高中数学中的数形结合思想
探析高中数学解题中数形结合思想的应用
㊀㊀㊀解题技巧与方法１５３㊀㊀探析高中数学解题中数形结合思想的应用探析高中数学解题中数形结合思想的应用Һ田㊀昆㊀（山东省曹县第一中学高中部，山东㊀菏泽㊀２７４４００）㊀㊀ʌ摘要ɔ高中数学是一门烦琐的㊁值得推敲的学科．学习数学需要学生具有良好的逻辑思维能力㊁转化能力以及判断能力．数形结合思想一直贯串高中数学的学习中，数形结合思想主要是将抽象的数学模型转化为浅显易懂的图形来解决问题．本文主要探讨高中数学解题中数形结合思想的应用，包括数形结合的概念，数形结合的使用策略以及数形结合的思想应用．ʌ关键词ɔ数形结合；高中数学解题；思想应用一㊁引㊀言在高中数学的教学过程中，有很多教师过于在乎成绩，使用 填鸭式 的教学方法，学生总感觉到枯燥乏味．在高中数学解题中，有很多解题方法，除了数形结合法，还有分类讨论法㊁换元法㊁反证法㊁定义法以及待定系数法等等．这些都对高中数学的解题有着重要的作用，可以减轻学生负担，缩减学生思考答题时间．而且，随着研究的不断深入，越来越多的教师赞同教导学生使用多种方法来解答题目，这样可以帮助学生更好地进行高中数学的学习，帮助学生厘清解题思路，降低学生学习数学的压力，从而缓解学生的抵触情绪．伴随着素质教育和新课标教学理念的全方位实行，数形结合等数学思想在高中数学解题中的应用越来越广泛．在近几年高考的题型中，数形结合较之前占比更大，由此，本文主要探讨数形结合对于高中数学解题的思想应用，并从以下几个方面展开论述．二㊁数形结合概念的界定数形结合，分开来看，主要是指数与形两个方面．它是一种教学思路方法，也是一种解题思路方法，其使用情况大致可以分为两种：一种是根据数据的精确程度，来判断形的某些属性，另一种是根据形的几何关系，来判断其与数据的关系．不管是哪种情况，都是为了在解题过程中更快地看出问题的重点，从而化复杂为简单．在数形结合的过程中，学生要注意数与形之间的对应关系，同时，要学会举一反三，根据数或者形中的某一特性，来达到对数或者形某一方面或者多个方面的认识．三㊁数形结合的使用策略数形结合的使用策略大概可以分为以下三种，以数化形㊁以形变数和形数互变．１．以数化形数和形是相对应的表达方式，与图形相比，数字比较抽象难懂，而图形比较具体生动形象，可以直观地表达很多属性，对于解决问题有着决定性的作用．因此，我们在解答问题的时候，可以将数字与图形对应找出来，尽可能多地用图形来解决问题．在解答问题的时候，我们可以把符合问题目标的模式找出来，而这种模式就是指在图形与数字之间的某一个特定的关系．把数字转化为图形，进而通过图形来解决问题的方法，就是图形分析法．而这种将数字图形化的问题解决方式，就是将数字转化为图形，最终通过图形问题来解决数学问题的方法．这种图形解决法有三种方式：首先是运用平面几何，其次是运用立体几何，最后是运用解析几何．通过这几种方式，我们能将数字问题转化为图形问题．一般而言，我们首先要对已知的条件进行分析，再与已知的目标相结合，找出它们之间的内在关系与联系，最后运用图形解决问题．将数字转化为图形是解决数学问题的重要方式，也是解决数学问题的基本的思路方法．所以，在解答问题的时候，要厘清题目中的条件和目标，运用图形观察分析，得出应该使用的公式方法，从而达到解决问题的最终目的．２．以形变数对于比较复杂的图形，仅仅靠简单的观察是不够的，它还需要与数字相结合，需要通过数字来解决其中的问题．在解决几何问题时，高中学生由于学习知识的单一性，并不能在头脑中高度地构建出题中所给的图形，进而影响了做题的速度．因此，在计算的时候，学生要注意把复杂的图形知识转化为数字知识，而且，通过复杂的图形结构可以挖掘隐藏的数字知识．在解析某些复杂的图形时，我们往往要构建出坐标系㊁极坐标系等辅助工具，将复杂的图形直观化．对于这类题目，解答的基本思路在于结合图形，找出在图形中体现出来的几何知识，即通过图形表达出来的性质㊁概念㊁定理等，再结合所学习的数字知识解答问题．对于某些高考试题，学生在解决立体几何类问题时，如果不借助以形变数的数学思想，则很难通过高强度的逻辑思维来强行画出要求的图形．因此，在做这种类型题时，教师最好引导学生使用数形结合的思想，即通过代数法来解决相关的图形问题．３．形数互变在解决数学问题的时候，对于一些比较复杂的问题，我们不仅要将数字转化为图形，还要将图形转化为数字．由于图形与数字同为数学最基本的两个要素，二者在绝大多数情况下都能相互转化，图形明显易懂，数字逻辑性强，所以，图形与数字相互转化时有极强的逻辑贯通性．我们通过结合数字与图形的优点来达到解决问题的目的．在学习中，学生的重点往往是解决问题，如果通过抽象的数字和复杂的㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５４㊀图形不容易看出解决问题的方法，那么在解答这种问题的时候，最主要的方法就是将直观的图形知识转化为严谨的数字知识，将严谨的㊁不易表达或者抽象的数字知识转化为形象的图形知识．只有这样，才可以很好地解决数学问题．四㊁数形结合在高中数学解题中的思想应用高中数学的学习是枯燥乏味的，是难以理解的．由于学生对数学敏感程度不同，对老师所教的内容消化吸收得有所差异，因此学生的学习成绩差异较大，这时学生就需要高效的学习思路和方法．在高中数学中有很多解决问题的思路和方法，而每一种思路和方法又可以解答不同类型的问题．数形结合也不例外．数形结合的最大好处在于它的直观性，学生在运用具体的图形时，能够更好地解决抽象的数学问题．学生要想运用数形结合的解题思想，必须要有意识地将抽象问题向具体图形进行转化，培养自己的图形理解能力㊁图形认知能力．在高中数学的解答过程中，数形结合可以在多个方面发挥作用，比如，数轴类问题㊁三角类问题㊁不等式类问题㊁函数类问题以及方程类问题和立体几何问题，这些都是运用数形结合就可以解决问题的题型．１．数形结合在数轴类问题中的思想应用顾名思义，数轴类问题主要使用的就是数轴，而数轴是数形结合方法之一．数轴是规定了原点㊁正方向㊁单位长度的一条直线，线是点的集合．数轴的图形原理就是通过数轴上的点与对应的数字相结合，找到它们之间的对应关系，最终达到数形结合的方法．这种思维解答方式更加具有拓展意义，而且，可以更加快速有效地解决相关问题，从而使高中数学的学习不再枯燥无味，而具有生命力和活力，更重要的是，它可以帮助学生培养思维，提高学生的思维拓展能力．例１㊀假设集合Ａ＝｛ｘ｜ｘɪＺ，且－１０ɤｘɤ－１｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘɪＺ，且｜ｘ｜ɤ５｝，那么ＡɣＢ中的元素个数是（㊀㊀）．Ａ．１１㊀㊀Ｂ．１０㊀㊀Ｃ．１６㊀㊀Ｄ．１５解析㊀数轴能形象地表示数，数轴上的点和实数一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示．如图１所示，由题意结合图形可知，此类数轴题是在高中数学中出现比较频繁的一类题目，而且，这种图形也是高中数学中比较直观简单的图形之一．对于此类题目，我们只需要根据集合中的相关元素，将代数问题转化为图形问题，从而解决问题．在本题中，由图可知，集合Ａ与集合Ｂ的并集中共包含了１６个整点数．图１２．数形结合在三角类问题中的思想应用数形结合的主要思路就是将数字转化为图形，将图形转化为数字，最终达到解决问题的目的．在解决三角类问题的过程中，我们可以将相对复杂的㊁难以理解和想象的代数问题，通过图形表达出来，这样可以更加直观地找出题目的几何背景，从而使学生对问题的思考更加深入，开阔学生的思维，降低学生的考试压力，最终缩减学生的答题时间．例２㊀函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ（ａｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ）＋ｃｏｓ２π２－ｘ()，已知ａɪＲ，并且ｆ－π３()＝ｆ（０），则ｘ的取值范围为π４，１１π２４[]时，函数ｆ（ｘ）的最大值与最小值是多少？解析㊀由题意可知，本题中ｆ－π３()＝ｆ（０），可知ａ＝２３，所以ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ２ｘ－π６()．画出草图如图２所示，因为ｘ的取值范围为π４，１１π２４[]，所以，根据图象可知，ｆ（ｘ）的最大值与最小值分别为２与２．三角函数在高中数学的学习中一直是重点㊁难点，数形结合最大的好处就是使原本抽象的三角函数变得清晰明了，由于三角函数循环的特殊性，经过数形结合的思想，比固定的直线－三角函数方程联立要轻松简单得多．图２３．数形结合在不等式类问题中的思想应用在解答高中数学问题的过程中，特别是在解答不等式或方程问题的过程中，学生往往喜欢运用代数的方法来解答．在这种情况下，学生的解答思路就会局限于数的解答上，从而缩减了学生的思路，使问题变得更加枯燥㊁复杂㊁难懂．而且，学生在解答到某一个阶段的时候，往往会因为无法进一步思考，而不得不停止思考，题目也会成为只解答了一半的未解题．在解答不等式问题的过程中，若将代数融入图形之中，则有利于学生更加深入思考．当然，这也需要学生具有很好的转化能力，能够将代数问题直接快速地转化为图形问题．例３㊀已知ｘ，ｙ为实数，且满足ｘ２＋ｙ２ɤ１，试求ｙ－１ｘ＋２的取值范围．图３㊀㊀㊀解题技巧与方法１５５㊀㊀解析㊀画图如图３所示，根据题意以及所画图形可知，设ｙ－１ｘ＋２＝ｋ，则ｋ是Ａ（－２，１）与Ｐ（ｘ，ｙ）点连线的斜率，过点Ａ的直线方程为ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋１，ｄ＝∣２ｋ＋１∣１＋ｋ２，进而可以得出ｙ－１ｘ＋２的取值范围为－４３，０[]．在解决不等式问题时，通过数形结合更能明显地看出其相较于传统解题方法的优势．由于在平面直角坐标系内，已经明确地规定了正方向，所以根据点或曲线所在位置很明显就能判断出其所代表数据的大小．４．数形结合在函数类问题中的思想应用函数类问题是高中数学中经常出现的问题，换句话说，它是高中数学的高频考点．然而函数类问题也十分复杂．所以，在解决函数类问题的过程中，将相关的问题通过图形表示出来，不仅可以帮助学生对题目的理解，厘清解答思路，还可以帮助学生对函数知识有一个更深入的认识，而且，可以帮助学生对函数的隐藏关系进行探索与挖掘，最终使学生的解题思路更加深入与灵活．例４㊀已知ｌｏｇ２（－ｘ）＜ｘ＋１，求ｘ的取值范围．解析㊀如图４所示，由题意以及所画图形，可以很直接地得出ｙ＝ｌｏｇ２（－ｘ）的图象在ｙ＝ｘ＋１图象的下方部分所对应的ｘ的值，所以，可以很简单地得出ｘ的取值范围，即（－１，０）．图４５．数形结合在方程类问题中的思想应用在高中数学中，方程类问题是最适合运用数形结合思想解决的题型之一．在问题的解决过程中，学生可以结合图形，使抽象的代数转化为具体形象的图形模式，最终使问题简单㊁容易理解，从而帮助学生快速地解答问题．例５㊀已知方程ａｘ－ｘ－ａ＝０，且ａ的取值范围是（１，＋ɕ），方程有几个解？解析㊀在本题中，老师可以引导学生画出ｙ＝ａｘ的图象，以此来帮助学生进一步解答．同时，学生要牢牢记住经典的函数模型和其所代表的平面曲线，在遇到类似的题目时也能迅速厘清思路，完成题目．６．数形结合在空间几何问题中的应用立体几何在高中数学中同样占有相当重要的比重．在解决立体几何问题时，学生既可以采用画辅助线这种纯图形式的做法，也可以使用以形换数，转化为空间向量的做法．作为高中数学中比较经典的解题方式，空间向量也是数形结合在空间几何中的重要应用．使用空间向量等以形换数的思想，能锻炼学生以数换形的思维定式，增加对数据的理解能力．例６㊀正方体ＡＢＣＤ－ＡᶄＢᶄＣᶄＤᶄ中，Ｍ是ＡＤ的中点，Ｎ是ＤＣ的中点，Ｐ是ＡᶄＣᶄ的中点，求平面ＭＰＮ与平面ＡᶄＢＣᶄ的夹角．解析㊀此题中，平面ＭＰＮ穿过正方体ＡＢＣＤ－ＡᶄＢᶄＣᶄＤᶄ，运用空间向量，在Ｄ处，以ＤＡң为ｘ轴正方向，ＤＣң为ｙ轴正方向，ＤＤᶄң为ｚ轴正方向，设建立空间直角坐标系，如图５所示．设正方体棱长为１，由题意得，Ｂ（１，１，０），Ｐ１２，１２，１()，Ｑ１４，１４，０()，则ＢＰң＝－１２，－１２，１()，ＰＱң＝－１４，－１４，－１()．经过简单的计算，二面角为ａｒｃｃｏｓ３３．由此题可知，在高考试卷上连续出现了１０余年的立体几何题在数形结合的思想下散发了新的活力，不仅给立体几何提供了新的做题思想，还开辟了新的出题思路．图５五㊁结㊀语在高中数学中，数形结合是一种简单㊁直观㊁形象的解答方法．对于学生而言，数形结合百利而无一害，它可以帮助学生更加深入理解题型，还可以帮助学生更加直观地认识题目．高中数学复杂的题目往往涉及多个考量标准，而数形结合这种思想能长驱直入，直奔主题．换一句话说，它可以帮助学生更加简单地解决相关题目，缩减学生的解题时间，同时让学生认识到，数学不是简简单单的数字计算，也不是将数字代入现成的公式中，而是要思考解决办法，即使遇见了不同的尚未见过的题型，也要有正确应对的心理素质和正确解决问题的数学能力．而且，数形结合方法可以拓展学生逻辑思维能力㊁转化思维能力等等，从而提高学生的解题能力．所以，在高中数学学习过程中，学生要注重对数形结合方法的学习．ʌ参考文献ɔ［１］王霞．探析高中数学解题中数形结合思想的应用［Ｊ］．高考，２０２１（０６）：３１－３２．［２］李德祥．基于函数思想的高中数学解题研究［Ｊ］．高考，２０２１（０４）：１７－１８．。
高中数学解题中数形结合思想应用论文
高中数学解题中数形结合思想的应用摘要：数形结合思想在高中数学中应用十分广泛，常见的比如在函数、集合、向量、不等式、立体几何、线性规划等问题中都有应用。
本文通过一些典型例题，列举了数形结合思想的应用方法，避免复杂的数学推理与计算，简化解题过程，加强学生的解题能力。
关键词：数学解题；数形结合；高中数学在高中教学中，数和形是两个最基本的概念，数形结合的思想不仅是高中数学解题中的一种重要思想，也是教学的重点。
在高中数学解题中使用数形结合的方法，研究数和形的对应关系，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。
在教学中培养学生数形结合的思想，能够有效的提高学生的解题技巧，做到举一反三，加强学生的解题能力。
数和形是数学研究的两大基本对象，数形结合即是以形助教，以数解形，就是数和形之间的相互转化。
通过数和形的相互转化来解决数学问题，使抽象思维转换为形象思维，有助于理解数学问题的本质。
数形结合可以求解很多问题，在高中数学中主要表现在以下几个方面：（1）通常可以结合数轴和文氏图进行求解集合问题；（2）数形结合可以使用函数的图像性质求解函数问题，可以研究函数的奇偶性、周期性、增减性，以及求函数的定义域、最值和极值、值域等问题。
（3）数形结合可以联系向量的几何意义用于求解向量问题，运用点、线、曲线的性质用于解析几何问题。
（4）数形结合可以构造几何图形和函数特点求解不等式问题，从题目的条件和结论出发，分析几何意义，从图形上寻找解题的思路。
使用数形结合的思想求解问题的关键在于图形的构造，抓住一些重要的量，巧妙地运用式子规律、数学概念符号去思考其内在的关系。
思考途径可以用下图表示：数形结合的解题思路一、利用坐标法解决几何问题坐标法就是将几何问题坐标化。
在解决几何问题中运用坐标法的基本思路是，首先根据几何问题的特点建立合适的坐标系，其次将几何问题转变为代数问题，经过推理和计算，获得相关的代数结论。
最后考虑坐标系，将代数结论转化为几何结论，由此得到原几何问题的答案。
高中数学教学中如何渗透数形结合思想
、
高 中数 学 教 学 中“ 数形结合” 思 想 方 法 具 体 应 用原 则
数 学 问 题 可 以 说 是灵 活 多 变 ， 并且非 常复杂 ， 真 的 要 说 解 决 问 题 要 有 一 套 固 定 的方 法 是 不 可 能 的 ， 只 有 灵 活 运 用 各 种 模 式 与 方法 才 能解 决 ， 其 实 这 也 是 数 学 学 科 解 题 魅 力 的精 髓 ．
２ ． 等 价 性 原 则 等价性原则直观来分析就是“ 数” 的代数性质 与“ 形” 的几 何 性 质 在 转 化 的 过 程 中应 该 是 等 价 的 ， 也 就 是 说 研 究 的 问 题
：
３ ． “ 数” 与“ 形” 的 结合 使 用
根据前面的分析 ， 我们 可 以知道 “ 数” 与“ 形” 在 使 用 的 过 程 中各 自虽 然 存 在 一 些 不 足 ， 却 又相 辅 相 成 ． 在 面 对 很 多 数 学
形 结合 的基 本 涵 义 ， 而且 能灵 活运 用．
例 １ 函数 ｆ （ ｚ ） ＝ ４ ７ 一Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ， 在［ ｏ ， ＋。 。 ） 内（
Ａ． 没 有 零 点 Ｂ ． 有 且 只 有 一 个 零 点 Ｃ ． 有 且 并 有 两 个 零 点
） ．
关键词 ： 高 中数 学 ； 数 形 结 合
高 中数 学教 学 中如何 渗 透 数 形 结 合 思 想
■ 董 晓 萍
摘 要： 随 着 新 课 改 的 不 断深 入 ， 新课 程 标 准 明 确 指 出要 坚 持 以 生 为 本 的教 学 理 念 ， 在 高 中数 学 中 以 学 生 为 学 习 主体 ， 要 求 学 生 对基 本 的概 念 与 思 想 要 准 确 掌握 ， 而数 与形又是 高中 数 学教 学过 程 中非 常 重 要 的 两 个 教 材 内容 ， 数 与 形 的 结 合 思
高中数学：圆锥曲线中的数形结合思想
高中数学：圆锥曲线中的数形结合思想圆锥曲线中直线和圆锥曲线结合在一起的题目较多，下文主要阐述了用数形结合思想来解决两类问题。
一、直线的条数我们在学习圆锥曲线的过程中，遇到了这样的问题：例1. 过点A（0，2）可以作4条直线与双曲线有且只有一个公共点。
这个结论可以引申：平面直角坐标系中任一点A（），过A与双曲线有且只有一个交点的直线条数问题。
图示说明：（图1）可以证明：（1）区域①、②中的点，过这些点与双曲线有且只有一个交点的直线有4条。
（2）在双曲线的两支上的点，过这些点与双曲线有且只有一个交点的直线有3条。
（3）在双曲线的渐近线上的点（除原点）或在双曲线内部（区域③）的点，过这些点与双曲线有且只有一个交点的直线有2条。
（4）过原点与双曲线有且只有一个交点的直线有0条。
同样，我们也可以引申：平面直角坐标系中任一点A （），过A与抛物线有且只有一个交点的直线条数问题。
图示说明：（图2）可以证明：（1）点在抛物线内部（区域①）时，过这些点与抛物线有且只有一个交点的直线有1条。
（与对称轴平行的直线）（2）点在抛物线上时，过这些点与抛物线只有一个交点的直线有2条。
（1条切线＋1条与对称轴平行的直线）。
（3）点在抛物线外（区域②）时，过这些点与抛物线只有一个交点的直线有3条。
（2条切线＋1条与对称轴平行的直线）。
椭圆中，比较常规，这里从略。
总结：要注意的是直线与圆锥曲线相交有且只有一个交点的情况未必相切，但相切必定只一个交点；掌握了这些区域的特点，关于这类直线条数的问题就迎刃而解了。
二、直线的斜率关于直线与圆锥曲线相交、相切及直线条数的问题，我们还能引申到求直线的斜率问题，而这类问题又以双曲线比较典型，下面着重就双曲线中直线的斜率进行说明。
例1. 设离心率为e的双曲线C：的右焦点为F，直线l过点F且斜率k，直线l与双曲线C的左、右支都相交的充要条件是（）。
A.B.C.D.分析：这是与左、右支都相交的问题。
数形结合思想在高中数学与物理教学中的应用研究
数形结合思想在高中数学与物理教学中的应用研究数形结合思想是连接数学和几何的桥梁，它通过将属性和现象转化为几何图形的形式，来展示抽象数学与具象几何之间的密不可分的关系。
在高中阶段，数形结合思想的运用尤为重要，因为它可以帮助学生更加深入地理解数学和物理概念，并且提供一种新的思路和解决问题的视角。
本文将探讨数形结合思想在高中数学与物理教学中的应用研究。
一、数形结合思想与高中数学教学1.数学函数与图像的关系在高中数学中，函数是重要的基础概念，通过函数的性质可以刻画实际问题背后的规律和本质。
然而，图像作为函数背后的具体表现形式，却具有更加直观、具体的意义和理解过程。
数形结合思想可以帮助学生在直观的几何图像上获取函数的性质和特点，例如：（1）描绘传感器输出电压与物体距离之间的关系。
在数学上，这叫做反比例关系，物体与传感器之间的距离越远，输出电压越低。
我们可以把这种关系表示为y=k/x的函数形式，其中k是常数。
这个函数的图像是一条双曲线，在坐标系中从左下角向右上角逐渐走向无穷大。
（2）比较两种不同的投资方案。
在数学上，这是一个复杂的问题，需要计算多种指标和风险因素。
但是，将两种投资方案的收益率曲线画出来，就可以直接观察哪种方案更优。
例如，我们可以在x轴上表示时间，y轴上表示收益率，然后画出两个曲线进行比较。
2.数学公式与图形的对应关系在学习数学公式时，有时学生会感觉抽象、玄乎，难以理解和运用。
而数形结合思想的方法，可以将公式和图形相互对应，让学生通过图形的形式来感受公式的本质和应用。
例如：（1）学习圆的面积公式（S=πr^2）。
我们可以让学生画出几个不同半径的圆，然后用网格纸或其他工具将圆面积拆分成小正方形，让学生自己体验每个圆的面积公式，并通过比较发现圆半径与面积的关系。
（2）学习中值定理在实际应用中的意义。
中值定理是微积分中重要的定理之一，它表明在一定条件下，每个可微连续函数在某个点处的斜率等于它在两个端点的斜率的平均值。
高中数学破题致胜微方法(集合应用剖析)：“数形结合思想”在集合运算中的应用(含答案解析)
数形联合思想方法是高中数学中常用的一种解题思想方法，在解答相关会合运算7 及抽象会合问题时，一般要借助数轴或韦恩图求解，运用数形联合思想方法能够比较形象、直观地解决问题，常常有事半功倍的成效，平常我们要增强“数形联合”的思想训练 .下边我们看几个例题.例 1.设全集U R, A x| x 1 , B x | x a 0 ,且 BUe A, 务实数a的取值范围.解： e U A x | x 1 , B x| x a ，1a1.思路点拨：第一化简并求解会合，而后借助数轴由已知所给的会合间的关系求出 a 的取值范围 .例 2.设会合S x ||x 2| 3 ,T x | a x a 8 , S T R, 务实数a的取值范围.解：第一步：化简会合，S x | x1或x 5 ,T x | a x a 8 .第二步：借助数轴：第三步：依据所给会合间的关系列不等式求解参数，a1,得 3 a 1 .例 3.某班级共有30 人，此中15 人喜爱篮球， 8 人喜爱足球，两项都不喜爱的有8 人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有_____人 .篮球足球x - 7x15- x8例 4.以下图， I 是全集， A，B， C 是它的子集，则暗影部分所表示的会合是（）ACBA.(A B) CB.( A e I B) CC.( A B)e I CD.( e I B A) C解：选择 B.注：关于韦恩图所表述的会合应做以下理解：暗影部分波及谁就交谁，不波及谁就交其补集.就此，我们看下边暗影部分所表示的会合：A B C A B (e I C)(痧I A) ( I B) Ce I ( A B) C下边给出些练习来领会以上数形联合思想在会合中的应用.练习题：1.已知会合 A = { x ? R || x 2 |< 3} , 会合 B = { x ? R | ( x－ m)( x－ 2) 0} , 且 A B(- 1, n), 则m=________ ，n=________.分析：2.某网店统计了连续三天售出商品的种类状况：第一天售出19 种商品，次日售出13种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有4种，则该网店① 第一天售出但次日未售出的商品有________种；②这三天售出的商品最罕有________种 .分析：3.某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有______人 ..已知6 人，分析：4.已知全集U = R会合M = { x | - 2 ? x 1?2}, 和 N = { x | x = 2k - 1, k ? N * }, 的韦恩图如图所示，则暗影部分所表示的会合元素共有（）A.2 个B.3 个C.1 个D. 无量多个UN M。
数形结合思想方法在高中数学教学中的应用分析
数形结合思想方法在高中数学教学中的应用分析随着数学科学研究领域的不断发展与拓展，数形结合思想方法已经逐渐成为现代数学教学方法的重要组成部分。
数形结合思想方法是一种将数学概念与几何图形相结合的教学方法，它充分挖掘了图形的形式与数学的抽象性质，扩展了学生的数学思维能力与应用能力。
1. 通过图形定理的证明掌握数学定理在高中数学教学中，学生往往难以理解形式上的数学概念，但是通过形象化的图形表达，他们会更容易地把握数学规律。
通过图形证明数学定理，不仅加深了学生对于数学定理的理解，而且也能够培养他们的审美与想象力。
例如，三角形幅度定理可通过图形证明而得出结论，使学生更加深入地理解三角函数，同时也能够提高学生对于定理证明的理解能力。
2. 提高学生的应用能力数形结合思想方法可以培养学生的应用能力，使他们能够将数学知识运用到实际生活中。
例如，在解决三角函数运用题中，学生可以通过图形定位与精确计算的方法，提高解题的效率。
同时也可以通过大量实际题目与练习，使学生能够将数学知识转化为切实可行的技能。
3. 拓展学习内容数形结合思想方法为学生提供了更加立体的数学学习场景，让他们更加全面地认识数学知识与概念。
例如，通过绘制三角函数的函数图像，学生可以探究函数的周期性与对称性，对于加深对于三角函数的理解有很大的帮助。
1. 给学生带来直观的视觉享受数学教学一直以来都被认为是一种高度抽象的学科，但是数形结合思想方法可以在一定程度上改变这种印象，让学生在学习的过程中也能够感受到一些美好与趣味。
通过生动的图形与实际案例的讲解，可以激发学生的学习兴趣，提高对于数学教学的接受度。
2. 变换教材的教学模式在传统的数学教学模式下，学习者往往需要枯燥地记忆大量的定义与公式，而在数形结合思想方法下，学习者则可以通过实际的图形与图像快速地理解这些数学知识。
通过变换教材的教学方式，可以创造出一种更加开放与自由的学习环境，提高学生的学习积极性。
三、结语数形结合思想方法在高中数学教学中的应用，可以说是一种全新的教学模式，它扩大了学生的数学思维能力与认知领域，同时也对于学生的升学与工作产生了积极的影响。
运用数形结合思想巧解高中数学题例析
运用数形结合思想巧解高中数学题例析正文高中数学题目往往给学生带来了很大的困扰，尤其是在运用数形结合思想巧解题目时更是难上加难。
今天我们将通过几个例子来演示如何运用数形结合思想巧解高中数学题目。
例一：已知一个等边三角形的边长为a，求其高和面积。
解题思路：首先我们可以通过数学公式得出等边三角形的高和面积，公式如下：1. 等边三角形的高为：sqrt(3)/2*a2. 等边三角形的面积为：sqrt(3)/4*a^2接着我们可以通过数形结合思想来验证这两个公式。
我们可以画出等边三角形的图形，然后利用勾股定理来计算三角形的高和面积。
解题过程：首先我们画出一个等边三角形ABC，边长为a，然后我们假设高为h。
根据勾股定理，我们可以得到：a^2 = h^2 + (a/2)^2通过这个等式，我们可以求解出h的值，即：h = sqrt(3)/2 * a接着我们计算三角形的面积，根据公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形的面积为：S = sqrt(3)/4*a^2。
通过这种数形结合思想，我们不仅验证了等边三角形的高和面积的公式，而且更加深入地理解了这些公式的意义。
例二：已知梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，求其面积。
解题思路：梯形的面积公式为：S=(a+b)*h/2我们可以通过数形结合思想，将梯形拆分成两个三角形和一个矩形，然后分别计算它们的面积来求解梯形的面积。
解题过程：首先我们将梯形拆分成上下两个三角形和一个矩形。
然后我们分别计算这两个三角形和一个矩形的面积，然后相加起来就是梯形的面积。
三角形1的底长为a，高为h，面积为：Sa=1/2*a*h三角形2的底长为b，高为h，面积为：Sb=1/2*b*h矩形的长为(a+b)，宽为h，面积为：Sc=(a+b)*h最后将这三个部分的面积相加起来就是梯形的面积，即：S=Sa+Sb+Sc=(a+b)*h/2通过这种数形结合思想，我们可以更加直观地理解梯形的面积公式，并且能够灵活地应用到解题过程中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学中的数形结合思想
数形结合思想
基础知识点
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。
例题剖析
方法总结
1．数形结合，数形转化常从一下几个方面：（1）集合的运算及文氏图
（2）函数图象，导数的几何意义
（3）解析几何中方程的曲线
（4）数形转化，以形助数的还有：数轴、函数图象、单位圆、三角函数线或数式的结构特征等；
2．取值范围，最值问题，方程不等式解的讨论，有解与恒成立问题等等，许多问题还可以通过换元转化为具有明显几何意义的问题，借助图形求解。
▍
▍ ▍
▍。