条异面直线所成的角 【例3】 如图所示，在三棱锥PABC中， PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB ＝AC＝2，E是PC的中点． (1)求证：AE与PB是异面直线； (2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．
【解析】 (1)证明 假设AE与PB共面，设此平面为α. 因为A∈α，B∈α，E∈α， 所以平面α即为平面ABE， 所以P∈平面ABE， 显然这与P∉平面ABE矛盾， 所以AE与PB是异面直线．
【解析】 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也 是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C 中 ， 点 M 在 此 平 面 外 ， 所 以 BN ， MB1 是 异 面 直 线 ． 同 理 AM，DD1也是异面直线．
【答案】 ③④
【思维升华】
跟踪训练2 (1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下
1．下列命题正确的个数为( )
①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等，则这两条直
线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若 三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．
跟踪训练1 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别 是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点．
【证明】 (1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示． 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．
8-2空间点直线平面之间的位置关系课件共104张PPT
过该点的公共直线
若P∈α且P∈β，则α∩β＝a，且 P∈a
知识点二 空间两条直线的位置关系
1．位置关系的分类
共面
① 直线
②
相交 平行
直线：同一平面内，有且只有 一个
公共点； 直线：同一平面内， 没有 公共点.
异面直线：不同在__任__何____一个平面内，_没__有_____公共点．
2．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相__平__行____．
A1B1C1D1中，P是平面A1B1C1D1上的动点．则下列结论正确的是( ACD )
A．与点D距离为
3的点P的轨迹是一条曲线，且该曲线的长度是
2π 2
B．若DP∥平面ACB1，则DP与平面ACC1A1所成角的正切值的取值范围是
36，＋∞
C．△ACP面积的最大值为 6
D．若DP＝ 3，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6 2
[解析] 对于A，当点F在线段BC1上运动时，直线A1F与平面BDC1所成角先由小 到大，再由大到小，且F为线段BC1的中点时所成角最大，如图，连接DF，过A1作
6
A1O⊥DF，交DF于点O，则最大角的余弦值为
OF A1F
＝
6 BC 6
＝
1 3
<
1 2
，因此最大角大于
2 BC
60°，所以A错误；
对于B，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DB1⊥平面A1BC1，又A1F⊂平面A1BC1， 所以A1F⊥B1D，所以B正确；
核/心/素/养
如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P，Q， R三点共线．
证明：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α， 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线．
若P∈α且P∈β，则α∩β＝a，且 P∈a
知识点二 空间两条直线的位置关系
1．位置关系的分类
共面
① 直线
②
相交 平行
直线：同一平面内，有且只有 一个
公共点； 直线：同一平面内， 没有 公共点.
异面直线：不同在__任__何____一个平面内，_没__有_____公共点．
2．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相__平__行____．
A1B1C1D1中，P是平面A1B1C1D1上的动点．则下列结论正确的是( ACD )
A．与点D距离为
3的点P的轨迹是一条曲线，且该曲线的长度是
2π 2
B．若DP∥平面ACB1，则DP与平面ACC1A1所成角的正切值的取值范围是
36，＋∞
C．△ACP面积的最大值为 6
D．若DP＝ 3，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6 2
[解析] 对于A，当点F在线段BC1上运动时，直线A1F与平面BDC1所成角先由小 到大，再由大到小，且F为线段BC1的中点时所成角最大，如图，连接DF，过A1作
6
A1O⊥DF，交DF于点O，则最大角的余弦值为
OF A1F
＝
6 BC 6
＝
1 3
<
1 2
，因此最大角大于
2 BC
60°，所以A错误；
对于B，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DB1⊥平面A1BC1，又A1F⊂平面A1BC1， 所以A1F⊥B1D，所以B正确；
核/心/素/养
如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，求证：P，Q， R三点共线．
证明：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α， 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上， 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线．
人教版高中数学必修2空间中直线与平面之间的位置关系课件
Rt△EFG中，求得∠EGF =45° (2)∵BFIIAE ∴∠FBG(或其补角)为所求， Rt△BFG中，求得∠FBG=600
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6.课堂小结
异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线异面直线来自异面直线的画法 用平面来衬托异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
答：从图中可看出，∠ADC=∠A₁D₁C₁, ∠ADC+∠A₁ B₁C₁ =180°
定理(等角定理):空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补.
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内，两条直线相交成四
个角，其中不大于90度的角称为它 们的夹角，用以刻画两直线的错开 程度，如图.
对?
答：共有三对
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我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
视察：将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边a,b,c,d,e,... 之间有何关系?
allb llc lld lle ll ...
公 理 4 :在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的传递性
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六角螺母
C
D B
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练习1:在教室里找出几对异面直线的例子 合作探究 一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答 ：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
a与b是异面直线
a与b是相交直线
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a与b是平行直线
1.异面直线的定义：
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6.课堂小结
异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线异面直线来自异面直线的画法 用平面来衬托异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
答：从图中可看出，∠ADC=∠A₁D₁C₁, ∠ADC+∠A₁ B₁C₁ =180°
定理(等角定理):空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补.
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内，两条直线相交成四
个角，其中不大于90度的角称为它 们的夹角，用以刻画两直线的错开 程度，如图.
对?
答：共有三对
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我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
视察：将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边a,b,c,d,e,... 之间有何关系?
allb llc lld lle ll ...
公 理 4 :在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的传递性
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六角螺母
C
D B
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练习1:在教室里找出几对异面直线的例子 合作探究 一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答 ：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
a与b是异面直线
a与b是相交直线
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a与b是平行直线
1.异面直线的定义：
人教A版数学必修第二册8_4_2空间点、直线、平面之间的位置关系课件
3．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是( B )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
α与β相交于过 点M的一条直线
4．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是___平__行____． β
α a
考点精讲
1．异面直线
(1)定义：不同在___任__何__一__个__平__面__内____的两条直线． (2)异面直线的画法：
空间点、直线、平面之间的位置关系
本节目标
学习目标
核心素养
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解
两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直 1.通过空间中两条直线的位置关
线．(重点、难点)
系的学习，培养直观想象的核
2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图 心素养．
形语言和符号语言表示．(重点、易错点)
本课小结
判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法
(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断； (2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果； (3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，到达准确的判断位置关系的目的．
[提示] 因为一个平面内任意一条直线都与另一个 平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根 据两平面平行的定义知，这两个平面平行．
2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么 α∥β是否正确？
[提示] 不正确．如图，平面α内与平面β平行的 直线有无数条a1，a2，…，an，但此时α不平行于 β，而α∩β＝l.
2．圆柱的两个底面的位置关系是( B )
A．相交
B．平行
C．平行或异面
D．相交或异面
3．下列命题：
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件
答案:D
符号语言 a⊂α a∩α=A a∥α
二、平面和平面的位置关系
问题思考 1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两 两之间有几种位置关系? 提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行. 2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
因思考不全面致错 【典例】 设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面 () A.有且只解如图,过P作a1∥a,b1∥b.
∵a1∩b1=P,∴过a1,b1有且只有一个平面.故选A.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线 与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知 直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一 个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点, 也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直 线与平面平行.
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
一、直线和平面的位置关系 问题思考
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与 长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直 线与平面平行.
2.如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用 符号语言表示?
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那
空间直线和平面的位置关系ppt课件
a
④求异面直线A1B与B1C1的距离
2a 2Biblioteka 例３：如图，已知长方体ABCD-A’B’C’D’的
棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.
(1)求点A和C’的距离；
(2)求点A到棱B’C’的距离；
(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离；
(4)求异面直线AD和A’B’的距离．
D
C
A
B
D’
C’
取一点M，我们把__点__M___到___平__面____的___距___离_____
叫做直线l 和平面的距离。
3)平面和平面的距离： 设平面平行于平面β,在平面上任取一点M,我
们把_点__M__到_平__面__β_的__距__离__叫做平面和平面β
的距离。
M
MN
N
4)异面直线的距离
思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
练习:1. 选择题:
(1) 直线 m 与平面 平行的充分条件是 ( )
A. 直线 m 与平面 内一条直线平行;
B. 直线 m 与平面 内无数条直线平行; C. 直线 m 与平面 内所有直线平行; D. 直线 m 与平面 没有公共点;
(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( ) A. 能作无数个; B. 只能作一个;
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
A
直线和平面垂直，记作
l
2、判定直线和平面垂直的方法 （1）根据定义
直线l与平面上的任何直线都垂直
（2）直线和平面垂直的判定定理
定理2:如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都 垂直，那么直线l与平面垂直.
《直线平面位置关系》课件
直线与平面的关系
分析了直线与平面的位置关系：直线与平面相交和 直线在ຫໍສະໝຸດ 面上的投影。镜像对称与中心对称
1
镜像对称
详细阐述了镜像对称的定义和特性，并讨论了它在几何和物理学中的应用。
2
中心对称
解释了中心对称的概念和性质，并说明了它在艺术和自然界中的现象。
3
拓扑结构
探讨了拓扑结构的定义、分类和应用，以及在空间位置关系研究中的重要性。
垂直与水平平面
区分了垂直平面和水平平面，并分析了它们的定义、特点以及在几何学中的应用。
直线与平面的垂直关系
1
判定方法一
介绍了利用直线与平面的相交关系来判定它们是否垂直的方法和要点。
2
判定方法二
讲解了利用直线在平面上的投影长度为零来判定直线与平面是否垂直的方法和应用场景。
3
交点特性
探讨了垂直于平面的直线与平面的交点的几何特性和在实际问题中的应用。
直线与平面的平行关系
1 判定方法一
介绍了利用直线与平面的相交关系来判定它们是否平行的方法和要点。
2 判定方法二
解释了利用直线在平面上的投影长度不变来判定直线与平面是否平行的方法和实际应用。
3 交点特性
探究了平行于平面的直线与平面的交点的几何特性和在相关问题中的应用。
平面与平面的位置关系
重合与相离
括交线在曲线上的投影和形状关系。
3
方向和位置
研究了两个平面交线的方向和位置，包 括直线在不同平面上的投影长度和相对 位置。
影线和投影
解释了平面、曲线和投影之间的关系， 并探讨了它们在设计和工程中的应用。
空间直线与平面的位置关系
直线在平面上
解释了直线在平面上的两种情况：直线与平面相交 和直线在平面上的投影。
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系课件人教新课标
小结：
直线与平面的位置关系
平面与平面的位置关系
作业：
P56 习题2.1A组 4（4）（5）（6）， 7，8
行，那么另一条也与这个平面平行.（ ）
（4）若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 内
∨ 的任意一条直线都没有公共点。（ ）
例题讲练:
*
a
（A） 内所有直线与a异B面 （B） 内不存在与a平行的直线
（C） 内存在唯一的直线与a平行 （D） 内的直线与a都相交
反思与延伸:
*问题1.平行于同一平面的两条直线一定是两条
平行直线吗？
*问题2.两条平行线中的一条平行一个平面，则
另一条也一定平行于这个平面吗？
*问题3.无公共点的两条直线一定是平行直线吗？
D′
C′
A′
B′
D
C
A
B
小结* :
*(1)直线在平面内-----有无数个公共点
*(2)直线与平面相交----有且只有一个公共点
*(3)直线与平面平行----没有公共点
问题探究:
线段A′B所在直线与长方体ABCD-A′B′C′D′的 六个面所在平面有几种位置关系?
D′ A′
D A
C′ B′
C B
直线与平面的位置关系及表示: （1）直线在平面内—有无数个公共点
记作:a 如图：
a
（2）直线在平面外—有一个公共点或没有公共点
记作: a
a
. ①直线 a 和面α相交 ： 如图：
例题讲练:
*一个长方体切一刀可以分成多少块？ *一个长方体切两刀可以分成多少块？ *一个长方体切三刀可以分成多少块？
2 3或4
4或5或6或7或8
D′
用空间向量研究直线、平面的位置关系PPT课件
的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线
和平面.
（一）点的位置向量
1.思考：如何用空间向量表示空间中的一个点?
2.点的位置向量
如图 ，在空间中，我们取一定点 作为基点，
那么空间中任意一点 就可以用向量来表示:我
们把向量称为点 的位置向量.
向量称为点 的位置向量.
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
注：其中符号
,
,
= − ；
4.平面法向量的三种求法
(3)求法三：叉乘法(该方法只适合选择题、填空题，不可用于解答题)
已知两个不共线的空间向量 = , , 与 = , , ,设向
量 = , , 为向量与确定平面的法向量,则
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
1.平面法向量的定义
我们知道，给定空间一点 和一条直线，则过点 且
垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发，我们可以
利用点和直线的方向向量来确定平面.
如图，直线 ⊥ ,取直线的方向向量，我们称向量为
平面的法向量.
给定一个点 和一个向量，那么过点A，且以向量为
是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在
直线上的充要条件是存在实数，使得
= ,即 =
二
探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示（互学）
2.直线的向量表示
进一步地，如图，取定空间中的任意一点，可以得
到点在直线上的充要条件是存在实数，使
= ,
, , ;
③列方程：由 ⊥ ⇔ ∙ = 列出方程
⊥
∙ =
和平面.
（一）点的位置向量
1.思考：如何用空间向量表示空间中的一个点?
2.点的位置向量
如图 ，在空间中，我们取一定点 作为基点，
那么空间中任意一点 就可以用向量来表示:我
们把向量称为点 的位置向量.
向量称为点 的位置向量.
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
注：其中符号
,
,
= − ；
4.平面法向量的三种求法
(3)求法三：叉乘法(该方法只适合选择题、填空题，不可用于解答题)
已知两个不共线的空间向量 = , , 与 = , , ,设向
量 = , , 为向量与确定平面的法向量,则
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
1.平面法向量的定义
我们知道，给定空间一点 和一条直线，则过点 且
垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发，我们可以
利用点和直线的方向向量来确定平面.
如图，直线 ⊥ ,取直线的方向向量，我们称向量为
平面的法向量.
给定一个点 和一个向量，那么过点A，且以向量为
是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在
直线上的充要条件是存在实数，使得
= ,即 =
二
探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示（互学）
2.直线的向量表示
进一步地，如图，取定空间中的任意一点，可以得
到点在直线上的充要条件是存在实数，使
= ,
, , ;
③列方程：由 ⊥ ⇔ ∙ = 列出方程
⊥
∙ =