关于条件极值的若干种解法
条件极值问题：数学建模与优化算法
05
条件极值问题的实例分析
线性规划实例
• 线性规划实例：某公司生产多种产品，需要求解各产品的产量和 生产成本的最优解
• 目标函数：最小化生产成本 • 约束条件：产量和原材料消耗的线性方程组 • 求解方法：线性规划模型和单纯形法
非线性规划实例
• 非线性规划实例：某企业需要确定最优的生产策略，以实现最大利润 • 目标函数：最大化利润 • 约束条件：产量、成本和市场需求的非线性方程组 • 求解方法：非线性规划模型和梯度下降法
条件极值问题：数学建模与优化算法
01
条件极值问题的基本概念与类型
什么是条件极值问题
• 条件极值问题是指在一定条件下，求解目标函数的最大值或最小值问题 • 目标函数：需要优化的函数 • 约束条件：限制目标函数取值的范围 • 条件：问题的特定背景和要求
• 条件极值问题可以分为无条件极值问题和条件极值问题 • 无条件极值问题：没有约束条件的极值问题 • 条件极值问题：存在约束条件的极值问题
02
• 等式约束条件极值问题：约 束条件为等式 • 不等式约束条件极值问题： 约束条件为不等式
条件极值问题的应用领域
• 条件极值问题在优化算法、数学建模、工程领域等方面具有广泛 的应用
• 优化算法：求解条件极值问题的方法，如梯度下降法、牛顿法 等
• 数学建模：将实际问题抽象为数学模型，如线性规划模型、非 线性规划模型等
01
• 优点：可以得到精确解，计 算速度快 • 缺点：适用范围有限，需要 满足一定的条件
解析法在条件 极值问题中的 应用领域包括 简单的线性规 划问题、简单 的非线性规划
问题等Biblioteka 02• 简单的线性规划问题：如求 解线性方程组的解 • 简单的非线性规划问题：如 求解一元函数的极值点
求极值的若干方法
求极值的若干方法1 序言一般来说函数的极值可以分为无条件极值和条件极值两类．无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；而条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外还受其它条件限制的极值问题．下面我们给出极值的定义定义1)136](1[P 设函数f 在点0P 的某邻域0()U P 内有定义，若对于任何点0()P U P ∈，成立不等式0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥），则称函数f 在点0P 取得极大（或极小)值，点0P 称为f 的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称为极值．极大值点、极小值点统称为极值点．2 求解一元函数无条件极值的常用方法2.1 导数法 定理１)142](2[P设f 在点0x 连续，在某邻域0(;)oU x δ内可导．(i)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≤，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≥，则f 在点0x 取得极小值．(ii)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≥，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≤，则f 在点0x 取得极大值．由此我们可以推出当0(;)ox U x δ∈时，若()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 不取极值．定理２)142](2[P 设f 在0x 的某邻域0(;)U x δ内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且()0f x '=，()0f x ''≠．(i)若0()0f x ''<，则f 在0x 取得极大值． (ii)若0()0f x ''>，则f 在0x 取得极小值．对于一般的函数我们既可以利用定理１，也可以利用定理２，但对于有不可导点的函数只能用定理１．例1 求函数2()(1)f x x x =-的极值．解 显然f 在01x =±，处不可导，23()(31)sgn()f x x x x '=-- 其中01x ≠±（，）令()0f x '=，得33±=x ，且f 在01x =±，处导数不存在．当(,1)x ∈-∞-时()0f x '<，()f x 单调减小；当(1,3x ∈--时()0f x '≥，()f x 单调增加；当[,0)3x ∈-时()0f x '≤，()f x 单调减小；当3x ∈时()0f x '≥，()f x 单调增加；当x ∈时()0f x '≤，()f x 单调减小；当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调增加， 所以由定理１可以得到()f x 在33±=x 处取得极大值932，在01x =±，处取得极小值0． 若用定理２则有3()6sgn()f x x x x ''=- 其中01x ≠±（，），当x =()0f x ''=-<；当x =，()0f x ''=-<，由此只能判断出f 在33±=x 处取得极大值，而无法判断在不可导点01x =±，处是否取得极值． 定理２表明若函数()f x 在稳定点0x 处的二阶导数()0f x ''≠，则稳定点0x 一定是函数()f x 的极值点，但如果遇到()0f x ''=时应用定理２无法判别，这时需借助更高阶的导数来判别．定理３)143](2[P 设f 在0x 某邻域内存在直到1n -阶导函数，在0x 处n 阶可导，且()0()0(1,2,1)k f x k n ==-，()0()0n f x ≠，则(i)当n 为偶数时，f 在0x 取得极值，且当()0()0n f x <时取极大值，()0()0n f x >时取极小值． (ii)当n 为奇数时，f 在0x 处不取极值．例2 求函数43()(1)f x x x =+的极值．解 由于32()(1)(74)f x x x x '=++，因此40,1,7x =--是函数()f x 的三个稳定点． f 的二阶导数为22()6(1)(782)f x x x x x ''=+++，由此得，(0)(1)0f f ''''=-=及4()07f ''-<．所以()f x 在47x =-处取得极大值．求f 的三阶导数32()6(3560304)f x x x x x '''=+++，有(0)0f '''=，(1)0f '''->．由于3n =为奇数，由定理３知函数f 在1x =-处不取极值， 再求f 的四阶导数(4)32()24(3545151)f x x x x =+++，有(4)(0)0f >．因为4n =为偶数，故f 在0x =处取得极小值．综上所述，(0)0f =为极小值， 434436912()()()777823543f -==为极大值．2.2 对某些复杂函数求极值的特殊方法对某些比较复杂（比如含根号）的函数，求导数、稳定点比较困难，计算容易出错，这时我们可以利用()f x 与()nf x 有相同的极值点（极值的类型可能不同）这一特点，把复杂的函数转化为一般函数再求解．推论1[3](36)P 设0x 为()f x 的极大（小）值点，则有：１）如果()0f x ≥，则()f x 与()nf x 有相同的极值点和极值． ２）如果()0f x ≤，则()f x 与21()n f x +仍有相同的极值点，但()f x 与2()n f x 的极值的类型恰恰相反，即0x 为2()nfx 的极小（大）值点．例 3 求函数(8)y x =-解 因为 5104(8)(1)y x x =-+，所以59410393()10(8)(1)4(8)(1)2(8)(1)(711)y x x x x x x x '=-++-+=-+-．令0)(5='y ,得11-=x ，82=x ，7113=x ， 故当11(,1)(,8)7x ∈-∞-⋃ 时，5()0y '<，5y 单调减，当11(1,)(8,)7x ∈-⋃+∞时，5()0y '>，5y单调增，所以5y 在1x =-，8x =处取得极小值0，在117x =处取得极大值1044518()()77．根据推论1得y 在1x =-和8x =处取得极小值0，在117x =处取得极大值4254518()()77．若直接用对函数求导的方法可得4125542(8)(1)(8)(1)5y x x x x -'=-++-+21542(8)(1)(8)5(1)x x x x -++-=+ 显然导数较复杂，求稳定点比较困难，且有不可导点，直接求导数容易出错．由上述方法可知稳定点，导数不存在的点是连续函数可能的极值点，此外函数可能的极值点还能是第一类间断点．我们假设()f x 在0x 的某邻域00(,)x x δδ-+内有定义，0x 是()f x 的第一类间断点，根据极值的定义可得到()f x 在0x 处求极值的两个推论[4](11)P ．推论２ 如果000()lim ()x x f x f x →->且000()lim ()x x f x f x →+> 则()f x 在点0x 处取得极大值)(0x f ．推论３ 如果当00(,)x x x δ∈-时，()f x 单调增加，当00(,)x x x δ∈+时，()f x 单调减少，且000()lim ()x x f x f x →-≥、000()lim x x f x →+≥则在点0x 处取得极大值0()f x ．类似地可以推出极小值．例4 求函数3,()3,x x f x x ⎧=⎨+⎩ .0,0≤>x x 的极值．解 当0x >时，33()()3(1)xxf x x x Inx ''==+， 令()0f x '=得稳定点1x e=， 当10x e<<时，()0f x '<；当1x e >时，()0f x '>，故()f x 在1x e=处取极小值311()()e f e e =．又当0x <时()10f x '=>，()f x 单调增加； 当10x e<<时3()3(1)0xf x x Inx '=+<，()f x 单调减少，且0lim ()3(0)x f x f -→==，00213lim3lim11300lim ()lim 1(0)x x Inx x xInx xx x x f x e e ee f ++→→++-→→=====<．所以()f x 在0x =有极大值(0)3f =．3 求解二元函数无条件极值常用的方法3.1 利用判别式求极值定理４)138137](1[P P - 设二元函数f 在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内具有二阶连续偏导数，且0P 是f 的稳定点，则有如下判别式：（i ）当0()0xx f P >，20()()0xx yy xy f f f P ->时，f 在点0P 取得极小值； (ii)当0()0xx f P <，20()()0xx yy xy f f f P ->时，f 在点0P 取得极大值；(iii)当20()()0xx yy xy f f f P -<时，f 在点0P 不能取得极值； （iv ）当20()()0xx yy xy f f f P -=时，不能肯定f 在点0P 是否取得极值．这是对二元函数求极值比较实用的方法，但在用这个方法时需要注意一些问题．1）20()()0xx yy xy f f f P -=时，可能有极值也可能没有极值，需要另作讨论．例如函数46(,)f x y x y =+与46(,)g x y x y =-，容易验证这两个函数都以点(0,0)为稳定点，且在点(0,0)处都满足2()(0,0)0xx yy xy f f f -=，但(,)f x y 在点(0,0)处取极小值，而(,)g x y 在点(0,0)处不取极值．2）如果函数在个别点的偏导数不存在，这些点显然不是稳定点，但也可能是极值点，因此我们在讨论函数的极值问题时，对这些点也应当考虑．例如函数z =(0,0)的偏导数不存在，但是该函数在点(0,0)点却具有极小值．一般在高等数学教材中，对像这样的二元函数并没有明确给出在偏导数不存在处求极值的方法，他们只是根据初等数学中函数图像的性质推断出在该点能否取极值．对此我参考对特殊一元函数求极值的方法推导出了对特殊二元函数求极值的一般解法．3.2 二元函数在偏导数不存在处求极值的特殊方法 命题1 设00(,)x y 为(,)f x y 的极大（小）值点，则有：1）21(,)n f x y +与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型，即00(,)x y 也为21(,)n f x y +的极大（小）值点；2）当(,)0f x y ≥时，2(,)nfx y 与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型，即00(,)x y 为2(,)nf x y 的极大（小）值点；当(,)0f x y <时，2(,)nf x y 与(,)f x y 仍有相同的极值点，但它们的极值类型恰恰相反，即00(,)x y 为2(,)nf x y 的极小（大）值点．下证结论1）, 2），1）证 由极值的定义知，若00(,)x y 是(,)f x y 的极大（小）值点，则对于00(,)x y 的某一邻域内的任一点(,)x y 都有00(,)(,)f x y f x y ≤（或00(,)(,)f x y f x y ≥），故有212100(,)(,)n n f x y f x y ++≤（或212100(,)(,)n n f x y f x y ++≥）．反之，若212100(,)(,)n n fx y f x y ++≤（或212100(,)(,)n n f x y f x y ++≥），则有00(,)(,)f x y f x y ≤（或00(,)(,)f x y f x y ≥），即21(,)n fx y +与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型． ２）当(,)0f x y ≥时，结论很明显，证略．下证当(,)0f x y <时，证 不妨设00(,)x y 是(,)f x y 的极大值点，则对00(,)x y 的某邻域内有00(,)(,)f x y f x y ≤， 所以有212100(,)(,)n n f x y f x y --≤，由于(,)0f x y <，故21210000(,)(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y f x y --≥，即2200(,)(,)n nf x y f x y ≥．所以00(,)x y 是(,)f x y 的极小值点．例5 求函数1122222222()(1)x y z x y a b=+-- (0)a b <<的极值．分析：直接对z 求偏导，则有22222211[1()]x x x y z --+=，22222112[1()]y y y x z -+-=，显然计算相当麻烦，且(0,0)点为函数z 的不可导点，但也可能是函数的极值点，故直接求导不可取，这时可利用命题１来求解．解 令2222222()(1)x y f z x y a b==+-- (0)a b <<，需先对函数f 求偏导，令22222222222112[1()]0,1122[1()]0.x y x f x y a a by f y x a b b ⎧=--+=⎪⎪⎨⎪=-+-=⎪⎩解得稳定点(0,0)，(0,，(， 又2222121122()xx x A f y a a b ==--+，22114()xy B f xy a b==-+，22222111222()xy y C f x a b b==-+-，因为在点(0,0)有20AC B ->，且有0A >，故点(0,0)为函数f 的极小值点；在点(0,有20AC B ->，且有0A <，故点(0,为函数f 的极大值点；而在点(有20AC B -<，故函数f在点(不取极值． 又因为0z ≥，从而由命题１可得函数z 在点(0,0)取得极小值0，在点(0,取得极大值2b．4 求解隐函数无条件极值的常用方法4.1 利用显函数极值问题的相应结论 定理５[5](26)P 设函数12(,,,,)n f x x x y 具有一阶、二阶连续偏导数，且12(,,,,)0y n f x x x y ≠，则由方程12(,,,,)0n f x x x y =所确定的n 元函数12(,,,)n y y x x x =在点000012(,,,)n P x x x 取得极值的必要条件是：000012(,,,)0i x n f x x x y =(1,2,,)i n =其中00012(,,,)0n f x x x y =．若记00012000012(,,,)(,,,)i j x x n ij y nf x x x y h f x x x y =-(,1,2,,)i j n =，0()()ij n n H P h ⨯=．那么，当0()H P 为正定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =在0P 处取得极小值；当0()H P 为负定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =在0P 处取得极大值；当0()H P 为不定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =在0P 处不取得极值．例6 求由方程2222222440x y z xy x y z +++---+=所确定的函数(,)z z x y =的极值． 解 令222(,)222244f x y x y z xy x y z =+++---+，解方程组2224220,2220,2222440.x y f x y f y x f x y z xy x y z ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=+++---+=⎩解得稳定点为1(0,1,1)P ，2(0,1,3)P ，进而可得4xx f =，2xy f =，2yy f =，1()2z f P =-，2()2z f P =，所以121()11H P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，221()11H P --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，显然1()H P 为正定矩阵，2()H P 为负定矩阵．由定理５可知函数(,)z z x y =在点1(0,1)P 处取得极小值1，在点2(0,1)P 处取得极大值3． 4.2 利用拉格朗日乘数法[6](167)P这种方法是把原方程中的隐函数设为目标函数，把原方程设为约束条件，将隐函数极值问题转化为求条件极值的问题．例7 求由方程22222880x y z xz z +++-+=所确定的隐函数(,)z z x y =的极值． 解 取目标函数(,,)f x y z z =，约束条件为原方程，作辅助函数222(,,,)(2288)L x y z z x y z xz z λλ=++++-+，令222480,40,1820,22880.x yz L x z L y L x z L x y z xz z λλλλλλλ=+=⎧⎪==⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-+=⎩ 解得1115λ=-，2115λ=，稳定点1168(,0,)77P -，2(2,0,1)P -， 又4xx L λ=，0xy L =，4yy L λ=，由于22160xx yy xy f f f λ-=>(0)λ≠，故所求之点1168(,0,)77P -，2(2,0,1)P -均为极值点，且当0λ<时为极大值点，当0λ>时为极小值点．由此得所求函数(,)z z x y =的极大值为87-，极小值为1．同样例1也可以用这种方法求解．5 求解条件极值的常用方法5.1 代入法化为无条件极值问题这种方法一般是从条件方程（以二元条件极值为例）(,)0x y ϕ=中解出显函数()y y x =代入(,())z x y x =中化为无条件极值问题，从而使问题简化．例8 求函数22(,)f x y x y =+在条件10x y +-=下的极值．解 由10x y +-=，得1y x =-， ⑴ 将⑴代入(,)f x y ，得222(1)221f x x x x =+-=-+，由二次函数的顶点式可知当12x =时，f 取得极小值12．显然用这种方法比拉格朗日乘数法更简洁，但在求解过程中要注意几个问题：1）这种方法适合用于比较简单的、含自变量较少函数，一般不超过三个；2）对有些约束条件较复杂、不易从约束条件中解出显函数的函数，这时不适合用代入法求解； 3）在求解过程中如果不注意代入的条件则可能导致不完整甚至错误的答案[7](42)P ．例如求解原点到曲面22()1x y z -+=的最短距离．用代入法求解时，如果将221()z x y =--代入222u x y z =++得2221()12u x y x y xy =++--=+，由20,20.x y u y u x ==⎧⎪⎨==⎪⎩得可能的极值点为1(0,0,1)P 与2(0,0,1)P -，此时1P ，2P 到原点的距离均为1，而曲面22()1x y z -+=存在到原点的距离比1小的点，比如11(,,0)22P -就是这样的点，因此用代入法求解时，这样的最短距离不存在．而用拉格朗日乘数法求解时，则可得到二个可能的极值点分别是311(,,0)22P -与411(,,0)22P -，且从几何图形不难看出3P ，4P正是两个最值点，最短距离为2．原因是求222u x y z =++在约束条件22()1x y z -+=的最值时，x 与y 的取值范围必须满足1x y -≤，而将221()z x y =--代入222u x y z =++后得12u xy =+，x 与y 的取值范围都已是),(+∞-∞．5.2 利用拉格朗日乘数法用拉格朗日乘数法可求解含更多自变量的条件极值且无需解出显函数，其方法简捷．但其不足之处是所求的点只是可能的极值点，在解题过程中通常是根据问题的实际情况来推测．若想要确定该点是否是极值点及在该点的极值类型则需要根据拉格朗日函数L 的二阶微分符号来判断．定理６[8](257258)P P - 设0P 是拉格朗日函数L 的稳定点，则1） 若20()0d L P >，则函数f 在0P 取条件极小； 2） 若20()0d L P <，则函数f 在0P 取条件极大．例9 求函数222212341234(,,,)f x x x x x x x x =+++在条件411(0,1,2,3,4)k kk k a xa k ==>=∑下的极值．解 设拉格朗日函数为42222123412341(,,,)(1)k kk L x x x x x x x x a xλ==++++-∑，对L 求偏导并令它们都等于0，则有1233411223444120,20,20,20,10.x x x x k k k L x a L x a L x a L x a a x λλλλ=⎧⎪=+=⎪⎪=+=⎪⎪=+=⎨⎪=+=⎪⎪⎪-=⎪⎩∑解得421(1,2,3,4)ii kk a x i a===∑，4212kk aλ==-∑，又当4212kk aλ==-∑时，222142()0d L d x d x =++>，所以当421(1,2,3,4)ii kk a x i a===∑时，f 取得极小值，极小值为4211kk a=∑．5.3 运用梯度法求条件极值将梯度法用于求条件极值问题，方程组11212112(,,,)(,,,),(,,,)0,(1,2,,1).n n i i n i i n gradf x x x grad x x x x x x i n λϕϕ-=⎧=⎪⎨⎪==-⎩∑的解就是所求极值问题的可能极值点[9](35)P ．例10[9](35)P 试求n 个正数，其和为定值l 的条件下，什么时候乘积最大，并证明2121()n n x x x x n ≤+++．证 本题的实质是求1212(,,,)n n y f x x x x x x ==在条件12n x x x l +++=下的最大值问题．根据本文定理，列出下列方程组，求解可能的极值点121212()(),.n n n grad x x x grad x x x l x x x l λ=+++-⎧⎨+++=⎩进一步求解得{}{}231312112,,,1,1,,1,.n n n n x x x x x x x x x x x x l λ-=⎧⎪⎨+++=⎪⎩容易得到12n lx x x n ====，根据题意，则,,,l lln n n（）是唯一的极大值点,也是最大值点．所以 12(,,,)nn l f x x x n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2121()n n x x x x n≤+++．5.4 利用球面坐标求条件极值利用空间坐标点M 的直角坐标(,,)x y z 与球面坐标(,,)γϕθ之间的关系，应用这一变换可求解含平方和（或可化为含平方和）运算的条件极值问题[10](96)P ．例11[10](96)P 求函数222u x y z =++在条件22()1x y z --=下的极值．解 利用球面坐标法，由目标函数222u x yz =++，可设cos ,sin ,x y z ϕθϕθϕ===，代入约束条件可得21sin (2sin 2)12uϕθ=--≤ (当13,24ϕπθπ==时取等号)，于是12u ≥，故所求极小值为12u =． 利用球面坐标求解条件极值问题其解法优于代入法、乘数法，且解法简洁，省去了对极值充分性的考虑，比一般的方法省事许多，同时所获得极大（小）值就是最大（小）值．6 极值与最值的联系与区别及最值应用在日常生活、工程技术与生产实践中，我们常会遇到这样的问题：在一定的条件下，怎样才能使产品最多而用料最省，成本最低而利润最大等，这些问题通常都归结为数学中的最值问题．下面我们给出最值的定义[12](80)P ．定义2 设函数f 在区域D 上连续，如果存在D 中的点0P ，1P 使得0()f P M =，1()f P m =，且对于任意的点P D ∈都有()m f P M ≤≤，则称M 为f 在D 上的最大值，m 为f 在D 上的最小值，0P 称为最大值点，1P 称为最小值点．最大值与最小值统称为最值，最大值点与最小值点统称为最值点．最值和极值在某种程度上有相似点，也有不同点，了解了极值与最值的关系有助于求解函数的最值．极值与最值的区别和联系：1）极值是函数在某点的局部性质，而最值是函数在区域的整体性质； 2）在给定的区域上极值可能有多个，而最大（小）值最多各有一个； 3）在区间内部最值一定是函数在某个区域的极值，极值未必是最值； 4）极值点不能是边界点，最值点可以为边界点；5）如果函数的最值在某个区域内取得，该点一定是极值点；6）在整个区域上极小值可能大于极大值，而最小值一定不大于最大值．所以要求函数在区域上的最大（小）值，只要比较函数在所有稳定点、不可导点和区域的边界点上的函数值，就能从中找出函数在该区域上的最大值与最小值． 通常在求闭区域上的多元函数的最值时，都按下列步骤进行． 第一步：在区域内部求出函数的所有稳定点和偏导数不存在的点； 第二步：计算在这些点处的函数值及函数在区域边界上的函数值； 第三步：比较上述所求值的大小，最大（小）者为最大（小）值．在实际问题中，根据对问题的分析知函数的最值存在，而函数在区域内部只有一个稳定点，则函数在该点的值就是所求的最大（小）值．例12)176](7[P 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求价格分别是11182P Q =-，2212P Q =-（单位：万元／吨），1Q ，2Q 分别表示该产品在两个市场的销售量（单位：吨），则该企业生产这种产品的总成本是25C Q =+，其中12Q Q Q =+．（１）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润．（２）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润的大小．解 （１）根据题意，总利润函数为1122(25)L PQ P Q Q =+-+221212216105Q Q Q Q =--++-， 令12124160,2100.Q Q L Q L Q =-+=⎧⎪⎨=-+=⎪⎩解得14Q =，25Q =，则有110P =(万元/t)，27P =(万元/t) ．因稳定点(4,5)唯一，且该实际问题一定存在最大值，故最大值必在稳定点处达到，最大利润为22245164105552L =-⨯-+⨯+⨯-=（万元）． （２）若实行价格无差别策略，则12P P =，于是有1226Q Q -=， 构造拉格朗日函数22121212216105(26)F Q Q Q Q Q Q λ=--++-+--，令12121241620,2100,260.Q Q F Q F Q F Q Q λλλ=-++=⎧⎪=-+-=⎨⎪=--=⎩解得15Q =，24Q =，2λ=，则得128P P ==， 最大利润为22254165104549L =-⨯-+⨯+⨯-=（万元）． 由上述结果知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的总利润．参考文献：[1] 华东师范大学数学系编．数学分析下册[M]．高等教育出版社，2002[2] 华东师范大学数学系编．数学分析上册[M]．高等教育出版社，2002 [3] 孟赵玲，许燕．函数极值的两个简单求法[J]．北京印刷学院学报，2005，09 [4] 王金金，任春丽．函数在间断点处的极值问题[J]．高等数学研究，2006，03 [5] 单国莉．矩阵的正定性和隐函数的极值[J]．高等数学研究，2004，12 [6] 李心灿，宋瑞霞，旭辉．高等数学专题十二讲[M]．化学工业出版社，2001 [7] 莫国良．关于用代人法求条件极值的一点注记[J]．高等数学研究，2004，06 [8] 邓东皋，尹小玲．数学分析简明教程[M]．高等教育出版社，1999[9] 肖翔，伯生．用梯度法求条件极值[J]．上海工程技术大学教育研究，2006，01 [10] 李德新．球面坐标解一类条件极值问题[J]．高等数学研究，2005，09[11] 吉艳霞．函数极值问题的方法探讨[J]．运城学院学报，2006，08[12]Stanley J.Farlow and Gray M.Haggaryd．Caculus and its Applications[M]．New York: McGraw-Hill Publishing Company，1990。
高考数学中的条件极值问题详解
高考数学中的条件极值问题详解随着高考的临近，每年的高考数学考试都是很多考生最为头疼的一部分。
其中，条件极值问题就是很多考生容易遇到的难题。
本文将从条件极值问题的定义、解题思路和常见例题等方面来详解这一难点。
一、条件极值问题的定义条件极值问题是指在满足一定条件下，求出目标函数的最大值或最小值。
所谓目标函数，就是表示问题中要求最大值或最小值的那个函数式。
条件则是问题给出的限制条件。
例如，假设有一个长为 L、宽为 W 的矩形，求其面积最大值，那么这个“最大值” 就是目标函数，而长和宽的限制条件则是其长度 L、宽度 W 必须满足的限定范围。
二、解题思路1. 确定目标函数在解题过程中，首先要明确目标函数是什么，根据题目描述确定目标函数，通常来说是在条件下求出某个量的最大值或最小值。
2. 确定限制条件由题目中的条件限制，列出等式或不等式，这些条件是问题的限制条件，限定了问题中变量的取值范围。
3. 消去无关变量有时候，为了方便计算，我们需要将无关变量进行消去，只留下一个或两个有关的变量。
4. 联立目标函数和条件将目标函数和限制条件进行联立，并进行化简，得到一条或多个关于有关变量之间的等式或不等式关系。
5. 求导数如果是求最值，那么需要对目标函数进行求导，然后将导函数等于零的解代入原函数中，并判断取得最大值或最小值的点是否在条件限制范围之内。
三、常见例题解析1. 一个质量为 m 的圆柱体，其长度为 L，求将它铸成一个底面积为 A 的球体，所需要的最少金属材料的量。
分析：目标函数为金属的总重量，即重量 W；限制条件可以根据推导得出表达式4πR^2 = A 和V = πR^2L。
其中，R 表示球体的半径，V 表示圆柱体的体积。
根据重量 W 以 R 为单变量函数求导数，并求出导数等于零的解 R0，将其代入 W 中求得最小值。
2. 在所有等边三角形 ABC 中，以 AK、BL、CM 为三边所成的三角形P 的面积最大。
证明此三角形是等边三角形，并求其面积。
§4条件极值.
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拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般
目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数
L( x1 , x2 ,
f ( x1 , x2 ,
, xn , 1 , 2 ,
, xn )
m k 1
, m )
, xn ). (3)
, m 称
从而 z f ( x, y) 在条件 ( x , y ) 0下可能的极值. 必要条件
f x ( x0 , y0 ) x ( x0 , y0 ) 0
f y ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 ) 0
( x0 , y0 ) 0
我们引入函数 L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y) 上述必要条件恰好是函数L(x,y,)的驻点。
§4 条 件 极 值
一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 三、应用举例
一、问题引入
例1 小王有400元钱，他决定用来购买两种急需物品： 计算机光盘和录音磁带，设他购买x张光盘，y盒录音磁 带达到最佳效果，效果函数为
U ( x , y ) ln x ln y
设每张光盘8元，每盒磁带10元， 问他如何分配这400元以达到最佳效果． 问题的实质： 在条件 8 x 10 y 400 下求 U ( x , y ) ln x ln y 的极值点． 很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义域上 自由变化, 而是要受到某些条件的约束，即极值点的 搜索范围要受到各自不同条件的限制. 条件极值：对自变量有附加条件的极值．上 页 下 页 返 回
例2 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试问长、 宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到最小?
条件极值——精选推荐
于是 grad f ( x0, y0 ) 和 gradg(x0, y0 ) 平行 ．
再假定 gradg(x0, y0 ) ≠ 0 , 于是存在常数 λ ，使得 grad f (x0, y0 ) = λgradg(x0, y0 ) ．
f (x, y) 称为目标函数 ；g(x, y) = 0 称为约束条件 ．
此时 (x0, y0 ) 称为问题的一个解．
二元函数条件极值的拉格朗日乘子法
为了求解条件极值问题：
⎧min f (x, y)
⎩⎨s.t g(x, y) = 0 .
１
构造辅助函数 L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
⎪⎧min(max)
⎨ ⎪⎩s.t.
x2 +
f (x, y) = y2 −1= 0
x2
+
2x2
y
+
y2
．
1
构造辅助函数
L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
L( x, y, z,λ ) = x2 + 2x2 y + y2 − λ ( x2 + y2 − 1) .
列方程组：
3
3
3
例3 要设计一个容量为V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y ,
z 使在条件 x y z = V0 下水箱表面积 S = 2(xz + y z) + x y
多元函数条件极值拉格朗日乘数怎么解
多元函数条件极值拉格朗日乘数怎么解1. 转化为无条件极值在讨论多元函数极值问题时，如果遇到除了在定义域中寻求驻点（可能的极值点）外，对自变量再无别的限制条件，我们称这类问题为函数的无条件极值。
如求的极值，就是无条件极值问题。
然而在实际中，我们也会遇到另一类问题。
比如，讨论表面积为的长方体的最大体积问题。
若设长方体的三度为, 则体积，同时应满足于是我们的问题的数学含义就是：当自变量满足条件下取何值时能使函数取得最大值。
（这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值）。
一般抽象出来，可表为如下形式：即函数在条件下的取极大（小）值问题。
今后，我们称这种问题为函数的条件极值问题。
对自变量有附加条件的极值称为条件极值。
一般称为目标函数，为约束条件( 或约束方程) 。
对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。
例如上述问题, 由条件, 解得, 于是得 V .只需求 V 的无条件极值问题。
例6 求函数在约束条件下的条件极值。
解由约束条件可解出代入目标函数，有：令得驻点由于当时，，当时，在时取极大值，又当时，由约束条件可解出，而，此例说明条件极值可有如下一种解法：如果能从约束方程中解出一个自变量，代入目标函数后，就可转化为无条件极值。
通过讨论无条件极值可得问题的解答。
但在很多实际问题中，往往不容易从约束条件中解出一个自变量，从而上述方法就失效了。
因此，对条件极值我们应讨论一般解法。
2. 关于条件极值的拉格朗日乘数法在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易。
需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法：要找函数 z = f ( x , y ) 在条件 j ( x , y ) = 0 下的可能极值点, 可以先构成辅助函数 F ( x , y ) = f ( x , y )+ lj ( x , y ) , 其中 l 为某一常数。
然后解方程组.由这方程组解出 x , y 及 l , 则其中( x , y ) 就是所要求的可能的极值点。
条件极值与拉格朗日乘数法
§4条件极值一、何谓条件极值在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。
决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。
我们知道点),,(z y x 到点),,(000z y x 的距离为202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题.又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值22221n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21 )0(>i x 的限制下，求函数f 的极小值问题。
这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 .分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ限制下， 求目标函数),,,(21n x x x f y =的极值.对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例 1 由V xyz =解出 xyVz =, 并代入函数),,(z y x S 中, 得到xy xy V y x F ++=)11(2),(, 然后按)0,0(),(=y x F F , 求出稳定点32V y x ==, 并有3221V z =, 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243V S =.然而, 在一般情形下条件组中解出m 个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法. 二、条件极值的必要条件设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有0)(='+=x g f f dx dzy x .代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,即 x f -y ϕy f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使 (x f , y f ) + λ(x ϕ , y ϕ)0=.亦即 ⎩⎨⎧=+=+. 0, 0y yx x f f λϕλϕ三、 Lagrange 乘数法:由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 . 例2 求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值。
条件极值解方程组技巧
条件极值解方程组技巧
条件极值解方程组是一种求解多元函数极值的方法，它通过引入约束条件，将问题转化为求解一系列的一元或二元方程组，从而得到函数的极值。
以下是条件极值解方程组的技巧：
1.建立方程组：首先，需要确定问题的约束条件，然后根据这些约束条件建立
相应的方程组。
方程组中应该包含所有变量的方程，以及描述约束条件的方程。
2.消元法：在建立方程组后，可以采用消元法来求解。
消元法是一种通过代入
或加减消去一些变量，从而将方程组转化为更简单的一元或二元方程的方
法。
在条件极值问题中，消元法可以帮助我们找到函数的极值点。
3.换元法：当方程组中的变量较多或较复杂时，可以采用换元法来简化问题。
换元法是通过引入新的变量来代替原来的变量，从而将问题转化为更简单的问题。
在条件极值问题中，换元法可以帮助我们找到函数的极值点。
4.梯度法：梯度法是一种求解多元函数极值的方法，它通过计算函数的梯度向
量，找到函数变化最快的方向，从而得到函数的极值点。
在条件极值问题
中，梯度法可以帮助我们找到函数的极值点。
5.拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法是一种求解条件极值的方法，它通过引入
拉格朗日乘数来描述约束条件对目标函数的影响，从而得到函数的极值点。
在条件极值问题中，拉格朗日乘数法可以帮助我们找到函数的极值点。
总之，条件极值解方程组需要掌握多种技巧和方法，包括建立方程组、消元法、换元法、梯度法和拉格朗日乘数法等。
在具体应用中，需要根据问题的具体情况选择合适的方法来求解。
同时，需要注意约束条件的处理和方程组的解的验证，确保得到的解是正确的。
数学分析14-8条件极值
§14.8 条件极值
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：光盘和磁带，设他购买 x 张光 y 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数 盘， 为 U ( x , y ) ln x ln y ．设每张光盘8元， 每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达 到最佳效果．
k 1 m
其中 1 , 2 ,m 为拉格朗日常数.
定理1：设 f 和 k (k 1,2,, m)如上, 均在D内有 (0) (0) (0) 若 P ( x , x , , x 连续的一阶偏导数, 0 1 2 n ) D 是 上述问题的极值点, 且雅可比矩阵
1 x1 m x 1 1 x n m x n P
k ( x1 , x2 ,, xn ) 0, k 1,2,, m, (m n) 的限
制下, 求目标函数 y f ( x1 , x2 ,, xn ) 的极值.
其拉格朗日函数是：
L( x1 , x2 , , xn , 1 , 2 , m )
f ( x1 , x 2 , , x n ) k k ( x1 , x1 , , x n ) (1)
x x0 y y0 z z0 化简为 2 2 1, 2 a b c
该切平面在三个轴上的截距各为
b c a x ， y ，z , z0 y0 x0 2 2 2 1 a b c 所围四面体的体积 V xyz , 6 6 x0 y0 z 0
2
2
2
2 2 2 x0 y0 z0 在条件 2 2 2 1下求 V 的最小值, a b c
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
数学分析(下)18-4条件极值
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式, 继而求得: ( 这里 l ¹ -1, 否则将无解 )
z = 2x2
ü ý
Þ
2
x
2
+
2
x
-
1
=
0,
z = 1- 2x þ
Þ
ì ï í
x
=
y
=
-1 ± 2
3,
ï î
z
=
1
-
(
-
1±
3 )= 2
3.
最后得到
x2 + y2 + z2 = 2(-1 ± 4
3 )2 + ( 2
3 )2
W = { P | P Î D, jk (P) = 0, k = 1, 2, , m }. 若存在 P0 Î W , d > 0, 使得
f (P0 ) £ f (P) , " P Î W Ç U (P0;d ) ( 或 " P Î W ),
则称 f (P0 ) 是 f (P) 在约束条件 F 之下的极小值 (或最小值) , 称 P0 是相应的极小值点 (或最小值 点). 类似地又可定义条件极大 (或最大) 值.
í ï ïî
¶L ¶lk
= jk ( x1, x2,, xn ) = 0 , k = 1, 2,, m.
说明 对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说
明; 对一般情形的证明, 将放到二十三章的定理
23.19 中去进行.
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三、应 用 举 例
定理 18.6 指出的方法称为拉格朗日乘数法. 下面
d 2 的最大、小值, 即 a2 与 b2; 而 m1 m 2 = 4 , 于是
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1 关于条件极值的若干种解法 摘要：条件极值在高等数学中占有重要的地位，可以方便解决一些实际的应用问题.本文介绍几种常见条件极值的解法，由于拉格朗日乘数法是应用比较广泛的一种解法，故本文着重介绍该解法. 关键词：条件极值 拉格朗日乘数 柯西不等式
Several species of Conditional Extreme Value Method
Abstract: Conditional extreme value in higher mathematics occupies the important position, can go to the lavatory to solve some practical application problems. This paper introduces several common conditional extreme value solutions, including Lagrange multiplier method is applied popular a kind of solution, this paper will be introduced emphatically
Key word: Conditional extreme value Lagrange multiplier method cauchy inequality
一．引论 众所周知，条件极值是高等数学一个重要的知识点，也是高等数学的基础和核心，它在高等数学中有广泛的应用，而且在实际生活中有很大的应用价值.今天人们更加注重科学决策，因为条件极值可以用于揭示了成本最小化、利润最大化等问题的经济意义,所以研究条件极值具有重要意义，本文给出几种常见的解法，分别是利用拉格朗日乘数法，柯西不等式，利用二次函数的极值来求条件极值. 二、方法介绍 1. Lagrange乘数法 在许多极值问题，其极值点还受到y各自不同的限制，例如，要在斜边之长为L的直角三角形中，求周长为最大的直角三角形. 2
首先，我们设直角三角形的两条直角边长分别为1x和2x，则周长lxxS21，其中)0,0(21lxlx. 观察发现，上述周长函数的自变量不仅要符合定义域条件)0,0(21xx,而且还保证满足斜边取值为l和等式22221lxx，则这类具有约束条件的极值问题就是条件极值问题. 条件极值的一般形式为： 目标函数：J12(,,,)nfxxx ○1
..tsnmxxxxxxxxxxxxnmnmnn0),,,(0),,,(
0),,,(
0),,,(
21211212211
○2
一般情况下，在遇到y这类问题时，可以把条件极值化为无条件极值来求解.但在很多情况下，要从约束条件下解出m个变量并不容易.此时我们就可以利用Lagrange乘数法，它可以用于直接寻求条件极值，而不必先把问题转化为无条件极值.下面我们就来介绍Lagrange乘数法. 对于前面提到的由○1、○2两式所表示的条件极值问题，引进辅助函数
miniinmnxxxxxxfxxxL121212121),,,(),,,(),,,,,,,(，
其中i为辅助变量. 设为002010,,,nxxxp目标函数在条件(2)下的极值点， 3
..ts 0,,, 0,,,0,,,0,,,,,, 0,,,,,,0,,,,,,0020100201002012102012102012102012121nnnmxmxmXxxxLxxxLxxxLxxLxxLxxLmn ○3
这样就把条件极值问题○1、○2转化为○3这种无条件极值问题，这种方法称为拉格朗日乘数法，其中L称为Lagrange函数，i称为Lagrange乘数.这个结论可由以下定理推导得出. 定理：设在约束条件○2下，求函数○1的极值问题，其中f与mkk,,3,2,1有连续的一阶偏导数.若002010,,,nxxxpLL是上述问题的极值点，且Jacobian矩阵
nmmnnxxxxxx
1212111
的秩为m.
则存在m个常数m,,,21，使得mnxxx,,,,,2121为Lagrange函数的稳定点，
即mnxxx,,,,,2121为○3中n+m个方程的解. 例1:用Lagrange乘数法求开头提到的直角三角形的问题. 解：此时n=2,m=1.设直角三角形的两直角边长分别为1x和2x，则周长为 lxxS21 )0,0(21lxlx.
于是,转化为在22221lxx下求S的条件极值问题,这时拉格朗日函数可以表示为 2222
12121,lxxlxxxxL
.
对L求偏导数,并令它们都等于0.则有 4
)3()2()1(021021222212211lxxxLxxLx 由(1)、(2)解得2121xx. 代入（3）得lxxl22,2221 .
ll22,22 是唯一的驻点.
由题意可知,该三角形必存在,所以最大周长的直角三角形为等腰三角形. 注:对于条件极值的应用问题,我们一般从问题的实际意义出发，可以推出最大值和最小值存在,即在解实际问题时，往往在该点处的函数值就是要求的最大（或最小）值.由于拉格朗日函数只有一个驻点,故可以判定所需求的最大值或最小值即在驻点处,用不着判断它是最大值还是最小值. 2.Cauchy求条件极值 首先，我们给出以下关于柯西不等式的定理. 定理：对于任意实数naaaa,,,,321和ncccc,,,,321有
222222
121211221nnnnaaacccacacac
其中等号当且仅当nikcaii,,3,2,1LL时才成立，我们就把(1)称式为Cauchy不等式. 应用2:若dczbyax，求解222zyxf的极值. 解： 2222222222221zyxcbacbazyxf. 由Cauchy不等式得：
上式222222221cbadczbyaxcba
其中等号成立，当且仅当kzckybkxa,,，即zcybxa时. 由 5
)2(
)1(zcybxadczbyax
由（2）得 3,y acxzabx 把（3）代入（1）得： 222cbaadx (4) 把（4）代入（3）得：
222222,cbacdzcbabdy.
函数f有极小值
2222mincbadf
.
3、利用二次函数的极值求条件极值 求定义在开区间（a,b）上的二次函数02prqxpxy的极值. 分析如下：
1).当p>0时，若,2bpqa则当pqx2时，有极小值：pqr42；
2).当p<0时，若;2bpqa则当pqx2时，有极大值：pqr42. 可以用于求解某些条件极值问题. 应用3：若1yx，试求yxf11的极值.
解：由1yx得xy1，代入f得 22141
1111
x
xx
f
由于分母 6
41,41214
1
max2
xxx，
所以当 21yx，函数4minf 三、结论 本文我们采用了Lagrange乘数法、Cauchy不等式、二次函数法求条件极值，事实上求解有关条件极值问题灵活性很大,并没有固定的模式，一般无规律可循,因为问题的形式一般不同，所以，在学习的过程中，要灵活应用上述的三种方法，既要多加训练，还要归纳总结，更要切实掌握.
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