中考几何数学四边形练习考点
中考数学专题测试-四边形的证明与计算(答案解析)
【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
中考几何综合四边形考点串讲
中考几何综合：四边形考点串讲平行四边形! 百变正方形!【例1】如图正方形ABCD 是边长为1的正方形，正方形EFGH 的边HE 、HG 与正方形ABCD 的边AB 、BC 交于点M 、N ，顶点在对角线BD 上移动，设点M 、N 到BD 的距离分别为H m 、H n ，四边形MBNH 的面积是S⑴当顶点H 和正方形ABCD 的中心O (对角线交点)重合时(图1)S ＝ ，H m ＋H n ＝ (只要求写出结果，不用证明)EA MHBDFN GC【例1】⑵当顶点H 为BO 的中点(图2)则S ＝ ，A H m ＋H n ＝ (只要求写出结果，不用 E M 证明)矩形考什么？【例2】如图，在矩形ABCD 中，3∠ADB ＝ ∠BDC A，CE ⊥BD 于E ，已知BD ＝ OFBHDN GC8，求CE 的长。
D EO⑶按要求完成下列问题E BC猜想当BH ＝n 时，(图3)则S ＝ ，H M AmFH n ＝ (证明你得到的结论)B HDGNC1＋° 菱形很重要【例3】如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120 ，F 是DC 的中点，AF 延长线交梯形花样多【例4】 如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在AB 上，BC 的延长线于点E ，则直线BF 与DE 所夹的锐角的度数是。
且EO ∥BC ，已知AD ＝3、BC ＝6，求EO 的长 A DDM EEOFACBBC【例5】 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，已知AC ＝6、∠BOC ＝120度，求 A D梯形ABCD 的面积。
OB【例7】 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝3，BC ＝7，O 为AD 的中点，OH ⊥BC 于点H ， ∠A ＝90度，求OH 的长度。
DCCHO【例6】 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ＝CD 、 A D∠BDC ＝90度，AD ＝3，BC ＝8，求AB 的长度。
中考数学几何考点详解之平行四边形
中考数学几何考点详解之平行四边形1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号〝□ABCD〞表示，如平行四边形ABCD记作〝□A BCD〞，读作〝平行四边形ABCD〞。
2、平行四边形的性质〔1〕平行四边形的邻角互补，对角相等。
〔2〕平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
〔3〕平行四边形的对角线互相平分。
〔4〕假设一直线过平行四边形两对角线的交点，那么这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定〔1〕定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形〔2〕定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形〔3〕定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形〔4〕定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形〔5〕定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积S平行四边形=底边长×高=ah要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
中考一轮复习数学几何专题：四边形压轴训练(二)
2022年中考一轮复习数学几何专题：四边形压轴训练（二）1．【实验操作】如图1是一张矩形纸片，点E在边AB上，把△BCE沿着直线CE对折，点B恰好落在对角线AC上的点F处．【性质探究】如图2，连接DF，若点E，F，D在同一直线上．（1）请写出图中与边DC相等的线段并说明理由．（2）若AE＝2，求EF的长．【迁移应用】（3）如图3，延长EF交边AD于点G，若DG：AG＝n，且AE＝2，求BE的长（请用含n的代数式来表示）．2．（1）问题提出如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，线段AD，BE之间的数量关系为，∠AEB的度数为；（2）问题探究如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E 在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；（3）问题解决如图③，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．3．定义：在四边形ABCD中，如果∠ABC+∠ADC＝90°，那么我们把这样的四边形称为余对角四边形．【问题探索】问题：如图1，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC＝BC，∠ACB＝60°．求证：AD2+DC2＝BD2．探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：因为AC＝BC，∠ACB＝60°，所以△ABC是等边三角形，将△CBD绕点C顺时针方向旋转60°，得△CAE，连接DE．……请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．【问题推广】已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC＝k⋅BC，tan∠ACB＝．（1）如图2，当k＝1时，类比前面问题的解决，探究DA、DB、DC三者之间关系，并说明理由．（2）如图3，当AD＝，BD＝，DC＝5时，则k的值为；【灵活运用】如图4，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC＝2，BC＝，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，AD＝．4．在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（﹣2，0），连接AB，点C是线段OA上一点，以OC为边作正方形OCDE，如图1．（1）问题发现图1中，线段BE与AC的数量关系是，位置关系是．（2）问题探究如图2，将正方形OCDE绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AC，BE，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）拓展应用若OC＝1，将正方形OCDE绕点O旋转，当B，E，C三点共线时，请直接写出线段AC 的长．5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF．（1）求证：△EGF≌△EDF；（2）求证：BG＝CD；（3）若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长．6．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．求证：AE＝FG；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当时k＝，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．7．如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，现将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C），延长AE交CE′于点F．（1）如图1，求证：四边形BEFE′是正方形；（2）连接DE，①如图2，若DA＝DE，求证：F为CE′的中点；②如图3，若AB＝15，CF＝3，试求DE的长．8．在平面直角坐标系中，有正方形OBCD和正方形OEFG，E（2，0），B（0，2）．（Ⅰ）如图①，求BE的长；（Ⅱ）将正方形OBCD绕点O逆时针旋转，得正方形OB′C′D′．①如图②，当点B′恰好落在线段D'G上时，求B'E的长；②将正方形OB'C'D'绕点O继续逆时针旋转，线段D'G与线段B'E的交点为H，求△GHE与△B'HD'面积之和的最大值，并求出此时点H的坐标（直接写出结果）．9．已知，如图①将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平；再如图②，将图①中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的C'处，点B落在B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C'F交DE于点N，再把纸片展平．（Ⅰ）如图①，填空：若AD＝3，则ED的长为；（Ⅱ）如图②，连接EC'，△MC′E是否一定是等腰三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（Ⅲ）如图②，若AC'＝2cm，DC′＝4cm，求DN：EN的值．（直接写出结果即可）10．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC 边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，请直接写出DE的长．11．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q．（1）tan∠ACB＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，求PC的长．12．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E 处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形PBFE为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为；最小值为．13．如图，点E是正方形ABCD的边BA延长线上一点，连接DE，过点A作AH∥DE交CD于点H，交BC延长线于点F，点M、N分别是DE、AH的中点，连接AM、DN．（1）求证：四边形AMDN是菱形；（2）若S菱形MADN：S正方形ABCD＝1：3，求CF：AB的值．14．矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s．过点P作BC的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O．若点P和点Q同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜1.5），解答下列问题．（1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；（2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在，请求出t值；如果不存在，请说明理由；（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的，如果存在，请求出t值；如果不存在，请说明理由；（4）如果△COQ是等腰三角形，请直接写出所有符合题意的时刻：．15．问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“筝形”也是“垂美四边形”．概念理解：（1）如图2，已知等腰梯形ABCD是“垂美四边形”，AB＝6，CD＝8，求AD的长．性质探究：（2）如图3，已知四边形ABCD是“垂美四边形”，试探究其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．问题解决：（3）如图4，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG与正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE 的中线OH的长．。
中考几何数学四边形复习考点详解
2019中考几何数学四边形复习考点详解临近2019中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师跑没用。
因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。
查字典数学网为大家提供了2019中考几何数学四边形复习考点，希望能够切实的帮助到大家。
四边形的相关概念知识点：一、多边形1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。
2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。
4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。
6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。
说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形;有四条边的叫做四边形;有几条边的叫做几边形。
今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。
7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。
8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。
注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。
9、n边形的对角线共有条。
说明：利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。
10、多边形内角和定理：n边形内角和等于(n-2)180。
11、多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于360。
说明：多边形的外角和是一个常数(与边数无关)，利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。
无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起来，掌握计算方法。
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
中考数学几何模型专题3对角互补模型(学生版)知识点+例题
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题3对角互补模型90°对角互补模型模型2：全等形——120°对角互补模型模型3：全等形——任意角对角互补模型模型4：相似形——90°对角互补模型如图1，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF=12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF之间的数量关系．（1）思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG∠∠AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．长线上，∠EAF=12（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.【例2】．（2019·山东枣庄·中考真题）在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D,（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN=90°，当∠AMN=30°，AB=2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB+AN=√2AM;【例3】．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图∠，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12间的数量关系：__________；（2）如图∠，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E ，F 分别是边BC ，CD 所在直线上的点，且∠EAF =12∠BAD ．请画出图形（除图∠外），并直接写出线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．【例4】．（2022·全国·八年级课时练习）四边形ABCD 是由等边ΔABC 和顶角为120°的等腰ΔABD 排成，将一个60°角顶点放在D 处，将60°角绕D 点旋转，该60°交两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ，交直线AB 于E 、F 两点．（1）当E 、F 都在线段AB 上时（如图1），请证明：BM +AN =MN ；（2）当点E 在边BA 的延长线上时（如图2），请你写出线段MB ，AN 和MN 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若AC =7，AE =2.1，请直接写出MB 的长为 ．一、解答题1．（2022·陕西·西安市第三中学七年级期末）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠ADC =90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EF =BE +FD ，探究图中∠BAE 、∠F AD 、∠EAF 之间的数量关系．。
中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)
中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。
中考数学四边形知识点整理
中考数学四边形知识点整理学习从来无捷径。
每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学其实和语文英语一样，也是要记、要背、要练的。
下面是小编给大家整理的一些中考数学四边形知识点的学习资料，希望对大家有所帮助。
中考数学知识点总结：平行四边形考点分析1.两组对边平行的四边形是平行四边形.2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行;(2)平行四边形的对角相等，邻角互补;(3)平行四边形的对角线互相平分.3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.4。
对称性：平行四边形是中心对称图形.5.平行四边形中常用辅助线的添法1、连对角线或平移对角线2、过顶点作对边的垂线构造直角三角形3、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线4、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
5、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
中考数学易错知识点：四边形四边形易错点1：平行四边形的性质和判定，如何灵活、恰当地应用。
三角形的稳定性与四边形不稳定性。
易错点2：平行四边形注意与三角形面积求法的区分。
平行四边形与特殊平行四边形之间的转化关系。
易错点3：运用平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分。
对角线将四边形分成面积相等的四部分。
易错点4：平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题，突出转化思想的渗透。
易错点5：矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积等的计算。
矩形与正方形的折叠，(23题必考)易错点6：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题，掌握其中的不变与旋转一些性质。
(18题必考)易错点7：(25题可能用到)梯形问题的主要做辅助线的方法。
中考数学知识考点总结：四边形
中考数学知识考点总结：四边形中考数学知识考点总结：四边形中考四边形与三角形温习要求是，能运用这些图形停止镶嵌，你必需会计算特殊的初中数学四边形，能依据图形的条件把四边形面积等分。
可以对初中数学特殊四边形的判定方法与联络深入了解。
掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和常用判别方法，特别是梯形添加辅佐线的常用方法.掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和运用。
会画出四边形全等变换后的图形，会结合相关的知识解题.结合几何中的其他知识解答一些有探求性、开放性的效果，提高处置效果的才干。
(一)平行四边形的定义、性质及判定1、两组对边平行的四边形是平行四边形。
2、性质：(1)平行四边形的对边相等且平行;(2)平行四边形的对角相等，邻角互补;(3)平行四边形的对角线相互平分。
3、判定：(1)两组对边区分平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边区分相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角区分相等的四边形是平行四边形;(5)对角线相互平分的四边形是平行四边形。
4、对称性：平行四边形是中心对称图形。
(二)矩形的定义、性质及判定1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等。
3、判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形;(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形。
4、对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
(三)菱形的定义、性质及判定1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(1)菱形的四条边都相等;(2)菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角;(3)菱形被两条对角线分红四个全等的直角三角形;(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半。
2、s菱=争6(n、6区分为对角线长)。
3、判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形;(2)四条边都相等的四边形是菱形;(3)对角线相互垂直的平行四边形是菱形。
2023年中考数学专题练——四边形练习(含解析)
2023年浙江省温州市中考数学专题练——四边形一．选择题（共15小题）1．（2022•温州校级模拟）如图，菱形ABCD 中，过点C 作CE ⊥BC 交BD 于点E ，若∠BAD ＝118°，则∠CEB ＝（ ）A ．59°B ．62°C ．69°D ．72°2．（2022•乐清市三模）如图，在正方形ABCD 内有一点E ，∠AEB ＝90°，以CE ，DE 为邻边作▱CEDF ，连结EF ，若A ，E ，F 三点共线，且△ADF 的面积为10，则CF 的长为（ ）A ．2B ．5C ．22D ．103．（2022•鹿城区校级三模）如图，以Rt △ABC 各边为边向外做正方形，把三个正方形如图2叠放，图2中①号L 型和②号L 型面积分别为1和4，则图1中sin ∠ABC 的值为（ ）A ．12B ．25C ．55D ．664．（2022•洞头区模拟）由四个全等的矩形围成了一个大正方形ABCD ，如图所示．连结CH ，延长EF 交CH 于点G ，作PG ⊥CH 交AB 于点P ，若AH ＝2DH ，则AP BP 的值为（ ）A ．97B ．1611C ．32D ．25．（2022•永嘉县模拟）如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个相同的半圆①和⑦、等腰直角三角形②、角不规图形③、直角梯形④、圆不规图形⑤、圆⑥组成，已知AJ ＝BK ．为庆祝北京冬奥会，小明将这个智力七巧板拼成一个滑冰运动员的图案，如图2所示，若AB 平行地面MN ，AJ ＝2，则该图案的高度是（ ）A ．8B ．9―22C ．7+2D ．10―26．（2022•瑞安市二模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE 与正方形BCFG ，H 为EG 的中点，连结DH ，FH ．记△FGH 的面积为S ，△CDH 的面积为S ，若S ﹣S ＝6，则AB 的长为（ ）A ．26B ．32C ．33D ．427．（2022•文成县一模）如图▱ABCD 中，AB ＝4，BD ＝6，BD ⊥AB ，则AC 的长为（ ）A ．10B ．213C ．5D ．258．（2022•温州模拟）在数学拓展课上，小华同学将正方形纸片的顶点A ，B ，C ，D 与各边的中点E ，F ，G ，H 分别连结，形成四边形MNST ，直线MS ，TN 与正方形ABCD 各边相交构成一个如图的“风车”图案．若正方形的边长为25，则阴影部分面积之和为（ ）A ．43B ．2C ．355D ．21059．（2022•瑞安市一模）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示，延长AH 交CD 于点P ，若AP ⊥HF ，AP ＝52，则小正方形边长GF 的长是（ ）A ．52B ．22C ．3D ．1010．（2022•龙港市一模）矩形纸片ABCD 按如图1的方式分割成三个直角三角形①，②，③，又把这三个直角三角形按如图2的方式重叠放置在一起，其中直角三角形①的斜边一端点恰好落在直角三角形②的斜边上，若BD ＝5，则图2中CP 的长为（ ）A ．45B ．35C ．34D ．3211．（2022•瓯海区一模）如图把两张宽度均为3的纸条交错叠在一起，相交成角α，则重叠部分的周长为（ ）A．12tanαB．12sinαC．12sinαD．12tanα12．（2022•温州模拟）如图，在正方形ABCD中，延长DC至点G，以CG为边向下画正方形CEFG．延长AB交边FG于点H，连结CF，AF分别交AH，CE于点M，N．收录在清朝四库全书的《几何通解》利用此图得：2AB+2BH＝AH+MH．若正方形ABCD与CEFG 的面积之和为68，CN＝3NE，则AH的长为（ ）A．42B．8C．82D．16 13．（2022•乐清市一模）如图，在▱ABCD中，AB＝BE，∠C＝70°，则∠BAE的度数为（ ）A．35°B．45°C．55°D．65°14．（2022•鹿城区校级一模）如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC ＝3，BC＝2，则MD的长为（ ）A．72B．2C．32D．315．（2021•温州模拟）如图，矩形ABCD 中，AB ：AD ＝2：1，点E 为AB 的中点，点F 为EC 上一个动点，点P 为DF 的中点，连接PB ，当PB 的最小值为32时，则AD 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6二．填空题（共7小题）16．（2022•永嘉县三模）如图，在正方形ABCD 中，BC ＝6，点P 在正方形内，PF ⊥PC ，交边AD 于点F ，ED ∥PC ，交PF 延长线于点E ，且PC ＝PE ，连结AP ，AE ．若五边形AEDCP 的面积为24，则∠AEP 的度数为 ，PC 的长为 ．17．（2022•永嘉县三模）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝30°，点E 从点D 出发沿DC 方向匀速向终点C 运动，同时点F 从点C 出发沿CB 方向匀速向终点B 运动，它们同时到达终点，记ED ＝x ，则△CEF 的面积为 （用含x 的代数式表示）．18．（2022•鹿城区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，▱ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，将△AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，BE ＝2OB ，DE 与BC 交于点F ．若y =k x（k ≠0）图象经过点C ，且S ＝4，则k 的值为 ．19．（2022•龙湾区模拟）如图，点E，F，G，H分别是矩形ABCD各边上的中点，将矩形ABCD 向右平移得矩形A′B′C′D′，点E，F，G，H的对应点分别为点E′，F′，G′，H′．若AD′＝7HH′，矩形ABC′D′的面积为84，则图中阴影部分的面积为 ．20．（2022•鹿城区二模）如图1是一种彭罗斯地砖图案，它是由形如图2的两种“胖”“瘦”菱形拼接而成（不重叠、无缝隙），则图2中的∠α为 度．21．（2022•永嘉县校级一模）如图，若∠1+∠2+∠3+∠4＝278°，则∠5+∠6+∠7+∠8＝ ．22．（2022•温州模拟）如图，菱形ABCD的面积为20，AB＝5，AE⊥CD于E，连结BD，交AE于F，连结CF，记△AFD的面积为S，△BFC的面积为S，则S1S2的值为 ．三．解答题（共8小题）23．（2022•瑞安市校级三模）如图，在平行四边形ABCD中，以BC为直径的半⊙O经过点A，交AD于点F，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连接CE．（1）求证：BC＝CE；（2）连接EF，CF，若tanB＝2，CD=5，求EF的长．24．（2022•鹿城区校级三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，连结CE，作CF⊥EC交射线AD于点F，过点F作FG∥CE交射线CD于点G，连结EG交AD 于点H．（1）求证：CE＝CF．（2）求HD的长．（3）如图2，连结CH，点P为CE的中点，Q为AF上一动点，连结PQ，当∠QPC与四边形GHCF中的一个内角相等时，求所有满足条件的DQ的长．25．（2022•龙港市模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，点E在BA的延长线上，对角线AC与BD交于点M，EM交AD于点F，且∠EFD＝105°．（1）求∠E的度数．（2）求证：AM ＝AE ．26．（2022•鹿城区校级二模）如图，在▱ABCD 中，点E 是边AB 的中点，连结DE 并延长，交CB 延长线于点F ，且DE 平分∠ADC ．（1）求证：△ADE ≌△BFE ．（2）若BF ＝5，EF ＝53，求△FCD 的面积．27．（2022•龙湾区模拟）如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，交BC 边于点F ．AG 平分∠DAF 交BD 于点G ，并经过CD 边的中点H ．（1）求证：BG ＝AB ．（2）求tan ∠HFC 的值．（3）若CF =255，试在BD 上找一点M （不与B ，D 重合），使直线MC 经过四边形DEFH 一边的中点，求所有满足条件的BM 的值．28．（2022•瓯海区模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，以AB 为一边构造▱ABDE ，DA ∥BC ，连结EC 交DA 的延长线于点F ，DF ⊥EC ，延长EA 交BC 于点G ．（1）求证：点A 是EG 的中点．（2）若tan ∠ABC =12，DA ＝6，求BC 的长．29．（2022•鹿城区二模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．P为对角线BD上的点，过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥BD交BC于点N，Q是M关于PD的对称点，连结PQ，QN．（1）如图2，当Q落在BC上时，求证：BQ＝MD．（2）是否存在△PNQ为等腰三角形的情况？若存在，求MP的长；若不存在，请说明理由．（3）若射线MQ交射线DC于点F，当PQ⊥QN时，求DF：FC的值．30．（2022•鹿城区校级二模）在四边形ABCD中，AD＝BC＝1，AB＝CD＝2，BD= 5．点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），连结AE，过E作CE的垂线交边AB 于点F．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）设DE＝x，求△AEF的面积S关于x的函数表达式．（3）在点E运动过程，当△AEF的某一个内角等于∠BDC时，求所有满足条件的AF 的长．2023年浙江省温州市中考数学专题练——7四边形参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2022•温州校级模拟）如图，菱形ABCD 中，过点C 作CE ⊥BC 交BD 于点E ，若∠BAD ＝118°，则∠CEB ＝（ ）A ．59°B ．62°C ．69°D ．72°【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∠ABD ＝∠CBE ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠BAD ＝118°，∴∠ABD =180°―118°2=31°，∴∠CBE ＝31°，∵CE ⊥BC ，∴∠BCE ＝90°，∴∠CEB ＝90°﹣31°＝59°．故选：A ．2．（2022•乐清市三模）如图，在正方形ABCD 内有一点E ，∠AEB ＝90°，以CE ，DE 为邻边作▱CEDF ，连结EF ，若A ，E ，F 三点共线，且△ADF 的面积为10，则CF 的长为（ ）A ．2B ．5C ．22D ．10【解答】解：设EF 、CD 的交点为G ，过E 作EH ⊥AD 交于H ，∵四边形ECFD 是平行四边形，∴DG ＝CG =12DG ，设正方形的边长为2x ，则AD ＝AB ＝CD ＝2x ，DG ＝CG ＝x ，∵∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠DAE＝90°，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAE，∴△ABE∽△GAD，∴ABAG=AEDG，即2x5x=AEx，∴AE=255x，∴EG=355x，∴EGAG=35，∴S△ADGS△DEG=53，设S＝5m，则S＝3m，∵G点是CD的中点，∴S＝S＝3m，∴S＝6m，∵S＝S＝6m，∴S＝12m，∴S＝6m，∴S＝6m+2m＝8m，∵S＝10，∴8m＝10，∴m=5 4，∴S＝5m=254=x，∴x=5 2，∴AD＝5，EA=5，∵S=12×5×HE=52，∴HE＝1，在Rt△AHE中，AH＝2，∴HD＝3，故选：D ．3．（2022•鹿城区校级三模）如图，以Rt △ABC 各边为边向外做正方形，把三个正方形如图2叠放，图2中①号L 型和②号L 型面积分别为1和4，则图1中sin ∠ABC 的值为（ ）A ．12B ．25C ．55D ．66【解答】解：设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，由题意得，①号L 型面积＝c ﹣a ＝1，②号L 型面积＝a ﹣b ＝4，两式相加得：c ﹣b ＝5，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：c ﹣b ＝a ，∴a ＝5，∴b ＝1，c ＝6，∴sin ∠ABC =AC AB =b c =16=66．故选：D ．4．（2022•洞头区模拟）由四个全等的矩形围成了一个大正方形ABCD ，如图所示．连结CH ，延长EF 交CH 于点G ，作PG ⊥CH 交AB 于点P ，若AH ＝2DH ，则AP BP 的值为（ ）A ．97B ．1611C ．32D ．2【解答】解：设DH ＝x ，则AK ＝FH ＝x ，AH ＝BK ＝FK ＝2x ，CD ＝3x ，∵PG ⊥CH ，∴∠FGP+∠HGF ＝90°，∵∠HGF+∠FHG ＝90°，∴∠FGP ＝∠FHG ，由矩形的性质可得CD ∥FH ，∴∠DCH ＝∠FHG ，∴∠DCH ＝∠FHG ＝∠FGP ，∵tan ∠DCH =DH CD =x 3x =13，∴tan ∠FHG =FG FH=FG x =13，解得FG =13x ，∴KG ＝KF+FG ＝2x +13x =73x ，∴tan ∠FGP =13=KP KG =KP73x，解得KP =79x ，∴AP ＝AK+KP ＝x +79x =169x ，BP ＝BK ﹣KP ＝2x ―79x =119x ，∴APBP=169x119x=1611．故选：B．5．（2022•永嘉县模拟）如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个相同的半圆①和⑦、等腰直角三角形②、角不规图形③、直角梯形④、圆不规图形⑤、圆⑥组成，已知AJ＝BK．为庆祝北京冬奥会，小明将这个智力七巧板拼成一个滑冰运动员的图案，如图2所示，若AB平行地面MN，AJ＝2，则该图案的高度是（ ）A．8B．9―22C．7+2D．10―2【解答】解：如图，作RP⊥AB，OT⊥MN，RQ⊥OT，由已知可得③⑤⑥的高度都为2，MN是半圆⑦的切线，∵∠KBA＝45°，∴∠GBC＝45°＝∠HGB，即直角梯形④的锐角为45°，∴∠PRO＝∠ORQ＝45°，∵点B到HG 距离为2，∴RP＝2，∵半圆⑦的直径为2，∴OR＝1，OQ=22OR=22，∴QT＝1―2 2，∴高度为6+PR+QT＝9―2 2；故选：B．6．（2022•瑞安市二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE与正方形BCFG，H为EG的中点，连结DH，FH．记△FGH的面积为S，△CDH的面积为S，若S﹣S＝6，则AB的长为（ ）A．26B．32C．33D．42【解答】解：过F作FT⊥CG于T，过D作DK⊥EC于K，如图：设BC＝a，AC＝b，则CG=2a，EC=2b，∴EG=2（a+b），∵H为EG的中点，∴HG＝HE=22（a+b），∴CH＝HE﹣EC=22（a﹣b），∵FT=12CG=22a，DK=12EC=22b，∴S=12HG•FT=12×22（a+b）×22a=14a+14ab，S=12CH•DK=12×22（a﹣b）×22b=14ab―14b，∵S﹣S＝6，∴14a+14ab﹣（14ab―14b）＝6，∴14a+14b＝6，∴a+b＝24，即BC+AC＝24，∴AB＝24，∴AB＝26，故选：A．7．（2022•文成县一模）如图▱ABCD中，AB＝4，BD＝6，BD⊥AB，则AC的长为（ ）A．10B．213C．5D．25【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO＝DO，AO＝CO，∵BD＝6，∴BO＝3，∵AB⊥BD，AB＝4，∴AO=42+32=5，∴AC＝2OA＝10，故选：A．8．（2022•温州模拟）在数学拓展课上，小华同学将正方形纸片的顶点A，B，C，D与各边的中点E，F，G，H分别连结，形成四边形MNST，直线MS，TN与正方形ABCD各边相交构成一个如图的“风车”图案．若正方形的边长为25，则阴影部分面积之和为（ ）A．43B．2C．355D．2105【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝25，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵E是BC的中点，F是CD的中点，∴BE＝CF=12BC=5，由勾股定理得：AE=AB2+BE2=(25)2+(5)2=5，同理得：DH＝5，∵AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BME＝90°，同理得∠ATH＝90°，tan∠TAH=BEAB=THAT=12，∵AH=5，∴TH＝1，AT＝2，∴△ATH的面积=12×1×2＝1，DT＝5﹣1＝4，∵CD∥AB，∴DQPH=DTTH=41=4，设PH＝x，则FQ＝x，DQ＝4x，∴DF＝AH＝3x，∴S△ATHS△PTH=AHPH=3xx=3，∴S=1 3，∴阴影部分面积之和为4S =43．故选：A ．9．（2022•瑞安市一模）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示，延长AH 交CD 于点P ，若AP ⊥HF ，AP ＝52，则小正方形边长GF 的长是（ ）A ．52B ．22C ．3D ．10【解答】解：∵△ADE ≌△DCH ≌△CBG ≌△BAF ，∴AE ＝DH ，DE ＝CH ，∵四边形GFEH 是正方形，∴EH ＝EF ＝HG ＝GF ，∠HFA ＝45°＝∠EHF ，∵AP ⊥HF ，∴∠FAH ＝∠AFH ＝45°＝∠AHE ，∴AH ＝FH ，AE ＝HE ，∴AF ＝2AE ，设AE ＝a ，则AF ＝DE ＝2a ，如图过点H 作HM ⊥AD 于M ，∴AD =AE 2+DE 2=5a ，∵∠DMH ＝∠AED ＝90°，∠ADE ＝∠MDH ，∴△AED ∽△HMD ，∴DH AD =MH AE ，∴MH =55a ，DM =255a ，∴AM ＝AD ﹣DM =355a ，∵AD ⊥CD ，∴MH ∥DP ，∴AH HP =AM DM =32，∵AP ＝52，∴AH ＝32，∴EH ＝3＝GF ，故选：C ．10．（2022•龙港市一模）矩形纸片ABCD 按如图1的方式分割成三个直角三角形①，②，③，又把这三个直角三角形按如图2的方式重叠放置在一起，其中直角三角形①的斜边一端点恰好落在直角三角形②的斜边上，若BD ＝5，则图2中CP 的长为（ ）A ．45B ．35C ．34D ．32【解答】解：如图1，设AB ＝2a ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝2a ，AD ＝BC ，∠BAD ＝90°，AB ∥CD ，∴AD =BD 2―AB 2=25―4a 2，∠ABD ＝∠BDC ，如图2，HP ＝AB ＝2a ，QN ＝AD =25―4a 2，MN ＝BD ＝5，MP ＝BE ，∴∠MPH ＝∠NMP ，∠HMP ＝90°，∴MQ ＝PQ ，∠H ＝∠HMQ ，∴HQ ＝MQ ，∴HQ ＝HQ ＝PQ ＝a ，∴25―4a 2+a ＝5，∴a ＝2，a ＝0（舍去），∴AB ＝4，AD ＝3，如图1，∵cos∠ABD=BEAB=ABBD，∴BE4=45，∴BE=165=MP，∴PC＝4―165=45，故选：A．11．（2022•瓯海区一模）如图把两张宽度均为3的纸条交错叠在一起，相交成角α，则重叠部分的周长为（ ）A．12tanαB．12sinαC．12sinαD．12tanα【解答】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，过A作AE⊥BC于E，则AE＝3，∵∠ABE＝α，∴AB=AEsinα=3sinα，∴BC＝AB＝AD＝CD=3sinα，∴重叠部分的周长=4×3sinα=12sinα，故选：C．12．（2022•温州模拟）如图，在正方形ABCD中，延长DC至点G，以CG为边向下画正方形CEFG．延长AB交边FG于点H，连结CF，AF分别交AH，CE于点M，N．收录在清朝四库全书的《几何通解》利用此图得：2AB+2BH＝AH+MH．若正方形ABCD与CEFG的面积之和为68，CN ＝3NE ，则AH 的长为（ ）A ．42B ．8C ．82D ．16【解答】解：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，延长AB 交边FG 于点H ，∴AB ∥EF ，∴△ABN ∽△FEN ，∴AB EF =BN NE ，设AB ＝a ，CG ＝b ，∵CN ＝3NE ，∴NE =14b ，CN =34b ，∴BN ＝CN ﹣CB =34b ﹣a ，∴a b =34b ―a 14b ，∴b =53a ，∵正方形ABCD 与CEFG 的面积之和为68，∴a+b ＝68，∴a+（35a ）＝68，解得a ＝32，∴b ＝52，∴a+b ＝82，则AH 的长为82．故选：C ．13．（2022•乐清市一模）如图，在▱ABCD 中，AB ＝BE ，∠C ＝70°，则∠BAE 的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠C＝70°，AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∵AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAE，∴∠BAE＝∠DAE=12∠BAD=12×70°＝35°，故选：A．14．（2022•鹿城区校级一模）如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC ＝3，BC＝2，则MD的长为（ ）A．72B．2C．32D．3【解答】解：如图所示，过D作DN⊥CF于点N，作DP⊥HM于点P，过点F作FQ⊥HM，交HM的延长线于点Q，∵∠ACB＝120°，∠ACF＝∠BCD＝90°，∴∠DCN＝60°，∠CDN＝30°，又∵BC＝DC＝2，AC＝FC＝3，∴CN=12CD＝1，FN＝CF﹣CN＝3﹣1＝2，DN=CD2―CN2=3，Rt△DFN中，DF=FN2+DN2=22+(3)2=7．∵四边形BCDE是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，又∵CH⊥AB，∴∠DCP+∠BCH＝∠CBH+∠BCH＝90°，∴∠DCP＝∠CBH，又∵∠DPC＝∠BHC＝90°，∴△DCP≌△CBH（AAS），∴DP＝CH，同理可得△ACH≌△CFQ，∴FQ＝CH，∴FQ＝DP，又∵∠Q＝∠DPM＝90°，∠FMQ＝∠DMP，∴△FQM≌△DPM（AAS），∴FM＝DM，即M是FD的中点，∴DM=12DF=72．故选：A．15．（2021•温州模拟）如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F 为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为32时，则AD的值为（ ）A．2B．3C．4D．6【解答】解：如图，当点F与点C重合时，点P在P处，CP＝DP，当点F与点E重合时，点P在P处，EP＝DP，∴PP∥CE且PP=12 CE．且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：PP∥CE且PP=12 CF，∴点P的运动轨迹是线段PP，.∴当BP⊥PP时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，设AB＝2t，则AD＝t，∵E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP为等腰直角三角形，CP＝t，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CPB＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DPP＝90°．∴∠DPP＝45°．∴∠PPB＝90°，即BP⊥PP，∴BP的最小值为BP的长．在等腰直角△BCP中，CP＝BC＝t，∴BP=2t＝32，∴t＝3．故选：B．二．填空题（共7小题）16．（2022•永嘉县三模）如图，在正方形ABCD中，BC＝6，点P在正方形内，PF⊥PC，交边AD于点F，ED∥PC，交PF延长线于点E，且PC＝PE，连结AP，AE．若五边形AEDCP的面积为24，则∠AEP的度数为 45° ，PC的长为 26 ．【解答】解：过C作CG⊥ED于G，过A作AM⊥DE于M，AN⊥PE于N，连结PB，∵PF⊥PC，ED∥PC，PC＝PE，CG⊥ED，∴四边形PCGE是正方形，∴PC＝PE＝CG＝EG，∠PCG＝90°，∵正方形ABCD，∴BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝90°，∴∠PCB＝∠DCG＝90°﹣∠PCD，∴△DCG≌△BCP（SAS），∴∠DGC＝∠BPC＝90°，∴∠CPE+∠BPC＝180°，∴E、F、P、B四点在一条直线上，∴∠PCB＝∠DCG＝∠ABN＝∠ADM，∵AM⊥DE于M，AN⊥PE，∴四边形AMEN是矩形，∴△ABN≌△ADM（AAS），∴AM＝AN，∴矩形AMEN是正方形，AE平分∠MEN，∴∠AEP＝45°，AM＝AN＝EM，设AM＝AN＝EM＝x，PC＝PE＝CG＝EG＝y，∵∠DCG＝∠ADM，∴△DCG≌△ADM（AAS），∴AM＝AN＝DG＝PB＝x，∵S五边形AEDCP=S正方形PCGE+S△APE―S△DGC=PC2+12AN⋅PE―12DG⋅CG，∴24=y2+12xy―12xy，∴y=26，即PC=26．17．（2022•永嘉县三模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝30°，点E从点D出发沿DC方向匀速向终点C运动，同时点F从点C出发沿CB方向匀速向终点B运动，它们同时到达终点，记ED＝x，则△CEF的面积为 ―13x2+2x （用含x的代数式表示）．【解答】解：∵平行四边形ABCD，AB＝6，BC＝8，∴CD＝AB＝6，又∵点E和点F分别同时从点D和点C出发，同时到达终点，∴点E和点F的路程比为6：8＝3：4，又∵DE＝x，∴CE＝6﹣x，CF=43 x，如图，△CEF中，过点E作边CF上的高EH，交CF的反向延长线于点H，∵AB∥CD，∠B＝30°，∴∠DCH＝∠B＝30°，∴在△CHE中，EH=12CE=6―x2，∴S△CEF=12CF⋅EH=12×43x×6―x2=―13x2+2x，故答案为：―13x2+2x．18．（2022•鹿城区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，BE＝2OB，DE与BC交于点F．若y=kx（k≠0）图象经过点C，且S＝4，则k的值为 12 ．【解答】解：如图，连接OC，BD，∵将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，∴OA＝OE，∵BE＝2OB，∴OE＝3OB，∴OA＝3OB，设OB＝x，则OA＝3x，AB＝4x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝4x，∵CD∥AB，∴△CDF∽△BEF，∴BECD=2x4x=12=BFCF，∵S＝4，∴S＝2，∴S＝4+2＝6，∵CD∥AE，∴S＝S＝6，即12|k|＝6，而k＞0，∴k＝12．故答案为：12．19．（2022•龙湾区模拟）如图，点E，F，G，H分别是矩形ABCD各边上的中点，将矩形ABCD 向右平移得矩形A′B′C′D′，点E，F，G，H的对应点分别为点E′，F′，G′，H′．若AD′＝7HH′，矩形ABC′D′的面积为84，则图中阴影部分的面积为 29 ．【解答】解：如图所示，连接EG′，由平移的性质可知：AA′＝HH'＝DD'，AD′∥EG′，∵AD′＝7HH′，∴A′D＝5HH′，∵H是AD的中点，∴AH=12AD＝3HH′，∴A′H＝2HH′，∵A′H∥EE′，∴△A′HP∽△E′EP，∴E′PA′P=EE′A′H=12，∴PE′=13A′E′，∴S=16 S，同理可证△HH′Q～ΔGE′Q，设AGEQ边EG上的高为h，HHQ边HH上的高为h，∴hh1=E′GH′H=5，∴h=56 DG，∴S=512S，∵矩形ABC′D′的面积为84，∴矩形AA′B′B的面积为12，矩形A′DCB′的面积为60，∵、E、G、H、F分别是对应边的中点，∴由对称性可知S＝4S+2S＝4×12×12×16+2×12x60x512=29．故答案为：29．20．（2022•鹿城区二模）如图1是一种彭罗斯地砖图案，它是由形如图2的两种“胖”“瘦”菱形拼接而成（不重叠、无缝隙），则图2中的∠α为 36 度．【解答】解：如图，∵∠DEP＝∠DAP=360°5=72°，∠CAB=(10―2)×180°10=144°，∴α=144°―72°2=36°．故答案为：36．21．（2022•永嘉县校级一模）如图，若∠1+∠2+∠3+∠4＝278°，则∠5+∠6+∠7+∠8＝ 442° ．【解答】解：如图，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝278°，∴∠9+∠DCE＝180°+180°﹣278°＝82°，∴∠CAB+∠ACB＝∠9+∠DCE＝82°，∴∠NBM＝∠ABC＝180°﹣82°＝98°，∴∠5+∠6+∠7+∠8＝（5﹣2）×180°﹣98°＝442°，故答案为：442°．22．（2022•温州模拟）如图，菱形ABCD的面积为20，AB＝5，AE⊥CD于E，连结BD，交AE于F，连结CF，记△AFD的面积为S，△BFC的面积为S，则S1S2的值为 35 ．【解答】解：∵菱形ABCD的面积为20，AB＝5，AE⊥CD于E，∴5AE＝20，∴AE＝4，∴DE=AD2―AE2=52―42=3，∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF，∴AFEF=BFDF=ABED=53，∴S1=58S△ADE=58×12×3×4=154，S2=58S△BCD=58×12×20=254，∴S1S2=154×425=35，故答案为：3 5．三．解答题（共8小题）23．（2022•瑞安市校级三模）如图，在平行四边形ABCD中，以BC为直径的半⊙O经过点A，交AD于点F，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连接CE．（1）求证：BC＝CE；（2）连接EF，CF，若tanB＝2，CD=5，求EF的长．【解答】（1）证明：∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵DE⊥AB，∴AC∥DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC，∴四边形ACDE是矩形，∴CE＝AD，∵AD＝BC，∴BC＝CE；（2）过点C作CG⊥AD于点G，过点F作FH⊥DE于点H，在平行四边形ABCD中，∠B＝∠ADC，∵四边形ABCF内接于⊙O，∴∠DFC＝∠B，∴∠ADC＝∠DFC，∴CF＝CD，∵CD=5，tan∠ADC=CGDG=ACCD=tanB＝2，∴DG＝1，AC=25，∴DF＝2DG＝2，∵∠FDH+∠ADC＝90°，∠ADC+∠DCG＝90°，∴∠FDH＝∠DCG，又∠FHD＝∠DGC＝90°，∴△FDH∽△DCG，∴FHDG=DHCG=DFCD，∴FH=255，DH=455，∴EH=65 5，∴EF=EH2+FH2=22．24．（2022•鹿城区校级三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，连结CE，作CF⊥EC交射线AD于点F，过点F作FG∥CE交射线CD于点G，连结EG交AD 于点H．（1）求证：CE＝CF．（2）求HD的长．（3）如图2，连结CH，点P为CE的中点，Q为AF上一动点，连结PQ，当∠QPC与四边形GHCF中的一个内角相等时，求所有满足条件的DQ的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝AB＝6，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠CDF＝90°．∵CF⊥EC，∴∠ECF＝90°，∴∠DCF+∠ECD＝90°，∴∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠BCE＝∠DCF，∴△BCE≌△DCF（ASA），∴CE＝CF．（2）解：∵E为AB的中点，AE＝6，∴AE＝BE＝3，∴tan∠BCE=BEBC=36=12，∵GF∥EC，CF⊥EC，∴GF⊥CF，∴∠GFC＝90°，∵∠GDF＝∠ADC＝90°，∴∠GFD+∠DGF＝∠DCF+∠DGF＝90°，∴∠GFD＝∠DCF＝∠BCE，∴tan∠GFD=tan∠DCF=tan∠ECB=1 2，∵tan∠GFD=DGDF=12，∴DG=12 DF，由（1）可知，△BCE≌△DCF，∴BE＝DF＝3，∴DG=3 2，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝6，AB∥CD，∴△AEH∽△DGH，∴AHDH=AEDG=332=2，∴AH＝2HD，∴HD=13AD＝2；（3）解：∵HD＝2，DF＝3，∴FH＝5，AH＝AD﹣HD＝4，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，∴EH=AE2+AH2=32+42=5，∴EH＝FH，∵CE＝CF，CH＝CH，∴△ECH≌△FCH（SSS），∴∠ECH＝∠FCH=12×90°＝45°，∠HEC＝∠HFC．分三种情况：①如图2，∠QPC＝∠GFC＝90°时，则PQ⊥EC，∵CF⊥EC，∴PQ∥CF，∴∠AQP＝∠DFC，∴tan∠AQP=PMQM=tan∠DFC=CDDF=63=2，∴QM=12 PM，过点P作MN⊥AD于点M，则PN∥AB，∵P为CE的中点，∴M为AD的中点，N为BC的中点，∴MD=12AD＝3，PN是△BCE的中位线，∴PN=12BE=32，∴PM=6―32=92，∴QM=9 4，∴DQ=MD―QM=3―94=34；②如图3，∠QPC＝∠HGF时，∵GF∥EC，∴∠HGF+∠HEC＝180°，∵∠QPC+∠QPE＝180°．∠QPC＝∠HGF，∴∠QPE＝∠HEC，由（2）可知，△ECH≌△FCH，∴∠HEC＝∠HFC，∴∠QPE＝∠HFC＝∠BEC，∴PQ∥AB，∵P为CE的中点，∴Q为AD的中点，∴DQ=12AD＝3；③如图4，∠QPC＝∠GHC时，∵HD＝2，DC＝6，∠ADC＝90°，∴tan∠DHC=CDHD=62=3．由（2）可知，△ECH≌△FCH，∴∠HEC＝∠HFC，∠EHC＝∠FHC，∵∠QPC＝∠GHC，∴∠EHC＝∠QPE＝∠FHC，∴∠EMP＝∠ECH＝45°，tan∠QPE＝tan∠DHC＝3．过点M作MN⊥EP于点N，∵tan∠QPE=MNNP=3，∴MN＝2NP，设NP＝a，则MN＝3a，∵tan∠HEC=MNEN=tan∠HFC=CDDF=2，∴EN=12MN=32a，∵∠ABC＝90°，BC＝6，BE＝3，∴CE=BC2+BE2=62+32=35，∵P为CE的中点，∴EP=12CE=352，∵EN+NP＝EP，∴32a+a=352，解得：a=35 5，∴MN=955，EN=9510，∴EM=MN2+EN2=(955)2+(9510)2=92，∴MH＝EH﹣EM＝5―92=12，在△QMH中，过点Q作QJ⊥MH于点J，则△MQJ是等腰直角三角形，tan∠QHJ=QJJH=AEAH=34，设QJ＝3b，∴JH＝4b，MJ＝QJ＝3b，∵MJ+JH＝MH，∴3b+4b=1 2，解得：b=1 14，∴QJ=314，JH=414=27，∴QH=QJ2+JH2=(314)2+(27)2=514，∴DQ＝HD+QH＝2+514=3314；综上所述，DQ的长为34或3或3314．25．（2022•龙港市模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，点E在BA的延长线上，对角线AC与BD交于点M，EM交AD于点F，且∠EFD＝105°．（1）求∠E的度数．（2）求证：AM＝AE．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠EAD＝∠ABC＝80°，∴∠E＝∠EFD﹣∠EAD＝105°﹣80°＝25°．（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB＝180°﹣∠B＝100°，AC平分∠DAB，∴∠BAC=12∠DAB=50°，∴∠AME＝∠BAC﹣∠E＝50°﹣25°＝25°＝∠E，∴AM＝AE．26．（2022•鹿城区校级二模）如图，在▱ABCD中，点E是边AB的中点，连结DE并延长，交CB延长线于点F，且DE平分∠ADC．（1）求证：△ADE≌△BFE．（2）若BF＝5，EF＝53，求△FCD的面积．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ABF，∵点E是边AB的中点，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，∠ADF=∠F∠A=∠ABFAE=BE，∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）解：连结CE，如图所示：∵△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，AD＝BF＝5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝5，∵DE平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠F，∴∠CDF＝∠F，∴CD＝CF＝10，∴△DCF是等腰三角形，∵E是DF的中点，∴CE⊥DF，∵DE＝EF＝53，在Rt△DEC中，根据勾股定理，得CE＝5，∵DF＝2EF＝103，∴S△FCD=DF×CE2=103×52=253，∴△DCF的面积为253．27．（2022•龙湾区模拟）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，交BC边于点F．AG 平分∠DAF交BD于点G，并经过CD边的中点H．（1）求证：BG＝AB．（2）求tan∠HFC的值．（3）若CF=255，试在BD上找一点M（不与B，D重合），使直线MC经过四边形DEFH一边的中点，求所有满足条件的BM的值．【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠2+∠5＝90°，∴∠1＝∠5，∵AG平分∠BAE，∴∠3＝∠4，∵∠BAG＝∠1+∠3，∠BGA＝∠4+∠5，∴∠BAG＝∠BGA，∴AB＝BG，（2）解：∵H为CD中点，∴设DH＝CH＝a，CD＝AB＝2a，由（1）知BG＝AB，∴BG＝2a，又∵AB∥CD，∴∠BAH＝∠DHA，∵∠BGA＝∠DGH＝∠BAH，∴∠DGH＝∠DHA，∴DG＝DH＝a，∴BD＝3a，∴BC＝AD=BD2―AB2=5a，又∵S=12AB×AD=12AE×BD，∴AE=AB×ADBD=2a×5a3a=235a，∴BE=AB2―AE2=43 a，DE＝BD﹣BE=53 a，∵AD∥BC，∴△AED∽△FEB，∴BFAD=BEDE=45，∴BF=45AD=455a，∴CF＝BC﹣BF=55 a，在Rt△HFC中，∠HCF＝90°，∴tan∠HFC=HCCF=a55a=5；（3）若CF=255，则55a=255，∴a＝2，∴AB＝CD＝2x2＝4，BD＝3a＝6，BE=83，DE=103，BF=855，CH＝DH＝2＝DG，分三种情况：①当M为DE中点时，即CM平分ED，此时DM=12DE=53，∴BM＝6―53=133，②当CM平分EF时，如图所示，设EF中点为O，过F作FN∥BD交CM于N，∴△EOM∽△FON，∴EOOF=MENF=1，∴ME＝NF，∵FN∥BM，∴△CNF∽△CMB，∴NFBM=CFBC=25525=15．∴NF=15BM，又EM＝MF，EM+BM＝BE=83，∴65BM=83，∴BM=20 9，③当CM平分FH时，设FH的中点为I，过M作从MN⊥BC于N，∴∠MNB＝∠BCD＝90°，∵∠MBN＝∠DBC，∴△MBN∽△DBC，∴MN=25 BN，∵I为EH中点，∴CI＝IF＝IH，∴∠IFC＝∠ICF，tan∠MCN＝tan∠HFC=5，又在Rt△MNC中，MNCN=tan∠MCN=5，∴MN=5CN，∴25BN=5CN，∴2BN＝5CN，又∵BN+CN＝BC＝25，∴BN=1075，CN=475，∴MN=5a=20 7，∴BM=BN2+MN2=30 7，综上：BM=307，或209，或133．28．（2022•瓯海区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为一边构造▱ABDE，DA∥BC，连结EC交DA的延长线于点F，DF⊥EC，延长EA交BC于点G．（1）求证：点A是EG的中点．（2）若tan∠ABC=12，DA＝6，求BC的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥AE，BD＝AE，∴BD∥AG，∵DA∥BG，∴四边形ADBG是平行四边形，∴BD＝AG，∴AE＝AG，∴点A是EG的中点；（2）解：∵四边形ADBG是平行四边形，∴BG＝DA＝6，∵DA∥BC，DF⊥EC，∴BC⊥EC，∴∠ECG＝90°，由（1）可知，点A是EG的中点，∴AC=12EG＝AG，∴∠ACG＝∠AGC，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ECG，∴△BAC∽△ECG，∴ACAB=CGCE，∵tan∠ABC=ACAB=12，∴CGCE=12，设AC＝a，则AB＝2a，EG＝2AC＝2a，设CG＝b，则CE＝2b，∵CE+CG＝EG，即（2b）+b＝（2a），∴b=255a，∵AB+AC＝BC，即（2a）+a＝（6+255a），解得：a＝25，∴BC＝6+255×25=10．29．（2022•鹿城区二模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．P为对角线BD上的点，过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥BD交BC于点N，Q是M关于PD的对称点，连结PQ，QN．（1）如图2，当Q落在BC上时，求证：BQ＝MD．（2）是否存在△PNQ为等腰三角形的情况？若存在，求MP的长；若不存在，请说明理由．（3）若射线MQ交射线DC于点F，当PQ⊥QN时，求DF：FC的值．【解答】（1）证明：如图1，连结DQ．在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC．∵Q是M关于PD的对称点，∴∠ADB＝∠BDQ，MD＝QD，∴∠DBC＝∠BDQ，∴QD＝BQ，∴BQ＝MD．（2）（I）如图2，当NP＝NQ时，设PN＝3a，则BP＝4a，MP＝PQ=245a，∴PD=53MP=8a，∴BD＝BP+PD＝4a+8a＝5，∴a=5 12，∴MP＝2；（II）如图3，当PQ＝PN时，设PN＝3a，则BP＝4a，MP＝PQ＝3a，∴PD=53MP=5a，∴BD＝BP+PD＝4a+5a＝5，∴a=5 9，MP=5 3．（Ⅲ）如图4，当QP＝QN时，设PN＝3a，则BP＝4a，MP＝PQ=158a，∴PD=258a，∴BD＝BP+PD=4a+258a=5，∴a=40 57，∴MP=25 19．（3）如图5，设PN＝3a，则BP＝4a，MP＝PQ=125a，∴PD＝4a，∴BD＝BP+PD＝8a＝5，∴a=5 8，∴MP=3 2，∴MD=43MP=2，∴DF=43MD=83，FC=13，∴DF：FC＝8．30．（2022•鹿城区校级二模）在四边形ABCD中，AD＝BC＝1，AB＝CD＝2，BD= 5．点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），连结AE，过E作CE的垂线交边AB 于点F．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）设DE＝x，求△AEF的面积S关于x的函数表达式．（3）在点E运动过程，当△AEF的某一个内角等于∠BDC时，求所有满足条件的AF 的长．【解答】（1）证明：∵AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝1，AB＝2，BD=5，∴AD+AB＝BD，∴∠DAB＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）过点E作EJ⊥AB于点J，交CD于点K．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAJ＝∠ADK＝∠AJK＝90°，∴四边形ADKJ是矩形，∴AJ＝DK，AD＝JK，AD∥JK∥BC，∴DEDB=EKCB=DKCB，∴x5=EK1=DK2，∴EK=55x，DK=255x，∴EJ＝JK＝EK＝1―55 x，∵EF⊥EC，∴∠EJF＝∠FEC＝∠EKC＝90°，∴∠JEF+∠CEK＝90°，∠CEK+∠ECK＝90°，∴∠JEF＝∠ECK，∴△EJF∽△CKE，∴EJCK=JFEK，∴1―55x2―255x=JF55x，∴JF=510x，∴AF＝AJ+JF=255x+510x=52x，∴S=12•AF•EJ=12×52x×（1―55x）=―14x+54x（0＜x＜5）；（3）当∠EAF＝∠CDB时，∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD，∴∠EAB＝∠EBA，∴EA＝EB，∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠ADE+∠ABE＝90°，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，∴DE＝EB=5 2，∴x=5 2，∴AF=52×52=54．当∠AEF＝∠BDC＝∠ABE时，∵∠EAF＝∠EAB，∴△EAF∽△BAE，∴AE＝AF•AB，∴（1―55x）+（255x）=52x×2，解得x=5±1 2，∴AF=52×5±12=5±54，、当∠AFE＝∠BDC时，F与B重合，此时EC与BD垂直，此时AF＝AB＝2，综上所述，AF的长为34或5±54或2．。
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中考几何数学四边形练习考点
四边形的相关概念
知识点：
【一】多边形
1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。
2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的
顶点。
4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做
多边形的对角线。
5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。
6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形
的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边
形。
说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形;有
四条边的叫做四边形;有几条边的叫做几边形。今后所说的多边
形，如果不特别声明，都是指凸多边形。
7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，
简称多边形的角。
8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所
组成的角叫做多边形的外角。
注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。
9、n边形的对角线共有条。
说明：利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角
线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。
10、多边形内角和定理：n边形内角和等于(n-2)180。
11、多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于360。
说明：多边形的外角和是一个常数(与边数无关)，利用它解决有
关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。无论
用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起来，掌握计算方
法。