中学生标准学术能力诊断性测试2018年11月测试理科数学试题(一卷)参考答案

= 4(b +1), x1x2 = 4b2 ，[10 分]
2 2 设直线 AB 的斜率为 k AB ，由 y1 = x1 , y2 = x2 ,
得 k AB =
y2 − y1 1 = ( x1 x2 ) ，[5 分] x2 − x1 y1 + y2
由于 y1 + y2 = −2 ，将其代入上式得 k AB =
1 1 = − ．[6 分] y1 + y2 2
中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 11 月测试理科数学试卷（一卷）
参考答案一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 C 2 D 3 A 4 A 5 D 6 B 7 A 8 B 9 C 10 B 11 B 12 D
2 1 4 2 4 2 AB + AS = 0, , ，即 M(0, , ) 3 3 3 3 3 3
AM n = 0 AC n n =(x,y,z)，则
将坐标代入得 n =(-1,1,-2) [9 分] 另外易知平面 SAB 的一个法向量为 m =(1,0,0)，[10 分]
此时 N(
26 22 11 5 , ,0)，即点 N 在线段 CD 上且 ND = .[14 分] 15 15 15
19．10 分解：（1）由概率分布的性质有 0.1＋0.2＋0.3＋0.1＋ t + 2t ＝1．[1 分] 所以 t = 0.1，[2 分] ∴X 的分布列为： X P 20 0.1 22 0.2 24 0.3 26 0.1 28 0.1 30 0.2
所以平面 AMC 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值为
nm nm
=
6 [11 分] 6
(3)设 N(x,2x－2,0)，其中 1 x 2 ．由于 M(0,
4 2 10 2 , )，所以 MN = x, 2 x − , − ． 3 3 3 3
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二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 2 14．36 15．
2019 2
16． (0, +) 三、解答题：共 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤,第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答,第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60 分. 17．10 分解: （1）由条件和正弦定理可得整理得 b
1 ab sin C = 3 ．[10 分] 2
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18．14 分证明：（1）取线段 SC 的中点 E，连接 ME,ED． [1 分] 在 SBC 中，ME 为中位线 ME
E
1 BC ，[2 分] 2
AD
1 BC ME 2
AD [3 分]
四边形 AMED 为平行四边形[4 分]
(写出分布列得[4 分]) 0.1＋22× 0.2＋24× 0.3＋26× 0.1＋28× 0.1＋30× 0.2＝25(km)． ∴E(X)＝20× D(X)＝52× 0.1＋32× 0.2＋12× 0.3＋12× 0.1＋32× 0.1＋52× 0.2＝10.6. [6 分] (2)由已知设梁某一天出车一次的收入为 Y 元, 则 Y＝ 3( X − 3) + 5 =3X－4,(X>3，X∈N)，[8 分] ∴E(Y)＝E(3X－4)＝3E(X)－4＝3×25－4＝71(元)，[9 分] D(Y)＝D(3X－4)＝32D(X)＝95.4. [10 分] 20．14 分解（1）由抛物线 y 2 = 2 px ( p 0) 过点 P(1,1)，得 2p=1，即 y = x [1
AM
DE
[5 分]
DE 平面SCD AM 平面SCD
AM 平面SCD [6 分]
（2）以点 A 为坐标原点，建立分别以 AD、AB、AS 为 x 轴、y 轴、z 轴，如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(0,2,0)， C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，[7 分] 由条件得 M 为线段 SB 近 B 点的三等分点．[8 分] 于是 AM =
2
分]
将条件 kPA + kPB = 0 写为
y1 −1 y2 −1 + = 0 ,[2 分] x1 −1 x2 −1 1 1 + = 0, y1 + 1 y2 + 1
2 2 注意到 y1 = x1 , y2 = x2 ,代入上式得到
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通分整理得 y1 + y2 = −2 ．[4 分]
1 x+b ， 2
（2）因此设直线 AB 的方程为 y = −
y2 = x 1 2 2 由，消去 y 整理,得 x − ( b + 1) x + b = 0 ,[8 分] 1 4 y = − x + b 2
b 0,1
Δ= ( b + 1) − b2 0 ，
2
且 x1 + x2
所以 sin θ=
MN m MN m
−
=
x 1 = [12 分] 104 1 40 1 40 104 2 5x − x + − +5 9 x2 3 x 3 9
40 26 1 15 可知当 = − 3 = ,即 x = 时分母有最小值，此时 sin θ 有最大值，[13 分] 208 26 x 15 9
2
b2 + c 2 − a 2 = 2b − a b
1
[1 分]
+ a2 − c2 = ab 从而由余弦定理得 cosC=2.
[3 分] ∴C =
[2 分]
又∵C 是三角形的内角

3
．
[4 分]
（2）由余弦定理得 c
2
= a2 + b2 − 2ab cos C = a2 + b2 − ab ，
[5 分]
a + b = 4 ，c2 = a2 + b2 − ab = (a + b)2 − 3ab = 16 − 3ab ，[7 分]
a +b c = 16 − 3ab 16 − 3 ．[9 分] = 4 （当且仅当 a=b=2 时等号成立） 2
2
2
∴c 的最小值为 2，故 SABC =

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清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月测试理科数学试卷(二卷)含答案

B． 2 2
C． 3
D． 4
n
2019
5．定义 ak a1a2a3 an ，若 [1 (2k 1)x] 展开式中 x 一次项的系数为 m ，则 im 等于（ i 为虚数单位）（）

k 1
k 1
A． i
B． i
C．1
D． -1
6．函数 f (x) ln x2 的大致图象是（） x
7．已知正项等比数列{an} 的公比不为1 ， Tn 为其前 n 项积，若T3 =T7 ，则
则圆柱的高为（）
A． 1 R 2
B． 2 R 3
C． 2 R 2
D． 3 R 3
11．椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的右顶点为 A ，下顶点为 B ，左焦点为 F ，若△ ABF 外接圆的圆心在直线 y x 的 a2 b2
右下方，则此椭圆的离心率的取值范围是（）
A． (1 ,1) 2
ln a5 ln a3
（
）
A． 5 : 3
B． 3 : 5
C． 5:1
D．1: 5
8．在△ ABC 中， A , B , C 的对边分别是 a , b , c .若 A 120 ， a 1 ，则 2b 3c 的最大值为（）
A． 3
B． 2 21 3
9．已知 a b 0 ，有下列命题：
①若 a b 1，则 a b 1 ；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标值 Z 服从正态分布 N (, 2 ) ，其中近似为样本平均数 x ，
频率组距 0.030
2 近似为样本方差 s2 ．（i）利用该正态分布，求 P(185.03 Z 229.94) ；（ii）现从该企业购买了 100 件这种螺帽，记 X 表示这 100 件螺帽中质量指标值位于区间 (185.03, 229.94) 的件数，利用（i）的结果，求 E( X ) ．

中学生标准学术能力测试诊断性2018年11月测试文科数学试卷(一卷)

中学生标准学术能力诊断性测试2018年11月测试文科数学试卷(一卷)一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A＝{1，3}，B＝{2，3，4}，则（）A．A＝B B．A∩B≠∅C．A⊆B D．B⊆A2．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a i，z•5，则a＝（）A．或B．或C．D．3．某网络购物平台对某周每天顾客的投诉的次数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示）则该样本的中位数、众数分别是（）A．43，51 B．43，42 C．42，43 D．42，514．若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（）A．B．C．D．5．若S n是数列{a n}的前n项和，S n＝2n2，则{a n}是（）A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，而且也是等比数列D．既非等比数列，也非等差数列6．设函数f（x）＝x•lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣x﹣1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x+1 D．y＝x﹣17．在△ABC中，AC，BC＝1，则∠A的最大值是（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．函数f（x）＝sin2x+sin x cos x的最小正周期和振幅分别是（（）A．B．2πC．2πD．π9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．6（）B．6（）C．6（）D．6（）10．已知cosα，cos（α﹣β），且0＜β＜α＜，则cosβ＝（）A．B．C．D．11．如图，已知三棱锥P﹣ABC，P A⊥平面ABC，D是棱BC上的动点，记PD与平面ABC所成的角为α，与直线BC所成的角为β，则α与β的大小关系为（）A．α＞βB．α＝βC．α＜βD．不能确定12．已知函数y＝f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）单调递减，当x+y＝2019时．恒有f（x）+f（2019）＞f（y）成立，则x的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数f（x），＞，＜，若f（8）＝3f（a），则a＝14．已知x，y∈R，且满足a＞0），当由不等式组确定的可行域的面积为4时，z＝3x﹣y的最大值15．（5分）已知F是椭圆1（a＞b＞0）的右焦点，过点F作斜率为2的直线l使它与圆x2+y2＝b2相切，则椭圆离心率是．16．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠A＝60°，点P是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若x y，则x+y的最大值是三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题: 60分.17．已知等比数列{a n}各项都是正数，S n为其前n项和，a3＝8，S3＝14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n﹣b n}是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．18．某公司生产甲、乙两种不同规格的产品，并且根据质量的测试指标分数进行划分，其中分数不小于70 的为合格品，否则为次品，现随机抽取两种产品各100件进行检测，其结果如下：（1）根据表中数据，估计甲、乙两种产品的不合格率．（2）若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品，再从这5件甲产品中随机抽取2件，求这2件产品全是合格品的概率．19．在三棱锥A﹣PCB中，其中∠BPC＝90°，∠APC＝∠APB＝60°且P A＝PB＝PC＝2．（1）求证：平面ABC⊥平面BPC．（2）D为线段AC上一点，且AD AC，求三棱锥D﹣APB的体积．20．设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线l与C交于A，B两点．（1）当|AB|的最小值为4时，求抛物线C的方程．（2）设AB的中点为M，过M作直线x的垂线，垂足为N，求证：直线FN⊥l．21．已知函数f（x）＝x3+ax﹣2lnx．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22．已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（3，），曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为C上的动点，求PQ的中点M到直线l：（t为参数）的距离的最大值．23．已知不等式|2x+4|+|x﹣1|≥m的解集为R．（1）求实数m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足n时，求17a+11b的最小值．一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．B2．A3．B4．B5B6．D7．B8．D9．A10．C11．C12．C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．f（8）＝log28＝3，若f（8）＝3f（a），得3＝3f（a），得f（a）＝1，若a＞0，由log2a＝1，得a＝2，若a＜0，由a3＝1，得a＝1，不成立，综上a＝2，14．根据题意，可得a是一个正数，由此作出x，y∈R，且满足表示的平面区域得到如图的ABCD及其内部，其中A（a，﹣a），B（a+1，﹣a﹣1），C（a+1，a+1），D（a，a）∴平面区域的面积S，解之得a（舍负）．设z＝F（x，y）＝3x﹣y，将直线l：z＝3x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝F（，）＝310，15．设椭圆的右焦点为F（﹣c，0），c，∵直线PF的斜率为2，则直线l的方程为y﹣0＝2（x﹣c），即2x﹣y﹣2c＝0．再根据直线l与圆x2+y2＝b2相切，可得圆心（0，0）到直线l的距离等于半径b，即b，求得b2c2．再根据a2﹣b2＝c2，可得a2c2＝c2，求得．16．以A为原点，AC所在方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，∵AB＝1，AC＝3，∠A＝60°，∴A（0，0），B（，），C（3，0），由点P是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，设P的坐标为（3，），则，，，，，，∵x y，∴，，，，∴x，，∴x+y，（其中tanφ），∴当sin（x+φ）＝1时，x+y的最大值为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答17．（1）由a3＝8，S3＝14．得，解得q＝2或（舍去），a1＝2．∴数列{a n}的通项公式为2n；（2）∵{a n﹣b n}是首项为1，公差为3的等差数列，∴a n﹣b n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，即b n＝2n﹣3n+2．故T n＝（21+22+23+…+2n）﹣3（1+2+…+n）+2n．18．（1）在分别抽取的100件产品中，合格品的元件甲有：40+32+8＝80（件）合格品的元件乙有：40+24+6＝70（件）所以元件甲、乙为合格品的频率分别为：，，根据频率可估计元件甲、乙为不合格品的概率分别为：和．（2）若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品，其中不合格的1件，合格的4件．设5件产品分别为a，b，c，d，E，大写代表不合格，再从这5件甲产品中随机抽取2件，可能情况为：ab，ac，ad，bc，cd，bd，aE，bE，cE，dE，10种情况，这2件产品全是合格品有ab，ac，ad，bc，cd，bd，6种情况，所以P．19．（1）证明：取BC中点M，连结AM、PM，∵P A＝PB，∠APB＝60°，∴△P AB为正三角形．同理△P AC为正三角形．在Rt△BPC中，PB＝PC＝2，BC，∴PM，在△ABC中，AM，∵AM2+PM2＝2+2＝4＝AP2，∴△APM为直角三角形，即AM⊥MP，又∵AM⊥BC，∴AM⊥平面PBC，∴平面ABC⊥平面PBC；（2）解：由（1）知，AM⊥平面BPC，且AM，∴多面体P﹣ABC的体积V．∵AD AC，∴．20．（1）设直线l的方程为my＝x，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：y2﹣2pmy﹣p2＝0．∴y1+y2＝2pm．∴|AB|＝x1+x2+p＝m（y1+y2）+2p＝2pm2+2p≥2p＝4，当且仅当m＝0时取等号．∴p＝2．∴抛物线C的方程为y2＝4x．（2）证明：设直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为my＝x，A（x1，y1），B（x2，y2）．线段AB的中点M（x0，y0）．联立，化为：y2﹣2pmy﹣p2＝0．∴y1+y2＝2pm．∴y0pm．∴x0＝my0pm2．∴N（，pm）．k FP•1，可得NF⊥l．设直线l的斜率为0时，显然成立．综上可得：NF⊥l．21．（1）当a＝﹣1时，f′（x），（x＞0），∵3x2+3x+2＞0恒成立，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，综上可得，函数的单调递增区间（1，+∞），单调递减区间（0，1），（2）令g（x）x2+a，∵x＞0，由f（x）≥0在定义域内恒成立可得，g（x）≥0恒成立，∵g′（x），令h（x）＝x3+lnx﹣1，则h（x）在（0，+∞）上单调递增且h（1）＝0，故当x∈（0，1）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞））时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）min＝g（1）＝1+a≥0，∴a≥﹣1，故a的范围[﹣1，+∞）．22．（1）点P的直角坐标为（3，3），由ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0得曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4（2）由消去t得x+y﹣6＝0，设Q（2+2cosθ，1+2sinθ），则M（cosθ，2+sinθ），M到直线x+y﹣6＝0的距离d，所以sin（）＝﹣1时，d取得最大值1．23．（1）|2x+4|+|x﹣1|＝|x+2|+|x+2|+|x﹣1|≥|﹣2﹣1|＝3，∵不等式|2x+4|+|x﹣1|≥m的解集为R，∴m≤3，∴m的取值范围为：（﹣∞，3]；（2）由（1）知，n＝3，则n＝3，17a+11b＝8（2a+b）+（a+3b）．当且仅当，时取等号．。

中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT2024年1月数学试卷及答案

一、单项选择题：本题共8符合题目要求的．1．已知R ∈m ，集合=A ，若C AB =则=mA ．−32．已知数列a n }{满足a 1A ．+−n 21213．复数z 满足+=z 2i )(A ．−34．在直三棱柱−ABC A 1A ．7 5．设x a a x +=+n1201)(A ．66．若不等式A ．5 7．已知==a b 2e ,ln e23A ．>>a b c8．已知>+−x y x y ,0,33A ．15．若,αγβγ，则αβ．若,,mn m n αβ，则αβγ⊥，则⊥⊥αγβγ,，则αβx 2E F ,，5．12PE PF ⋅=−25258=12)分成长度相等的四段D ．3 则+++ααβtan 2tan )(D ．8当∈x 2,4][时，=f x )(C 上一点，线段PF 2的中垂的离心率为．动直线=≠x a a 0)(与函数l 1与函数g x )(的图象+x 817)恒成立，则实数m四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）数列a n }{的前n 项和为=S a n ,11，当≥n 2时，⎝⎭ ⎪=−⎛⎫S a S nn n 212．（1）求证：数列⎩⎭⎨⎬⎧⎫S n 1是等差数列，并求S n 的表达式；（2）设+=n b n S n n212，数列b n }{的前n 项和为T n ，不等式≤−+T m m n n 32对所有的N *∈n 恒成立，求正整数m 的最小值．18．（12分）如图所示，在∆ABC 中，=AB D 1,是BC 上的点，∠=∠BAD DAC 21．（1）若∠=πBAC 2，求证：−=AD AC 21；（2）若1BD DC =4，求∆ABC 面积的最大值．19．（12分）如图所示，一只蚂蚁从正方体−ABCD A BC D 1111的顶点A 1出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为61，沿正方体的侧棱爬行的概率为32．（1）若蚂蚁爬行n 次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；（2）若蚂蚁爬行5次，记它在顶点C 出现的次数为X ，求X 的分布列与数学期望．（第19题图）（第18题图）20．（12分）如图所示，已知∆ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，点M 是边AB 的中点，点N 在边BC 上，且=BNNC 3．以MN 为折痕将∆BMN 折起，使点B 到达点D 的位置，且平面⊥DMC 平面ABC ，连接DA DC ,．（1）若E 是线段DM 的中点，求证：NE 平面DAC ；（2）求二面角−−D AC B 的余弦值．21．（12分）如图所示，已知抛物线=−y x M 1,0,12)(，A ，B 是抛物线与x 轴的交点，过点M 作斜率不为零的直线l 与抛物线交于C ，D 两点，与x 轴交于点Q ，直线AC 与直线BD 交于点P ．（1）求⋅CDCM DM 的取值范围；（2）问在平面内是否存在一定点T ，使得TP TQ ⋅为定值？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数=+−−xf x x a x1ln 2)(有两个零点<x x x x ,1212)(．（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：<x x 112；（3）求证：−<<−x x x x 212122．（第20题图）（第21题图）中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．4 14．135 15．216．，⎝⎦⎥ −∞⎛⎤21 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）当≥n 2时，数列a n }{的前n 项和为S n ，满足⎝⎭⎪=−⎛⎫S a S n n n 212，即⎝⎭ ⎪=−−=−−+⎛⎫−−−S S S S S S S S S n n n n n n n n n 22211111122)(，整理可得=−−−S S S S n n n n 211 ········································································ 1分 11S =，则=−S S S S 22112，即=−S S 2122，可得=S 312 ······························· 2分由=−S S S S 22323，即=−S S 332133，可得,,=S 513以此类推可知，对任意的N *∈>n S n ,0，在等式=−−−S S S S n n n n 211两边同时除以−S S n n 1可得−=−S S n n 2111······················· 4分所以数列⎩⎭⎨⎬⎧⎫S n 1为等差数列，且其首项为=S 111，公差为2 ································· 5分 ∴=+−=−S n n n 121211)(，因此， −=n S n 211 ············································ 6分（2）解：()()⎝⎭⎝⎭+−+−+ ⎪ ⎪ ⎪==+=+−⎛⎫⎛⎫n n n n n b n S n n 214212148212111111112 ， ⎝⎭+ ⎪∴=+−⎛⎫n T n n 4821111 ············································································ 8分不等式≤−+T m m n n 32对所有的N *∈n 恒成立，则−+≥m m 33022，即≥+m 69或≤m 69····································································· 9分因此，满足条件的正整数m 的最小值为3 ······················································ 10分 18．（12分）（1）证明：由∠=∠=∠πBAC BAD DAC 22,1，知∠=∠=ππBAD DAC 63,，=+⋅⋅+⋅⋅=⋅ππ∆∆S S S AB AD AD AC AB AC ABC ABD ACD 26232,sin sin 111，即+⋅=AD AC AC 2，两边同除以⋅AD AC，得−=AD AC21······················································ 5分（2）设∠=αBAD ，则∠=αDAC 2，∆ABD 中，由正弦定理，得∠=αBDA AB BDsin sin ①，∆ACD 中，由正弦定理，得∠=αCDA AC DCsin sin 2 ②，②÷①，结合∠=∠=BDA CDA DC BD sin sin ,4，得=αAC cos 2···················· 7分 =⋅⋅===−⋅−∆αααααααS AB AC ABCsin 33tan 4tan sin 1sin 33sin 4sin 23++=−⋅=−ααααααα1tan 1tan 3tan 4tan tan 3tan tan 2223 ···································· 9分设=∈αt tan (，即求函数+=∈−ty t t t 1,323(的最大值， ()()++'==−+−−−−++t t y t t t t t t t 113313233222222322)()()()()(，∈−t 32)(时，'>y 0，函数单调递增；∈t 3,32)(时，'<y 0，函数单调递减，当=−t 32时，函数有最大值，=y max∴∆ABC··························································· 12分 19．（12分）（1）记蚂蚁爬行n 次在底面ABCD 的概率为P n ，由题意可得，==+−+P P P P n n n 333,121211)(···················································· 3分 ⎝⎭⎩⎭ ⎪⎨⎬−=−−−⎛⎫⎧⎫+P P P n n n 2322,11111是等比数列，首项为61，公比为−31， ⎝⎭⎝⎭⎪⎪−=−=+−⎛⎫⎛⎫−−P P n n n n 263263,11111111························································ 5分（2）X =0,1,2，X =2时，蚂蚁第3次、第5次都在C 处，⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=⎛⎫⎛⎫P X 6636366363366661822221121211212211111)( ·············································································································· 7分X =1时，蚂蚁第3次在C 处或第5次在C 处，设蚂蚁第3次在C 处的概率为P 1，⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=⎛⎫⎛⎫P 6636366366666331822211212112115152111·············································································································· 8分设蚂蚁第5次在C 处的概率为P 2，设蚂蚁不过点C 且第3次在D 1的概率为P 3，设蚂蚁不过点C 且第3次在B 1的概率为P 4，设蚂蚁不过点C 且第3次在A 的概率为P 5，由对称性知，=P P 34，=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=P 6663635443111212133，=⨯⨯⨯+⨯⨯=P 636333276121222115，得=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=P P P 63665422212117235 ··················································· 11分 ∴==+=P X P P 271512)(， ==−=−==P X P X P X 54011241)()()(， XX 的数学期望=⨯=+⨯=+⨯==E X P X P X P X 270011228)()()()( ············ 12分20．（12分）（1）过点E 作AM 的平行线交AD 于点F ，过点N 作AB 的平行线交AC 于点G ，连接FG ．因为点E 是线段DM 的中点，=BN NC 3，∴==EF NG AM 21，且EFNG ，四边形EFGN 是平行四边形．由,NEFG NE ⊄平面DAC ，⊂FG 平面DAC ，∴NE 平面DAC ······················································································ 5分（2）解法1：以点A 为原点，AB ，AC 所在的直线为x 轴、y 轴，过点A 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系····································································· 6分设==AB AC 2，则⎝⎭⎪⎛⎫A M N 220,0,0,,1,0,0,,,013)()(，设D x y z ,,,)(，因为平面⊥DMC 平面ABC ，所以点D 在平面ABC 上的射影落在直线CM 上，∴+=x y21 ①，由题意可知，==∴−++=DM DN x y z 1,11222)( ②， ⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+−+=⎛⎫⎛⎫x y z 222139222③，由①②③解得，⎝⎭ ⎪ ⎪==−=∴−⎛⎫x y z D 777777,,,,,8282 ·························· 8分 82211816211,,,,,AD CD ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭777777，设平面ACD 的法向量为(,,n x y z =)，00AD n CD n ⋅=⋅=⎩⎪⎨⎪⎧，即⎩⎪−+=⎨⎪−+=⎧x y x y 48040，取===−x y z 0,4 ······················ 11分取平面ABC 的法向量(0,0,1m =)．设二面角−−D AC B 的平面角为θ，则43cos cos ,9m n m nm n⋅===θ，所以，二面角−−D AC B 的余弦值为9··················································· 12分解法2：如图，过点B 作直线 MN 的垂线交于点I ，交直线CM 于点H ．由题意知，点D 在底面ABC 上的射影在直线BI 上且在直线MC 上，所以点H 即点D 在底面上的射影，即⊥DH 平面ABC ····················································································· 6分设=AB 2，则==∠=πBM BN MBN 41,，由余弦定理，得=MN 2，∠=∠−∠=⋅+⋅=IMH IMB HMB 10510510cos cos )(，∠==IMH MH MI cos 7．过点H 作AC 的垂线交于点O ，连接DO ，由三垂线定理知，⊥DO AC ，∴∠DOH 是二面角−−D AC B 的平面角 ········································································ 9分由=HO CH AM CM，解得===HO DH 77,8，∠==HO DOH DH 4tan，得∠=DOH 9cos ，所以，二面角−−D AC B的余弦值为9·················································· 12分 21．（12分）（1）设点C x y D x y ,,,1122)()(，设直线l 的方程为=+≠y kx k 10)(，代入抛物线=−y x 12，得−−=x kx 202（*），⎝⎭⎪ ⎪===⎛⎫CD CM DM 2,2 ·········· 4分（2）⎝⎭⎪−−−⎛⎫k C x x D x x Q ,1,,1,,01112222)()(，设T m n ,)(，由（*）式，知+==−x x k x x ,21212 ······························································ 5分直线AC 的方程为=−+y x x 111)()(，直线BD 的方程为=+−y x x 112)()(，解得−+−+−+===++−−−−x x x x x x x y x x x x x x x x 222,212321212112121212)()(，所以点P 的坐标为⎝⎭−+−+ ⎪+⎛⎫−−x x x x x x x x 22,2321211212)( ··············································· 7分 ()1212231,,,x x x x TP m n TQ m n −−⎛⎫+⎛⎫=−−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−+−+x x x x k 222121，TP TQ m m n n ⎛⎫⋅=−−−+−− ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫+⎛⎫−−x x x x 1231212)()(()⎝⎭−+−+−+ ⎪=−−−+−++⎛⎫−−x x k k x x x x m m n n x x x x x x 22212321212112122212)( ⎝⎭−+−+ ⎪=−−+++−⎛⎫x x k x x m m n n k n 222121212122 21x x k −=±+82，22TP TQ m n n ∴⋅=++++±++−+−k k km n m 822212 ··············································· 10分当m n TP TQ ==⋅20,,1为定值45，所以存在定点T 的坐标为⎝⎭⎪⎛⎫20,1 ·································································· 12分 22．（12分）（1）()f x x '=+=−+−+x x x x x 22ln 21ln 223)( ···················································· 1分又因为函数=−+g x x x 21ln 3)()(递增，且=g 10)(，'>⇔>f x x 01)(， ∴f x )(在0,1)(递减，在+∞1,)[递增 ···························································· 2分当=−<f a 120)(，即>a 2时，⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪=+−−=+>⎛⎫⎛⎫a a a a f a a a a 1ln ln 0111122， =+−>−+>−−=>−−−−−+a a a a f a a a a a a a a a a a a 01ln 111112222)()()()(， ∴f x )(在⎝⎭⎪⎛⎫a a ,1,1,1)(上各有一个零点 ························································· 3分当≤a 2时，f x )(的最小值为f 1)(，且=−≥f a 120)(，∴f x )(在+∞0,)(内至多只有一个零点，综上，实数a 的取值范围是>a 2 ·································································· 4分（2）设 ⎪=−>⎛⎫F x f x f x ,11)()(，则 ⎝⎭⎪'='+'=−−+⎛⎫−−x x x x F x f x f x x x x 21ln 111212322)()()()( ⎣⎦⎢⎥⎣⎦=−−−=−−+⎡⎤⎡⎤+−x x x x x x x x x x x 12ln 221ln 2113233)()( 当>x 1时，<−x x ln 1，−−+−=+−=−++>x x x x x x x x x 22112120332)()()()(， ∴−>+−>+x x x x x x x 22111ln 3)()()(，∴F x )(在+∞1,)(上递增，当>x 1时，>=F x F 10)()(，即当>x 1时，⎝⎭⎪>⎛⎫x f x f 1)( ······································································ 6分又因为函数f x )(有两个零点<x x x x ,1212)(，由（1）知，<<<<<x x x 01,011212， ⎝⎭⎪∴=>⎛⎫x f x f x f 1212)()(，又()f x 在0,1)(递减，∴<x x 121，即<x x 112 ································································································ 8分（3）设⎝⎭⎪=−+−=−−⎛⎫x x G x f x x a x x x 1ln 12)()(， =−−==−−−+−+++'x x x G x x x x x x x x x x 211ln 21ln 121ln 2221322)()()(， ='G 101)(，当≠x 1时，⎣⎦−⎢⎥=+++⎡⎤−'x x G x x x x x 121ln 1212)()()(，显然−+++>x x x x 1210ln 2)(∴G x 1)(在0,1)(递减，+∞1,)(递增，∴≥=G x G 1011)()(，即>+−=xf x x a h x 11)()(，设h x 1)(的零点为<−=x x x x x x ,,343443)(，由图象可知<<<x x x x 3124，∴−<x x 21 ·················································································· 10分设⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+−=−=−−⎛⎫⎛⎫−x x x x x f x x a x x 1ln 11ln 111222)(，设=−−xG x x 1ln 12)(，易得≤G x 02)(恒成立，即<+−=xf x x a h x 1222)()(，设h x 2)(的零点为<−=x x x x x x ,,56566522)(，由图象可知，<<<x x x x 1562，∴<<<x x x x 15622222，∴−>x x 2122∴−<<−x x x x 212122 ····································································· 12分。

中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 11 月测试理科综合-物理参考答案(一卷)历史答案

中学生标准学术能力诊断性测试2018 年11 月测试历史参考答案一、选择题。

（每小题 4 分）41．1、特点：自觉性（民间性、自治性）；义务性；侧重道德教化；选贤任能；（每点两分，任答两点4 分）原因：士大夫的积极推动；挽救社会危机，加强基层管理的需要；小农经济的封闭性和脆弱性；民间自治的传统；宗法性社会结构（每点2 分，任答三点6 分）2、不同：自上而下行政力量推动；一定程度打破宗族结构；政治管理网络严密（侧重政治管理）（每点两分，任答两点4 分）影响：有利于稳定乡村社会秩序；推动乡村经济发展和风气转变；削弱了传统家族势力对乡村的影响，加强了对乡村的控制管理；巩固了阎锡山对山西的统治。

（每点两分，任答三点6 分）3、乡土性宗法关系依然存在；乡绅自治的传统；浓厚的家国情怀；基层自治的政策支持；乡村经济文化教育水平的提高（每点两分，任答三点5 分）42．分三部分给分：信息一分；历史现象三分；评论八分。

注意：1、历史现象可反映闭关锁国、天朝上国观念、新航路开辟后世界经济联系密切等2、历史现象须同信息对应，不对应只给信息分数。

3、评论应多角度。

例：信息：拒绝英国继续遣使东来历史现象：体现了闭关锁国的对外政策评论：闭关锁国政策一方面对沿海地区的稳定起了积极作用，对于外来侵略也起到一定的自卫作用。

但闭关锁国的长期推行，阻碍了与外国的科技文化交流，以至阻碍社会生产力的进步。

限制对外贸易，丧失对外贸易自主权，严重阻碍了资本主义萌芽的发展。

总之使中国逐渐落后于世界。

45．1、挽救民族危机；西方农业科技的传入；“实业救国”思想的影响；“清末”新政的推动；“重农”的历史传统；“戊戌变法”的影响（每点2 分，任答五点9 分）2、推动农业近代化；加强了各省农会联系，有利于中国农村资产阶级的产生；有利于农作物的改良和农业新技术的推广和应用，增加农业产量；有利于促进近代工商业发展（每点两分，任答三点6 分）46．1、原因：“冷战”背景下大国的干预；民族矛盾；宗教矛盾；争夺石油资源；（每点两分，任答三点6 分）变化：中立——支持伊拉克——支持伊朗（弱势均衡政策）（2 分）2、为海湾战争埋下伏笔；增强了伊拉克民族国家认同；巩固了伊朗伊斯兰共和国；战争期间美国获取大量廉价石油资源；导致中东地区力量分化和重组，加强了美国与阿拉伯世界军事联系（加强了美国在中东地区的影响）；对世界经济造成破坏（每点2 分，任答四点7 分）47．1、刚直不阿；为民请命；较高的军事才能；为国举贤；维护司法公正（每点两分，任答四点7 分）2、良好的家庭教育；清明的政治环境；统治者赏识；科举制为庶族知识分子提供了条件；个人优秀品质；贤良推举；突出的工作业绩（每点两分，任答四点8 分）。

清华大学中学生标准学术能力(TDA)诊断性测试2024-2025学年高二上学期数学试卷和答案

标准学术能力诊断性测试2024年9月测试数学试卷（A 卷）本试卷共150分，考试时间90分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“1122b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.集合(){}{}22ln 23,23,A x y x x B y y x x x A ==--==-+∈∣∣，则A B ⋂=R ð（）A.(),1∞-- B.()(],13,6∞--⋃C.()3,∞+ D.()[),16,∞∞--⋃+3.已知复数z 满足5z z ⋅=，则24i z -+的最大值为（）C. D.4.已知非零向量,a b 满足3a b = ，向量a 在向量b 方向上的投影向量是9b - ，则a 与b 夹角的余弦值为（） A.33 B.13 C.33- D.13-5.设函数()f x 的定义域为R ，且()()()()42,2f x f x f x f x -++=+=-，当[]1,2x ∈时，()()()2,303f x ax x b f f =+++=-，则b a -=（）A.9-B.6-C.6D.96.班级里有50名学生，在一次考试中统计出平均分为80分，方差为70，后来发现有3名同学的分数登错了，甲实际得60分却记成了75分，乙实际得80分却记成了90分，丙实际得90分却记成了65分，则关于更正后的平均分和方差分别是（）A.82，73 B.80，73 C.82，67D.80，677.已知()sin 404cos50cos40cos θθ-=⋅⋅ ，且ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则θ=（）A.π3- B.π6- C.π6 D.π38.已知函数()2221x f x x =-++，则不等式()()2232f t f t +->的解集为（）A.()(),13,∞∞--⋃+ B.()1,3- C.()(),31,∞∞--⋃+ D.()3,1-二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分.9.已知实数,,a b c 满足0a b c <<<，则下列结论正确的是（）A.11a c b c>-- B.a a c b b c +<+C.b c a c a b --> D.2ac b bc ab+<+10.已知函数()sin3cos3f x a x x =-，且()3π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则下列结论正确的是（）A.1a =±B.()f x 的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.将()f x 的图象向左移π12个单位，得到的图象关于y 轴对称D.当π23π,1236x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，满足()2f x ≤-成立的x 的取值范围是π7π,3636⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4,2AB BC ==，13,AA M N =､分别为1111B C A B ､的中点，则下列结论正确的是（）A.异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为7210B.点T 为长方形ABCD 内一点，满足1D T ∥平面BMN 时，1D T的最小值为5C.三棱锥1B B MN -的外接球的体积为14πD.过点,,D M N 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若实数,x y 满足1232,34x y x y ≤+≤≤-+≤，则x y +的取值范围是__________.13.如图所示，在梯形ABCD 中，1,3AE AB AD =∥,3,BC BC AD CE =与BD 交于点O ，若AO x AD y AB =+ ，则x y -=__________.14.在四面体ABCD 中，3,,CD AD CD BC CD =⊥⊥，且AD 与BC 所成的角为30 .若四面体ABCD 的体积为2，则它的外接球表面积的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数12213i z =-+=--.（1）若12z z z =，求z ；（2）在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，其中O 是原点，求AOB ∠的大小.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos cos 1a C b A c -+=.（1）求角A ；（2）已知b D =为BC 边上一点，且2,BD BAC ADC ∠∠==，求AD 的长.17.（15分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点Q 为PA 的三等分点，满足13PQ PA =.（1）设平面QCD 与直线PB 相交于点S ，求证：QS ∥CD ；（2）若3,2,60,AB AD DAB PA ∠==== ，求直线CQ 与平面PAD 所成角的大小.18.（17分）甲､乙两位同学进行投篮训练，每个人投3次，甲同学投篮的命中率为p ，乙同学投篮的命中率为()q p q >，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响.已知每次投篮甲､乙同时命中的概率为15，恰有一人命中的概率为815.（1）求,p q 的值；（2）求甲､乙两人投篮总共命中两次的概率.19.（17分）已知函数()233x x f x a --=⋅+是偶函数，()246h x x x =-+.（1）求函数()e 2x y h a =-的零点；（2）当[],x m n ∈时，函数(()h f x 与()f x 的值域相同，求n m -的最大值.标准学术能力诊断性测试2024年9月测试数学（A卷）参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678A B C C D B A C二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对但不全的得3分，有错选的得0分.91011AD BC BD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.21,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13.11114.73π-四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）解：（1）()() ()()12224i13i24i26i4i127i13i13i13i19i5 zzz-+---++-++ =====-+-+---5z∴==（2）依题意向量()()2,4,1,3OA OB=-=--于是有()()()214310OA OB⋅=-⨯-+⨯-=-OA OB====AOB∠为OA 与OB 的夹角，2cos2OA OBAOBOA OB∠⋅∴==-[]0,πAOB∠∈，3π4AOB∠∴=16.（15分）解：（1）由正弦定理可得：cos sin cos sin cos 1sin a C b A C B A c C--+==()cos 1sin sin cos sin A C A C B ∴+=-，由()sin sin B A C =+可得：()cos sin sin sin cos sin A C C A C A C ⋅+=-+，cos sin sin sin cos sin cos cos sin A C C A C A C A C ⋅+=--，cos sin sin cos sin A C C A C∴⋅+=-sin 0C ≠ 可得：cos 1cos A A +=-，1cos 2A ∴=-，()0,πA ∈ ，2π3A ∴=（2）,BAC ADC BCA ACD ∠∠∠∠== ，BAC ∴ 与ADC 相似，满足：AC BC CD AC =，设CD x =，则有3x =解得：1,3x x ==-（舍去），即：1CD =2π3ADC BAC ∠∠== ，在ADC 中，由余弦定理可得：2222πcos 32AD CD AC AD CD+-=⋅⋅，即：211221AD AD +--=⨯⨯解得：1,2AD AD ==-（舍去），AD ∴的长为117.（15分）解：（1）证明：因为平面QCD 与直线PB 相交于点S ，所以平面QCD ⋂平面PAB QS=因为四边形ABCD 为平行四边形，AB ∴∥CD ，AB ⊄ 平面,QCD CD ⊂平面,QCD AB ∴∥平面QCDAB ⊂ 平面PAB ，平面QCD ⋂平面,PAB QS AB =∴∥QS ，AB ∥,CD QS ∴∥CD（2）过点C 作CH AD ⊥于点H ，PA ⊥ 平面,ABCD PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且CH AD ⊥，CH ∴⊥平面PAD连接,QH CQH ∠∴是直线CQ 与平面PAD 所成的角因为点Q 为PA 的三等分点，232,223PA QA PA =∴==，在Rt DCH 中，333sin602CH =⋅= 在ACD 中，利用余弦定理可得：222223cos120,19223AC AC +-=∴=⨯⨯ ，在Rt QAC 中，222(22)1933QC QA AC =+=+=在Rt QCH 中，3312sin 233CH CQH CQ ∠===，可得π6CQH ∠=，即直线CQ 与平面PAD 所成的角等于π618.（17分）解：（1）设事件A ：甲投篮命中，事件B ：乙投篮命中，甲､乙投篮同时命中的事件为C ，则C AB =，恰有一人命中的事件为D ，则D AB AB =⋃，由于两人投篮互不影响，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响，所以A 与B 相互独立，,AB AB 互斥，所以：()()()()P C P AB P A P B ==⋅()(()()(()()()P D P AB AB P AB P AB P A P B P A P B =⋃=+=⋅+⋅可得：()()1581115pq p q p q ⎧=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩解得：1335p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3315,,,1533p p q p q q ⎧=⎪⎪>∴==⎨⎪=⎪⎩（2）设i A ：甲投篮命中了i 次；j B ：乙投篮命中了j 次，,0,1,2,3i j =，()30285125P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()2213223223365555555125P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2223232323545555555125P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3028327P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭()2211221221433333339P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2222112112233333339P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设E ：甲､乙两人投篮总共命中两次，则021120E A B A B A B =++由于i A 与j B 相互独立，021120,,A B A B A B 互斥，()()()()()()()()021*********P E P A B A B A B P A P B P A P B P A P B ∴=++=⋅+⋅+⋅8236454830412591259125271125=⨯+⨯+⨯=19.（17分）解：（1）()233x x f x a --=⋅+ 是偶函数，则()()f x f x -=，即11333399x x x x a a --⋅+=⋅+，()113309x x a -⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭，由x 的任意性得119a =，即9a =()246h x x x =-+ ，()()()()()22e 2e 4e 618e 4e 12e 6e 2x xx x x x x y h a ∴=-=-⋅+-=-⋅-=-+，令()()e 6e 20x x -+=，则e 6x =或e 2x =-（舍去），即ln6x =，()e 2x y h a ∴=-有一个零点，为ln6（2）设当[],x m n ∈时，函数()f x 的值域为[],s t ，则函数()()h f x 的值域也为[],s t ，由（1）知()2933332x x x x f x ---=⋅+=+≥=当且仅当33x x -=，即0x =时等号成立，令()p f x =，则2p ≥，()2246(2)2h x x x x =-+=-+ 在区间[)2,∞+上单调递增，所以当[],p s t ∈时，()2,s h p ≥的值域为()(),h s h t ⎡⎤⎣⎦，即()()h s s h t t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则224646s s s t t t ⎧-+=⎨-+=⎩，即,s t 为方程246x x x -+=的两个根，解得23s t =⎧⎨=⎩，所以当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,3令()30x x λ=>，则()133,1x x y f x λλλ-==+=+>，3x λ= 在()0,∞+上单调递增，对勾函数1y λλ=+在()1,∞+上单调递增，由复合函数的单调性知，()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 是偶函数，()f x ∴在(),0∞-上单调递减令()3f x =，即333x x -+=，解得332x +=或332x =，即33log 2x +=或33log 2x -=，故n m -的最大值为3333535735log log log 222-+-=答案解析1.A【解析】由22log log a b >可得0a b >>，由1122b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得a b >，由a b >得不到0a b >>，故必要性不成立；由0a b >>可以得到a b >，故充分性成立，则“22log log a b >”是“1122b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的充分不必要条件.2.B 【解析】集合(){}{}22ln 23230A x y x x x x x ==--=-->∣∣()(){}310{13},x x x x x x =-+>=<->∣∣或集合{}{}223,6B yy x x x A y y ==-+∈=>∣∣，{}()(]6,,13,6B y y A B ∞=≤∴⋂=--⋃R R ∣3.C【解析】复数z 满足5z z ⋅=，设22i,5z a b z z a b =+⋅=+=，()()2224i 24i (2)(4)z a b a b -+=-++=-++，则点()2,4-到圆225a b +=+=4.C【解析】设非零向量,a b 夹角为θ，向量a 在向量b 方向上的投影向量是39b - ，则cos ,39b a a b b θ⨯=-= ∣，解得3cos 3θ=-.5.D【解析】()()42f x f x -++= ，取()()1,312x f f =+=，()()()321211f f a b a b =-=-++=--，()()2f x f x +=- ，取()()0,2042x f f a b ===++，()()303,1423,2f f a b a b a +=---+++=-=- ，()()42f x f x -++= ，取2x =，则()21f =，则7b =，则729b a -=+=.6.B【解析】设更正前甲，乙，丙的成绩依次为12350,,,,a a a a ，则12505080a a a +++=⨯ ，即507590655080a ++++=⨯ ，()222250(7580)(9080)(6580)807050a -+-+-++-=⨯ ，更正后平均分：()5016080908050x a =++++= ，()22222501(6080)(8080)(9080)807350s a ⎡⎤=-+-+-++-=⎣⎦ .7.A 【解析】()sin 40sin40cos cos40sin θθθ-=- 4cos50cos40cos 4sin40cos40cos θθ=⋅⋅=⋅⋅ 1cot40tan 4cos40θ⇒-=14cos40tan cot40θ-⇒=sin404sin40cos40cos40-=()sin 30102sin80cos40+-= 13cos102cos1022cos40+-=3313sin10cos10sin10cos102222cos40cos40--==()()sin 1060sin 50cos40cos40--===πππ,,223θθ⎛⎫∈-∴=- ⎪⎝⎭.8.C【解析】设()()21121x g x f x x =-=-++，()()2221112121x x x g x f x x x -⋅-=--=--+=--+++，()()2221102121x x x g x g x x x ⎛⎫⋅+-=-++--+= ⎪++⎝⎭，设()()1212121222,112121x x x x g x g x x x ⎛⎫⎛⎫>-=-+--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()122121121222222021212121x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+> ⎪++++⎝⎭，故()g x 为奇函数，且单调递增，()()()()()()22223212310230f t f t f t f t g t g t +->⇒-+-->⇒+->，()()()()()222302332g t g t g t g t g t +->⇒>--=-，故232t t >-，解得()(),31,t ∞∞∈--⋃+.9.AD【解析】A.0a b c <<<，可得a c b c -<-，故11a c b c>--，A 正确；B.设不等式成立，则()()a a c b c b b c b b b c++<++，可得ab ac ab bc +<+，即ac bc <，由0a b c <<<可得ac bc >，故假设不成立，B 错误；C.不妨假设211313210,,1332b c a c a b c a b --+--+=-<=-<=-<====--，故,C b c a c a b --<错误；D.设不等式成立，()()22,,,0ac b bc ab ac bc ab b a b c a b b a b c +<+-<--<-<<< ，()()a b c a b b -<-成立，故2ac b bc ab +<+成立，D 正确.10.BC【解析】A.()()sin3cos33sin 0,cos πf x a x x x ϕϕϕϕ⎛⎫=-=+=-=≤ ⎪⎝⎭()3π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，()f x ∴在3π4x =处取得极值，即3ππ3π42k ϕ⨯+=+，解得7π3ππ,sin 0,π,,sin 4422k ϕϕϕϕϕϕ=-+=-≤∴=-=-=- ，可求得1a =-，A 错误；B.()()3ππ3,0,44f x x f f x ⎛⎫⎛⎫=-=∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，B 正确；C.将()f x 的图象向左平移π12个单位，得到()π3ππ3331242g x x x x ⎛⎫⎛⎫=+⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数图象关于y 轴对称，C 正确；D.()3π2342f x x ⎛⎫=-≤- ⎪⎝⎭，即3π1sin 342x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，7π3π11π2π32π646k x k ∴+≤-≤+，解得23π231π2ππ363363k x k +≤≤+，由题意知π23π,1236x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，符合条件的k 的取值为1,0-，当1k =-时，π7π3636x -≤≤，均在定义域内，满足条件，当0k =时，23π31π3636x ≤≤，此时仅有23π36x =满足条件，所以满足()22f x ≤-成立的x 的取值范围为π7π23π,363636⎡⎤⎧⎫-⋃⎨⎬⎢⎣⎦⎩⎭，D 错误.11.BD【解析】A.MN ∥,AC BMN ∠∴为直线MN 与AC 所成角，在BMN 中，根据余弦定理可知222cos 2BM MN BN BMN BM MN∠+-=⋅，422BM MN BN ======，代入求得cos 10BMN A ∠=错误；B.取AD 的中点E ，取CD F ，取11A D 的中点S ，连接11,,,,EF D E D F AS SM ，SM ∥,AB AS ∥BM ，所以四边形ABMS 是平行四边形，AS ∥BM 且AS ∥11,D E D E ∴∥1BM D E ∴∥平面BMN ，同理可得1D F ∥平面BMN ，1DT ∥平面,BMN T ∈平面ABCD ，所以点T 的运动轨迹为线段EF ，在1ΔD EF 中，过点1D 作1D T EF ⊥，此时1D T 取得最小值，由题意可知，11D E D F EF ===，1111sin sin sin 105D EF BMN D T D E D EF ∠∠∠====，B 正确；C.取MN 的中点1O ，连接11B O ，则1111O N O M O B ==，过点1O 作1OO ∥1BB ，且111322OO BB ==，OM ∴为外接球的半径，在1Rt MB N 中，MN =，2R OM ∴==，34ππ,33V R C ∴==球错误；D.由平面11AA D D ∥平面11BB C C 得，过点,,D M N 的平面必与11,AA C C 有交点，设过点,,D M N 的平面与平面11AA D D 和平面11BB C C 分别交于,DO PM DO ∴∥,PM 同理可得DP ∥,ON 过点,,D M N 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形为五边形DPMNO ，如图所示，以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设,AO m CP n ==，则()()()()()0,0,0,2,0,,0,4,,1,4,3,2,2,3D O m P n M N ，()()()()0,2,3,1,0,3,2,0,,0,4,ON m PM n DO m DP n ∴=-=-== ，DP ∥,ON DO ∥PM ，()()2323m n n m ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩，解得2m n ==，DO DP ∴==ON PM MN ====，所以五边形DPMNO 的周长为DO DP ON PM MN ++++==+，D 正确.12.21,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()()()2323x y m x y n x y m n x m n y +=++-+=-++，2131m n m n -=⎧∴⎨+=⎩，解得()()2121,,235555m n x y x y x y ==-∴+=+--+，1232,34x y x y ≤+≤≤-+≤ ，则()()22441323,555555x y x y ≤+≤-≤--+≤-，24435555x y ∴-≤+≤-，即21,55x y ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦.13.111【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设1AD =，则3BC =，()()()()220,0,3,0,,,1,,,33B C A m n D m n E m n ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，所以直线BD 的方程为1n y x m =+，直线CE 的方程为()2329n y x m =--，联立两直线方程求得()()666655,,,,1,0,,11111111m n m n O AO AD AB m n +-⎛⎫⎛⎫∴=-==-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，6511,511m x my AO xAD y AB n ny -⎧=-⎪⎪=+∴⎨⎪-=-⎪⎩ ，解得651,,111111x y x y ==∴-=.14.73π-【解析】依题意，可将四面体ABCD 补形为如图所示的直三棱柱ADE FCB -，AD 与BC 所成的角为30 ，30BCF ∠∴= 或150，设,CB x CF y ==，外接球半径记为R ，外接球的球心如图点O ，11113sin 23324ABCD CBF V DC S xy BCF xy ∠⎛⎫∴=⋅⋅=⨯⨯== ⎪⎝⎭ ，解得8xy =，在2Rt OCO 中，2222222223922sin 4BF R OC OO CO BF BCF ∠⎛⎫⎛⎫==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在BCF 中，由余弦定理可得2222cos BF BC CF BC CF BCF ∠=+-⋅⋅，要使外接球表面积最小，则R 要尽可能小，则BCF ∠应取30 ，(2222BF x y xy ∴=+≥-，当且仅当x y =时取等，(22min 99732444R BF xy ∴=+=+=-所以外接球表面积的最小值2min min 4π73πS R ==-.。

2018年11月高三中学生标准学术能力测试文科数学试题

6 6
x2 y2 1 ( a 0, b 0) 的一条渐近线方程为 y 2 x ，则 C 的离心率为（ a2 b2
5 B． 5 5 C． 2
） B．等差数列，但不是等比数列 D．既非等比数列，也非等差数列）
）
11．如图，已知三棱锥 P ABC ， PA 平面 ABC ， D 是棱与直线 BC 所成的角为，则与的大小关系是（ A． B． C． D．不能确定）
A． (0, )
）
2 ， BC 1 ，则∠A 的最大值是（
B． 45

C． 60
第 1页共 4页
D． 90

1 2
B． ( ,1)
1 2
C． ( ,0)
D． (1,)
第 2页
共 4页
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知函数 f ( x )
（1）当 a 1 时，求函数 f x 的单调区间；（2）若 f x 0 在定义域内恒成立，求实数 a 的取值范围．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为
，曲线 C 的极坐标方程为 ρ 2-4 ρ cos θ 2 ρ sin θ 1 0 ． 3 2， 4
（1）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程；（2）若 Q 为 C 上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 l: （10 分）已知不等式 23．
x 2 2t （ t 为参数）的距离的最大值． y 4 2t

中学生标准学术能力诊断性测试(清华大学)2018年12月测试文科数学试卷(解析版)

中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月测试文科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(1)13i z i -=+，则复数z 在复平面内对应的点为（）A. (2,1)B. (2,1)-C. (1,2)-D. (1,2)--【答案】D【解析】【分析】首先根据复数的运算法则，求得12z i =-+，进而求得其共轭复数，利用复数在复平面内对应点的坐标，求得结果.【详解】因为(1)13i z i -=+，所以13(13)(1)2412122i i i i z i i +++-+====-+-，所以12z i =--，所以复数z 对应的点的坐标为(1,2)--，故选D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数，复数在复平面内对应点点的坐标，属于简单题目.2.某中学初中部共有500名学生，高中部共有600名学生，各年级段人数构成比例如图所示，则下列说法正确的是（）A. 人数最多的年级段是高二段B. 初一段人数比高一段人数多C. 高三段人数比初二段人数少D. 高二段人数比初三段人数多一倍【答案】A【解析】【分析】首先根据题中所给的饼形图，根据各年级所占的比例，求得各年级的实有人数，从而可以比较大小，对选项逐一分析，得到结果.【详解】从题中所给的图可以求得初一学生有50035%175?人，初二学生有50040%200?人，初三学生有50025%125?人；高一学生有60030%180?人，高二学生有60036%216?人，高三学生有60034%204?人，根据所得的数据，对选项逐个分析，得到人数最多的年级是高二段，故选A.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有利用饼形图中各年级所占的比例，初、高中部的总人数，求得各年级的人数，需要对选项逐个分析，属于简单题目.3.已知集合{|1,}2a P x x a Z ==+?，1,2Q y m m Z 禳镲==+?睚镲铪，则下列结论中正确的是（） A. P Q?? B. P Q Q ? C. P Q Q ? D. P QR ? 【答案】B【解析】【分析】首先对集合中对应的式子进行变形，结合题中所给的变量的取值情况，可以发现分母都是2，分子一个取整数，一个取奇数，得到两个集合的关系，结合其性质，得到结果. 【详解】因为21211,2222a a m m +++=+=，当,a m Z Î时，2a Z +?，而21m +是奇数，从而得到Q P Í，所以Q PQ ?，故选B.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的关系，集合的交并运算性质，属于简单题目.4.焦点在x 轴上，短轴长等于16，离心率等于35的椭圆的标准方程为（） A. 22110064x y += B. 22164100x y += C. 221400256x y += D. 221256400x y += 【答案】A【解析】【分析】由题意可得35c a =，又222,216a b c b -==，求解方程即可得到,a b 的值，则答案可求. 【详解】依题意有：216b =，所以8b =，根据离心率35e =，结合222a b c =+，解得10a =，再结合焦点在x 轴上，所以椭圆的方程是22110064x y +=，故选A.【点睛】该题考查的是有关椭圆方程的求解问题，涉及到的知识点有椭圆的短轴长，椭圆的离心率，以及椭圆中,,a b c 三者之间的关系，属于简单题目.5.设函数()x x f x ae e -=+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为（）A. y x =-B. y x =C. 2y x =-D. 2y x =【答案】C【解析】【分析】首先根据奇函数的性质，利用(0)10f a =+=，求得1a =-，之后对函数求导，令0x =，求得其值，即为切线的斜率，之后应用直线方程的点斜式，求得结果.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以(0)10f a =+=，解得1a =-，所以()x x f x e e -=-+，'()x x f x e e -=--，所以(0)0,'(0)2f f ==-，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为2y x =-，【点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有奇函数的性质，导数的几何意义，正确理解基础知识是解题的关键.6.在ABC D 中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 的中点，点M 在线段AC 上，且2AM MC =，则ME =（） A. 11412AB AC + B. 11412AB AC - C. 11124AB AC + D. 11124AB AC - 【答案】B【解析】【分析】首先根据题意，画出相应的图形，利用向量的运算法则，以及其关系，将向量ME 逐步转化为,AB AC 的式子，得到结果.【详解】如图，根据向量的运算法则，可得1123ME AE AM AD AC =-=-11111443412AB AC AC AB AC =+-=-, 故选B. 【点睛】该题考查的是有关向量用一组基底来表示的问题，涉及到的知识点有数乘向量，向量的加法运算等，正确使用运算法则是解题的关键，属于简单题目.7.已知sin()2sin()2p p q q +=-，则3sin 4cos sin 2cos q q q q +=-（） A. 12 B. 2 C. 13D. 3 【答案】A【解析】首先利用三角函数的诱导公式，将式子进行化简，得到tan 2q =-，之后将正余弦的齐次式的分式形式的式子，化成关于切的式子，代入求得结果.【详解】根据诱导公式可得sin 2cos q q -=，根据同角三角函数关系可得tan 2q =-，将式子变形可得3sin 4cos 3tan 4641sin 2cos tan 2222q q q q q q ++-+===----，故选A.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有三角函数诱导公式，同角三角函数的关系式，齐次式的分式的求值问题，属于中档题目.8.已知函数()cos 22sin f x x x =+，则A. ()f x 的最小正周期为p ，最小值为1B. ()f x 的最小正周期为p ，最小值为-3C. ()f x 的最小正周期为2p ，最小值为1D. ()f x 的最小正周期为2p ，最小值为-3【答案】D【解析】【分析】首先利用余弦倍角公式，将式子进行化简，使得解析式中只有一个函数名，之后进行配方，结合正弦函数的周期和值域，求得函数的周期和最值，对选项逐一分析判断，得出结果.【详解】化简函数解析式可得 2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin )22f x x x x x x =+=-+=--+，可以求得其最小正周期为2T p =，其最大值为32，最小值为2132(1)322---+=-，故选D. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的性质的问题，涉及到的知识点有余弦倍角公式，利用配方法求函数的最值，三角函数的最小正周期的求解，属于中档题目.9.若实数x ，y 满足不等式组(1)(23)013x y x y x ì--+-?ïí＃ïî，则3z x y =-的取值范围是（） A. [2,18] B. [2,12] C. [3,18] D. [3,12]【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，结合目标函数的特征，判断出最优解，解方程组，得到最优解对应点的坐标，代入求得最值，得到范围.【详解】根据约束条件，画出相应的可行域，如图所示，结合直线3y x z =-的走向，可以断定：当直线3y x z =-过点E 时，z 取得最大值，当直线3y x z =-过点A 时，z 取得最小值，解方程组1230x x y ì=ïí+-=ïî，得(1,1)A ，解方程组3230x x y ì=ïí+-=ïî，得(3,3)E -，代入求得min max 312,9(3)12z z =-==--=，所以z 的取值范围是[2,12]，故选B.【点睛】该题考查的是有关线性规划问题，在解题的过程中，需要注意的是(1)(23)0x y x y --+-?所表示的平面区域的确定方法，对于目标函数的形式分三种情况，结合具体情况，求得结果.10.某四棱锥的三视图如图所求，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A. B. 3C.D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据题中所给的几何体的三视图，还原几何体，得到其为底面是边长为3的正方形，且顶点在底面上的摄影是底面对角线的三等分点处，高为2的四棱锥，利用其关系，求得侧棱长，比较得出最长棱的长度.【详解】根据题中所给的三视图，可以想到该几何体是底面是边长为3的正方形的四棱锥，并且顶点在底面上的摄影是底面对角线的三等分点，且高为2，==通过比较可得最长棱的长度是故选C.【点睛】该题考查的是有关利用三视图还原几何体，求其最长的棱长的问题，涉及到的知识点为将棱放在相应的三角形中，利用公式求得其边长，比较大小得出结果，属于简单题目.11.若一个正四面体的表面积为1S ，其外接球的表面积为2S ，则12S S =（）A. pB. 6pC. 3pD. 4p【答案】C【解析】【分析】首先设出正四面体的棱长，利用结论得到其外接球的半径，之后应用相关的公式求得正四面体的表面积以及外接球的表面积，两者一比，得到结果.【详解】设正四面体的棱长为a，可知该四面体的外接球的半径是4R a =，所以可以求得2214S =?，22234)2S a p p ==，所以1222S S a p ，故选C.【点睛】该题考查的是有关正四面体的表面积与其外接球的表面积的比值问题，涉及到的知识点有正四面体的外接球半径，球的表面积公式，正四面体的表面积公式，属于中档题目.12.已知函数33)2log (2),2()(2,2x x x f x x -ì-<ï=í-+?ïî，则方程11f x a x骣琪+-=琪桫的实根个数不可能为（） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5【答案】D【解析】【分析】首先根据题中所给的解析式，画出函数的图象，结合图象，对a 的范围进行讨论，解相应的关于x 的方程，从而判断出根的个数，从而选出正确的结果.【详解】画出函数图象，如图所示：当0x >时，111x x +-?，当0x <时，113x x+-?，观察图像，当2a >时，11x m x +-=，m 有两个解，一个满足1729m <<，一个满足7m <-，此时对应的x 有四个解，即方程有四个根，当2a =时，11x m x +-=，m 有三个解，179m =或7m =-或3m =，对应的x 有6个解，即方程有6个根，同理可得当12a <<，1a =，01a <<，0a =，0a <分析，结合方程11x m x+-=的根的情况，可知方程的根不可能为5，故选D.【点睛】该题考查的是有关应用函数的图象完成方程解的个数的问题，涉及到的知识点为将方程根的个数问题转化为曲线与直线交点个数的问题，再者就是分类讨论思想的应用，属于较难的题目. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2(log )1f x x =+，则(3)f =__________．【答案】9【解析】【分析】首先令2log 3x =，求得8x =，代入题中所给的式子，得到结果.【详解】令2log 3x =，解得8x =，此时1819x +=+=，故答案是9.【点睛】该题考查的是有关复合函数求值问题，在解题的过程中，需要分清x 代表的是谁，哪个量等于3，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.14.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，PA ^面ABCD ，且满足PA AB =，点E 是PD 的中点，则异面直线AE 与PB 所成角的大小为__________．【答案】60【解析】【分析】首先根据题的条件，画出相应的图，利用异面直线所成角的定义，找出平行线，得到异面直线所成角的平面角，放在三角形当中，得到结果.【详解】连接AC 与BD 相交于O 点，连接EO ，则有OE PB ，所以AEO Ð即为所求，根据题中条件，可以求得AE EO AO ==，从而得到60AEO ?，故答案是60.【点睛】该题考查的是有关异面直线所成角的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点就是异面直线所成角的概念，解决空间问题的思路就是将空间问题平面化，得出平面角，放到三角形当中来求解.15.已知点A 在直线20x y a ++=上，过点A 引圆22:1O x y +=的切线，则实数a 的值为__________．【答案】3±【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形求出点O 到直线20x y a ++=的距离d ，利用勾股定理求出a 的值，得到结果.【详解】设点O 到直线20x y a ++=的距离为d ，则d ，又过垂足引圆221x y += 则有24155a +=，解得3a =?，故答案是3±.【点睛】该题考查的是有关圆的切线问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，特殊的三角形，正确转化题的条件是解题的关键.16.已知在ABC D 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，且b B A ，2c =，则ABC D 的面积为__________．【答案】2 【解析】【分析】由已知b ，可得sin B A B A ，可得cos B A =，利用平方关系，可得2211sin cos 32A A +=，利用22sin cos 1A A +=，解得cos A B =A,B 的大小，之后应用三角形内角和，求得角C ，利用余弦定理，求得a =结果.【详解】因为b ，可得sin B A ，B A ，可得cosB A =，所以22))1A A +=，即2211sin cos 32A A +=，结合22sin cos 1A A +=，可得cos A B ，所以,64A B p p ==，可求得76412C p p pp =--=，所以由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得2222))2)a a =++，解得a =所以11sin 2)2222ABC S ac B D ==创?，故答案是2.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，同角三角函数关系，余弦定理，三角形面积公式，在解题的过程中，正确使用公式是解题的关键.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17.已知数列{}n a 满足11a =，11232n n n a a -+=+?，设2nn na b =. （1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等差数列，并说明理由；（3）求数列{}n a 的通项公式. 【答案】（1）112b =，254b =，32b =；（2）见解析；（3）2(31)2n n a n -=-?. 【解析】【分析】（1）分别将1,2n n ==代入11232n n n a a -+=+?，求得23,a a 的值，再将123,,a a a 的值代入2nn n a b =，求得结果；（2）利用题中所给的式子，求得134n n b b +-=，利用等差数列的定义，得到其为等差数列；（3）先利用等差数列的通项公式求得n b ，利用2n n nab =，进一步求得n a . 【详解】（1）25a =，316a =，112b =，254b =，32b =；（2）∵113224n n n n a a ++=+，∴134n nb b +-=，∴{}n b 是等差数列；（3）由前面知，()()131131244n b n n =+-?-，∴()2312n n a n -=-? 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用递推公式求数列的项，判断一个数列是否是等差数列，数列通项公式的求法，正确应用公式是解题的关键，属于中档题目.18.某集团公司计划从甲分公司中的3位员工1A 、2A 、3A 和乙分公司中的3位员工1B 、2B 、3B 选择2位员工去国外工作.（1）若从这6名员工中任选2名，求这2名员工都是甲分公司的概率；（2）若从甲分公司和乙分公司中各任选1名员工，求这2名员工包括1A 但不包括1B 的概率. 【答案】（1）15；（2）29. 【解析】【分析】（1）从这6名员工中任选2个，基本事件一一列出，总共有15个，这两名员工都是甲分公司的基本事件为3，利用公式求得概率；（2）从甲分公司和乙分公司中各任选1名员工，用列举法找出其对应的基本事件，共2个，利用公式求得概率.【详解】（1）由题意得，从6名员工中任选2名，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}121323,,,,,,A A A A A A {}{}{}111213,,,,,,A B A B A B {}{}{}212223,,,,,A B A B A B {}{}{}313233,,,,,A B A B A B {}{}{}121323,,,,,B B B B B B ，共15个所选两名员工都是甲分公司所包含的基本事件有：{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ，共3个，所以所求事件的概率为31155p ==；（2）从甲分公司和乙分公司各任选1名员工，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}111213,,,,,,A B A B A B {}{}{}212223,,,,,,A B A B A B {}{}{}313233,,,,A B A B A B 共9个，包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有{}12,A B ，{}13,A B 共2个，所以所求事件的概率为29p = 【点睛】该题考查的是有关古典概型及有关计算问题，解题的步骤是先写出实验所对应的基本事件，再找出满足条件的基本事件数，之后利用概率公式求得结果.19.如图，EA ^平面ABC ，AECD ，24AB AC CD AE ====，BC =M 为BD 的中点.（1）求证：平面AEM ^平面BCD ；（2）求三棱锥E ABM -的体积.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）取BC 中点N ，连接MN ，AN ，结合题中的条件，利用线面垂直的判定定理，证得EM ^平面BCD ，再应用面面垂直的判定定理，证得结论；（2）将三棱锥的顶点和底面转换，E ABM M ABE E ABN V V V ---==，之后应用锥体的体积公式求解即可.【详解】（1）取BC 中点N ，连接MN ，AN ，∴MN AE =，MN AE ，∵EA ^平面ABC ，∴四边形AEMN 是矩形， ∴EM MN ^，由题意知，ED EB ==M 为BD 的中点， ∴EM BD ^，又∵BD MNM ?，∴EM ^平面BCD ，∵EM Ì平面AEM ，∴平面AEM ^平面BCD （2）由题意知，E ABM M ABE V V --=，∵MN平面ABE ，∴13M ABE N ABE E ABN ABN V V V S AE ---D ===鬃AN 12ABN S BN AN D =鬃=，∴123E ABM V -==【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，三棱锥体积的计算，在解题的过程中，应用了线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理，以及应用等积法，将三棱锥的顶点和底面转换，再根据平行关系，将其进一步转化，使得其底面积和高比较明显好求，之后应用体积公式求得结果. 20.已知O 为坐标原点，抛物线2:4C y x =，点()2,0A -，设直线l 与C 交于不同的两点P 、Q . （1）若直线l x ^轴，求直线PA 的斜率的取值范围；（2）若直线l 不垂直于x 轴，且PAOQAO ??，证明：直线l 过定点.【答案】（1）[-?；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）先设点P 在第一象限时，设出点P 的坐标，利用斜率坐标公式，将PA 的斜率表示出来，之后对式子进行变形，利用基本不等式求得其范围，从而得到直线PA 的斜率的取值范围，同理可得点P 落在第四象限时，其斜率的取值范围，之后取并集得到结果.（2）设出直线的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求得两根的关系，利用两个角的关系，得到两条直线的斜率是互为相反数的，从而得到2b k =-，代入直线方程，求得直线过的定点.【详解】（1）当点P在第一象限时，设(,P t，2PA k ==?，∴PA k 纟çÎç棼，同理，当点P在第四象限时，∴PA k ÷ê?÷ê滕，综上所述∴PA k 纟麋??麋滕棼（2）设直线l 的方程为()0y kx b k =+?，联立方程24y kx by xì=+ïí=ïî，得2440ky y b -+=， 16160kb D=->，设()11,P x y ，()22,Q x y ，124y y k +=，124b y y k?， ∵PAO QAO ?? ∴121222AP AQ y yk k x x +=+=++ ()()()()1221122222y x y x x x +++=++ ()()()12211222221212432864y y y y y y y y y y ++++++22480448b kb k kb +==+-+，2b k =-， ∴()22y kx k k x =-=-，∴直线l 恒过定点()2,0【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，在解题的过程中，注意对公式的正确应用，以及对直线与曲线相交的解题步骤的熟练应用. 21.已知函数22()32x x f x e ae a x =--. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若对于任意的12,x x R Î，12x x ¹，都有21212()()21f x f x a x x ->---恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,ln 2)x ??时，()f x 单调递减；(ln 2,)x ??时，()f x 单调递增；（2）a £【解析】【分析】（1）将1a =代入解析式，求出函数的导函数，求得导数等于零的点，从而可以判断出在相应区间上导数的符号，从而求得函数的单调区间；（2）先规定12x x >，对式子进行变形，再构造新函数，将问题转化为函数()()221f x a x ++在R 上单调递增，从而应用其导数大于等于零恒成立，之后向最值靠拢，求得结果. 【详解】（1）()f x 定义域为R ()22232x x f x e ae a =--¢，当1a =时，令()()()22322210x x x x f x e e e e ¢=--=-+=，解得0ln2x =，当(),2x ln ??，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当()ln2,x ??，()0f x ¢>，()f x 单调递增；综上，(),ln2x ??时，()f x 单调递减；()ln2,x ??时，()f x 单调递增（2）∵()()1221221f x f x a x x ->---，∴不妨设12x x >，则()()()()2211222121f x a x f x a x ++>++，∴()()221f x a x ++在R 上单调递增；记()()()22213xx g x f x a x eae x =++=-+，()22310x xg x e ae =-+?¢恒成立，∴22111233x x xx e a e e e骣+琪?+琪桫对x R Î恒成立， ∴min1123x xa e e 骣琪?琪桫，∵12x x e e +?12x x e e =，即xe =时等号取到，∴a £【点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导数研究恒成立问题，属于中档题目.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t a aì=+ïí=+ïî，（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 10r r q --=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于点,A B ，求AB 的最小值. 【答案】（1）22410x y x +--=；（2）【解析】【分析】（1）根据极坐标与平面直角坐标之间的关系，将极坐标方程转化为平面直角坐标方程，即可得结果；（2）分情况讨论，随着角的变化，直线的斜率存在与不存在两种情况，再者就是要明确弦心距最大时，弦最短，利用勾股定理，求得结果.【详解】（1）根据极坐标与平面直角坐标的对应关系，可得222,cos x y x r r q =+=，代入求得：22410x y x +--=；（2）当()2n n Z pa p =+?时，直线l ：1x =，此时4AB = 当()2n n Z pa p??时，设直线l ：()11y k x -=-，圆心()2,0到直线l的距离最大值为max dAB ==4>min ||AB =【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，动直线被圆截得最短弦问题，注意对公式的灵活应用. 23.已知函数()21f x x x =-++，x R Î，其最小值为t . （1）求t 的值；（2）正实数,a b 满足a b t +=，求证：112123a b +?++. 【答案】（1）3t =；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）结合绝对值的意义，去掉绝对值的符号，将函数解析式进行化简，结合其单调性，可以断定函数的最小值，从而求得t 的值；（2）根据3a b +=，得到126a b +++=，从而将式子进行转化，之后应用基本不等式证得结果.【详解】（1）()21,23,1221,1x x f x x x x ì->ïï=-＃íï-+<-ïî，()min3f x =，即3t =；（2）∵3a b +=，且0a >，0b >， ∴1112a b +=++ ()11112612a b a b 骣琪++++琪++桫 121226123b a a b 骣++琪=++?琪++桫. 当且仅当21123b a a b a b ì++=ïí++ï+=î，即21a b ì=ïí=ïî时，等号取到【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式，函数的最值，基本不等式，在解题的过程中，注意对式子的拼凑.。

2019年03月中学生标准学术能力测试诊断性测试THUSSAT诊断性测试理科数学试题参考答案

第1页共5页中学生标准学术能力测试诊断性测试2019年3月测试理科数学（一卷）答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.65π 14. 12−=n n a 15. ]1,31[∈m16.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分． 17.（12分）（1）由)sin(3)sin(5C AC B +=+得B A sin 3sin 5= ………1分由正弦定理得 b a 35= ………2分 53=∴=b a ， ………3分由余弦弦定理得36cos 2222=−+=C ab b a c ………5分6=∴c ………6分（2）由余弦定理求出cos =B 再求出sin =B （或者由正弦定理先求，再求B ）cos 3cos sin )3sin(ππB B B −=−∴1835142−=………12分18．（1）补充完整的2×2列联表如下：第2页共5页………2分()828.1046.12131624545652552540209022>≈=⨯⨯⨯⨯−⨯⨯=K ………4分故在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为成绩与班级有关．………6分（2）甲班45人，按照分层抽样的方法随机抽取9人，其中优秀4人，不优秀5人 …7分故X 的所有可能取值为0, 1, 2)0(292504===C C C X P 95)1(291514===C C C X P ， 61)2(290524===C C C X P………10分 61=19．（1）取CD 的中点M ，连接FM 、OM ，OEEF ABCD ∥平面，EF BCFE ⊂平面，ABCD EFCB BC =平面平面BC EF ∥∴．,21BC EF =………1分 O 、M 分别为BD 、CD 的中点，∴BC OM BC OM 21=，∥ ………2分 ∴EF OM EF OM =，∥∴四边形OMFE 为平行四边形，∴OE ∥FM ………3分 ABCD OE 平面⊥∴ABCD FM 平面⊥CFD FM 平面⊂∴CFD ABCD 平面平面⊥ ………4分（2）过O 做ON ⊥CD 于N ， CFD ABCD 平面平面⊥，=ABCD CFD CD ON ABCD ⊂平面平面，平面 ∴ON CFD ⊥平面 OE FM ∥，CFD FM CFD OE 平面平面⊂⊄,，∴CFD OE 平面∥， ∴E 到平面CFD 的距离等于O 到平面CFD 的距离 ………6分 a a ON CON 4360sin 21=︒=∆中，，a OE OAE 23=∆中， 3316181a a V V V CDF E ACD E AEFD C +=+=−−−3163a =………8分第3页共5页（3）建系如图（建系过程简略，阅卷老师规定分值）所示：)0,21,0(a A −、)0,0,23(a B 、)0,21,0(a C 、)23,0,0(a E ………9分 )23,21,0(a a −=,)0,21,23(a a −=平面ACE 的法向量为)0,0,23(a OB =， ………10分设平面BCE 法向量为(,,)n x y z =则,0,0=⋅=⋅BC n CE n 令2y =，23(,n = ………11分 ∴cos ,5n OB ==， ∴二面角A CE B −−20．解：（1）2214x y +=； ………4分（2）2222(2,0),(2,0),(,)(0),142244AP BPA B P x y xy x y y y k k x x x x −≠−⋅=⋅===−+−−−令设O 。

中学生标准学术能力诊断性测试2022届高三上学期11月测试理科数学答案

进而 x1 + x2 = 2x0 ， x1x2 = 4 y0 − x02 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分
x3
=
x1 + x2 2
=
x0
( ) y3
=
y1 + y2 2
=
x12
+ x22 4
=
x1 + x2 2 − 2x1x2 4
( ) = 4x02 − 2 4 y0 − x02 4
=
中学生标准学术能力诊断性测试 2021 年 11 月测试
理科数学参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
DAABABDCDDCC
( ) 12．【解析】点 A( x, y) 在圆 x2 + ( y − 2)2 = 1上， B 3,1
的第一题计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
解：
（1）由 x = cos ， y = sin 得┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
曲线 C 的直角坐标方程为 x2 + ( y −1)2 = 4 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
（2）将直线方程代入曲线 C 的方程得 a +
该企业女员工经常使用方式 A 的概率为 300 = 3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 400 4
两名男员工经常使用方式 A，女员工不经常使用方式 A 的概率为
1 3
2
1
−
3 4
=
1 36
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4

中学生标准学术能力诊断性测试理科数学科目试卷(二卷)

B． 4 3
C． 8 D． 4
1 3
3
2 3

A．
1 9 8 27
2
B．
8 9 19 27
2 x 2 y 1(a 0, b 0) 的两条 a 2 b2
1 A． 2
C． 2
2 B． 2
D． 2
C．
D．
7．已知函数 f x sin x 3 cos x x R ，先将 y f x 的图象上所
x 2 y 4, 14 ．已知实数 x ， y 满足条件 x y 1, 则 z 3 x y 的最大值 x 2 0,
为．
10 A．有最大值 9
10 B．有最小值 9
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15． 2 x

1 2 的展开式中， x 的系数是 224 ，则常数项是 2x
中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 3 月测试数学理科试卷（二卷）
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数 z 满足 ( 1 i ) z 2i ，则 z
0 x 1 时， f x 2 x 1，则方程 | cos( x) | f ( x) 0 在 1,3 上的所
有根之和为 A． 8 C． 10 B． 9 D． 11
3．已知向量 a m, 2 ， b 3, 6 ，若 | a b || a b | ，则实数 m 的值
右平移 0 个单位长度，得到的图象关于 y 轴对称，则的最小值为 A．

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