云南西南名校联盟2021高三数学(理)12月高考适应性月考卷(解析版)

2021届云南省西南名校联盟高三12月高考适应性月考卷数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合{}

1,A x x x Z =≤∈，则满足条件B A 的集合B 的个数为（ ） A ．3 B ．4

C ．7

D ．8

【答案】C

【分析】先确定集合A 中元素，再由真子集个数的计算公式，即可得出结果.

【详解】因为{}

{}1,1

01A x x x Z =≤∈=-，，，所以满足条件B A 的集合B 的个数为3217-=， 故选：C ．

2．已知函数12

()f x x -=，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的图象恒在x 轴上方 B ．f （x ）的图象经过原点 C ．f （x ）是R 上的减函数 D ．f （x ）是偶函数

【答案】A

【分析】先化简()f x 的表达式，结合函数的定义域、单调性、奇偶性、图像性质对选项进行判定.

【详解】化简得1

1

2

2

1()f x x

x -??=== ???

()f x 的定义域为(0+)∞，， 对于A ，()0f x >，所以()f x 的图象恒在x 轴上方，故A 正确； 对于B ，该函数不经过原点，故B 错误；

对于C ，函数()f x 的定义域为(0+)∞，

，在定义域内是减函数，并不是在R 上的减函数，故C 错误； 对于D ，函数定义域并不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，不是偶函数，故D 错误； 故选：A

3．已知如图的程序框图，则当输出的y 的值为8时，输入的x 的值为（ ）

A ．-3，3，-1

B ．-1，-3

C ．-3

D ．-1

【答案】C

【分析】读懂程序框图的分段函数，令8y =，计算出x 的值即可.

【详解】该程序框图对应的分段函数2

9010x x y x x +>?=?-≤?，

，，， 当8y =时，098x x >??+=?，

或2018x x ≤??-=?，，

解得3x =-.

故选：C ．

4．若a ，b ，c 均为单位向量，且a b ⊥，1

3

c a kb =+（k ＞0），则k 的取值是（ ）

A ．

13

B ．

23

C 6

D ．

22

3

【答案】 D

【分析】由题意知2

1c =，按照向量数量积的定义进行计算求值. 【详解】由题意知1,1,1,0a b c a b ===?=，

所以2

2

2222112113939c a kb a ka b k b k ??

=+=+?+=+= ???

，

又0k >，所以23

k =. 故选：D

5．已知定义域为R 的函数f （x ）的导函数图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是（ ）

A ．f （a ）＞f （b ）＞f （0）

B ．f （0）＜f （c ）＜f （d ）

C ．f （b ）＜f （0）＜f （c ）

D ．f （c ）＜f （d ）＜f （e ）

【答案】D

【分析】根据导数图判断函数的单调性，即可判断函数值的大小关系.

【详解】由()f x 的导函数图象可知，()f x 在()a b ，，()c e ，上单调递增，在()b c ，上单调递减，所以()()f a f b <，

A 错误；()(0)()f b f f c >>，

B ，

C 错误；()()()f c f d f e <<，

D 正确. 故选：D

6．已知曲线Γ：

22

123x y λλ

+=-，则以下判断错误的是（ ） A ．0λ<或3λ>时，曲线Γ一定表示双曲线B ．03λ<<时，曲线Γ一定表示椭圆 C ．当3λ=-时，曲线Γ表示等轴双曲线 D ．曲线Γ不能表示抛物线

【答案】B

【分析】理解辨析双曲线、等轴双曲线、椭圆等定义逐一判断即可.

【详解】对Γ：

22

123x y λλ

+=-，当2(3)0λλ-<，即0λ<或3λ>时，曲线Γ表示双曲线， 当3λ=-时，Γ：22

166

y x -=表示等轴双曲线，因为无论λ取何值，曲线方程均只含2x ，2y 项与常数项，因

此A ，C ，D 正确；

当1λ=时，Γ：2

2

2x y +=表示圆，B 错误. 故选：B ．

7．4名同学准备利用周末时间到敬老院、福利院、儿童医院三地进行志愿者活动，若要求每个地方至少有一名同学，则不同的安排方法共有（ ）

A ．72种

B ．64种

C ．36种

D ．24种

【答案】C

【分析】由题意，先按人数进行分组，再将三组人分别安排到三个地方.即可求解. 【详解】由题意，三个地点中有一处为2人，其余均为1人， 先按人数进行分组，共有2

4C 种分法， 再将三组人分别安排到三个地方，

总共有23

43C A 36=种安排方法，

故选：C ．

8．九连环是我国民间的一种益智玩具，它蕴含着丰富的数学奥秘．假设从套环与套框完全分离的状态出发，需经过a n 步演变，出现只穿有第n 环的状态，则a n ＋1＝2a n ＋1，且a 1＝1．则从套环与套框完全分离的状态到套环均在套框上的状态，总共需要的演变步数为a 8＋1＋a 6＋1＋a 4＋1＋a 2＋1＋1＝（ ） A ．345 B ．344

C ．341

D ．340

【答案】C

【分析】令1n n b a =+，由题设可得数列{}n b 为以11a +为首项，2为公比的等比数列，求出其通项公式，即可求出结果.

【详解】由121n n a a +=+，可得112(1)n n a a ++=+，令1n n b a =+， 则{}n b 为以11a +为首项，2为公比的等比数列，所以12n n n b a =+=， 则864864211111222a a a a ++++++++=+++221341+=， 故选：C

9．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱BC 的中点，用平行于体对角线BD 1且过点A ，M 的平面去截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，得到的截面的形状是（ ）

A ．平行四边形

B ．梯形

C ．五边形

D ．以上都不对

【答案】B

【分析】画出图形，设截面为α、BD

AM O =，P 为1DD 的靠近于1D 的三等分点，N 为1CC 的靠近于C 的三

等分点，由1//BD α推出//MN AP ，从而推出截面AMNP 为梯形. 【详解】如图，设截面为α，设BD

AM O =，P 为1DD 的靠近于1D 的三等分点，N 为1CC 的靠近于C 的三等

分点，由1//BD α可得平面1BDD 与α的交线平行于1BD ，所以α平面1DBD OP =，又平面α与两平行平面

11AA D D ，11BB C C 的交线应互相平行，

∴α

平面11BB C C MN =，由//MN AP 且MN AP ≠可得截面AMNP 为梯形.

故选：B

10．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ＋1-2i |的最小值为（ ） A 51 B 5C ．3 D ．2

【答案】A

【分析】根据1z =分析出z 在复平面内的轨迹方程，再根据12z i +-的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果.

【详解】因为22|||i |1z x y x y =+=+=，所以2

2

1x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：2

2

1x y +=上的点； 又22|12i ||(1)(2)i |(1)(2)z x y x y +-=++-++-|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -,的距离， 所以min |12i |z +-为||51OA r -=， 故选：A ．

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解1z =对应的轨迹方程以及掌握12z i +-的几何意义，将复数模

的最值问题转化为点到点的距离最值问题. 11．已知函数f （x ）＝cos x ，若x 1，2,00,44x ππ??

??

∈- ?

???

??时，有122221

()()f x f x x x <，则（ ） A ．x 1＞x 2 B ．x 1＜x 2

C ．22

12x x >

D ．22

12

x x < 【答案】D 【分析】将不等式

122

221

()()f x f x x x <转化为22

1122()()x f x x f x <，然后构造函数2()cos g x x x =，利用导数研究()g x 的单调性，结合()g x 为偶函数确定正确选项. 【详解】因为120x x ≠，所以

22

1211222

221

()()()()f x f x x f x x f x x x

∈ ???

，时，2()2cos sin (2cos sin )g x x x x x x x x x '=-=-，令()2cos h x x =- sin x x ，则()3sin cos h x x x x '=--，

则()0h x '<在π04?? ???，上恒成立，所以()h

x 在π04?? ???，上单调递减，又ππ20442h ???

?=-?

> ? ?????

，所以()0g x '>在π04x ??∈ ???，上恒成立，所以()g x 在π04?? ???，上单调递增．再结合()g x 为偶函数，从而当1x ，2ππ0044x ????

∈- ? ?????

，，且1()g x < 2()g x 时必有12||||x x <，即22

12

x x <. 故选：D

【点睛】方法点睛：求解不等式有关的问题，可采用构造函数法，利用导数研究函数的单调性来求解. 12．已知在三棱锥P -ABC 中，PA ＝PB ，ABC 为锐角三角形，且点P 在平面ABC 上的投影O 1为ABC 的垂

心，O 2为PAB 的重心．若二面角P -AB -C

的余弦值为

1

3

，且1PO =

PC =，则CO 2＝（

） A ．B ．

3

C ．3

D ．1

【答案】A

【分析】画出图形，延长2PO 交AB 于点M ，说明PM AB ⊥.推出1MO AB ⊥.得出二面角P AB C 的平面角

即为1PMO ∠，然后通过转化，利用余弦定理求出2CO 即可.

【详解】如图，延长2PO 交AB 于点M ，则M 为AB 的中点，且由PA PB =可得PM AB ⊥．又1PO AB ⊥，所以AB ⊥平面1PMO ，所以1MO AB ⊥．所以二面角P

AB C 的平面角即为1PMO ∠，

又1O 为ABC 的垂心，

所以点C

在1MO 的延长线上．因为11cos 3PMO ∠=，所以1sin PMO ∠= 22

，1tan 22PMO ∠=．又122PO =，

所以3PM =，11MO =．又2O 为P AB 的重心，所以21

13

MO PM ==．设MC x =，在PMC 中，利用余弦定

理，可得29212x x +-=，所以3MC x ==．再在2O MC 中，利用余弦定理，可得2

219123183CO =+-???=，

得22CO = 故选：A ．

【点睛】找二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．

二、填空题

13．已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的4倍，设随机变量X 为他投篮一次命中的个数，则X 的期望是________． 【答案】0.8

【分析】求出投篮一次命中和未命中的概率，再求期望即可.

【详解】因为(1)0.8P X ==，(0)0.2P X ==，所以()0.8100.8E X =?+= 故答案为：0.8

14．在等差数列{n a }中，110a =，令n S 为{n a }的前n 项和，若1011S S ＜0，则使得n a ＞0成立的最大整数n 为________． 【答案】5

【分析】由题1011S S ＜0通过分析可得65

00a a ?，

，即可得到n a ＞0成立的最大整数.

【详解】因为11010

5610()

5()02

a a S a a +==+>，所以560a a +>． 又11111611()

1102a a S a +=

=<，所以60a <，所以6500a a

>?，，

所以使得0n a >成立的最大整数n 为5． 故答案为：5.

15．已知双曲线()2222

:10,0x y C a b a b

-=>>，若其右焦点F 关于直线3

y x =的对称点在双曲线C 的一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为________． 【答案】2

【分析】分析得出直线b y x a =的倾斜角为3π，可求得b a 的值，利用公式2

1b e a ??=+ ???

可求得双曲线C 的离心

率.

【详解】如图，设焦点F 关于直线3y x =

的对称点为P ，C 的左焦点为F '，PF 与直线3

y x =的交点为Q ，

则由Q 、O 分别为PF 、FF '的中点，可得//OQ PF ，所以2

F PF OQF π

'∠=∠=，

则OP OF =，又3

tan 3

OQF ∠=

，所以6QOF π∠=，则23POF QOF π∠=∠=，

又因为P 在渐近线b

y x a =

上，所以tan 33

b a π==， 所以2

22222

12c c a b b e a a a a +??====+= ???

． 故答案为：2.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 16．在锐角ABC 中，4

cos 5

A =，若点P 为ABC 的外心，且AP xA

B y A

C =+，则x ＋y 的最大值为________．

【答案】

59

【分析】设ABC 的外接圆半径为5，以BC 为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，若ABC 为锐角三角形，过点P 作//B C BC ''，其中B C ''分别交AB ，AC 于点B '，C '，AP 的延长线交BC 于点R ，根据向量共线的推论1x y ''+=，设||||||

||||||

AB AC AP k AB AC AR ''===，可得()x y k x y k ''+=+=，为使k 取最大值，只需使||

||

AP AR 最大即可. 【详解】不妨设ABC 的外接圆半径为5．如图：

取点(30)B ，，(30)C -，，(09)Q ，，并作BQC 的外接圆P ，

则点P 为(04)，，则此时BQC OPC ∠=∠且4

cos 5

OPC ∠=， 所以4

cos 5

A =

当且仅当点A 是优弧BC 上除B ，C 以外的点．

当ABC 为锐角三角形时，过点P 作//B C

BC ''，

其中B C ''分别交AB ，AC 于点B '，C '，AP 的延长线交BC 于点R ． 设AP x AB y AC ''''=+，则由B '，P ，C '共线，可得1x y ''+=． 设

||||||

||||||

AB AC AP k AB AC AR ''===， 则AP x AB y AC x k AB '''''=+=+y k AC xAB y AC '=+， 所以x x k '=，y y k '=，()x y k x y k ''+=+=， 所以为使k 取最大值，只需使

||

||

AP AR 最大． 过A 作x 轴的垂线交B C ''，BC 分别于点M ，N ，则

||||

=||||

AP AM AR AN ， 又

||||||||||AM AM AN AM MN =+1

||1||

MN AM =

+

， 所以当||5AM r ==时，max

||15

4||915

AP AR ==

+． 故答案为：

59

【点睛】关键点点睛：本题考查了向量共线推论的应用，解题的关键是建立坐标系，利用B '，P ，C '共线，得出1x y ''+=，考查了计算能力、转化为能力.

三、解答题

17．如图为函数()f x Asin x ω=（0A >，0>ω）在一个周期内的图象，其中点M 是图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且OM MB ⊥，点B 为()4,0．

（1）求函数()f x 的表达式；

（2）若将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在R 上的单调减区间．

【答案】（1）()2

f x x π

；（2）[]1858k k ++，（k Z ∈）．

【分析】（1）由题设条件可知OMC 为边长为2的等边三角形，进而可得点M 的坐标，从而可求得A 的值，由点B 的坐标结合2T

π

ω=

可得ω的值，从而得出函数的解析式；

（2）先由函数图象平移规则得到函数()y g x =的解析式()4

4g x x π

π??=+ ???，再令

3222442

k x k ππππππ+≤+≤+（k Z ∈），解不等式即可得到函数的单调递减区间. 【详解】（1）∵OM MB ⊥，又C 为OB 的中点， ∴22OB MC OC ==

=，

又OM MC =，∴OMC 为边长为2的等边三角形，

∴(1M ，A =

又2242

T πππ

ω=

==，

∴()2f x x π

=；

（2）1()(1)224

4g x x x ππ

π????=?+=+ ???????，

令3222442

k x k ππππ

ππ+≤+≤+（k Z ∈），

得1858k x k +≤≤+（k Z ∈），

∴()g x 在R 上的单调减区间为[]1858k k ++，（k Z ∈）．

【点睛】方法点睛：确定()y Asin x b ω?=++ (0A >，0>ω)的步骤：

①求A 和b ，确定函数的最大值为M ，最小值为m ，则2

M m

A

，2

M m

b

； ②求ω，通过2T

π

ω=

确定；

③求?.

18．2021年《联合国气候变化框架公约》第十五次缔约方会议（COP15）将在云南昆明举行，大会的主题为“生态文明：共建地球生物共同体”．大绒鼠是中国的特有濒危物种，仅分布在湖北、四川、云南等地．某校同学为探究大绒鼠的形态学指标与纬度、海拔和年平均温度的关系，从德钦、香格里拉、丽江、剑川、哀牢山五个采样点收集了50只大绒鼠标本．

（1）将五个采样地分别记作A，B，C，D，E，各个采样地所含标本数量占总标本数量的百分比如图甲所示．若先从来自于A，C，D的标本中随机选出两个进行研究，求这两个标本来源于不同采样地的概率；

（2）为研究大绒鼠体长与纬度的变化关系，收集数据后绘制了如图乙的散点图．由散点图可看出体长y与纬度x存在线性相关关系，请根据下列统计量的值，求出y与x的线性回归方程，并以此估计纬度为30度时，大绒鼠的平均体长．

x y x y?2x

5

1

i i

i

x y

=

∑52

1

i

i

x

=

∑

27369727295008.53600

参考公式：回归方程?

??

y a bx

=+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为1

2

1

()()

?

()

n

i i

i

n

i

i

x x y y

b

x x

=

=

--

=

-

∑

∑

，?

?a y bx

=-．【答案】（1）

55

87

；（2） 3.3125.1

y x

=-+；26.1厘米．

【分析】（1）可得A，C，D各含标本数量为5，15，10，再直接计算概率即可；

（2）利用表中数据代入公式即可求解.

【详解】解：（1）由题图甲可得A，C，D各含标本数量为5，15，10．

设P为两个标本来源于不同采样地的概率，

则1111115155101510230C C C C C C 5155101510553029C 872

P ++?+?+?===?．

（2）由表格数据可得，5

1522

21

55008.5597229.7

3.336005279

5i i

i i i x y

x y

b x x

==--?=

=

=-=--?-∑∑，

∴36 3.327125.1a y bx =-=+?=，

∴y 与x 的线性回归方程是 3.3125.1y x =-+，

∴当30x =时，26.1y =，即纬度为30度时，大绒鼠的平均体长为26.1厘米．

【点睛】关键点点睛：本题考查概率和回归方程的求解，解题的关键是正确分析数据，根据公式正确计算. 19．已知曲线C 是顶点为坐标原点O ，且开口向右的抛物线，曲线C 上一点A （x 0，2）到准线的距离为5

2

，且焦点到准线的距离小于4．

（1）求抛物线C 的方程与点A 的坐标；

（2）若MN ，PQ 是过点（1，0）且互相垂直的C 的弦，求四边形MPNQ 的面积的最小值． 【答案】（1）抛物线C 的方程为2

2y x =，(22)A ，；（2）12．

【分析】（1）设抛物线标准方程，利用点A 在抛物线上，及其到准线的距离求解参数p 即得结果；

（2）先设直线MN 的方程并与抛物线联立，利用韦达定理弦长MN ，再利用垂直关系设PQ 的方程并与抛物线联立，利用韦达定理弦长PQ ，计算面积1

||||2

S MN PQ =

?，结合基本不等式求最值即可. 【详解】解：（1）设抛物线的方程为2

2(0)y px p =>，

∵点A 在抛物线上，∴042px =，得02

x p

=， ∴点A 到准线的距离为025

222

p p x p +

=+=，即2540p p -+=， 解得4p =或1p =，又焦点到准线的距离为p ，4p <，故1p =，02

2x p

==， ∴抛物线C 的方程为22y x =，(22)A ，．

（2）设MN ：1x my =+，代入抛物线的方程可得2

220y my --=，

设11()M x y ，，22()N x y ，， 则1212

22y y m y y +=??

=-?，

，

∴222212121()42(1)(2)MN m y y y y m m ++-=++ 又∵PQ MN ⊥，

∴PQ ：11x y m

=-

+，同理，用1

m -代换上式的m ，可得2211||2

12PQ m m ????

=++ ???????

∴四边形MPNQ 的面积2222111||||2(1)(2)122S MN PQ m m m m ????

=

?=++++ ???????

2222112(1)1(2)2m m m m ????

=++++ ? ????? 2222112252m m m m ??=++

++ ??

? ∵2

21

2m m

+

≥，当且仅当21m =时，等号成立. 22

1242m m ++

2215293m m ??++ ??

?，当且仅当21m =时，等号成立. ∴22312S ≥??=，当且仅当21m =时，等号成立. ∴当1m =±时，四边形MPNQ 的面积取得最小值为12． 【点睛】思路点睛：

求解圆锥曲线中的弦长问题时，一般需要联立直线与圆锥曲线的方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果；有时也可由直线与圆锥曲线的方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出弦长.

20．如图甲，三棱锥P ABD -，Q BCD -均为底面边长为23、侧棱长为43

的正棱锥，且四边形ABCD 是边长为23的菱形（点,P Q 在平面ABCD 的同侧），,AC BD 交于点O ．

（1）证明：平面PQO ⊥平面ABCD ；

（2）如图乙，设,AP CQ 的延长线交于点M ，求二面角A MB C --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）5

7

-．

【分析】（1）连接,,PO OQ PQ 根据题意可得PO DB ⊥， QO DB ⊥结合线面垂直判定定理可证BD ⊥平面

POQ ，根据面面垂直判定定理得证；

（2）法一：建立空间直角坐标系，根据条件求出其法向量，利用向量法求二面角问题步骤求解即可； 法二：通过题意和图形证明AEC ∠为二面角A MB C --的平面角，在三角形中利用解三角形求出cos AEC ∠即为所求.

【详解】（1）证明：如图，连接,,PO OQ PQ

因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以PO DB ⊥．

同理，QO DB ⊥，又PO OQ O =， ,PO OQ ?平面POQ ， 所以BD ⊥平面POQ ． 又BD ?平面ABCD ， 所以平面POQ ⊥平面ABCD ． （2）解： 法一：如图，

分别过P ，Q 作平面ABCD 的垂线，垂足分别为1O ，2O ，

则1O ，2O 在AC 上，且1O ，2O 分别为,AO OC 的三等分点，且12//PO QO ，12=PO QO ,112PO O O ⊥， 所以四边形12PO O Q 为矩形， 所以//PQ AC ．

且1212

233

PQ O O AO AO ==?=，

所以33432322MA MC AP ==

== 所以MO AC ⊥，由（1）得,,MO OB OC 两两垂直．

又

3

233 AO

=?=，

所以223

MO MA AO

=-=．

如图，以O为原点，分别以,,

OB OC OM为,,

x y z轴建立空间直角坐标系，则(0,3,0)

A-，(3,0,0)

B，(0,3,0)

C，(0,0,3)

M，

所以(3,3,0)

AB=，(3,0,3)

MB=-，(3,3,0)

BC=-．

设

111

(,,)

m x y z

=，

222

(,,)

n x y z

=分别为平面AMB与平面MBC的法向量，

则11

11

330

(3,1,3)

330

x y

m

x z

?+=

?

?=-

?

-=

??

，

，

22

22

330

(3,1,3)

330

x y

n

x z

?-+=

?

?=

?

-=

??

，

．

所以

5

cos

7

m n

m n

m n

?

??==

?

，，

由图可得所以二面角A MB C

--的平面角的余弦值为5

7

-.

法二：

分别过,P Q作平面ABCD的垂线，垂足分别为1O，2O，

则1

O，

2

O在AC上，且

1

O，

2

O分别为,

AO OC的三等分点，

且12

//

PO QO，

12

=

PO QO，

112

PO O O

⊥，

所以四边形12

PO O Q为矩形，

所以//PQ AC ．

且1212

233

PQ O O AO AO ==?=，

所以3322MA MC AP ==

== 所以MA AB BC CM ===．

取MB 的中点E ，则AE MB ⊥，CE MB ⊥， 所以AEC ∠为二面角A MB C --的平面角．

又3AO ==，

所以MO ==

又OB =

MB =，

所以AE CE =

==． 又26AC AO ==，

2

2

2

42

36

52cos 42272

AE EC AC AEC AE EC -+-∠===-.

所以二面角A MB C --的平面角的余弦值为5

7

-.

【点睛】利用向量法求二面角问题步骤：

（1）建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系；

（2）求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量1n 、2n ；

（3）计算：求1n 与2n 所成锐角θ，1212

cos n n n n θ?=

?；

（4）定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为πθ-. 21．已知()ln )f x x =-，g （x ）＝f （x ）＋ax -3，其中a ∈（0，＋∞）． （1）判断f （x ）的单调性并求其最值；

（2）若g （x ）存在极大值，求a 的取值范围，并证明此时g （x ）的极大值小于0．

【答案】（1）当(01)x ∈，时，()f x 单调递增；当(1)x ∈+∞，时，()f x 单调递减；最大值为2，无最小值；（2）

1

0e

a <<

；证明见解析． 【分析】（1）求出()'

f x ，根据导数与函数单调性之间的关系即可求解.

（2）()ln )3g x x ax =-+-，令t =

，则2x t =，可得2

()22ln 3t t t t at ?=-+-，求出导函数，且

min 1()2ln 22(ln 1)t a a a ????

''==+=+ ???

，讨论1e a ≥或10e a <<，确定函数的单调性，可得函数的极大值，并求

出极大值，即可求解.

【详解】解：（1）∵1()ln )

2f x x x x

-'=

-=

， ∴当(01)x ∈，

时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(1

)x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减， ∴max ()(1)2f x f ==，且()f x 无最小值．

（2）()ln )3g x x ax =-+-，

令t =

2x t =，

ln )3x ax -+-=222ln 3t t t at -+-． 令2()22ln 3t t t t at ?=-+-，

∵函数t =

是(0)+∞，上的单调递增函数，

∴由复合函数的单调性可知，()g x 存在极大值()t ??存在极大值， 且()g x 取到极大值0()()g x t ??取到极大值0()t ?，

其中0t =

00()()g x t ?=．

∵()22ln 222ln 2t t at t at ?'=--+=-+， ∴222()2at

t a t t

?--+''=

+=， ∴10t a ??

∈ ???

，时，()0t ?''<，()t ?'单调递减；

1t a ??

∈+∞ ???，时，()0t ?''>，()t ?'单调递增， ∴min 1()2ln 22(ln 1)t a a a ????

''==+=+ ???

．

①当1e a ≥时，10a ???

' ???

≥，则()0t ?'≥在(0)+∞，

上恒成立， ∴()t ?在(0)+∞，

上单调递增，则()t ?无极值点； ②当10e a <<

时，1e a >，取11a

<，1

e a <， 有(1)20a ?'=>，(e)22e 220a ?'=-+<-+=， ∴()t ?'在(1

e)，上有唯一零点， 设为0t ，且0(1)t t ∈，

时，()0t ?'>，0(1)t t ∈，时，()0t ?'<， ∴当1

0e

a <<

时，()t ?在(0)+∞，

上有唯一的极大值点0()t ?． ∵000()2ln 20t t at ?'=-+=，∴00ln t at =，

∴2

00000

00000()22ln 322ln ln 3t t t t at t t t t t ?=-+-=-+-=0002ln 3t t t --， 令()2ln 3m t t t t =--， 则()2ln 1ln 1m t t t '=--=-+， ∴()m t 在(0e)，上单调递增． 又(e)2e e 3e 30m =--=-<， ∴0()0t ?<，

即()t ?的极大值小于0， 综上，有1

0e

a <<

时，()g x 存在极大值，且此时()g x 的极大值小于0． 【点睛】关键点点睛：本题考查了；利用导数研究函数的单调性、最值、极值，解题的关键是利用换元法将函数化为2()22ln 3t t t t at ?=-+-，求导判断函数的单调性，考查了分类讨论的思想、数学运算.