2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：64 二项式定理含解析
课时作业64 二项式定理
一、选择题
1．C＋2C＋4C＋…＋2n－1C等于( D )
1n2n3nn
A．3n B．2·3
n
C.－1 D.
3n23n－1
2
解析：因为C＋2(C＋2C＋4C＋…＋2n－1C)＝(1＋2)n，所以
0n1n2n3nn
C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝.
1n2n3nn3n－12
2．在
5
的展开式中x的系数为( B )
(x2＋1x)
A．5 B．10
C．20 D．40
解析：∵Tr＋1＝C(x2)5－rr＝Cx10－3r，令10－3r＝1，得r＝3，∴x的
r5(1x)r5
系数为C＝10.
35
3．已知
n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x7
的系数为
(x3＋2x)
( B )
A．5 B．40
C．20 D．10
解析：由题意，二项式n的展开式中各项的系数和为243，令
(x3＋2x)
x＝1，则3
n＝243，解得n＝5，所以二项式5
的展开式的通项公式为
(x3＋2x)
Tr＋1＝C(x3)5－rr＝2rCx
15－4r
，令15－4r＝7，得r＝2，则
r5(2x)r5
T3＝22Cx
15－4×2＝40x7，即x7
的系数为40，故选B.
25
4．(2019·吉林四平联考)1＋(1＋x)＋(1＋x)
2＋…＋(1＋x)n
的展开式的各
项系数之和为( C )
A．2n－1 B．2
n
－1
C．2
n＋1－1 D．2n
解析：令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.
1×2n＋1－1
2－1
5．(3－2x－x4)(2x－1)
6的展开式中，含x3
项的系数为( C )
A．600 B．360
C．－600 D．－360
解析：由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x3项的系数为
3×C23(－1)3－2×C22(－1)
4
＝－600.
3626
6．(2019·内蒙古包头模拟)已知(2x－1)
5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2
＋a1x＋a0，则|a
0|＋|a1|＋…＋|a5
|＝( B )
A．1 B．243
C．121 D．122
解析：令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①
令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②
①＋②，得2(a4＋a2＋a
0
)＝－242，
即a4＋a2＋a0＝－121.
①－②，得2(a5＋a3＋a
1
)＝244，
即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a
0|＋|a1|＋…＋|a5
|＝122＋121＝243.故选B.
7．在
10的展开式中，x2
的系数为( C )
(1＋x＋1x2 015)
A．10 B．30
C．45 D．120
解析：因为10＝10＝(1＋x)10＋C(1＋x)
9
(1＋x＋1x2 015)[1＋x＋1x2 015]
110
＋…＋C10，所以x2只出现在(1＋x)10的展开式中，所以含x
2
1x2 01510(1
x2 015
)
的项为Cx2，系数为C＝45.故选C.
210210
二、填空题
8．(x
2－)8的展开式中x7
的系数为－56.(用数字作答)
1
x
解析：二项展开式的通项Tr＋1＝C(x2)8－r·(－)r＝(－1)rCx16－3r，令
r81xr8
16－3r＝7，得r＝3，故x
7
的系数为－C＝－56.
38
9．若二项式(－)
n
的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，则其
x23x
常数项是13_440.
解析：∵二项式(－)n的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，
x23x
∴n＝10，∴Tr＋1＝C()10－r(－)r＝(－2)
r
C·x，令＝0，解得
r10x23xr10 30－5r6
r＝6，∴常数项是(－2)6C＝13 440.
610
10．(2019·湖南湘东五校联考)若(x＋a)(1＋2x)
5的展开式中x3
的系数为
20，则a＝－.
1
4
解析：(x＋a)(1＋2x)5的展开式中x3的系数为
C·2
2＋a·C·23
＝20，∴40＋80a＝20，解得a＝－.
253514
11．(2019·武汉市调研)在(x＋－4)
5的展开式中，x3
的系数是180.
4
x
解析：(x＋－4)5＝(－4＋x＋)5的展开式的通项Tr＋1＝C(－4)
5－r
·(x＋)
4x4xr54
x
r，r＝0,1,2,3,4,5，(x＋)r的展开式的通项Tk＋1＝Cxr－k
()
4xkr4
x
k＝4kCxr－2k
，k＝0,1，…，r.令r－2k＝3，当k＝0时，r＝3；当k＝1时，
kr
r＝5.∴x
3的系数为40×C×(－4)5－3×C＋4×C×(－4)0
×C＝180.
0335155
12．(2019·广东茂名联考)在(＋x)
65
的展开式中，项的系数为(
x
(1＋1y)
x4
y2
C )
A．200 B．180
C．150 D．120
解析：(＋x)6展开式的通项公式为Tr＋1＝C()6－rxr＝C，令
xr6x
r6
＝4，得r＝2，则T3＝C＝15x
4
.
6＋r
226
5展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr
＝Cy－r，令r＝2可得
(1＋1y)r5(1y)
r5
T3＝Cy－2＝10y－2.故项的系数为15×10＝150.
25x4y2
13．(2019·安徽蚌埠一模)已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)
2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4
，则a2＝( B )
A．18 B．24
C．36 D．56
解析：∵(2x－1)4＝[(2x－2)＋1]4＝[1＋(2x－2)]4＝a0＋a
1(x－1)＋a2
(x－1)
2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，∴a2＝C·22
＝24，故选B.
24
14．(2019·山东济南模拟)
5
的展开式中各项系数的和为2，
(x－ax)(2x－1x)
则该展开式中含x4项的系数为－48.
解析：令x＝1，可得5的展开式中各项系数的和为
(x－ax)(2x－1x)
1－a＝2，得a＝－1，则
5展开式中x4项的系数即是5
展
(x＋1x)(2x－1x)(2x－1x)
开式中的x3项与x5项系数的和．又5展开式的通项为Tr＋1＝C(－1)
(2x－1x)
r5
r·25－r·x5－2r
，令5－2r＝3，得r＝1，令5－2r＝5，得r＝0，将r＝1与r＝0
分别代入通项，可得x3项与x5项的系数分别为－80与32，故原展开式中x
4
项的系数为－80＋32＝－48.
尖子生小题库——
供重点班学生使用，普通班学生慎用
15．(2019·洛阳市第一次联考)已知(1＋ax＋by)5(a，b为常数，
a∈N*，b∈N*)的展开式中不含字母x的项的系数和为243，则函数f(x)＝
，x∈[0，]的最小值为2.
sin2x＋b
2sinx
＋
π4π
2
解析：令x＝0，y＝1，得(1＋b)5＝243，解得b＝2.因为x∈[0，]，所
π
2
以x＋∈[，]，则sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[1，]，所以f(x)＝
π4π43π42π
4
2
＝＝＝sinx＋cosx＋≥2
sin2x＋b
2sinx
＋
π4sin2x＋2sinx＋cosx2sinx·cosx＋2sinx＋cosx1
sinx＋cosx
＝2，当且仅当sinx＋cosx＝1时取“＝”，所以f(x)的
sinx＋cosx
·
1
sinx＋cosx
最小值为2.
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课时跟踪检测：(六十五) 二项式定理 Word版含解析
课时跟踪检测（六十五） 二项式定理一、题点全面练1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)⎝⎛⎭⎫2x2－x43的展开式中的常数项为( )A.－32B.3 2C.6D.－6解析：选D 通项T r ＋1＝C r 3⎝⎛⎭⎫2x 23－r ·(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r·(－1)r x －6＋6r ，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( ) A.－6160B.－122121 C.－34D.－90121解析：选C 由二项式定理，得a 1＝－C 1524＝－80，a 2＝C 2523＝80，a 3＝－C 3522＝－40，a 4＝C 452＝10，所以a 2＋a 4a 1＋a 3＝－34.3.若二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( ) A.560 B.－560 C.280D.－280解析：选A 取x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1,1＋a ＝－1，a ＝－2.二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式的通项T r ＋1＝C r 7·(x 2)7－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 7·(－2)r ·x 14－3r.令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560.4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A.29B.210C.211D.212解析：选A 由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.5.二项式⎝⎛⎭⎫1x －2x 29的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( ) A.－671B.671C.672D.673解析：选B 令x ＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫1x 9－r ·(－2x 2)r ＝C r 9(－2)r ·x 3r －9，令3r －9＝0，得r ＝3，所以该二项展开式中的常数项为C 39(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.6.(2018·石家庄二模)在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A.－5 B.－15 C.－25D.25解析：选B 由题意含x 4项的系数为－2C 35＋C 45＝－15.7.(2018·枣庄二模)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C.1D.2解析：选D ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310.令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210.所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2. 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1D.1或－3解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.9.(2019·唐山模拟)(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析：(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C 3623(－1)3＝－160.答案：－16010.(2019·贵阳模拟)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫a x r ＝a r C r 9x 9－2r，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，解得a ＝－1，所以二项式为⎝⎛⎭⎫x －1x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.答案：011.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为________. 解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5－r .令r ＝5，得常数项为C 55＝1，令r ＝3，得常数项为C 35·2＝20，令r ＝1，得常数项为C 15·C 24＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51.答案：5112.已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n ；(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项.解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝8(n ＝1舍去). (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4(r ＝0,1，…，8)， 要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.(3)设第r ＋1项的系数a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－r C r 8，则a r ＋1a r ＝2－r C r82－(r －1)C r －18＝9－r 2r ≥1， a r ＋1a r ＋2＝2－r C r 82－(r ＋1)C r ＋18＝2(r ＋1)8－r≥1， 解得2≤r ≤3.当r ＝2时，a 3＝2－2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x 2项的系数是( )A.35B.－35C.－56D.56解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以n ＝8.所以二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－x －1)r ＝(－1)r C r 8x8－2r，令8－2r ＝2，得r ＝3，故展开式中含有x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56.2.已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn 的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析：选C 因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63.3.(2019·济南模拟)⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________.解析：令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中含x 4项的系数即是⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中的含x 3项与含x 5项系数的和.又⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得含x 3项与含x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.答案：－48(二)交汇专练——融会巧迁移4.[与复数交汇]设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝( ) A.i B.－i C.－1＋iD.－i －1解析：选D 因为x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，所以C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x2 019＝(1＋x )2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i 2 019－1＝－i －1. 5.[与导数交汇]已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A.39B.310C.311D.312解析：选D 对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312.6.[与定积分交汇]设a ＝⎠⎛012x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6展开式中的常数项为________. 解析：a ＝⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6＝⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x12－3r，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15.答案：15。
10.3二项式定理课件-2025届高三数学一轮专题复习
剩余的 2 个因式中 1 个选 y ，
剩余最后 1 个x y 2中选 2，
转化思想 计数原理
即 C53x3C21 ( y)2 40x3 y2 .
计数原理
考点一 展开式中的通项问题
角度3 三项展开式问题 跟踪训练：
(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________.
方法1： (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含 y2 的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x＝C13x5. 所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30.
＝（1－x）5[1－（1－x）4]＝（1－x）5－（1－x）9
1－（1－x）
x
(1－x)5 中 x4 的系数为 C45＝5，(1－x)9 中 x4 的系数为 C49＝126.
考点一 展开式中的通项问题
角度2 两个二项式之积
例2
(2023·湖南名校大联考)
x3
2
2x
1 x2
6
的展开式中的常数项为
Tr＋1＝Cr6y6－r
－2 x2
r＝(－2)rCr6y6－rx－2r，
可知 r＝4 时，系数最大(－2)4C46＝240，对应项为 240x－8y2.
归纳总结，形成结构
展开式的通项
公4式.解法决、这分些类问题思的想、 计数方原法理有、哪赋些？值法
求特定项
2.复二习项了式哪系些数概、念、 公项式的、系性数质？
.
方法提炼
赋值法是解 决此类问题 的基本方法.
考点二 二项式系数的和与各项系数和问题
拓展训练：
1.若 1 x 10 a0 a1x a2x2 则 a10x10, a1 2a2 10a10
高考数学一轮专项复习练习卷-通用版跟踪检测-二项式定理(含解析)
限时跟踪检测-二项式定理一、单项选择题1．(2024·北京西城区模拟)在x－2x5的展开式中，x的系数为()
A．40B．10C．－40D．－102．(2024·河北衡水模拟)已知(x－2)(x＋m)5＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，m为常数，若a0
＝2，则a5
＝()
A．－7B．－2C．3D．73．已知(1＋λx)n的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，且(1＋λx)n
＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2
＋…＋a
n＝242，则实数λ＝()
A．3B．2C．1D．4
4．二项式x＋13x30的展开式中，其中是无理项的项数共有()
A．27项B．24项C．26项D．25项5．(2024·山东菏泽模拟)若(a－x)(2＋x)6的展开式中x5
的系数是12，则实数a的值为
()A．4B．5C．6D．76．20232022被20222
除的余数是()
A．1B．0C．2023D．20227．设(2x－3)6＝a0＋a1x＋…＋a6x6，则(a1＋a3＋a5)2－(a0＋a2＋a4＋a6)2
＝()
A．－1B．0C．1D．28．若(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，则2·a1－22·a2＋23·a3－24·a4＋…＋22
023·a2023的值为()
A．－12·(32023＋52023)B．－52023
C．1－52023
D．－1－32023二、多项选择题9．(2024·河北沧州模拟)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023
，则()
A．展开式中所有项的二项式系数和为22023
B．展开式中系数最大项为第1350项
C．a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝32023
－1
2
D．a12＋a222＋a323＋…＋a2023
22023
＝－1
10．(2024·河北张家口模拟)已知(ax2－1)x＋bx5(b>0)的展开式中含x项的系数为30，1x项
2020版高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习-10.3第三节 二项式定理
2.在 (x a )5 的展开式中x3的系数等于-5,则该展开式各项的系数中最大值
x
为( )
A.5
B.10
C.15
D.20
【解析】选B.Tr+1=C5r x5-r
( a=)(r -a)r
x
x 5C-25r r,r=0,1,2,…,5,由5-2r=3,
解得r=1,所以(-a) C=15 -5a=-5,解得a=1,所以Tr+1=(-1)r Cx5r 5-2r,r=0,1,2,…,
D.7
【解析】选B.根据二项展开式的通项公式得
Tr+1= Crn(3x)n-r· ( 1 )r = Crn·3n-r· xn(52rr=x0,x1,2,…,n).
若Tr+1是常数项,则有n-
5r=0,
2
即2n=5r(r=0,1,…,n).
当r=0,1时,n=0, 5 ,不满足条件;
2
当r=2时,n=5.
B.243
C.32
D.24
【解析】选A.令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4-a5 =|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=[1-(-3)]5 =45=1 024.
【对点练通】
1.使 (3x 1 )n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为 ( )
xx
A.4
B.5
C.6
( 1=)r(-1)r
x
·3C99r -rx18-3r,令18-3r=0得r=6,
所以常数项为T7=(-1)6 C96·33=27C39 .
2.(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=( )
二项式定理课件-2025届高三数学一轮复习
解析 表示5个因式 的乘积，在这5个因式中，有2个因式选,其余的3个因式中有一个选,剩下的2个因式选,即可得到含的项，故含 的项的系数是 .
4.（改编）若 的展开式的第6项为常数，则展开式中所有有理项的个数为___.
3
解析 根据题意，可得 的展开式的通项公式为 ， 由第6项为常数项，得当时，，解得 . 因此，若为有理项，则，且，1,2,3, ,10，分析可得当,5,8时， ，则展开式中所有有理项的个数为3.
基础课55 二项式定理
基础知识·诊断
考点聚焦·突破
考点考向
课标要求
真题印证考频热度核心素养来自二项式定理掌握
2023年北京卷 2023年天津卷 2022年新高考Ⅰ卷
★★★
逻辑推理数学运算
二项式系数的性质
理解
2022年浙江卷
★★☆
逻辑推理数学运算
命题分析预测
从近几年高考的情况来看，选择题、填空题都出现过，属于基础题，命题热点是以展开式通项公式为载体求相关项的系数.预计2025年高考命题情况变化不大，应重视基础，夯实一轮复习
能
解析 ,上式中的每一项都可以被整除，故能被 整除.
题组3 走向高考
5.（2023 · 天津卷）在的展开式中， 项的系数为____.
60
解析 展开式的通项公式为 ，令可得，，则项的系数为 .
考点聚焦·突破
考点一 二项展开式的特定项或特定系数［自主练透］
1.（2023 · 北京卷）在的展开式中， 的系数为( ) .
二项式系数的最值问题
典例2 （2024 · 济南模拟）若二项式 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中 的指数为整数的项的个数为( ) .
D
2020届一轮复习数学(理)：第11章第2讲 二项式定理 课件(39张)
������60+������61+������62+������63+������64 +������65+������66=26=64.
理科数学 第十一章：计数原理
(3)[2015 新课标全国Ⅱ,15,5分][理](a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的
系数之和为32,则a=
.
思维导引 展开后根据已知条件列方程求解或运用分配律结合通项求解.
理科数学 第十一章：计数原理
解析 解法一 (������2 + ������ + ������)4=[(������2 + ������)+������]4,(把“三项”当“两项”看) 其展开式的第r+1项的通项公式为Tr+1=������4r(������2 + ������)4−ry r,(利用通项公式求解) 因为要求x 3y 2的系数,所以r =2,即T3=������42(������2 + ������)4−2y 2=6(x 2+x )2y 2. 因为(x2 + x)2的展开式中x3的系数为2,所以x3y2的系数是6×2=12. 解法二 (x2+x+y )4 表示4个因式x2+x+y 的乘积, 在这4个因式中,有2个因式选y ,其余的2个因式中有一个选x,剩下的一个选x2 , 即可得到含x 3y 2 的项,(利用组合数公式求解) 故x3y2的系数是������42·������21·������11=12.
人教版2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业65 二项式定理(含答案)
课时作业65 二项式定理1．(2019·唐山五校联考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 6的展开式中的常数项为( A )A ．15B ．－15C ．20D ．－20解析：依题意，T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r6(－1)r x 12－3r ，令12－3r ＝0，则r ＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 6的展开式中的常数项为C 46(－1)4＝15，选择A.2．(2019·山东滨州模拟)(2－x )n 的展开式中所有二项式系数和为64，则x 3的系数为( A )A ．－160B ．－20C ．20D ．160解析：由(2－x )n 的展开式中所有二项式系数和为64，得2n ＝64，即n ＝6.(2－x )6的通项为T r ＋1＝C r 6·26－r ·(－x )r ＝(－1)r ·C r 6·26－r ·x r， 取r ＝3，可得x 3的系数为(－1)3·C 36·23＝－160.故选A.3．(2019·河南信阳模拟)(x 2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是( D )A ．5B ．－10C ．－32D ．－424．(2019·山东烟台模拟)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( B )A ．5B ．40C ．20D ．10解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n的展开式的各项系数和为243，得3n ＝243，即n＝5，∴⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 5，则T r ＋1＝C r 5·(x 3)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r ·C r 5·x 15－4r ，令15－4r ＝7，得r ＝2， ∴展开式中x 7的系数为22×C 25＝40.故选B.5．(2019·安徽马鞍山模拟)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( D )A ．3B ．5C ．6D ．76．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01810的展开式中，x 2的系数为( C )A ．10B ．30C ．45D ．120解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01810＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋1x 2 01810＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x2 018＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 01810，所以x 2只出现在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.7．(2019·海口调研)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( D )A.13 B.12 C ．1D ．2解析：由题意得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1xk＝C k 10x10－2k ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.8．已知n 为满足S ＝a ＋C 127＋C 227＋C 327＋…＋C 2727(a ≥3)能被9整除的正数a 的最小值，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n 的展开式中，二项式系数最大的项为( B )A ．第6项B ．第7项C ．第11项D ．第6项和第7项解析：由于S ＝a ＋C 127＋C 227＋C 327＋…＋C 2727＝a ＋227－1＝89＋a －1＝(9－1)9＋a －1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99＋a －1＝9×(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)＋a －2，a ≥3，所以n ＝11，从而⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中的系数与二项式系数只有符号差异，又中间两项的二项式系数最大，中间两项为第6项和第7项，且第6项系数为负，所以第7项系数最大．9．(2018·天津卷)在⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 5的展开式中，x 2的系数为52.11．(2019·广州五校联考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则log 2a ＋log 2b ＝0.12．(2019·江西赣州十四县联考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，且满足4A ＝9(C －B )，则展开式中x 2的系数为5627.13．(2019·河北邯郸模拟)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( C )A ．15B ．45C ．135D ．40514．(2019·漯河质检)若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n 等于( D ) A.34(3n －1)B.34(3n －2) C.32(3n－2)D.32(3n－1)解析：在展开式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n)1－3＝32(3n－1)．15．(2019·湖北黄冈模拟)设(1－ax )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2018x 2 018，若a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 018a 2 018＝2 018a (a ≠0)，则实数a ＝2.解析：已知(1－ax )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018，两边同时对x 求导，得2 018(1－ax )2 017(－a )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋2 018a 2 018x 2 017， 令x ＝1得，－2 018a (1－a )2 017＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 018a 2 018＝2 018a ，又a ≠0，所以(1－a )2 017＝－1， 即1－a ＝－1，故a ＝2.16．若等差数列{a n }的首项为a 1＝C 11－2m 5m－A 2m －211－3m (m ∈N )，公差是⎝ ⎛⎭⎪⎫52x －253x2n 的展开式中的常数项，其中n 为7777－15除以19的余数，则a n 的通项公式为104－4n .解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧5m ≥11－2m ，11－3m ≥2m －2⇒117≤m ≤135， 又m ∈N ，∴m ＝2，∴a 1＝C 710－A 25＝100.∵7777－15＝(19×4＋1)77－15＝C 077＋C 177(19×4)＋…＋C 7777(19×4)77－15＝(19×4)[C 177＋C 277(19×4)＋…＋C 7777(19×4)76]－19＋5，∴7777－15除以19的余数为5，即n ＝5.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫52x －253x 25展开式的通项为令5r －15＝0，得r ＝3，∴公差d ＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫525－6(－1)3＝－4， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝104－4n .。
高考数学一轮复习 10.2二项式定理课件
1.已知
x
展1x 开7 式的第4项等于5,则x等于 (
)
A. 1 B.1- C.7 D.-7
7
7
答案 B 由T4= xC437 =51x得3x=- ,故17选B.
2.在 x的 二2x 项n 展开式中,若常数项为60,则n等于 (
)
A.3 B.6 C.9 D.12
r N.
令 10 =2kr(k∈Z),则10-2r=3k,
3
即r=5- 3 k.
2
∵r∈N,且0≤r≤10,
∴k可取2,0,-2,即r可取2,5,8.
∴第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为
C120
x122, 2
C,15 0
1 2
5
x-2. C180
1-1 已知在 3 x的 展231开x 式n 中,第6项为常数项.
(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
解析 (1)通项公式为
nr
Tr+1= Crn x 3
12= r x
r 3
Crn,
1 2
r
n2r
大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m= (
)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 解析
(1)C (2)B
a r
1
(1)Tr+1= C·7r(2x)7-r· x=27-r aCr·7r .x令2r27r-7=3,则r=5.由22· a5=C8457 得
答案
B
通项Tr+1= (C rn)n-r·x
高三一轮复习二项式定理.pptx
＝15.
(2)含 x4 的项为 C38x5( a )3＝C38a3x4， 3 x
∴C38a3＝7，∴a＝12.
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(3)a＝∫π20(sin2x2－12)dx＝∫π20(1－c2os x－12)dx
＝∫π20(－co2s x)dx＝－12.此时二项式的展开式的通项为 Tr＋1＝
Cr9(－12x)9－r(－
第33页/共43页
考点二
二项式系数或各项系数和
【例2】 (1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋ y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b。若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)在二项式 x2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项 系数的和为( )
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3．求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．
【证明】因为 n∈N*，且 n>2，
所以 3n＝(2＋1)n 展开后至少有 4 项．
(2
＋
1)n
＝
2n
＋
C
1 n
·2n
－
1
＋
…＋
Cnn－1
·2 ＋
1≥2n
＋
n·2n
－
1
＋
2n
＋
1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，
所以 T4＝C36x3(－2)3＝－160x3，所以 x3 项的系数为－160.
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2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )
10.2二项式定理-高三数学一轮复习课件
3．(教材改编)若(x－1)4 ＝a0 ＋a1x＋a2x2 ＋a3x3 ＋a4x4 ，则a0 ＋a2 ＋a4
的值为(
)
A．9
B．8
C．7
D．6
答案：B
解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝
16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.故选B.
1 n
题型二 二项式系数的和与各项系数的和
例 4(1)若(3x＋ x)n的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比
15
值是32，则展开式中x3项的系数是________．
n
4
解析：令x＝1，得所有项的系数和为4n，二项式系数和为2n，所以 n ＝2n＝32，
2
1
k
即n＝5，(3x＋ x)5的第k＋1项为5 ·(3x)5－k·( 2 )k＝5 ·35－k· 5−2 ，令5－ ＝3，得
角度一 二项展开式的特定项
1 8
例 1(1)[2023·黑龙江哈尔滨模拟]在( x + x) 的展开式中x5的系数为
2
(
)
45
45
A．
B．－
4
35
C．
8
8
D．7
答案：D
1
解析：二项式( x + x)8 展开式的通项为Tk＋1 ＝C8k (
2
1
1
令4＋ k＝5，解得k＝2，所以T3＝C82 x5·( )2＝7x5，
x
(2)(
2
1
x
+ +
63 2
2)5的展开式中的常数项为______．
2
x2 +2 2x+2 5