【数学】四川省成都市第七中学2016-2017学年高二下学期零诊模拟(理)
四川省成都市第七中学高中毕业班零诊模拟考试数学(理)试题
成都七中高2019届零诊模拟考试数学试题（理科）一、单选题（每小题5分，共60分）1.设全集为R ，集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =≥，则A B ⋂=（ ）A ．{|01}x x <≤B ．{|01}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．{|02}x x << 2.若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ） A ．1355i + B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355i --3.函数()f x =）A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．[4,)+∞ 4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 值为（ ）A ．15B ．37C ．83D ．1775.已知命题p ：x R ∀∈，23xx<；命题q ：x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝6.已知1F 、2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为9，则b 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47.在公比为q 的正项等比数列{}n a 中，44a =，则当262a a +取得最小值时，2log q =（ ）A ．14 B ．14- C ．18 D ．18- 8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．89.已知324πβαπ<<<，12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-，则sin 2α=（ ） A ．5665 B ．5665- C ．6556 D ．6556-10.若函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 为（ ） A ．2或6 B ．2 C ．6 D ．-2或-611.在ABC ∆中，()3sin sin 2B C A -+=，AC =，则角C =（ ） A ．2π B ．3π C ．6π或3π D ．6π12.设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1ln '()()x f x f x x⋅<-，则使得2(4)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(2,0)(0,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞ C ．(2,0)(2,)-+∞ D ．(,2)(0,2)-∞-二、填空题（每小题5分，共20分） 13.计算1(1)x dx -+=⎰．14.已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>，A ，B 是函数()y f x =图象上相邻的最高点和最低点，若AB =(1)f = ．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则双曲线的方程是 ．16.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，2AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 ．三、解答题（17-21题每小题12分，22题10分，共70分）17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+.（1）求{}n a 的通项公式； （2） 设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和. 18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2PA PB AB ===，点N 为AB 的中点.（1）证明：AB PC ⊥；（2）若点M 为线段PD 的中点，平面PAB ⊥平面ABCD ，求二面角M NC P --的余弦值. 19.十九大报告提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间[1500,3000]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在[1750,2000)，[2000,2250)的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A .所有蜜柚均以40元/千克收购；B .低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率2e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(,0)a -，点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅=，求0y 的值.21.已知22()2ln af x x ax x =-+. （1）当01a <<时，求证：()02af >；（2）若()f x 有三个零点时，求a 的范围. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(2,1)，求PA PB +的最小值.成都七中高2019届零诊模拟考试数学试题（理科）答案一、选择题1-5: CDDBB 6-10: CACBC 11、12：DD 二、填空题13. 12 14. 1 15.221520x y -= 16. 214三、解答题17.【解】（1）由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+， 两式相减得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，∵0n a >，∴12n n a a +-=， ∵2111243a a a +=+，∴11a =-（舍）或13a =，则{}n a 是首项为3，公差2d =的等差数列， ∴{}n a 的通项公式32(1)21n a n n =+-=+； （2）∵21n a n =+，∴111(21)(23)n n n b a a n n +==++111()22123n n =-++， ∴数列{}n b 的前n 项和1111111()235572123n T n n =-+-+⋅⋅⋅+-++111()23233(23)n n n =-=++. 18.【解】（1）连接AC ，因为AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为正三角形，又点N 为AB 的中点，所以AB NC ⊥.又因为PA PB =，N 为AB 的中点，所以AB PN ⊥. 又NCPN N =，所以AB ⊥平面PNC ，又PC ⊂平面PNC ，所以AB PC ⊥.（2）由（1）知P N A B⊥.又平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ，所以PN ⊥平面ABCD ，以N 为坐标原点，分别以NB ，NC ，NP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)B，C ，(0,0,0)N，P，(D -，(M -， 设平面MNC 的一个法向量为(,,)n x y z =，可得00n NC n NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得3,0,12n ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， 由（1）知AB ⊥平面PNC ，则取平面PNC 的一个法向量(1,0,0)m =，21cos ,7m n m n m n⋅<>==，故二面角M NC P --.19.【解】（1）由题得蜜柚质量在[1750,2000)和[2000,2250)的比例为2:3，∴分别抽取2个和3个.记抽取质量在[1750,2000)的蜜柚为1A ，2A ，质量在[2000,2250)的蜜柚为1B ，2B ，3B ， 则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下10种：12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B ，其中质量小于2000克的仅有12A A 这1种情况，故所求概率为110. （2）方案A 好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[1500,1750)的频率为2500.00040.1⨯=，同理，蜜柚质量在[1750,2000)，[2000,2250)，[2250,2500)，[2500,2750)，[2750,3000]的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，若按方案A 收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，于是总收益为1500175017502000(50050022++⨯+⨯200022507502++⨯22502500250027502000100022+++⨯+⨯27503000250)4010002++⨯⨯÷250250[(67)2(78)22=⨯⨯+⨯++⨯(89)3(910)8(1011)4++⨯++⨯++⨯(1112)1]401000++⨯⨯÷2550[2630511528423]=⨯+++++457500=（元）， 若按方案B 收购：∵蜜柚质量低于2250克的个数为(0.10.10.3)50001750++⨯=， 蜜柚质量低于2250克的个数为500017503250-=，∴收益为175060325080⨯+⨯25020[73134]365000=⨯⨯⨯+⨯=元， ∴方案A 的收益比方案B 的收益高，应该选择方案A . 20.解：（1）由c e a ==2234a c =，再由222c a b =-，得2a b =， 由题意可知，12242a b ⨯⨯=，即2ab =. 解方程组22a b ab =⎧⎨=⎩得2a =，1b =，所以椭圆的方程为2214x y +=. （2）由（1）可知(2,0)A -.设B 点的坐标为11(,)x y ，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(2)y k x =+，于是A ，B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 由方程组消去y 整理，得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=，由212164214k x k --=+，得2122814k x k -=+，从而12414ky k =+. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为22282(,)1414k kk k-++. 以下分两种情况：（1）当0k =时，点B 的坐标为(2,0).线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是0(2,)QA y =--，0(2,)QB y =-，由4QA QB ⋅=，得0y =±.（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为222218()1414k k y x k k k -=-+++. 令0x =，解得02614ky k =-+.由0(2,)QA y =--，110(,)QB x y y =-，10102()QA QB x y y y ⋅=---222222(28)646()14141414k k k kk k k k --=++++++ 42224(16151)4(14)k k k +-==+.整理得272k =，故k =0y =综上0y =±0y =21.（1）证明：22()2ln 2222a a a a f a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭， 令2a t =，32()2ln 2()2a f t t g t t =-+=，10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 2222221'()6(1)60g t t t t t t t=--=--<， ()g t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，1111()()2ln 442ln 202244g t g >=-+=-->，所以原命题成立.（2）由22()2ln a f x x ax x =-+222ln (0)a x ax x x =-+>有三个零点可得 ()ln (0)ah x x ax x x=-+>有三个零点，22'()(0)ax x ah x x x-+-=>， ①当0a ≤时，'()0h x >恒成立，可得()h x 至多有一个零点，不符合题意；②当12a ≥时，'()0h x ≤恒成立，可得()h x 至多有一个零点，不符合题意； ③当102a <<时，记2()(0)x ax x a x ϕ=-+->得两个零点为1x ，2x ，不妨设120x x <<，且121x x ⋅=，1(0,)x x ∈时，'()0h x <；12(,)x x x ∈时，'()0h x >；2(,)x x ∈+∞时'()0h x <，观察可得(1)0h =，且121x x <<，当12(,)x x x ∈时，'()0h x >；()h x 单调递增， 所以有12()(1)()h x h h x <<，即12()0()h x h x <<，1(0,)x x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减， 2(,)x x ∈+∞时'()0h x <，()h x 单调递减，由（1）知，0h >，且1()0h x <，所以()h x 在1x ⎫⎪⎪⎭上有一个零点， 由lim ()x h x →+∞→-∞，且2()0h x >，所以()h x 在2(,)x +∞上有一个零点，综上可知()ln (0)ah x x ax x x =-+>有三个零点， 即22222()2ln ln (0)a a f x x ax x ax x x x=-+=-+>有三个零点，所求a 的范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.【解】（1）由6cos ρθ=，得26cos ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y x +=， 即22(3)9x y -+=.（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得2(2sin 2cos )70t t αα+--=， 因为0∆>，可设1t ，2t 是上述方程的两根，所以122(cos sin )t t αα+=-，127t t =-， 又因为(2,1)为直线所过定点， ∴1212PA PB t t t t +=+=-==≥=+的最小值为所以PA PB。
成都外校2016-2017高二下期末考数学(理)(含答案)
成都外校2018届高二期末考试数学（理）一、选择题1、已知集合{}2|540A x N x x =∈-+≤，{}2|40B x x =-=，下列结论成立的是（ ）A ．B A ⊆ B ．A B A =C ．A B A=D ．{}2A B =2、若复数z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i - B ．1i +C ．1i--D ．1i -+3、已知()21xx f x =-，()2xg x =则下列结论正确的是 A ．()()()h x f x g x =+是偶函数 B ．()()()h x f x g x =+是奇函数 C ．()()()h x f x g x =是奇函数 D ．()()()h x f x g x =是偶函数4、运行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．0B ．12 C. -1 D ．32- 5、已知函数()()22sin ,,123f x x x ππωϕ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦的图象如图所示，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则()12f x x +的值为 （ ）A ．． 0 6、设(){},|0,01A x y x m y =<<<<， s 为()e 1n+的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），m ,若任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是( )A ．2e B ．1eC ．e 2e -D ．e 1e -7、设实数x ，y 满足约束条件3240,40,20,x y x ay x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩已知2z x y =+的最大值是7，最小值是26-，则实数a 的值为（ ）A ．6B ．6-C ．1-D ．18、 已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（ ）A ． 2B ．3 C.52 D ．729、集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ） A ．16625 B ．96625 C ．624625 D ．462510、设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、 ，其焦距为2c ，点,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且1125PF PQ F F +<恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．15⎛ ⎝⎭ B．14⎛ ⎝⎭C. 13⎛ ⎝⎭D．25⎛ ⎝⎭ 11、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 （ ）A ．1235π B ．1243π C. 1534π D ．1615π12、已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥．B.000,0,()0a x f x ∃>∃>≤.C. 0,0,()0a x f x ∀>∀>≥D.000,0,()0a x f x ∃>∃>≥二．填空题13、等比数列{}n a 中，1473692,18a a a a a a ++=++=，则{}n a 的前9项和9S = ．14、 已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．15、 已知双曲线221y x m-=的左右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线交双曲线右支于,A B 两点，若1ABF ∆是以A 为直角顶点的等腰三角形，则12AF F ∆的面积为 ．16、 已知△ABC 是半径为5的圆O 的内接三角形，且4tan 3A =，若(,)AO xAB yAC x y R =+∈，则x y + 的取值范围是 ．三、解答题17、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin()2sin ()24C A B π-=-．（Ⅰ）求sin cos A B 的值；（Ⅱ）若a b =B ．18、 “中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30），[30,40），[40,50），[50,60），[60,70），[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在[40,70）的人数； （2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40）的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30,40）的人数X 的分布列及数学期望．19、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M—AC—B的大小为β，求sinα·cosβ的值.=与圆M：20.如图，已知抛物线E：2y x222r>）相交于A、B、C、D四个-+=（0(4)x y r点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．21. 设函数()()2,1(x f x e g x kx k ==+∈R ）.（1）若直线()=y g x 和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.22.选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l的参数方程为11x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-．（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知与直线l 平行的直线l '过点()2,0M ，且与曲线C 交于,A B 两点，试求AB ．成都外校2018届高二期末考理科数学答案1-12：DAABC C DCBB DC13、1426或 14、π 15、4- 16、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-85,17.解：（Ⅰ）sin()1cos()2A B C π-=--1sin C =-1sin()A B =-+，故2sin cos 1A B =，∴1sin cos 2A B =．（Ⅱ）由正弦定理得sin sin A a B b ==由（Ⅰ）知1sin cos cos 22A B B B B ===，∴sin 22B = ∴23B π=或23π， ∴6B π=或3π．18.【解析】（1）由频率分布直方图知年龄在[40,70）的频率为（0．020+0．030+0．025）⨯10 = 0．75，所以40名读书者中年龄分布在[40,70）的人数为40⨯0.75 = 30． (2)分（3）年龄在[)2030，的读书者有2人，年龄在[)3040，的读书者有4人，设年龄在[)3040，的读书者人数为X, X的所有可能取值是0，1，2，2024261(0)=15C C P x C ⋅==，112428(1)=15C C P x C ⋅==，022422(2)=5C C P x C ⋅==，X 的分布列如下： 数学期望EX =1824(0)0+1+2=151553P x ==⋅⋅⋅.19.（1）证明：连结OM ，在△PBD 中，OM ∥PB ，OM ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ， 故PB ∥平面ACM；（4分）（2）取DO 的中点N ，连结MN ，AN ，则MN ∥PO ，∵PO ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ， 故∠MAN =α为所求的直线AM 与平面ABCD 所成的角.∵1122MN PO ==，在Rt △ADO 中，DO =12AN DO ==，在Rt △AMN中， 3,4AM == ∴2sin 3MN AM α==，（8分） 取AO 的中点R ，连结NR ，MR ，∵NR ∥AD ，∴NR ⊥OA ，MN ⊥平面ABCD ， 由三垂线定理知MR ⊥AO ，故∠MRN 为二面角M —AC —B 的补角，即为π-β. ∵11,,22NR MN ==∴cos()cos πββ-=-， （11分）∴sin cos αβ=g （12分） 20.解：（Ⅰ）将抛物线E ：2y x =代入圆M ：222(4)x y r -+=（0r >）的方程， 消去2y ，整理得227160x x r -+-=，①E 与M有四个交点的充要条件是：方程①有两个不相等的正根1x ，2x ，由此得2212212(7)4(16)0,70,160,r x x x xr ⎧∆=--->⎪+=>⎨⎪=->⎩解得215164r <<， 又0r >，所以r 的取值范围为4)． （Ⅱ）设四个交点的坐标分别为1(A x ，1(,B x ，2(,C x ，2(D x ，则直线AC 、BD 的方程分别为121)y x x -=-，121)y x x =-，解得点P 的坐标为，设t =t =7(0,)2t ∈．由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积则212112||||2S x x x x =⋅⋅-=-，∴22121212()4(S x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦，将127x x +=t =代入上式，并令2()f t S =，得232()(72)(72)82898343f t t t t t t =+-=--++（702t <<）， ∴2'()2456982(27)(67)f t t t t t =--+=-+-，令'()0f t =，得76t =，或72t =-（舍去）． 当706t <<时，'()0f t >；当76t =时，'()0f t =；当7762t <<时，'()0f t <，故当且仅当76t =时，()f t 有最大值，即四边形ABCD 的面积最大，故所求的点P 的坐标为7(,0)6．21. 解：(1)设切点的坐标为()2,t t e ，由()2x f x e =得()2'2x f x e =，所以切线方程为()222t t y e e x t -=-，即()2212t t y e x t e =+-，由已知()22212t ty e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线， ()222,121tte k t e ∴=-=，令()()1xh x x e =-，则()'xh x xe =-，当(),0x ∈-∞时，()()'0,h x h x >单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，()()01h x h ∴≤=.当且仅当0x =时等号成立，0,2t k ∴==.（注明：若由函数()2x f x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图象相切于()0,1，得出022k e ==，得3分）(2) ①当2k >时，由（1）结合函数的图象知，存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2f x g x x ->，即()2210x k x e -+->，设()()()2221,'2x x t x k x e t x k x e =-+-=--，令()'0t x >得12ln 22k x -<，令()'0t x <得12ln 22k x ->.若()()0121224ln 0,0,ln ,,2222k k k x t x --⎛⎫<≤≤⊆+∞∴ ⎪⎝⎭在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，所以对任意的()00,x x ∈，都有()0t x <，与题设不符. 若()1212124,ln 0,0,ln ,ln ,222222k k k k t x ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在120,ln 22k -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ()00t = ，所以对任意的120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题设.此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.②当02k <≤时，由(1)结合函数的图象知()()22100,x e x x -+≥>()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥ ，对任意0x >都成立，()()2f x g x x ∴->等价于()2210xek x -+->.设()()221x x e k x ϕ=-+-，则()()2'22x x e k ϕ=-+，由()'0x ϕ>，得()12ln0,'022k x x ϕ+>><得()12ln ,22k x x ϕ+<∴在120,ln 22k +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，注意到()00ϕ=，所以对任意的120,ln 22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0x ϕ<，不符合题设.综上所述，k 的取值范围为()4,+∞.22.解析：（1）把直线l 的参数方程化为普通方程为)11y x =-+，∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴直线l cos sin 10θρθ-=， 由22cos 1cos θρθ=-，可得()221cos 2cos ρθρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =． （2）直线l 的倾斜角为3π，∴直线l '的倾斜角也为3π，又直线l '过点()2,0M ， ∴直线l '的参数方程为122x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数），将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，设点A B 、对应的参数分别为12,t t ''．由一元二次方程的根与系数的关系知1212164,33t t t t ''''=-+=， ∴'2'12'2'1'2'12)(t t t t t t AB -+=-==3134．。
四川省成都市2016-2017学年高三下学期入学数学试卷(理科)Word版含解析 (4)
四川省成都市2016-2017学年高三下学期入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知复数z满足z=，那么z的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|ax=1}，B={0，1}，若A⊆B，则由a的取值构成的集合为（）A．{1} B．{0} C．{0，1} D．∅3．设命题p：函数f（x）=tanx是其定义域上的增函数；命题q：函数g（x）=3x﹣3﹣x为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q4．最近，国家统计局公布：2015年我国经济增速为6.9%，创近25年新低．在当前经济增速放缓的情况下，转变经济发展方式，淘汰落后产能，寻找新的经济增长点是当务之急．为此，经济改革专家组到基层调研，由一幅反映某厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图初步了解到：某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则他们看到的图是（）A．B．C．D．5．在单位圆x2+y2=1内随机均匀产生一点（x，y），使得成立的概率是（）A．B．C．D．6．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为（）A．D、E、F B．F、D、E C．E、F、D D．E、D、F7．设a＞b＞1，c＜0，给出下列四个结论：①＞；②a c＞b c；③（1﹣c）a＜（1﹣c）b；④logb（a﹣c）＞loga（b﹣c）．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．命题：“∃b∈R，使直线y=﹣x+b是曲线y=x3﹣3ax的切线”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．9．恒过定点的直线mx﹣ny﹣m=0与抛物线y2=4x交于A，B，若m，n是从集合{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}中取出的两个不同元素，则使|AB|＜8的不同取法有（）A．30种B．24种C．18种D．12种10．如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则P﹣ABCD体积的最大值是（）A．B．16 C．48 D．144二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．二项式（2+x）n（n∈N*）的展开式中，二项式系数最大的是第4项和第5项，则n= ．12．已知sin（α+）=，则sin2α= ．13．双曲线的两渐近线与圆x2+y2﹣2ax+1=0没有公共点，则实数a的取值范围是．14．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…P 10，记m i =（i=1，2，3，…，10），则m 1+m 2+…+m 10的值为 ．15．函数f （x ）=min{2，|x ﹣2|}，其中min{a ，b}=，若动直线y=m 与函数y=f （x ）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．数列{a n }的各项全为正数，且在如图所示的算法框图图中，已知输入k=2时，输出；输入k=5时，输出．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和T n ．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．18．某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品．①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，求X的分布列和数学期望．19．将函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象，已知g（x）的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F（0，1），与x轴相交于点P，Q，点M为最高点，且△MPQ的面积为．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，g（A）=1，且a=，求△ABC面积的最大值．20．如图，长为m+1（m＞0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，点M是线段AB上的一点，且=m．（1）求点M的轨迹Γ的方程，并判断轨迹Γ为何种圆锥曲线；（2）设过点Q（，0）且斜率不为0的直线交轨迹Γ于C，D两点．设点P在x轴上，且恒满足=，试求点P的坐标．21．已知函数f（x）=（x+2）ln（x+1）﹣ax2﹣x（a∈R），g（x）=ln（x+1）．（Ⅰ）若a=0，F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求函数F （x ）的极值点及相应的极值；（Ⅱ）若对于任意x 2＞0，存在x 1满足x 1＜x 2且g （x 1）=f （x 2）成立，求a 的取值范围．四川省成都市2016-2017学年高三下学期入学试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知复数z 满足z=，那么z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出【解答】解：∵z===1+i ，∴=1﹣i ，在复平面上对应的点（1，﹣1）位于第一象限．故选：D ．【点评】本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．2．已知集合A={x|ax=1}，B={0，1}，若A ⊆B ，则由a 的取值构成的集合为（ ）A ．{1}B ．{0}C ．{0，1}D ．∅ 【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】当a=0时，集合A={x|ax=1}=∅，满足A ⊆B ，当a ≠0时，集合A={x|ax=1}={}，则=0，或=1，解对应方程后，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：当a=0时，集合A={x|ax=1}=∅，满足A ⊆B ；当a ≠0时，集合A={x|ax=1}={}， 由A ⊆B ，B={0，1}得：=0，或=1，=0无解，解=1得：a=1，综上由a的取值构成的集合为{0，1}故选：C．【点评】本题考查的知识点是集合的包谷关系判断及应用，其中易忽略a=0时，集合A={x|ax=1}=∅，满足A⊆B，而错选A．3．设命题p：函数f（x）=tanx是其定义域上的增函数；命题q：函数g（x）=3x﹣3﹣x为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据正切函数的图象和性质，判断命题p的真假；根据函数奇偶性的定义，判断命题q的真假，进而根据复合函数真假判断的真值表可得答案．【解答】解：函数f（x）=tanx是其定义域上不连续，不是增函数，即命题p为假命题；函数g（x）=3x﹣3﹣x满足g（﹣x）=﹣g（x），即函数g（x）=3x﹣3﹣x为奇函数，即命题q为真命题；故p∧q，p∧（￢q），（￢p）∧（￢q）均为假命题；只有（￢p）∧q为真命题；故选：D．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的图象和性质，正切函数的图象和性质，复合命题的真假判断，难度中档．4．最近，国家统计局公布：2015年我国经济增速为6.9%，创近25年新低．在当前经济增速放缓的情况下，转变经济发展方式，淘汰落后产能，寻找新的经济增长点是当务之急．为此，经济改革专家组到基层调研，由一幅反映某厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图初步了解到：某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则他们看到的图是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据年产量的增速判断总产量的增速，根据曲线的切线斜率大小变化进行判断．【解答】解：由于前3年年产量的增长速度越来越快，故当t≤3时，曲线的切线斜率逐渐增大，由于后3年年产量保持不变，故当3＜t＜6时，曲线的切线斜率不变，且总产量在增大，故选：A．【点评】本题考查了函数图象的意义，属于基础题．5．在单位圆x2+y2=1内随机均匀产生一点（x，y），使得成立的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】在单位圆x2+y2=1内随机均匀产生一点（x，y），其面积为1，使得成立，其区域为单位圆的，即可得出结论．【解答】解：在单位圆x2+y2=1内随机均匀产生一点（x，y），其面积为1，使得成立，其区域为单位圆的，其面积为，∴所求概率为．故选A．【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）÷N求解．6．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为（）A．D、E、F B．F、D、E C．E、F、D D．E、D、F【考点】棱柱的结构特征．【分析】本题可从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到各个面上的字母，即可求得结果．【解答】解：第一个正方体已知A，B，C，第二个正方体已知A，C，D，第三个正方体已知B，C，E，且不同的面上写的字母各不相同，则可知A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F．故选D．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的字母问题，此类问题可以制作一个正方体，根据题意在各个面上标上字母，再确定对面上的字母，本题是一个基础题．7．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列四个结论：①＞； ②a c ＞b c ；③（1﹣c ）a ＜（1﹣c ）b ； ④log b （a ﹣c ）＞log a （b ﹣c ）． 其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接利用不等式的性质判断①；由已知结合幂函数的单调性判断②；由已知结合指数函数的单调性判断③；由已知结合对数函数的性质判断④．【解答】解：a ＞b ＞1，c ＜0，对于①、由a ＞b ＞1，得，又c ＜0，得＞，故①正确；对于②、∵c ＜0，∴幂函数y=x c 在第一象限为减函数，又a ＞b ＞1，∴a c ＜b c ，故②错误；对于③、∵c ＜0，∴1﹣c ＞1，又a ＞b ，由指数函数的单调性可得（1﹣c ）a ＞（1﹣c ）b ，故③错误；对于④、∵c ＜0，∴﹣c ＞0，又a ＞b ＞1，则a ﹣c ＞b ﹣c ＞1， ∴log b （a ﹣c ）＞log b （b ﹣c ）＞log a （b ﹣c ），故④正确．∴正确的结论有2个． 故选：B ．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，考查基本初等函数的单调性，是中档题．8．命题：“∃b ∈R ，使直线y=﹣x+b 是曲线y=x 3﹣3ax 的切线”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意，存在实数a ，满足对任意的实数b ，直线y=﹣x+b 都不是曲线y=x 3﹣3ax 的切线．由直线y=﹣x+b 得直线斜率为﹣1，直线y=﹣x+b 不与曲线f （x ）相切知曲线f （x ）上任一点斜率都不为﹣1，即f′（x）≠﹣1，求导函数，并求出其范围[﹣3a，+∞），得不等式﹣3a＞﹣1，即得实数a的取值范围．【解答】解：由题意，存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线．设f（x）=x3﹣3ax，求导函数，可得f′（x）=3x2﹣3a∈[﹣3a，+∞），∵存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，∴﹣1∉[﹣3a，+∞），∴﹣3a＞﹣1，即实数a的取值范围为a＜故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．恒过定点的直线mx﹣ny﹣m=0与抛物线y2=4x交于A，B，若m，n是从集合{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}中取出的两个不同元素，则使|AB|＜8的不同取法有（）A．30种B．24种C．18种D．12种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】直线mx﹣ny﹣m=0恒过定点（1，0），为抛物线y2=4x的焦点，直线mx﹣ny﹣m=0与抛物线y2=4x联立，可得m2x2+（﹣2m2﹣4n2）x+m2=0，|AB|＜8时， +1＜8，结合条件列举，即可得出结论．【解答】解：直线mx﹣ny﹣m=0恒过定点（1，0），为抛物线y2=4x的焦点，直线mx﹣ny﹣m=0与抛物线y2=4x联立，可得m2x2+（﹣2m2﹣4n2）x+m2=0，∴|AB|＜8时， +1＜8，∴n2＜m2，∴n=﹣3时，m=±3，n=﹣2时，m=±3，±2，n=﹣1时，m=±3，±2，±1，n=0时，m=±3，±2，±1，共18种．故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．10．如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则P﹣ABCD体积的最大值是（）A．B．16 C．48 D．144【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】本题需要借助直二面角的相关知识研究三角形的几何特征，由题设条件知两个直角三角形△PAD与△PBC是相似的直角三角形，可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足为D，令AD=t，将四棱锥的体积用t表示出来，由二次函数求最值可得出正确选项．【解答】解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．作PM⊥AB，垂足为M，则PM⊥β，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB=2PA，∴PA2﹣t2=4PA2﹣（6﹣t）2 ，解得PA2=12﹣4t．∴PM=，即四棱锥的高为，底面为直角梯形，S==36∴四棱锥P﹣ABCD的体积V==12=48，即四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为48，故选C．【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解答本题，关键是将由题设条件得出三角形的性质、：两邻边的值有2倍的关系，第三边长度为6，引入一个变量，从而利用函数的最值来研究体积的最值，是将几何问题转化为代数问题求解的思想，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．二项式（2+x）n（n∈N*）的展开式中，二项式系数最大的是第4项和第5项，则n= 7 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式系数的性质，可得展开式共有8项，从而求得n的值．【解答】解：由于二项式（2+x）n（n∈N*）的展开式中，二项式系数最大的是第4项和第5项，故展开式共有8项，故n=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题．12．已知sin（α+）=，则sin2α= ．【考点】二倍角的正弦．【分析】首先利用两角和与差公式将已知条件展开，然后两边平方和sin2α+cos2α=1，得出2sinαcosα的值，从而由二倍角公式得出答案．【解答】解：∵sin（α+）=（sinα+cosα）=∴两边平方得， =∴2sinαcosα=﹣故sin2α=故答案为：﹣【点评】本题主要考查了两角和与差公式和二倍角公式，熟练掌握相关公式是解题的关键．13．双曲线的两渐近线与圆x2+y2﹣2ax+1=0没有公共点，则实数a的取值范围是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的两渐近线方程、圆x2+y2﹣2ax+1=0的圆心坐标、半径，利用点到直线的距离公式，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：双曲线的两渐近线方程为y=±x，圆x2+y2﹣2ax+1=0的圆心坐标为（a，0），半径为，∵双曲线的两渐近线与圆x 2+y 2﹣2ax+1=0没有公共点，∴圆心到直线的距离d=＞，∴a ∈，故答案为．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．14．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…P 10，记m i =（i=1，2，3，…，10），则m 1+m 2+…+m 10的值为180 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A 为坐标原点，AC 1所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得B 2（3，），B 3（5，），C 3（6，0），求出直线B 3C 3的方程，可设P i （x i ，y i ），可得x i +y i =6，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【解答】解：以A 为坐标原点，AC 1所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得B 2（3，），B 3（5，），C 3（6，0），直线B 3C 3的方程为y=﹣（x ﹣6），可设P i （x i ，y i ），可得x i +y i =6，即有m i ==3x i +y i=（x i +y i ）=18，则m 1+m 2+…+m 10=18×10=180． 故答案为：180．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．15．函数f （x ）=min{2，|x ﹣2|}，其中min{a ，b}=，若动直线y=m 与函数y=f （x ）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3最大值为 1 ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由f （x ）表达式作出函数f （x ）的图象，由图象可求得符合条件的m 的取值范围，不妨设0＜x 1＜x 2＜2＜x 3，通过解方程可用m 把x 1，x 2，x 3分别表示出来，利用基本不等式即可求得x 1x 2x 3的最大值．【解答】解：作出函数f （x ）的图象如图所示：由，解得A （4﹣2，2﹣2），由图象可得，当直线y=m 与f （x ）图象有三个交点时m 的范围为：0＜m ＜2﹣2．不妨设0＜x 1＜x 2＜2＜x 3，则由2=m 得x 1=，由|x 2﹣2|=2﹣x 2=m ，得x 2=2﹣m ，由|x 3﹣2|=x 3﹣2=m ， 得x 3=m+2，且2﹣m ＞0，m+2＞0，∴x 1x 2x 3=（2﹣m ）（2+m ）=m 2（4﹣m 2）≤==1，当且仅当m 2=4﹣m 2．即m=时取得等号，∴x 1x 2x 3存在最大值为1． 故答案为：1．【点评】本题考查函数与方程的综合运用，考查基本不等式在求函数最值中的应用，考查数形结合思想，考查学生综合运用知识分析解决新问题的能力，难度较大．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．数列{a n }的各项全为正数，且在如图所示的算法框图图中，已知输入k=2时，输出；输入k=5时，输出．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】程序框图．【分析】（Ⅰ）模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的S 是什么，然后由已知，利用S 的表达式，列出方程组求出a 1和d ，即可求出a n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求b n ，利用等比数列的求和公式即可得解．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）由框图知：当k=2时， ⇒a 1a 2=3①；当k=5时，，即==，所以a 1a 5=9②由①②得，所以，可得：．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，也考查了数列求和的应用问题，考查了方程组的解法与应用问题，是综合题．17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且∠DAB=60°．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA=PD=AD ，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF．（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．又因为AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，所以AB∥面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF．…解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．因为PA=PD，所以PG⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．在菱形ABCD中，因为AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，所以AD⊥GB．如图，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．设PA=PD=AD=2a，则G（0，0，0），A（a，0，0），．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以，．所以，．设平面AFE的法向量为n=（x，y，z），则有所以令x=3，则平面AFE的一个法向量为．因为BG⊥平面PAD，所以是平面PAF的一个法向量．因为，所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…【点评】本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品．①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图能分别求出第三，四，五组的频率．（Ⅱ）①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到=3个，而第三组共有30个，由此能求出甲乙两产品同时被选中的概率．②第四组共有X个产品被购买，由题意知X的取值为0，1，2，分别求出P（X=0），P（X=1），P（x=2），由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3，第四组的频率是0.100×2=0.2，第五组的频率是0.050×2=0.1．…（Ⅱ）①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5=3个，而第三组共有100×0.3=30个，∴甲乙两产品同时被选中的概率为p==．…②第四组共有X个产品被购买，∴X的取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（x=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2P…EX==．…【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用．19．将函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象，已知g（x）的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F（0，1），与x轴相交于点P，Q，点M为最高点，且△MPQ的面积为．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，g（A）=1，且a=，求△ABC面积的最大值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）由题意可知g（x）=2sin[ω（x﹣）+φ]，根据三角形的面积公式，即可求出T，再根据于g（0）=1，求出φ，问题得以解决，（Ⅱ）先根据g（A）=1，求出A，再根据余弦定理和三角形面积公式，即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知g（x）=2sin[ω（x﹣）+φ]，=2|PQ|=，则|PQ|==，由于S△ABC∴T=π，即ω=2，又由于g（0）=2sin（φ﹣）=1，且﹣＜φ﹣＜，则φ﹣=，∴φ=，即g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x+）．（Ⅱ）g（A）=2sin（2A+）=1，2A+∈（，）则2A+=，∴A=，由余弦定理得b2+c2﹣2bccos A=a2=5，∴5=b2+c2﹣bc≥bc，∴S△ABC=bcsin A≤，当且仅当b=c=时，等号成立，故S△ABC的最大值为．【点评】本题考查了三角形函数的解析式的求法和余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．20．如图，长为m+1（m＞0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，点M是线段AB上的一点，且=m．（1）求点M的轨迹Γ的方程，并判断轨迹Γ为何种圆锥曲线；（2）设过点Q（，0）且斜率不为0的直线交轨迹Γ于C，D两点．设点P在x轴上，且恒满足=，试求点P的坐标．【考点】轨迹方程．【分析】（1）先确定A，B满足的方程，再利用=m，确定M与A，B坐标之间的关系，代入可求点M 的轨迹Γ的方程，分类讨论，可判断轨迹Γ为何种圆锥曲线；（2）设直线CD的方程为x=ty+，代入轨迹Γ的方程为x2+=1消去x并化简整理，利用韦达定理，利用=，可得kPC +kPD=0，即可得出结论．【解答】解：（1）设A 、B 、M 的坐标分别为（x 0，0）、（0，y 0）、（x ，y ），则x 02+y 02=（m+1）2，①由=m，得（x ﹣x 0，y ）=m （﹣x ，y 0﹣y ），∴x ﹣x 0=﹣mx ，y=m （y 0﹣y ），∴x 0=（m+1）x ，y 0=y②…将②代入①，得（m+1）2x 2+（）2y 2=（m+1）2，化简即得点M 的轨迹Γ的方程为x 2+=1（m ＞0）．… 当0＜m ＜1时，轨迹Γ是焦点在x 轴上的椭圆； 当m=1时，轨迹Γ是以原点为圆心，半径为1的圆； 当m ＞1时，轨迹Γ是焦点在y 轴上的椭圆． …（2）依题意，设直线CD 的方程为x=ty+，代入轨迹Γ的方程为x 2+=1消去x 并化简整理，得（m 2t 2+1）y 2+m 2ty ﹣m 2=0，△=m 4t 2+3m 2（m 2t 2+1）＞0，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣． ③…设定点P （a ，0），若=，则=，∴sin ∠CPQ=sin ∠DPQ ， 即直线PC 、PD 的倾斜角互补，∴k PC +k PD =0，…即=0，∵x 1=ty 1+，x 2=ty 2+，∴=0， 化简，得4ty 1y 2+（1﹣2a ）（ y 1+y 2）=0． ④…将③代入④，得=0，即2m 2t （2﹣a ）=0，∵m ＞0，∴t （2﹣a ）=0， ∵上式对∀t ∈R 都成立，∴a=2． 故定点P 的坐标为（2，0）．…【点评】本题考查代入法求轨迹方程，考查向量知识，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查韦达定理的运用，属于难题．21．已知函数f （x ）=（x+2）ln （x+1）﹣ax 2﹣x （a ∈R ），g （x ）=ln （x+1）． （Ⅰ）若a=0，F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求函数F （x ）的极值点及相应的极值；（Ⅱ）若对于任意x 2＞0，存在x 1满足x 1＜x 2且g （x 1）=f （x 2）成立，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求函数F （x ）的极值点及相应的极值；（Ⅱ）问题转化为，在（0，+∞）上恒成立，再分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=（x+1）ln （x+1）﹣x ，F′（x ）=ln （x+1），x ∈（﹣1，0）F′（x ）＜0，F （x ）为减函数；x ∈（0，+∞），F′（x ）＞0，F （x ）为增函数，所以F （x ）只有一个极小值点x=0，极小值为0．…（Ⅱ） 设依题意即求 G （x ）在（﹣1，x 2）上存在零点时a 的取值范围． 又当x→﹣1时，G （x ）→﹣∞，且G （x ）在定义域内单调递增， 所以只需要G （x 2）＞0在（0，+∞）上恒成立．即，在（0，+∞）上恒成立．即，在（0，+∞）上恒成立．…1°若a=0，显然不成立，因为由第一问知F（x）=（x+1）ln（x+1）﹣x在（0，+∞）为增函数，故F（x）＞F（0）=0；2°∵x+1＞0，即在（0，+∞）恒成立，不妨设，x∈（0，+∞），，…若a＜0，则，若x＞0，h′（x）＞0，所以h（x）为增函数，h（x）＞h（0）=0（不合题意），若，若，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（x）＞h（0）=0（不合题意），若，若x∈（0，+∞），h′（x）＜0，h（x）为减函数，h（x）＜h（0）=0（符合题意），综上所述，若x＞0时，h（x）＜0f（x）＜0恒成立，则．…【点评】本小题主要考查函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。
2016-2017学年四川省成都外国语学校高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年四川省成都外国语学校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分，请将答案涂在答题卷上）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x|x2﹣4＝0}，下列结论成立的是（）A．B⊆A B．A∪B＝A C．A∩B＝A D．A∩B＝{2} 2．（5分）若复数z满足＝i2017，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）已知，则下列结论正确的是（）A．h（x）＝f（x）+g（x）是偶函数B．h（x）＝f（x）+g（x）是奇函数C．h（x）＝f（x）g（x）是奇函数D．h（x）＝f（x）g（x）是偶函数4．（5分）运行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．0B．C．﹣1D．5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈[﹣，]的图象如图所示，若f（x1）＝f（x2），且x1≠x2，则f（x1+x2）的值为（）A．0B．1C．D．6．（5分）设A＝{（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}，s为（e+1）n的展开式的第一项（e为自然对数的底数），m＝，若任取（a，b）∈A，则满足ab＞1的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）设实数x，y满足约束条件，已知z＝2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，则实数a的值为（）A．6B．﹣6C．﹣1D．18．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n＝2n﹣1+k，则f（x）＝x3﹣kx2﹣2x+1的极大值为（）A．2B．C．3D．9．（5分）箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q（c，）在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）＝x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（）A．∃a＞0，∀x＞0，f（x）≥0B．∃a＞0，∃x＞0，f（x）≤0C．∀a＞0，∀x＞0，f（x）≥0D．∀a＞0，∃x＞0，f（x）≤0二．填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分，请把答案填在答题卷上）13．（5分）等比数列{a n}中，a1+a4+a7＝2，a3+a6+a9＝18，则{a n}的前9项和S9＝．14．（5分）已知ω＞0，在函数y＝sinωx与y＝cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点间的距离为，则ω值为．15．（5分）已知双曲线x2﹣＝1的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，则△AF1F2的面积为．16．（5分）已知△ABC是半径为5的圆O的内接三角形，且，若，则x+y的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求sin A cos B的值；（Ⅱ）若，求B．18．（12分）“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家．”这个论断被各种媒体反复引用．出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在[40，70）的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20，40）的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30，40）的人数X的分布列及数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD ＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝1，M为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M﹣AC﹣B的大小为β，求sinαcosβ的值．20．（12分）如图，已知抛物线E：y2＝x与圆M：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．21．（12分）设函数f（x）＝e2x，g（x）＝kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若直线y＝g（x）和函数y＝f（x）的图象相切，求k的值；（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x 恒成立，求k的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（12分）平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知与直线l平行的直线l'过点M（2，0），且与曲线C交于A，B两点，试求|AB|．2016-2017学年四川省成都外国语学校高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分，请将答案涂在答题卷上）1．【解答】解：由A中不等式解得：1≤x≤4，x∈N，即A＝{1，2，3，4}，由B中方程解得：x＝2或x＝﹣2，即B＝{﹣2，2}，∴A∪B＝{﹣2，1，2，3，4}，A∩B＝{2}，故选：D．2．【解答】解：由＝i2017，得，∴z＝1﹣i，故选：A．3．【解答】解：h（x）＝f（x）+g（x）＝+＝，h（﹣x）＝＝﹣＝h（x），∴h（x）＝f（x）+g（x）是偶函数；h（x）＝f（x）g（x）无奇偶性，故选：A．4．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝cos+cos+…+cos的值．由于2017＝336×6+1，利用余弦函数的周期性可得：S＝cos+cos+…+cos＝cos＝．故选：B．5．【解答】解：根据函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈[﹣，]的图象知，＝﹣（﹣）＝，∴T＝π，∴ω＝＝2；又x＝﹣，2×（﹣）+φ＝0，解得φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+）；又f（x1）＝f（x2），且x1≠x2，不妨令x1＝0，得x2＝，∴x1+x2＝，∴f（x1+x2）＝2sin（2×+）＝1．故选：B．6．【解答】解：由题意，s＝，∴m＝＝，则A＝{（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}＝{（x，y）|0＜x＜e，0＜y ＜1}，画出A＝{（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面区域，任取（a，b）∈A，则满足ab＞1的平面区域为图中阴影部分，如图所示：计算阴影部分的面积为S阴影＝＝（x﹣lnx）＝e﹣1﹣lne+ln1＝e﹣2．所求的概率为P＝，故选：C．7．【解答】解：先作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：∵z＝2x+y的最大值是7，最小值是﹣26，∴作出2x+y＝7和2x+y＝﹣26的图象，由图象知2x+y＝7与x﹣y﹣2＝0相交于A，2x+y＝﹣26与3x﹣2y+4＝0相交于B，由得，即A（3，1），由得，即B（﹣8，﹣10），∵A同时在直线x+ay﹣4＝0上，∴3+a﹣4＝0得a＝1，故选：D．8．【解答】解：根据S n＝2n﹣1+k，得到a1＝k，S n﹣1＝2n﹣2+k，∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（2n﹣1+k）﹣（2n﹣2+k）＝2n﹣1﹣2n﹣2＝2n﹣2（2﹣1）＝2n﹣2，n≥2，再根据{a n}是等比数列，所以{a n}是以为首项，2为公比的等比数列，则k的值为﹣，f（x）＝x3+x2﹣2x+1，f′（x）＝3x2+x﹣2＝（3x﹣2）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）的极大值是f（﹣1）＝．故选：B．9．【解答】解：由题意知首先做出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C62＝15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有（1，4）（3，4），（2，4）（2，6）（4，5）（4，6），∴摸一次中奖的概率是＝，4个人摸奖．相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是，∴有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是×（）3×＝，故选：B．10．【解答】解：∵点Q（c，）在椭圆的内部，∴，⇒2b2＞a2⇒a2＞2c2．|PF1|+|PQ|＝2a﹣|PF2|+|PQ|又因为﹣|QF2|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|＝，要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c，，则椭圆离心率的取值范围是（，）．故选：B．11．【解答】解：由已知可得：该几何体是一个三棱锥，其底面如俯视图所示，由余弦定理可得：cos B＝，故sin B＝，由正弦定理得：底面外接圆半径r＝，棱锥的一条长4的侧棱与底面垂直，故该几何体的外接球的半径R2＝＝，故该几何体的外接球的表面积S＝4πR2＝，故选：D．12．【解答】解：∵f（x）＝x2（1nx﹣a）+a，x＞0，∴f′（x）＝x（21nx﹣2a+1），令f′（x）＝0，解得x＝，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＝，函数有最小值，最小值为f（）＝e2a﹣1+a ∴f（x）≥f（）＝e2a﹣1+a，若f（x）≥0恒成立，只要e2a﹣1+a≥0，设g（a）＝e2a﹣1+a，∴g′（a）＝1﹣e2a﹣1，令g′（a）＝0，解得a＝当a∈（，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，当x∈（0，）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增∴g（a）＜g（）＝0，∴e2a﹣1+a≤0，当且仅当a＝时取等号，存在唯一的实数a＝，使得对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0，故A，B，D正确，当a≠时，f（x）＜0，故C错误故选：C．二．填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分，请把答案填在答题卷上）13．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a1+a4+a7＝2，a3+a6+a9＝18，得，∴q＝±3．当q＝﹣3时，a2+a5+a8＝﹣6，S9＝a1+a2+…+a9＝2﹣6+18＝14；当q＝3时，a2+a5+a8＝6，S9＝a1+a2+…+a9＝2+6+18＝26．故答案为：14或26．14．【解答】解：由题意可得＝，＝，∴ω＝π，故答案为：π．15．【解答】解：双曲线x2﹣＝1焦点在x轴上，a＝1，2a＝2，设丨AF2丨＝m，由丨AF1丨﹣丨AF2丨＝2a＝2，∴丨AF1丨＝2+丨AF2丨＝2+m，又丨AF1丨＝丨AB丨＝丨AF2丨+丨BF2丨＝m+丨BF2丨，∴丨BF2丨＝2，又丨BF1丨﹣丨BF2丨＝2，丨BF1丨＝4，根据题意丨BF1丨＝丨AF1丨，即4＝（2+m），m＝2（﹣1），丨AF1丨＝2，△AF1F2的面积S＝•丨AF2丨•丨AF1丨＝×2（﹣1）×2＝4﹣2，△AF1F2的面积4﹣2，故答案为：4﹣2．16．【解答】解：延长AO与BC相交于点D，作OA1∥DA2∥AB，OB1∥DB2∥AC，设设＝m+n（m＞0，n＞0），（m＞0，n＞0），易知x＞0，y＞0，则：推出＝＝，∴＝x•+y•，又B、D、C三点共线，∴x•+y•＝1，∴x+y＝＝，所以：只需最小，就能使x+y最大，∴当OD最小即可，过点O作OM⊥BC于点M，从而OD≥OM，又∠BOM＝∠BAC＝θ，由tan A＝，得cosθ＝＝，∴OM＝3，那么x+y≤＝，故答案为：（﹣∞，]三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（Ⅰ）已知．则：＝1﹣sin C＝1﹣sin（A+B），故2sin A cos B＝1，∴．（Ⅱ）由正弦定理得，由（Ⅰ）知，∴，∴或，∴或．18．【解答】解：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10＝0.75，所以40 名读书者中年龄分布在[40，70）的人数为40×0.75＝30．（2）40 名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1＝54．设中位数为x，由于频率＝＝10×（0.005+0.010+0.020+×0.030），则x＝50+＝55，即40名读书者年龄的中位数为55．（3）年龄在[20，30）的读书者有2人，年龄在[30，40）的读书者有4人，所以X的所有可能取值是0，1，2．，，P（X＝2）＝＝．X的分布列如下：数学期望EX＝0×++2×＝．19．【解答】证明：（Ⅰ）连结OM，在△PBD中，∵O为AC的中点，M为PD的中点．∴OM∥PB，∵OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM；（4分）解：（2）取DO的中点N，连结MN，AN，则MN∥PO，∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∴∠MAN＝α为所求的直线AM与平面ABCD所成的角．∵MN＝PO＝，在Rt△ADO中，∵DO＝＝，AN＝DO＝，在Rt△AMN中，AM＝＝，∴sinα＝，（8分）取AO的中点R，连结NR，MR，∵NR∥AD，∴NR⊥OA，MN⊥平面ABCD，由三垂线定理知MR⊥AO，故∠MRN为二面角M﹣AC﹣B的补角，即为π﹣β．∵NR＝，MN＝，∴cos（π﹣β）＝﹣cosβ＝，（11分）∴sinαcosβ＝＝﹣．（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2＝x代入圆M：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2＝0（1）抛物线E：y2＝x与圆M：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣＝•（x﹣x 1），y+＝（x ﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2＝7，x1x2＝16﹣r2，则∴令，则S2＝（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t＝14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．21．【解答】解：（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），由f（x）＝e2x得f′（x）＝2e2x，∴切线方程为y﹣e2t＝2e2t（x﹣t），即y＝2e2t x+（1﹣2t）e2t，由已知y＝2e2t x+（1﹣2t）e2t和y＝kx+1为同一条直线，∴2e2t＝k，（1﹣2t）e2t＝1，令h（x）＝（1﹣x）e x，则h′（x）＝﹣xe x，当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（0）＝1，当且仅当x＝0时等号成立，∴t＝0，k＝2，（Ⅱ）①当k＞2时，由（Ⅰ）知：存在x＞0，使得对于任意x∈（0，x0），都有f（x）＜g（x），则不等式|f（x）﹣g（x）|＞2x等价于g（x）﹣f（x）＞2x，即（k﹣2）x+1﹣e2x＞0，设t（x）＝（k﹣2）x+1﹣e2x，t′（x）＝k﹣2﹣2e2x，由t′（x）＞0，得：x＜ln，由t′（x）＜0，得：x＞ln，若2＜k≤4，ln≤0，∵（0，x0）⊆（ln，+∞），∴t（x）在（0，x0）上单调递减，注意到t（0）＝0，∴对任意x∈（0，x0），t（x）＜0，与题设不符，若k＞4，ln＞0，（0，ln）⊆（﹣∞，ln），∴t（x）在（0，ln）上单调递增，∵t（0）＝0，∴对任意x∈（0，ln），t（x）＞0，符合题意，此时取0＜m≤min{x0，ln}，可得对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x，②当0＜k≤2时，由（Ⅰ）知e2x﹣（2x+1）≥0，（x＞0），f（x）﹣g（x）＝e2x﹣（2x+1）+（2﹣k）x≥（2﹣k）x≥0对任意x＞0都成立，∴|f（x）﹣g（x）|＞2x等价于e2x﹣（k+2）x﹣1＞0，设φ（x）＝e2x﹣（k+2）x﹣1，则φ′（x）＝2e2x﹣（k+2），由φ′（x）＞0，得x＞ln＞0，φ′（x）＜0得x＜ln，∴φ（x）在（0，ln）上单调递减，注意到φ（0）＝0，∴对任意x∈（0，ln），φ（x）＜0，不符合题设，综上所述，k的取值范围为（4，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】.解：（1）直线l的参数方程可化为（t为参数），消去t可得直线的普通方程为y＝+1，又∵，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣+1＝0，由ρ＝可得ρ2（1﹣cos2θ）＝2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝2x．（2）直线l的倾斜角为，∴直线l′的倾斜角也为，又直线l′过点M（2，0），∴直线l′的参数方程为（t′为参数），将其代入曲线C的直角坐标方程可得3t′2﹣4t′﹣16＝0，设点A，B对应的参数分别为t′1，t′2，由一元二次方程的根与系数的关系知t1′t2′＝﹣，t1′+t2′＝，∴AB|＝|t1′﹣t2′|＝＝．。
四川省成都市第七中学2016届高三迎二诊模拟数学(理)试题 含答案
成都七中2016届二诊模拟试题数学（理工农医类）命题：高三理科数学命题组 审题：高三理科数学命题组一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1。
已知集合2{| 20}A x xx =--≤,={|1,}B x x x Z <∈，则A B =（ )A 。
[)1,1-B 。
[]1,2-C 。
{}1,0-D 。
{}0,12。
在复平面上，复数2i i+的共轭复数对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限 C 。
第三象限 D. 第四象限3。
设,a b 为两个非零向量,则“a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的( )A 。
充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C 。
充要条件 D. 既不充分也不必要条件4。
设a b 、是两条不同的直线,αβ、是两个不同的平面,则下面四个命题中错误．．的是( ）A. 若,,a b a b αα⊥⊥⊄ ,则b //αB. 若,,a b a b αβ⊥⊥⊥ ,则αβ⊥ C 。
若,a βαβ⊥⊥ ，则a //α或 a α⊆ D 。
若 a //,ααβ⊥ ，则a β⊥5。
设双曲线221 x y m n+=的离心率为2，且一个焦点与抛物线218y x =的焦点相同,则此双曲线的方程为（ )A ．2213x y -=B ．2213x y -=C ．221124x y -=D ．221124y x -=6.某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为（ ） A。
32B 。
327C.64D.6477.如图所示的程序框图中，若2()1f x x x =-+，()4g x x =+,且()h x m ≥恒成立,则m 的最大值是（ ) A 。
4B 。
3C 。
1D 。
8。
为了缓解二诊备考压力，双流中学高三某6个班级从双流区“棠湖公园"等6个不同的景点中任意选取一个进行春游活动,其中1班、2班不去同一景点且均不去“棠湖公园”的不同的安排方式有多少种( ）A ．2456A B ．2456C C ．2454A A D ．2454CA 9。
四川省成都市2016-2017学年高三下学期入学数学试卷(理科)Word版含解析
四川省成都市2016-2017学年高三下学期入学试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i2．已知，，则sin（α+π）等于（）A．B． C．D．3．已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），与的夹角为60°，则直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．随α，β的值而定4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．10 B．24 C．44 D．705．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=+，且∠A=75°，则b=（）A．2 B．4+2C．4﹣2 D．﹣6．函数y=log（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，a其中m ＞0，n ＞0，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．4+2D ．7．一个四面体的三视图如右图，在三视图中的三个正方形的边长都是，则该多面体的体积、表面积、外接球面的表面积分别为（ ）A ．2，12，4πB ．，4，6πC ．，6，πD ．，2，π8．已知f （x ）=﹣x+sinx ，命题p ：∀x ∈（0，），f （x ）＜0，则（ ）A ．p 是假命题，￢p ：∀x ∈（0，），f （x ）≥0B ．p 是假命题，￢p ：∃x 0∈（0，），f （x ）≥0C ．p 是真命题，￢p ：∀x ∈（0，），f （x ）≥0D ．p 是真命题，￢p ：∃x 0∈（0，），f （x ）≥09．已知定义在R 上的奇函数y=f （x ）的图象关于直线x=1对称，当﹣1≤x ＜0时，f （x ）=﹣log （﹣x ），则方程f （x ）﹣=0在（0，6）内的零点之和为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．1610．设动直线x=m 与函数f （x ）=x 2，g （x ）=lnx 的图象分别于点M 、N ，则|MN|的最小值为（ ）A ．B ．C ．1+ln2D ．ln2﹣111．已知数列{a n }满足a n =若对于任意的n ∈N *都有a n ＞a n+1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（，） C ．（，1）D ．（，1）12．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y=（x ＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2．若=λ+，且⊥，则实数λ= ．14．设若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是．15．已知a=cosxdx，则x（x﹣）7的展开式中的常数项是．（用数字作答）16．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．已知{an }是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{an }和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn =anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．18．[已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c满足．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若AB是最大边，求cosC的取值范围．19．如图所示，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，P 是O的中点，O是PQ的中点，EC与平面ABCD成30°角．（1）求证：EG⊥平面ABCD；（2）求证：HF∥平面EAD；（3）若AD=4，求三棱锥D﹣CEF的体积．20．我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号，本小题满分10分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．四川省成都市2016-2017学年高三下学期入学试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】化简复数为a+bi的形式，然后利用对称性求解即可．【解答】解： ==﹣2﹣i．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：A．2．已知，，则sin（α+π）等于（）A．B． C．D．【考点】诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系．【分析】根据α的范围，由tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出sinα的值，原式利用诱导公式化简后，将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α∈（，π），tanα=﹣，∴cosα=﹣=﹣，sinα==，则sin（α+π）=﹣sinα=﹣．故选：B．3．已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），与的夹角为60°，则直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．随α，β的值而定【考点】平面向量数量积的运算．【分析】只要求出圆心到直线的距离，与半径比较，可以判断直线与圆的位置关系．【解答】解：由已知得到||=2，||=3，•=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β）=6cos60°=3，所以cos（α﹣β）=，圆心到直线的距离为： =|cos（α﹣β）+|=1，圆的半径为，1＞，所以直线与圆相离；故选C．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．10 B．24 C．44 D．70【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序是累加求和的循环运算，当i＞12时，终止程序，计算输出S的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i=1，S=0，S=0+2×1=2，i=1+3=4；i≤12，S=2+2×4=10，i=4+3=7；i≤12，S=10+2×7=24，i=7+3=10；i≤12，S=24+2×100=44，i=10+3=13；i＞12，终止程序，输出S的值为44．故选：C．5．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=+，且∠A=75°，则b=（）A．2 B．4+2C．4﹣2 D．﹣【考点】正弦定理．【分析】先根据三角形内角和求得B的值，进而利用正弦定理和a的值以及sin75°的值，求得b．【解答】解：如图所示．在△ABC中，由正弦定理得： =4，∴b=2．故选A（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，6．函数y=loga其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．B．C．4+2D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．【解答】解：∵x=﹣2时，y=log1﹣1=﹣1，a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∴函数y=loga∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0， =（）（2m+n）=2+1++≥3+2•=，当且仅当m=1﹣，n=1时取等号．故选：A7．一个四面体的三视图如右图，在三视图中的三个正方形的边长都是，则该多面体的体积、表面积、外接球面的表面积分别为（）A．2，12，4πB．，4，6πC．，6，πD．，2，π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个正方体去掉四个角后剩下的正四面体．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个正方体去掉四个角后剩下的正四面体．∴该多面体的体积==，表面积==4．外接球面的表面积==6π．故选：B．8．已知f（x）=﹣x+sinx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（）A ．p 是假命题，￢p ：∀x ∈（0，），f （x ）≥0B ．p 是假命题，￢p ：∃x 0∈（0，），f （x ）≥0C ．p 是真命题，￢p ：∀x ∈（0，），f （x ）≥0D ．p 是真命题，￢p ：∃x 0∈（0，），f （x ）≥0【考点】全称命题；特称命题．【分析】先判断命题P 的真假性，再写出该命题的否定命题即可． 【解答】解：∵f （x ）=﹣x+sinx ，∴f′（x ）=﹣1+cosx ≤0 ∴f （x ）是定义域上的减函数， ∴f （x ）≤f （0）=0∴命题P ：∀x ∈（0，），f （x ）＜0，是真命题；∴该命题的否定是 ¬P ：∃x 0∈（0，），f （x 0）≥0．故选：D ．9．已知定义在R 上的奇函数y=f （x ）的图象关于直线x=1对称，当﹣1≤x ＜0时，f （x ）=﹣log （﹣x ），则方程f （x ）﹣=0在（0，6）内的零点之和为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．16【考点】函数零点的判定定理．【分析】推导出f （x ）是以4为周期的周期函数，由当﹣1≤x ＜0时，f （x ）=﹣log（﹣x ），作出f （x ）在（0，6）内的图象，数形结合能求出方程f （x ）﹣=0在（0，6）内的零点之和．【解答】解：∵定义在R 上的奇函数y=f （x ）的图象关于直线x=1对称， ∴f （x ）=f （2﹣x ）=﹣f （﹣x ），即f （x ）=﹣f （x+2）=f （x+4）， ∴f （x ）是以4为周期的周期函数，∵当﹣1≤x ＜0时，f （x ）=﹣log（﹣x ），∴f （x ）在（0，6）内的图象如右图： ∴结合图象得：方程f（x）﹣=0在（0，6）内的零点之和为：x 1+x2+x3+x4=2+10=12．故选：C．10．设动直线x=m与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别于点M、N，则|MN|的最小值为（）A．B．C．1+ln2 D．ln2﹣1【考点】两点间距离公式的应用．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值，即可得到结论．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），求导数得y′=2x﹣=（x＞0）令y′＜0，∵x＞0，∴0＜x＜∴函数在（0，）上为单调减函数，令y′＞0，∵x＞0，∴x＞∴函数在（，+∞）上为单调增函数，∴x=时，函数取得唯一的极小值，即最小值为： ln=故所求|MN|的最小值即为函数y 的最小值：故选A ．11．已知数列{a n }满足a n =若对于任意的n ∈N *都有a n ＞a n+1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（，） C ．（，1）D ．（，1）【考点】数列递推式．【分析】，若对于任意的n ∈N *都有a n ＞a n+1，可得＜0，a 5＞a 6，0＜a ＜1．解出即可得出．【解答】解：∵满足a n =，若对于任意的n ∈N *都有a n ＞a n+1，∴＜0，a 5＞a 6，0＜a ＜1．∴a ＜0，+1＞a ，0＜a ＜1，解得．故选：B ．12．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y=（x ＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】定积分；几何概型．【分析】先由积分的知识求解阴影部分的面积，然后可求试验的区域所对应的矩形的面积，由几何概率的求解公式代入可求【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S=2×=1+=1﹣ln=1+ln2∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为 1+ln2，矩形的面积为2由集合概率的求解可得P=故选C二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2．若=λ+，且⊥，则实数λ= ．【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【分析】利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．【解答】解：由题意可知：，因为，所以，所以===﹣12λ+7=0解得λ=．故答案为：．14．设若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是 1 ．【考点】函数的值．【分析】分段函数f（x）在不同区间有不同对应法则，可先计算f（1）=lg1=0，再相应代入进行计算即可．【解答】解：∵1＞0，∴f（1）=lg1=0，∴f（0）=0+3t2dt==a3，又f（f（1））=1，∴a3=1，∴a=1，故答案是1．15．已知a=cosxdx，则x（x﹣）7的展开式中的常数项是﹣128 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】利用微积分基本定理可得a，再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：a=cosxdx==，=x=（﹣2）r x7﹣r，则x的展开式中的通项公式：Tr+1令7﹣r=0，解得r=7．∴常数项=﹣=﹣128．故答案为：﹣128．16．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．【考点】函数的值；函数恒成立问题．【分析】由已知得﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立，上由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：依据题意得﹣1﹣4m2（x2﹣1）≤（x﹣1）2﹣1+4（m2﹣1）在x∈[，+∞）上恒定成立，即﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立．当x=时，函数y=﹣﹣+1取得最小值﹣，∴﹣4m2≤﹣，即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，解得m≤﹣或m≥，故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．已知{an }是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{an }和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn =anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）设出数列{an }的公比和数列{bn}的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列{cn}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an }的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意，q＞0，由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．∵q＞0，解得q=2，∴d=2，∴数列{an}的通项公式为，n∈N*；数列{bn }的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，设{cn }的前n项和为Sn，则，，两式作差得： =2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n ﹣3．∴．18．[已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c满足．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若AB是最大边，求cosC的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由条件利用二倍角的余弦公式，两角和差的三角公式，求得sinBcosA=2sinAcosA，再利用正弦定理求得的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理，求得cosC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，且，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sinBcosA=2sinAcosA，因△ABC为锐角三角形，则cosA≠0，由正弦定理有：．（Ⅱ）∵b=2a，且a＜b≤c，则，即，又因，∴cosC的取值范围是．19．如图所示，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，P 是O的中点，O是PQ的中点，EC与平面ABCD成30°角．（1）求证：EG⊥平面ABCD；（2）求证：HF∥平面EAD；（3）若AD=4，求三棱锥D﹣CEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明EG⊥AD，利用平面与平面垂直的判定定理以及性质定理推出EG⊥平面ABCD．（2）取ED的中点I，连HI，AI，证明AFHI是平行四边形，FH∥AI，然后证明HF∥平面EAD．（3）连CG，说明∠ECG是EC与平面ABCD成角，通过解三角形以及，转化求解即可．【解答】（1）证明：∵△ADE是等边三角形，且G是AD的中点∴EG⊥AD，又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，EG⊂平面EAD∴EG⊥平面ABCD（2）证明：取ED的中点I，连HI，AI，∵H是CE的中点∴∵ABCD是矩形，F是AB的中点∴∴AF∥CD，AF=CD，则AFHI是平行四边形∴FH∥AI，则AI ⊂平面EAD，FH⊄平面EAD∴HF∥平面EAD（3）解：连CG，由（1）知EG⊥平面ABCD，则∠ECG是EC与平面ABCD成角，即∠ECG=30°，且EG⊥CG而△ADE是等边三角形，当AD=4时，，在Rt△CEG中，又∵∠ECG=30°，则又ABCD是矩形，且G是AD的中点，则∴∴所以三棱锥D﹣CEF的体积为20．我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，∴解得：a=0.3．（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，解得x=0.04；∴中位数是2+0.04=2.04．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出a的范围即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式求出h（x）的单调区间，从而求出h（x）的最大值即可；（Ⅲ）构造函数f（x）=ln（1+x）﹣x，利用导数法可证得ln（1+x）≤x（当x≠0时，ln（1+x）＜x），令x=，利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣ax，f′（x）=cosx﹣a，若对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，即a＜cosx在（0，1）恒成立，故a≤0；（Ⅱ）a=1时，h（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）=﹣1=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴h（x）的最大值是h（1）=0；证明：（Ⅲ）构造函数g（x）=ln（1+x）﹣x，则g′（x）=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；所以，当x=0时，g（x）=ln（1+x）﹣x取得极大值，也是最大值，所以，g（x）≤g（0）=0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．令x=，则ln（1+）=ln（n+1）﹣lnn＜，即ln（n+1）﹣lnn＜，∴ln2﹣ln1＜1，ln3﹣ln2＜，…，lnn﹣ln（n﹣1）＜，ln（n+1）﹣lnn＜，以上n个不等式相加得：ln（n+1）﹣ln1＜1+++…+，即．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号，本小题满分10分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得 [2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．。
2016-2017学年四川省成都七中实验学校高二下学期期中考试数学(文)试题
成都七中实验学校2016-2017学年下期半期考试高二年级 数学试题（文）一、选择题（每小题5分，共60分。
）1、已知{}{}{}6,2,4,1,3,4,6U x N x P Q =∈<==，则()U C P Q = （ ） A 、{}3,4 B 、{}3,6 C 、{}1,3 D 、{}1,42、函数()sin xf x x e =+，则()'0f的值为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、0 3、已知m n 、表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A 、若,m n αα ，则m n B 、若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥ C 、若,m m n α⊥⊥，则n α D 、若,m m n α⊥ ，则n α⊥4、已知向量()()()3,1,0,1,3,a b c t ===-．若2a b + 与c 垂直，则实t 数的值为 ( )A 、1B 、1-C 、2-D 、3- 5、已知a 为函数3()3f x x x =-的极小值点，则a =（ ） A 、1- B 、2- C 、2 D 、1 6、函数()()1ln xf x x x=>单调递减区间是（ ） A 、()1,+∞ B 、()21,e C 、(),e +∞ D 、()1,e 7、函数()cos ,0,22x f x x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的最大值是（ ）A 、1B 、4πC 、3122π+D 、162π+ 8、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则 正视图中的x 的值是（ ） A 、3 B 、92 C 、32D 、29、若对任意的0x >，恒有()ln 10x px p ≤->成立，则p 的取值范围是（ ） A 、()0,1 B 、(]0,1 C 、()1,+∞ D 、[)1,+∞10、甲、乙两人约定在下午4:305:00 间在某地相见，且他们在4:305:00 之间到达的 时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以 离去，则这两人能相见的概率是（ ） A 、34 B 、89 C 、716 D 、111211、已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当()()(),0,'0x f x xf x ∈-∞+< 成立（()'f x 是函数()f x 的导数），若()21log 22a f =，()()ln 2ln 2b f =，()22c f =-，则,,a b c 的 大小关系是（ ）A 、a b c >>B 、b a c >>C 、c a b >>D 、a c b >> 12、已知函数()32f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则12b a ++的取值范围是( ) A 、21,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ B 、13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ D 、31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题（每小题5分，共20分。
【数学】2016-2017年四川省成都七中高二上学期数学期末试卷(理科)及答案
本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除2016-2017学年四川省成都七中高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）成都七中为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从林荫、高新两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按年级分层抽样D．系统抽样3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离4．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为（）A．B．x±y=0C．2x±y=0D．5．（5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f （x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）设实数x，y满足，则μ=的取值范围是（）A．[，2]B．[，]C．[，2]D．[2，] 7．（5分）有5名高中优秀毕业生回母校成都7中参加高2015级励志成才活动，到3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．200B．180C．150D．2808．（5分）柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（）A．取出的鞋不成对的概率是B．取出的鞋都是左脚的概率是C．取出的鞋都是同一只脚的概率是D．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（）A．z≤42？B．z≤20？C．z≤50？D．z≤52？10．（5分）某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小12．（5分）以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则﹣S（）A．2B．4C．1D．﹣1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题∀x∈R，|x|＜0的否定是．14．（5分）已知双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，则实数m的值是．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为．16．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）与直线l：y=x+3，且直线l上有唯一的一个点P，使得过点P作圆C的两条切线互相垂直．设EF是直线l上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，，则的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）．（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为[2500，3000）的人中抽取多少人？18．（12分）口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为a，b，c．（1）在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；（2）求抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率．19．（12分）某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据．单价x（万元）88.28.48.88.69销量y（件）908483758068（1）①求线性回归方程y=x+；②谈谈商品定价对市场的影响；（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为 4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？（附：=，=﹣，=8.5，=80）20．（12分）已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m ﹣4=0．（1）求证：直线l与⊙C恒有两个交点；（2）若直线l与⊙C的两个不同交点分别为A，B．求线段AB中点P的轨迹方程，并求弦AB的最小值．21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）是否存在整数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为，左右顶点分别为P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（m，0）（m∈（﹣2，2），m≠0）作两条射线分别交椭圆C于A，B两点（A，B在长轴PQ同侧），直线AB交长轴于点S（n，0），且有∠ADP=∠BDQ．求证：mn为定值；（3）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C 交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的λ倍，求λ的最大值．2016-2017学年四川省成都七中高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”，则6a+3×4=0，解得a=﹣2，故p是q成立的充要条件，故选：A．2．（5分）成都七中为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从林荫、高新两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按年级分层抽样D．系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大，按年级分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选：B．4．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为（）A．B．x±y=0C．2x±y=0D．【分析】利用双曲线的离心率，转化求出a，b关系，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线的离心率为2，可得，即，可得，双曲线的渐近线方程为：y=±，即．故选：D．5．（5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f （x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f（x0）≤0发生的概率是0.3【解答】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==故选：C．6．（5分）设实数x，y满足，则μ=的取值范围是（）A．[，2]B．[，]C．[，2]D．[2，]【分析】根据不等式组画出可行域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域．设P（x，y）为区域内一点，根据斜率计算公式可得μ=表示直线OP的斜率，运动点P得到PQ斜率的最大、最小值，即可得到μ=的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）设P（x，y）为区域内的动点，可得μ=表示直线OP的斜率，其中P（x，y）在区域内运动，O是坐标原点．运动点P，可得当P与A点重合时，μ=2达到最大值；当P与C点重合时，μ=达到最小值．综上所述，μ=的取值范围是[，2]故选：A．7．（5分）有5名高中优秀毕业生回母校成都7中参加高2015级励志成才活动，到3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．200B．180C．150D．280【分析】根据题意，分2步进行分析，①、先将5个人分成3组，分析可得有2种分组方法：分成2﹣2﹣1的三组或分成3﹣1﹣1的三组，分别求出每种情况的分组方法数目，由分类计数原理可得分组方法数目，②、将分好的3组对应三个班级，由排列数公式可得其方法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析，①、先将5个人分成3组，若分成2﹣2﹣1的三组，有=15种情况，若分成3﹣1﹣1的三组，有=10种情况，一共有15+10=25种分组方法；②、将分好的3组对应三个班级，有=6种方法，则一共有25×6=150种不同分派方法，故选：C．8．（5分）柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（）A．取出的鞋不成对的概率是B．取出的鞋都是左脚的概率是C．取出的鞋都是同一只脚的概率是D．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是【分析】利用等可能事件概率计算公式分别求解，能求出结果．【解答】解：∵柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，∴基本事件总数n==15，在A中，取出的鞋是成对的取法有3种，∴取出的鞋不成对的概率是：1﹣=，故A 正确；在B中，取出的鞋都是左脚的取法有=3种，∴取出的鞋都是左脚的概率为：，故B正确；在C中，取出的鞋都是同一只脚的取法有：=6，∴取出的鞋都是同一只脚的概率是p==；在D中，取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，由题意，可以先选出左脚的一只有=3种选法，然后从剩下两双的右脚中选出一只有=2种选法，所以一共6种取法，∴取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是，故D 错误．故选：D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（）A．z≤42？B．z≤20？C．z≤50？D．z≤52？【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量z的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行z=2x+y后，z=1，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=1，y=1，第二次执行z=2x+y后，z=3，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=1，y=3，第三次执行z=2x+y后，z=5，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=3，y=5，第四次执行z=2x+y后，z=11，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=5，y=11，第五次执行z=2x+y后，z=21，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=11，y=21，第六次执行z=2x+y后，z=43，满足输出条件，故进行循环的条件可以为z≤42？，故选：A．10．（5分）某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A．B．C．D．【分析】由频率分布直方图可得，[25，30），[30，35）的频率相同，频数为3，即可得出结论．【解答】解：由频率分布直方图可得，[25，30），[30，35）的频率相同，频数为3，故选：B．11．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小【分析】连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1=，最后根据余弦函数的单调性可判断e1的单调性；同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的关系．【解答】解：连接BD，AC设AD=t，则BD==∴双曲线中a=e1=∵y=cosθ在（0，）上单调减，进而可知当θ增大时，y==减小，即e1减小∵AC=BD∴椭圆中CD=2t（1﹣cosθ）=2c∴c'=t（1﹣cosθ）AC+AD=+t，∴a'=（+t）e2==∴e1e2=×=1故选：B．12．（5分）以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则﹣S（）A．2B．4C．1D．﹣1【分析】通过已知条件，写出双曲线方程，结合已知等式及平面几何知识得出点M是△F1PF2的内心，利用三角形面积计算公式计算即可．【解答】解：∵椭圆方程为+=1，∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），∴双曲线方程为，设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0），∵=，∴=，整理得：=5，化简得：5x=12y﹣15，又∵，∴5﹣4y2=20，解得：y=或y=（舍），∴P（3，），∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，∴点M到直线PF1的距离d==1，易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．故﹣===2，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题∀x∈R，|x|＜0的否定是∃x0∈R，|x0|≥0．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：∃x0∈R，|x0|≥0．故答案为：∃x0∈R，|x0|≥0．14．（5分）已知双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，则实数m的值是．【分析】利用双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，列出方程求解即可．【解答】解：双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，可得：=3，解得m=．故答案为：．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为6π+8．【分析】x＞0，y＞0时，方程化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，其面积为=+2，根据图象的对称性，可得曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积．【解答】解：x＞0，y＞0时，方程化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，其面积为=+2根据图象的对称性，可得曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为6π+8，故答案为6π+8．16．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）与直线l：y=x+3，且直线l上有唯一的一个点P，使得过点P作圆C的两条切线互相垂直．设EF是直线l上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，，则的最小值是4+4．【分析】由圆的对称性知直线l上的唯一点P与圆心C（1，0）所在直线必与直线l垂直，求得PC所在直线方程，与直线l求得交点P，再根据对称性可得r=2，由题意，知|EF|取得最小值时，一定关于直线y=﹣x+1对称，画出图形，通过图形观察，当两圆相内切时，求得最小值．【解答】解：根据圆的对称性知直线l上的唯一点P与圆心C（1，0）所在直线必与直线l垂直，则PC所在直线的方程为x+y=1，与直线y=x+3联立求得P（﹣1，2），再根据对称性知过点P（﹣1，2）的两条切线必与坐标轴垂直，r=2；由题意，知|EF|取得最小值时，一定关于直线y=﹣x+1对称，如图所示，因此可设以点P（﹣1，2）为圆心，以R为半径的圆，即（x+1）2+（y﹣2）2=R2与圆C内切时，的最小值即为2R，由相切条件易知2R=2（|CP|+2）=2（2+2）=4+4．故答案为：4+4．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）．（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为[2500，3000）的人中抽取多少人？【分析】（1）根据频率=小矩形的高×组距来求；（2）根据中位数的左右两边的矩形的面积和相等，所以只需求出从左开始面积和等于0.5的底边横坐标的值即可，运用取中间数乘频率，再求之和，计算可得平均数，求出众数即可；（3）求出月收入在[2500，3000）的人数，用分层抽样的抽取比例乘以人数，可得答案．【解答】解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500=0.15；（2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；第二组的频率为0.0004×500=0.2；第三组的频率为0.0005×500=0.25；∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400．∴中位数为2400（元）由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，样本数据的平均数为2400（元）；众数是：=2250，和=2750；（3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）．18．（12分）口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为a，b，c．（1）在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；（2）求抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率．【分析】（1）将甲、乙依次取到小球的编号记为（a，b），利用列出法求出基本事件个数和甲、乙两人成为好朋友包含的情况种数，由此能求出甲、乙两人成为“好朋友”的概率．（2）将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为（a，b，c），求出基本事件个数，利用列举法求出丙抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立包含的基本事件个数，由此能求出抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率．【解答】解：（1）将甲、乙依次取到小球的编号记为（a，b），则基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个．记“甲、乙两人成为好朋友”为事件M，则M包含的情况有：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），共4个人，故甲、乙两人成为“好朋友”的概率为P（M）==．（2）将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为（a，b，c），则基本事件有n=4×4×4=64个，记“丙抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立”为事件N，当丙抽取的编号c=1时，a+b=4，∴（a，b）分别为（1，3），（2，2），（3，1），当丙抽取的编号c=2时，a+b=2，∴（a，b）为（1，1），当丙抽取的编号c=3或c=4时，方程a+b+2c=6不成立．综上，事件N包含的基本事件有4个，∴．19．（12分）某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据．单价x（万元）88.28.48.88.69销量y（件）908483758068（1）①求线性回归方程y=x+；②谈谈商品定价对市场的影响；（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为 4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？（附：=，=﹣，=8.5，=80）【分析】（1）①根据公式求出和的值，求出回归方程即可；②根据b的值判断即可；（2）求出关于w的表达式，结合二次函数的性质求出w的最大值即可．【解答】解：（1）①依题意：==﹣20，=﹣=80+20×8.5=250，∴回归直线的方程为y=﹣20x+250；②由于=﹣20＜0，则x，y负相关，故随定价的增加，销量不断降低．（2）设科研所所得利润为w，设定价为x，∴w=（x﹣4.5）（﹣20x+250）=﹣20x2+340x﹣1125，∴当时，w max=320，故当定价为8.5元时，w取得最大值．20．（12分）已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m ﹣4=0．（1）求证：直线l与⊙C恒有两个交点；（2）若直线l与⊙C的两个不同交点分别为A，B．求线段AB中点P的轨迹方程，并求弦AB的最小值．【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，整理直线方程为m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，求出直线2x+y﹣7=0，x+y﹣4=0的交点，判断它在圆内，即可得证；（2）由题意知，设点P（x，y）为弦AB的中点，连接CP，则CP⊥PQ，由平面几何知识可得点P的轨迹方程是以CQ为直径的圆，求得圆心和半径，注意运用中点坐标公式，再由当Q（3，1）是弦AB的中点时，|AB|最小，运用勾股定理即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，圆心C（1，2），半径r=5，又直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，化为m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，由解得，则直线l恒过定点Q（3，1），由|CQ|==＜5，可得Q在圆C内，则直线l与⊙C恒有两个交点；（2）由题意知，设点P（x，y）为弦AB的中点，由（1）可知CP⊥PQ，点P的轨迹方程是以CQ为直径的圆，线段CQ的中点为（2，），|CQ|=，则线段AB中点P的轨迹方程为；由圆的几何性质可知，当Q（3，1）是弦AB的中点时，|AB|最小．弦心距，⊙C的半径为5，可得|AB|min=2=4．21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）是否存在整数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点，列出方程求解即可．（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=λy+m，联立利用韦达定理，结合向量的数量积推出m2﹣6m+1＜4λ2，对任意实数λ，4λ2的最小值为0，转化求解即可得到m的取值范围．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：，化简得y2=4x（x＞0）．（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=λy+m，由得y2﹣4λy﹣4m=0，△=16（λ2+m）＞0，于是①，又，②，又，于是不等式②等价于③，由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4λ2④对任意实数λ，4λ2的最小值为0，所以不等式④对于一切π成立等价于m2﹣6m+1＜0，即．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2，且m的取值范围为．22．（12分）已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为，左右顶点分别为P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（m，0）（m∈（﹣2，2），m≠0）作两条射线分别交椭圆C于A，B两点（A，B在长轴PQ同侧），直线AB交长轴于点S（n，0），且有∠ADP=∠BDQ．求证：mn为定值；（3）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C 交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的λ倍，求λ的最大值．【分析】（1）利用椭圆离心率三角形的面积，解得a，b，即可得到椭圆方程．（2）设AB：y=k（x﹣n）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及斜率关系，推出结果即可．（3）设E（x3，y3），F（x4，y4），通过，直线TM方程为：x=t（y﹣1），直线TN：3x﹣ty﹣t=0，联立直线与椭圆方程，求出E，F坐标，求出E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离，推出两个三角形的面积，利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）椭圆离心率，又，解得a=2，b=1，∴椭圆．（2）由已知AB必有斜率，设AB：y=k（x﹣n）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立.⇒k（x1﹣n）（x2﹣m）+k（x1﹣m）（x2﹣m）=0⇒2x1x2﹣（m+n）（x1+x2）+2mn=0⇒mn=4．（3）设E（x3，y3），F（x4，y4），因为，直线TM方程为：x=t（y﹣1），直线TN：3x﹣ty﹣t=0，联立，联立，所以E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离，，∴，（取等条件），λ的最大值为．本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除。
四川省成都市2016-2017学年高二下学期入学数学试卷(文科)Word版含解析
四川省成都市2016-2017学年高二下学期入学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意1．已知i为虚数单位，则复数等于（）A．﹣1+i B．1﹣i C．2+2i D．1+i2．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}3．“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．对于R上可导函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）＞0，则必有（）A．f（1）+f（3）＜2f（2）B．f（1）+f（3）＞2f（2）C．f（1）+f（3）＞f（0）+f （4）D．f（1）+f（0）＜f（3）+f（4）5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是（）A．5051 B．5050 C．5049 D．50486．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）A．60%，60 B．60%，80 C．80%，80 D．80%，607．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（）A． cm2B． cm2C．8cm2D．14cm28．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A．B．C．D．π9．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，则三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形10．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，5）B．（﹣∞，3） C．（3，+∞）D．（3，5）11．为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下：并经计算：K2≈4.545请判断有（）把握认为性别与喜欢数学课有关．A．5% B．99.9% C．99% D．95%12．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或0二．填空题（本体包括4小题，每题5分，共20分）13．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是．14．已知函数，若关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是．15．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是．16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S，则椭圆的离心率为．三．解答题（本体包括6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．18．在长丰中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求这两个班参赛的学生人数，并回答这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内．19．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=，c=2，求△的值．ABC的面积S△ABC20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．21．设椭圆C：过点（0，4），离心率为（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．22．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．四川省成都市2016-2017学年高二下学期入学试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意1．已知i为虚数单位，则复数等于（）A．﹣1+i B．1﹣i C．2+2i D．1+i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i 的幂运算性质，把式子化简到最简形式．【解答】解：复数===﹣1+i，故选 A．2．已知集合A={x|x2≤4，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，1，2} D．{0，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A=[﹣2，2]，由B中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，则A∩B={0，1，2}，故选：C．3．“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】方程mx2+ny2=1表示椭圆⇔m＞0，n＞0，m≠n．即可判断出结论．【解答】解：方程mx2+ny2=1表示椭圆⇔m＞0，n＞0，m≠n．因此“m＞n＞0”是方程mx2+ny2=1表示椭圆的充分不必要条件．故选：A．4．对于R上可导函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）＞0，则必有（）A．f（1）+f（3）＜2f（2）B．f（1）+f（3）＞2f（2）C．f（1）+f（3）＞f（0）+f （4）D．f（1）+f（0）＜f（3）+f（4）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】借助导数知识，根据（x﹣2）f′（x）＞0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．【解答】解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣2）f′（x）＞0∴有或，即当x∈（2，+∞）时，f（x）为增函数，当x∈（﹣∞，2）时，f（x）为减函数∴f（1）＞f（2），f（3）＞f（2）∴f（1）+f（3）＞2f（2）故选：B．5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是（）A．5051 B．5050 C．5049 D．5048【考点】设计程序框图解决实际问题；循环结构．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+…+2的值【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+ (2)∵100+99+98+…+2=5049，故选C．6．为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）A．60%，60 B．60%，80 C．80%，80 D．80%，60【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出优秀人数．【解答】解：由频率分布直方图得，及格率为1﹣（0.005+0.015）×10=1﹣0.2=0.8=80%优秀的频率=（0.01+0.01）×10=0.2，优秀的人数=0.2×400=80故选C．7．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是（）A． cm2B． cm2C．8cm2D．14cm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据已知中几何体的三视图中，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形我们可以求出该正四棱锥的底面上的棱长和侧面的高，代入棱锥侧面积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中的三视图，我们可以得到该几何体是一个正四棱锥，又由主视图与左视图是边长为2的正三角形可得棱锥的底面上的棱长为2，棱锥的高为则棱锥的侧高（侧面的高）为2故棱锥的侧面积S=4×=8cm2故选C8．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A．B．C．D．π【考点】几何概型；两点间的距离公式．【分析】本题考查的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD 的面积，及动点P到定点A的距离|PA|＜1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．【解答】解：满足条件的正方形ABCD，如下图示：其中满足动点P到定点A的距离|PA|＜1的平面区域如图中阴影所示：=1则正方形的面积S正方形阴影部分的面积故动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率P==故选：C9．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，则三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由条件利用正弦定理可得 sin2A= sin2B，化简可得 A=B，或 A+B=，故△ABC 是等腰三角形或直角三角形，从而得出结论．【解答】解：在△ABC中，∵acosA=bcosB，由正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB，即sin2A= sin2B，∴2A=2B，或 2A+2B=π．∴A=B，或 A+B=，即 C=．故△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选C．10．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，5）B．（﹣∞，3） C．（3，+∞）D．（3，5）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用待定系数法求出y=f（x）的解析式，再利用函数的单调性把不等式f（a+1）＜f（10﹣2a）化为等价的不等式组，求出解集即可．【解答】解：幂函数y=f（x）=xα的图象经过点，∴4α=，解得α=﹣；∴f（x）=，x＞0；又f（a+1）＜f（10﹣2a），∴，解得3＜a＜5，∴实数a的取值范围是（3，5）．故选：D．11．为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下：并经计算：K2≈4.545请判断有（）把握认为性别与喜欢数学课有关．A．5% B．99.9% C．99% D．95%【考点】独立性检验的应用．【分析】把观测值同临界值进行比较．得到有95%的把握认为性别与喜欢数学课有关．【解答】解：∵K2≈4.545＞3.841，对照表格∴有95%的把握认为性别与喜欢数学课有关．故选：D．12．若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或0【考点】点到直线的距离公式．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，根据此距离等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣4y=0化为标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆心坐标为（1，2），∵圆心（1，2）到直线x﹣y+a=0的距离为，∴，即|a﹣1|=1，可化为a﹣1=1或a﹣1=﹣1，∴解得a=2或0．故选C．二．填空题（本体包括4小题，每题5分，共20分）13．从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，本实验的总事件是从6个数中随机抽取2个不同的数2种不同的结果，满足条件的事件是这2个数的和为偶数包括2、4，2、6，4、6，1、3，有C61、5，3、5，6种取法，代入公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，2种不同的结果，∵从6个数中随机抽取2个不同的数有C6而这2个数的和为偶数包括2、4，2、6，4、6，1、3，1、5，3、5，6种取法，由古典概型公式得到P==，故答案为：．14．已知函数，若关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是[0，1）∪（2，+∞）．【考点】函数的零点．【分析】原问题可转化为函数y=f（x）与y=k的图象有唯一一个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，数形结合可得答案．【解答】解：关于x的方程f（x）﹣k=0有唯一一个实数根，等价于函数y=f（x）与y=k的图象有唯一一个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象可得：由图象可知实数k的取值范围是[0，1）∪（2，+∞）故答案为：[0，1）∪（2，+∞）15．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是30 ．【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图得分数在[70，80）内的频率等于1减去得分在[40，70]与[80，100]内的频率，再根据频数=频率×样本容量得出结果．【解答】解：由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人；故答案为：30．16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC=3S，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图所示，S△ABC=3S，可得|AF2|=2|F2C|．A，直线AF2的方程为：y=（x﹣c），代入椭圆方程可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，利用xC×（﹣c）=，解得xC．根据，即可得出．【解答】解：如图所示，∵S△ABC=3S，∴|AF2|=2|F2C|．A，直线AF2的方程为：y﹣0=（x﹣c），化为：y=（x﹣c），代入椭圆方程+=1（a＞b＞0），可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2=0，∴xC×（﹣c）=，解得xC=．∵，∴c﹣（﹣c）=2（﹣c）．化为：a2=5c2，解得．故答案为：．三．解答题（本体包括6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，即可写出直线l的参数方程；求得圆心坐标，可得圆的直角坐标方程，利用，可得圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；（Ⅱ）求出直线l的普通方程，可得圆心到直线的距离，与半径比较，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，∴直线l的参数方程为（t为参数）∵半径为4的圆C的圆心的极坐标为，∴圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=16∵，∴圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；（Ⅱ）直线l的普通方程为，∴圆心到直线的距离为∴直线l和圆C相离．18．在长丰中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求这两个班参赛的学生人数，并回答这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率之和等于1可计算出第二小组的频率；（2）由总数=频数÷频率计算出总人数，进而求出各组人数，可得中位数的位置．【解答】解：（1）∵各小组的频率之和为1，第一、三、四、五小组的频率分别是0.3，0.15，0.1，0.05，∴第二小组的频率为：1﹣（0.3+0.15+0.1+0.05）=0.4，∴落在[59.5，69.5）的第二小组的小长方形的高h==0.04，则补全的频率分布直方图如图所示：（2）设九年级两个班参赛的学生人数为x人∵第二小组的频数为40人，频率为0.4，∴=0.4，解得x=100，所以这两个班参赛的学生人数为100人．因为0.3×100=30，0.4×100=40，0.15×100=15，0.1×100=10，0.05×100=5，即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30，40，15，10，5，所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．19．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=，c=2，求△的值．ABC的面积S△ABC【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（1）由二倍角公式化简可得f（x）=2sin（2x﹣），令2k≤2x﹣≤2k，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间．（2）由f（A）=2sin（2A﹣）=2，可得A的值，由正弦定理可解得a=，从而可求S△ABC 的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴令2k≤2x﹣≤2k，k∈Z可解得k≤x≤k，k∈Z，即有函数f（x）的单调递增区间为：[k，k]，k∈Z，（2）∵f（A）=2sin（2A﹣）=2，∴2A﹣=2k，k∈Z，即有A=k，k∈Z，∵角A为△ABC中的内角，有0＜A＜π，∴k=0时，A=，B=π﹣A﹣C=，故由正弦定理可得：，解得a=，=acsinB=sin=．∴S△ABC20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．21．设椭圆C：过点（0，4），离心率为（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）利用椭圆经过的点列出方程，离心率列出方程，利用a、b、c关系式，即可求出a、b的值，即可求C的方程；（2）利用直线过点（3，0）且斜率为，写出直线方程，联立方程组，利用写出公式求出被C 所截线段的长度．【解答】解：（1）将（0，4）代入C的方程得，∴b=4，又，得即，∴a=5∴C 的方程为．（ 2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线方程代入C 的方程，得，即x 2﹣3x ﹣8=0， ∴x 1+x 2=﹣3，x 1x 2=﹣8．∴．22．已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x ﹣y+=0相切．A 、B 是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线y=kx （k ＞0）与椭圆相交于E 、F 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）通过椭圆的离心率，直线与圆相切，求出a ，b 即可求出椭圆的方程．（2）设E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2），其中x 1＜x 2，将y=kx 代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合点E ，F 到直线AB 的距离分别，表示出四边形AEBF 的面积，利用基本不等式求出四边形AEBF 面积的最大值时的k 值即可．【解答】解：（1）由题意知：=∴=，∴a 2=4b 2．…又∵圆x2+y2=b2与直线相切，∴b=1，∴a2=4，…故所求椭圆C的方程为…（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程整理得：（k2+4）x2=4，故．①…又点E，F到直线AB的距离分别为，．…所以四边形AEBF的面积为==…===，…当k2=4（k＞0），即当k=2时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积的最大值时，k=2．…。
四川省成都市第七中学2016届高三考前模拟练习理数试题
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im()1ii+=+（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 【答案】B考点：1.复数的运算；2.复数相关的概念.2. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．3 B ．-6 C ．10 D ．-15【答案】C【解析】试题分析：模拟算法：开始1,0,5i S i ==<成立； i 是奇数，3011S =-=-，112i =+=，5i <成立； i 是偶数，2123S =-+=，213i =+=，5i <成立； i 是奇数，33326S =-=-，314i =+=，5i <成立；i 是偶数，26410S =-+=，415i =+=，5i <不成立；输出10S =，结束算法，故选C.考点：程序框图.3. 关于函数()|tan |f x x =的性质，下列叙述不正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D ．()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A考点：正切函数的图象与性质.4. 已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A. 考点：1.不等式性质；2.充要条件.5. 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．4 B．8 C．16 D．20【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的三棱锥，其中侧面PDC⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，2,4,2DE EC BC===，高4PE=，所以三棱锥的体积1264=163V=⨯⨯⨯，故选C.AC考点：1.三视图； 2.棱锥的体积.6. 在约束条件：1210xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数z ax by=+(0,0)a b>>的最大值为1，则ab的最大值等于（）A．12B．38C．14D．18【答案】D考点：1.线性规划；2.基本不等式.【名师点睛】本题考查线性规划与基本不等式，属中档题；线性规划是高考的必考内容，基本不等式是高考的热点内容，将两者综合在一起编辑试题，是本题的亮点，是数学综合应用能力与数形结合的基本思想的体现.7. 过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若T 为线段FP 的中点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±= B ．20x y ±= C ．40x y ±= D ．20x y ±= 【答案】B考点：1.直线与圆的位置关系；2.双曲线的定义与几何性质.8. 在Rt ABC ∆中，090ACB ∠=，且3BC =，点M 满足2BM MA =，则C M C B∙=（ ）A ．2B ． 3C ．4D ．6 【答案】B 【解析】试题分析：如下图所示，过点M 作MD CB ⊥于D ，则113CD CB ==，所以cos 313CM CB CM CB CM CB CB CD ⋅=⋅<⋅>=⋅=⨯=，故选B.B考点：向量数量积的定义.9. 已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数'()f x 满足当2x ≠时，(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有（ ）A ．2(2)(2)(log )a f f f a <<B ．2(2)(2)(log )a f f f a <<C ．2(log )(2)(2)a f a f f <<D ．2(2)(log )(2)a f f a f << 【答案】D考点：1.函数的对称性；2.导数与函数的单调性；3.函数与不等式【名师点睛】本题主要考查函数的对称性、导数与函数的单调性、函数与不等式，属中档题；导数与函数的单调性是每年高考的热点内容，本题将导数与函数的单调性、对称性结合在一起，先根据不等式判断导数的称号，判断单调性，再根据对称性与单调性比较大小，考查了学生应用数学知识的能力与运算能力.10. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（ ）A ．288个B ．306个C ．324个D ．342个 【答案】C考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题主要考查两个基本原理与排列、组合知识的综合应用问题，属难题；计数原理应用的关键问题是合理的分类与分步，分类要按时同一个的标准进行，要做到不重不漏，分类运算中的每一类根据实际情况，要分步进行. 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡相应位置上）11.如果21)nx 的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是__________. 【答案】5 【解析】试题分析：21)n x的展开式的通项为52121(1)r n rn r r r rr n n T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由502n r -=得5n r =，所以n 的最小值为5.考点：二项式定理.12. 在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列，且公差互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为__________.【答案】360考点：1.频率分布直方图;2.用样本估计总体.13. 已知函数21,()(1),x f x f x -⎧-=⎨-⎩0x x ≤>，若方程()f x x a =+有且仅有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】(,1)-∞ 【解析】试题分析：当0x >时，()(1)f x f x =-，所以函数()f x 在(0,)+∞是是周期为1的函数，令01x <≤，则110x -<-≤，所以1()(1)21x f x f x -=-=-，在同一坐标系内作出函数()y f x =与y x a =+的图象，由图象档知，两个函数的图象有两个公共点时1a <.考点：1.函数的周期性；2.函数的图象；3.函数与方程.【名师点睛】本题主要考查函数的周期性、函数的图象、函数与方程，属中档题；判断方程根的问题通常要转化为函数的零点问题，再经过变形，转化为两个函数图象的交点问题，在同一坐标系内画出两个函数的图象，通过数形结合，进行求解.14. 设O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为__________.考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之. 15. 给出下面四个命题：①已知函数()2sin f x x =，在区间[]0,π上任取一点0x ，则使得0()1f x <的概率为13； ②函数sin 2y x =的图象向左平移3π个单位得到函数cos(2)6y x π=+的图象； ③命题“2,10x R x x ∀∈-+>”的否定是“2,10x R x x ∃∈-+<”；④若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)(2)0f x f x ++-=，则(2016)0f =. 其中所有正确命题的序号是__________. 【答案】①②④ 【解析】试题分析： 对于①，由0()1f x <得01sin 2x <，所以05(0,)(,)66x πππ∈,所以概率为51663P ππππ+-==，故①正确；对于②，函数sin 2y x =的图象向左平移3π个单位得到函数sin[2()]sin(2)cos(2)3266y x x x ππππ=+=++=+，故②正确；对于③，命题“2,10x R x x ∀∈-+>”的否定是“2,10x R x x ∃∈-+≤”，故③错；对于④，由(1)(2)0f x f x ++-=得(1)(2)(2)f x f x f x +=--=-，所以函数()f x 是以3为周期的周期函数，所以(2016)(3672)(0)0f f f =⨯==，所以④正确，故正确序号为①②④.考点：1.三角函数的图象与性质；2.函数的周期性与奇偶性；3.命题与命题的否定. 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. （本小题12分）设ABC ∆的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，已知3c =，且1sin()cos 64C C π-∙=.（1）求角C 的大小；（2）若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求,a b 的值.【答案】(1)3π;(2)a b =考点：1.正弦定理与余弦定理；2.向量共线条件.17. （本小题12分）已知一非零向量列{}n a 满足：1(1,3)a =，且11111(,)(,)(2)2n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+≥. （1）求证：{}n a 是等比数列；（2）求证： 1,(2)n n a a n -≥的夹角n θ为定值. 【答案】(1)见解析；(2)4π.考点：1.向量数量积、夹角、模的坐标运算；2.等比数列的定义与性质.【名师点睛】本题主要考查向量数量积、夹角、模的坐标运算以及等比数列的定义与性质，同时也考查了运算能力与逻辑推理能力，属中档题；将向量相关的概念、数量积坐标运算与等比数列知识相融汇，是本题的亮点.18. （本小题12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，090ABD ∠=，EB ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2,1,AB EB EF BC ===且M 有BD 的中点.（1）求证：//EM 平面ADF ； （2）求二面角D AF B --的大小.【答案】（1）见解析；（2）60︒.解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0)B A D，3(3,2,0),(,0,0)2C E F M -（1）3(,0,3),(3,2,0),(0,2EM AD AF =-=-=-，设平面ADF 的一个法向量是(,,)n x y z =.由00n AD n AF⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，得3200x y y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令3y =，则n =.又因为3(,0,30302EM n ∙=∙=+-=， 所以EM n ⊥，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF .（2）由（1）可知平面ADF 的一个法向量是n =.因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥，又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF . 故(3,0,0)BD =是平面EBAF 的一个法向量. 所以cos BD <，12BD n n BD n∙≥=∙，又二面角D AF B --为锐角， 故二面角D AF B --的大小为060.考点：1.线面平行的性质与判定；2.空间向量的应用.【名师点睛】本题主要考查直线和平面平行的证明和空间向量的应用，属中档题；直线和平面平行首先是利用其判定定理，或者利用面面平行的性质来证，注意线线平行、线面平行、面面平行的转化；也可利用空间向量相关的知识证明线面平行，即证明直线的方向向量与平面的一个法向量垂直即可；利用坐标法求二面角，主要是空间直角坐标系的建立要恰当，便于用坐标表示相关点，求出半平面法向量夹角后，要观察二面角是锐角还是钝角，正确写出二面角的余弦值．19. （本小题12分）已知,,,,A B C D E 五所高校举行自主招生考试，某同学决定按,,,,A B C D E 的顺序参加考试，假设该同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为13.（1）如果该同学五所高校的考试都参加，求在恰有两所通过的条件下，不是连续两所通过的概率；（2）如果该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加后面高校的考试，假设参加每所高校考试所需的费用均为162元，试求该同学参加考试所需费用X 的数学期望.【答案】(1)35;(2)422元.所以所求条件概率为2525435 CC-=.（2）该同学参加考试所需费用X的分布列如下：(162)a=X a2a3a4a5aP 132133∙22133⎛⎫∙⎪⎝⎭32133⎛⎫∙⎪⎝⎭423⎛⎫⎪⎝⎭所以124816211()162(12345)1624223927818181E X=⨯∙+∙+∙+∙+∙=∙=（元）.考点：1.条件概率；2.离散型随机变量的分布列与期望.20. （本小题13分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的两个焦点分别为1(F，2F，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M.（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于,A B两点，设点(3,2)N，记直线,AN BN的斜率分别为12,k k，问：12k k+是否为定值？并证明你的结论.【答案】(1)2213xy+=；(2)12k k+为定值.考点：1.椭圆的定义与性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21. （本小题14分）已知函数(),()2xnf x eg x x m ==+，其中e 为自然对数的底数，,m n R ∈. （1）若2n =时方程()()f x g x =在[]1,1-上恰有两个相异实根，求m 的取值范围； （2）若()()()T x f x g x =∙，且12nm =-，求()T x 在[]0,1上的最大值； （3）若152m =-，求使()()f x g x >对x R ∀∈都成立的最大正整数n .【答案】(1) 111m e<≤+； (2) []2max ()2nn e T x e-⎧-⎪=⎨⎪⎩，22n n <-≥- ；(3) 最大正整数14n =. 试题解析： （1）()()()x F x f x g x e x m =-=--，()1x F x e '=-，故()F x 在[]1,0-上单调递减；在[]0,1上单调递增；故()()f x g x =在[]1,1-上恰有两个相异实根.1(1)10(0)10(1)10F m e F m F e m ⎧-=+-≥⎪⎪=-<⎨⎪=--≥⎪⎩111m e ⇔<≤+； （2）12n m =-，()(1)()22x n n T x e x n R =+-∈，∴'()(1)2x n T x e x =+ ①当0n ≥时，'()0T x >，()T x 在[]0,1上为增函数，则此时max ()(1)T x T e ==； ②当2n <-时，201n <-<，'2()()2x n T x e x n =∙+，故()T x 在20,n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在2,1n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，此时22max 2()()(1)2nn n T x T e m e n --=-=-+=-∙，③当20n -≤<时，21n -≥，'2()()2x n T x e x n=∙+，故()T x 在[]0,1上为增函数，此时max ()(1)T x T e ==；考点：1.函数与方程；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与不等式.。