2020年高考极坐标与参数方程题型归纳

极坐标与参数方程题型归纳
【知识点】
一、在平面内取一个定点为极点，引一条射线为叫做极轴，再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.对于平面内的点，设，，称、为点的极径、极角，有序数对就叫做的极坐标.
二、直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到：（求
点的直角坐标的公式），（求点的极坐标的公式,求极角时要先定位后定量）.
=R θαρ∈（）表示过原点且倾斜角为α的直线, =0θαρ≥（）表示过原点且倾斜角为α的向上的射线.
三、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标中，如果曲线C 上任一点M 的坐标,x y 都是某个变数t
的函数()()x f t y g t ì=ïí=ïî，反过来，对于t 的每个允许值，由函数式()
()x f t y g t ì=ïí=ïî所确定的点(,)M x y 都在曲线C 上，
那么方程()
()
x f t y g t ì=ïí=ïî叫做曲线C 的参数方程，联系变数,x y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程
而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程．四、常见曲线的参数方程：
（1）圆的参数方程为（为参数）；
（2）椭圆的参数方程为（为参数）；
（3）双曲线的参数方程（为参数）；
（4）抛物线参数方程为参数）；
O OX M ||OM =
ρθ
XOM =∠ρθM (,)ρθM O x P ),(y x ),(θρcos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩222tan x y y x ρθ⎧=+⎪
⎨=
⎪⎩
222
00()()x x y y r -+-=⎩⎨
⎧+=+=θ
θ
sin cos 00r y y r x x θ122
22=+b y a x ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x θ122
22=-b y a x ⎩⎨⎧==θ
θtan sec b y a x θ2
2y px =2
22x pt y pt ⎧=⎨=⎩
(t
（5）过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点A 在定点
上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点下方时,0,||t t PB <=-且.
【方法讲评】
【例1】【2017课标3，理科22】在直角坐标系xoy 中，直线l 1的参数方程为2+,
,x t y kt =⎧⎨=⎩
（t 为参数），直
线l 2的参数方程为2,
,x m m m
y k =-+⎧⎪
⎨=⎪⎩
（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ)−2=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.
【反馈检测1】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 1,
2sin x y αα=+⎧⎨=⎩
（α为参数）．以平
面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线1C 和2C 公共弦的长度．
),(00y x P α⎩⎨
⎧+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x t ),(00y x P ),(00y x P
【例2】【2017课标II ，理22】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值.
【反馈检测2】在直角坐标系xOy 中，曲线1:4C x y +=
，曲线为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；
（2
）若射线分别交12,C C 于,A B 两点，
【例3】【2017课标1，理22】在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为sin ,y θ⎧⎨=⎩（θ为参数），
直线l 的参数方程为4,
1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩
（为参数）.
（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l a .
21cos :(sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩
O ():0l p θα=>
【反馈检测3】（2016年全国III 高考）在直角坐标系中，曲线
的参数方程为sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩
(θ为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（II ）设点P 在上，点Q 在上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.
【例4】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32
x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为(，求PA PB +.
【反馈检测4】在极坐标系中，曲线C 的方程为，点．以极点为原点，极
轴为轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，求
xOy 1C x 2C sin()4
ρθπ
+=1C 2C 1C 2C 2
cos 29ρθ=O x OP C OP C A B
【反馈检测5】在直角坐标系xOy 中，直线l 过(2,0)M ，倾斜角为α（0α≠）．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
sin 4cos ρθθ=．（1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且||2||MA MB =，求直线l 的斜率k ．。

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高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)本文介绍了高考极坐标与参数方程大题题型，并给出了三个例子进行解答。

例1：在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为(x-1)^2+y^2=1，求圆C的极坐标方程。

解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=2cosθ。

例2：已知直线l的参数方程为x=-4t+a，y=3t-1，在直角坐标系xoy中，以O点为极轴建立极坐标系，设圆M的方程为ρ^2-6ρsinθ=-8.求圆M的直角坐标方程和实数a的值。

解析：将ρ和θ用x和y表示，得到x+(y-3)=1，然后将直线l的参数方程化为普通方程，得到3x+4y-3a+4=0.根据圆心到直线的距离和直线截圆所得弦长的关系，解得a=12或a=22/3.例3：已知曲线C的参数方程为x=2+5cosα，y=1+5sinα，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。

求曲线C的极坐标方程和直线l被曲线C截得的弦长。

解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=5.将直线l的极坐标方程化为普通方程，得到ρ(sinθ+cosθ)=1.由于曲线C是一个圆，因此直线l与曲线C的交点分别为A(7π/4.3+2√2)和B(3π/4.3-2√2)，弦AB的长度为4√2.1) 曲线C的参数方程为：x=9\cos^3\theta,\ y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为$x+y-1=0$。

2) 设$P(9\cos^3\alpha,3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离为$d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$。

为求$d$的最大值，我们可以将$d$表示为$10\cos(\alpha+\theta)+\frac{1}{\sqrt{2}}$的形式，其中$\theta$为一个与$\alpha$无关的常数，且$\tan\theta=\frac{1}{3}$。

专题12-1 参数方程与极坐标归类-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(原卷版)

【提分秘籍】
基本规律
极坐标一线两点（一般直线或射线过极点）：
| AB | |2 -1|=|B A（| 若是韦达定理型，则= 2 +1 2 -421）
【变式演练】
在平面直角坐标系中，曲线
C1
的参数方程为
x y
3 cos 2 sin
（
为参数），以
O
为极点，x
，求
AB
.
【题型二】参数方程难点 1：万能代换型消参
【典例分析】
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x
1 1
t t
2 2
，
（t
为参数）．以坐标原点
O
为极点，x
轴的
y
1
4t t
2
正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0 ．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
三、极坐标体系弦长公式
(1)一线两点（一般直线（射线）过极点
| AB | |2 -1|=|B A（| 若是韦达定理型，则= 2 +1 2 -421）
（2）两线两点：余弦定理 | AB |2 =22 +12 -221 co（s 2 -1)
【变式演练】
在直角坐标系
xOy
中，曲线 C1 的参数方程为
l
的极坐标方程为
sin
3
2
.
(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，经过点 P 的动直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，证明： PA PB 为定值.

2020年新课标(全国卷3)高三一轮复习讲义(文理通用)(十七)极坐标与参数方程

2020年新课标(全国卷3)高三一轮复习讲义（十七）极坐标与参数方程设点),(y x P 由是平面直角坐标系中任意一点，在变换()(),,00x x y y λλϕμμ⎧=⋅>⎪⎨=⋅>⎪⎩：的作用下，点),(y x P 的对应点),('''y x P ，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。

平面内任意一点P 的指角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ：极坐标与直角坐标的互化公式： cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ； 222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ的确定还要结合坐标所在象限）说明：通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ＜π2。

圆的参数方程:圆心在1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程为:()cos sin x a r y b r θθθ⎧⎨⎩=+=+为参数.椭圆的参数:椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．抛物线的参数:抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt .直线的参数:过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线的参数的几何意义:过定点P （对应参数t =0）的直线与圆锥曲线相交，交点为A B 、，设A B 、所对应的参数为t 1，t 2.则A B 、中点对应的参数为122t t +。

则○11PA t =，2PB t =，12AB t t =-； ○2若P 是弦AB 的中点：120t t +=。

将直线l 的参数方程代入圆锥曲线的方程,得到关于t 的二次方程,由判别式Δ和韦达定理得t 1+t 2, t 1t 2的值。

2020年高考复习数学-坐标系与参数方程

1、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·x(λ＞0)，y′＝μ·y(μ＞0)的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2、极坐标系的概念：(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．结论：过极点的直线ρ＝θ与曲线相交于A、B两点，则|AB|=21ρρ-。

3、极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x＝ρcos θ，y＝ρsin θ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)4、简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2r cosθ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2圆心为⎝⎛⎭⎫r，π2，半径为r的圆ρ＝2r sinθ(0≤0＜π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π2过点⎝⎛⎭⎫a，π2，与极轴平行的直线ρsin θ＝a(0＜θ＜π)第十六章坐标系与参数方程5、参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．6、直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0(x 0，y 0)的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长|M 1M 2|＝|t 1－t 2|； ②|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|； ③|M 0M 1|＋|M 0M 2|＝|t 1|＋|t 2|=0,0,21212121{>+<-t t t t t t t t .④若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)．突破点一平面直角坐标系下图形的伸缩变换例1 1、(1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标．(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，变换后所得到的直线l ′的方程．[解] (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求．(2)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝⎛⎭⎫13x ′，∴y ′＝x ′，即y ＝x 为所求．2、求椭圆x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.3、若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期．解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π. [方法技巧] 伸缩变换的解题方法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)的作用下得到的方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为变换之后的方程．突破点二极坐标与直角坐标的互化例2 1、在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． [解] (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233，所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．2、在极坐标系中求曲线ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3与直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1的两个交点之间的距离．解：由极坐标与直角坐标的互化关系可知曲线ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝4，直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0，所以两交点间的距离即直线被圆截得的弦的长，由垂径定理可求得弦长为23，即两交点之间的距离为2 3.3、已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.由坐标变换公式，得x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 4、在极坐标系中，求直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长． [解] 由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|－22|2＝2，由圆中的弦长公式，得弦长l ＝2r 2－d 2＝242－22＝4 3.故所求弦长为4 3.5、在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.6、(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.突破点三参数方程与普通方程的互化例3 1、将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (3)⎩⎨⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)．解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k1＋k 2，得x ＝3·y2x 1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]，故所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．(3)∵⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1，∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1.又x ＝1t，∴x ≠0. 当t ≥1时，0＜x ≤1；当t ≤－1时，－1≤x ＜0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤1，0≤y ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＜0，－1＜y ≤0. 2、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．解： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6，所以l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.3、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ 2. (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角； (2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2，所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0，所以|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.4、(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.5、在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标； (2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|P A |·|PB |的值．解：(1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫92，332.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪8cos 2α－sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8(1＋tan 2α)1－tan 2α，由已知得tan α＝2，故|P A |·|PB |＝403. 突破点四参数方程与极坐标方程的综合问题例4 1、(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解： (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k(x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.2、在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得|－6k |1＋k 2＝25－⎝⎛⎭⎫1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153.法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.3、(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围； (2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2或α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.1、在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，求实数a 的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x －y ＋a ＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，所以圆心C 的坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线的距离为|1＋2＋a |2＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝2，解得a ＝－5或a ＝－1.故实数a 的值为－5或－1.2、在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，所以圆C 的半径|PC |＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3、在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－ θ＝2，则直线l 过A (4,0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.如图，连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.所以直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.4、已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度和点M (－1,2)到A ，B 两点的距离之积．解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为3π4，所以它的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝2＋t sin 3π4(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，把它代入抛物线的方程，得t 2＋2t －2＝0，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－2，由参数t 的几何意义可知|AB |＝|t 1－t 2|＝10， |MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.5、已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)．(1)求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋55t ，得55t ＝x －1，代入y ＝4＋255t ，得y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为2x －y ＋2＝0.(2)圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝⎛⎭⎫2552＝1，解得m ＝3或m ＝1.6、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ. (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点M 在直角坐标系中的坐标为(2,2)，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝2＋12t .y ＝2＋32t ，消去参数t 可得y ＝3(x －2)＋2，∴直线l 的普通方程为3x －y ＋2－23＝0.∵ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ，∴ρ2sin 2θ＋4ρsin θ＝ρ2.∵ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t代入抛物线方程x 2＝4y 中，可得⎝⎛⎭⎫2＋12t 2＝4⎝⎛⎭⎫2＋32t ，即t 2＋(8－83)t －16＝0. ∵Δ＞0，且点M 在直线l 上，∴此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2， ∴t 1t 2＝－16，∴|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝16.7、以极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的单位长度相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，过点M (2，－2)且倾斜角为α的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求曲线C 的直角坐标方程，并用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为直线的倾斜角，t 为参数)的形式写出直线l 的参数方程； (2)若M 是线段AB 的中点，求α的值．解：(1)由ρ＝4cos θsin 2θ得ρsin 2θ＝4cos θ，∴ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即y 2＝4x (x ≠0)，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x (x ≠0)；直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，0≤α＜π)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝－2＋t sin α代入y 2＝4x (x ≠0)得(sin 2α)t 2－4(sin α＋cos α)t －4＝0，∴t 1＋t 2＝4(sin α＋cos α)sin 2α＝0，∴α＝3π4. 8、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋t (t 为参数，m ∈R)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝33－2cos 2θ(0≤θ≤π)．(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点P 是曲线C 2上一点，若点P 到曲线C 1的最小距离为22，求m 的值．解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t ，可得C 1的普通方程为x －y ＋m ＝0. 由曲线C 2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos 2θ＝3，θ∈[0，π]，∴曲线C 2的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1(0≤y ≤1)．(2)设曲线C 2上任意一点P 的坐标为(3cos α，sin α)，α∈[0，π]，则点P 到曲线C 1的距离d ＝|3cos α－sin α＋m |2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋m 2.∵α∈[0，π]，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤－1，32，2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈[－2，3]．由点P 到曲线C 1的最小距离为22得，若m ＋3＜0，则m ＋3＝－4，即m ＝－4－3；若m －2＞0，则m －2＝4，即m ＝6；若m －2≤0，m ＋3≥0，即－3≤m ≤2时，⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋m min ＝0，不合题意，舍去．综上，m ＝－4－3或m ＝6.9、已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的32倍，得到曲线C 2，设点P是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．解：(1)由已知得l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1解得l 与C 1的交点为A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，－32，则|AB |＝1.(2)由题意，得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12cos θ，32sin θ，从而点P 到直线l 的距离是d ＝⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋2，当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为23－64. 10、极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π]． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)的距离最短，写出D 点的直角坐标．解：(1)由ρ＝2sin θ可得ρ2＝2ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2(t 为参数)，消去t 得l 的普通方程为y ＝－3x ＋5，由(1)得曲线C 的圆心为(0,1)，半径为1，又点(0,1)到直线l 的距离为|1－5|1＋3＝2＞1，所以曲线C 与l 相离．设D (x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短，则曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行，∴y 0－1x 0·(－3)＝－1，又x 20＋(y 0－1)2＝1，∴x 0＝－32(舍去)或x 0＝32，∴y 0＝32， ∴点D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，32.11、【2019年全国Ⅱ卷】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【解】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos 23OP OA π==．设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．。

十年(2011-2020)数学高考真题分项详解专题34 极坐标系与参数方程(逐题详解)

专题34 极坐标系与参数方程参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用文理23 参数方程的求法，参数方程的应用文理23极坐标系与参数方程极坐标系与参数方程直线与圆的位置关系，圆的参数方程，点的轨迹方程求法参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的考点116 平面直角坐标系中的伸缩变换考点117 极坐标和直角坐标的互化1．（2020全国Ⅱ文理21）已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．2．（2020全国Ⅲ文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数且1t ≠），C 与坐标轴交于,A B 两点．（1）求AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．3．（2020江苏22）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．4．（2019全国II 文理22）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．5．(2019全国III 文理22）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．考点118 参数方程与普通方程的互化6．（2020上海14）已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是（）A ． 1314x ty t =+⎧⎨=-+⎩ B ．1413x ty t =-⎧⎨=--⎩ C ． 1314x ty t =-⎧⎨=-+⎩ D ． 1413x ty t =+⎧⎨=--⎩7．（2018全国Ⅲ）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．考点119 极坐标方程与参数方程的综合应用8．（2018北京文理）在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =___．9．（2017北京文理）在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0)），则||AP 的最小值为___________．10．（2017天津文理）在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____．11．（2016北京文理）在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则||AB = ．12．（2015广东文理）已知直线l 的极坐标方程为2sin()4πρθ-=Α的极坐标为7)4πA (，则点Α到直线l 的距离为． 13．（2015安徽文理）在极坐标系中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是． 14．（2020全国Ⅰ文理21）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．15．（2019全国1文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．16．(2018全国Ⅰ文理) 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．2cos sin 110ρθθ+=17．（2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．18．（2018江苏）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．19．（2017全国Ⅰ文理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l ，求a ．20．（2017全国Ⅱ文理）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．21．（2017全国Ⅲ文理）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．22．（2017江苏）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．23．（2016全国I 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．（I ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（II ）直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．24．（2016全国II 文理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，10AB =，求l 的斜率．25．（2016全国III 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．26．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为()11,2,x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．27．（2015全国Ⅰ文理）在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN ∆的面积．28．（2015全国Ⅱ文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠0）其中0απ<≤，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C：ρθ=．（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．29．（2015江苏）已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径．30．（2015陕西文理）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=．（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．31．（2014全国Ⅰ文理）已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．32．（2014全国Ⅱ文理）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．33．（2013全国Ⅰ文理）已知曲线1C 的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为．（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0ρ≥，02θπ≤≤）．34．（2013全国Ⅱ文理）已知动点，都在曲线：上，对应参数分别为与（02απ<<）为的中点．（Ⅰ）求的轨迹的参数方程（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．35．（2012全国文理）已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ．正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π．（Ⅰ）求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围．45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩t x 2sin ρθ=P Q C ()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数βα=2βα=M PQ M M d αM36．（2011全国文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为（为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足，P 点的轨迹为曲线2C (Ⅰ)求2C 的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求． 2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩α2OP OM =3πθ=AB。

2020年高三数学高考试题精编：15.3极坐标与参数方程

第十五章新增内容和创新题目三、极坐标与参数方程【考题分类】（一）选择题（共 3题）（A ）两个圆（C ）一个圆和一条射线【答案】C（B ）两条直线（D ） —条直线和一条射线cos和参数方程y 2 3t （ t 为参数）所表示的图形分别是 A 、圆、直线 C 圆、圆【答累】ALB 析】极坐标方程口二込召化備普通方程加「十护亍十資“施的方程：餐数方程［"T7化为普通方程为弘+¥+1=0吕工+叶1 = 0次的直线闻亓程，故选A【命题意图】朮题考査H1的极坐标方程和直址的参数右程与互化普通右程的属容易题x 1 t3.（湖南卷文4）极坐标P c °s 和参数方程 y 2 t （t 为参数）所表示的图形分别是 A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D. 圆、直线【解析】扱坐标方程卩二匚小&化为普通方程为：工r b’s 工*十厂二片为圆的方程：萝数方程尸一一。

化为普通方程丸X+L +1 = 03¥+L —1 = 0为的直线的方程，故选 y =2+3/」D（二）填空题（共 4题）1.（广东卷理 15）在极坐标系（P,0）（0 <0 <2 n ）中，曲线p =2sin 与pcos 1的交点的极坐标为 _____________塔案】（、児）1.（北京卷理5）极坐标方程（p-1）（）=（p 0）表示的图形是【解析】•原方程等价于，前者是半径为1的圆，后者是一条射线。

2.（湖南卷理3文4）极坐标方程、直线、圆、直线、直线【解析】. 由极坐标方程与普通方程的互化式 cos ,sin知，这两条曲线的普通方程分2别为X 2 y 2y ,x 1•解得 y1,1.由 cos ,sin得点（-1 , 1）的极坐标为2.（广东卷文15）在极坐标系（p. ）（0 v 2）中，曲线 cos sin 1与sin cos 1的交点的极坐标为 w*w.k s 5 u.c*o*m解：转化为直角坐标系下^-Fv=l 与］-"1的交鬲可知奁点舟（L 0）垓点■在极坐标系下耒示丸］ x cos3.（陕西卷理15C ）已知圆 C 的参数方程为y 1sin（a 为参数）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线 I 的极坐标方程为sin 1,则直线I 与圆C 的交点的直角坐标系为【答案】1,1,11 【解析】由题设知，在直角坐标系下, 直线I 的方程为 2y 1，圆c 的方程为X又解方程组，得 1.故所求交点的直角坐标为1,1, 1,1cos 4.（陕西卷文【答案】X2 + （三）解答题（共 4题） 15C ）参数方程 (y — 1) 2= 1 1 sin (为参数）化成普通方程为1.（福建卷理21②）在直角坐标系 y xOy 中，直线I 的参数方程为三3t2 .5 2t2 （t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点 °为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为 2'5sin。

2020年高考数学精选专题(含答案详解)16 坐标系与参数方程

2020年高考数学精选专题（含答案详解）一、填空题（共6题；共6分）1.若曲线 ρ=2√2 上有 m 个点到曲线 ρsin(θ−π4)=√2 的距离为 √2 ，则 m 的值为________. 2.在直角坐标系 xOy 中，圆 O 的方程为 x 2+y 2=1 ，将其横坐标伸长为原来的 √2 倍，纵坐标不变，得到曲线 C ，则曲线 C 的普通方程为________．3.若曲线 {x =2sinθy =sin 2θ (θ 为参数),与直线 y =a 有两个公共点则实数 a 的取值范围是________.4.在极坐标系 (ρ,θ) (0≤θ<2π) 中，曲线 ρ(sin θ+cos θ)+2=0 与 ρ(sin θ−cos θ)+2=0 的交点的极坐标为________；5.已知直线 l 的参数方程为 {x =4−3t y =√3t （ t 为参数），曲线 C 的参数方程为 {x =2+cosθy =sinθ （ θ 为参数）则它们公共点的坐标为________．6.已知直线 l:{x =−35t +2y =45t ( t 为参数)与 x 轴交于点 M ，点 N 是圆 x 2+y 2−4y =0 上的任一点，则 |MN| 的最大值为________．二、解答题（共9题；共85分）7.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 {x =−1+tcosαy =2+tsinα( t 为参数),其中 α≠kπ+π2,(k ∈Z) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0 .（1）求曲线 C 2 的直角坐标方程;（2）已知曲线 C 1 与曲线 C 2 交于 A,B 两点,点 P(−1,2) ,求 |PA|+|PB| 的取值范围.8.在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ=π3 (ρ∈R) ．以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程为 {x =2sinαy =1−cos2α ,（ α 为参数）．（1）请写出直线 l 的参数方程;（2）求直线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标．9.以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴.已知曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ+8sinθ ，P 是 C 1 上一动点， OP⃗⃗⃗⃗⃗ =2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，Q 的轨迹为 C 2 . （1）求曲线 C 2 的极坐标方程，并化为直角坐标方程，（2）若点 M(0,1) ，直线l 的参数方程为 {x =tcosαy =1+tsinα （t 为参数），直线l 与曲线 C 2 的交点为A ，B ，当 |MA|+|MB| 取最小值时，求直线l 的普通方程.10.在同一平面直角坐标系 xOy 中，经过伸缩变换 {x ′=2x,y ′=y 后，曲线 C 1:x 2+y 2=1 变为曲线 C 2 .（1）求 C 2 的参数方程；（2）设 A(2,1) ，点 P 是 C 2 上的动点，求 △OAP 面积的最大值，及此时 P 的坐标． 11.设 A 为椭圆 C 1 ：x 24+y 224=1 上任意一点，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ2−10ρcosθ+24=0 ， B 为 C 2 上任意一点. （Ⅰ）写出 C 1 参数方程和 C 2 普通方程；（Ⅱ）求 |AB| 最大值和最小值.12.曲线C 的参数方程为 {x =mt +mty =t −1t （ t 为参数， m >0 ），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 θ=α 与直线 ρsin θ=2 交于点P ，动点Q 在射线OP 上，且满足|OQ ||OP |=8. （1）求曲线C 的普通方程及动点Q 的轨迹E 的极坐标方程；（2）曲线E 与曲线C 的一条渐近线交于P 1 ， P 2两点，且|P 1P 2|=2，求m 的值.13.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =√6sinαy =√6cosα （ α 为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ+π3)=2 . （1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程；（2）直线 l 与 x 轴的交点为 P ，经过点 P 的直线 m 与曲线 C 交于 A,B 两点，若 |PA|+|PB|=4√3 ，求直线 m 的倾斜角.14.在极坐标系中，已知圆的圆心 C(6,π3) ，半径 r =3 ， Q 点在圆 C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）求圆 C 的参数方程；（2）若 P 点在线段 OQ 上，且 |OP|:|PQ|=2:3 ，求动点 P 轨迹的极坐标方程.15.在新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

极坐标与参数方程题型和方法归纳

极坐标与参数方程题型和方法归纳极坐标与参数方程题型和方法归纳题型一：极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。

具体方法如下：1)极坐标方程转直角坐标方程：begin{cases}\rho=x\cos\theta+y\sin\theta\\\tan\theta=\dfrac{y }{x}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\y=\rho \sin\theta\end{cases}$$其中，$\rho$表示点到原点的距离，$\theta$表示点与$x$轴正半轴的夹角。

2)参数方程转直角坐标方程：begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}\RightarrowF(x,y)=0$$其中，$F(x,y)$为$x,y$的函数，$t$为参数。

3)极坐标方程转参数方程：begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\Rightarr ow\begin{cases}r=f(\theta)\\ \theta=g(r)\end{cases}$$题型二：三个常用的参数方程及其应用1)圆的参数方程：begin{cases}x=a+r\cos\theta\\y=b+r\sin\theta\end{cases}$$其中，$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。

2)椭圆的参数方程：begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$$其中，$a,b$为椭圆的长短半轴。

3)过定点倾斜角为$\alpha$的直线$l$的标准参数方程为：dfrac{x-x_0}{\cos\alpha}=\dfrac{y-y_0}{\sin\alpha}=p$$其中，$(x_0,y_0)$为直线$l$上的一点，$p$为直线$l$到原点的距离。