八年级数学下册勾股定理知识点(含答案)
勾股定理知识点
一、勾股定理：
1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
ABCabc弦股勾
勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）
*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c）；
（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；
若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n的线段
八年级数学下册《勾股定理》知识点
八年级数学下册《勾股定理》知识点
八年级数学下册《勾股定理》知识点
在日常的学习中，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗？下面是店铺为大家收集的八年级数学下册《勾股定理》知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。
八年级数学下册《勾股定理》知识点 篇1
1.勾股定理的内容：
如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。
勾股定理又叫毕达哥拉斯定理
2.勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
3.勾股数：
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。
4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用
例题精讲：
练习：
例1：若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为
解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12
(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为
解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24 例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.
解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5
第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7
《点评》此题是一道易错题目，同学们应该认真审题!
例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )
A.斜边长为25
B.三角形周长为25
C.斜边长为5
D.三角形面积为20
解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C
八年级数学下册《勾股定理》知识点 篇2
勾股定理
在任何一个直角三角形(Rt△)中(等腰直角三角形也算在内)，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，这就叫做勾股定理。即勾的长度的平方加股的长度的平方等于弦的长度的平方。[1]如果用a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a+b=c.
八年级数学下册 勾股定理中考考点梳理及练习(含答案) 试题
轧东卡州北占业市传业学校第18章 勾股定理-中考链接
趋势一 直接运用勾股定理求线段长度的计算题
1．〔•2021，•〕•假设电视机屏幕为矩形长为52cm，“某个电视机屏幕大小是65cm〞的含义是矩形对角线长65cm，如图1•所示•，•那么该电视机屏幕的高•CD•为_____cm．
图1 图2 图3
2．〔2021，〕如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，CE=3cm，AB=8cm，那么图中阴影局部面积为_______．
3．〔2021，〕等腰直角三角形的斜边长为2，那么此三角形直角边的长为_____．
4．〔2021，〕如果直角三角形的斜边与一条直角边长分别是25cm和15cm，那么这个直角三角形的面积是______．
5．〔2021，〕要在旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以旁为x轴，建立了如图3所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为〔0，3〕，B点的坐标为〔6，5〕，•那么从A，B两点到奶站距离之和的最小值是_____．
6．〔2021，宁夏〕如下列图，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC•于M，交AB于N，假设AC=4，MB=2MC，求AB的长．
7．〔2021，〕如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD•上的点B′处，点A落在点A′处．
〔1〕求证：BE′=BF；
〔2〕设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．
答案 1．39 2．30cm 3．2 4．150
5．10 点拨：作过B关于的对称点B′，连结AB′．求出AB′的长．
6．连结AM．
∵MN是AB的垂直平分线，
人教版八年级下册数学 第17章《勾股定理》讲义 第6讲 勾股定理-逆定理(有答案)
人教版八年级下册数学 第17章《勾股定理》讲义 第6讲 勾股定理－逆定理（有答案）
第 2 页 第6讲 勾股定理－逆定理
第一部分 知识梳理
知识点一：勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 .
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；
②定理中a，b，c及222abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形
知识点二：勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等
③用含字母的代数式表示n组勾股数：
221,2,1nnn（2,nn为正整数）；
2221,22,221nnnnn（n为正整数）
2222,2,mnmnmn（,mnm，n为正整数）
知识点三：勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整
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例4、已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
八年级初二数学 勾股定理(讲义及答案)附解析
一、选择题
1．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DEa，则下列说法正确的是（ ）
①DC平分BDE；②BC长为22a；③BCD是等腰三角形；④CED的周长等于BC的长．
A．①②③
B．②④ C．②③④ D．③④
2．已知，如图，ABC，点,PQ分别是BAC的角平分线AD，边AB上的两个动点，45C，6BC，则PBPQ的最小值是（ ）
A．3 B．23 C．4 D．32
3．已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
4．如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为( )
A．3cm B．14cm C．5cm D．4cm
5．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（ ）
A．3 B．3 C．5 D．3或5
6．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，6 B．3，5，4 C．5，12，13 D．3，2，13 7．如图，△ABC中，AB=10，BC=12，AC=213，则△ABC的面积是（ ）．
A．36 B．1013 C．60 D．1213
8．如图，在ABC中，13AB，10BC，BC边上的中线12AD，请试着判定ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．以上都不对
9．在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．a=3，b=4，c=6 B．a=5，b=6，c=7 C．a=6，b=8，c=9 D．a=7，b=24，c=25
10．如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（ ）
人教版八年级下册数学-专题：第18章.勾股定理知识点与常见题型总结
， 4 ab (b a)2 c2 ，化简可证．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 ab c2 2ab c2
(a b) (a b) ， S 2 ab c2 ，化简得证 2 2 2 八年级下册 .勾股定理知识点与常见题型总结
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a2 b2 c2
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较
短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 “勾
三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的
平方和等于斜边的平方
２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一： 4S S
D
H
E
F
b
A c
方法二：
b 正方形EFGH S
C
G
a
B
a
正方形ABCD 1
2
a c c
b
b c c
a
a b
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 1
2
大正方形面积为 S (a b)2 a2 2ab b2
所以 a2 b2 c2
方法三： S
梯形 1 1 1 2S S 梯形 ADE ABE
八年级初二数学 勾股定理知识点总结附解析
一、选择题
1．如图钢架中，∠A＝15°，现焊上与AP1等长的钢条P1P2，P2P3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（
）
A．16 B．15 C．12
D．10
2．如图，AB＝AC，∠CAB＝90°，∠ADC=45°，AD＝1，CD＝3，则BD的长为（ ）
A．3 B．11 C．23 D．4
3．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（ ）
A．（22）2013 B．（22）2014 C．（12）2013 D．（12）2014
4．如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．cm B．cm C．cm D．9cm 5．在ΔABC中,211abc,则∠A( )
A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．非上述答案
6．三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）
A．6 B．36
C．64 D．8
7．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．32 C．2π D．12
8．如图是我国一位古代数学家在注解《周髀算经》时给出的，曾被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地证明了勾股定理，这位伟大的数学家是（ ）
A．杨辉 B．刘徽 C．祖冲之 D．赵爽
9．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．12 B．10
人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理 含答案
人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理 含答案
一、单选题(共15题，共计45分)
1、如图，已知，矩形ABCD中，AB=3 cm，AD=9 cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为（ ）
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D. cm
2、如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过（ ）小时，甲、乙两人相距6千米？
A. B. C.1.5 D.
3、下列说法中，不正确的是（ ）
A.三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形 B.三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形 C.三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形 D.三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形 4、如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，且中间夹的三角形是直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为( )
A.4 B.8 C.16 D.64
5、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是
（ ）
A.3，4，5 B. C.6，8，10 D.9，12，15
6、如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（ )
A.14 B.16 C.20 D.28
7、如图，⊙O的半径为5，弦心距OC=3，则弦AB的长是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.5
8、在下列三角形中，外心在它一条边上的三角形是（ ） A.三角形的边长分别为2cm，2cm，3cm B.三角形的边长都等于4cm C.三角形的边长分别为5cm，12cm，13cm D.三角形的边长分别为4cm，6cm，8cm
(完整版)八年级下册勾股定理知识点归纳
- 1 - 八年级下册勾股定理知识点和典型例习题
一、基础知识点：
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc
２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，，化简可证．
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc 大正方形面积为222()2Sabaabb 所以222abc
方法三：1()()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。
初二数学下册知识点《勾股定理》150题及解析
第1页，共101页
初二数学下册知识点《勾股定理》经典例题及解析
一、选择题（本大题共50小题，共150.0分）
1. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A.
B.
C. 5
D. 4
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD=是解此题的关键．
根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵AC=8，DB=6，
∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，
由勾股定理得：AB==5，
∵S菱形ABCD=，
∴，
∴DH=，
故选A．
2. 在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）
A. 10 B. 8 C. 6或10 D. 8或10
【答案】C
【解析】解：根据题意画出图形，如图所示，
如图1所示，AB=10，AC=2，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中， 第2页，共101页 根据勾股定理得：BD==8，CD==2，
此时BC=BD+CD=8+2=10；
如图2所示，AB=10，AC=2，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD==8，CD==2，此时BC=BD-CD=8-2=6，
则BC的长为6或10．
故选：C．
分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
3. 如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（ ）
A.
B. 2
C.
D. 10-5
【答案】B
【解析】解：如图，延长BG交CH于点E，
人教版八年级数学下册 第十七章 勾股定理全章知识点归纳及典型题分类
CABD勾股定理全章知识点归纳及典型题分类
一．基础知识点：
1：勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）
要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2
（定理中a，b，c及222abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）
3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5：勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理