2017-2018 人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 全章综合测试题 含答案 - 副本
人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 全章综合测试题
1．若△ABC ∽△DEF ，S △ABC ∶S △DEF ＝4∶9，则△ABC 与△DEF 的相似比为( ) A.2∶ 3 B ．2∶3 C ．4∶9
D ．3∶2
2．在平面直角坐标系中，已知点A(－4,2)，B(－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为1
2，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是( ) A ．(－2,1)
B ．(－8,4)
C ．(－8,4)或(8，－4)
D ．(－2,1)或(2，－1)
3．如图，是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10cm ，已知杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC 之比为5∶1，
则要使这块石头滚动，至少要将杠杆A 端向下压( )
A ．100cm
B ．60cm
C ．50cm
D ．10cm
4．下列说法错误的是( )
A ．D 、E 分别是△ABC 的边A
B 、A
C 上两点，且DE ∥BC ，那么△ADE 与△ABC 关于点A 位似
B ．若将△AB
C 绕所在平面上某一点O 旋转180°，则得到的△A 1B 1C 1与△ABC 位似，且位似比为1
C ．若△ABC 与△A 1B 1C 1位似，则△ABC 与△A 1B 1C 1相似
D ．若△ABC 与△A 1B 1C 1相似，则△ABC 与△A 1B 1C 1位似
5．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，OB ＝2OA ，点A 在反比例函数y ＝1x 的图象上．若点B 在反比例函数y ＝k
x 的图象上，则k 的值为( )
A ．－4
B ．4
C ．－2
D ．2
6．若△ADE ∽△ACB ，且AD AC ＝2
3，DE ＝10，则BC ＝ .
7．如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，标杆BE 高1.5m ，测得AB ＝2m ，BC ＝14cm ，则楼高CD 为 m.
8．如图，小红用灯泡O 照射三角板ABC ，在墙上形成影子△A ′B ′C ′.现测得OA ＝5cm ，OA ′＝10cm ，则△ABC 的周长与△A ′B ′C ′的周长之比是 .
9．在中国地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的距离为 千米．
10．如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，点F 的坐标是(1,1)，点C 的坐标是(4,2)，则这两个正方形位似中心的坐标是 .
11．如图，阳光透过窗口照在室内，在地面上留下2.7米宽的亮区，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE ＝8.7米，窗口高AB ＝1.8米．试求窗口下沿与地面之间的
距离BC 的高度．
12．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1,2)，B(3,1)，C(2,3)，以原点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍得到△A ′B ′C ′.
(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A ′B ′C ′(不要求写画法)； (2)求△A ′B ′C ′的面积．
13．如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点．
(1)求证：PA·PB ＝PD·PC ；
(2)若PA ＝454，AB ＝19
4，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．
14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 为边CB 上的一个动点(点D 不与点B 重合)，过D 作DO ⊥AB ，垂足为O ，点B ′在边AB 上，
且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD.
(1)求证：△DOB∽△ACB；
(2)若AD平分∠CAB，求线段BD的长；
(3)当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．
答案：
1---5 BDCDA 6. 15 7. 12 8. 1∶2 9. 3858
10. (－2,0)或(43，2
3)
11. (－2,0)或(43，2
3
)
12. 解：(1)图略； (2)6平方单位．
13. 解：(1)连接AD 、BC ，∵四边形ABDC 内接于⊙O，∴∠PAD＝∠PCB，∠PDA ＝∠PBC，∴△PAD∽△PCB，∴PA PC ＝PD
PB
，PA·PB＝PC·PD；
(2)连接OD ，作OE⊥DC，垂足为E ，∵PA＝454，AB ＝19
4，PD ＝DC ＋2，∴PB＝16，
PC ＝2DC ＋2，∵PA·PB＝PD·PC，∴45
4×16＝(DC ＋2)·(2DC＋2)，解得：DC ＝8
或DC ＝－11(舍去)，∴DE＝4，∵OD＝5，∴OE＝3，即点O 到PC 的距离为3. 14. (1) 解：∵DO⊥AB，∴∠DOB＝∠DOA＝90°，∴∠DOB＝∠ACB＝90°，又∵∠B ＝∠B，∴△DOB∽△ACB；
(2) 解：∵∠ACB＝90°，∴AB＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10，∵AD 平分∠CAB，DC⊥AC，
DO⊥AB，∴DC＝DO ，在Rt△ACD 和Rt△AOD 中，⎩
⎪⎨
⎪⎧
AD ＝AD DC ＝DO ，
∴Rt△ACD≌Rt△AOD(HL)，∴AC＝AO ＝6，设BD ＝x ，则DC ＝DO ＝8－x ，OB ＝AB －AO ＝4，在Rt △BOD 中，根据勾股定理得：DO 2＋OB 2＝BD 2，即(8－x)2＋42＝x 2，解得：x ＝5，∴BD 的长为5；
(3) 解：∵点B′与点B 关于直线DO 对称，∴∠B＝∠OB′D，BO ＝B′O，BD ＝B′D，∵∠B 为锐角，∴∠OB′D 也为锐角，∴∠AB′D 为钝角，∴当△AB′D 为等腰三
角形时，AB′＝DB′，∵△DOB∽△ACB，∴OB BD ＝BC AB ＝810＝4
5，设BD ＝5x ，则AB′
＝DB′＝5x ，BO ＝B′O＝4x ，∵AB′＋B′O＋BO ＝AB ，∴5x＋4x ＋4x ＝10，解得：x ＝1013，∴BD＝5013.。
(完整)人教版九年级数学下册第二十七章相似单元测试试题(含答案),推荐文档
第二十七章相似一、选择题(本大题共7 小题，每小题4 分，共28 分)1.如图1，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C 和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF 的长为( )图 1A．4 B．5 C．6 D．82.如图2，点D，E 分别为△ABC 的边AB，AC 的中点，则△ADE 的面积与四边形BCED 的面积的比为( )图 2A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶13.如图3 所示，P 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BP，以下条件中不能判定△ABP∽△ACB 的是( )AB AC 图 3AC BCA.AP＝ABB.AB＝BPC．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC4.已知△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的相似比是1∶2，△ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )A．3 B．6 C．9 D．12 5．如图4 所示，在△ABC 中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( )AD DE 图 4BF EFA.DB＝BCB.BC＝ADAE BF EF DEC.EC＝FCD.AB＝BC6.如图5 所示，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB 上取一点P，使得△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P共有( )图 5A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个7.若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图 6，如果扇形OAB 与扇形O1A1B1相似，且半径OA∶O1A1＝k(k 为不等于 0 的常数)，连接AB，A1B1.那AB么下面四个结论：①∠AOB＝∠A1O1B1；②△AOB∽△A1O1B1；③A1B1＝k；④扇形OAB 与扇形O1A1B1的面积之比为k2.其中正确的有( )图 6A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共25 分 )8．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝35°，∠C′＝85°，则∠B＝°，∠B′＝°.9.若两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm 和5 cm，且较小三角形的周长为15cm，则较大三角形的周长为cm.10.如图7，⊙O 的两条弦AB，CD 相交于点P，连接AC，BD.若S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝．图 711.如图8 所示，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好在地面的同一点O，此时点O 与竹竿的距离DO＝6 m，竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB 的高为m.图 812.将三角形纸片(△ABC)按图9 所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4.若以点B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF 的长是．图 9三、解答题(本大题共 4 小题，共 47 分)13．(11 分)如图 10，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，△ABC 的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)将△ABC 向左平移 7 个单位长度后再向下平移 3 个单位长度，请画出经过两次平移后得到的△A1B1C1；(2)以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小，使变换后得到的△A2B2C2与△ABC 对应边的比为1∶2.请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．图 1014．(12 分)如图 11 所示，点C，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形．(1)当AC，CD，DB 满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB 时，求∠APB 的度数．图 1115．(12 分)如图12 所示，BE 是锐角三角形ABC 的外接圆⊙O 的直径，CD 是△ABC 的高．(1)求证：AC·BC＝BE·CD；(2)若CD＝6，AD＝8，BD＝3，求⊙O 的直径BE.图 1216．(12 分)如图13 所示，在△ABC 中，BA＝BC＝20 cm，AC＝30 cm，点P 从点A 出发，沿AB 边以每秒 4 cm 的速度向点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿CA 边以每秒 3 cm 的速度向点A 运动，设运动时间为x 秒．(1)当x 为何值时，PQ∥BC?(2)△APQ 能否与△CQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由．图 13答案1．C2．B 3．B 4．D 5．C 6．C 7．D8．[答案] 60 609．2510．[答案] 4∶311．[答案] 91212．[答案] 7 或213．解：(1)△A1B1C1如图所示．(2)△A2B2C2如图所示，点A2的坐标为(－1，－4)．14．解：(1)当CD2＝AC·DB 时，△ACP∽△PDB.∵△PCD 是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°.PC AC若CD2＝AC·DB，则由PC＝PD＝CD 可得PC·PD＝AC·DB，即BD＝PD. 又∵∠ACP＝∠PDB，∴△ACP∽△PDB.(2)当△ACP∽△PDB 时，∠APC＝∠PBD.由题意可知∠PDC＝60°，∴∠BPD＋∠PBD＝60°，∴∠APC＋∠BPD＝60°，∴∠APB＝∠CPD＋∠APC＋∠BPD＝120°，即∠APB 的度数为120°.15．解：(1)证明：连接CE.由BE 为⊙O 的直径知∠ECB＝90°.∵∠A＝∠E，∠ADC＝∠ECB＝90°，∴△ADC∽△ECB，AC CD∴BE＝BC，∴AC·BC＝BE·CD.(2)由勾股定理，知AC＝AD2＋CD2＝10，BC＝BD2＋CD2＝3 5.又∵AC·BC＝BE·CD，∴3 5×10＝6BE，解得BE＝5 5.16．解：(1)∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，AP AQ 4x 30－3x30 ，∴AB＝AC，即20＝10解得x＝3 .10即当x＝3 时，PQ∥BC.(2)能相似．∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴△APQ 和△CQB 相似可能有以下两种情况：AP AQ①若△APQ∽△CQB，则CQ＝CB，4x 30－3x 10即3x＝20 ，解得x＝9 .10经检验，x＝9 是上述方程的解且符合题意．40∴当AP＝9 cm 时，△APQ∽△CQB；AP AQ②若△APQ∽△CBQ，则CB＝CQ，4x 30－3x即20＝3x ，解得x＝5 或x＝－10.经检验，x＝5 是上述方程的解且符合题意x＝－10 不合题意，舍去．∴当AP＝20 cm 时，△APQ∽△CBQ.40综上所述，当AP 的长为9 cm 或 20 cm 时，△APQ 与△CQB 相似．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
九年级数学下册第二十七章《相似》测试题-人教版(含答案)
九年级数学下册第二十七章《相似》测试题-人教版（含答案）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.1.如图，四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，则下列角的度数正确的是( )A.81D ∠=︒B.83F ∠=︒C.78G ∠=︒D.91H ∠=︒2.若线段a b c d ，，，成比例，且5cm 2.5cm 8cm a b c ===，，，则d 等于( ) A.2 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm3.已知ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，若10AD =，6A D ''=，则ABC 与A B C '''的周长比是( )A.3:5B.9:25C.5:3D.25:94.如图，小明为了测量大楼MN 的高度，在离N 点20 m 的A 处放了一个平面镜，小明沿射线NA 的方向后退1.5 m 到C 点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M 点，已知小明的眼睛（点B ）到地面的高度BC 是1.6 m ，则大楼MN 的高度（精确到0.1 m ）约是( )A.18.75 mB.18.8 mC.21.3 mD.19 m5.如图，直线123////l l l ，直线AC 分别交直线1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分别交直线1l 、2l 、3l 于点D 、E 、F ，直线AC 、DF 交于点P ，则下列结论错误的是( )A.AB DEBC EF= B.PA PDPC PF= C.PA PEPB PF= D.PB ACPE DF=6.如图，下列四个选项中的结论不一定成立的是( )A.COD AOB∽ B.AOC BOD∽ C.DCA BAC∽ D.PCA PBD∽7.如图，在ABC中，ABC C∠=∠，将ABC绕点B逆时针旋转得到DBE，点E在AC上，若3ED=，1EC=，则EB=( )A.3B.32C.312+D.28.如图，点A在第一象限内，AB x⊥轴于点B，以点O为位似中心，把AB缩小为原来的1 2得到A B''（AB与A B''在点O的两侧）.若把点O向上平移2个单位长度，得到点O'，再以点O'为位似中心，把AB缩小为原来的12得到A B''''（AB与A B''''在点O'的两侧），则A'与A''之间的距离为( )A.2B.2.5C.3D.49.如图，直线////a b c，ABC的边AB被这组平行线截成四等份，ABC的面积为32，则图中阴影四边形DFIG 的面积是( )A.12B.16C.20D.2410.将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B '，折痕为EF .已知6AB AC ==，8BC =，若以点B '，F ，C 为顶点的三角形与ABC 相似，那么BF 的长度是( )A.247B.4C.127或2 D.4或247二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.如图，在平面直角坐标系中，已知(1,0)A ，(3,0)D ，ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心.若 1.3AB =，则DE =______________.12.如图，在ABC 中，AB AC ≠，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，3AC AD =，3AB AE =，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：_____________，可以使得FDB 与ADE 相似.（只需写出一个）13.如图，在Rt ABC 中，904ACB AB ∠=︒=，，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2,3DB AD AE EC ==，连接BE 、CD ，相交于点O ，则ABO 面积的最大值为________.14.如图，在ABC 中，点D 为AC 边上一点，且12CD AD =，过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，连接CE ，过点D 作//DF CE 交AB 于点F .若15AB =，则EF =________.15.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()()4,00,4-，，点()3C n ，在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_______________.三、解答题：本题共2小题，第一小题10分，第二小题15分，共25分.16.如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上的A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ，再将镜子放到C 处，后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得2AC =m, 2.1BD = m ，小明的眼睛距地面的高度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE .17.回答下列问题：问题背景 如图（1），已知ABC ADE ∽，求证：ABD ACE ∽；尝试应用 如图（2），在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒，AC 与DE 相交于点F .点D 在BC 边上，3AD BD =DFCF的值； 拓展创新 如图（3），点D 是ABC 内一点，30BAD CBD ∠=∠=︒，90BDC ∠=︒，4AB =，23AC =AD 的长.参考答案1.答案：A 解析：四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，78B F ∴∠=∠=︒，118A E ∠=∠=︒，83C G ∠=∠=︒，360781188381D H ∴∠=∠=︒-︒-︒-︒=︒.故选A.2.答案：B 解析：线段a b c d ，，，成比例，a cb d∴=，5cm a =， 2.5cm b =，8cm c =，582.5d∴=，4cm d ∴=，故选B.3.答案：C 解析：ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，10AD =，6A D ''=，ABC ∴与A B C '''的周长比:10:65:3AD A D ===''.故选C.4.答案：C解析：BC CA ⊥，MN AN ⊥，90C MNA ∴∠=∠=︒.BAC MAN ∠=∠，BCA MNA ∴∽，BC AC MN AN ∴=，即1.6 1.520MN =， 1.620 1.521.3MN ∴=⨯÷≈（m ），即大楼MN 的高度约为21.3 m.故选C. 5.答案：C解析：123////l l l ，AB DE BC EF ∴=，A 中结论正确，不符合题意；PA PDPC PF=，B 中结论正确，不符合题意；PA PD PB PE =，C 中结论错误，符合题意；PB PC PA PE PF PD ==，PB AC PE DF∴=，D 中结论正确，不符合题意.故选C. 6.答案：C解析：OCD OAB ∠=∠，COD AOB ∠=∠， COD AOB ∴∽.ACO BDO ∠=∠，AOC BOD ∠=∠，AOC BOD ∴∽.180PCA ACD ∠+∠=︒，180ACD ABD ∠+∠=︒， PCA PBD ∴∠=∠，又P P ∠=∠，PCA PBD ∴∽.故选C.7.答案：A解析：由旋转可得ABC DBE ≌，BC BE ∴=,3DE AC ==，C BEC ∴∠=∠.又ABC C ∠=∠，ABC BEC ∴∠=∠，又C C ∠=∠，ABC BEC ∴∽，EC BCBC AC∴=，即2BC CE CA =⋅，BC ∴=，BE ∴.故选A.8.答案：C解析：如图，连接A A '''，由题意易知A B ''和A B ''''都与AB 平行，且在同一条直线上，////A A AB OO ''''∴.由题意知，OA B OAB ''∽△△，12OA A B OA AB '''∴==，23OA AA ∴='.//A A OO ''''，AO O AA A ''''∴∽△△，23OO OA A A AA '∴==''''，2OO '=，3A A '''∴=.9.答案：B 解析：直线////a b c ，ABC 的边AB 被这组平行线截成四等份，14AD AB ∴=，34AF AB =，ADG ABC ∽，AFI ABC ∽，211()416ADG ABCS S∴==，239()416AFI ABCS S==.ABC 的面积为32，1216ADGABCS S ∴==，91816AFIABCSS ==，18216AFIADGS SS∴=-=-=阴影.故选B.10.答案：D 解析：ABC 沿EF 折叠后点B 和'B 重合，BF B F '∴=.设(0)BF x x =>，则8CF x =-.要使B FC '与ABC 相似，只需B FC C '∠=∠或FB C C '∠=∠.当B FC C '∠=∠时，B FC ABC '∽，B F CF AB BC ∴='，6AB =，8BC =，868x x -∴=，解得247x =，即247BF =；当FB C C ∠'=∠时，FB C ABC '∽，FB FC AB AC ∴='，即866x x-=，解得4x =，即4BF =，故4BF =或247.故选D. 11.答案：3.9 解析：(1,0)A ，(3,0)D ，1OA ∴=，3OD =.ABC 与DEF 位似，//AB DE ∴，ABO DEO ∴∽，AB OA DE OD ∴=，即1.313DE =，解得 3.9DE =.12.答案：A BDF ∠=∠(或A BFD ∠=∠或ADE BFD ∠=∠或ADE BDF ∠=∠或//DF AC 或BD BF AE ED =或BD BFDE AE=) 解析：3AC AD =，3AB AE =，13AD AE AC AB ∴==，又A A ∠=∠，ADE ACB ∴∽，AED B ∴∠=∠. 故要使FDB 与ADE 相似，只需再添加一角相等，或夹角的两边成比例即可. 13.答案：83解析：本题考查平行线分线段成比例、三角形面积公式.如图,过点D 作//DF AE 交BE 于点F ,则21.,2,33DF BD EC DF EC DO AE BA AE ===∴=∴=222,,,33ADO ADC BDO OC DO DC S S S ∴=∴==22,90,33.BDC ABO ABC S S S ACB ︒∴=∠=∴点C 在以AB 为直径的圆上,设圆心为G ,当CG AB ⊥时，ABC 的面积最大,最大面积为1424,2⨯⨯=此时ABO 面积的最大值为284.33⨯=14.答案：103解析：//,AD AEDE BC AC AB∴=. 12,23CD AD AD AC =∴=，即23AE AB =. 15,10AB AE =∴=.//,AF AD DF CE AE AC ∴=，即2103AF =，解得203AF =， 则20101033EF AE AF =-=-=.故答案为103. 15.答案：2.8解析：本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、相似三角形的判定与性质如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，//CD x ∴轴， CAO ACD∠∠∴=，又DEC OEA ∠∠=，DEC OEA ∴~，2,BCA CAO BCD ACD ∠∠∠∠=∴=，BD DE ∴=，设BD DE x ==，则42OE x =-DC DE OA OE ∴=即3442xx=-，解得 1.2x =， 242 1.6, 1.2 1.6 2.8OE x n OD DE OE ∴=+=∴==+=+=.16.答案：如图，设E 关于O 的对称点为M ，延长GC 与FA ，易知GC 、FA 的延长线相交于点M ，连接GF 并延长，交OE 于点H .易知//GF AC ，MAC MFG ∴∽， AC MA MOFG MF MH∴==， AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ∴===++， 21.62.1OE OE ∴=+， 32OE ∴=.答：楼的高度OE 为32 m. 17.答案：问题背景 证明：ABC ADE ∽，AB ACAD AE∴=，BAC DAE ∠=∠， AB ADAC AE∴=，BAD CAE ∠=∠， ABD ACE ∴∽.尝试应用连接CE ，设BD t =，则AD =. 易得ADE ABC ∽，AB ACAD AE∴=， AB ADAC AE∴=. 又BAC DAE ∠=∠， BAD CAE ∴∠=∠， ACE ABD ∴∽，CE AC BD AB ∴=，CE ∴=，3ADCE∴==.ADE ABC ∠=∠，ABC ACE ∠=∠，30ACE ADE ∴∠=∠=.又AFD EFC ∠=∠， ADF ECF ∴∽，3DF ADCF CE∴==. 拓展创新 AD.解法提示：过点D 作AD 的垂线交AB 于点M ，连接CM . 易证ADB MDC ∽，AB ADCM MD∴==30DMC DAB ∠=∠=，CM ∴=，90AMC AMD DMC AMD DAB ∠=∠+∠=∠+∠=，AM ∴=，cos AD AM MAD ∴=⋅∠。
第二十七章 相似单元测试卷(含答案)
人教版数学九年级下册第二十七章《相似》测试卷[时间：100分钟 满分：120分]一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列说法正确的是( ) A. 所有的矩形都是相似形B. 有一个角等于100°的两个等腰三角形相似C. 对应角相等的两个多边形相似D. 对应边成比例的两个多边形相似2. 下列四条线段中，不是成比例线段的为( )A. a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4B. a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10C. a ＝1，b ＝2，c ＝6，d ＝ 3D. a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝2 3 3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，BC ＝12，则DE 的长是( )A. 3B. 4C. 5D. 6第3题 第4题4. 如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是( ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D5. 如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (4，4)，B (6，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为( )A. (2，2)，(3，2)B. (2，4)，(3，1)C. (2，2)，(3，1)D. (3，1)，(2，2)第5题第6题6. 如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE=1∶2，则下列等式一定成立的是()A. BCDF=12B.AD的度数的度数=12C. ABCDEF的面积的面积=12错误!未找到引用源。
D.ABCDEF的周长的周长=127. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是()A. (6，0)B. (6，3)C. (6，5)D. (4，2)第7题第8题8. 如图，CD是☉O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是()A. AE>BEB. AD=BCC. ∠D=12∠AEC D. △ADE∽△CBE9．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2 ：3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF的值是()A. 2 ：5 ：25B. 4 ：9 ：25C. 2 ：3 ：5D. 4 ：10 ：25第9题第10题10. 如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形，PQ与AC相交于点M，则下列结论中正确的是()①AB∥CQ；②∠ACQ=60°；③AP2=AM·AC；④若BP=PC，则PQ⊥AC.A. 只有①②B. 只有①③C. 只有①②③D. ①②③④二、填空题(每小题3分，共24分)11. 在比例尺为1∶40000的地图上，某条道路的长为7 cm，则该道路的实际长度是km.12. 如图，∠DAE＝∠BAC＝90°，请补充一个条件：________________，使Rt△ABC∽Rt△ADE.第12题第13题13. 如图，在ABCD中，E在DC上，若DE ：EC＝1 ：2，则BF ：BE＝________.14. △OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(4，6)，B(3，0)，以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的12，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为.15. 如图，点D，E分别在AB，AC上，且∠ABC＝∠AED.若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为．第15题第16题16. 如图，一条4 m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为m2.17. 如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶3，点A 的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________．第17题第18题18．如图，A，B，C，D依次为一直线上4个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°，设AB＝x，CD＝y，则y与x的函数关系式为________．三、解答题(共66分)19. (8分)如图，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=117°，△ABC∽△DAC.(1)求∠ACB的度数；(2)求CD的长.20．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，BD＝2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B.求线段EC的长度．21. (8分)如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F.(1)证明：FD=AB；(2)当平行四边形ABCD的面积为8时，求△FED的面积.22．(10分)如图，明珠大厦的顶部建有一直径为16 m的“明珠”，它的西面45 m处有一高16 m 的小型建筑CD，人站在CD的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须往西至少再走12 m．求大厦主体建筑的高度AE(不含顶部的“明珠”部分的高度)．23. (10分)(1)如图(1)，△ABC内接于☉O，且AB=AC，☉O的弦AE交BC于D.求证：AB·AC=AD·AE；(2)在(1)的条件下当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时，如图(2)，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明.若不成立，请说明理由.24．(10分)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O 于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P.(1)若PC＝PF，求证：AB⊥DE；(2)点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？25. (12分)在△ABC中，P为边AB上一点.(1)如图1，若∠ACP=∠B，求证：AC2=AP·AB；(2)若M为CP的中点，AC=2.如图2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长.。
人教版九年级数学下册《第二十七章相似》单元综合测试【含答案】
根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】
解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A 三个图形中的两个图形是位似图形；故 A 不符合题意， B 中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故 B 符合题意， 根据位似图形的概念，C 三个图形中的两个图形是位似图形；故 C 不符合题意， 根据位似图形的概念，D 三个图形中的两个图形是位似图形；故 D 不符合题意， 故选：B． 【点睛】
【分析】
过 N 作 NH⊥DE 于 H，过 A 作 AP⊥BC 于 P 交 DE 于 G，得到 NM∥AG，根据三角形中位线定理得到 DE∥BC，得到 AG＝PG，
求得 NM＝ 1 AG＝ 1 PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论．
2
2
【详解】
解：过 N 作 NH⊥DE 于 H，过 A 作 AP⊥BC 于 P 交 DE 于 G，
AC
（14 分）25．在矩形 ABCD 中，AB＝12，P 是边 AB 上一点，把△PBC 沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对应点是点 G，过点 B 作 BE⊥CG，垂足为 E 且在 AD 上，BE 交 PC 于点 F． （1）如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证：△AEB≌△DEC；（3 分） （2）如图 2，当 AD＝25，且 AE＜DE 时，求 CF 的值；（5 分）
直平分
AF，即可得到 DF＝DA；设 CE＝a，AD＝b，则
E ，延长 BE 交 PC 于点 F ，则下列结论正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）
人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试题含答案
人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试题（测试时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．如果23a b =，则a bb +=（ ） A ．13 B ．12 C ．53 D ． 352．如图△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，31==ACAD ABAE ,则BCED ADE S S 四边形△:的值为（ ）A 、3:1B 、1:3C 、1:8D 、1:93．如图，Rt △ABC 和Rt △DCA 中，∠B=∠ACD=90°，AD ∥BC ，AB=2，DC=3，则△ABC 与△DCA 的面积比为（ ）A ．2：3B ．2：5C ．4：9D ．2:34．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则DEEF的值为（ ）.A ．12 B ．2 C ．25 D ．355．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3 米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A ．0..36π米2B ． 0.81π米2C ．2π米2D ．3. 24π米26．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 、C 、D 的坐标分别为B （5，0）、C （1，2）、D （2，0），则点A 的坐标是（ ）A ．（2.5，5）B ．（2.5，3）C ．（3，5）D ．（2.5，4）7．如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ， OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：68．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若EF ：AF=2：5，则DEFEFBCSS 四边形：为（ ）A ．2：5B ．4：25C ．4：31D ．4：359．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）A ．0.5mB ．0.55mC ．0.6mD ．2.2m10．如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE=∠BAD ．有下列结论：①FD=F E ；②AH=2CD ；③BC •AD=AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个二、填空题（每小题3分，共30分）11．已知两个相似三角形的周长比是，它们的面积比是________．12．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．13．李明同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高1.8米的李明的影长为1米，同时测得旗杆的影长为7米，则学校的旗杆的高为________米.14．在中，，是的中点，过点作直线，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条．15．如图，在□ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：__________________.16．如图，数学趣闻：上世纪九十年代，国外有人传说：“从月亮上看地球，长城是肉眼唯一看得见的建筑物．”设长城的厚度为，人的正常视力能看清的最小物体所形成的视角为，且已知月、地两球之间的距离为，根据学过的数学知识，你认为这个传说________．（请填“可能”或“不可能”，参考数据：）17．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为_______．18．如图，等边△ ABC 的边长为30，点M 是边AB 上一动点，将等边△ ABC 沿过点M 的直线折叠，该直线与直线AC 交于点N，使点A 落在直线BC 上的点D 处，且BD：DC=1 :4，折痕为MN，则AN 的长为_____.19．如图：已知在中，是斜边上的高．在这个图形中，与相似的三角形是________（只写一个即可）．20．如图，在梯形中，，点、、、是两腰上的点，，，且四边形的面积为，则梯形的面积为________．三、解答题（共60分）21．（本题7分）如图，D是△ABC外一点，E是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由.22．（本题7分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．(1)、若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF ∽△ABC，且相似比为2∶1；(2)、求△ABC中AC边上的高；(3)、若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为23．（本题7分）如图，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点．EF与BD相交于点M．（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB=9，求BM．24．（本题6分）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．25．（本题8分）如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．（1）求证：△DCE∽△BCA；（2）若AB=3，AC=4．求DE的长．26．（本题8分）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC 的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB= ．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．27．（本题8分）如图1，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A、D重合），连结PC，过点P作P E⊥PC交AB于点E，在P点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？特例求解当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE=PC．深入探究当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中B E的取值范围．28．（本题9分）如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AE⊥l交直线l于点E、交⊙O于点F，BD⊥l交直线l于点D．（1）求证：△AEC∽△CDB；（2）求证：AE+EF=AB；cm s的速度运动，点Q从点B出发沿（3）若AC=8cm，BC=6cm，点P从点A出发沿线段AB向点B以2/cm s的速度运动，两点同时出发，当点P运动到点B时，两点都停止运动．设运动时线段BC向点C以1/间为t秒，求当t为何值时，△BPQ为等腰三角形？答案（测试时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．如果23a b =，则a bb +=（ ） A ．13 B ．12 C ．53 D ． 35【答案】C 【解析】先根据比例的性质可得a b +1=23+1，进而可得53a b b +=． 故选C ．2．如图△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，31==ACAD ABAE ,则BCED ADE S S 四边形△:的值为（ ）A 、3:1B 、1:3C 、1:8D 、1:9【答案】C 【解析】根据题意可得：△ADE ∽△ACB ，则ADE ACB S S △△：=1:9，则BCED ADE S S 四边形△:=1:8.故选C3．如图，Rt △ABC 和Rt △DCA 中，∠B=∠ACD=90°，AD ∥BC ，AB=2，DC=3，则△ABC 与△DCA 的面积比为（ ）A ．2：3B ．2：5C ．4：9D ．2:3 【答案】C 【解析】由AD ∥BC ，得出∠ACB=∠DAC ，证得△A BC ∽△DCA ，可得AB BC ACDC AC AD==，再由面积的比等于相似比的平方，即可得到24()9ABC DCAS AB SDC ==， 故选C ．4．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则DEEF的值为（ ）.A ．12 B ．2 C ．25 D ．35【答案】D ．5．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3 米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A ．0..36π米2B ． 0.81π米2C ．2π米2D ．3. 24π米2【答案】B 【解析】如图设C ，D 分别是桌面和其地面影子的圆心，依题意可以得到△OBC ∽△OAD ，然后由它们的对应边成比例可以得CB OC AD OD =，再把OD=3，CD=1代入可求出OC= OD-CD=3-1=2，BC=12×1.2=0.6，然后求出地面影子的半径AD=0.9，这样可以求出阴影部分的面积S ⊙D =π×0.92=0.81πm 2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm 2． 故选B6．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 、C 、D 的坐标分别为B （5，0）、C （1，2）、D （2，0），则点A 的坐标是（ ）A ．（2.5，5）B ．（2.5，3）C ．（3，5）D ．（2.5，4） 【答案】A7．如图，△D EF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ， OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：6【答案】B 【解析】由D ，F 分别是OA ，OC 的中点，根据三角形的中位线的性质得DF=12AC ，根据三角形相似的性质可知△DEF 与△ABC 的相似比是1：2，因此△DEF 与△ABC 的面积比是1：4． 故选B ．8．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若EF ：AF=2：5，则DEFEFBCSS 四边形：为（ ）A ．2：5B ．4：25C ．4：31D ．4：35 【答案】C9．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）A ．0.5mB ．0.55mC ．0.6mD ．2.2m 【答案】A【解析】 根据题意可得：1.185.07.1x，解得：x=2.2，则2.2-1.7=0.5m ，即小刚举起的手臂超出头顶0.5m. 10．如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE=∠BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC •AD=AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个【答案】D二、填空题（每小题3分，共30分）11．已知两个相似三角形的周长比是，它们的面积比是________．【答案】【解析】∵两个相似三角形的周长比是1：3，∴它们的面积比是，即1：9．故答案为：1：9．12．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．【答案】6.2【解析】由题意知AC:AB=BC:AC，∴AC:AB≈0.618，∴AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)故答案为：6.2.13．李明同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高1.8米的李明的影长为1米，同时测得旗杆的影长为7米，则学校的旗杆的高为________米.【答案】12.614．在中，，是的中点，过点作直线，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条．【答案】【解析】作DE∥AB,DF∥BC，可得相似，作∠CDG=∠B，∠ADH=∠C，也可得相似三角形.所以可作4条.故答案为：4.15．如图，在□ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：__________________.【答案】答案不唯一，如△DFE∽△CBE【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD，即BC//DF，∴△DEF∽△CEB，故答案为：△DEF∽△CEB（答案不唯一）.16．如图，数学趣闻：上世纪九十年代，国外有人传说：“从月亮上看地球，长城是肉眼唯一看得见的建筑物．”设长城的厚度为，人的正常视力能看清的最小物体所形成的视角为，且已知月、地两球之间的距离为，根据学过的数学知识，你认为这个传说________．（请填“可能”或“不可能”，参考数据：）【答案】不可能这就是说,按照人的最小视角1′观察地球上长城的厚度，最远的距离只能是34.4km，而月球与地球之间的距离为380000km，这个数字很大，它相当于34.4km的11046倍，从这么远看长城，根本无法看见. 17．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为_______．【答案】【解析】由三边对应成比例的两个三角形相似,易得相似比为:,故要使△ABC和△A1B1C1的三边成比例,则第三边长为2÷=,故答案为:.18．如图，等边△ ABC 的边长为30，点M 是边AB 上一动点，将等边△ ABC 沿过点M 的直线折叠，该直线与直线AC 交于点N，使点A 落在直线BC 上的点D 处，且BD：DC=1 :4，折痕为MN，则AN 的长为_____.【答案】21或65【解析】①当点A落在如图1所示的位置时，∵BD：DC=1：4，BC=30，∴DB=6，CD=24，设AN=x，则CN=30-x，∴=，∴DM=，BM=，∵BM+DM=30，∴+=30，解得x=21，∴AN=21；②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN，∴得，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=10，CD=40，设AN=x，则CN=x-10，∴=，∴DM=，BM=，∵BM+DM=30，∴+=10，解得：x=65，∴AN=65．故答案为：21或65．19．如图：已知在中，是斜边上的高．在这个图形中，与相似的三角形是________（只写一个即可）．【答案】20．如图，在梯形中，，点、、、是两腰上的点，，，且四边形的面积为，则梯形的面积为________．【答案】18【解析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G、H是两腰上的点，AE=EF=FB，CG=GH=HD，∴2EH=AD+FG，2FG=EH+BC，∴EH=，FG=，∵四边形EFGH的面积为6cm2，∴（EH+FG）h=6，∴四边形ADEH的面积和四边形FBCG的面积和为：（EH+AD）h+（BC+FG）h=12，则梯形ABCD的面积为：18．故答案为：18．三、解答题（共60分）21．（本题7分）如图，D是△AB C外一点，E是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由.【答案】(1)、△ABD∽△AEC；△ABE∽△ADC；(2)、证明见解析22．（本题7分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．(1)、若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF ∽△ABC，且相似比为2∶1；(2)、求△ABC中AC边上的高；(3)、若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为【答案】(1)图形见解析；(2)、105；(3)、（2,6）.【解析】(1)、如图所示；(2)、高105(3)、（2,6）；23．（本题7分） 如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点．EF 与BD 相交于点M ．（1）求证：△EDM ∽△FBM ； （2）若DB=9，求BM ．【答案】(1)、证明见解析；(2)、BM=3.24．（本题6分）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM 上的对应位置为点C ，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D 时，看到“望月阁”顶端点A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方O yxAB CDEF法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．【答案】99m25．（本题8分）如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．（1）求证：△DCE∽△BCA；（2）若AB=3，AC=4．求DE的长．【答案】（1）、证明见解析；（2）、12 7【解析】（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DA，∵∠EAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AB∥DE,∴△DCE∽△BCA；（2）、∵∠EAD=∠ADE,∴AE=DE,设DE=x,∴CE=AC﹣AE=AC﹣DE=4﹣x,∵△DCE∽△BCA,∴DE：AB=CE：AC,即x：3=（4﹣x）：4,解得：x=127，∴DE的长是127．26．（本题8分）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC 的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB= ．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析在△ACE和△ABD中，AC ADEAC BADEA AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1=∠2,∵∠3=∠4，∴∠CPD=∠6=∠5=60°；②∵△ADF∽△CFP，∴AF•PF=DF•CF，∵∠AFP=∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF=∠ACD=60°，∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，∴∠BPC=120°，∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，∴P点为△ABC的费马点．27．（本题8分）如图1，已知在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，P 是线段AD 边上的一动点（不与端点A 、D 重合），连结PC ，过点P 作PE ⊥PC 交AB 于点E ，在P 点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？ 特例求解当E 为AB 的中点，且AP ＞AE 时，求证：PE=PC ． 深入探究当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求整个运动过程中BE 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）87≤BE ＜2． (2)深入探究,设AP=x ，AE=y ，∵△AP E ∽△DCP ，∴AP AE DC DP ，即x （3﹣x ）=2y ，∴y=12x 3﹣x ）=﹣12x +32x=﹣12（x ﹣32）2+98，∴当x=32时，y 的最大值为98，∵AE=y 取最大值时，BE 取最小值为2﹣98=78BE的取值范围为78≤BE ＜2．28．（本题9分）如图，AB 是⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，AE ⊥l 交直线l 于点E 、交⊙O 于点F ，BD ⊥l 交直线l 于点D ．（1）求证：△AEC∽△CDB；（2）求证：AE+EF=AB；（3）若AC=8cm，BC=6cm，点P从点A出发沿线段AB向点B以2/cm s的速度运动，点Q从点B出发沿线段BC向点C以1/cm s的速度运动，两点同时出发，当点P运动到点B时，两点都停止运动．设运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPQ为等腰三角形？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）t=103或t=6017或t=258时又∵AE⊥DE，BD⊥DE，∴OC∥BD∥AE，又∵O是AB的中点，∴OC//AE//BD∴OC=1()2BD AE+，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BFE=90°，又∵∠AED=∠BDE=90°，∴四边形BDEF是矩形，∴BD=FE ，∴AE+EF=AE+BD，∴1(AE)2EF+。
(完整word)人教版九年级数学下册第二十七章相似单元测试试题(含答案),推荐文档
14．解：(1)当 CD2＝AC·DB 时，△ACP∽△PDB. ∵△PCD 是等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝60°， ∴∠ACP＝∠PDB＝120°.
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人教版九年级数学下册第二十七章 相似 单元测试试题（含答案）
图 10
14．(12 分)如图 11 所示，点 C，D 在线段 AB 上，△PCD 是等边三角形． (1)当 AC，CD，DB 满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB? (2)当△ACP∽△PDB 时，求∠APB 的度数．
图 11
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图8 12．将三角形纸片(△ABC)按图 9 所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′， 折痕为 EF.已知 AB＝AC＝3，BC＝4.若以点 B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 BF 的长是__________．
图9 三、解答题(本大题共 4 小题，共 47 分) 13．(11 分)如图 10，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，△ABC 的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)将△ABC 向左平移 7 个单位长度后再向下平移 3 个单位长度，请画出经过两次平移 后得到的△A1B1C1； (2)以原点 O 为位似中心，将△ABC 缩小，使变换后得到的△A2B2C2 与△ABC 对应边的比 为 1∶2.请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2，并写出点 A2 的坐标．
图6
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分)
九年级数学(下)第二十七章《相似》单元测试含答案
c b a 第2题图n m F E D C B A 第3题图E D C B A第4题图F E D C B A 第7题图PD C BA E 第8题图DC B A九年级数学（下）第二十七章《相似》单元测试一、 选择题：（本大题共12小题，每小题2分，共24分)1.下列四组线段中，不能成比例的是.A. a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4B. a ＝1，b ＝3，c ＝4，d ＝12C. a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10D. a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝62.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于A 、C 、E 、B 、D 、F ， AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝.A. 7B. 7.5C. 8D. 8.53.如图，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝3，DB ＝6，DE ＝2，则BC ＝. A. 4 B. 6 C. 10 D. 84.如图，E 是□ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形.A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对 5.把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是. A. ∶1 B. 4∶1 C. 3∶1 D. 2∶1 6.已知a 、b 、c 为正数，且＝＝＝k ，下列四个点中，在正比例函数y ＝k x 的图像上的是. A.（1，） B.（1，2） C.（1，－） D.（1，－1）7.如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB ＝4，CD ＝7，AD ＝10，则AP 的长等于. A. B. C. D.8.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 中点， AE ⊥AD 交CB 的延长线于E ，则下列结论正确的是 A.△AED ∽△ACB B. △AEB ∽△ACDC.△BAE ∽△ACED.△AEC ∽△DAC9.要作一个多边形与已知多边形相似，且使面积 扩大为原来16倍，那么边长为原来.A. 2倍B. 3倍C. 4倍D. 5倍10.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，则下列结论：①AC 2＝AD ·AB ； ②CD 2＝AD ·BD ；③BC 2＝BD ·AB ；④CD ·AD ＝AC ·BC ；⑤＝.第10题图D C BA 第11题图第12题图F ED C B A第14题图E D C B A第16题图ED C B A 第15题图E D C B A QKGF D AG D A E D A正确的个数有.A.2个B.3个C.4个D.5个11.如图，△ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（－1，0），以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A /B /C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍.设点B 的对应点B /的横坐标是a ，则点B /的横坐标是. A. －a B. － C. － D. －12.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ，EF 交DC于点F ，设BE ＝x ，FC ＝y ，则当点E 从点B 运动到点C 时，关于x 的函数图像是二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）13.如果两个相似三角形的面积比是1∶2，那么它们对应边的比是. 14.如图，DE 是△ABC 的中位线，已知＝2，则四边形BCED 的面积为.15.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是DC 上一点，∠DAE ＝∠BAC ， 则EC 长为.16.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金的三角形，已知AB ＝1，则DE ＝.17.如图，Rt △ABC 内有三个内接正方形，DF ＝9cm ，GK ＝6cm ，则第三个正方形的边长PQ 的长是.第22题图P E D C B A 第23题图D C B A P M F D C18.如图，已知△ABC 中，若BC ＝6，△ABC 的面积为12，四边形DEFG 是△ABC 的内接的正方形，则正方形DEFG 的边长是.19.如图，以A 为位似中心，将△ADE 放大2倍后，得位似形△ABC ，若S 1表示△ADE的面积，S 2表示四边形DBCE 的面积，则S 1∶S 2＝.20.直角三角形的两条直角边的长分别为a 和b ，则它的斜边上的高与斜边比为21.如图，直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 是坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y轴上，如果矩形OA /B /C /与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA /B /C /的面积等于矩形OABC 面积的，那么点B /的坐标是.22.△ABC ≌Rt △ADE ，∠A ＝90°，BC 和DE 交于点P ，若AC ＝6，AB ＝8， 则点P 到AB 边的距离是. 三、解答题：（本大题共56分）23.（6分）如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形. ⑴当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式时，△ACP ∽△PDB ？ ⑵当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数.24.（10分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M. ⑴求证：△EDM ∽△FBM ； ⑵若DB ＝9，求BM.第26题图B25.（10分）已知△ABC 的三边长分别为20cm 、50cm 、60cm ，现要利用长度分别为30cm和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC 相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，求另外两边的长度（单位：cm ）26.（10分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 上一点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于点M ，交取于点N ， ⑴求证：BA ·BM ＝BC ·BN ；⑵如果CM 是⊙O 的切线，N 是OC 的中点，当AC ＝3时，求AB 的值.第27题图F E D C BAC27.（10分）如图，已知△ABC ，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，取AB 的中点F ，连结FD 交AC于点E. ⑴求AE ∶AC 的值；⑵若AB ＝a ，FB ＝EC ，求AC 的长.28.（10分）如图，在△ABC 中，AB ＝10cm ，BC ＝20cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC 相似.F第22题图PE DC B A第23题图DC BA P D C第11题图第12题图F EDCBA参考答案：一、 选择题：1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.A ；7.C ；8.C ；9.C ；10.C ；11.D ；12.A ； 二、填空题：13. 1∶；14. 6；15. 25；16.；17. 4cm ；18. 2.4；19. 1∶3；20.；21.（3，2）或（－3，－2）；22.；11.解：把图形向右平移1个单位长度，则点C 的坐标 与原点O 重合，与B /的对应点B //的横坐标变为a ＋1，此时△ABC 以原点O 为位似中心的位似图形是△A //B //C ，则与点B //对应的点的横坐标为－（a ＋1） 一个单位，则得到B 的横坐标为－（a ＋1.选择D.12.解：特别的，当BE ＝0和4时，FC ＝0.当0＜BE ＜4时，易证： Rt △ABE ∽Rt △ECF ∴＝ ∴＝∴y ＝x 2＋x ∴y 是x 的函数.当x ＝2时，y 有最大值，最大值是1. 选择A. 22题：解：作PF ⊥AB 于点F设PF ＝x ，由题意：BE ＝CD ＝2， ∴Rt △EFP ∽Rt △EAD. ∴＝∴EF ＝x∴Rt △BFP ∽Rt △BAC ∴＝∴＝∴x ＝三、解答题：23.解：⑴∵△PCD 是等边三角形∴∠PCD ＝∠PDC ＝60°PC ＝PD ＝CD ∴∠PCA ＝∠PDB ＝120° ∴当AC 、CD 、DB 满足 CD 2＝AC ·BD即 ＝ 时，△ACP ∽△PDB⑵当△ACP ∽△PDB 时由∠A ＝∠BPD ，∠B ＝∠APC∴∠PCD ＝∠A ＋∠APC ＝60°＝∠A ＋∠B ∠PDC ＝∠B ＋∠BPD ＝60°∴∠APB ＝60°＋∠APC ＋∠BPD ＝60°＋60°－∠A ＋∠60°－∠B ＝180°－（∠A ＋∠B ）＝180°－60°＝120° 24.解：⑴∵AB ＝2CD AE ＝BEB G第27题图F E D C B APA ∴CD ＝BE又∵AB ∥CD ∴CD ∥BE 且CD ＝BE ∴四边形EBCD 是平行四边形 ∴DE ∥BC∴△EDM ∽△FBM ⑵∵△EDM ∽△FBMFB ＝BC ＝DE ∴＝＝∴＝∴＝ ∴BM ＝3.25.解：⑴如果将长度为60cm 木条作为其中一边，把30cm 木条截成两段，其三角形不存在；⑵如果将长度为30cm 的木条作为其中一边，把60cm 的木条截成两边，则：①将30cm 的木条作最长边，于是有 ＝＝ 三边成比例.此时三角形木架与△ABC 相似；②将30cm 的木条作为第二长的边，于是有 ＝＝ 三边成比例，此时三角形木架与△ABC 相似；③将30cm 的木条作为最短边，则三边对应不成比例； 因此，另外两边的长度分别为10cm 、25cm 或12cm 、36cm.26.解：⑴证明：连NM∵NB 是⊙O 的直径 ∴NM ⊥BM 在△ACB 和△NMB 中∠ACB ＝∠NMB ＝90°∠ABC ＝∠NBM ∴△ACB ∽△NMB∴＝ 即 BA ·BM ＝BC ·BN ⑵连OM ∵CM 是⊙O 的切线 ∴CM ⊥OM ∴△CMO 是直角三角形 ∵CN ＝ON ∴MN ＝OC ＝ON ∵ON ＝OM ∴△OMN 是等边三角形 ∴∠MON ＝60°∵OM ＝OB ∴∠B ＝30°∴在Rt △ACB 中，AB ＝6. 27.解：⑴证明：过点C 作CG ∥AB 交DF 于G则 △EAF ∽△ECG △DCG ∽△DBF ∴＝＝又∵AF ＝BF ∴＝ ∵BC ＝CD ∴＝ ∴＝ 即＝⑵∵AB ＝a ，BF ＝AB ＝a ，又∵FB ＝EC ，∴EC ＝a ∵＝ ，∴AC ＝3EC ＝a.28.解：设经过t s 时，△PBQ ∽△ABC ，则 AP ＝2t ，BQ ＝4t ，BP ＝10－2t⑴ 如图①第28题图②QPCBA 当△PBQ ∽△ABC 时，有 ＝即 ＝∴t ＝2.5⑵ 如图②当△QBP ∽△ABC 时，有＝ 即 ＝ ∴t ＝1综合以上可知：经过2.5秒或1秒时， △QBP 和△ABC 相似.。
人教版数学九年级下册 第27章相似 期末章节自我测试题含答案
27.1图形的相似一．选择题1．观察下列图形中，是相似图形的一组是（）A．B．C．D．2．下列说法正确的是（）A．若＝，则a＝b B．若﹣x＝4y，则x＝﹣2yC．若ax＝bx，则a＝b D．若a2＝b2，则a＝b3．若x是a，b的比例中项，则下列式子错误的是（）A．x2＝ab B．C．D．ab＝4．如图，l1∥l2∥l3，直线AB，CD与l1、l2、l3分别相交于点A、O、B和点C、O、D．若，CD＝6，则CO的长是（）A．2.4B．3C．3.6D．45．如图，AB∥CD∥EF，若BF＝3DF，则的值是（）A．B．2C．D．36．线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，则BP的长度为（）A．8﹣8B．8+8C．4﹣4D．4+47．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．已知a：c＝3：2，且c是a、b的比例中项，则c：b＝（）A．3：2B．2：3C．9：4D．4：99．如图，若l1∥l2∥l3，且＝，则正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（）A．B．C．AB2＝AC2+BC2D．BC2＝ACBA二．填空题11．点C在线段AB上，AB＝1cm，若AC2＝ABBC，那么线段AC的长为cm．（结果用无理数表示）12．已知≠0，则＝．13．已知＝，则＝．14．如图，直线a，b被三条互相平行的直线l1，l2，l3，所截，AB＝5，BC＝3，则DE：DF ＝．15．一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现在站在A处，则他应至少再走米才理想．（结果精确到0.1米）三．解答题16．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．17．如图，AB∥EF∥CD．（1）AB＝10，CD＝15，AE：ED＝2：3，求EF的长．（2）AB＝a，CD＝b，AE：ED＝k，求EF的长．18．如图所示，有矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．（1）求和；（2）线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？19．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和BC上的点，且DE∥AC，＝，＝，求．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；B．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；故选：B．2．【解答】解：A、因为C做分母，不能为0，所以a＝b；B、若﹣x＝4y，则x＝﹣8y；C、当x＝0的时候，不论a，b为何数，ax＝bx，但是a不一定等于b；D、a和b可以互为相反数；故选：A．3．【解答】解：∵线段x是线段b，a的比例中项，∴x2＝ba，故A正确，∴，，故B、C正确；故选：D．4．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，∴，即，∴CO＝3.6，故选：C．5．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，故选：B．6．【解答】解：∵线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，∴BP＝AB＝×8＝4﹣4．故选：C．7．【解答】解：∵2x＝3y，∴＝．故选：B．8．【解答】解：∵a：c＝3：2，∴c＝a，∵c是a、b的比例中项，∴c2＝ab，∴b＝＝a∴c：b＝a：a＝3：2；故选：A．9．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，且＝，∴＝，∴＝；故选：C．10．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴＝＝，∴选项A符合题意，AC2＝BCAB，∴选项D不符合题意；∵＝＝，∴选项B不符合题意；∵AB2≠AC2+BC2，∴选项C不符合题意；故选：A．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：∵AC2＝ABBC，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝×1＝（cm），故答案为：．12．【解答】解：设＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，＝＝3．故答案为：3．13．【解答】解：由，可得：，把代入，故答案为：．14．【解答】解：∵直线a，b被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，∴＝，∵AB＝5，BC＝3，∴＝，∴＝＝，故答案为：5：8．15．【解答】解：如图所示：AP＜BP，，∵BP＝AB＝×20＝（10﹣10）米，∴AP＝AB﹣BP＝20﹣（10﹣10）≈7.6（米），故答案为：7.6．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝72°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝36°，∴∠BDC＝∠B＝72°，∠ACD＝∠A＝36°，∴BC＝DC＝AD．∵∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝．∴＝．∴D是AB边上的黄金分割点；（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC ＝ADh，S△DBC＝DBh，S△ABC＝ABh，∴＝，＝．∵D是AB的黄金分割点，∴＝，∴＝．∴CD是△ABC的黄金分割线．17．【解答】解：（1）过点A作AN∥BC交CD于N，交EF于M，如图，∵AB∥EF∥DC，∴四边形AMFB、四边形MNCF都为平行四边形，∴AB＝MF＝NC＝10，∴DN＝CD﹣CN＝15﹣10＝5，∵EM∥DN，∴＝＝，∴EM＝×5＝2，∴EF＝EM+MF＝2+10＝12；（2）∵四边形AMFB、四边形MNCF都为平行四边形，∴AB＝MF＝NC＝a，∴DN＝CD﹣CN＝a﹣b，∵EM∥DN，∴＝＝，∴EM＝DN＝（a﹣b），∴EF＝EM+MF＝（a﹣b）+a＝．18．【解答】解：（1）∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．∴＝＝，＝＝；（2）由（1）知＝＝，＝＝；∴＝，∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．19．【解答】解：∵＝，∴＝，∵DE∥AC，∴，∴．27.2相似三角形1．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．2．如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，AP⊥BE于点P，延长AP交CD于点F，连接CP．（1）求证：①BP＝2AP；②PC＝BC；（2）求的值．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若△MBN与△ABC相似，求t的值．（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．（1）判定△ABP与△PCD是否相似，说明理由；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若＝3，求的值．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD、BC交于点E，连接AC、BD．（1）求证：AB＝AE；（2）若AB＝5，DE＝2，求线段CE的长．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝6，AD＝8，AF＝4，求AE的长．8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点c移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t 秒．（1）根据题意知：CQ＝cm，CP＝cm；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ与△ABC相似．9．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．10．如图，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE．求证：△ABC∽△DBE．11．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．12．已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN 是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD，AE．（1）求证：△ABC∽△BGA；（2）若AF＝5，AB＝8，求FG的长；14．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，E在AD上，过点E作直线l分别和AB、AC 两边交于点P和点Q，且EP＝EQ．（1）当点P和点B重合的时候，求证：；（2）当P、Q不与A、B、C三点重合时，求证：．15．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．16．如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E．（1）求证：AE•CE＝BE•DE；（2）若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长．17．如图，已知点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，且满足．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）联结CD，如果∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ACD＝30°，BC＝，AC＝4，求CD的长．18．如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB上动点，以DE为直径的圆交对角线AC于F，EG⊥AC垂足为G．（1）求证：△EFD∽△EGA；（2）求FG的长；（3）直接写出DF+DG的最小值为．20．如图，点E在△ABC的边AB上，过点B、C、E的⊙O切AC于点C，直径CD交BE 于点F，连接BD、DE，已知∠A＝∠CDE．（1）求证：∠CDB＝2∠A；（2）若AC＝，BD＝1，求BF的长．相似三角形专项练习参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠BDE＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△DBE，∴，∴BD2＝BA•BE；（2）∵AB＝6，BE＝8，BD2＝BA•BE，∴BD＝4，∴DE＝＝＝4，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠EDC，∴∠ABD＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DBC，又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴EC＝4，CD＝4．2．如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，AP⊥BE于点P，延长AP交CD于点F，连接CP．（1）求证：①BP＝2AP；②PC＝BC；（2）求的值．【解答】解：（1）证明：①∵在正方形ABCD中，E是AD边的中点，∴在Rt△EBA中，AB＝2AE，∵AP⊥BE于点P，∴Rt△ABP∽Rt△EBA，∴＝＝，∴BP＝2AP．②如图，过点C作CH⊥BE于点H，则∠BCH+∠PBC＝90°，又∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠BCH＝∠ABP，又BC＝AB，∴Rt△BCH≌Rt△ABP（AAS），∴BH＝AP，又BP＝2AP，∴BH＝PH，又CH⊥BE，∴PC＝BC．（2）如图，同（1）②可证：Rt△AFD≌Rt△BEA，∴AF＝BE，在Rt△BEA中，若设AE＝1，则AB＝2，BE＝，∵AP⊥BE于点P，∴AP•BE＝AB•AE，∴AP＝＝，则PF＝AF﹣AP＝BE﹣AP＝﹣＝，∴＝．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若△MBN与△ABC相似，求t的值．（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝5．分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则，即，解得：t＝．②当△NBM∽△ABC时，同理可得：t＝，综上所述：当t＝或时，△MBN与△ABC相似；（2）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴，即＝，解得：MD＝t．设四边形ACNM的面积为y，y＝×5×5﹣（5﹣t）t＝（t﹣2.5）2+．根据二次函数的性质可知，当t＝2.5时，y的值最小值为．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．（1）判定△ABP与△PCD是否相似，说明理由；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．【解答】解：（1）△BAP∽△CPD，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∴∠APD+∠DPC＝∠ABC+∠BAP，又∵∠APD＝∠B，∴∠DPC＝∠BAP，∴△BAP∽△CPD；（2）∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP，又∵∠APD＝∠B，∴∠BAP＝∠B＝∠C，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△PBA，∴，∴，∴BP＝．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若＝3，求的值．【解答】解：如图，过点E作EH∥AB交BG于点H，则有△ABF∽△EHF，∴，∴AB＝3EH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴EH∥CD，CD＝AB＝3HE，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG＝2EH，∴＝＝．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD、BC交于点E，连接AC、BD．（1）求证：AB＝AE；（2）若AB＝5，DE＝2，求线段CE的长．【解答】证明：（1）∵C为的中点，∴＝，∴∠BAC＝∠CAD，∵AB是直径，∴∠BCA＝90°＝∠ACE，∴∠E＝∠ABC，∴AB＝AE；（2）∵AB＝AE＝5，∠ACB＝90°，∴CE＝BC＝EB，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∵∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠ABC，又∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA，∴，∴，∴EC＝．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝6，AD＝8，AF＝4，求AE的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∴∠ADE＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，∵∠AFB＝∠B，∠AFE+∠AFD＝180°，∴∠C＝∠AFD，∴△ADF∽△DEC；（2）∵△ADF∽△DEC，∴，∴，∴DE＝12，∵AE2＝DE2﹣AD2＝144﹣64＝80，∴AE＝4．8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点c移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t 秒．（1）根据题意知：CQ＝t cm，CP＝（4﹣2t）cm；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：（1）经过t秒后，CQ＝t，CP＝4﹣2t，故答案为：t；（4﹣2t）．（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即，解得t＝1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，即，解得t＝；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或秒．9．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．10．如图，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE．求证：△ABC∽△DBE．【解答】证明：∵∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴＝，即，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠DBE＝∠DBC+CBE，∵，∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE．11．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．【解答】（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．12．已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN 是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．【解答】解：（1）证明：∵BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，∴BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠CAE＝∠BAF，∴△ABF∽△ACE；（2）证明：∵△ABF∽△ACE，∴＝，∴＝，又∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴＝①，∠AEF＝∠ACB，∵AN是∠BAC的角平分线，∴∠EAM＝∠CAN，∴△EAM∽△CAN，∴＝②，由①②可得：＝．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD，AE．（1）求证：△ABC∽△BGA；（2）若AF＝5，AB＝8，求FG的长；【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，F是AC的中点，∴BF＝AC＝AF，∴∠F AB＝∠FBA，∵AG⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴∠ABC＝∠AGB，∴△ABC∽△BGA；（2）∵AF＝5，∴AC＝2AF＝10，BF＝5，∵△ABC∽△BGA，∴＝，∴BG＝＝，∴FG＝BG﹣BF＝﹣5＝．14．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，E在AD上，过点E作直线l分别和AB、AC 两边交于点P和点Q，且EP＝EQ．（1）当点P和点B重合的时候，求证：；（2）当P、Q不与A、B、C三点重合时，求证：．【解答】证明：（1）如图，过点Q作QF∥BC交AD于F，∴△FQE∽△DPE，∴＝，又∵QE＝EP，∴BD＝FQ，EF＝DE，∵QF∥CD，∴△AFQ∽△ADC，∴，∴，∴；（2）如图，过点Q作QF∥BC交AD于F，过点P作PH∥BC交AD于H，∴QF∥PH，∴△FQE∽△HPE，∴，又∵QE＝EP，∴PH＝FQ，EF＝HE，∵FQ∥BC，∴△AQF∽△ACD，∴，∵PH∥BC，∴△APH∽△ABD，∴，∴＝＝＝．15．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．【解答】证明：（1）∵△ADE∽△ABC，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（2）∵△ABD∽△ACE，∴，∠ABD＝∠ACE，又∵BD＝3，∴CE＝2，word 版数学∴CD＝CE＝2， ∵∠ABD+∠ACD＝90°， ∴∠ACD+∠ACE＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∴DE＝ CD＝2 ． 16．如图，⊙O 中的弦 AC、BD 相交于点 E． （1）求证：AE•CE＝BE•DE； （2）若 AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段 BE 的长．初中【解答】（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠B，∠D＝∠C， ∴△ADE∽△BCE， ∴＝，∴AE•CE＝BE•DE； （2）解：由（1）得，AE•CE＝BE•DE，则 4×3＝BE×（8﹣BE）， 解得，BE1＝2，BE2＝6，即线段 BE 的长为 2 或 6． 17．如图，已知点 D 为△ABC 内一点，点 E 为△ABC 外一点，且满足 （1）求证：△ABD∽△ACE； （2）联结 CD，如果∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ACD＝30°，BC＝ CD 的长．． ，AC＝4，求31 / 63word 版【解答】证明：（1）∵∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，又∵，∴△ABD∽△ACE； （2）如图，数学，初中∵△ABD∽△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∠BAD＝∠CAE＝30°，∴CE＝ AC＝2，AE＝ CE＝2 ，∠ACE＝60°，∴∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝90°，∵，∴＝，∴DE＝3， ∴CD＝＝＝．18．如图，在△ABC 中，∠C＝60°，以 AB 为直径的半圆 O 分别交 AC，BC 于点 D，E， 已知⊙O 的半径为 2． （1）求证：△CDE∽△CBA； （2）求 DE 的长．32 / 63word 版数学初中【解答】（1）证明：∵∠ADE+∠B＝180°，∠ADE+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝∠B， 而∠DCE＝∠BCA， ∴△CDE∽△CBA； （2）连接 BD，如图， ∵AB 为直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BDC＝90°，∠C＝60°， ∴BC＝2CD， ∵△CDE∽△CBA； ∴ ＝ ＝，∴DE＝ AB＝ ×4＝2．19．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4 ，BC＝4，点 E 是 AB 上动点，以 DE 为直径的圆交对角线 AC 于 F，EG⊥AC 垂足为 G．（1）求证：△EFD∽△EGA；（2）求 FG 的长；（3）直接写出 DF+DG 的最小值为 2．33 / 63word 版数学初中【解答】解：（1）∵以 DE 为直径的圆交对角线 AC 于 F，∴∠EAG＝∠EDF，∠EFD＝90°，∵EG⊥AC 垂足为 G，∴∠EGA＝90°＝∠EFD，∴△EFD∽△EGA；（2）∵在矩形 ABCD 中，AB＝4 ∴∠EAD＝90°＝∠EFD，，BC＝4，∴tan∠EAG＝ ＝ ＝ ，∴∠EAG＝30°， ∴在三角形 EGA 中，sin∠EAG＝ ＝ ，∵∠EGF＝∠EAD＝90°， ∵DE 为圆的直径， ∴∠GFE＝∠ADE， ∴△EGF∽△EAD， ∴ ＝ ＝，∵DA＝BC＝4， ∴FG＝2； （3）过点 G 作 GM⊥AD 于点 M，如下图所示：设 AE＝2x，34 / 63word 版数学初中∵∠EAG＝30°， ∴∠GAM＝60°， ∴EG＝x，GA＝ x， ∴在直角三角形 GAM 中，AM＝ x，GM＝ x， ∵AD＝BC＝4， ∴MD＝4﹣ x， ∴在直角三角形 GMD 中，GD2＝GM2+MD2， ∴GD2＝ x2+16+ x2﹣4 x＝3x2﹣4 x+16，∵在直角三角形 AED 中，直径 ED＝，∵在直角三角形 EFD 中，∠EDF＝∠EAG＝30°，∴DF＝ ×ED，∴DF2＝3x2+12， ∵当 DF＝DG 时，DF+DG 取最小值， ∴3x2﹣4 x+16＝3x2+12， ∴x＝ ，∴DF＝ ，DG＝ ， ∴DF+DG 取最小值为 2 ． 故答案为：2 ． 20．如图，点 E 在△ABC 的边 AB 上，过点 B、C、E 的⊙O 切 AC 于点 C，直径 CD 交 BE 于点 F，连接 BD、DE，已知∠A＝∠CDE． （1）求证：∠CDB＝2∠A； （2）若 AC＝ ，BD＝1，求 BF 的长．【解答】解：（1）证明：∵AC 是⊙O 的切线， ∴AC⊥CF，35 / 63word 版数学∴∠ACF＝90°， ∴∠A+∠AFC＝90°， ∴∠A+∠BCD+∠ABC＝90°， 又∠CDE＝∠ABC，∠A＝∠CDE， ∴2∠A+∠BCD＝90°， ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠CBD＝90°， ∴∠BCD+∠CDB＝90°， ∴∠CDB＝2∠A； （2）过 C 作 CH⊥AB 于 H，交 BD 的延长线于 G，如图：初中∵∠DCH+∠ACH＝90°，∠A+∠ACH＝90°， ∴∠DCH＝∠A， 又∵∠CDB＝2∠A； ∴∠CDB＝2∠DCH， ∴∠G＝∠DCH， ∴CD＝DG．∵BD＝1，BC＝ ，在 Rt△BCD 中，CD＝，∴DG＝3，∴BG＝BD+DG＝4，CG＝，∴cos∠G＝，∴cos∠A＝ ，36 / 63word 版数学又 cos∠A＝，∴AH＝AC•cos∠A＝ ，AF＝ ， ∵∠A＝∠CDE，∠ABC＝∠CDE， ∴∠A＝∠ABC， ∴AC＝BC， ∴AB＝2AH＝ ，∴BF＝AB﹣AF＝ ．初中27.3 位似（满分 120 分；时间：120 分钟） 一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计 30 分 ， ）1. 在平面直角坐标系中，，，，以原点为位似中心，将扩大到原来的 倍，若 点的对应点坐标为，则 点的对应点的坐标为()A.B.C.D.2. 在平面直角坐标系中，点，以原点 为位似中心，在第一象限内把线段 缩小为原来的 得到线段 ，则点 的坐标为()A.B.C.D.3. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上 的点 对应大鱼上的点37 / 63word 版数学初中A.B.C.D.4. 在如图所示的网格中，正方形与正方形是位似图形，则位似中心是()A.点 或点B.点 或点C.点 或点D.点 或点5. 如图所示，在边长为 的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心 是（ ）A.点B.点C.点D.点6. 点 、 、 、 都在如图所示的由正方形组成的网格图中，且线段 与线段 成位似图形，则位似中心为（）38 / 63word 版数学初中A.点B.点C.点D.点7. 如图，四边形和四边形是以点 为位似中心的位似图形，若，四边形的面积等于 ,则四边形的面积为A.B.C.D.8. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，以原点 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，得到 标是，则点 的对应点 的坐A.B.C.或D. 或9. 下列各组图形中不是位似图形的是A.B.C.D.39 / 63word 版10. 在平面直角坐标系中，把 它的对应点 的坐标分别为数学初中以原点 为位似中心放大，得到若点 和，则与的相似比为A.B.C.D.二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计 30 分 ， ）11. 如图，与________．是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是12. 如图，在，点 、 分别是 ， 的中点，点是 上一点，将沿 折叠得， ，交 于点 ，当，相似时， 的长为________．13. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．以原点 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，得到 ________．，则点 的对应点 的坐标是40 / 63word 版数学初中14. 大矩形的周长是与它位似的小矩形的 倍，小矩形的面积是 则大矩形的宽为________ ．，大矩形的长为 ，15. 已知四边形各顶点的坐标分别为，以 为位似中心，作四边形位似与四边形位似，对应边的比为 ，则点 、 、 、 的对应点的坐标分别为________，________，________，________.16. 把一个三角形变成和它位似的另一个三角形，若边长缩小到 倍，则面积缩小到原来的 ________倍．17. 如图，五边形与五边形是位似图形，且位似比为 ．若五边形的，面积为，那么五边形的面积为________．18. 在中，，将沿 方向平移，得到，以 为位似中心，作与位似，位似比为 ， 为 的中点，连接 ,,则 的值为________.19. 如图，与是位似图形，位似比为 ，已知，则 的长为________．41 / 63word 版数学初中20. 如图，的顶点在格点上，且点，点．以原点 为位似中心，位似比为 ，在第一象限内将放大，画出________放大后的图形并写出各顶点坐标．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计 60 分 ， ）21. 已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度）请以点 为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比为 ，并求出的面42 / 63word 版数学初中积．22. 如图，已知 是坐标原点， ， 的坐标分别为 ，.在 轴的左侧以 为位似中心作 为；的位似三角形 （要求：新图与原图的相似比分别写出 ， 的对应点 ， 的坐标；若线段 上有一点，则点 在 上的对应点 的坐标为________.23. 如图，在平面直角坐标系中，，．43 / 63word 版数学初中画出向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度后的;以原点 为位似中心，在 轴的右侧画出 相似比为 ;的一个位似，使它与的判断与是否关于某一点 为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心 ,并写出点 的坐标.24. 如图，已知 是坐标原点， 、 两点的坐标分别为、．以 点为位似中心在 轴的左侧将 出图形；放大到两倍（即新图与原图的相似比为 )，画分别写出 、 两点的对应点 、 的坐标．44 / 63word 版数学初中25. 如图， ， 相交于点 ，连结 ， ， ， ，.求证：；与是不是位似图形？并说明理由；若，求 的长．26. 如图，已知 是原点， 、 两点的坐标分别为，.以点 为位似中心，在 轴的左侧将扩大为原来的两倍（即新图与原图的相似比45 / 63word 版数学为 ），画出图形并写出点 ， 的对应点的坐标；如果内部一点 的坐标为 ，写出点 的对应点 的坐标．初中46 / 63word 版数学参考答案与试题解析 一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计 30 分 ） 1. 【答案】 B 【解答】解：∵ 以原点 为位似中心，将放大为原来的 倍，点的对应点是，则点的对应点为.故选 . 2. 【答案】 A 【解答】解：在平面直角坐标系中，点，以原点 为位似中心，在第一象限内把线段 缩小为原来的 得到线段 ，则点 的对应点 的坐标为，即 点坐标为 .故选 . 3. 【答案】 B 【解答】解：根据图形可得，两个图形的位似比是 ，∴ 对应点是.故选 ． 4. 【答案】47 / 63初中word 版数学初中D 【解答】解：如图，连接 ， ， ， 交于点 ；连接 ， ， ， 并分别延长交于点 ,则位似中心为点 或点 . 故选 . 5. 【答案】 B 【解答】 如图所示：两个三角形的位似中心是：点 ． 故选： ．6. 【答案】 B 【解答】 解：点 、 、 、 都在如图所示的由正方形组成的网格图中，48 / 63word 版数学且线段 与线段 成位似图形，则位似中心为点 ，初中故选7.【答案】 D 【解答】解：∵ 四边形和是以点 为位似中心的位似图形，，∴ 四边形与四边形的面积比为： .四边形的面积等于 ,四边形的面积为 .故选 .8. 【答案】 C【解答】解：∵ 点，且相似比为 ，∴当与在 轴同侧时，点 的坐标为，当与在 轴异侧时，点 的坐标为.故选 . 9.49 / 63word 版数学【答案】 D 【解答】解：根据位似图形的定义，可得 ， ， 是位似图形，与 的位似中心是交点， 的位似中心是圆心； 不是位似图形．故选 ．10.【答案】 B 【解答】解：和关于原点位似，且点 和它的对应点 的坐标分别为，对应点的坐标乘以 ，∴与的相似比为 .故选 .二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计 30 分 ） 11. 【答案】 【解答】 解：由题图可知，直线与直线的交点坐标为， 所以位似中心的坐标为． 故答案为：.12. 【答案】或 【解答】 解：初中50 / 63。
人教版 九年级数学下册 第27章 相似 单元测试(含答案)
人教版 九年级数学下册 第27章 相似（含答案）一、单选题1.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G,F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF 的长为（ ）A.2B.3C.4D.52.如图，分别是矩形甲、乙、丙的长和宽（单位：厘米），则其中是相似图形的是（ ） A.甲和乙B.以和丙C.甲和丙D.甲、乙和丙3.如果两个相似五边形的周长比为1:3，则他们的相似比是（ ）A.1:3B.1:9C.D.1:1.54.已知135=a b ，则ba b a +-的值是（ ） G C BAD F丙乙甲11.52.5321.5A.32 B.23 C.49 D.94 5.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ，若:1:25DOE COA S S =V V ，则BDE S V 与CDE S VA.1:3B. 1:4C. 1:5D. 1:256.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3：4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为（ ）A.4：3B.3：4C.16：9D.9：167.如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC =AC ，∠ACB 的平分线CE 交AD 于E ，点F 是AB 的中点，则S △AEF ∶S 四边形 A ．3∶4 B ．1∶2 C ．2∶3 D ．1∶38.已知23a b=(a ≠0，b ≠0)，下列变形错误的是( ) A ．23a b = B ．2a ＝3b C ．32b a = D ．3a ＝2b 9.若△ABC ～△DEF ，相似比为3:2，则对应高的比为（ ）A.3:2B.3:5C.9:4D.4:910.若点P 为线段AB 的黄金分割点，且AP>PB,则下列各式成立的是（）A.2AB AP BP =⋅B. 2BP AP AB =⋅C. 22PA BA BP =⋅D. 2AP AB BP =⋅11.如图, DE 是 △ABC 的中位线, 延长 DE 至 F 使 EF = DE , 连接 CF ,则CEF BCED S S V 四形边∶的值为( )A .1:3B .2: 3C .1:4D .2:5二、填空题12.已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为4:1，则△ABC 与△DEF 对应边上的高之比为13.如图，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB ＝12 m ，则旗杆AB14.△ABC 与△DEF 的相似比为3：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为 ，△ABC 与△DEF的面积比为15.如图， AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥ AB 于点G ，点 F 是 CD 上一点，且满足13CF FD=,连结AF 并延长交 ⊙O 于点 E ，连结 AD 、 D E ，若 CF = 2 , AF =3 ．给出下列结论：① △ ADF∽△ AED ；②FG＝ 2 ；； ④S △D EF =4 5 . 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） .16.如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝4，C 为半圆AB 的中点，P 为»AC 上一动点，延长BP 至点Q ，使2＝BP BQ AB ⋅．若点P 由A 运动到C ，则点Q 运动的路径长为 ．Q17.如图，已知：在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4，DB=3,AC=10.则AE 的长为 。
2018年人教版九年级下册数学《第27章相似》单元测试含答案
第章相似一、选择题.如果，，且是和的比例中项，那么（）. . . ..已知△∽△，面积比为：，则△与△的对应边之比为（）. ： . ： . ： . ：.已知△∽△′′′，，′，则和的大小关系为（）. ＜ . ＞ . . 无法确定.已知△∽△，且相似比为：，则△与△的对应高之比为（）. ： . ： . ： . ：.三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示。
若，′，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）. ： . ： . ： . ：.如图，△∽△，若，，则△与△的相似比是（）．. ： . ： . ： . ：.如图，小正方形的边长均为，则图中三角形（阴影部分）与△相似的是（）. . . ..如图，直线∥∥，直线分别交、、与点、、，直线分别交、、与点、、，与相交于点，如果，，，那么的值等于（）. . . ..如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与、、、、分别交于点、、、、，设△, △, △的面积依次为，，。
若，则的值为( ). . . ..如图，是△斜边上的高，，，则的长为（）. . . ..如图，∠∠，则下列各式不能说明△∽△的是（）. ∠∠ . ∠∠ . ..如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则球拍击球的高度为（）. . . .二、填空题.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的变成了，这次复印的放缩比例是．.已知线段，，那么线段和的比例中项为．. 已知△在坐标平面内三顶点的坐标分别为（，）、（，）、（，）．以为位似中心，画出与△相似（与图形同向），且相似比是的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是．.如图，直线∥∥，直线分别交、、于点、、；过点的直线分别交、于点、．若，，，则线段的长为．.如图，在△中，，，，为上一点，．在上取一点得△．若图中两个三角形相似，则的长是．.在比例尺为：的地图上，图上尺寸为×的矩形操场，实际尺寸为．.已知△中的三边，，，，，分别为，，上的高，则：：．.有一张矩形风景画，长为，宽为，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大．若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为，左、右边衬的宽都为，那么.如图，在四边形中，对角线、相交于点，∠∠°，∠°，∠°，，则．. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段，点是线段的黄金分割点（＜），点是线段的黄金分割点（＜），点是线段的黄金分割点（＜），…，依此类推，则的长度是．三、解答题（共题；共分）.如图，为线段的中点，与交于点，∠∠∠α，且交于，交于（）求证：△∽△；（）连接，如果α°，，，求的长．.如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长米，斜坡坡面上的影子米，太阳光与水平地面成°角，斜坡与水平地面成°的角，求旗杆的高度．（，，，精确到米）．.又到了一年中的春游季节．某班学生利用周末去参观“三军会师纪念塔”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为°；乙：我站在此处看塔顶仰角为°；甲：我们的身高都是；乙：我们相距．请你根据两位同学的对话，计算纪念塔的高度．（精确到米）. 如图，在△中，点，分别在边，上，∠∠，射线分别交线段，于点，，且．（）求证：△∽△；（）若，求的值．. 如图①，在△中，，，∠°．动点以的速度从点出发，沿折线﹣﹣运动到点时停止运动．设点出发时，△的面积为．已知与的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：（）试判断△的形状，并说明理由；（）当为何值时，△与△相似？参考答案一、选择题二、填空题：.（﹣，）、（，）、（，﹣）或×：：.三、解答题.证明：（）∵∠∠∠α，∴∠∠°﹣α，∵∠∠∠°，∴∠∠°﹣α，∴∠∠，∴△∽△；（）解：当α°时，可得⊥且，∵为的中点，∴，∵△∽△，∴，∴，•°，∴﹣﹣，﹣﹣，∴．.解：延长交于点，则∠°，作⊥于，在△中，∠°，，∴°×，在△中，≈（米）∴≈（米）在△中，°≈（米）答：旗杆的高度约为米．.解：如图，，，∠°，∠°，在△中，∵∠，∴，在△中，∵∠，∴，而﹣，∴﹣，即﹣，∴，∴≈（）．答：纪念塔的高度约为．.（）证明：∵∠∠，∠∠，∴∠∠，∵，∴△∽△．（）解：∵△∽△，∴，又∵，∴，∴．.（）解：△是等腰三角形．理由如下：过点作⊥于，∵，，∠°，∴× ，，∴△• ，∴在边上时，•，在边上时，•△﹣，作⊥于，∵，点以的速度运动，∴点在边和上的运动时间相同，∴点是的中△点，∴是的垂直平分线，∴，∴△是等腰三角形（）解：由题意得：∵，，∠°，∴× ，∴，∴（，），∵，，∴当且仅当∠∠时，△∽△，在△中，∠，由°，得，∴当时，△∽△．。