人教版九年级数学上册第 22章 二次函数7 用待定系数法求二次函数的解析式
第22章《二次函数》讲义 第8讲 二次函数与方程(有答案)
1 第3讲 二次函数与方程、不等式
第一部分 知识梳理
知识点一：待定系数法求二次函数解析式
1.一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；
2.顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；
3.两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
知识点二：二次函数的特殊点
（1）、a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定:
点在x轴上方，则a+b+c 。
点在x轴下方，则a+b+c 。
点在x轴上，则a+b+c 。
（2）、a-b+c的符号：由x=－1时抛物线上的点的位置确定:
点在x轴上方，则a－b+c 。
点在x轴下方，则a－b+c 。
点在x轴上，则a－b+c 。
（3）、2a±b的符号： 由对称轴与X=1或X=-1的位置相比较的情况决定.
（4）、b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：
2个交点，b2-4ac＞0； 1个交点，b2-4ac=0； 没有交点，b2-4ac＜0．
九年级数学用待定系数法求二次函数解析式教案
22．1.4用待定系数法求二次函数解析式教案
一、教学目标
1.熟练的掌握二次函数的yaxbxc的性质，并会根据题目要求求出表达式；
2.熟练的掌握二次函数的ya
xh
k的性质，并会根据题目条件求出表达式；22
3.理解二次函数ya
xx
1
xx
2
的性质，并会根据题目求表达式.
二、教学重难点
重点：根据题目条件求二次函数的表达式.
难点：理解两根式的表达式的推导过程.
三、知识结构
课题名称
一般式的求解
顶点式的求解
两根式的求解重点
一般式的基本形式
顶点式的表达式
两根式的理解难点
解三元一次方程组
根据题目找出顶点坐标
找出图象与x轴的两个交
点坐标
三种表达式的综合应用综合应用根据题目选择合适的表达
式
四、名师解析
知识点一：
yax2bxc（a，b，c为常数，a0）的求解
例1.已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的
解析式.巩固练习：已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二
次函数的解析式.
知识点二：
ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）的求解
例2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解
析式.
巩固练习：已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次
函数的解析式.
知识点三：
ya(xx
1)(xx
2)（a0，x
1，x
2是抛物线与x轴两交点的横坐标）的求解
例3．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解
析式.
巩固练习：
1.已知x1
时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式
2.抛物线y2xbxc
与x轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式
知识点四：三种表达式的综合应用
例4.根据下列条件求关于x的二次函数的解析式
（1）当x3
时，y
最小值-1
，且图象过（0，7）2（2）图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x
教案用待定系数法求二次函数的解析式
（修改）教案——22.1.4.2用待定系数法求二次函数解析式
【教学目标】
1.会用待定系数法求二次函数的解析式.
2.体验由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式 ．
3.理解二次函数三种形式的本质．
【教学重难点】
用待定系数法求二次函数的解析式.
【教学过程】
一．旧知回顾
1.回忆所学函数的解析式？
一次函数的解析式为__________________；反比例函数的解析式为__________________；
二次函数的解析式为______________________________________________________；
2.回忆求一次函数和反比例函数的解析式的方法是什么？ 此法的一般步骤是什么？
二．合作探究
问题1：二次函数图象上三个点（－2,1）（-1,0）（0,-3），会求这个函数的解析式？
变式：一个二次函数，当自变量x=-2时，函数值y=1,当自变量x=-1时，函数值y=0,当自变量x=0时，函数值y=-3,会求这个函数的解析式？
归纳：已知三点或三组对应值，求二次函数解析式的方法叫做一般式法.
问题2：二次函数图象过点（1，-8）和顶点（-2，1），会求这个二次函数的解析式？
变式1：抛物线过点（1，-8），且当x=-2时，y有最值为1，试求出这个二次函数的解析式.
变式2：抛物线过点（1，-8），（0，-3），且其对称轴是直线x=-2，试求出这个二次函数的解析式.
变式3：抛物线过点（-1，0），（-3，0），（1，-8），试求出这个二次函数的解析式.
归纳：已知顶点坐标或最值或对称轴，求解析式的方法叫做顶点式法.
已知抛物线与x轴的交点坐标，求解析式的方法叫做交点式法.
要点诠释：
在设函数解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适形式：
① 当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的一般式
② 当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值时，可设函数的顶点式
用待定系数法求二次函数的解析式举例
用待定系数法求二次函数的解析式举例
二次函数解析式的常见形式：
⑴.一般式:)0(2acbxaxy.
⑵.顶点式:)0()(2akhxay，顶点坐标为),(kh.
⑶.交点式(或称双根式):）0)()((21axxxxay.
注意：交点式解析式只适用于图象与x轴有公共点的二次函数，其中21xx，分别是二次函数图象与x轴两交点的横坐标值。
例1.已知某二次函数的图象经过三点)2,0(),5,1(),1,1(CBA,求这个二次函数的解析式。
分析：设此二次函数的解析式为)0(2acbxaxy，再将A,B,C三点的坐标分别代入，可得到一个关于待定系数cba,,的三元一次方程组，解得cba,,的值，从而可求得这个二次函数的解析式。
例2.已知某二次函数的图象的顶点坐标为)2,1(，将其平移后能与抛物线122xxy重合，求这个二次函数的解析式。
解：∵二次函数的图象的顶点坐标为)2,1(,
∴可设此二次函数的解析式为)0(2)1(2axay.
又∵二次函数的图象平移后能与抛物线122xxy重合，
∴2a.
∴这个二次函数的解析式为2)1(22xy.
例3. 已知某二次函数的图象经过点)9,2(，且当1x时，y取得最小值5，求这个二次函数的解析式。
解：∵当1x时，y取得最小值5.
∴可设此二次函数的解析式为)0(5)1(2axay.
把点)9,2(的坐标代入，得：5)12(92a，解得94a.
∴这个二次函数的解析式为5)1(942xy. 例4. 已知某二次函数的图象与x轴两交点的横坐标分别为3，1，且此二次函数的最大值为4，求这个二次函数的解析式。
解：∵二次函数的图象与x轴两交点的横坐标分别为3，1，
∴可设此二次函数的解析式为）0)(1)(3(axxay，
且对称轴方程为1213xx即.
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法
- 1 - 用待定系数法求二次函数解析式的几种方法
待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。基本原理是，通过把二次函数拆分为两个一次函数的乘积，然后根据给定的条件将未知的系数代入到两个一次函数之中，从而计算出二次函数的解析式。
首先，我们可以用待定系数法计算二次函数的标准形式的解析式。一般来说，二次函数的标准形式是ax^2+bx+c=0，根据定理，二次函数的根为： x = [-b (b^2-4ac)] / 2a.二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x+p)(x+q),p + q = -b, pq = c.结合给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的标准形式的解析式。
其次，我们可以用待定系数法求解二次函数的非标准形式的解析式。一般来说，非标准形式的二次函数是一般形式ax^2 + bx + c =
0类似于标准形式，我们可以将二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x + p/a )(x + q/a)。对于任意给定的一般形式的二次方程，我们可以先将它降幂变为标准形式，然后再计算p、q的值。最后，根据互相关联的关系，计算出 q p的值，就可以得到二次函数的非标准形式的解析式。
再次，我们还可以用待定系数法解决一些特殊情况下的二次函数。比如说，二次函数在x=0处有极值点时，ax^2+bx+c= 0.种情况下，我们可以将二次函数分解为两个一次函数:ax^2 + bx + c = a(x + p) - 2 - (x + q) + ap, q = 0。根据给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的特殊情况下的解析式。
总之，待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。它可以用来求解二次函数的标准形式和非标准形式，以及一些特殊情况下的二次函数的解析式。但是，这种方法可能并不适用于所有的二次函数，所以使用时要谨慎操作。
人教版初三数学上册第22章 《二次函数》复习资料(知识结构)
第二十二章 《二次函数》复习资料
【知 识 结 构】
一、二次函数
1. 形如y = ； (a、b、c是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.
2.函数的三种形式：①一般式 ，②顶点式 ，③两根式 。
3.待定系数法求解析式：(1）根据条件设函数解析式：已知三点坐标，选用 ：已知 ，选用顶点式；已知 ，选用两根式。
（2）把已知点的坐标带入解析式求出待定系数。
例1：已知当x＝－1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式。
二、二次函数的图象及性质
开口方向 大致图象 最值 增减性 函数类型 对称轴 顶点坐标
当0a时
开口
对称轴左侧，y随x的增大而 ：
对称轴右侧，y随x的增大而 ： 2axy
kaxy2
2hxay
当0a时开口 对称轴左侧，y随x的增大而 ：
对称轴右侧，y随xkhxay2
cbxaxy2
例2：当 m =_____时，函数 y=(m–3) x m2-3m+2 +( m-2)x +1（m为常数）为二次函数。
（1）函数的开口 ；对称轴为 ，顶点坐标为 ，对称轴左侧，y随x的增大而 ；（2）若将函数向上平移3个单位长度后，又向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为 。
三、二次函数cbxaxy2的系数a、b、c与图象的关系
a的作用：决定抛物线的 和 ； （1）a>0 开口 ：a<0 开口 . (2)|a| 越大，抛物线的开口度越 。
九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结归纳(带答案)
九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结归纳
单选题
1、定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形𝑂𝐴𝐵𝐶
中，点𝐴(
0,2)
，点𝐶(
2,0)
，则互异二次函数𝑦=(
𝑥−𝑚)2
−𝑚与正方形𝑂𝐴𝐵𝐶有交点时𝑚的最大值和最小值分
别是（ ）
A．4，-1B．5−
√17
2，-1C．4，0D．5+
√17
2，-1
答案：D
分析：分别讨论当对称轴位于y
轴左侧、位于y
轴与正方形对称轴x
=1之间、位于直线x
=1和x
=2之间、位
于直线x
=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m
的不等式组，求解即可．
解：由正方形的性质可知：B
（2,2）；
若二次函数𝑦=(
𝑥−𝑚)2
−𝑚与正方形𝑂𝐴𝐵𝐶有交点,则共有以下四种情况:
当𝑚≤0时，则当A
点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有{𝑚≤0
𝑚2
−𝑚≤2
，
解得：−1≤𝑚<0；
当0<𝑚≤1时，则当C
点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有{0<𝑚≤1
(
2−𝑚)2
−𝑚≥0
，
解得：0<𝑚≤1；
当1<𝑚≤2时，则当O
点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有{1<𝑚≤2
𝑚2
−𝑚>0
，
解得：1<𝑚≤2；
当𝑚>2时，则当O
点在抛物线上或下方且B
点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有
{𝑚>2
𝑚2
−𝑚≥0
(
2−𝑚)2
−𝑚≤2
，
解得：2<𝑚≤5+
√
17
2；
综上可得：𝑚的最大值和最小值分别是5+
√
17
2，−1．
故选：D．
小提示：本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能
根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学
生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
2、如图，二次函数𝑦=𝑎𝑥2
+𝑏𝑥+𝑐的图象关于直线𝑥=1对称，与x
第22章 二次函数知识点总结 2023—2024学年人教版数学九年级上册
第二十二章二次函数
22.1二次函数的图像和性质
22.1.1 二次函数
知识点一 二次函数的定义
1.二次函数的定义:一般地，形如)0a,,(2是常数，cbacbxaxy 的函数，叫做二次函数.
2.任何一个二次函数的解析式都可化成)0a,,(2是常数，cbacbxaxy的形式，因此，把)0a,,(2是常数，cbacbxaxy叫做二次函数的一般式
3.二次函数)0a,,(2是常数，cbacbxaxy中yx,是变量，cba,,是常量.自变量x的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a必须是不等于 0的实数.
知识点二 实际问题中的二次函数
22.1.2二次函数2axy的图像和性质
理解
题意 分析问题中的变量和常量及它们之间的关系 列函数
关系式 22.1.3二次函数khxay2的图像和性质
第一课时 二次函数kaxy2的图像和性质
第二课时 二次函数2hxay的图像和性质
第三课时 二次函数khxay2的图像和性质
22.1.4 二次函数)0a,,(2是常数，cbacbxaxy的图象和性质
第一课时 二次函数cbxaxy2的图象和性质
知识点一 二次函数cbxaxy2与khxay2之间的关系
利用二次函数图象平移的规律求平移后的函数的解析式，首先要把函数解析式化为顶点式:khxay2
知识点二 二次函数cbxaxy2的图象和性质
1. 二次函数cbxaxy2的图象是一条抛物线，与抛物线2axy的形状相同，位置不同，利用配方法可以将cbxaxy2转化成顶点式，即
abacabxacbxaxy442222
2. 二次函数cbxaxy2的性质
（1）当0a时，抛物线开口向上，对称轴为直线abx2，顶点坐标为abacab44,22 cbxaxy2 0a 0a
人教版九年级数学上第22章《二次函数》导学案
新目标人教版九年级上册第22章《二次函数》导学案
编制
李应军
1 二次函数 (1)
【学习目标】1. 了解二次函数的有关概念．2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。
3. 确定实际问题中二次函数的关系式。
【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。
【学习过程】一、知识链接：
1.若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的 ，x叫做 。
2. 形如22yx0)k（的函数是一次函数，当______0时，它是 函数；形如 0)k（的函数是反比例函数。
二、自主学习：
1．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x米，则宽为 米，如果将面积记为y平方米，那么y与x之间的函数关系式为y= ，整理为y= .
2.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式__________．
3.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积S与它的半径r之间的函数关系式是 。
5.归纳：一般地，形如 ，（,,abca是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x是自变量，a是__________，b是___________，c是_____________．
三、合作交流：
（1）二次项系数a为什么不等于0？
答： 。
（2）一次项系数b和常数项c可以为0吗？
待定系数法求二次函数的解析式 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
教师姓名范雪飞单位名称新疆石河子第三中学填写时间2020年8月28日
学科数学年级/册九年级/上册教材版本人教版
课题名称第二十二章《二次函数》22.1.4二次函数的图象和性质第2课时
难点名称选用正确的方法求二次函数的解析式
难点分析从知识角度分析为
什么难知识点为中考热点：学生总是不能选择合适的方法求二次函数的解析
式，容易出错。
难点教学方法1.类比
2.函数与方程
3.转化
教学环节教学过程
导入问题：
（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的
点的坐标才能求出来？
知识讲解
（难点突
破）（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，请利用表格中的数据，求二次函数
的解析式.
x-3-2-1012
y010-3-8-15
解法1：选取点（-3，0），（-1，0），（0，-3），求这个二次函数的解
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c （a ≠ 0 ）,将（-3，0），（-1，0），
（0，-3）代入y=ax2+bx+c，得
∴所
求的二次函数的解析式为：y=-x2-4x-3
解法2：选取点（-3，0），（-1，0），（0，-3），求这个二次函数的解析式.
观察表格，此抛物线的顶点坐标是多少？选取顶点（-2，1）和点（-1，0），求这个二次函数的解析式
解法
3：选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的解析式.
课堂练习
（难点巩固）
小结