2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (89)
2020高考数学模拟试题 （理科） 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z满足(1)zii，则z在复平面上对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知全集UR，集合2{230}Axxx|，集合2{log1}Bxx|，则()UABIð A．(2,3] B． C．[1,0)(2,3]U D． [1,0](2,3]U
3．已知0.20.8512,(),2log22abc，则 A．cab B．cba C．abc D. bac 4．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n（n为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏． A．2 B．3 C．26 D．27
5．若直线+2=0>0>0axbyab、截得圆2221=1xy的弦长为2，则12ab的
最小值为 A．4 B．6 C．8 D．10 6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函
数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数21cos21xxfxx的图象大致是
7．函数sin3cosyxx的图像可由函数sin3cosyxx的图像至少向右平移______个单位长度得到．
A．6 B．3 C．2 D．23
8．若向量ar与br的夹角为60o，(2,0)ar，223abrr，则br＝ A.3 B．1 C．4 D．3 9．如图，AB和CD是圆O两条互相垂直的直径，分别以OA,OB,OC,OD 为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A．21π B．112π C．2π D．1π
AB
C
DO10．设函数()fx的定义域为R，满足2(1)()fxfx，且当(0,1]x时，
()(1)fxxx.
若对任意[,)xm，都有8()9fx，则m的取值范围是
A．7[,)6 B．5[,)3 C．5[,)4 D．4[,)3 11．SC是球O的直径，A、B是该球面上两点，3AB，30ASCBSCo，棱锥SABC的体积为3，则球O的表面积为 A.4 B.8 C.16 D.32
12.关于函数2lnfxxx，下列说法正确的是 （1）2x是fx的极小值点； （2）函数yfxx有且只有1个零点；
（3）1()2fxx恒成立； （4）设函数2()()4gxxfxx，若存在区间1[,][,)2ab，使()gx在[,]ab上的值域是 [(2),(2)]kakb，则92ln2(1,]10k.
A．(1) (2) B．(2)(4) C．(1) (2) (4) D．(1)(2)(3)(4) 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知曲线2sinxyex，则其在点(0,2)处的切线方程是 ▲ ．
14．已知nS是等比数列{}na的前n项和，396,,SSS成等差数列，362aa，则9a ▲ ． 15．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为 ▲ ．
16．在平面直角坐标系xOy中，双曲线22221(0,0)yxabab的上支与焦点为F的抛物线22(0)ypxp交于,AB两点．若4AFBFOF，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ． 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（本小题满分12分）
在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且abc，2sin2aAb． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若2a，5b，求c及ABC的面积. 18．（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，ABC和PAC都是正三角形，2AC，
E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D. （Ⅰ）证明：直线DE⊥平面PEF； （Ⅱ）求二面角DAPE的正弦值．
19．（本小题满分12分） 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20
元/分计费．已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：
时间t（分） 20,30 30,40 40,50
50,60
频数 2 18 20 10 将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为20,60分．
（Ⅰ）写出张先生一次租车费用y（元）与用车时间t（分）的函数关系式； （Ⅱ）若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望；
20．（本小题满分12分） 已知椭圆C：22221xyab（0ab）的离心率为32，短轴长为2. （Ⅰ）求椭圆T的标准方程； （Ⅱ）若直线:0lykxmk与椭圆C交于不同的两点,MN，且线段MN的垂直平分线过定点(1,0)，求实数k的取值范围． 21．（本小题满分12分） 已知函数()2lnfxxax，Ra. （Ⅰ）讨论)(xf的单调性； （Ⅱ）当1a时，令2()()gxxfx，其导函数为()gx，设21,xx是函数)(xg的两
个零点，判断221xx是否为()gx的零点？并说明理由.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分。 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为()2的直线l的参数方程为cos1sinxtyt
（t为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标
系，曲线C的极坐标方程是2sin4cos0. （Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l经过曲线C的焦点F且与曲线C相交于,AB两点，设线段AB的中点为Q，求FQ的值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数4()1,(0)fxxaxaa. （Ⅰ）证明：()5fx； （Ⅱ）若(1)6f成立，求实数a的取值范围. zyx
PFCBDA
E
数学参考答案 一、选择题： 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A C A B D B A D C C
二、填空题： 13．20xy 14．1 15．78 16. 2yx
三．解答题： 17. 解：（Ⅰ）2sin2aAbQ， 22sinabA， 由正弦定理可得2sin2sinsinABA， …………………………………………………2分
又0AQ，sin0A，2sin2B，………………………………………………4分
abcQ，BC， 所以02B，故
4B. …………………………………6分 （Ⅱ）2aQ，5b，由余弦定
理可得： 2222(5)2222cc（），即
2230cc
…………………………………8分
解得3c或1c（舍去），故3c. ……………………………………………………10分
所以1123sin232222ABCSacB. ………………………………………12分
18.解：（Ⅰ）∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF//AB， 在正三角形PAC中，PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PACI平面ABC=AC， ∴PE⊥平面ABC，∴PEDE且PE⊥AB，又PD⊥AB，PEIPD=P， ∴AB⊥平面PED， ABDE又EF//AB， ∴DEEF，又DEPE，PEEFEI， ∴直线DE⊥平面PEF.…………………………………………………………………………6
分
（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC， ∴BE⊥平面PAC，…………………………………………………………………………………7分 以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴，EB所在 的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示，
则(000)E，，,(100),(030),AB，，，,(003)P，，,………………8分
2020高考数学必刷试卷02原卷版
2020年高考必刷卷（新课标卷）02数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数a 的值为( ) A ． B ．－ C ．3 D ．－32．已知集合2{|20},{|lg(1)}A x x x x y x =-<==-，则A B =UA ．(0,)+∞B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(,0)-∞3．已知0.3log 6a =，2log 6b =，则（）A ．22b a ab b a ->>+B ．22b a b a ab ->+>C ．22b a b a ab +>->D ．22ab b a b a >->+ 4．下列四个命题中错误的是（ ）A ．回归直线过样本点的中心(),x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+k ，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位D ．若()()122,0,2,0F F -，124PF PF a a +=+，（常数0a >），则点P 的轨迹是椭圆 5．函数()()21()1x x e f x x e -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若mn 、表示空间中两条不重合的直线，αβ、表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//,m n n α⊂，则//m αB ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nC ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的13是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（ ）A ．46B ．12C ．11D ．2 8．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且()13f π=，则()f x 的一个对称中心坐标是A ．2(,0)3π-B ．(,0)3π-C ．2(,0)3πD ．5(,0)3π 9．在ABC ∆中，D 为BC 中点，O 为AD 中点，过O 作一直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r （0xy ≠），则11x y+=( ) A ．3 B ．2 C ．4 D ．1410．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC V 的面积为S ，且222S (a b)c =+-，a =，则tanC 等于( ) A ．34 B ．43 C ．34- D ．43- 11．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ，E 为棱PA 的中点，则异面直线AB 与CE 所成角的正弦值为（ ）A B C D 12．设奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图像是连续不间断，,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，若()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是（ ） A ．,23ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (24)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合0，，，则A. 0，B.C.D.2.若，则A. B. C. D.3.“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事．在中国共产党建党98周年之际某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽了12人，高二年级抽了16人，则该校高一年级学生人数为A. 720B. 960C. 1020D. 16804.的展开式中含项的系数为A. B. C. 6 D. 75.函数的图象大致为A.B.C.D.6.已知等差数列的前n项和为，若，则A. B. 3 C. D. 67.在正方体中，E为的中点，F为BD的中点，则A. B.C. 平面D. 平面8.已知函数，若是的一个极小值点，且，则A. B. 0 C. 1 D.9.执行如图所示的程序框图输出的S的值为A. 25B. 24C. 21D. 910.偶函数在上为减函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若，的面积为，则A. 1B.C.D. 212.若存在，满足，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知，为单位向量，且，的夹角为，则______．14.公比为3的等比数列的各项都是正数，且，则______．15.已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆交双曲线C的右支于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为______．16.在三棱锥中，平面平面ABC，和均为边长为的等边三角形，若三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题）17.某学校为了解本校文理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在的有10个．求n和乙样本直方图中a的值；试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数同组中的数据用该组区间中点值为代表．18.已知在中，，．求tan A的值；若，的平分线CD交AB于点D，求CD的长．19.图1是由正方形ABCG，直角梯形ABED，三角形BCF组成的一个平面图形，其中，，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．证明：图2中的D，E，C，G四点共面，且平面平面DEC；求图2中的二面角的大小．20.过的直线l与抛物线C：交于A，B两点，以A，B两点为切点分别作抛物线C的切线，设与交于点求；过Q，F的直线交抛物线C于M，N两点，求四边形AMBN面积的最小值．21.已知函数，．讨论的单调性；是否存在a，b，使得函数在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．参考数据：．22.如在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若点Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l的距离的最小值．23.已知正数a，b，c满足等式证明：；．答案和解析1.【答案】B【解析】解：0，，，．故选：B．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：由，得．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：设该校高一年级学生人数为x人，由题意得：，解得．故选：C．设该校高一年级学生人数为x人，由此利用列举法得，由此能求出该校高一年级学生人数．本题考查高一年级学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：的展开式中含项的系数为，故选：A．把按照二项式定理展开，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数定义域为；且，函数为偶函数，排除选项D；将表达式的分子分母均乘以，可得且当时，，故选项A，C不成立．故选：B．首先利用函数的奇偶性排除选项D，再将原函数的分子分母同乘进行化简，最后利用特殊值法即可判断．本题考查函数的奇偶性及图象对称性的综合应用，属于中档题6.【答案】A【解析】解：等差数列的前n项和为，，，解得，．故选：A．利用等差数列的前n项和公式推导出，再由，能求出结果．本题考查等差数列的前n项和公式、通项公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，则0，，1，，2，，0，，0，，在A中，1，，，与不平行，故A错误；在B中，0，，，与不垂直，故B错误；在C中，平面的法向量1，，，与平面不平行，故C错误；在D中，0，，2，，，，，，，平面D.故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：，，又，或，当，时，，在区间上，在区间上，是极大值点，不符合题意．当，时，，在区间上，在区间上，是极小值点，符合题意．，故选：C．先写出导函数，得，又因为，所以或，分别代入解析式，检验哪个符合题意．本题考查导数的应用，极值，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：初始值，；第一步，，，此时，故；第二步：，，此时，故；第三步：，，此时，故；第四步：，，此时，故；第五步：，，此时，故输出；故选：A．根据程序框图依次写出每次循环的结果，再根据判断框内的条件，确定输出的S的值即可．本题考查程序框图，难度较小，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：是偶函数，图象关于y轴对称．在的单调性与的单调性相反，可得在上是增函数．不等式恒成立，等价于恒成立．即不等式恒成立，的解集为R，结合一元二次方程根的判别式，得：且解之得．故选：D．根据偶函数图象关于y轴对称，得在上是单调减函数，且在上单调增，由此结合是正数，将原不等式转化为恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理，即得实数a的取值范围．本题给出偶函数的单调性，叫我们讨论关于x的不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式解法等知识，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：如图所示，设l与x轴交于H，且，l：，因为，在直角三角形FBH中，可得，所以圆的半径为，，由抛物线的定义知，点A到准线l的距离为，所以的面积为，解得．故选：D．根据题意画出图形，结合图形求出，，由抛物线的定义可得点A到准线l的距离，运用三角形的面积公式可得的面积，从而求出p的值．本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了数形结合思想应用，是中档题．12.【答案】A【解析】解：设，，则是单调增函数，且的值域为；设，则恒过定点，又，，且，存在，不等式时，即，不等式不成立，由此得，解得，所以a的取值范围是．故选：A．设，，，对求导数，利用导数的几何意义列不等式求出a的取值范围．本题主要考查对数函数与不等式的应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性问题，是中档题．13.【答案】【解析】解：已知，为单位向量，且，的夹角为，，则，故答案为：．由题意利用两个向量的数量积的定义求出，再根据求向量的模的方法，求出本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：公比为3的等比数列的各项都是正数，且，，且，解得，，．故答案为：3．由公比为3的等比数列的各项都是正数，且，求出，从而，由此能求出的值．本题考查等比数列的第9项的对数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】【解析】解：设，由，且圆和双曲线关于x轴对称，可得A的纵坐标为，在等腰三角形中，，，可得，则A的横坐标为，即，代入双曲线的方程可得，由，，可得，化为，由，可得，解得．故答案为：．设，圆和双曲线关于x轴对称，可得A的纵坐标为，再由等腰三角形的性质和勾股定理，求得A的横坐标，将A的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，解方程即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查圆和双曲线的对称性，等腰三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由题意，如图所示，取AB中点E，连结PE，DE，延长CE，交外接圆于点D，连结PD，是边长为的等边三角形，外接圆半径为，且，，平面平面ABC，和均为边长为的等边三角形，在直角中，平面ABC，且，在直角中，，且，在直角中，，在直角中，由正弦定理得，该球的半径，该球的表面积．故答案为：．取AB中点E，连结PE，DE，延长CE，交外接圆于点D，连结PD，外接圆半径为2，且，，求出，，，在直角中，由正弦定理得，该球的半径，由此能求出该球的表面积．本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：由频率分布直方图得：乙样本中数据在的频率为，这个组学生有10人，则，解得，由乙样本数据直方图得：，解得．甲样本数据的平均值估计值为：，乙样本数据直方图中前三组的频率之和为：，前四组的频率之和为：，乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，由，解得，中位数为．根据样本估计总体思想，可以估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82．【解析】由频率分布直方图得乙样本中数据在的频率为，这个组学生有10人，由此能求出n，由乙样本数据直方图能求出a．利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数．本题考查实数值、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：，由正弦定理，可得，，可得，是角平分线，，由，可得，，，由，可得．【解析】由已知利用正弦定理，三角形内角和定理可得，利用两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tan A的值．由已知可求，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，cos A的值，利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据正弦定理即可解得CD的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：证明：由正方形ABCG中，直角梯形ABED中，．，E，C，G四点共面．，，，，平面ADG．平面ADG，．在直角梯形ABED中，，可得，同理直角梯形GCED中，可得，．，．，，平面DEG，平面ADB，平面平面DEG．平面平面DEC；解：过点D作的垂线，垂足为O，过点O作BC的垂线，垂足为H，则，，故以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，2，，2，，0，，1，．所以，．设平面ACE的法向量为y，，由．设平面BCE的法向量为b，，由．，二面角的大小为．【解析】根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面DEC；建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角的大小．本题主要考查空间平面和平面垂直的判定，以及二面角的求解，综合考查学生的计算能力．20.【答案】解：设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，可得，即有，，由的导数为，可得的方程为，化为，同理可得的方程为，联立两直线方程解得，，故；由，，，可得，即，，，则四边形AMBN的面积，当且仅当时，四边形AMBN的面积取得最小值32．【解析】设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及导数的几何意义，求得两条切线的方程，联立求得交点，可得所求值；求得，的坐标和数量积，可得，即，运用抛物线的弦长公式可得，，由四边形的面积公式，结合基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的几何意义，考查切线方程的求法，以及向量垂直的性质，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21.【答案】解：，令，，，在上单调递增，，，若时，恒成立，即在区间上单调递增，若时，则，则，则在区间上单调递减，若，则，，又在上单调递增，结合零点存在性定理知，存在唯一的实数，使得，当时，，则，则在上单调递减，当时，，则，则在上单调递增，综上所述：若时，在区间上单调递增，若时，在区间上单调递减，若时，存在唯一的实数，，在上单调递减，在上单调递增．由可得：若，则，则，而，解得满足题意，若时，则，则时，而，解得满足题意，若时，令，，则，在上单调递减，，令，，由可知，令，，由可知，，，，，综上：当且，或当且时，使得在区间的最小值为且最大值为1．【解析】先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，对a分类讨论，利用的结论即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：由为参数，消去参数t，可得直线l的普通方程为，由，且，，，得曲线C的直角坐标方程为；点P的极坐标为，则点P的直角坐标为，点Q为曲线C上的动点，设，则PQ中点M为，则点M到直线l的距离：，点M到直线l的最小距离为．【解析】直接把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程，由已知结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程；化P为直角坐标，设出Q的坐标，由中点坐标公式求得M的坐标，再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值．本题考查点的直角坐标、曲线的直角坐标方程的求法，考查点到直线的距离的中小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：要证不等式等价于，因为，，当且仅当时取等号．，，又，，当且仅当时取等号．【解析】利用基本不等式即可证明结论；利用基本不等式即可证明结论．本题考查用分析法证明不等式，关键是寻找不等式成立的充分条件，属于中档题．。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(含答案解析)
故选：B.
【点睛】
本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
6．C
【分析】
取 ，可得出数列 是等比数列，求得数列 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于 的等式，由 可求得 的值.
【详解】
在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故选：C
【点晴】
本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
5．B
【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ，可得圆的半径为 ，写出圆的标准方程，利用点 在圆上，求得实数 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线 的距离.
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
23．已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求a的取值范围.
参考答案
1．A
【分析】
首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】
由题意可得： ，则 .
故选：A.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．B
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】
由题意，第二天新增订单数为 ，
，故至少需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】
本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
2020高考数学（理）必刷试题+参考答案+评分标准（55）
2020⾼考数学（理）必刷试题+参考答案+评分标准（55）2020⾼考数学模拟试题（理科）⼀、单项选择题：本题共8⼩題，每⼩题5分，共40分。
在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合題⽬要求的。
1.⼰知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=,则A∪B=A.{x|-l≤x≤2}B. {x|0≤x≤2}C. {x|x≥-l}D. {x|x≥0}2.“x∈R,x2-x+l>0”的否定是A.x∈R, X2-X+1≤0B. x∈R, x2-x+1<0C. x∈R, x2-x+l<0D. x∈R, x2-x+l≤03.若双曲线(a>0,b>0)的离⼼率为，则其渐近线⽅程为A. 2x±3y=0B. 3x±2y=0C. x±2y=0D. 2x±y=04.设a=log0.53,b=0.53,c=,则a,b,c的⼤⼩关系为A.aB. aC. bD. b5.为弘扬我国古代的“六艺⽂化”，某夏令营主办单位计划利⽤暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周⼀门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第⼀周，课程“御”不排在最后⼀周，则所有可能的排法种数为A. 216B. 480C. 504D. 6246.函数y=|x|+sinx的部分图象可能是7.若x=α时，函数f(x)=3sinx+4cosx取得最⼩值，则sinα=A. B. C. D.8.函数,若⽅程f(x)=-2x+m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A. (-∞,4)B. (-∞,4]C. (-2,4)D. (-2,4]满意不满意⼆、多项选择题：本題共4⼩题，每⼩题5分，共20分。
在每⼩题给出的选项中，有多项符合題⽬要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.某⼤学为了解学⽣对学校⾷堂服务的满意度，随机调査了50名男⽣和50名⼥⽣，每位学⽣对⾷堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所⽰的列联表.经计算K 2的观测值k ≈4.762，则可以推断出A. 该学校男⽣对⾷堂服务满意的概率的估计值为B. 调研结果显⽰，该学校男⽣⽐⼥⽣对⾷堂服务更满意C. 有95%的把握认为男、⼥⽣对该⾷堂服务的评价有差异D. 有99%的把握认为男、⼥⽣对该⾷堂服务的评价有差异10. 已知函数f(x)=sin(3x+)(-＜＜)的图象关于直线x=对称，则 A. 函数f(x+)为奇函数B. 函数f(x)在[，]上单调递増C. 若|f(x 1)-f(x 2)|=2,则|x 1-x 2\的最⼩值为D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=-cos3x 的图象11. 如图,在正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则A. 直线BD 1丄平⾯A 1C 1DB. 三棱锥P-A 1C 1D 的体积为定值C. 异⾯直线AP 与A 1D 所成⾓的取值范⽤是[45°,90°]D. 直线C 1P 与平⾯A 1C 1D 所成⾓的正弦值的最⼤值为12. 已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点P(x 1,y 1),G(x 2,y 2)，点P 在l 上的射影为P 1，则 A. 若X 1+X 2=6.则|PQ|=8B. 以PQ 为直径的圆与准线l 相切C. 设M （O,1）,则|PM|+|PP 1|≥D. 过点M （0,1）与抛物线C 有且只有⼀个公共点的直线⾄多有2条三、填空題：本題共4⼩題，每⼩题5分，共20分。
2020高考数学（理）必刷试题（解析版）（11）
2020高考数学（理）必刷试题（解析版）（11）2020高考数学模拟考试（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i2020=（）A. 1B. -1C. iD. -i2.已知集合A={x|0＜log2x＜2}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A. （1，4）B. （2，4）C. （1，2）D. （1，+∞）3.若a=ln2，，的大小关系为（）A. b＜c＜aB. b＜a＜cC. a＜b＜cD. c＜b＜a4.当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（）A. x3＜3x＜log3xB. 3x＜x3＜log3xC. log3x＜x3＜3xD. log3x＜3x＜x35.已知cos（-α）=2cos（π+α），且tan（α+β）=，则tanβ的值为（）A. -7B. 7C. 1D. -16.将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数f（x）的一个单调减区间为（）A. B. C. D.7.设向量=（1，-2），=（a，-1），=（-b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则+的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 98.若数列{a n}满足-=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A. 10B. 20C. 30D. 409.设函数f（x）=x2+2cos x，x∈[-1，1]，则不等式f（x-1）＞f （2x）的解集为（）A. （-1，）B. [0，）C. （]D. [0，]10.设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A. B. C. D.11.已知向量、、满足，，，E、F分别是线段BC、CD的中点．若，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.12.已知变量x1，x2∈（0，m）（m＞0），且x1＜x2，若x1＜x2恒成立，则m的最大值为（）A. eB.C.D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}满足a1=1，前n项和未s n，且s n=2a n（n≥2，n∈N*），则{a n}的通项公式a n=______．14.已知边长为3的正△ABC三个顶点都在球O的表面上，且OA 与平面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为______．15.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a=2sin18°，若a2+b=4，则=______．16.如图，已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O 为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且=3，则双曲线的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c满足．（1）求A．（2）若△ABC的面积，求△ABC的周长．18.棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏．若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为P n．（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X 的分布列与数学期望；（2）证明：;（3）求P99，P100的值．19.如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4（1）求证：B1O⊥平面AEO（2）求二面角B1-AE-O的余弦值．20.椭圆C焦点在y轴上，离心率为，上焦点到上顶点距离为2-．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交与P，Q两点，O为坐标原点，△OPQ的面积S△OPQ=1，则||2+||2是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由．21.已知函数f（x）=e x cos x-x sinx，g（x）=sin x-e x，其中e为自然对数的底数．（1）?x1∈[-，0]，?x2∈[0，]，使得不等式f（x1）≤m+g（x2）成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞-1，求证：f（x）-g（x）＞0．22.在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C交于A、B两点，点P（1，2），求|PA|+|PB|的值．23.已知函数f（x）=|2x+1|+|x-4|．（1）解不等式f（x）≤6；（2）若不等式f（x）+|x-4|＜a2-8a有解，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：i2020=i4×505=（i4）505=1．故选：A．直接利用虚数单位i的运算性质求解．本题考查虚数单位i的运算性质，是基础的计算题．2.【答案】B【解析】解：由A中不等式变形得：log21=0＜log2x＜2=log24，即1＜x＜4，∴A=（1，4），由B中y=3x+2＞2，得到B=（2，+∞），则A∩B=（2，4），故选：B．求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.【答案】A【解析】解：a=ln2＞ln=，=＜，==∴a＞c＞b，故选：A．利用指数、对数函数的性质，判断a＞，b＜，利用定积分的性质求得c=，即可判断a、b和c的大小．本题考查求定积的值及指数函数的性质，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵0＜x＜1，∴log3x＜0＜x3＜1＜3x，∴log3x＜x3＜3x，故选：C．利用指数函数与对数函数、幂函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数、幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵已知cos（-α）=2cos（π+α），即sin α=-2cosα，即tan α=-2．又∵tan（α+β）===，则tanβ=7，故选：B．由题意利用诱导公式求得tanα的值，再利用两角和的正切公式，求得tanβ的值．本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．利用三角函数的平移变换的应用和正弦型函数的整体思想的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，即：把函数的图象，向左平移个单位，即得到f（x）的图象，故：=sin（2x+），∴令：（k∈），解得：（k∈），当k=0时，，故选A．7.【答案】C【解析】解：=（a-1，1），=（-b-1，2），∵A，B，C三点共线，∴2（a-1）-（-b-1）=0，化为：2a+b=1．又a＞0，b＞0，则+=（2a+b）=4++≥4+2=8，当且仅当b=2a=时取等号．利用向量共线定理可得：2a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴-=x n+1-x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．本题主要考查新数列定义，及等差数列的重要性质，属中档题型．9.【答案】B【解析】解：函数f（-x）=（-x）2+2cos（-x）=x2+2cos x=f （x），则函数f（x）是偶函数，函数的导数f′（x）=2x-2sin x=2（x-sin x），[f′（x）]′=2-2cos x≥0，即f′（x）在[-1，1]是为增函数，则当0≤x≤1时，f′（x）≥f′（0）=0，即f（x）在[0，1]上为增函数，则不等式f（x-1）＞f（2x）等价为f（|x-1|）＞f（|2x|），得得，得得，得0≤x＜，又即不等式的解集为[0，），根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用进行和单调性进行转化是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，则==．故选：A．若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点，则M、N重合（设为M），此时A为椭圆的右焦点，由此可知=，从而能够得到结果．本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点．11.【答案】A【解析】解：如图，=．由，，可得∴cos=，则，从而向量与向量的夹角为．故选：A．由题意画出图形，结合求得，从而向量与向量的夹角为．本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法、减法法则，是中档题．12.【答案】A【解析】解：对不等式两边同时取对数得ln x1＜ln x2，即x2ln x1＜x1ln x2，即＜恒成立，设f（x）=，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，函数的导数f′（x）==，由f′（x）＞0得1-ln x＞0得ln x＜1，得0＜x＜e，即函数f（x）的最大增区间为（0，e），则m的最大值为e故选：A．在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）=，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．本题主要考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数法以及构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．13.【答案】【解析】解：当n≥2时，s n=2a n，……①令n=2，则s2=a1+a2=1+a2=2a2，故a2=1，令n≥3，则s n-1=2a n-1，……②①-②得：a n=2a n-2a n-1，即a n=2a n-1，即从第二项开始，数列{a n}成以1为首项以2为公比的等比数列，故a n=，故答案为：．由已知可得数列{a n}满足a1=1，从第二项开始，数列{a n}成以1为首项以2为公比的等比数列，进而得到答案．本题考查的知识点是数列的递推式，本题要注意数列并非等比，而是从第二项开始才是等比数列．14.【答案】16π【解析】解：边长为3的正△ABC的外接圆的半径为=，∵OA与平面ABC所成的角为30°，∴球O的半径为=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故答案为：16π．求出边长为3的正△AB C的外接圆的半径，利用OA与平面ABC 所成的角为30°，求出球O的半径，即可求出球O的表面积．本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，求出球O的半径是关键．15.【答案】【解析】解：∵a=2sin18°，若a2+b=4，∴b=4-a2=4-4sin218°=4（1-sin218°）=4cos218°，∴===，故答案为：．由已知利用同角三角函数基本关系式可求b=4cos218°，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简得答案．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】【解析】解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2-R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得e==．故答案为：确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1），由正弦定理可得：，∴，∴，且A∈（0，π），∴，（2），∴bc=12，又a2=b2+c2-2b cos A，∴9=（b+c）2-3bc，∴，即△ABC的周长为．【解析】（1）结合已知及正弦定理进行化简可求cos A，进而可求A，（2）结合三角形的面积公式可求bc，然后结合余弦定理可求b+c，进而可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．18.【答案】解：（1）解：由题意得X的可能取值为3，4，5，6，P(X=3)=()3=，P(X=4)==，P(X=5)==，P(X=6)=()3=．X3456P∴．（2）证明：棋子先跳到第n-2站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第n-1站，再掷出正面，其概率为，∴，即，∴.．（3）解：由（2）知数列{P n-P n-1}（n≥1）是首项为{P n-P n-1}(n≥1)，，公比为的等比数列．∴，由此得到，由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故．【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，等比数列的性质，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于较难题．（1）由题意得X的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（2）棋子先跳到第n-2站，再掷出反面，其概率为，棋子先跳到第n-1站，再掷出正面，其概率为，从而，由此能证明.（3）数列{P n-P n-1}（n≥1）是首项为{P n-P n-1}（n≥1），，公比为的等比数列，从而，由此能求出P99，P100的值．19.【答案】证明：（1）依题意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，如图建立空间直角坐标系A-xyz，因为AB=AC=AA1=4，则A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），B1（4，0，4），C（0，4，0），O（2，2，0），（2分）=（-2，2，-4），=（2，-2，-2），=（2，2，0），（3分）=（-2）×2+2×（-2）+（-4）×（-2）=0，∴⊥，∴B1O⊥EO，=（-2）×2+2×2+（-4）×0=0，∴⊥，∴B1O⊥AO，（5分）∵AO∩EO=O，AO，EO?平面AEO，∴B1O⊥平面AEO．（6分）（2）由（1）知，平面AEO的法向量为=（-2，2，-4），（7分）设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），，则，令x=2，则=（2，2，-2），（10分）∴cos＜＞===，∴二面角B1-AE-F的余弦值为．（12分）【解析】（1）依题意可知，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明B1O⊥平面AEO．（2）求出平面AEO的法向量和平面B1AE的法向量，利用向量法能求出二面角B1-AE-F的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，可得b2=a2-c2=1，即有椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（1）当l斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，S△OPQ=|x1|?|y1|=1，又，解得，||2+||2=2（x12+y12）=2×（+2）=5；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由题意知m≠0，将其代入，得（k2+4）x2+2kmx+m2-4=0，即有，则，O到PQ距离，则，解得k2+4=2m2，满足△＞0，则，即有||2+||2=（x12+y12）（x22+y22）===-3+8=5，综上可得||2+||2为定值5．【解析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和两点的距离公式，及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，结合三角形的面积公式，点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，即可得到所求和为定值5．本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，注意讨论直线的斜率不存在，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f′（x）=e x cos x-e x sin x-sin x-x cosx；∵；∴cos x≥0，sin x≤0，e x＞0；∴e x cos x-e x sin x-sin x-x cosx＞0；即f′（x）＞0；∴f（x）在上单调递增；∴f（x）的最大值为f（0）=1；，设h（x）=g′（x），则：；∵；∴；∴h′（x）＜0；∴h（x）在[0，]上单调递减；∴h（x）的最大值为h（0）=；∴h（x）＜0，即g′（x）＜0；∴g（x）在[0，]上单调递减；∴g（x）的最大值为g（0）=；根据题意知，f（x）max≤m+g（x）max；∴；∴；∴实数m的取值范围为；（2）；设F（x）=e x-（x+1），则F′（x）=e x-1；∴x∈（-1，0）时，F′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0；∴F（x）在（-1，+∞）上的最小值为F（0）=0；∴F（x）≥0；∴e x≥x+1在x∈（-1，+∞）上恒成立；；∴①，x=0时取“=”；∴；==；；∴，该不等式和不等式①等号不能同时取到；∴；∴f（x）-g（x）＞0．【解析】（1）根据题意便知，f（x）max≤m+g（x）max，这样可根据导数求f（x），g（x）的最大值：求导数f′（x），容易说明f′（x）＞0，从而可以得出f（x）在上单调递增，从而可求出最大值为1；同样的办法，求，可设h（x）=g′（x），再求导便可得出h（x）＜0在上恒成立，从而得出g（x）单调递减，从而可以得出最大值为g（0）=，从而便可得到1，这样便可得出实数m的取值范围；（2）先求出f（x）-g（x）=，根据导数可以证明e x≥x+1，而显然恒成立，从而有，而根据两角和的余弦公式即可说明（x+1）（cos x+）-sin x（x+1）≥0，并且可以看出这个等号和前面不等式的等号不同时取到，从而便证出f（x）-g（x）＞0．考查根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性求函数最大值的方法，在判断导数符号时可以两次求导，以及两角和的余弦公式，不等式的性质．22.【答案】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），由得，∴l的普通方程为：，∵C的极坐标方程是ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴C的直角坐标方程为：x2+y2-4x=0．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得：，∴，∴，∴t1，t2同号，∴．【解析】（1）由直线l的参数方程，能求出l的普通方程；由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得，由此能求出|PA|+|PB|的值．本小题考查直线和曲的直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．23.【答案】解：（1）由已知得当时，不等式f（x）≤6化为-3x+3≤6，解得x≥-1，所以取；当时，不等式f（x）≤6化为x+5≤6，解得x≤1，所以取；当x＞4时，不等式f（x）≤6化为3x-3≤6，解得x≤3，不合题意，舍去；综上知，不等式f（x）≤6的解集为[-1，1]．（2）由题意知，f（x）+|x-4|=|2x+1|+|2x-8|≥|（2x+1）-（2x-8）|=9，当且仅当-≤x≤4时取等号；由不等式f（x）+|x-4|＜a2-8a有解，则a2-8a＞9，即（a-9）（a+1）＞0，解得a＜-1或a＞9；所以a的取值范围是（-∞，-1）∪（9，+∞）．【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）≤6的解集；（2）利用绝对值不等式求出f（x）+|x-4|的最小值，问题化为关于a的不等式，求解集即可．本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式有解的问题，是中档题．。
江苏卷08-2020年高考数学必刷试卷(解析版)
江苏卷08-2020年高考数学必刷试卷（解析版）数学试题I一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．1. 已知集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，4}，则∁U A ＝________． 答案：{3，5}解析：本题考查集合的补集运算2. 若复数z ＝(1＋i)(3－ai)(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－3解析：z ＝(3－ai)＋3i －ai 2＝(3＋a)＋(3－a)i ，∴ a ＋3＝0，a ＝－3. 3. 命题：“∃x ∈R ，|x|≤0”的否定是__________________． 答案：∀x ∈R ，|x|＞0解析：含有量词的命题否定要将存在换成任意，p 改成非p.4. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝8x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为______________． 答案：3解析：由定义可知距离1＋p2＝1＋2＝3.5. 设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x ＋y≤3，2x ＋y≤4，则z ＝3x ＋2y 的最大值是________．答案：7解析：由题设可知线性规划的可行域的四个顶点坐标分别为(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)．从而(3x ＋2y)max ＝3×1＋2×2＝7.6. 如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值是________．答案：－32解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环体对y ＝12×2－1＝0，|y －x|＝2≥1，x ＝0；第2次循环体对y ＝0－1＝－1，|y －x|≥1，x ＝－1； 第3次循环体对y ＝－32，|y －x|＜1，停止，输出y ＝－32.7. 抽样统计甲、乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：城市空气质量指数(AQI)第1天第2天 第3天 第4天 第5天 甲 109 111 132 118 110 乙110111115132112则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为________(填“甲”或“乙”)． 答案：乙解析：由题设可知甲的数据波动较大，乙的数据波动较小，由观察法知乙方差较小．．8. 在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为______________．(第8题)答案：33解析： V PBCE ＝13S △BCE ·PA ＝13×12×1×2×sin120°×2＝33.9. 将函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于________． 答案：π3解析：向右平移π6后，解析式f(x)＝sin(2x ＋φ－π3)为奇函数，从而φ－π3＝kπ.又0＜φ＜π，从而φ＝π3.10. 已知等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n .若log 3⎣⎡⎦⎤12a n （S 4m ＋1）＝9，则1n ＋4m的最小值是________． 答案：52解析：由题设a n ＝2×3n －1，S 4m ＋1＝2（1－34m ）1－3＋1＝34m ，∴ 12a n (S 4m ＋1)＝34m ＋n －1.又log 3[12a n (S 4m ＋1)]＝9，∴ 12a n (S 4m ＋1)＝39，即4m ＋n －1＝9，∴ 4m ＋n ＝10.又1n ＋4m ＝110⎝⎛⎭⎫1n ＋4m (4m ＋n)＝110·(17＋4n m ＋4m n )≥52，当且仅当4n m ＝4mn，即m ＝n ＝2时，“＝”成立．11. 若向量a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，且|a ＋b |≤2a·b ，则cos(α－β)的值是________． 答案：1解析：由题意知a·b ＞0，且a 2＋2ab ＋b 2≤4|a ·b|2，即2＋2ab≤4|a·b|2，从而有2(|a·b|2)－a·b －1≥0，即(2a·b ＋1)(a·b －1)≥0，∴ a ·b ≥1，即|a||b|cos(α－β)≥1，∴ cos(α－β)≥1.又cos(α－β)≤1，∴ cos(α－β)＝1. 12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝alnx 的切线，则当a>0时，实数b 的最小值是______________． 答案：－1解析：不妨设切点P(x 0，y 0)，则f′(x 0)＝ax 0＝1，∴ x 0＝a ，从而y 0＝a ＋b ，y 0＝alna ，即有b ＝alna －a ，a>0.又令b′(a)＝lna ＝0，解得a ＝1，∴ 当a ＝1时，b 取得最小值－113. 已知集合M ＝{(x ，y)|x －3≤y≤x －1}，N ＝{P|PA≥2PB ，A(－1，0)，B(1，0)}，则表示M∩N 的图形面积等于________． 答案：23＋83π解析：设P(x ，y)，由PA 2≥PB 2知(x ＋1)2＋y 2≥2(x －1)2＋2y 2.整理得(x －3)2＋y 2≤8，则集合M∩N 示意图如下图，则S M∩N ＝S △ABN ＋2S 扇BNF .又N(3，0)到AB 距离d ＝2，从而△ABN 为等边三角形，∴ S △ABN ＝34(22)2＝23，2S 扇BNF ＝2×12l·r ＝lr ＝r 2θ＝8×π3＝83π.综上知M∩N 的图形面积为23＋83π.14. 若函数f(x)＝ax 2＋20x ＋14(a>0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1、x 2，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________． 答案：8解析：f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋10a 2＋14－100a(a ＞0)，由题设知原题可以等价于对任意区间[x 1，x 2]，x 2－x 1＝2，函数f(x)在[x 1，x 2]上的最大值与最小值之差大于等于8，不妨设g(x)＝ax 2＋14－100a ，则原题可转化成对任意t ∈R ，g(x)在[t ，t ＋2]上最大值与最小值之差大于等于8， ① 当t≥0时，g(x)在[t ，t ＋2]上递增，从而g max (x)－g min (x)＝g(t ＋2)－g(t)＝a[(t ＋2)2－t 2]≥8，即a(4t ＋4)≥8对t≥0恒成立，从而4a≥8a≥2； ② 当t ＋2≤0时，g(x)在[t ，t ＋2]上递减，从而g max (x)－g min (x)＝g(t)－g(t ＋2)≥8时，对任意t≤－2恒成立，即a(－4t －4)≥8.对任意t≤－2恒成立，从而a(8－4)≥8a≥2；③ 当t ＋1≤0时，g(x)在[t ，0]上递减，在[0，t ＋2]上递增，且g(t ＋2)≥g(t)，从而g max (x)－g min (x)＝g(t ＋2)－g(0)＝a(t ＋2)2≥8，对于任意t≥－1恒成立，从而有a≥8； ④ 同理t ＋1≥0时，也有a≥8，综上知a≥8.二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AB 1⊥BC ，且AA 1＝AB.求证： (1) AB ∥平面D 1DCC 1； (2) AB 1⊥平面A 1BC.证明：(1) 在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AB 平面D 1DCC 1，CD平面D 1DCC 1，所以AB ∥平面D 1DCC 1.(6分)(2) 在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，四边形A 1ABB 1为平行四边形，又AA 1＝AB ，故四边形A 1ABB 1为菱形．从而AB 1⊥A 1B.(9分)又AB 1⊥BC ，而A 1B∩BC ＝B ，A 1B 、BC 平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC.(14分) 16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.(2分) 因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.(4分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(7分)时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233，S ＝12·absinC ＝23 3.(10分)当cosA≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433.(13分)所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.(14分)17. (本小题满分14分)已知a 为实常数，y ＝f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x －a 3x 2＋1.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若f(x)≥a －1对一切x>0成立，求a 的取值范围．解：(1) 由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)上的单调性即可． f′(x)＝2＋2a 3x3，令f′(x)＝0，得x ＝－a.(2分)② 当a≤0时，f′(x)>0，故f(x)在区间(－∞，0)上是单调递增．(4分)② 当a>0时，x ∈(－∞，－a)，f′(x)>0，所以f(x)在区间(－∞，－a)上是单调递增；x ∈(－a ，0)，f′(x)<0，所以f(x)在区间(－a ，0)上是单调递减．(6分)综上所述，当a≤0时，f(x)单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；当a>0时，f(x)单调增区间为(－∞，－a)，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a)．(7分)(2) 因为f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－⎝⎛⎭⎫－2x －a 3x 2＋1＝2x ＋a3x2－1.(9分) ① 当a<0时，要使f(x)≥a －1对一切x>0成立，即2x ＋a 3x 2≥a 对一切x>0成立．而当x ＝－a2>0时，有－a ＋4a≥a ，所以a≥0，这与a<0矛盾．所以a<0不成立．(11分)② 当a ＝0时，f(x)＝2x －1>－1＝a －1对一切x>0成立，故a ＝0满足题设要求．(12分)③ 当a>0时，由(1)可知f(x)在(0，a)上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数．所以f min (x)＝f(a)＝3a －1>a －1，所以a>0时也满足题设要求．(13分) 综上所述，a 的取值范围是[0，＋∞)．(14分) 18.(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF ︵的中点，其所在圆O 的半径为4 dm(圆心O 在弓形EMF 内)，∠EOF ＝2π3.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD ∥EF ，且点A 、D 在EF ︵上，设∠AOD ＝2θ.(1) 求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； (2) 当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cosθ的值．解：(1) 设矩形铁片的面积为S ，∠AOM ＝θ.当0<θ<π3时(如图①)，AB ＝4cosθ＋2，AD ＝2×4si nθ，S ＝AB×AD ＝(4cosθ＋2)(2×4sinθ)＝16sinθ(2cosθ＋1)．(3分) 当π3≤θ＜π2(如图②)，AB ＝2×4cosθ，AD ＝2×4sinθ， 故S ＝AB×AD ＝64sinθcosθ＝32sin2θ.综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为S ＝⎩⎨⎧16sinθ（2cosθ＋1），0<θ<π3，32sin2θ，π3≤θ<π2.(7分)(2) 当0<θ<π3时，求导，得S′＝16[cosθ(2cosθ＋1)＋sinθ(－2sinθ)]＝16(4cos 2θ＋cosθ－2)．令S′＝0，得cosθ＝33－18.(10分) 记区间⎝⎛⎭⎫0，π3内余弦值等于33－18的角为θ0(唯一存在)．列表： θ (0，θ0) θ0 ⎝⎛⎭⎫θ0，π3S′ ＋ 0 － S增函数极大值减函数又当π3≤θ<π2时，S ＝32sin2θ在⎣⎡⎭⎫π3，π2上为单调减函数， 所以当θ＝θ0即cosθ＝33－18时，矩形的面积最大．(16分)19. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点⎝⎛⎭⎫1，32的椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M 、N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，335，试求直线PA 的方程；(3) 记M 、N 两点的纵坐标分别为y M 、y N ，试问y M ·y N 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解：(1) 由题意，得 2a ＝（1－1）2＋⎝⎛⎭⎫32－02＋（1＋1）2＋⎝⎛⎭⎫32－02＝4，即a ＝2.(2分) 又c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 因为B ⎝⎛⎭⎫85，335，所以P(－85，－335)．又F(1，0)，所以k AB ＝3，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．(7分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3（x －1），解得A(0，－3)．(9分)所以直线PA 的方程为y ＝－34x －3， 即3x ＋4y ＋43＝0.(10分)(3) 当直线AB 斜率k 不存在时，易得y M y N ＝－9.当直线AB 斜率k 存在时，设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则P(－x 2，－y 2)，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减，得（x 2＋x 1）（x 2－x 1）4＝－（y 2＋y 1）（y 2－y 1）3，所以（y 2＋y 1）（y 2－y 1）（x 2＋x 1）（x 2－x 1）＝－34＝k PA k ，所以k PA ＝－34k.(12分)所以直线PA 方程为y ＋y 2＝－34k(x ＋x 2)，所以y M ＝－34k (x 2＋4)－y 2＝－3（x 2＋4）（x 2－1）4y 2－y 2.因为直线PB 方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2.(14分)所以y M y N ＝－3×（x 2＋4）（x 2－1）x 2－4y 22x 2.因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22， 所以y M y N ＝－3×（x 2＋4）（x 2－1）＋4－x 22x 2＝－9，所以y M y N 为定值－9.(16分)20(本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1＋a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2＋b 1，a 1＋b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．(1) 求数列{a n }和数列{b n }的通项公式； (2) 按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项： 第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 项和为S n .求满足S n <22 014的最大正整数n.解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＝a 1＋2d ，b 1（b 1q ）＝b 1q 2，（a 1＋2d ）＋（a 1＋b 1q ）＝2[（a 1＋d ）＋b 1]，（a 1＋d ）2＝a 1（b 1q ），解得a 1＝d ＝1，b 1＝q ＝2.故a n ＝n ，b n ＝2n .(6分)(2) 将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有P n ＝n 2（n 2＋1）2＋2n 2＋n ＋1－2.(11分)P 45－22 014＝452（452＋1）2＋22 071－22 014－2>0，P 44－22 014＝442（442＋1）2－21 981(233－1)－2<0.当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 012)时，S n －22 014＝－22 013－2＋452（452＋1）2<0.(13分)当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 013)时，S n －22 014＝－2＋452（452＋1）2>0.可得到符合S n <22 014的最大的n ＝452＋2 012＝4 037.(16分)数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值； (2) 求A －1. 解：(1) 由题意得： A α＝λα⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎩⎪⎨⎪⎧2＋2n ＝2m ＋2＝4⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，m ＝2.(5分) (2) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2021⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12b ＝02a ＋c ＝02b ＋d ＝1⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，即A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 120－11.(10分) B ．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝532＋2cosθ，y ＝72＋2sinθ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心，且过点⎝⎛⎭⎫2，π2的圆． (1) 求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2) 求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．解：(1) 圆M ：⎝⎛⎭⎫x －5322＋(y －72)2＝4，⎝⎛⎭⎫3，π3对应直角坐标系下的点为⎝⎛⎭⎫32，32，⎝⎛⎭⎫2，π2对应直角坐标系下的点为(0，2)，∴ 圆N ：⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝1.(5分)(2) PQ ＝MN －3＝4－3＝1.(10分)C ．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证： (1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1，abc≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”．(5分)(2) 柯西不等式a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．(10分)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知直线l ：y ＝2x －4与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，T(t ，0)(t>0且t≠2)为x 轴上任意一点，连结AT 、BT 并延长与抛物线C 分别相交于A 1、B 1.(1) 设A 1B 1斜率为k ，求证：k·t 为定值；(2) 设直线AB 、A 1B 1与x 轴分别交于M 、N ，令S △ATM ＝S 1，S △BTM ＝S 2，S △B 1TN ＝S 3，S △A 1TN ＝S 4，若S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，求t 的值．(1) 证明：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x A(4，4)、B(1，－2)， 设A 1⎝⎛⎭⎫m 24，m 、B 1⎝⎛⎭⎫n 24，n ， k AT ＝kA 1T 44－t ＝m m 24－t m 2－4t ＝4m －tm m(m －4)＝t(4－m)m ＝－t A 1⎝⎛⎭⎫t 24，－t ， 同理：B 1(t 2，2t)k ＝3t t 2－t 24＝4t kt ＝4为定值．(5分) (2) 解：A 1B 1：y －2t ＝4t(x －t 2)，令y ＝0得N ⎝⎛⎭⎫t 22，0，而M(2，0)， S 1S 2＝⎪⎪⎪⎪y A y B＝2S 2＝12S 1， S 4S 1＝⎪⎪⎪⎪TN·yA 1TM·y A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 22－t t －2·t 4＝t 28S 4＝t 28S 1， S 3S 1＝⎪⎪⎪⎪TN·yB 1TM·y A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（t －2）t －2·2t 4＝t 24S 3＝t 24S 1， S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，∴ t 2＝1而t>0t ＝1.(10分)23如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．23. 解：如图以CB 、CA 分别为x 、y 轴，过C 作直线Cz ∥BC 1，以Cz 为z 轴， ∴ B(3，0，0)，C(0，0，0)，A(0，3，0)，C 1(3，0，3)，CB 1→＝CC 1→＋CB →＝(6，0，3)B 1(6，0，3)，CA 1→＝CC 1→＋CA →＝(3，3，3)A 1(3，3，3)．(1) T 是△ABC 1重心T(2，1，1)TA 1→＝(1，2，2)，设平面ABC 1的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，AB →＝(3，－3，0)，AC 1→＝(3，－3，3)，⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－3y 1＝03x 1－3y 1＋3z 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0x 1＝y 1取法向量n 1＝(1，1，0)，∴ cos 〈TA 1→，n 1〉＝33·2＝22〈TA 1→，n 1〉＝π4. 设TA 1与平面ABC 1所成的角为αα＝π2－〈TA 1→，n 1〉＝π4.(5分) (2) T 在平面ABC 1内，CT →＝CB →＋BT →＝CB →＋mBC 1→＋nBA →＝(3－3n ，3n ，3m)，即T(3－3n ，3n ，3m)．由TB 1＝TC ，得(3－3n)2＋(3n)2＋(3m)2＝(3n ＋3)2＋(3n)2＋(3m －3)2－2m ＋4n ＝－1， ①设平面CAA 1C 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，CA →＝(0，3，0)，CC 1→＝(3，0，3)，⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＝03x 2＋3z 2＝0取n 2＝(1，0，－1)．设平面TA 1C 1法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)，C 1A 1→＝(0，3，0)，C 1T →＝(－3n ，3n ，3m －3)，⎩⎪⎨⎪⎧y 3＝0－3nx 3＋（3m －3）z 3＝0取n 3＝(m －1，0，n)． 由平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1，得cos 〈n 2，n 3〉＝m －1－n 2·（m －1）2＋n 2＝0m ＝n ＋1. ②由①②解得n ＝12，m ＝32， ∴ 存在点T ⎝⎛⎭⎫32，32，92，TC ＝3112.(10分)。
高考必刷卷(新课标卷) 数学(理)(新课标卷)(新课标卷)09(解析版)
则胡夫金字塔现高大约为 136.4 米．故选 C．
【点睛】
本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到
答案。属于常规题型。
6．函数 f (x)
x x
1 1
log
a
x （ 0 a 1）的图象的大致形状是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
f (x)
【详解】
设等差数列{an}的公差为 d，
则 3×(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，
3
则 d＝－ a1，又 a1＝2，∴d＝－3，
2
∴a5＝a1＋4d＝－10.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查等差数列前 n 项和公式以及通项公式，属于基础题.
8．在平行四边形
ABCD
中，
AB
3
，
AD
2
，
AP
1
【答案】B 【解析】 【分析】
令 log3 x log4 y log7 z k 2 ,可得 x 3k , y 4k , z 7k ,进而得到 3x 3k1 , 4 y 4k1 , 7z 7k1 ,画出 y 3x , y 4x , y 7x 的图象,利用图象比较大小即可.
【详解】
4
1
D．
12
【解析】
【分析】
先排好医字，共有 C32 种排法，再排国字，只有一种方法.
【详解】 幼童把这三张卡片进行随机排列，
基本事件总数 n= C32 =3， 1
∴该幼童能将这句话排列正确的概率 p= ．
3
故选：A 【点睛】 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事 件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列 举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．
2020高考数学必刷试卷02答案
2020年高考必刷卷（新课标卷）02数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数a 的值为( )A ．B ．－C ．3D ．－3 【答案】C 【解析】 因为，由实部与虚部是互为相反数得，解得，故选C.考点：复数的概念与运算.2．已知集合2{|20},{|lg(1)}A x x x x y x =-<==-，则A B =U A ．(0,)+∞ B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(,0)-∞【答案】A 【解析】{02}A x x =<<,{1}B x x =>,{0}A B x x ⋃=>,选A.3．已知0.3log 6a =，2log 6b =，则（） A ．22b a ab b a ->>+ B ．22b a b a ab ->+> C ．22b a b a ab +>-> D ．22ab b a b a >->+【答案】B 【解析】 【分析】首先得到0a <，0b >即0ab <，根据对数的运算法则可得121a b +<，即21b a ab+<，进而可得2b a ab +>，通过作差比较可得22b a b a ->+，综合可得结果.【详解】因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <， 因为66612log 0.32log 2log 1.2a b +=+⨯=6log 61<=，即21b a ab+<， 又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->， 所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>，故选B ． 【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质比较大小，判断出ab 的符号以及根据对数的运算的性质得到21b aab+<是解题的关键，属于中档题. 4．下列四个命题中错误的是（ ） A ．回归直线过样本点的中心(),x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+k ，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位D ．若()()122,0,2,0F F -，124PF PF a a+=+，（常数0a >），则点P 的轨迹是椭圆 【答案】D 【解析】A. 回归直线过样本点的中心(),x y ，正确；B. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1，正确；C. 在回归直线方程ˆ0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy平均增加0.2个单位，正确；D. 若12124(2,0),(2,0),(0)F F PF PF a a a-+=+>，则点P 的轨迹是椭圆，因为当2a =时，12PF PF +=4，P 的轨迹是线段12F F ，故错误，所以选D.5．函数()()21()1x x e f x x e -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()f x 的奇偶性和在0x >时函数值的特点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 因为()()21()1x x e f x x e -=+是偶函数，所以排除A ，C ，当0x >时，()0f x >恒成立，所以排除D.故选:B. 【点睛】本题考查函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想以及推理论证能力.6．若mn 、表示空间中两条不重合的直线，αβ、表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//,m n n α⊂，则//m αB ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nC ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥【解析】 【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断． 【详解】对于A ，若n ⊂平面α，显然结论错误，故A 错误；对于B ，若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n 或m ，n 异面，故B 错误；对于C ，若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C 正确； 对于D ，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ，n 位置关系不能确定，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了空间线面位置关系的性质与判断，属于中档题．7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的13是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（ ） A ．46 B ．12C ．11D ．2【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为等差数列的问题，通过()3451213a a a a a ++=+和5120S =，求解出1a 即可. 【详解】设每个人所得面包数，自少而多分别为：12345,,,,a a a a a 且成等差数列 由题意可知：()3451213a a a a a ++=+，5120S = 设公差为d ，可知：()111139235451202a d a d a d ⎧+=+⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩1126a d =⎧⇒⎨=⎩ 所以最少的一份面包数为12 本题正确选项：B本题考查利用等差数列求解基本项的问题，关键在于将文字描述的内容转化为等差数列中的关系式，利用通项公式和求和公式求解出基本项. 8．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且()13f π=，则()f x 的一个对称中心坐标是 A ．2(,0)3π- B ．(,0)3π-C ．2(,0)3π D ．5(,0)3π 【答案】A 【解析】 试题分析：由的最小正周期为，得．因为()13f π=，所以12()232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，由，得，故．令1()23x k k Z ππ+=∈，得22()3x k k Z ππ=-∈，故()f x 的对称中心为，当时，()f x 的对称中心为，故选A ．考点：三角函数的图像与性质．9．在ABC ∆中，D 为BC 中点，O 为AD 中点，过O 作一直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r （0xy ≠），则11x y+=( ) A ．3 B ．2C ．4D ．14【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，得1111(),()4444MO x AB AC ON AB y AC =-+==-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ，利用共线向量的条件得出111()()04416x y --+=，化简即可得到11x y +的值，即可求解.在ABC ∆中，D 为BC 的中点，O 为AD 的中点，若,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以11()44MO AO AM x AB AC =-=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，11()()44ON AN AO y AB AC AB y AC =-=+=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为//MO ON u u u u r u u u r ，所以111()()04416x y --+=， 即1()04x y xy +-=，整理得114x y +=，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算性质，以及向量的共线定理和三角形的重心的性质的应用，其中解答中熟记向量的线性运算，以及向量的共线定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC V 的面积为S ，且222S (a b)c =+-，a =，则tanC 等于( ) A ．34B ．43C ．34-D ．43-【答案】D 【解析】()22222222cos 2S b c a b c a bc bc A bc =+-=+-+=+ ，而1sin 2S bc A =，所以sin 2cos 2A A =+ ，又根据22sin cos 1A A +=，即()2222cos 2cos 15cos 8cos 30A A A A ++=⇒++= ，解得cos 1A =- (舍)或3cos 5A =- ，4sin 5A = ，解得4tan 3A =- ，故选D.11．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ，E 为棱PA 的中点，则异面直线AB 与CE 所成角的正弦值为（ ）A ．2B C D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由异面直线所成角的定义及求法，得到ECD ∠为所求，连接ED ，由CDE ∆为直角三角形，即可求解． 【详解】在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，可得ECD ∠即为异面直线AB 与CE 所成角， 连接ED ，则CDE ∆为直角三角形，不妨设2AB a =，则,3DE EC a ==，所以sin 3DE ECD EC ∠==, 故选：B ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．设奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图像是连续不间断，,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，若()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是（ ）A ．,23ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】 设g （x ）()f x cosx=，通过研究导函数及函数()f x 的奇偶性，可判断g （x ）在x ∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数且单调递减，利用性质解得不等式即可． 【详解】 令()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x+''=.因为,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，∴当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()()cos f x g x x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.又()f x 是定义域在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，∴()()()()()cos cos f x f x g x g x x x--==-=--， 则()()cosxf xg x =也是,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数并且单调递减.又()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于()3cos cos 3f f m m ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()3g m g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴3m π>，又22m ππ-<<，∴32m ππ<<.故选：D 【点睛】本题考查了运用导数判断函数的单调性及应用，考查了函数奇偶性的应用，考查了构造法的技巧，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考数学 考点20 两角和与差的正弦、余弦和正切必刷题 理(含解析)
考点20 两角和与差的正弦、余弦和正切1、在△ABC中，角A,B，C的对边分别为a，b,c，且b2＝a2＋bc，A ＝错误!,则角C＝( ）A.错误!B．错误!C．错误!或错误!D．错误!或错误!【答案】B【解析】在△ABC中，由余弦定理得cos A＝错误!，即错误!＝错误!，所以b2＋c2－a2＝错误!bc。
又b2＝a2＋bc，所以c2＋bc＝错误!bc，即c＝(错误!－1)b＜b，则a＝错误!b，所以cos C＝错误!＝错误!,解得C＝错误!。
故选B.2、△ABC的内角A,B，C所对的边分别为a，b,c，已知b＝7，c ＝4，cos B＝错误!,则△ABC的面积为（）A．37 B．错误!C．9 D．错误!【答案】B【解析】。
由余弦定理b2＝c2＋a2－2ac cos B，得7＝16＋a2－6a，解得a＝3，∵cos B＝错误!，∴sin B＝错误!，∴S△ABC＝错误!ca sin B＝错误!×4×3×错误!＝错误!.故选B。
3、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c。
若b2＋c2－a2＝错误!bc,且b＝错误!a,则下列关系一定不成立的是（)A．a＝c B．b＝cC．2a＝c D．a2＋b2＝c2【答案】B【解析】由余弦定理，得cos A＝错误!＝错误!＝错误!,则A＝30°。
又b ＝错误!a，由正弦定理得sin B＝错误!sin A＝错误!sin 30°＝错误!，所以B＝60°或120°.当B＝60°时，△ABC为直角三角形，且2a＝c，可知C，D成立;当B＝120°时，C＝30°,所以A＝C，即a＝c，可知A成立．故选B。
4、已知a，b,c分别为△ABC三个内角A,B，C的对边，sin A∶sin B ＝1∶3,c＝2cos C＝错误!，则△ABC的周长为( )A．3＋3错误!B．2错误!C．3＋2错误!D．3＋错误!【答案】C【解析】因为sin A∶sin B＝1∶错误!，所以b＝错误!a，由余弦定理得cos C＝错误!＝错误!＝错误!,又c＝错误!，所以a＝错误!，b＝3，所以△ABC的周长为3＋2错误!，故选C.5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝60°，b＝1，S△ABC＝错误!,则c＝( ）A．1 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】∵S△ABC＝错误!bc sin A，∴错误!＝错误!×1×c×错误!，∴c＝4. 6、在△ABC中,sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B sin C，则A的取值范围是（）A。
高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷01(参考答案)
2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。