概率论与数理统计6-2 估计量的评价标准
概率论与数理统计-第6章-第6讲-两个正态总体参数的置信区间
[0.3545 , 2.5545]
本讲内容
01 两个正态总体的情形 02 两个正态总体参数的置信区间 03 *6.2.3 单侧置信区间
03 *6.2.3 单侧置信区间
P(ˆ1 ˆ2 ) 1
[θˆ1, θˆ2 ] θ 的置信区间 双侧置信区间
但在某些实际问题中，例如，对于机器设备零部件来说，平均 寿命越长越好，我们关心的是平均寿命的“下限” ；又如，在购 买家具用品时，其中甲醛含量越小越好，我们关心的是甲醛含量均 值的“上限”．这就引出了单侧置信区间的概念．
2 1
2 2
2,
求均值差
1 2 的置信度为0.95 的置信区间;
02 两个正态总体参数的置信区间
解
(1) F0.025 (16, 12) 3.16,
F0.975 (16 ,
12)
1 F0.025 (12 ,
16)
1 2.89
由公式得方差比
2 1
2 2
的置信区间为
S12 S22
F0.975 (n2
12
2 2
n1 n2
P u U u 1,
2
2
( X Y uα 2
σ12 n1
σ
2 2
n2
,X
Y
uα
2
σ12 σ22 ) n1 n2
5
02 两个正态总体参数的置信区间
(2)
2 1
2 2
2
未知，1 2 的置信区间
T
X
Y Sw
(1
1 n1
2)
1 n2
~
t (n1
n2
2)
Sw
估什么？
1 2
2 1
高等教育自学考试 概率论与数理统计期末自学 复习重要知识点
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
概率论与数理统计-第6章-第4讲-区间估计
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
02 求置信区间的步骤
例 设X1,…Xn 是取自 N (, 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信水平为 1 的置信区间.
明确问题：求什么参数的置信区间?置信水平是多少？
解 选 的点估计为 X
寻找未知参数的
取 U X N (0,1) 一个良好估计 n
u
2} 1
1
为什么 这样取？
u
u
2
2
8
02 求置信区间的步骤
从中解得
P{|
X
n
|u2}源自1P{Xn u 2
X
n
u
2}
1
于是所求 的 置信区间为
[X
n u 2 ,
X
n u
2]
也可简记为 X n u 2
从例题的过程，我们归纳出求置信区间的
一般步骤如下:
1
u
u
2
2
9
02 求置信区间的步骤
求置信区间的步骤
10
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
03 几点说明
1. 要求 θ 以很大的可能被包含在 [θˆ1, θˆ2 ]
内，P(ˆ1 ˆ2 ) 1 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 θˆ2 θˆ1 尽可能短.
置信度与精度是一对矛盾，当样本容 量固定时，置信度越高，则精度越差.
u
u
2
2
区间的长度为 2u —— 达到最短
2n
14
03 几点说明
特别说明
即使在概率密度不对称的情形，如
概率论与数理统计必考点
(6.39)
因此，p的一个无偏估计 达到了罗 可拉美不等式的下界.
例6.12 设母体 服从参数为的普哇松分布，即 e x , x 0,1, f ( x, ) x ! 0, 其他 证明：的一个无偏估计 达到了罗 可拉美不等式的下界.
证明: 由于 ln f ( x, ) x [ x ln ln( x !)] 1 . ln f ( , ) 2 2 1 I ( ) E[( ) ] E (1 ) (6.40) ) D( ) D 1 . D ( n n nI ( )
1.例:设总体 ~ N ,1,则 就没有无偏 估计。
2.如例4 有时对同一个参数可有多个无偏估计. 这些说明仅有无偏性要求是不够的。于 是，人们又在无偏性的基础上增加了对方差的 要求。若估计量的方差越小,表明该估计量的取 值（即估计值）围绕着待估参数的波动就越小， 也就是更为理想的估计量。为此，引入最小方 差无偏估计。
因为 E
2
E 2 2 2 ,
2
又 E D ( E )
2
n
2,
2 2
ˆ ) E( ) 所以 E(
2 2
2
E( ) E( )
n 1 2 ˆ 2 是有偏的. 2 , 所以 n n 2 若以 乘 偏的. ˆ , 所得到的估计量就是无 n 1
p x (1 p)1 x , x 0,1 f ( x, p ) 0, 其他 证明：p的一个无偏估计 达到了罗 可拉美不等式的下界.
(6.36)
证明: 由于
ln f ( x, p ) [ x ln p (1 x) ln(1 p )] p p
《概率论与数理统计》第七章
n
n
ln xi
（4）的极大似然估计量为：ˆ
n
n2 i1
lnX
i
2
i1
第七章 参数估计 ‹#›
例 9 设X~b(1,p), X1,X2,…,Xn是来自X的一个样本， 试求参数p的最大似然估计量
解: 设x1, x2,, xn,是相应于样本X1,X2,…,Xn 的一个样本值，X
的分布律为：
(3)以样本各阶矩A1, ,Ak代替总体各阶矩1,
得各参数的矩估计
ˆi gi(A1, ,Ak )， i 1, , k
, k，
第七章 参数估计 ‹#›
注意：
在实际应用时，为求解方便，也可以用
中心矩 i 代替原点矩i，相应地以样本中心矩Bi 估计 i.
（二）最大似然估计法
最（极）大似然估计的原理介绍
第七章
参数估计
目录/Contents
第1章 随机事件与 2 概率
§ 1 点估计
§3
估计量的评选标准
第七章 参数估计 ‹#›
问题的提出:
在实际进行统计时，有不少总体的（我们关心的某 确定指标）概率分布是已知的。比如
例 1 产品寿命服从的分布
X~
f
(
x)
1
x
e
x0
0
其他
但其中有参数是未知的: θ
n
似然函数 L f xi , 。 i 1
, xn ，
极大似然原理：L(ˆ( x1 ,
,
xn
))
max
L(
).
计算简化方法：
在求L 的最大值时，通常转换为求：lnL 的最大值，
lnL 称为对数似然函数.
利用
概率论-6-4单个正态总体的置信区间
§6-1 参数的点估计 §6-2 估计量的评选标准 §6-3 参数的区间估计 §6-4 单个正态总体均值与方差的置信区间 §6-5 两个正态总体均值与方差的置信区间 §6-6 单侧置信限
§6-4 单个正态总体均值的置信区间
均值μ的置信区间
方差 的2 置信区间
设总体 X ~ N (, 2 )，X1, X 2,, X n 为来自总体X的样本. 样本均值：X ，样本方差：S 2 ，给定置信水平为：1
区间，使可信程度为95%。
解：这是 2未知，求 的置信区间
x
1259,
S2
1 4
5 i 1
( xi
x)2
570 4
由1- 0.95，知 0.05
又 t /（2 n 1） t0.02（5 4） 2.776 的置信水平为0.95的置信区间为：
X t / 2 (n 1)
s n
1259
507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%.
若依此区间内任一值作为 的近似值,
其误差不大于 6.2022 2.1315 2 6.61 (克). 16
这个误差的可信度为95%.
练习：某仪器间接测量温度，重复测5次：1250℃, 1265 ℃,
1245 ℃, 1260 ℃, 1275 ℃ ，设测量值，求温度真值的置信
解：这是 未知，求 2的置信区间
由 题x
503.75,
S2
1 15
16 i 1
( xi
x)2
6.20222
由1- 0.95，知 0.05
查 表 得 20.02（5 15） 27.488 20.97（5 15） 6.262
的置信水平为0.95的置信区间为：
自考04183概率论与数理统计(经管类)总结2-数理统计部分
高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》第二部分数理统计部分专题一统计量及抽样的分布I.考点分析近几年试题的考点分布和分数分布II.内容总结一、总体与样本1.总体：所考察对象的全体称为总体；组成总体的每个基本元素称为个体。
2.样本：从总体中随机抽取n个个体x1,x2…,x n称为总体的一个样本，个数n称为样本容量。
3.简单随机样本如果总体X的样本x1,x2…,x n满足：（1）x1与X有相同分布，i＝1，2，…，n；（2）x1,x2…,x n相互独立，则称该样本为简单随机样本，简称样本。
得到简单随机样本的方法称为简单随机抽样方法。
4.样本的分布（1）联合分布函数：设总体X的分布函数为F（x），x1,x2…,x n为该总体的一个样本，则联合分布函数为二、统计量及其分布1.统计量、抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体的样本，若样本函数T=T（x1,x2…,x n）不含任何未知参数，则称T为统计量；统计量的分布称为抽样分布。
2.样本的数字特征及其抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体X的样本，（2）样本均值的性质：①若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即②偏差平方和最小，即对任意常数C，函数时取得最小值. （5）样本矩（7）正态分布的抽样分布A.应用于小样本的三种统计量的分布的为自由度为n的X2分布的α分位点.求法：反查X 2分布表.III.典型例题[答疑编号918020101]答案：D[答疑编号918020102]答案：[答疑编号918020103]答案：B[答疑编号918020104]答案：1[答疑编号918020105]答案：B[答疑编号918020106]故填20.[答疑编号918020107]解析：[答疑编号918020108]答案：解析：本题考核正态分布的叠加原理和x2－分布的概念。
根据课本P82，例题3－28的结果，若X～N（0，1），Y～N（0,1）,且X与Y相互独立，则X＋Y～N（0＋0，1＋1）＝N（0，2）。
概率论与数理统计第6章
不含未知参数的样本的函数称为统计量 不含未知参数的样本的函数称为统计量. 统计量 2. 几个常见统计量
1 n 样本均值 X = ∑Xi n i=1
反映总体 均值的信息 反映总 体方差 的信息
1 n 2 2 样本方差 S = ∑( Xi − X) n −1 i=1
样本2阶中心矩 样本 阶中心矩
反映总体2 反映总体 阶 中心矩的信息
(
)
−
n1 +n2 2
x≥0
例1 设X、Y相互独立均服从正态分布 、 相互独立均服从正态分布 N(0,3), X1,X2,…,X9和Y1,Y2,…,Y9分别为来 的样本。 自X、Y的样本。求 、 的样本
U＝
X1 + X 2 + L + X 9 Y +Y +L+Y
2 1 2 2
的分布。 的分布。
2 9
小样本问题中使用） 精确抽样分布（小样本问题中使用） 抽样分布 大样本问题中使用) 渐近分布 （大样本问题中使用
{
三. 统计三大分布
1 . χ 分布
2
定义: 相互独立, 定义 设 X1 , X2 ,L, Xn相互独立 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量： 则称随机变量： 分布 2 2 2 2 χ = X 1 + X 2 + …＋X n 所服从的分布为自由度为 n 的 χ 分布. 分布
3. F分布 分布 与 X ~ χ (n1),Y ~ χ (n2 ), X与Y X / n1 相互独立， 相互独立，则称统计量 F = Y / n2 定义: 定义 设
2 2
服从自由度为n 分布， 服从自由度为 1及 n2 的F分布，n1称为第 分布 一自由度， 称为第二自由度， 一自由度，n2称为第二自由度，记作 F~F(n1,n2) .
概率论与数理统计教案 第7章 参数估计
第7章参数估计
教学要求
1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.
2．熟练掌握矩估计法和最大似然估计法.
3．理解估计量的无偏性、有效性和一致性的概念，并会验证估计量的无偏性和有效性.
4．理解区间估计的概念.
5. 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间以及两个正态总体均值差和方差比的置信区间.
教学重点
参数的矩估计和最大似然估计，正态总体参数的区间估计.
教学难点
最大似然估计.
课时安排
本章安排10课时.
教学内容和要点
一、点估计
1. 点估计的概念
2. 矩估计法
3. 最大似然估计法
4. 估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）
二、区间估计
1. 置信区间的概念
2. 单个正态总体均值与方差的置信区间
3. 两个正态总体均值与方差的置信区间
4. 单侧置信区间
主要概念
1. 矩估计
2. 最大似然估计
3. 无偏估计、
4.有效估计
5. 一致估计
6. 区间估计
7. 置信水平
8. 双单侧置信区间侧置信区间
9. 单侧置信区间。
概率论与数理统计6-8
无关的样本的连续函数，则称g(X1,X2,…,Xn)为
统计量。 统计量是样本的函数,它是一个随机变量， 如果x1, x2, …, xn是样本观察值, 则g(x1, x2, …, xn)是统计量g(X1, X2, …, Xn)的一个观察值.X i ; n i 1 2 n 1 2 2. 样本方差 S (X i X ) ; n - 1 i 1 1 n k 3. 样本k阶原点矩 A k X i , k 1, 2, ; n i 1 1 n 4. 样本k阶中心矩 Bk (X i X ) k , k 2, 3, . n i 1
§7.1 点估计 一. 问题的提法:
设总体X的分布函数F ( x; θ )的形式为已知 ,
是待估参数， 1 , X 2 , , X n 是X的一个样本， X
x1, x2 , , xn 是相应的一个样本值。
点估计问题就是要构造 一个适当的统计量 ˆ ( X , X , X )，用它的观察值 ˆ( x , x , , x )
2
分布具有可加性，定义 X 1 ,X 2 , ,X n 独立 中 n 1 同服从N (0,1)，所以 ＝ X ~ ( , ) 2 2 i 1
2 2 i n
β α α-1 －x x e , x 0, 分布的概率密度为 f ( x) Γ (α ) : 0 , 其它. n 1 2 2 比较 (n)的密度可知： (n) 分布就是 , 2 2 2 的分布, 即 (n) (n / 2, 1/2).
N (0, 2 ) ，X1，X2，X3 为取自总体的一个样本， 2.设总体 X～
试求：(1)3X1－2X2＋X3 的分布；(2)
2 X1 X 22 X 32
的分布。