【成才之路】2015-2016学年高中数学 第三章 统计案例章末归纳总结课件 北师大版选修2-3
《成才之路》2015-2016学年北师大版数学选修2-2习题第3章导数应用§2第2课时Word版含解析
第三章 §2 第2课时一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A ．239B ．229C ．329D ．38[答案] A[解析] f (x )＝x －x 3，f ′(x )＝1－3x 2，令f ′(x )＝0得x ＝33(x ＝－33舍去)，计算比较得最大值为f (33)＝239. 2.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 km 时燃料费是每小时6元 ，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h 航行时，能使行驶每公里的费用总和最小( )A ．20B ．30C ．40D ．60[答案] A[解析] 设船速为每小时x (x ＞0)公里，燃料费为Q 元，则Q ＝kx 3， 由已知得：6＝k ·103， ∴k ＝3500，即Q ＝3500x 3.记行驶每公里的费用总和为y 元，则 y ＝(3500x 3＋96)·1x ＝3500x 2＋96xy ′＝3250x －96x 2，令y ′＝0，即3250x －96x 2＝0，解之得：x ＝20.这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32[答案] A[解析] 由f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0得，x ＝0或x ＝3， 经检验知x ＝3是函数的一个最小值点， 所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立， 所以3m －272≥－9，解得m ≥32.4．若函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,1)B ．[－2,1)C ．[－2，－1)D ．(－2，＋∞)[答案] B[解析] 由于f ′(x )＝－x 2＋1 ，易知函数在(－∞，－1]上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减，故若函数在(a,10－a 2)上存在最大值的条件为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ＜110－a 2＞1⇒－1≤a ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－110－a 2＞1⇒－2≤a ＜－1，f (1)≥f (a )综上可知a 的取值范围为[－2,1)．5．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B ．12C ．52D ．22[答案] D[解析] 本小题考查内容为导数的应用——求函数的最小值． 令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，∴F ′(x )＝2x －1x .令F ′(x )＝0，∴x ＝22，∴F (x ) 在x ＝22处最小． 二、填空题6．下列结论中正确的有________．①在区间[a ，b ]上，函数的极大值就是最大值； ②在区间[a ，b ]上，函数的极小值就是最小值；③在区间[a ，b ]上，函数的最大值、最小值在x ＝a 和x ＝b 处取到；④在区间[a ，b ]上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值． [答案] ④[解析] 由函数最值的定义知，①②③均不正确，④正确．故填④.7．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)在[1,4]上的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________. [答案]103[解析] f ′(x )＝4ax 3－12ax 2(a >0，x ∈[1,4])．由f ′(x )＝0，得x ＝0(舍)，或x ＝3，可得x ＝3时，f (x )取得最小值为b －27A ． 又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ， ∴f (4)为最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.8.设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为__________________．[答案] 4[解析] 本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减， 因此g (x ) max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0]，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4. 三、解答题9.(2014·江西理，18)已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间(0，13)上单调递增，求b 的取值范围．[解析] (1)当b ＝4时，f (x )＝(x ＋2)21－2x 的定义域为(－∞，12)，f ′(x )＝－5x (x ＋2)1－2x ，由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝0.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(0，12)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2取极小值f (－2)＝0，在x ＝0取极大值f (0)＝4. (2)f ′(x )＝－x [5x ＋(3b －2)]1－2x ，因为当x ∈(0，13)时，－x 1－2x <0，依题意当x ∈(0，13)时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0.所以b 的取值范围为(－∞，19]．10.(2014·三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)[解析] (1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)[10x －2＋4(x －6)2]＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在(0，103)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(103，6)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.一、选择题1．给出下面四个命题：①函数y ＝x 2－5x ＋4，x ∈[－1,1]的最大值为10，最小值为－94；②函数y ＝2x 2－4x ＋1(2<x <4)的最大值为17，最小值为1；③函数y ＝x 3－12x (－3<x <3)的最大值为16，最小值为－16；④函数y ＝x 3－12x (－2<x <2)无最大值，也无最小值．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] ③④正确．2．已知不等式ln (kx )x ≤1e 对任意的正实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(－∞，1]C ．[0,2]D ．(0,2] [答案] A[解析] 令y ＝ln (kx )x ，则y ′＝1－ln (kx )x 2，可以验证当y ′＝0即kx ＝e ，x ＝e k 时，y max ＝lneek ＝k e， 又y ≤1e 对于x ＞0恒成立∴k e ≤1e ，得k ≤1又kx ＞0，x ＞0，∴k ＞0，∴0＜k ≤1.3.(2014·江西文，10)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a 2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图像不可能．．．的是( )[答案] B[解析] 若a ＝0时，两函数分别为y ＝－x 和y ＝x ，选项D 此时合适， 若a ≠0时，设f 1(x )＝ax 2－x ＋a2，设f 2(x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋af 2′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，①若a >0，易知f 2(x )的极大值为f (13a )＝427a ＋a ，极小值为f (1a )＝a ，而f 1(x )图象此时开口向上，对称轴为x ＝12a >0且f 1(1a )＝f 1(0)＝a2，f 2(0)＝a ，A 、C 均适合．(2)若a <0，f 1(x )图象开口向下，对称轴为x ＝12a <0 ，f (1a )＝f 1(0)＝a 2<0，而f 2(1a )>a <0，比较知0>a 2>a ，也就是说当x ＝1a 时函数f 2(x )图象为极大值而此时f 1(x )图象对应的点应该在(1a ，f 2(1a))上方，而B 选项中显然右下方，因而B 不可能．4．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( ) A ．10 B ．15 C ．25 D ．50[答案] C[解析] 如图，设∠NOB ＝θ，则矩形面积S ＝5sin θ·2·5cos θ＝50sin θ·cos θ＝25sin 2θ，故S max＝25.二、填空题5.已知函数y ＝xf ′(x )的图像如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法： ①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性；③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值．其中正确的说法有________[答案] ①④[解析] 从图像上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0 ，所以f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上是增函数，①正确；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－1，1)上是减函数，所以②，③错误；当0<x <1时，f (x )在区间(0,1)上递减，而在(1，＋∞)上递增，故f (x )在x ＝1处取极小值，故④正确．6.已知函数f (x )＝log a (2x ＋4)2x ，当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，则a 的取值范围是____________．[答案] 1＜a ≤4 2[解析] 要使得当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，只需保证当x ∈[1,4]时，f (x )min ≥2即可，因此问题转化为先求函数f (x )＝log a (2x ＋4)2x 在区间[1,4]上的最小值，再结合不等式求得a 的取值范围．考虑到f (x )＝log a (2x ＋4)2x 的导数不好求，可以先采用换元的办法，利用导数法求出真数的最值，再考虑函数f (x )的最小值，但要注意对底数a 加以讨论．令h (x )＝(2x ＋4)2x ＝4x ＋16x ＋16，x ∈[1,4]．∵h ′(x )＝4－16x 2＝4(x －2)(x ＋2)x 2，x ∈[1,4]．∴当1≤x ＜2时，h ′(x )＜0，当2＜x ≤4时，h ′(x )＞0. ∴h (x )在[1,2]上是单调减函数，在[2,4]上是单调增函数， ∴h (x )min ＝h (2)＝32，∴h (x )max ＝h (1)＝h (4)＝36. ∴当0＜a ＜1时，有f (x )min ＝log a 36，当a ＞1 时，有f (x )min ＝log a 32. ∵当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立， ∴f (x )min ≥2.∴满足条件的a 的值满足下列不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，log a 36≥2，①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 32≥2，② 不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1＜a ≤4 2. 综上所述，满足条件的a 的取值范围是：1＜a ≤4 2. 三、解答题7.(2014·全国大纲，22)函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax x ＋a (a >1)．讨论f (x )的单调性；[解析] f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －(a 2－2a )](x ＋1)(x ＋a )2.①当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a,0)，则f ′(x )<0，f (x )在(a 2－2a,0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)是增函数．②当a ＝2时，f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，f (x )在(－1，＋∞)是增函数． ③当a >2时，若x ∈(－1,0)，则f ′(x )>0，f (x )在(－1,0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，f (x )在(0，a 2－2a )是减函数； 若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． 8.设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[分析] (1)先求f ′(x )，写出g (x )，对g (x )求导，g ′(x )>0求得增区间，g ′(x )<0求得减区间；(2)作差构造函数h (x )＝g (x )－g (1x )，对h (x )求导，判定其单调性，进一步求出最值，与0比较大小；(3)利用(1)的结论求解．[解析] (1)f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x .∴g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，∴(0,1)是g (x )的单调减区间当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴(1，＋∞)是g (x )的单调增区间因此当x ＝1时g (x )取极小值，且x ＝1是唯一极值点，从而是最小值点． 所以g (x )最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x令h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x ，h ′(x )＝－(x －1)2x 2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时h ′(x )<0，h ′(1)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递减 当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x )当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x )综上知，当x ∈(0,1)时，g (x )>g (1x )，当x ＝1时，g (x )＝g (1x )当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<g (1x )(3)由(1)可知g (x )最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立等价于g (a )－1<1a ，即ln a <1，解得0<a <e.所以a 的取值范围是(0，e)[点评] 本题考查了求导公式、导数应用、不等式恒成立等知识以及分类计论思想、转化与化归思想等．。
2015-2016学年高中数学 第三章 统计案例章末归纳总结课件 新人教A版选修2-3
1 ．线性回归方程中的系数、及相关指数 R2 ，独立性检验 统计量K2公式复杂，莫记混用错． 2．相关系数r是判断两随机变量相关强度的统计量，相关 指数R2是判断线性回归模型拟合效果好坏的统计量，而K2是判 断两分类变量相关程度的量，应注意区分．
3．在独立性检验中，当K2≥6.635时，我们有99%的把握认
将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于 55的人群称为“非高收人族”．
(1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表，有多大的把握 认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？
2 a ＋ b ＋ c ＋ d ad － bc 已知：K2＝ ， a＋bc＋da＋cb＋d
(3)若学生王明亮入学成绩为 80 分，代入上面线性回归直 线方程^ y＝22.41＋0.76556x，可求得^ y≈84(分)． 答：王明亮同学高一期末数学成绩预测值为 84 分．
[点评]
本题为求回归直线方程中的最常见问题，应注意
作图要准确．
独立性检验 1 ．判断两个分类变量之间是否有关系可以通过等高条形 图作粗略判断，需要确知所作判断犯错误的概率情况下，可进
非高收入族 赞成 不赞成 总计
高收入族
总计
(2)现从月收入在[55,65)的人群中随机抽取两人，求所抽取 的两人中至少一人赞成楼市限购令的概率．
[解析] (1) 非高收入族 赞成 不赞成 总计 25 15 40 高收入族 3 7 10 总计 28 22 50
2 50 25 × 7 － 15 × 3 K2＝ ≈3.43，故有 90%的把握认为楼市 40×10×22×28
当 K2<2.706 时， 没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令 与收入高低有关；当 K2>2.706 时，有 90%的把握判定赞不赞成 楼市限购令与收入高低有关；当 K2>3.841 时，有 95%的把握判 定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关； 当 K2>6.635 时， 有 99% 的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.
高中数学第3章统计案例1回归分析课件北师大版选修2_3
xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61
i＝1
＝25 054.
5
x2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.
i＝1
5
y2i ＝782＋652＋712＋642＋612＝23 674
i＝1
∴r＝
5
xiyi－n x y
i＝1
5
5
x2i －n x 2y2i －n y 2
88 76 73 66 63
物理成绩(y)
78 65 71 64 61
• (1)求物理成绩y关于数学成绩x的相关系数；
• (2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程．
• [思路导引] 利用相关系数r判断x与y是否相关，若 相关再利用线性回归模型求解．
[边听边记] (1) x ＝ 15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， y ＝ 15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
量之间的线性相关程度越高； • ⑤ 的r线的性绝相对关值程越度接越近低于．__0_____，表示两个变量之间
•
相关分析的意义和作用
• 函数关系是大家比较熟悉的概念，它是指变量之间 的确定性关系，即当X取某一数值x时，变量Y按照某 种规则总有一个或多个确定的数值与之对应．相关 关系则是指变量之间的非确定性关系，由于随机因 素的干扰，当变量X取确定值x时，变量Y的取值不确 定，是一个随机变量，但它的概率分布与X的取值有 关．这里，我们看到了函数关系与相关关系的本质 区别，在函数关系中变量X对应的是变量Y的确定值， 而在相关关系中，变量X对应的是变量Y的概率分
• [思路导引] 先由数值表作出散点图，然后根据散点
的形状模拟出近似函数，进而转化为线性函数，由 数值表求出回归函数．
2015-2016学年高中数学 第3章 2独立性检验课件 北师大版选修2-3
2 n ad － bc (4)根据公式计算 χ2＝ 的值； a＋bc＋da＋cb＋d
(5)比较观测值 χ2 与 χ2 分布表中相应的检验值相比较， 根据 小概率原理肯定或者否定假设，判断 A、B 是否相关． 4．利用 χ2 检验值为依据也可能有失误，它强调的是最大 的可能性． 样本量越大， 这个估计越准确， 使用 χ2 统计量作 2×2 列联表的独立性检验时，要求表中的 4 个数据都要大于 5，为 此，在选取样本的容量时一定要注意这一点.
第三章
统计案例
第三章
§2 独立性检验
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
课前自主预习
通过对案例的探究，了解独立性检验(只要求2×2列联表) 的基本思想、方法及初步应用．
本节重点：独立性检验的基本思想及实施步骤．
本节难点：独立性检验的基本思想.
1.2×2 列联表 设 A， B 为两个变量， 每一个变量都可以取两个值， 变量 A∶ A1，A2＝ A1 ；变量 B∶B1，B2＝ B 1.其频数表(称为 2×2 列联表) 为 BA A1 A2 B1 a c B2 b d 总计 a＋b c＋d
其中说法正确的个数为(
)
A．0
C．2 [答案] B
B．1
D．3
[解析] 根据独立性检验的意义，知③正确．
2．为了探究色盲是否与性别有关，在调查的500名男性中 有39名色盲患者，500名女性中有6名色盲患者，那以你认为色 盲与性别有关的把握为( A．0 ) B．95%
2015-2016学年高中数学 第3章 1第2课时 函数的极值课件 北师大版选修2-2
1.下列结论中，正确的是(
)
A．导数为零的点一定是极值点 B ．如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，那么 f(x0) 是
极大值
C ．如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，那么 f(x0) 是 极小值 D ．如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0) 是 极大值
[ 解析]
lnx 求函数f(x)＝ x 的极值． lnx 函数f(x)＝ x 的定义域为(0，＋∞)，
1－lnx 由导数公式表和求导法则得，f′(x)＝ x2 . 解方程f′(x)＝0，得x＝e. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f ( x)
(0，e) ＋
e 0 极大值
函数极值的逆向问题 函数f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知x＝－2和x＝ 1为f(x)的极值点．
(1)求a和b的值；
(2)讨论f(x)的单调性．
[ 解析]
(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx＝xex－1(x
＋2)＋x(3ax＋2b)， 又x＝－2和x＝1为f(x)的极值点， 所以f′(－2)＝f′(1)＝0.
号，如果左正右负，那么 f(x) 在这个根处取得极大值；如果左 负右正，那么 f(x) 在这个根处取得极小值，如果左右都是正， 或者左右都是负，那么f(x)在这个根处无极值．
8 求函数y＝2x＋ x 的极值，并结合单调性、极值作出该函数 的图像．
[ 分析] 利用函数求极值的步骤：(1)先求函数的定义域；
[分析]
给出了y＝f ′(x)的图象，应观察图象找出使f ′(x)>0
2015-2016学年高中数学北师大版选修2-1课件 第3章 圆锥曲线与方程 3.4 第2课时 直线与圆锥曲线的交点
第三章
3.4
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
(1)当 Δ＞0，即－3 2＜m＜3 2时，方程③有两个不同的实数 根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有 两个不重合的公共点． (2)当 Δ＝0，即 m＝± 3 2时，方程③有两个相同的实数根，可 知原方程组有两组相同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个互 相重合的公共点，即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点． (3)当 Δ＜0，即 m＜－3 2或 m＞3 2时，方程③没有实数根， 可知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点．
第三章 3.4 第2课时
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1 ③由 Δ<0，即 2k ＋k－1>0，解得 k<－1，或 k>2，于是当 k<
2
1 －1，或 k>2时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时， 直线 l 与抛物线没有公共点．综上，我们可得 1 当 k＝－1 或 k＝2或 k＝0 时，直线 l 与抛物线只有一个公共 点； 1 当－1<k<2，且 k≠0 时，直线 l 与抛物线有两个公共点； 1 当 k<－1，或 k>2时，直线 l 与抛物线没有公共点．
切，有一个公共点；当m<0时，与抛物线相离，无公共点．
第三章
3.4
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
3．直线与圆锥曲线交点个数的判定 对于直线 l：y＝kx＋l，圆锥曲线 C：f(x，y)＝0，它们的交点 个数通常有以下两种判定方法：
y＝kx＋l (1)解方程组 fx，y＝0
《成才之路》2015-2016学年高中数学北师大版选修1-2同步练习第3章§3综合法与分析法
第三章 §3一、选择题1．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D ，这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B2．证明7－1>11－5成立的过程如下： 证明：要证7－1>11－5，只要证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1， 即证35>11，即证35>11.因为35>11显然成立，所以原不等式成立． 以上证明过程应用了( ) A ．综合法B ．分析法C ．综合法与分析法的综合使用D ．间接证法 [答案] B3．a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C ．a 2＋b 2ab ≥a ＋bD ．2ab a ＋b ≥ab[答案] D[解析] ∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1，∴2aba ＋b ≤ab .4．设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<1<ab[答案] B[解析] ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22<a 2＋b22(a ≠b )．5．(2015·天津文，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a[答案] B[解析] 由f (x )为偶函数得m ＝0，所以a ＝2－log 0.53＝3，b ＝2log 25＝5，c ＝f (0)＝20＝1，故选B ．6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[答案] A [解析]a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b)． 二、填空题7．在数列{a n }中，若a 1＝1，1a n ＋1＝1a n ＋13，则a 10等于________. [答案] 14[解析] ∵1a n ＋1＝1a n ＋13，a 1＝1，∴1a n ＝1＋(n －1)×13＝n ＋23. ∴a n ＝3n ＋2，∴a 10＝14.8．若三点A (a,2)、B (3,7)、C (－2，－9a )在同一条直线上，则a 的值为________. [答案] 2或29[解析] AB →＝(3－a,5)， BC →＝(－5，－9a －7)．当AB →∥BC →时，A ，B ，C 三点共线， (3－a )(－9a －7)＋5×5＝0， 解得a ＝2或a ＝29.三、解答题9．设a 、b 、c ∈R ，求证a 2＋b 2＋c 2>2a ＋b －2.[证明] ∵(a －1)2＋(b －12)2＋c 2≥0，∴a 2－2a ＋1＋b 2－b ＋14＋c 2≥0，∴a 2＋b 2＋c 2≥2a ＋b －54，∵2a ＋b －54>2a ＋b －2.∴a 2＋b 2＋c 2>2a ＋b －2.10．在锐角三角形中，比较sin A ＋sin B ＋sin C 与cos A ＋cos B ＋cos C 的大小． [解析] 在锐角三角形中，∵A ＋B >π2，∴A >π2－B ．∴0<π2－B <A <π2.又∵在区间(0，π2)内正弦函数是增加的，∴sin A >sin(π2－B )＝cos B ，即sin A >cos B ．① 同理sin B >cos C ，② sin C >cos A ．③ 由①＋②＋③，得sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C ．一、选择题11．在R 上定义运算⊙a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1＋∞)D ．(－1,2)[答案] C[解析] x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0⇒x 2＋x －2<0⇒－2<x <1.12．(2014·哈六中期中)若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) [答案] B[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4xy ≥2＋2y 4x ·4xy＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y 4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B ．13．(2015·陕西文，10)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q[答案] C[解析] p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln ab ；q ＝f (a ＋b 2)＝ln a ＋b 2；r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln ab ，因为a ＋b2＞ab ， 由f (x )＝ln x 是个递增函数，f (a ＋b2)＞f (ab )，所以q ＞p ＝r ，故答案选C ．14．(2014·广东梅县东山中学期中)在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *，且对任意m ，n 都有：(1)f (1,1)＝1，(2)f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，(3)f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；给出下列三个结论： ①f (1,5)＝9；②f (5,1)＝16；③f (5,6)＝26； 其中正确的结论个数是( )个．( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[答案] A[解析] ∵f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，∴f (m ，n )组成首项为f (m,1)，公差为2的等差数列， ∴f (m ，n )＝f (m,1)＋2(n －1)．又f (1,1)＝1，∴f (1,5)＝f (1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，∴f (m,1)构成首项为f (1,1)，公比为2的等比数列，∴f (m,1)＝f (1,1)·2m －1＝2m －1，∴f (5,1)＝25－1＝16，∴f (5,6)＝f (5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A ．二、填空题15．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则 cos(α－β)＝________.[答案] －12[解析] 由题意sin α＋sin β＝－sin γ ① cos α＋cos β＝－cos γ②①，②两边同时平方相加得 2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1 2cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－12.16．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n 的大小关系为________. [答案] m >n[解析] 因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab >a ＋b >0，所以a ＋b 2>a ＋b2，所以m >n . 三、解答题17．(2013·山东肥城二中高二期中)已知a 、b 、c 、d 为正实数，试用分析法证明：a 2＋b 2·c 2＋d 2≥ac ＋bd .[证明] 要证a 2＋b 2·c 2＋d 2≥ac ＋bd 成立，只需证 (a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， 即证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd ， 也就是(bc ＋ad )2≥0. ∵(bc ＋ad )2≥0显然成立， ∴a 2＋b 2·c 2＋d 2≥ac ＋bd .18．若α、β为锐角，且cos αsin β＋cos βsin α＝2.求证：α＋β＝π2.[证明] 设f (x )＝cos x sin β＋cos βsin x ，x ∈(0，π2)，显然f (x )为单调减函数．∵f (α)＝2，f (π2－β)＝cos (π2－β)sin β＋cos βsin (π2－β)＝2，即f (α)＝f (π2－β)，又f (x )在x ∈(0，π2)上单调递减，∴α＝π2－β，∴α＋β＝π2.。
2015-2016学年高中数学 第3章 2第2课时 最大值、最小值问题课件 北师大版选修2-2
最大值与最小值 最大 ( 小 ) 值或者在极大 ( 小 ) 值点取得，或者在区间的端点
取得．因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极
大 ( 小 ) 值点，然后将所有极大 ______________ 与区间端点 ____________ 的函 (小)值点 数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值． 函数的最大值和最小值统称为_________. 最值
已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋A． (1)求f(x)的单调递减区间；
(2) 若f(x)在区间 [－2,2] 上的最大值为 20，求它在该区间上
的最小值．
[ 解析] 或x>3.
(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)<0，解得x<－1
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a，∴f(2)>f(－2)． ∵f(x)在[ －1,2] 上单调递增，在[ －2，－1] 上单调递减， ∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[ －2，2] 上的最大值和最小 值．于是有22＋a＝20，解得a＝－2. ∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2. ∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[ －2，2] 上 的最小值为－7.
π π ∴[ f (x)] max＝2，[ f (x)] min＝－2.
[点评]
设函数f(x)的图像在[a，b]上连续，且f(x)在(a，b)
内可导，则求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求f(x)在(a，b)内的极值点；3)将上述值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一 个就是最小值．
2015-2016学年高中数学 第三章 统计案例单元综合测试 北师大版选修2-3
12【成才之路】2015-2016学年高中数学 第三章 统计案例单元综合测试 北师大版选修2-3时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·哈师大附中高二期中)下列说法正确的有几个( )
(1)回归直线过样本点的中心(，)；x－ y－
(2)线性回归方程对应的直线＝x＋至少经过其样本数据点(x1，y1)、(x2，y2)、y^ b^ a^ …、(xn，yn)中的一个点；(3)在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高；(4)在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好．A．1 B．2 C．3 D．4[答案] B[解析] 由回归分析的概念知①④正确，②③错误．2．变量y对x的回归方程的意义是( )A．表示y与x之间的函数关系B．表示y与x之间的线性关系C．反映y与x之间的真实关系D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合[答案] D[解析] 用回归方程预测变量y对x的不确定关系，反映的不是真实关系，而是真实关系达到最大限度的吻合．3．变量x与y具有线性相关关系，当x取值16,14,12,8时，通过观测得到y的值分别为11,9,8,5，若在实际问题中，y的估计最大取值是10，则x的最大取值不能超过( )A．16 B．17 C．15 D．12[答案] C[解析] 由题目中的数值计算出回归方程，然后解方程求得x的值．12b＝＝0.7，∴a＝－0.5，
n∑
i＝1
xiyi－nx－ y－
n∑
i＝1
x2i－nx－ 2
∴回归直线方程为y＝－0.5＋0.7x.将y＝10代入，得x＝15.4．对变量x、y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u、v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断( )
【成才之路】高中数学北师大版选修课件：章末归纳总结框图
北师大版 ·选修1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
框图 第二章
章末归纳总结 第二章
1 知识梳理
2 知识结构
4 题型探究
3 误区警示
5 自主演练
知识梳理
1．流程图 流程图包括程序框图、工序流程图、生活中的流程图和其 他流程图．流程图一般要按照从左到右、从上到下的顺序来观 察． 画流程图时，要先将实际问题分解成若干个步骤，注意各 个步骤之间的先后顺序和逻辑关系，再用简洁的语言表述步 骤，最后绘制成流程图．
组织结构图
若你是某企业的董事长，你决 定要投资一所希望小学，确定该学校的行政组织结构为：
一个校长、四个副校长．副校长1负责教务处和教研处， 副校长2负责政教处和保卫科，副校长3负责办公室，副校长4 负责总务处和财务处．
制作一个学校的组织结构图．
[解析]
某地行政服务中心办公机构的分布结构如下： (1)服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公 室、综合业务处、督察投诉中心，这三个部门在一楼，其余 局、委办理窗口分布如下： (2)二楼：公安局、民政局、财政局； (3)三楼：工商局、地税局、国税局、技监局、交通局； (4)四楼：城建局、人防办、计生局、规划局； (5)五楼：其余部门办理窗口． 请绘制该中心结构图．
[点评] 解决循环结构框图问题，首先要找出控制循环变 量的初值、步长、终值(或控制循环的条件)，然后看循环体， 循环次数比较少时，可依次列出即可获解，循环次数较多时可 先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要面的程序框图，若输出的 n是100，则S和T的值分别是( )
5．某公司做人事调整：设总经理一个，配有经理助理一 名；设副经理两人，直接对总经理负责，设有6个部门，其中 副经理A管理生产部、安全部和质量部，副经理B管理销售部、 财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司 配有质检中心和门岗．请根据以上信息设计并画出该公司的人 事结构图．